صيغة توسيع المكعب. صيغ الضرب المختصرة

محتوى الدرس

مربع مجموع تعبيرين

هناك عدد من الحالات التي يمكن فيها تبسيط كثير الحدود إلى حد كبير. هذا ، على سبيل المثال ، هو الحال (2 x+ 3ذ) 2 .

التعبير (2 x+ 3ذ) 2 هو ضرب اثنين من كثيرات الحدود ، كل منهما يساوي (2 x+ 3ذ)

(2x+ 3ذ) 2 = (2x+ 3ذ)(2x+ 3ذ)

حصلنا على ضرب كثير الحدود في كثير الحدود. دعنا ننفذها:

(2x+ 3ذ) 2 = (2x+ 3ذ)(2x+ 3ذ) = 4x 2 + 6س ص + 6س ص + 9ذ 2 = 4x 2 + 12س ص+ 9ذ 2

وهذا هو التعبير (2 x+ 3ذ) 2 يساوي 4x 2 + 12س ص + 9ذ 2

(2x+ 3ذ) 2 = 4x 2 + 12س ص+ 9ذ 2

لنحل مثالًا مشابهًا ، وهو أبسط:

(أ + ب) 2

تعبير ( أ + ب) 2 هو ضرب اثنين من كثيرات الحدود ، كل منهما يساوي ( أ + ب)

(أ + ب) 2 = (أ + ب)(أ + ب)

لنقم بهذا الضرب:

(أ + ب) 2 = (أ + ب)(أ + ب) = أ 2 + أب + أب + ب 2 = أ 2 + 2أب + ب 2

هذا هو التعبير (أ + ب) 2 يساوي أ 2 + 2أب + ب 2

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2

اتضح أن القضية ( أ + ب) 2 يمكن تمديدها لأي أو ب. حلنا المثال الأول وهو (2 x+ 3ذ) 2 يمكن حلها باستخدام الهوية (أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2 . للقيام بذلك ، تحتاج إلى استبدال المتغيرات بدلاً من المتغيرات أو بالمصطلحات المقابلة من التعبير (2 x+ 3ذ) 2. في هذه الحالة ، المتغير أمباراة ديك 2 x، والمتغير بمباراة ديك 3 ذ

أ = 2x

ب = 3ذ

وبعد ذلك يمكننا استخدام الهوية (أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2 ، ولكن بدلاً من المتغيرات أو بتحتاج إلى استبدال التعبيرات 2 xو 3 ذعلى التوالى:

(2x+ 3ذ) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 ذ + (3ذ) 2 = 4x 2 + 12س ص+ 9ذ 2

مثل المرة السابقة ، حصلنا على كثير الحدود 4x 2 + 12س ص+ 9ذ 2 . عادة ما يتم كتابة الحل بشكل أقصر ، وإجراء جميع التحولات الأولية في العقل:

(2x+ 3ذ) 2 = 4x 2 + 12س ص+ 9ذ 2

هوية (أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2 تسمى صيغة مربع مجموع تعبيرين. يمكن قراءة هذه الصيغة على النحو التالي:

مربع مجموع تعبيرين يساوي مربع التعبير الأول زائد ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

ضع في اعتبارك التعبير (2 + 3) 2. يمكن حسابها بطريقتين: إجراء الجمع بين قوسين وتربيع النتيجة ، أو استخدام صيغة مربع مجموع تعبيرين.

الطريقة الأولى:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

الطريقة الثانية:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

مثال 2. تحويل التعبير (5 أ+ 3) 2 في كثير الحدود.

لنستخدم صيغة مربع مجموع تعبيرين:

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2

(5أ + 3) 2 = (5أ) 2 + 2 × 5 أ × 3 + 3 2 = 25أ 2 + 30أ + 9

وسائل، (5أ + 3) 2 = 25أ 2 + 30أ + 9.

دعنا نحاول حل هذا المثال دون استخدام صيغة الجمع. يجب أن نحصل على نفس النتيجة:

(5أ + 3) 2 = (5أ + 3)(5أ + 3) = 25أ 2 + 15أ + 15أ + 9 = 25أ 2 + 30أ + 9

صيغة مربع مجموع تعبيرين لها معنى هندسي. نتذكر أنه لحساب مساحة المربع ، عليك رفع جانبه إلى القوة الثانية.

على سبيل المثال ، مساحة المربع مع الضلع أسوف تساوي أ 2. إذا قمت بزيادة جانب المربع بمقدار ب، فإن المساحة ستكون مساوية لـ ( أ + ب) 2

ضع في اعتبارك الشكل التالي:

تخيل أن جانب المربع الموضح في هذا الشكل قد زاد بمقدار ب. المربع به جميع الأضلاع متساوية. إذا زاد جانبه بمقدار ب، ثم ستزيد الأطراف الأخرى أيضًا بمقدار ب

والنتيجة هي مربع جديد أكبر من المربع السابق. لرؤيتها جيدًا ، دعنا نكمل الجوانب المفقودة:

لحساب مساحة هذا المربع ، يمكنك حساب المربعات والمستطيلات المضمنة فيه بشكل منفصل ، ثم إضافة النتائج.

أولًا ، يمكنك حساب مربع مع ضلع أ- مساحتها تساوي أ 2. ثم يمكنك حساب المستطيلات ذات الأضلاع أو ب- سيكونون متساوين أب. ثم يمكنك حساب مربع مع ضلع ب

والنتيجة هي مجموع المناطق التالية:

أ 2 + أب + أب + ب 2

يمكن استبدال مجموع مساحات المستطيلات المتطابقة بضرب 2 أب، وهو ما يعني حرفيا "كرر مرتين مساحة المستطيل أب" . جبريًا ، يتم الحصول على هذا عن طريق تقليل المصطلحات المتشابهة أبو أب. والنتيجة هي تعبير أ 2 + 2أب+ ب 2 ، وهو الجانب الأيمن من صيغة مربع مجموع تعبيرين:

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب+ ب 2

مربع الفرق بين تعبيرين

صيغة مربع الفرق بين تعبيرين هي كما يلي:

(أ-ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2

مربع الفرق بين تعبيرين يساوي مربع التعبير الأول ناقص ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

تُشتق صيغة مربع الفرق بين تعبيرين بنفس طريقة اشتقاق صيغة مربع مجموع تعبيرين. تعبير ( أ-ب) 2 هو حاصل ضرب اثنين من كثيرات الحدود ، كل منهما يساوي ( أ-ب)

(أ-ب) 2 = (أ-ب)(أ-ب)

إذا قمت بإجراء هذا الضرب ، فستحصل على كثير الحدود أ 2 − 2أب + ب 2

(أ-ب) 2 = (أ-ب)(أ-ب) = أ 2 − أب− أب+ ب 2 = أ 2 − 2أب + ب 2

مثال 1. تحويل التعبير (7 x- 5) 2 في كثير الحدود.

لنستخدم صيغة مربع الفرق بين تعبيرين:

(أ-ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2

(7x− 5) 2 = (7x) 2 - 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

وسائل، (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

دعنا نحاول حل هذا المثال دون استخدام صيغة مربع الفرق. يجب أن نحصل على نفس النتيجة:

(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.

صيغة مربع الفرق بين تعبيرين لها أيضًا معنى هندسي. إذا كانت مساحة المربع مع ضلع أمساوي ل أ 2 ، ثم مساحة المربع الذي يتم تقليل جانبه بمقدار ب، سوف تساوي ( أ-ب) 2

ضع في اعتبارك الشكل التالي:

تخيل أن جانب المربع الموضح في هذا الشكل قد تم تصغيره بمقدار ب. المربع به جميع الأضلاع متساوية. إذا تم تقليل جانب واحد بواسطة ب، ثم ستنخفض الأطراف الأخرى أيضًا بمقدار ب

والنتيجة هي مربع جديد أصغر من المربع السابق. يتم تمييزه باللون الأصفر في الشكل. جانبها أ− بمنذ الجانب القديم أانخفض بنسبة ب. لحساب مساحة هذا المربع ، يمكنك استخدام المساحة الأصلية للمربع أ 2 اطرح مساحات المستطيلات التي تم الحصول عليها في عملية تصغير جوانب المربع القديم. لنعرض هذه المستطيلات:

ثم نكتب التعبير التالي: المنطقة القديمة أ 2 ناقص المساحة أبمنطقة ناقص ( أ-ب)ب

أ 2 − أب − (أ-ب)ب

قم بتوسيع الأقواس في التعبير ( أ-ب)ب

أ 2 − أب - أب + ب 2

فيما يلي مصطلحات متشابهة:

أ 2 − 2أب + ب 2

والنتيجة هي تعبير أ 2 − 2أب + ب 2 ، وهو الجانب الأيمن من صيغة مربع الفرق بين تعبيرين:

(أ-ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2

تسمى الصيغ الخاصة بمربع المجموع ومربع الفرق بشكل عام صيغ الضرب المختصرة. تتيح لك هذه الصيغ تبسيط وتسريع عملية ضرب كثيرات الحدود بشكل ملحوظ.

قلنا سابقًا أنه بالنظر إلى عضو متعدد الحدود بشكل منفصل ، يجب النظر إليه جنبًا إلى جنب مع الإشارة الموجودة أمامه.

ولكن عند تطبيق صيغ الضرب المختصرة ، لا ينبغي اعتبار علامة كثير الحدود الأصلي كعلامة على هذا المصطلح نفسه.

على سبيل المثال ، بالنظر إلى التعبير (5 x − 2ذ) 2 ونريد استخدام الصيغة (أ-ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2 ، ثم بدلاً من بتحتاج إلى استبدال 2 ذ، ليس 2 ذ. هذه ميزة للعمل مع الصيغ التي لا ينبغي نسيانها.

(5x − 2ذ) 2
أ = 5x
ب = 2ذ
(5x − 2ذ) 2 = (5x) 2-2 × 5 x× 2 ذ + (2ذ) 2 = 25x 2 − 20س ص + 4ذ 2

إذا استبدلنا 2 ذ، فهذا يعني أنه تم استبدال الفرق بين قوسين من التعبير الأصلي بالمجموع:

(5x − 2ذ) 2 = (5x + (−2ذ)) 2

وفي هذه الحالة ، من الضروري تطبيق ليس معادلة مربع الاختلاف ، ولكن معادلة مربع المجموع:

(5x + (−2ذ) 2
أ = 5x
ب = −2ذ
(5x + (−2ذ)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 ذ) + (−2ذ) 2 = 25x 2 − 20س ص + 4ذ 2

قد يكون الاستثناء تعبيرات النموذج (x− (−ذ)) 2 . في هذه الحالة ، باستخدام الصيغة (أ-ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2 بدلاً من بيجب استبداله (- ذ)

(x− (−ذ)) 2 = x 2 - 2 × x× (− ذ) + (−ذ) 2 = x 2 + 2س ص + ذ 2

لكن تربيع التعبيرات من النموذج x − (−ذ) ، سيكون من الأنسب استبدال الطرح بالجمع س + ص. ثم يأخذ التعبير الأصلي الشكل ( x +ذ) 2 وسيكون من الممكن استخدام صيغة مربع المجموع وليس الفرق:

(x +ذ) 2 = x 2 + 2س ص + ذ 2

مجموع مكعب ومكعب الفرق

الصيغ الخاصة بمكعب مجموع تعبيرين ومكعب الفرق بين تعبيرين هي كما يلي:

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3أ 2 ب + 3أب 2 + ب 3

(أ-ب) 3 = أ 3 − 3أ 2 ب + 3أب 2 − ب 3

يمكن قراءة صيغة مكعب مجموع تعبيرين على النحو التالي:

مكعب مجموع تعبيرين يساوي مكعب التعبير الأول زائد ثلاثة في مربع التعبير الأول في الثاني زائد ثلاثة في حاصل ضرب التعبير الأول في مربع الثاني زائد مكعب الثاني التعبير.

ويمكن قراءة صيغة مكعب الفرق بين تعبيرين على النحو التالي:

مكعب الفرق بين تعبيرين يساوي مكعب التعبير الأول ناقص ثلاثة في حاصل ضرب مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة في حاصل ضرب التعبير الأول ومربع الثاني ناقص المكعب من التعبير الثاني.

عند حل المشكلات ، من المستحسن معرفة هذه الصيغ عن ظهر قلب. إذا كنت لا تتذكر ، فلا تقلق! يمكنك إخراجها بنفسك. نحن نعلم بالفعل كيف.

دعونا نشتق صيغة مجموع المكعب بمفردنا:

(أ + ب) 3

تعبير ( أ + ب) 3 هو حاصل ضرب ثلاث كثيرات الحدود ، كل منها يساوي ( أ+ ب)

(أ + ب) 3 = (أ+ ب)(أ+ ب)(أ+ ب)

لكن التعبير ( أ + ب) 3 يمكن أيضًا كتابتها كـ (أ+ ب)(أ+ ب) 2

(أ + ب) 3 = (أ+ ب)(أ+ ب) 2

في هذه الحالة ، فإن العامل ( أ+ ب) 2 هو مربع مجموع التعبيرين. مربع المجموع هذا يساوي التعبير أ 2 + 2أب + ب 2 .

ثم ( أ + ب) 3 يمكن كتابتها كـ (أ+ ب)(أ 2 + 2أب + ب 2) .

(أ + ب) 3 = (أ+ ب)(أ 2 + 2أب + ب 2)

وهذا هو ضرب كثير الحدود في كثير الحدود. دعنا ننفذها:

(أ + ب) 3 = (أ+ ب)(أ 2 + 2أب + ب 2) = أ 3 + 2أ 2 ب + أب 2 + أ 2 ب + 2أب 2 + ب 3 = أ 3 + 3أ 2 ب + 3أب 2 + ب 3

وبالمثل ، يمكنك اشتقاق صيغة مكعب الفرق بين تعبيرين:

(أ-ب) 3 = (أ- ب)(أ 2 − 2أب + ب 2) = أ 3 − 2أ 2 ب + أب 2 − أ 2 ب + 2أب 2 − ب 3 = أ 3 − 3أ 2 ب+ 3أب 2 − ب 3

مثال 1. تحويل التعبير ( x+ 1) 3 في كثير الحدود.

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3أ 2 ب + 3أب 2 + ب 3

(x+ 1) 3 = x 3 + 3 × x 2 × 1 + 3 × x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

دعنا نحاول حل هذا المثال دون استخدام صيغة المكعب لمجموع تعبيرين

(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

مثال 2. تحويل التعبير (6أ 2 + 3ب 3) 3 في كثير الحدود.

لنستخدم صيغة المكعب لحساب مجموع تعبيرين:

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3أ 2 ب + 3أب 2 + ب 3

(6أ 2 + 3ب 3) 3 = (6أ 2) 3 + 3 × (6 أ 2) 2 × 3 ب 3 + 3 × 6 أ 2 × (3ب 3) 2 + (3ب 3) 3 = 216أ 6 + 3 × 36 أ 4 × 3 ب 3 + 3 × 6 أ 2 × 9 ب 6 + 27ب 9

مثال 3. تحويل التعبير ( ن 2 - 3) 3 في كثير الحدود.

(أ-ب) = أ 3 − 3أ 2 ب + 3أب 2 − ب 3

(ن 2 − 3) 3 = (ن 2) 3 - 3 × ( ن 2) 2 × 3 + 3 × ن 2 × 3 2-3 3 = ن 6 − 9ن 4 + 27ن 2 − 27

مثال 4. تحويل التعبير (2x 2 − x 3) 3 في كثير الحدود.

لنستخدم صيغة المكعب لاختلاف تعبيرين:

(أ-ب) = أ 3 − 3أ 2 ب + 3أب 2 − ب 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 - 3 × (2 x 2) 2 × x 3 + 3 × 2 x 2 × ( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 - 3 × 4 x 4 × x 3 + 3 × 2 x 2 × x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

ضرب الفرق بين مقدارين في مجموعهما

توجد مسائل تتطلب ضرب الفرق بين تعبيرين في مجموعهما. فمثلا:

(أ-ب)(أ + ب)

في هذا التعبير ، الفرق بين تعبيرين أو بمضروبة في مجموع نفس التعبيرين. لنقم بهذا الضرب:

(أ-ب)(أ + ب) = أ 2 + أب − أب − ب 2 = أ 2 − ب 2

هذا هو التعبير (أ-ب)(أ + ب) يساوي أ 2 − ب 2

(أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

نلاحظ أنه عند ضرب الفرق بين مقدارين في مجموعهما ، نحصل على الفرق بين مربعي هذين المقدارين.

حاصل ضرب الفرق بين تعبيرين ومجموعهما يساوي فرق مربعي هذين التعبيرين.

يحدث (أ-ب)(أ + ب) يمكن أن تمتد إلى أي أو ب. ببساطة ، إذا كان من الضروري عند حل مشكلة ضرب الفرق بين تعبيرين في مجموعهما ، فيمكن استبدال هذا الضرب باختلاف مربعات هذين التعبيرين.

مثال 1. نفذ عملية الضرب (2x − 5)(2x + 5)

في هذا المثال ، يكون الاختلاف في التعبير هو 2 xو 5 في مجموع نفس هذه المقادير. ثم حسب الصيغة (أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2 نملك:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2

نحسب الطرف الأيمن ، نحصل على 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

دعنا نحاول حل هذا المثال دون استخدام الصيغة (أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2 . سنحصل على نفس النتيجة 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

مثال 2. نفذ عملية الضرب (4x − 5ذ)(4x + 5ذ)

(أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

(4x − 5ذ)(4x + 5ذ) = (4x) 2 − (5ذ) 2 = 16x 2 − 25ذ 2

مثال 3. نفذ عملية الضرب (2أ+ 3ب)(2أ− 3ب)

لنستخدم صيغة ضرب الفرق بين تعبيرين في مجموعهما:

(أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

(2أ + 3ب)(2أ- 3ب) = (2أ) 2 − (3ب) 2 = 4أ 2 − 9ب 2

في هذا المثال ، مجموع المصطلحات هو 2 أو 3 بيقع قبل الاختلاف بين هذه الشروط. وفي الصيغة (أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2 يقع الاختلاف في وقت سابق.

لا فرق في كيفية ترتيب العوامل ( أ-ب) في ( أ + ب) في الصيغة. يمكن كتابتها كـ (أ-ب)(أ + ب) ، و (أ + ب)(أ-ب) . ستظل النتيجة أ 2 − ب 2 ، لأن المنتج لا يتغير من التقليب للعوامل.

إذن في هذا المثال ، العوامل (2 أ + 3ب) و 2 أ- 3ب) يمكن كتابتها كـ (2أ + 3ب)(2أ- 3ب) ، و (2أ- 3ب)(2أ + 3ب) . ستظل النتيجة 4. أ 2 − 9ب 2 .

مثال 3. نفذ عملية الضرب (7 + 3x)(3x − 7)

لنستخدم صيغة ضرب الفرق بين تعبيرين في مجموعهما:

(أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

مثال 4. نفذ عملية الضرب (x 2 − ذ 3)(x 2 + ذ 3)

(أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

(x 2 − ذ 3)(x 2 + ذ 3) = (x 2) 2 − (ذ 3) 2 = x 4 − ذ 6

مثال 5. نفذ عملية الضرب (−5x− 3ذ)(5x− 3ذ)

في التعبير (−5 x− 3ذ) نحذف −1 ، ثم يأخذ التعبير الأصلي الشكل التالي:

(−5x− 3ذ)(5x− 3ذ) = −1(5x + 3ذ)(5x − 3ذ)

عمل (5x + 3ذ)(5x − 3ذ) استبدال باختلاف المربعات:

(−5x− 3ذ)(5x− 3ذ) = −1(5x + 3ذ)(5x − 3ذ) = −1((5x) 2 − (3ذ) 2)

تم وضع الفرق بين المربعات بين قوسين. إذا لم يتم ذلك ، فسيظهر أن −1 مضروبًا فقط في (5 x) 2. وهذا سيؤدي إلى حدوث خطأ وتغيير قيمة التعبير الأصلي.

(−5x− 3ذ)(5x− 3ذ) = −1(5x + 3ذ)(5x − 3ذ) = −1((5x) 2 − (3ذ) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

الآن اضرب −1 في التعبير بين قوسين واحصل على النتيجة النهائية:

(−5x− 3ذ)(5x− 3ذ) = −1(5x + 3ذ)(5x − 3ذ) = −1((5x) 2 − (3ذ) 2) =
−1(25x 2 − 9ذ 2) = −25x 2 + 9ذ 2

ضرب الفرق بين تعبيرين في المربع غير المكتمل لمجموعهما

توجد مشاكل تتطلب فيها ضرب الفرق بين تعبيرين في المربع غير المكتمل لمجموعهما. هذه القطعة تبدو كالتالي:

(أ-ب)(أ 2 + أب + ب 2)

أول كثير حدود ( أ-ب) هو الفرق بين تعبيرين ، وكثير الحدود الثاني (أ 2 + أب + ب 2) هو المربع غير الكامل لمجموع هذين التعبيرين.

المربع غير المكتمل للمجموع هو متعدد حدود النموذج أ 2 + أب + ب 2 . إنه مشابه لمربع المجموع المعتاد أ 2 + 2أب + ب 2

على سبيل المثال ، التعبير 4x 2 + 6س ص + 9ذ 2 هو مربع غير كامل لمجموع التعبيرات 2 xو 3 ذ .

في الواقع ، المصطلح الأول من التعبير 4x 2 + 6س ص + 9ذ 2 ، وهي 4 x 2 هو مربع التعبير 2 x، منذ (2 x) 2 = 4x 2. المصطلح الثالث من التعبير 4x 2 + 6س ص + 9ذ 2 ، وهي 9 ذ 2 هو مربع 3 ذ، منذ (3 ذ) 2 = 9ذ 2. منتصف ديك 6 س ص، هو نتاج التعبيرات 2 xو 3 ذ.

لذلك دعونا نضرب الفرق ( أ-ب) بمربع غير مكتمل من المجموع أ 2 + أب + ب 2

(أ-ب)(أ 2 + أب + ب 2) = أ(أ 2 + أب + ب 2) − ب(أ 2 + أب + ب 2) =
أ 3 + أ 2 ب + أب 2 − أ 2 ب − أب 2 − ب 3 = أ 3 − ب 3

هذا هو التعبير (أ-ب)(أ 2 + أب + ب 2) يساوي أ 3 − ب 3

(أ-ب)(أ 2 + أب + ب 2) = أ 3 − ب 3

تسمى هذه المطابقة بصيغة ضرب الفرق بين تعبيرين في المربع غير المكتمل لمجموعهما. يمكن قراءة هذه الصيغة على النحو التالي:

حاصل ضرب الفرق بين تعبيرين والمربع غير المكتمل لمجموعهما يساوي الفرق بين مكعبات هذين التعبيرين.

مثال 1. نفذ عملية الضرب (2x − 3ذ)(4x 2 + 6س ص + 9ذ 2)

أول كثير الحدود (2 x − 3ذ) هو الفرق بين تعبيرين 2 xو 3 ذ. كثير الحدود الثاني 4x 2 + 6س ص + 9ذ 2 هو المربع غير الكامل لمجموع تعبيرين 2 xو 3 ذ. هذا يسمح لنا باستخدام الصيغة دون إجراء حسابات مطولة (أ-ب)(أ 2 + أب + ب 2) = أ 3 − ب 3 . في حالتنا ، الضرب (2x − 3ذ)(4x 2 + 6س ص + 9ذ 2) يمكن استبداله باختلاف المكعبات 2 xو 3 ذ

(2x − 3ذ)(4x 2 + 6س ص + 9ذ 2) = (2x) 3 − (3ذ) 3 = 8x 3 − 27ذ 3

(أ-ب)(أ 2 + أب+ ب 2) = أ 3 − ب 3 . نحصل على نفس النتيجة ولكن الحل يصبح أطول:

(2x − 3ذ)(4x 2 + 6س ص + 9ذ 2) = 2x(4x 2 + 6س ص + 9ذ 2) − 3ذ(4x 2 + 6س ص + 9ذ 2) =
8× 3 + 12x 2 ذ + 18س ص 2 − 12x 2 ذ − 18س ص 2 − 27ذ 3 = 8x 3 − 27ذ 3

مثال 2. نفذ عملية الضرب (3 − x)(9 + 3x + x 2)

كثير الحدود الأول (3 - x) هو الفرق بين التعبيرين ، وكثير الحدود الثاني هو المربع غير الكامل لمجموع هذين التعبيرين. هذا يسمح لنا باستخدام الصيغة (أ-ب)(أ 2 + أب + ب 2) = أ 3 − ب 3

(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

ضرب مجموع تعبيرين في المربع غير المكتمل للاختلاف بينهما

توجد مسائل تتطلب ضرب مجموع تعبيرين في المربع غير المكتمل للاختلاف بينهما. هذه القطعة تبدو كالتالي:

(أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2)

أول كثير حدود ( أ + ب (أ 2 − أب + ب 2) هو مربع غير مكتمل للاختلاف بين هذين التعبيرين.

المربع غير المكتمل للاختلاف هو متعدد حدود النموذج أ 2 − أب + ب 2 . إنه مشابه للفرق التربيعي المعتاد أ 2 − 2أب + ب 2 إلا أنه لا يتضاعف فيه ناتج التعبيرين الأول والثاني.

على سبيل المثال ، التعبير 4x 2 − 6س ص + 9ذ 2 هو مربع غير مكتمل لاختلاف التعبيرات 2 xو 3 ذ.

(2x) 2 − 2x× 3 ذ + (3ذ) 2 = 4x 2 − 6س ص + 9ذ 2

دعنا نعود إلى المثال الأصلي. دعونا نضرب المجموع أ + ببالمربع غير المكتمل للفرق أ 2 − أب + ب 2

(أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2) = أ(أ 2 - أب + ب 2) + ب(أ 2 − أب + ب 2) =
أ 3 − أ 2 ب + أب 2 + أ 2 ب − أب 2 + ب 3 = أ 3 + ب 3

هذا هو التعبير (أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2) يساوي أ 3 + ب 3

(أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2) = أ 3 + ب 3

تسمى هذه الهوية بصيغة ضرب مجموع تعبيرين في المربع غير المكتمل للاختلاف بينهما. يمكن قراءة هذه الصيغة على النحو التالي:

حاصل ضرب مجموع تعبيرين والمربع غير المكتمل لاختلافهما يساوي مجموع مكعبات هذين التعبيرين.

مثال 1. نفذ عملية الضرب (2x + 3ذ)(4x 2 − 6س ص + 9ذ 2)

أول كثير الحدود (2 x + 3ذ) هو مجموع تعبيرين 2 xو 3 ذ، وكثير الحدود الثاني 4x 2 − 6س ص + 9ذ 2 هو المربع غير المكتمل لاختلاف هذه التعبيرات. هذا يسمح لنا باستخدام الصيغة دون إجراء حسابات مطولة (أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2) = أ 3 + ب 3 . في حالتنا ، الضرب (2x + 3ذ)(4x 2 − 6س ص + 9ذ 2) يمكن استبداله بمجموع المكعبات 2 xو 3 ذ

(2x + 3ذ)(4x 2 − 6س ص + 9ذ 2) = (2x) 3 + (3ذ) 3 = 8x 3 + 27ذ 3

دعنا نحاول حل نفس المثال دون استخدام الصيغة (أ + ب)(أ 2 − أب+ ب 2) = أ 3 + ب 3 . نحصل على نفس النتيجة ولكن الحل يصبح أطول:

(2x + 3ذ)(4x 2 − 6س ص + 9ذ 2) = 2x(4x 2 − 6س ص + 9ذ 2) + 3ذ(4x 2 − 6س ص + 9ذ 2) =
8x 3 − 12x 2 ذ + 18س ص 2 + 12x 2 ذ − 18س ص 2 + 27ذ 3 = 8x 3 + 27ذ 3

مثال 2. نفذ عملية الضرب (2x+ ذ)(4x 2 − 2س ص + ذ 2)

أول كثير الحدود (2 x+ ذ) هو مجموع تعبيرين ، وكثير الحدود الثاني (4x 2 − 2س ص + ذ 2) هو مربع غير مكتمل لاختلاف هذه التعبيرات. هذا يسمح لنا باستخدام الصيغة (أ + ب)(أ 2 − أب+ ب 2) = أ 3 + ب 3

(2x+ ذ)(4x 2 − 2س ص + ذ 2) = (2x) 3 + ذ 3 = 8x 3 + ذ 3

(2x+ ذ)(4x 2 − 2س ص + ذ 2) = 2x(4x 2 − 2س ص + ذ 2) + ذ(4x 2 − 2س ص + ذ 2) =
8x 3 − 4x 2 ذ + 2س ص 2 + 4x 2 ذ − 2س ص 2 + ذ 3 = 8x 3 + ذ 3

مهام الحل المستقل

هل أعجبك الدرس؟
انضم إلى مجموعة فكونتاكتي الجديدة وابدأ في تلقي إشعارات بالدروس الجديدة

في هذا الدرس ، سوف نتعرف على صيغ مربع المجموع ومربع الفرق ونشتقها. دعونا نثبت صيغة مربع المجموع هندسيًا. بالإضافة إلى ذلك ، سنقوم بحل العديد من الأمثلة المختلفة باستخدام هذه الصيغ.

ضع في اعتبارك صيغة مربع المجموع:

لذلك ، قمنا باشتقاق صيغة مربع المجموع:

شفهيًا ، يتم التعبير عن هذه الصيغة على النحو التالي: مربع المجموع يساوي مربع الرقم الأول زائد ضعف حاصل ضرب الرقم الأول بالثاني زائد مربع الرقم الثاني.

هذه الصيغة سهلة التمثيل هندسيًا.

ضع في اعتبارك مربعًا به جانب:

منطقة مربعة.

من ناحية أخرى ، يمكن تمثيل نفس المربع بشكل مختلف بتقسيم الضلع إلى a و b (الشكل 1).

أرز. 1. مربع

ثم يمكن تمثيل مساحة المربع كمجموع المناطق:

نظرًا لأن المربعات كانت متشابهة ، فإن مساحتها متساوية ، مما يعني:

لذلك ، أثبتنا صيغة مربع المجموع هندسيًا.

خذ بعين الاعتبار الأمثلة:

تعليق:تم حل المثال باستخدام صيغة المجموع التربيعي.

نشتق صيغة مربع الفرق:

لذلك ، قمنا باشتقاق صيغة مربع الفرق:

شفهيًا ، يتم التعبير عن هذه الصيغة على النحو التالي: مربع الفرق يساوي مربع الرقم الأول مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب الرقم الأول بالثاني زائد مربع الرقم الثاني.

خذ بعين الاعتبار الأمثلة:

يمكن أن تعمل معادلات مربع المجموع ومربع الفرق من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار. عند استخدامها من اليسار إلى اليمين ، سيتم اختصار هذه الصيغ الضرب ، يتم استخدامها عند حساب وتحويل الأمثلة. وعند استخدامها من اليمين إلى اليسار - صيغ العوامل.

ضع في اعتبارك الأمثلة التي تحتاج فيها إلى تحليل كثير الحدود عن طريق تطبيق الصيغ لمربع المجموع ومربع الفرق. للقيام بذلك ، يجب أن تنظر بعناية شديدة في كثير الحدود وتحدد بالضبط كيفية توسيعها بشكل صحيح.

تعليق:من أجل تحليل كثير الحدود إلى عوامل ، تحتاج إلى تحديد ما يتم تمثيله في هذا التعبير. لذلك نرى مربع ومربع الوحدة. الآن علينا إيجاد حاصل الضرب المزدوج - هذا هو. لذا ، كل العناصر الضرورية موجودة ، ما عليك سوى تحديد ما إذا كان هذا هو مربع المجموع أم الفرق. قبل حاصل الضرب المضاعف ، توجد علامة زائد ، مما يعني أن لدينا مربع المجموع.

صيغ الضرب المختصرة.

دراسة معادلات الضرب المختصر: مربع المجموع ومربع الفرق بين تعبيرين ؛ فرق المربعات من تعبيرين ؛ مكعب المجموع ومكعب الفرق بين تعبيرين ؛ المجاميع والاختلافات في مكعبات تعبيرين.

تطبيق معادلات الضرب المختصرة عند حل الأمثلة.

لتبسيط التعبيرات ، وتحويل متعدد الحدود إلى عوامل ، وتقليل كثيرات الحدود إلى شكل قياسي ، يتم استخدام صيغ الضرب المختصرة. صيغ الضرب المختصرة التي تحتاج إلى معرفتها عن ظهر قلب.

دع أ ، ب ر. ثم:

1. مربع مجموع تعبيرين هومربع التعبير الأول زائد ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2 أب + ب 2

2. مربع الفرق بين تعبيرين هومربع التعبير الأول ناقص ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

(أ - ب) 2 = أ 2 - 2 أب + ب 2

3. فرق المربعاتتعبيرين يساوي حاصل ضرب فرق هذين التعبيرين ومجموعهما.

أ 2 - ب 2 \ u003d (أ - ب) (أ + ب)

4. مكعبمن تعبيرين يساوي مكعب التعبير الأول زائد ثلاثة في مربع التعبير الأول في الثاني زائد ثلاثة في حاصل ضرب التعبير الأول في مربع الثاني زائد مكعب التعبير الثاني.

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 + ب 3

5. مكعب الفرقمن تعبيرين يساوي مكعب التعبير الأول ناقص ثلاثة في حاصل ضرب مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة في حاصل ضرب التعبير الأول ومربع الثاني ناقص مكعب التعبير الثاني.

(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أب 2 - ب 3

6. مجموع المكعباتتعبيرين يساوي حاصل ضرب مجموع التعبيرين الأول والثاني بالمربع غير المكتمل للاختلاف بين هذين التعبيرين.

أ 3 + ب 3 \ u003d (أ + ب) (أ 2 - أب + ب 2)

7. فرق المكعباتمن تعبيرين يساوي حاصل ضرب الفرق بين التعبيرين الأول والثاني بالمربع غير المكتمل لمجموع هذين التعبيرين.

أ 3 - ب 3 \ u003d (أ - ب) (أ 2 + أب + ب 2)

تطبيق معادلات الضرب المختصرة عند حل الأمثلة.

مثال 1

احسب

أ) باستخدام صيغة مربع مجموع تعبيرين ، لدينا

(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ب) باستخدام صيغة الاختلاف التربيعي لمقدارين نحصل عليه

98 2 \ u003d (100-2) 2 \ u003d 100 2 - 2100 2 + 2 2 \ u003d 10000-400 + 4 \ u003d 9604

مثال 2

احسب

باستخدام صيغة الفرق بين مربعي مقدارين ، نحصل عليها

مثال 3

تبسيط التعبير

(س - ص) 2 + (س + ص) 2

نستخدم الصيغ لمربع المجموع ومربع الفرق بين تعبيرين

(x - y) 2 + (x + y) 2 \ u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \ u003d 2x 2 + 2y 2

صيغ الضرب المختصرة في جدول واحد:

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2 أب + ب 2
(أ - ب) 2 = أ 2 - 2 أب + ب 2
أ 2 - ب 2 = (أ - ب) (أ + ب)
(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 + ب 3
(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أب 2 - ب 3
أ 3 + ب 3 \ u003d (أ + ب) (أ 2 - أب + ب 2)
أ 3 - ب 3 \ u003d (أ - ب) (أ 2 + أب + ب 2)

ستكون هناك أيضًا مهام لحل مستقل ، يمكنك رؤية الإجابات عليها.

تسمح لك صيغ الضرب المختصرة بإجراء تحويلات متطابقة للتعبيرات - كثيرات الحدود. بمساعدتهم ، يمكن تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل ، وباستخدام الصيغ بترتيب عكسي ، يمكن تمثيل منتجات ذات الحدين والمربعات والمكعبات على أنها متعددة الحدود. لنأخذ في الاعتبار جميع الصيغ المقبولة عمومًا للضرب المختصر واشتقاقها والمهام الشائعة للتحولات المتطابقة للتعبيرات باستخدام هذه الصيغ ، بالإضافة إلى مهام الواجبات المنزلية (يتم فتح الإجابات عليها بواسطة الروابط).

مجموع مربع

صيغة مربع المجموع هي المساواة

(مربع مجموع عددين يساوي مربع الرقم الأول زائد ضعف حاصل ضرب الرقم الأول والثاني زائد مربع الرقم الثاني).

بدلاً من أو بيمكن استبدال أي رقم في هذه الصيغة.

غالبًا ما تُستخدم صيغة المجموع التربيعي لتبسيط العمليات الحسابية. فمثلا،

باستخدام صيغة المجموع التربيعي ، يمكن تحليل كثير الحدود ، أي تمثيلها كمنتج لعاملين متطابقين.

مثال 1

مثال 2اكتب كتعبير متعدد الحدود

المحلول. بصيغة مربع المجموع ، نحصل على

مربع الاختلاف

صيغة مربع الاختلاف هي المساواة

(مربع الفرق بين عددين يساوي مربع الرقم الأول مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب الرقم الأول والثاني زائد مربع الرقم الثاني).

غالبًا ما تُستخدم صيغة الفرق التربيعية لتبسيط العمليات الحسابية. فمثلا،

باستخدام صيغة مربع الفرق ، يمكن تحليل كثير الحدود ، أي تمثيلها على أنها حاصل ضرب عاملين متطابقين.

تتبع الصيغة من قاعدة ضرب كثير الحدود في كثير الحدود:

مثال 5اكتب كتعبير متعدد الحدود

المحلول. بصيغة مربع الفرق نحصل عليها

قم بتطبيق صيغة الضرب المختصرة بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

اختيار مربع كامل

غالبًا ما تحتوي كثير الحدود من الدرجة الثانية على مربع المجموع أو الفرق ، ولكنها مضمنة في شكل مخفي. للحصول على المربع الكامل بشكل صريح ، تحتاج إلى تحويل كثير الحدود. للقيام بذلك ، كقاعدة عامة ، يتم تمثيل أحد مصطلحات كثير الحدود على أنه حاصل ضرب مزدوج ، ثم يتم إضافة نفس الرقم وطرحه من كثير الحدود.

مثال 7

المحلول. يمكن تحويل كثير الحدود هذا على النحو التالي:

هنا قدمنا 5 xفي شكل منتج مزدوج 5/2 بواسطة x، يضاف إلى كثير الحدود ويطرح منه نفس الرقم ، ثم يطبق صيغة مجموع التربيع على ذات الحدين.

لذلك أثبتنا المساواة

يساوي مربعًا كاملاً بالإضافة إلى الرقم.

المثال 8اعتبر كثير الحدود من الدرجة الثانية

المحلول. دعنا نجري التحولات التالية عليها:

هنا قدمنا 8 xفي شكل منتج مزدوج xفي 4 ، يضاف إلى كثير الحدود ويطرح منه نفس الرقم 4² ، يطبق معادلة مربع الفرق على ذات الحدين x − 4 .

لذلك أثبتنا المساواة

تبين أن كثير الحدود من الدرجة الثانية

يساوي مربعًا كاملاً بالإضافة إلى العدد −16.

قم بتطبيق صيغة الضرب المختصرة بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مكعب

صيغة مجموع المكعب هي المساواة

(مكعب مجموع عددين يساوي مكعب الرقم الأول زائد ثلاثة أضعاف مربع الرقم الأول مضروبًا في الثاني ، زائد ثلاثة أضعاف حاصل ضرب الرقم الأول في مربع الثاني ، بالإضافة إلى المكعب من الرقم الثاني).

يتم اشتقاق صيغة مجموع المكعب على النحو التالي:

المثال 10اكتب كتعبير متعدد الحدود

المحلول. وفقًا لصيغة مجموع المكعب ، نحصل على

قم بتطبيق صيغة الضرب المختصرة بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مكعب الفرق

صيغة مكعب الفرق هي المساواة

(مكعب الفرق بين عددين يساوي مكعب الرقم الأول ناقص ثلاثة أضعاف مربع الرقم الأول والثاني ، زائد ثلاثة أضعاف حاصل ضرب الرقم الأول ومربع الثاني ناقص مكعب الرقم الثاني).

بمساعدة صيغة مجموع المكعب ، يمكن أن تتحلل كثير الحدود إلى عوامل ، أي يمكن تمثيلها كمنتج لثلاثة عوامل متطابقة.

يتم اشتقاق صيغة مكعب الفرق على النحو التالي: