الهرم الصحيح للخصائص والتسميات. الأشكال الهندسية. هرم

صيدلة- ارتفاع الوجه الجانبي للهرم المنتظم ، والذي يتم رسمه من قمته (بالإضافة إلى ذلك ، فإن apothem هو طول العمود العمودي ، والذي يتم إنزاله من منتصف المضلع المنتظم إلى أحد جوانبه) ؛
وجوه جانبية (ASB، BSC، CSD، DSA) - المثلثات التي تتلاقى عند الرأس ؛
الضلوع الجانبية ( كما , بكالوريوس , CS , DS ) - الجوانب المشتركة للوجوه الجانبية ؛
قمة الهرم (ر. س) - النقطة التي تربط الحواف الجانبية ولا تقع في مستوى القاعدة ؛
ارتفاع ( وبالتالي ) - جزء من العمود العمودي ، والذي يتم رسمه عبر الجزء العلوي من الهرم إلى مستوى قاعدته (ستكون نهايات هذا الجزء أعلى الهرم وقاعدة العمود العمودي) ؛
مقطع قطري من الهرم- قسم من الهرم يمر عبر الجزء العلوي وقطري القاعدة ؛
يتمركز (ا ب ت ث) - مضلع لا ينتمي إلى قمة الهرم.

خصائص الهرم.

1. عندما تكون جميع الأضلاع الجانبية من نفس الحجم ، فعندئذٍ:

من السهل وصف دائرة بالقرب من قاعدة الهرم ، بينما يتم إسقاط قمة الهرم في وسط هذه الدائرة ؛
تشكل الأضلاع الجانبية نفس الزوايا مع مستوى القاعدة ؛
علاوة على ذلك ، فإن العكس هو الصحيح أيضًا ، أي عندما تشكل الحواف الجانبية زوايا متساوية مع مستوى القاعدة ، أو عندما يمكن وصف دائرة بالقرب من قاعدة الهرم ويكون الجزء العلوي من الهرم مُسقطًا على مركز هذه الدائرة ، فإن كل حواف الهرم الجانبية يكون لها نفس الحجم.

2. عندما يكون للوجوه الجانبية زاوية ميل مع مستوى القاعدة بنفس المقدار ، عندئذٍ:

من السهل وصف دائرة بالقرب من قاعدة الهرم ، بينما يتم إسقاط قمة الهرم في وسط هذه الدائرة ؛
ارتفاعات الوجوه الجانبية متساوية في الطول ؛
مساحة السطح الجانبي تساوي من حاصل ضرب محيط القاعدة بارتفاع الوجه الجانبي.

3. يمكن وصف الكرة بالقرب من الهرم إذا كان المضلع يقع في قاعدة الهرم الذي يمكن وصف دائرة حوله (شرط ضروري وكاف). سيكون مركز الكرة نقطة تقاطع المستويات التي تمر عبر نقاط المنتصف لحواف الهرم المتعامدة معها. من هذه النظرية ، نستنتج أنه يمكن وصف الكرة حول أي مثلث وحول أي هرم منتظم.

4. يمكن نقش كرة في الهرم إذا تقاطعت مستويات المنصف للزوايا ثنائية الأضلاع الداخلية للهرم عند النقطة الأولى (شرط ضروري وكاف). ستصبح هذه النقطة مركز الكرة.

أبسط هرم.

حسب عدد الزوايا ، تنقسم قاعدة الهرم إلى مثلث ، رباعي الزوايا ، وهكذا.

الهرم سوف الثلاثي, رباعي الزواياوهكذا ، عندما تكون قاعدة الهرم مثلثًا ، رباعي الزوايا ، وهكذا. الهرم الثلاثي هو رباعي الوجوه - رباعي السطوح. رباعي الزوايا - خماسي الوجوه وهلم جرا.

الهرم المثلثي هو هرم في قاعدته مثلث. ارتفاع هذا الهرم هو عمودي ينزل من قمة الهرم إلى قاعدته.

إيجاد ارتفاع الهرم

كيف اجد ارتفاع الهرم؟ بسيط جدا! لمعرفة ارتفاع أي هرم مثلث ، يمكنك استخدام صيغة الحجم: V = (1/3) Sh ، حيث S هي مساحة القاعدة ، V هي حجم الهرم ، h هي ارتفاعه. اشتق معادلة الارتفاع من هذه الصيغة: لإيجاد ارتفاع الهرم الثلاثي ، تحتاج إلى ضرب حجم الهرم في 3 ، ثم قسمة القيمة الناتجة على مساحة القاعدة ، ستكون: h = (3 فولت) / S. بما أن قاعدة الهرم المثلث هي مثلث ، يمكنك استخدام الصيغة لحساب مساحة المثلث. إذا علمنا: مساحة المثلث S وجانبه z ، فإن صيغة المنطقة S = (1/2) γh: h = (2S) / ، حيث h هي ارتفاع الهرم ، γ هي حافة المثلث الزاوية بين جانبي المثلث والضلعين أنفسهم ، ثم بالصيغة التالية: S = (1/2) γφsinQ ، حيث γ ، هي أضلاع المثلث ، نجد مساحة المثلث. يجب العثور على قيمة جيب الزاوية Q في جدول الجيب المتاح على الإنترنت. بعد ذلك ، نستبدل قيمة المساحة في صيغة الارتفاع: h = (2S) / γ. إذا كانت المهمة تتطلب حساب ارتفاع الهرم الثلاثي ، فإن حجم الهرم معروف بالفعل.

هرم مثلثي منتظم

أوجد ارتفاع الهرم المثلثي المنتظم ، أي الهرم الذي تكون فيه جميع الأوجه مثلثات متساوية الأضلاع ، مع معرفة قيمة الحافة γ. في هذه الحالة ، تكون حواف الهرم هي أضلاع مثلثات متساوية الأضلاع. سيكون ارتفاع الهرم المثلثي العادي هو: h = γ√ (2/3) ، حيث γ هي حافة مثلث متساوي الأضلاع ، h هي ارتفاع الهرم. إذا كانت مساحة القاعدة (S) غير معروفة ، ولكن فقط طول الحافة (γ) والحجم (V) لمتعدد السطوح ، فيجب استبدال المتغير الضروري في الصيغة من الخطوة السابقة بما يعادله ، والذي يتم التعبير عنه من حيث طول الحافة. مساحة المثلث (العادي) تساوي 1/4 من حاصل ضرب طول ضلع هذا المثلث ، تربيعه في الجذر التربيعي للرقم 3. عوض بهذه الصيغة بدلاً من مساحة القاعدة في الصيغة السابقة ، ونحصل على الصيغة التالية: h = 3V4 / (γ 2 √3) = 12V / (γ 2 3). يمكن التعبير عن حجم رباعي الوجوه من حيث طول حافته ، ومن ثم يمكن إزالة جميع المتغيرات من الصيغة لحساب ارتفاع الشكل ويمكن ترك جانب الوجه المثلث للشكل فقط. يمكن حساب حجم هذا الهرم بالقسمة على 12 من الناتج الطول المكعب لوجهه على الجذر التربيعي لـ 2.

بالتعويض عن هذا التعبير في الصيغة السابقة ، نحصل على الصيغة التالية للحساب: h = 12 (γ 3 √2 / 12) / (γ 2 √3) = (γ 3 √2) / (γ 2 √3) = γ √ (2/3) = (1/3) γ√6. أيضًا ، يمكن نقش المنشور الثلاثي المنتظم في كرة ، ومعرفة نصف قطر الكرة (R) فقط ، يمكنك العثور على ارتفاع رباعي السطوح. طول حافة رباعي الوجوه: γ = 4R / √6. استبدل المتغير γ بهذا التعبير في الصيغة السابقة واحصل على الصيغة: h = (1/3) √6 (4R) / √6 = (4R) / 3. يمكن الحصول على نفس الصيغة بمعرفة نصف القطر (R) لدائرة منقوشة في رباعي الوجوه. في هذه الحالة ، سيكون طول حافة المثلث 12 في الجذر التربيعي لـ 6 ونصف القطر. نستبدل هذا التعبير في الصيغة السابقة ولدينا: h = (1/3) γ√6 = (1/3) √6 (12R) / √6 = 4R.

كيفية إيجاد ارتفاع هرم رباعي الزوايا منتظم

للإجابة على سؤال حول كيفية إيجاد طول ارتفاع الهرم ، عليك أن تعرف ، مائة من هذا الهرم المنتظم. الهرم رباعي الزوايا هو هرم رباعي الزوايا في قاعدته. إذا كان لدينا في ظروف المشكلة: الحجم (V) ومساحة القاعدة (S) للهرم ، فإن صيغة حساب ارتفاع متعدد السطوح (h) ستكون على النحو التالي - اقسم حجم مضروب في 3 في المنطقة S: h = (3V) / S. مع قاعدة الهرم المربعة المعروفة: الحجم المعطى (V) وطول الضلع γ ، استبدل المساحة (S) في الصيغة السابقة بمربع طول الضلع: S = γ 2؛ H = 3V / γ 2. يمر ارتفاع الهرم العادي h = SO عبر مركز الدائرة الموصوف بالقرب من القاعدة. بما أن قاعدة هذا الهرم مربعة ، فإن النقطة O هي نقطة تقاطع القطرين AD و BC. لدينا: OC = (1/2) BC = (1/2) AB√6. علاوة على ذلك ، نجد في مثلث قائم الزاوية SOC (بواسطة نظرية فيثاغورس): SO = √ (SC 2 -OC 2). أنت الآن تعرف كيفية إيجاد ارتفاع الهرم الصحيح.

يواجه الطلاب مفهوم الهرم قبل وقت طويل من دراسة الهندسة. هذا يرجع إلى عجائب الدنيا المصرية الشهيرة. لذلك ، عند بدء دراسة هذا متعدد الوجوه الرائع ، يتخيله معظم الطلاب بالفعل. جميع مناطق الجذب المذكورة أعلاه لها الشكل الصحيح. ماذا او ما الهرم الصحيح، وما هي الخصائص التي ستتم مناقشتها بشكل أكبر.

في تواصل مع

تعريف

هناك العديد من التعريفات للهرم. منذ العصور القديمة ، تمتعت بشعبية كبيرة.

على سبيل المثال ، عرّفها إقليدس على أنها شخصية جسدية ، تتكون من طائرات تتلاقى ، بدءًا من واحدة ، عند نقطة معينة.

قدم مالك الحزين صياغة أكثر دقة. أصر على أنه كان شخصية له قاعدة ومستويات على شكل مثلثات ،تتقارب عند نقطة واحدة.

بناءً على التفسير الحديث ، يتم تقديم الهرم على شكل متعدد السطوح المكاني ، ويتألف من أشكال مستوية معينة k-gon و k ذات شكل مثلث ، لها نقطة مشتركة واحدة.

دعونا نفهم ذلك بمزيد من التفصيل ، ما العناصر التي تتكون منها:

يعتبر k-gon أساس الشكل ؛
الأشكال ثلاثية الجوانب هي جوانب الجزء الجانبي ؛
الجزء العلوي ، الذي تنشأ منه العناصر الجانبية ، يسمى الجزء العلوي ؛
تسمى جميع الأجزاء التي تربط الرأس بالحواف ؛
إذا تم إنزال خط مستقيم من أعلى إلى مستوى الشكل بزاوية 90 درجة ، فإن الجزء المحاط بالفضاء الداخلي هو ارتفاع الهرم ؛
في أي عنصر جانبي ، يمكن رسم عمودي على جانب متعدد السطوح لدينا ، يسمى apothem.

يتم حساب عدد الحواف بواسطة الصيغة 2 * k ، حيث k هو عدد جوانب k-gon. كم عدد وجوه متعدد السطوح مثل الهرم يمكن تحديده بالتعبير ك + 1.

الأهمية!الهرم ذو الشكل المنتظم هو شكل مجسم ، مستوى قاعدته هو k-gon مع جوانب متساوية.

الخصائص الأساسية

الهرم الصحيح له العديد من الخصائص ،التي تنفرد بها. دعنا نذكرهم:

القاعدة شكل منتظم.
حواف الهرم التي تربط العناصر الجانبية لها قيم رقمية متساوية.
العناصر الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين.
تقع قاعدة ارتفاع الشكل في مركز المضلع ، بينما في نفس الوقت هي النقطة المركزية للمكتوب والموصوف.
تميل جميع الأضلاع الجانبية إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية.
جميع الأسطح الجانبية لها نفس زاوية الميل بالنسبة للقاعدة.

تسهل كل هذه الخصائص إجراء حسابات الأعضاء. بناءً على الخصائص المذكورة أعلاه ، نلفت الانتباه إلى علامتان:

في حالة احتواء المضلع في دائرة ، سيكون للأوجه الجانبية زوايا متساوية مع القاعدة.
عند وصف دائرة حول مضلع ، فإن جميع حواف الهرم الخارجة من الرأس سيكون لها نفس الطول وزوايا متساوية مع القاعدة.

إنه يقوم على مربع

هرم رباعي الزوايا منتظم - متعدد الوجوه على أساس مربع.

لها أربعة أوجه جانبية ، وهي متساوية في المظهر.

على مستوى ، يتم تصوير مربع ، لكنها تستند إلى جميع خصائص الشكل الرباعي العادي.

على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة إلى ربط جانب مربع بقطره ، فاستخدم الصيغة التالية: القطر يساوي حاصل ضرب ضلع المربع والجذر التربيعي لاثنين.

يعتمد على مثلث منتظم

الهرم المثلثي المنتظم هو متعدد الوجوه مع 3-gon في قاعدته.

إذا كانت القاعدة عبارة عن مثلث عادي وكانت الحواف الجانبية مساوية لحواف القاعدة ، فهذا الشكل يسمى رباعي الوجوه.

جميع وجوه رباعي الوجوه متساوية الأضلاع 3-gons. في هذه الحالة ، تحتاج إلى معرفة بعض النقاط وعدم إضاعة الوقت فيها عند الحساب:

زاوية ميل الأضلاع إلى أي قاعدة 60 درجة ؛
حجم جميع الوجوه الداخلية أيضًا 60 درجة ؛
يمكن لأي وجه أن يكون بمثابة قاعدة ؛
المرسومة داخل الشكل هي عناصر متساوية.

أقسام متعدد السطوح

في أي متعدد الوجوه ، هناك عدة أنواع من الأقسامطائرة. غالبًا في دورة الهندسة المدرسية ، يعمل اثنان:

محوري؛
أساس موازٍ.

يتم الحصول على قسم محوري عندما يتقاطع مستوى متعدد الوجوه مع قمة وحواف جانبية ومحور. في هذه الحالة ، يكون المحور هو الارتفاع المرسوم من الأعلى. مستوى القطع محدود بخطوط التقاطع مع جميع الوجوه ، مما ينتج عنه مثلث.

انتباه!في الهرم المنتظم ، القسم المحوري هو مثلث متساوي الساقين.

إذا كانت طائرة القطع تسير بالتوازي مع القاعدة ، فإن النتيجة هي الخيار الثاني. في هذه الحالة ، لدينا رقم مقطعي مشابه للقاعدة.

على سبيل المثال ، إذا كان هناك مربع في القاعدة ، فسيكون القسم الموازي للقاعدة أيضًا مربعًا ، فقط بأحجام أصغر.

عند حل المشكلات في ظل هذه الحالة ، يتم استخدام علامات وخصائص تشابه الأشكال ، على أساس نظرية طاليس... بادئ ذي بدء ، من الضروري تحديد معامل التشابه.

إذا كان المستوى موازيًا للقاعدة ، ويقطع الجزء العلوي من متعدد السطوح ، يتم الحصول على هرم مبتور منتظم في الجزء السفلي. ثم يقال إن سيقان المجسمات المقطوعة هي مضلعات متشابهة. في هذه الحالة ، تكون الوجوه الجانبية شبه منحرف متساوي الساقين. القسم المحوري هو أيضا متساوي الساقين.

من أجل تحديد ارتفاع متعدد السطوح المقطوع ، من الضروري رسم الارتفاع في المقطع المحوري ، أي في شبه المنحرف.

المساحات السطحية

المشاكل الهندسية الرئيسية التي يجب حلها في دورة الهندسة المدرسية هي إيجاد مساحات سطح الهرم وحجمه.

هناك نوعان من قيم مساحة السطح:

منطقة العناصر الجانبية
مساحة السطح بالكامل.

من الاسم نفسه يتضح ما هو عليه. يشتمل السطح الجانبي على عناصر جانبية فقط. ويترتب على ذلك أنه للعثور عليه ، تحتاج فقط إلى جمع مساحات المستويات الجانبية ، أي مناطق متساوي الساقين 3-أضلاع. دعنا نحاول اشتقاق صيغة مساحة العناصر الجانبية:

مساحة متساوي الساقين 3-gon هي Str = 1/2 (aL) ، حيث a هو جانب القاعدة ، L هو apothem.
يعتمد عدد المستويات الجانبية على نوع k-th gon في القاعدة. على سبيل المثال ، الهرم المنتظم رباعي الزوايا له أربعة مستويات جانبية. لذلك ، من الضروري إضافة مناطق الأشكال الأربعة الجانب S = 1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) = 1/2 * 4а * ل. يتم تبسيط التعبير بهذه الطريقة لأن القيمة 4a = Rosn ، حيث Rosn هو محيط القاعدة. والتعبير 1/2 * Rosn هو نصف مقياسها.
لذلك ، نستنتج أن مساحة العناصر الجانبية لهرم منتظم تساوي حاصل ضرب نصف محيط القاعدة بواسطة apothem: Sbok = Rosn * L.

تتكون المساحة الكلية للهرم من مجموع مساحات المستويات الجانبية والقاعدة: Sp.p. = Sside + Sbase.

أما بالنسبة لمساحة القاعدة ، فهنا تستخدم الصيغة حسب نوع المضلع.

حجم الهرم المنتظميساوي حاصل ضرب مساحة المستوى الأساسي بالارتفاع ، مقسومًا على ثلاثة: V = 1/3 * Sbase * H ، حيث H هو ارتفاع متعدد السطوح.

ما هو الهرم الصحيح في الهندسة

خصائص هرم رباعي الزوايا منتظم

تعريف

هرمهو متعدد السطوح مكون من مضلع \ (A_1A_2 ... A_n \) و \ (n \) مثلثات برأس مشترك \ (P \) (لا يقع في مستوى المضلع) وجوانب متقابلة تتطابق مع جوانب المضلع.
التعيين: \ (PA_1A_2 ... A_n \).
مثال: هرم خماسي \ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \).

مثلثات \ (PA_1A_2، \ PA_2A_3 \) إلخ. وتسمى وجوه جانبيةالأهرامات ، الأجزاء \ (PA_1 ، PA_2 \) ، إلخ. - الضلوع الجانبية، مضلع \ (A_1A_2A_3A_4A_5 \) - أساس، نقطة \ (ف \) - قمة.

ارتفاعالأهرامات عمودية مرسومة من أعلى الهرم إلى مستوى القاعدة.

يسمى الهرم الذي يوجد في قاعدته مثلث رباعي الوجوه.

الهرم يسمى صيحإذا كانت قاعدته عبارة عن مضلع منتظم وتم استيفاء أحد الشروط التالية:

\ ((أ) \) الجوانب الجانبية للهرم متساوية ؛

\ ((ب) \) يمر ارتفاع الهرم عبر مركز الدائرة الموصوفة بالقرب من القاعدة ؛

\ ((ج) \) تميل الأضلاع الجانبية إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية.

\ ((د) \) تميل الوجوه الجانبية إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية.

منتظم رباعي السطوح- هذا هرم مثلثي ، جميع أوجهه متساوية الأضلاع مثلثات.

نظرية

الشروط \ ((أ) ، (ب) ، (ج) ، (د) \) متكافئة.

دليل

لنرسم ارتفاع الهرم \ (PH \). دع \ (\ alpha \) هو مستوى قاعدة الهرم.

1) دعنا نثبت أن \ ((أ) \) يعني \ ((ب) \). دع \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

لأن \ (PH \ perp \ alpha \) ، ثم \ (PH \) عمودي على أي خط مستقيم يقع في هذا المستوى ، ومن ثم تكون المثلثات مستطيلة. هذا يعني أن هذه المثلثات متساوية في الساق المشتركة \ (PH \) والوتر \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \). ومن ثم ، \ (A_1H = A_2H = ... = A_nH \). هذا يعني أن النقاط \ (A_1، A_2، ...، A_n \) على نفس المسافة من النقطة \ (H \) ، لذلك تقع على نفس الدائرة مع نصف القطر \ (A_1H \). بحكم التعريف ، هذه الدائرة محددة حول المضلع \ (A_1A_2 ... A_n \).

2) دعنا نثبت أن \ ((ب) \) يعني \ ((ج) \).

\ (PA_1H ، PA_2H ، PA_3H ، ... ، PA_nH \)مستطيلة ومتساوية في قدمين. ومن ثم ، فإن زواياهم متساوية أيضًا ، لذلك ، \ (\ زاوية PA_1H = \ زاوية PA_2H = ... = \ زاوية PA_nH \).

3) دعنا نثبت أن \ ((ج) \) يعني \ ((أ) \).

على غرار النقطة الأولى ، مثلثات \ (PA_1H ، PA_2H ، PA_3H ، ... ، PA_nH \)مستطيلة وعلى طول الساق وزاوية حادة. هذا يعني أن الوتر متساوي أيضًا ، أي \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

4) دعنا نثبت أن \ ((ب) \) يعني \ ((د) \).

لأن في المضلع المنتظم تتطابق مراكز الختان والدائرة (بشكل عام ، تسمى هذه النقطة مركز المضلع المنتظم) ، ثم \ (H \) هي مركز الدائرة. لنرسم الخطوط العمودية من النقطة \ (H \) إلى جانبي القاعدة: \ (HK_1 ، HK_2 \) ، إلخ. هذه هي أنصاف أقطار الدائرة المنقوشة (بالتعريف). ثم ، وفقًا لـ TTP (\ (PH \) - عموديًا على المستوى ، \ (HK_1 ، HK_2 \) ، وما إلى ذلك - الإسقاطات المتعامدة على الجانبين) مائلة \ (PK_1 ، PK_2 \) ، إلخ. عمودي على الجانبين \ (A_1A_2 ، A_2A_3 \) ، إلخ. على التوالى. ومن ثم ، بحكم التعريف \ (\ زاوية PK_1H ، \ زاوية PK_2H \)يساوي الزوايا بين الوجوه الجانبية والقاعدة. لأن المثلثات \ (PK_1H، PK_2H، ... \) متساوية (مثل المستطيل في قدمين) ، ثم الزوايا \ (\ زاوية PK_1H ، \ زاوية PK_2H ، ... \)متساوية.

5) دعنا نثبت أن \ ((د) \) يعني \ ((ب) \).

على غرار النقطة الرابعة ، المثلثات \ (PK_1H ، PK_2H ، ... \) متساوية (مثل المستطيل في الساق والزاوية الحادة) ، وبالتالي فإن المقاطع \ (HK_1 = HK_2 = ... = HK_n \) متساوية. ومن ثم ، بحكم التعريف ، \ (H \) هو مركز دائرة منقوشة في القاعدة. لكن منذ بالنسبة للمضلعات المنتظمة ، يتطابق مركز الدائرة مع الدائرة ، ثم \ (H \) هو مركز الدائرة. Thtd.

عاقبة

الوجوه الجانبية للهرم المنتظم هي مثلثات متساوية الساقين.

تعريف

يسمى ارتفاع الوجه الجانبي لهرم عادي مرسوم من قمته صيدلة.
تتساوى حليات كل الوجوه الجانبية للهرم المنتظم مع بعضها البعض وهي أيضًا متوسطات ومنصفات.

ملاحظات هامة

1. يقع ارتفاع الهرم المثلثي المنتظم عند نقطة تقاطع ارتفاعات (أو منصفات ، أو متوسطات) القاعدة (القاعدة عبارة عن مثلث منتظم).

2. ارتفاع هرم منتظم رباعي الزوايا يقع عند نقطة تقاطع أقطار القاعدة (القاعدة مربعة).

3. ارتفاع الهرم السداسي المنتظم يقع عند نقطة تقاطع أقطار القاعدة (القاعدة سداسية منتظمة).

4. يكون ارتفاع الهرم عموديًا على أي خط مستقيم يقع عند القاعدة.

تعريف

الهرم يسمى مستطيليإذا كانت إحدى حوافها الجانبية متعامدة مع مستوى القاعدة.

ملاحظات هامة

1. في الهرم المستطيل ، تكون الحافة العمودية على القاعدة هي ارتفاع الهرم. أي ، \ (SR \) هو الارتفاع.

2. لأن \ (SR \) عمودي على أي خط مستقيم من القاعدة ، إذن \ (\ مثلث SRM \ مثلث SRP \)- مثلثات قائمة الزاوية.

3. مثلثات \ (\ مثلث SRN \ مثلث SRK \)- مستطيل أيضا.
أي أن أي مثلث تشكله هذه الحافة والقطر الممتد من قمة هذه الحافة يقع عند القاعدة سيكون مستطيلاً.

\ [(\ كبير (\ نص (حجم ومساحة سطح الهرم))) \]

نظرية

حجم الهرم يساوي ثلث ناتج مساحة القاعدة بارتفاع الهرم: \

سماد

دع \ (أ \) جانب القاعدة ، \ (ح \) ارتفاع الهرم.

1. حجم الهرم الثلاثي المنتظم هو \ (V _ (\ text (المثلث الأيمن pyr.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 2h \),

2. حجم الهرم العادي رباعي الزوايا هو \ (V _ (\ نص (رباعي اليمين)) = \ dfrac13a ^ 2h \).

3. حجم الهرم السداسي المنتظم هو \ (V _ (\ نص (عرافة لليمين)) = \ dfrac (\ sqrt3) (2) أ ^ 2 س \).

4. حجم رباعي السطوح العادية هو \ (V _ (\ نص (tet الأيمن)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) أ ^ 3 \).

نظرية

مساحة السطح الجانبي للهرم المنتظم تساوي نصف حاصل ضرب محيط القاعدة من خلال apothem.

\ [(\ كبير (\ نص (هرم مبتور))) \]

تعريف

اعتبر هرمًا عشوائيًا \ (PA_1A_2A_3 ... A_n \). لنرسم مستوى موازيًا لقاعدة الهرم من خلال نقطة تقع على الحافة الجانبية للهرم. هذا المستوى سوف يقسم الهرم إلى جزئين ، أحدهما هرم (\ (PB_1B_2 ... B_n \)) والآخر يسمى هرم مبتور(\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \)).

للهرم المقطوع قاعدتان - المضلعات \ (A_1A_2 ... A_n \) و \ (B_1B_2 ... B_n \) ، والتي تشبه بعضها البعض.

ارتفاع الهرم المقطوع عمودي مرسوم من نقطة ما في القاعدة العلوية إلى مستوى القاعدة السفلية.

ملاحظات هامة

1. جميع الوجوه الجانبية للهرم المقطوع هي شبه منحرف.

2. الجزء الذي يربط بين مراكز قواعد الهرم المنتظم المقطوع (أي الهرم الناتج عن قطع هرم منتظم) هو الارتفاع.

هنا يمكنك العثور على معلومات أساسية حول الأهرامات والصيغ والمفاهيم ذات الصلة. تتم دراسة كل منهم مع مدرس رياضيات استعدادًا للامتحان.

لنفترض مستوى ، مضلع الكذب فيه والنقطة S لا تكمن فيه. قم بتوصيل S بجميع رؤوس المضلع. يسمى متعدد السطوح الناتج هرمًا. تسمى القطع الأضلاع الجانبية. يسمى المضلع بالقاعدة ، والنقطة S تسمى قمة الهرم. اعتمادًا على الرقم ن ، يسمى الهرم مثلث (ن = 3) ، رباعي الزوايا (ن = 4) ، خماسي الأضلاع (ن = 5) ، وهكذا. اسم بديل للهرم الثلاثي هو رباعي الوجوه... يُطلق على ارتفاع الهرم اسم عمودي ، وينخفض من قمته إلى مستوى القاعدة.

الهرم يسمى الصحيح إذا مضلع منتظم ، وقاعدة ارتفاع الهرم (قاعدة العمود العمودي) هي مركزه.

تعليق المعلم:
لا تخلط بين مفهوم "الهرم المنتظم" و "الرباعي السطوح الصحيح". في الهرم العادي ، لا تكون الحواف الجانبية بالضرورة مساوية لحواف القاعدة ، ولكن في رباعي السطوح العادي ، تكون جميع الحواف الستة متساوية. هذا هو تعريفه. من السهل إثبات أن المساواة تعني مصادفة المركز P للمضلع مع قاعدة الارتفاع ، لذلك فإن رباعي الوجوه المنتظم هو هرم منتظم.

ما هو Apothema؟
حجرة الهرم هي ارتفاع وجهه الجانبي. إذا كان الهرم صحيحًا ، فكل أشكاله متساوية. والعكس ليس صحيحا.

مدرس في الرياضيات عن مصطلحاته: العمل مع الأهرامات 80٪ مبني من خلال نوعين من المثلثات:
1) تحتوي على apothem SK والارتفاع SP
2) تحتوي على حافة جانبية SA وإسقاطها PA

لتبسيط الإشارات إلى هذه المثلثات ، من الملائم أكثر لمعلم الرياضيات استدعاء أولها صيدلي، والثانية ضلعي... لسوء الحظ ، لن تجد هذه المصطلحات في أي من الكتب المدرسية ، ويجب على المعلم إدخالها من جانب واحد.

صيغة حجم الهرم:
1) ، أين مساحة قاعدة الهرم ، و هي ارتفاع الهرم
2) ، حيث نصف قطر الكرة المنقوشة ، وهي مساحة السطح الكامل للهرم.
3) ، حيث MN هي المسافة لأي حافتين متقاطعتين ، وهي مساحة متوازي الأضلاع التي تكونت من نقاط المنتصف للحواف الأربعة المتبقية.

خاصية قاعدة ارتفاع الهرم:

النقطة P (انظر الشكل) تتطابق مع مركز الدائرة المنقوشة عند قاعدة الهرم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:
1) جميع الصيدليات متساوية
2) تميل جميع الوجوه الجانبية بالتساوي نحو القاعدة
3) جميع الصيدليات تميل بالتساوي إلى ارتفاع الهرم
4) يميل ارتفاع الهرم بالتساوي إلى جميع الوجوه الجانبية

تعليق مدرس الرياضيات: لاحظ أن جميع النقاط لها خاصية مشتركة واحدة: بطريقة أو بأخرى ، الوجوه الجانبية متضمنة في كل مكان (الحروف الرئيسية هي عناصرها). لذلك ، قد يقدم المعلم طريقة أقل دقة ، ولكنها أكثر ملاءمة لصياغة الحفظ: تتطابق النقطة P مع مركز الدائرة المنقوشة في قاعدة الهرم ، إذا كان هناك أي معلومات متساوية حول الوجوه الجانبية. لإثبات ذلك ، يكفي إظهار أن جميع المثلثات العبرية متساوية.

تتطابق النقطة P مع مركز الدائرة الموصوفة بالقرب من قاعدة الهرم ، إذا تحقق أحد الشروط الثلاثة:
1) جميع الحواف الجانبية متساوية
2) تميل جميع الأضلاع الجانبية بالتساوي نحو القاعدة
3) جميع الأضلاع الجانبية تميل بالتساوي إلى الارتفاع