Видеоурок 2: Задача на пирамиду. Объем пирамиды

Видеоурок 3: Задача на пирамиду. Правильная пирамида

Лекция: Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида

Пирамида, её свойства

Пирамида – это объемное тело, которое имеет в основании многоугольник, а все её грани состоят из треугольников.

Частным случаем пирамиды является конус, в основании которого лежит окружность.

Рассмотрим основные элементы пирамиды:

Апофема – это отрезок, который соединяет вершину пирамиды с серединой нижнего ребра боковой грани. Иными словами, это высота грани пирамиды.

На рисунке можно увидеть треугольники ADS, ABS, BCS, CDS. Если внимательно посмотреть на названия, можно увидеть, что каждый треугольник имеет в своем названии одну общую букву – S. То есть это значит, что все боковые грани (треугольники) сходятся в одной точке, которая называется вершиной пирамиды.

Отрезок ОS, который соединяет вершину с точкой пересечения диагоналей основания (в случае с треугольников – в точке пересечения высот), называется высотой пирамиды .

Диагональным сечением называют плоскость, которая проходит через вершину пирамиды, а также одну из диагоналей основания.

Так как боковая поверхность пирамиды состоит из треугольников, то для нахождения общей площади боковой поверхности необходимо найти площади каждой грани и сложить их. Количество и форма граней зависит от формы и размеров сторон многоугольника, который лежит в основании.

Единственная плоскость в пирамиде, которой не принадлежит её вершина, называется основанием пирамиды.

На рисунке мы видим, что в основании лежит параллелограмм, однако, может быть любой произвольный многоугольник.

Свойства:

Рассмотрим первый случай пирамиды, при котором она имеет ребра одинаковой длины:

• Вокруг основания такой пирамиды можно описать окружность. Если спроецировать вершину такой пирамиды, то её проекция будет находится в центре окружности.
• Углы при основании пирамиды у каждой грани одинаковы.
• При этом достаточным условием к тому, что вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а так же считать, что все ребра разной длины, можно считать одинаковые углы между основанием и каждым ребром граней.

Если Вам попалась пирамида, у которой углы между боковыми гранями и основанием равны, то справедливы следующие свойства:

• Вы сможете описать окружность вокруг основания пирамиды, вершина которой проецируется точно в центр.
• Если провести у каждой боковой грани высоты к основанию, то они будут равной длины.
• Чтобы найти площадь боковой поверхности такой пирамиды, достаточно найти периметр основания и умножить его на половину длины высоты.
• S бп = 0,5P oc H.
• Виды пирамиды.
• В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании пирамиды, они могут быть треугольными, четырехугольными и др. Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник (с равными сторонами), то такая пирамида будет называться правильной.

Правильная треугольная пирамида

Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.

На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.

Рассмотрим многоугольник А 1 А 2 ...А n , который лежит в плоскости α, и точку P , которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А 1 , А 2 , А 3 , … А n . Получим n треугольников: А 1 А 2 Р , А 2 А 3 Р и так далее.

Определение . Многогранник РА 1 А 2 …А n , составленный из n -угольника А 1 А 2 ...А n и n треугольников РА 1 А 2 , РА 2 А 3 …РА n А n -1 , называется n -угольной пирамидой. Рис. 1.

Рис. 1

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р - вершина пирамиды.

ABCD - основание пирамиды.

РА - боковое ребро.

АВ - ребро основания.

Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD . Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.

Рис. 2

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

S полн = S бок + S осн

Пирамида называется правильной, если:

• ее основание - правильный многоугольник;
• отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р - вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD - правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О , точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО - это высота пирамиды.

Рис. 3

Пояснение : в правильном n -угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h а .

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.

Дано : РАВСD - правильная четырехугольная пирамида,

АВСD - квадрат,

РО - высота пирамиды.

Доказать :

1. РА = РВ = РС = РD

2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.

Рис. 4

Доказательство .

РО - высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО , лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD - прямоугольные.

Рассмотрим квадрат АВСD . Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.

Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО - общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.

Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС . Значит, треугольники АВР и ВCР - равнобедренные и равны по трем сторонам.

Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано : РАВС - правильная треугольная пирамида.

АВ = ВС = АС.

РО - высота.

Доказать : . См. Рис. 5.

Рис. 5

Доказательство.

РАВС - правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС . Пусть О - центр треугольника АВС , тогда РО - это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС . Заметим, что .

Треугольники РАВ, РВC, РСА - равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА . Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

S бок = 3S РАВ

Теорема доказана.

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано : правильная четырехугольная пирамида АВСD ,

АВСD - квадрат,

r = 3 м,

РО - высота пирамиды,

РО = 4 м.

Найти : S бок. См. Рис. 6.

Рис. 6

Решение .

По доказанной теореме, .

Найдем сначала сторону основания АВ . Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда, м.

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

Рассмотрим треугольник BCD . Пусть М - середина стороны DC . Так как О - середина BD , то (м).

Треугольник DPC - равнобедренный. М - середина DC . То есть, РМ - медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC . Тогда РМ - апофема пирамиды.

РО - высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямой ОМ , лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ .

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

Ответ : 60 м 2 .

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м 2 . Найдите длину апофемы.

Дано : АВСP - правильная треугольная пирамиды,

АВ = ВС = СА,

R = м,

S бок = 18 м 2 .

Найти : . См. Рис. 7.

Рис. 7

Решение .

В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.

Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где h а - апофема пирамиды. Тогда:

Ответ : 4 м.

Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.

Список литературы

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с.: ил.

1. Интернет портал «Якласс» ()
2. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей «Первое сентября» ()
3. Интернет портал «Slideshare.net» ()

Домашнее задание

1. Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?
2. Докажите, что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны.
3. Найдите величину двугранного угла при стороне основания правильной четырехугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна стороне ее основания.
4. РАВС - правильная треугольная пирамида. Постройте линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.

Продолжаем рассматривать задачи входящие в ЕГЭ по математике. Мы уже исследовали задачи, где в условии дан и требуется найти расстояние между двумя данными точками либо угол.

Пирамида - это многогранник, основание которого является многоугольником, остальные грани - треугольники, при чём они имеют общую вершину.

Правильная пирамида — это пирамида в основании которой лежит правильный многоугольник, а его вершина проецируется в центр основания.

Правильная четырехугольная пирамида — снованием является квадрат.Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).

ML - апофема
∠MLO - двугранный угол при основании пирамиды
∠MCO - угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды

В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на решение правильной пирамиды. Требуется найти какой-либо элемент, площадь боковой поверхности, объём, высоту. Разумеется, необходимо знать теорему Пифагора, формулу площади боковой поверхности пирамиды, формулу для нахождения объёма пирамиды.

В статье « » представлены формулы, которые необходимы для решения задач по стереометрии. Итак, задачи:

SABCD точка O - центр основания, S вершина, SO = 51, AC = 136. Найдите боковое ребро SC .

В данном случае в основании лежит квадрат. Это означает, что диагонали AC и BD равны, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отметим, что в правильной пирамиде высота опущенная из её вершины проходит через центр основания пирамиды. Таким образом, SO является высотой, а треугольник SOC прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора:

Как извлекать корень из большого числа .

Ответ: 85

Решите самостоятельно:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC .

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SC = 5, AC = 6. Найдите длину отрезка SO .

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC .

SABC R - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что AB = 7, а SR = 16. Найдите площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (апофема это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины):

Или можно сказать так: площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней. Боковыми гранями в правильной треугольной пирамиде являются равные по площади треугольники. В данном случае:

Ответ: 168

Решите самостоятельно:

В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SR .

В правильной треугольной пирамиде SABC L - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB .

В правильной треугольной пирамиде SABC M . Площадь треугольника ABC равна 25, объем пирамиды равен 100. Найдите длину отрезка MS .

Основание пирамиды - равносторонний треугольник . Поэтому M является центром основания, а MS - высотой правильной пирамиды SABC . Объем пирамиды SABC равен: осмотреть решение

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M . Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M . Объем пирамиды равен 1, MS = 1. Найдите площадь треугольника ABC .

На этом закончим. Как видите, задачи решаются в одно-два действия. В будущем рассмотрим с вами другие задачи из данной части, где даны тела вращения, не пропустите!

Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Начальный уровень

Пирамида. Визуальный гид (2019)

Что такое пирамида?

Как она выглядит?

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании ») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина »).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани , боковые рёбра и рёбра основания . Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это - пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида .

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.

При этом точка, куда oпустилась высота , называется основанием высоты . Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды. Вот так:

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

Правильная пирамида.

Много сложный слов? Давай расшифруем: «В основании - правильный » - это понятно. А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр - точка, являющаяся центром и , и .

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида .

Шестиугольная : в основании - правильный шестиугольник, вершина проецируется в центр основания.

Четырёхугольная : в основании - квадрат, вершина проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

Треугольная : в основании - правильный треугольник, вершина проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

Очень важные свойства правильной пирамиды:

В правильной пирамиде

• все боковые рёбра равны.
• все боковые грани - равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды:

Откуда взялась именно? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть, а у цилиндра - нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно. Нужно найти и.

Это площадь правильного треугольника.

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

У нас « » - это, а « » - это тоже, а.

Теперь найдем.

По теореме Пифагора для

Чему же равно? Это радиус описанной окружности в, потому что пирамида правильная и, значит, - центр.

Так как - точка пересечения и медиан тоже.

(теорема Пифагора для)

Подставим в формулу для.

И подставим все в формулу объема:

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.), то формула получается такой:

Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно.

Здесь и искать не нужно; ведь в основании - квадрат, и поэтому.

Найдем. По теореме Пифагора для

Известно ли нам? Ну, почти. Смотри:

(это мы увидели, рассмотрев).

Подставляем в формулу для:

А теперь и и подставляем в формулу объема.

Пусть сторона основания равна, а боковое ребро.

Как найти? Смотри, шестиугольник состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Теперь найдем (это).

По теореме Пифагора для

Но чему же равно? Это просто, потому что (и все остальные тоже) правильный.

Подставляем:

\displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}

ПИРАМИДА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Пирамида - это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды ) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (боковые ребра ).

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Правильная пирамида - пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Свойство правильной пирамиды:

• В правильной пирамиде все боковые рёбра равны.
• Все боковые грани - равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.