في هذا الدرس، سننظر إلى أوجه عدم المساواة المختلفة وتعلمها أن تقرر، بناء على طريقة حل أوجه عدم المساواة في مظاهرة أبسط
1. تعريف وخصائص الوظيفة الإرشادية
أذكر التعريف والخصائص الأساسية للوظيفة الإرشادية. إنه على الخصائص التي يستندها حل جميع المعادلات والتفاوضات الإرشادية.
وظيفة الأسي - هذه هي وظيفة النموذج حيث يكون أساس الشهادة وهنا X متغير مستقل، والحجة؛ Y - متغير التابع، وظيفة.
تين. 1. جدولة وظيفة الإرشاد
يظهر الرسم البياني زيادة وتناقص العارضين الذين يوضحون وظيفة إرشادية على أساس وحدة أكبر وحدة أصغر، ولكن صفر كبير على التوالي.
كلا المنحنيات تمر عبر النقطة (0؛ 1)
خصائص الوظيفة الإرشادية:
اختصاص: ؛
مجال القيمة:
وظيفة مونوتون، مع زيادة، مع انخفاض.
تأخذ ميزة رتابة كل من قيمة خاصة بها بالقيمة الوحيدة للحجة.
عندما تزيد الحجة من ناقص بالإضافة إلى اللانهاية، تزداد الوظيفة من الصفر غير الحكومات بالإضافة إلى اللانهاية، أي، مع هذه القيم الحجة، لدينا وظيفة متزايدة رتابة (). مع عكس ذلك، عندما تزداد الحجة من ناقص إلى ما لا نهاية، فإن الوظيفة تنخفض من اللانهاية إلى الصفر ليست شاملة، أي، مع هذه القيم من الحجة، لدينا وظيفة متناققة رتابة ().
2. أبسط عدم المساواة المظاهرة، تقنية القرار، مثال
بناء على ما تقدم، نعطي طريقة حل أبسط أوجه عدم المساواة المظاهرة:
طرق حلول عدم المساواة:
معادلة قواعد الدرجات؛
مقارنة المؤشرات أو توفير أو تغيير العلامة المعاكسة لعدم المساواة.
إن حل أوجه عدم المساواة المظاهرة المعقدة هو، كقاعدة عامة، في معلوماتها بأبسط أوجه عدم المساواة الإرشادية.
مؤسسة درجة أكبر من الوحدة، وهذا يعني أن علامة عدم المساواة يتم الحفاظ عليها:
نحن نتحمل الجانب الأيمن وفقا لخصائص درجة:
أساس الدرجة أقل من الوحدة، يجب تغيير علامة عدم المساواة إلى العكس:
لحل عدم المساواة المربعة، يتم حل المعادلة المربعة المقابلة:
في نظرية Vieta، ابحث عن جذور:
يتم توجيه فروع Parabola.
وبالتالي، لدينا حل عدم المساواة:
من السهل تخمين أن الجزء الأيمن يمكن تمثيله كدرجة مع مؤشر صفر:
مؤسسة الدرجة أكثر موحدة، لا تتغير علامة عدم المساواة، نحصل على:
أذكر طريقة حل مثل هذه التفاوتات.
نحن نعتبر وظيفة عقلانية كسور:
العثور على مجال التعريف:
نجد جذور الوظيفة:
الوظيفة لها الجذر الوحيد، 
حدد فترات المحاذاة وتحديد علامات الوظيفة في كل فترة فاصلة:
تين. 2. علامة الفواصل الزمنية
وهكذا، تلقوا الجواب.
إجابه: 
3. محلول عدم المساواة الإرشادية النموذجية
النظر في عدم المساواة مع نفس المؤشرات، ولكن القواعد المختلفة.
واحدة من خصائص الوظيفة الإرشادية - تتخذ قيم إيجابية صارمة مع أي قيم للحجة، وهذا يعني أنه يمكن تقسيم وظيفة إرشادية. أداء تقسيم عدم المساواة المعطاة إلى الجزء الأيمن منه:
مؤسسة الدرجة أكثر موحدة، يتم الحفاظ على علامة عدم المساواة.
نوضح الحل:
الشكل 6.3 يوضح الرسوم البيانية للوظائف و. من الواضح، عندما تكون الوسيطة أكبر من الصفر، يوجد الرسم البياني الوظيفة أعلاه، هذه الميزة أكبر. عندما تكون قيم الحجة سلبية، تنتقل الوظيفة أدناه، فهي أقل. قيمة وسيطة الوظيفة متساوية، وهذا يعني أن هذه النقطة هي أيضا حلا لعدم المساواة المحدد.
تين. 3. التوضيح على سبيل المثال 4
نقوم بتحويل عدم المساواة المحددة مسبقا وفقا لخصائص درجة:
نعطي أعضاء مماثلة:
نحن تقسيم كلا الجزأين في:
الآن نواصل حلها حقا على سبيل المثال 4، نقسم كلا الجزأين في:
مؤسسة الدرجة أكثر موحدة، يتم الحفاظ على علامة عدم المساواة:
4. الحل الرسم من عدم المساواة الإرشادية
مثال 6 - حل عدم المساواة بيانيا:
النظر في الوظائف في الجزء الأيسر والأيمن وبناء جدول زمني لكل منهم.
الوظيفة هي العارضين، ويزيد طوال منطقة تعريفها، أي، مع جميع القيم الصحيحة للحجة.
الوظيفة خطية، تنخفض طوال منطقة تعريفها، أي، مع كل القيم الصحيحة للحجة.
إذا تتقاطع هذه الوظائف، أي أن النظام لديه حل، فإن مثل هذا الحل هو الوحيد ومن السهل تخمينه. للقيام بذلك، انتقل من خلال الأعداد الصحيحة ()
من السهل أن نرى أن جذر هذا النظام هو:
وبالتالي، تتقاطع الرسوم البيانية للوظائف عند نقطة مع حجة تساوي واحدة.
الآن تحتاج إلى الحصول على الجواب. معنى عدم المساواة المحدد هو أن العارضين يجب أن يكون أكبر من أو يساوي الوظيفة الخطية، وهذا هو، أن تكون أعلى أو تزامن معها. إجابة واضحة: (الشكل 6.4)
تين. 4. التوضيح على سبيل المثال 6
لذلك، نظرنا في حل أوجه عدم المساواة الإرشادية النموذجية المختلفة. بعد ذلك، ننتقل إلى النظر في عدم المساواة في مظاهرة أكثر تعقيدا.
فهرس
Mordkovich A. G. Algebra وبدأ التحليل الرياضي. - م.: Mnemozin. Muravin G. K.، مرافينا O. V. Algebra وبدأ التحليل الرياضي. - م.: إسقاط. Kolmogorov A.N.، Abramov A. M.، Dudnitsyn Yu. P. وغيرها. الجبر وبدأ التحليل الرياضي. - م.: التنوير.
الرياضيات. MD. التكرار الرياضيات. كوم. diffur. كيمسو. رو.
الواجب المنزلي
1. الجبر وبدء التحليل، 10-11 فئة (A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu. P. Dudnitsyn) 1990، رقم 472، 473؛
2. حل عدم المساواة:
3. حل عدم المساواة.
تعتبر المعادلات والإشادات الإرشادية هذه المعادلات وعدم المساواة التي يتم فيها الوارد المعدني في مؤشر الدرجة.
غالبا ما يتم تخفيض حل المعادلات الإرشادية لحل المعادلة A X \u003d A B، حيث A\u003e 0، و ≠ 1، X - غير معروف. تحتوي هذه المعادلة على الجذر الوحيد X \u003d B، لأن النظرية التالية صحيح:
نظرية. إذا a\u003e 0، a ≠ 1 و x 1 \u003d × 2، ثم × 1 \u003d x 2.
تبرير الموافقة التي تعتبرها.
لنفترض أن المساواة X 1 \u003d × 2 غير مؤجلة، أي X 1.< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а > 1، ثم الوظيفة الإرشادية Y \u003d زيادة X، وبالتالي ينبغي إجراء عدم المساواة و X 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 > و × 2. في كلتا الحالتين، حصلنا على حالة تناقض × 1 \u003d × 2.
النظر في العديد من المهام.
حل المعادلة 4 ∙ 2 × \u003d 1.
قرار.
نحن نكتب المعادلة في النموذج 2 2 ∙ 2 × \u003d 2 0 - 2 X + 2 \u003d 2 0، من حيث نحصل على X + 2 \u003d 0، I.E. X \u003d -2.
إجابه. X \u003d -2.
حل المعادلة 2 3x ∙ 3 × \u003d 576.
قرار.
منذ 2 3 × \u003d (2 3) x \u003d 8 ×، 576 \u003d 24 2، يمكن كتابة المعادلة على أنها 8 × 3 ∙ 3 ∙ \u003d 24 2 أو في شكل 24 x \u003d 24 2.
من هنا نحصل على x \u003d 2.
إجابه. x \u003d 2.
حل المعادلة 3 X + 1 - 2 ∙ 3 \u200b\u200b× - 2 \u003d 25.
قرار.
في الجانب الأيسر من الأقواس، مضاعف إجمالي 3 × - 2، نحصل على 3 × - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 × - 2 ∙ 25 \u003d 25،
حيث 3 × - 2 \u003d 1، أي X - 2 \u003d 0، x \u003d 2.
إجابه. x \u003d 2.
حل المعادلة 3 × \u003d 7 ×.
قرار.
منذ 7 × ≠ 0، يمكن كتابة المعادلة في شكل 3 × / 7 × \u003d 1، من حيث (3/7) x \u003d 1، x \u003d 0.
إجابه. س \u003d 0.
حل المعادلة 9 × - 4 ∙ 3 × - 45 \u003d 0.
قرار.
استبدال 3 × \u003d يتم تقليل هذه المعادلة إلى معادلة مربع A 2 - 4A - 45 \u003d 0.
حل هذه المعادلة، نجد جذوره: 1 \u003d 9، و 2 \u003d -5، من حيث 3 × \u003d 9، 3 × \u003d -5.
المعادلة 3 × \u003d 9 لديها جذر 2، والمعادلة 3 × \u003d -5 ليس لديها جذور، لأن الوظيفة الإرشادية لا يمكن أن تأخذ قيم سلبية.
إجابه. x \u003d 2.
غالبا ما يتم تخفيض حل التفاوتات الإرشادية لحل عدم المساواة A X\u003e a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
النظر في بعض المهام.
حل عدم المساواة 3 ×< 81.
قرار.
نحن نكتب عدم المساواة في شكل 3 ×< 3 4 . Так как 3 > 1، ثم وظيفة Y \u003d 3 X تتزايد.
وبالتالي، في X< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
وهكذا، في X< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 ×< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
إجابه. حاء< 4.
حل عدم المساواة 16 × +4 X - 2\u003e 0.
قرار.
تشير إلى 4 × \u003d T، ثم نحصل على عدم المساواة مربع T2 + T - 2\u003e 0.
يتم تنفيذ هذا عدم المساواة في ر< -2 и при t > 1.
منذ t \u003d 4 ×، نحصل على تفوقتي 4 ×< -2, 4 х > 1.
عدم المساواة الأولى ليست حلولا، منذ 4 ×\u003e 0 لجميع X € R.
يتم تسجيل عدم المساواة الثانية في شكل 4 ×\u003e 4 0، حيث x\u003e 0.
إجابه. X\u003e 0.
حل المعادلة بيانيا (1/3) x \u003d x - 2/3.
قرار.
1) نحن نبني الرسوم البيانية للوظائف y \u003d (1/3) x و y \u003d x - 2/3.
2) الاعتماد على رسمنا، يمكن أن نستنتج أن رسوم الرسوم البيانية للوظائف المدرجة تتقاطع عند النقطة مع ABSCASSA X ≈ 1. تحقق من ذلك
x \u003d 1 - جذر هذه المعادلة:
(1/3) 1 \u003d 1/3 و 1 - 2/3 \u003d 1/3.
بمعنى آخر، وجدنا واحدة من جذور المعادلة. 
3) نجد جذور أخرى أو إثبات أنه لا يوجد مثل هذا. وظيفة (1/3) X انخفاض، والوظيفة Y \u003d X - 2/3 متزايدة. لذلك، في X\u003e 1، تكون قيم الوظيفة الأولى أقل من 1/3، والثاني أكبر من 1/3؛ في x.< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 و H.< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
إجابه. س \u003d 1.
لاحظ أنه من حل هذه المشكلة، على وجه الخصوص، يتبع أن عدم المساواة (1/3) x\u003e x - 2/3 يتم تنفيذها في X< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
مطلوب الموقع، مع نسخ كامل أو جزئي من الإشارة المادية إلى المصدر الأصلي.
يعتقد الكثيرون أن أوجه عدم المساواة المظاهرة شيء مثل هذا المعقد وغير مفهوم. وماذا نتعلمهم أن يقرروا - فنون رائعة تقريبا، والتي يمكن أن تكون قادرة فقط على فهم ...
المؤخرة الكاملة! عدم المساواة الإرشادية سهلة. ويتم حلها دائما ببساطة. حسنا، دائما تقريبا. :)
اليوم سنقوم بتحليل هذا الموضوع على طول وعبر. سيكون هذا الدرس مفيدا للغاية لأولئك الذين يبدأون للتو في فهم هذا القسم من الرياضيات في المدرسة. دعنا نبدأ بمهام بسيطة وسننتقل إلى مشاكل أكثر تعقيدا. لن يكون هناك قصدير اليوم، ولكن ما ستقرره الآن سيكون كافيا لحل معظم عدم المساواة في أي سيطرة وعمل مستقل. وعلى هذا الامتحان الخاص بك أيضا.
كما هو الحال دائما، لنبدأ بالتعريف. عدم المساواة الإرشادية هي أي عدم المساواة التي تحتوي على وظيفة إرشادية. بمعنى آخر، يمكن دائما تقليل عدم المساواة في الأنواع
\\ [((أ) ^ (x)) \\ gt b \\]
حيث قد يكون دور $ B $ رقم شائع، وربما شيء آخر. أمثلة؟ نعم من فضلك:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((2) ^ (x)) \\ gt 4؛ \\ quad ((2) ^ (x - 1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2))؛ \\ رباعية ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ Lt 16؛ \\\\ & ((0.1) ^ (1-x)) \\ Lt 0.01؛ \\ رباعية ((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((4) ^ (\\ frac (4) ( س))). \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
أعتقد أن المعنى واضح: هناك وظيفة إرشادية $ ((A) ^ (x)) $، مقارنة بشيء، ثم طلب من العثور على $ X $. في الحالات السريرية بشكل خاص، بدلا من متغير X $ X $، بعض الوظائف $ f \\ left (x \\ right) $ وبالتالي أصبحت عدم المساواة قليلا. :)
بالطبع، في بعض الحالات، قد تبدو عدم المساواة أكثر حدة. على سبيل المثال:
\\ [((9) ^ (x)) + 8 \\ gt ((3) ^ (x + 2)) \\]
أو حتى هنا:
بشكل عام، قد يكون تعقيد مثل هذه التفاوتات الأكثر اختلافا، ولكن في النهاية لا يزال يتقلص إلى تصميم بسيط من $ ((A) ^ (x)) \\ GT B $. ومع هذا التصميم، نفهم بطريقة أو بأخرى (على وجه الخصوص الحالات السريرية، عندما يتبادر إلى الذهن، سوف تساعدنا اللوغاريتمي في). لذلك، سنذكر الآن مثل هذه التصاميم البسيطة.
حل أبسط أوجه عدم المساواة المظاهرة
النظر في أي شيء بسيط جدا. على سبيل المثال، هذا هو:
\\ [((2) ^ (x)) \\ GT 4 \\]
من الواضح أنه يمكن إعادة كتابة عدد الحق في شكل درجة من اثنين: 4 دولارات \u003d ((2) ^ (2)) $. وبالتالي، فإن عدم المساواة الأولية سوف تعيد كتابة نموذج مريح للغاية:
\\ [((2) ^ (x)) \\ gt ((2) ^ (2)) \\]
والآن ستكون الأيدي تخدش "عبور" TWOS يقف في أسباب الدرجات من أجل الحصول على إجابة $ X \\ GT $ 2. ولكن قبل أن يغشون هناك، دعنا نتذكر الدرجات:
\\ [((2) ^ (1)) \u003d 2؛ \\ رباعية (((2) ^ (2)) \u003d 4؛ \\ رباعية ((2) ^ (3)) \u003d 8؛ \\ رباعية ((2) ^ (4)) \u003d 16؛ ... \\]
كما نرى، فإن العدد الأكبر موجود في مؤشر للمدى، كلما زاد عدد المخرج. "شكرا، قبعة!" - هزم شخص من التلاميذ. هل هو مختلف؟ لسوء الحظ، يحدث ذلك. على سبيل المثال:
\\ [((\\ {left (\\ frac (1) (2) \\ right)) ^ (1)) \u003d \\ frac (1) (2)؛ \\ quad ((\\ left (\\ frac (1) \\ اليمين)) ^ (2)) \u003d \\ frac (1) (4)؛ \\ quad ((\\ left (\\ frac (\\ frac (1) \\ right)) ^ (3)) \u003d \\ frac (1) (8) (8) (8) )؛ ... \\]
هنا أيضا، كل شيء منطقي: كلما زاد عدد أكبر عدد، يضاعف الرقم 0.5 في حد ذاته (أي، فهي مقسمة إلى النصف). وبالتالي، فإن التسلسل الناتج من الأرقام ينخفض، والفرق بين التسلسل الأول والثاني يتكون فقط في القاعدة:
- إذا كانت قاعدة درجة $ $ \\ GT $ 1، ثم كما ينمو المؤشر رقم $ N $ $ ((a) ^ (n)) $ أيضا ينمو أيضا؛
- وعلى العكس من ذلك، إذا كانت $ 0 \\ Lt A \\ Lt $ 1 دولار، حيث ينمو المؤشر رقم $ N $ رقم $ ((A) ^ (n)) $.
تلخيص هذه الحقائق، نحصل على أهم البيان الذي يتم فيه تأسيس كل محلول التفاوتات الإرشادية:
إذا $ $ $ $ 1، فإن عدم المساواة $ ((a) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $ يعادل عدم المساواة من $ x \\ gt n $. إذا كان 0 $ 0 \\ Lt A \\ Lt 1 $، فإن عدم المساواة هو $ ((A) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $ تعادل عدم المساواة في x \\ lt n $.
بمعنى آخر، إذا كان الأساس أكبر من الوحدة، فيمكن إزالته ببساطة - لن تتغير علامة عدم المساواة. وإذا كانت القاعدة أقل من واحد، فيمكن أيضا إزالتها، ولكن في نفس الوقت عليك تغيير علامة عدم المساواة.
يرجى ملاحظة: لم ننظر في الخيارات $ A \u003d 1 دولار و $ 0 $ $. لأنه في هذه الحالات تنشأ عدم اليقين. افترض كيفية حل عدم المساواة من النوع $ ((1) ^ (x)) \\ GT $ 3؟ ستقدم الوحدة إلى أي حد وحدة مرة أخرى - لن نحصل على ثلاثة أضعاف أو أكثر. أولئك. لا توجد حلول.
مع أسباب سلبية، لا يزال أكثر إثارة للاهتمام. النظر في المثال هنا مثل هذا عدم المساواة:
\\ [(((\\ left (-2 \\ right)) ^ (x)) \\ gt 4 \\]
للوهلة الأولى، كل شيء بسيط:
حق؟ وهنا ليس! يكفي الاستبدال بدلا من $ x $ جاهزة واثنين من الأرقام الفردية للتأكد من أن القرار غير صحيح. إلق نظرة:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و X \u003d 4 \\ rawrow ((\\ left (-2 \\ right)) ^ (4)) \u003d 16 \\ GT 4؛ \\\\ & x \u003d 5 \\ rawrow ((\\ left (-2 \\ right)) ^ (5)) \u003d - 32 \\ lt 4؛ \\\\ & x \u003d 6 \\ charearrow ((\\ left (-2 \\ right)) ^ (6)) \u003d 64 \\ GT 4؛ \\\\ & x \u003d 7 \\ rawrow ((\\ left (-right (-2 \\ right)) ^ (7)) \u003d - 128 \\ lt 4. \\\\\\ ind (align) \\]
كما ترون، علامات البديل. ولكن هناك المزيد من الدرجات الكسرية والقصدير الأخرى. كيف، على سبيل المثال، أمر بحساب $ ((\\ left (-right (-right)) ^ (\\ sqrt (7))) $ (ناقص مرتين إلى درجة أصل سبعة)؟ نعم لا شيء!
لذلك، من أجل اليقين، يعتقد أنه في جميع أوجه عدم المساواة الإرشادية (والمعادلات، بالمناسبة، أيضا) $ 1 \\ NE \\ GT 0 $. ثم تم حل كل شيء ببساطة ببساطة:
\\ [((أ) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) \\ charearrow \\ left [\\ starting (محاذاة) و x \\ gt n \\ quad \\ left (a \\ gt 1 \\ right)، \\\\ & x \\ lt n \\ quad \\ ledt (0 \\ lt a \\ lt 1 \\ right). \\\\\\ent (محاذاة) \\ اليمين. \\]
بشكل عام، تذكر مرة أخرى القاعدة الرئيسية: إذا كان الأساس في المعادلة الإرشادية أكبر من واحد، فيمكن إزالته ببساطة؛ وإذا كانت القاعدة أقل من واحد، فيمكن إزالتها أيضا، لكن علامة عدم المساواة سيتغير.
أمثلة الحلول
لذلك، فكر في بعض أوجه عدم المساواة المظاهرة البسيطة:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((2) ^ (x - 1)) \\ Le \\ frac (1) (\\ sqrt (2))؛ \\\\ & ((0.1) ^ (1-x)) \\ Lt 0.01؛ \\\\ & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ Lt 16؛ \\\\ & ((0.2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ ge \\ frac (1) (25). \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
المهمة الأساسية في جميع الحالات هي نفسها: للحد من عدم المساواة إلى أبسط نوع من $ ((A) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $. هذا ما نقوم به الآن مع كل عدم المساواة، وفي الوقت نفسه نكرر خصائص الدرجات والوظيفة الإرشادية. إذا هيا بنا!
\\ [((2) ^ (x - 1)) \\ Le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)) \\]
ماذا يمكنني أن أفعل هنا؟ حسنا، على اليسار، لدينا تعبير مظاهرة، ليس من الضروري تغيير أي شيء. ولكن على اليمين هناك نوع من حماقة: الكسر، وحتى في جذر القاسم!
ومع ذلك، دعونا نتذكر القواعد للعمل مع الكسور والدرجات:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) & \\ frac (1) ((((a) ^ (n))) \u003d ((a) ^ (- n))؛ \\\\ \\ sqrt [k] (a) \u003d ((a) ^ (\\ frac (1) (k))). \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
ماذا يعني ذلك؟ أولا، يمكننا بسهولة التخلص من الكسر، وتحوله إلى درجة مع مؤشر سلبي. وثانيا، نظرا لأن الجذر يقع في المقام، سيكون من الجيد تحويله إلى درجة - هذه المرة مع مؤشر كسور.
قم بتطبيق هذه الإجراءات باستمرار على الجانب الأيمن من عدم المساواة ونرى ما يحدث:
\\ [\\ frac (1) (\\ sqrt (2)) \u003d ((\\ left (\\ sqrt (\\ sqrt (2) \\ right)) ^ (- 1)) \u003d ((\\ left ((2) ^ (\\ frac ( 1) (3))) \\ right)) ^ (- 1)) \u003d ((2) ^ (\\ frac (1) (3) \\ cdot \\ left (-1 \\ right))) \u003d ((2) ^ (- \\ FRAC (1) (3))) \\]
لا تنس أنه عند إنشاء درجة في درجة مؤشرات هذه الدرجات تضيف ما يصل. بشكل عام، عند العمل مع المعادلات الإرشادية وعدم المساواة، من الضروري تماما معرفة ما لا يقل عن أبسط قواعد للعمل مع الدرجات:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y)) \u003d ((a) ^ (x + y))؛ \\\\ \\ frac (((a) ^ (x))) ((((A) ^ (y))) \u003d (((a) ^ (x-y))؛ \\\\ & ((\\ left ((((((a) ^ (x)) \\ right)) ^ (y)) \u003d ((a) ^ (x \\ cdot y)). \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
في الواقع، القاعدة الأخيرة التي طبقناها للتو. لذلك، سيتم إعادة كتابة عدم المساواة الأولية لدينا على النحو التالي:
\\ [((2) ^ (x - 1)) \\ Le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)) \\ rawrow ((2) ^ (x - 1)) \\ le ((2) ^ (- FRAC (1) (3))) \\]
الآن تخلص من اثنين في القاعدة. منذ 2\u003e 1، ستبقى علامة عدم المساواة هي نفسها:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و X-1 \\ le - frac (1) (3) \\ rawrow x \\ le 1- \\ frac (1) \u003d \\ frac (2)؛ \\\\ & x \\ in \\ left (- \\ infty؛ \\ frac (2) (3) \\ right]. \\\\\\ent (محاذاة) \\]
هذا كل هذا القرار! الصعوبة الرئيسية ليست على الإطلاق في وظيفة التأثير، ولكن في التحول المختص للتعبير الأصلي: تحتاج إلى بعناية وزيادة ذلك لإحضاره إلى أبسط العقل.
النظر في عدم المساواة الثانية:
\\ [((0.1) ^ (1-x)) \\ Lt 0.01 \\]
لا بأس. هنا سوف ننتظر الكسور العشرية. كما تكلمت بالفعل عدة مرات، في أي تعبيرات مع درجات، يجب أن تتخلص من الكسور العشرية - غالبا ما يكون من الممكن رؤية حل سريع وبسيط. لذلك سوف نتخلص من:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و 0.1 \u003d \\ FRAC (1) (10)؛ \\ رباعية 0،01 \u003d \\ frac (1) \u003d ((\\ 100) \u003d ((\\ frac (1) (10) \\ right) ) ^ (2))؛ \\\\ & ((0.1) ^ (1-x)) \\ Lt 0.01 \\ rawrow ((\\ left (\\ frac (1) (10) \\ right)) ^ (1-x)) \\ lt ((\\ left ( \\ FRAC (1) (10) \\ اليمين)) ^ (2)). \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
لدينا مؤخرا أبسط عدم المساواة، وحتى مع أساس 1/10، I.E. الوحدات الصغيرة. حسنا، نقوم بإزالة المؤسسات، ويمر علامة مع "أقل" إلى "أكثر"، ونحن نحصل على:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و 1-X \\ GT 2؛ \\\\ & -x \\ GT 2-1؛ \\\\ & -x \\ GT 1؛ \\\\ & x \\ lt -1. \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
تلقى الإجابة النهائية: $ x \\ in \\ left (- \\ unfty؛ -1 \\ right) $. يرجى ملاحظة: الجواب هو على وجه التحديد مجموعة، وفي أي حال، تصميم تصميم $ X \\ LT -1 $. لأنه رسميا مثل هذا التصميم ليس كثيرا، وعدم المساواة بالنسبة إلى متغير $ X $. نعم، إنه بسيط للغاية، لكن هذه ليست إجابة!
ملاحظة مهمةوبعد يمكن حل هذه عدم المساواة بطريقة مختلفة - من خلال جلب كلا الطرفين إلى درجة الأساس، الوحدة الكبيرة. إلق نظرة:
\\ [\\ frac (1) (10) \u003d (((10) ^ (- 1)) \\ rawrow ((\\ left ((10) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (1-x)) \\ Lt ((\\ left (((10) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (2)) \\ rawrow ((10) ^ (- 1 \\ cdot \\ left (1-x \\ right))) \\ LT ((10) ^ (- 1 \\ CDOT 2)) \\]
بعد هذا التحول، نحصل مرة أخرى على عدم المساواة التوضيحية، ولكن مع قاعدة 10\u003e 1. وهذا يعني أنه يمكنك ببساطة عبور العشرة الأوائل - لن تتغير علامة عدم المساواة. نحن نحصل:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) & -1 \\ cdot \\ left (1-x \\ right) \\ lt -1 \\ cdot 2؛ \\\\ & X-1 \\ Lt -2؛ \\\\ & x \\ lt -2 + 1 \u003d -1؛ \\\\ & x \\ lt -1. \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
كما ترون، تحولت الإجابة هي نفسها. في الوقت نفسه، أنقذنا نفسك من الحاجة إلى تغيير الإشارة وتذكر عموما بعض القواعد هناك. :)
\\ [((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ Lt 16 \\]
ومع ذلك، فليكن خائفا. بحيث لا يوجد في المؤشرات، فإن تقنية حل عدم المساواة نفسها لا تزال هي نفسها. لذلك، نلاحظ أن نبدأ في 16 \u003d 2 4. أعد كتابة عدم المساواة الأصلية، مع مراعاة هذه الحقيقة:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((2) ^ (((x) ^ (2) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ lt ((2) ^ (4))؛ \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 14 \\ Lt 4؛ \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \\ lt 0. \\\\\\ent (align) \\]
هوراي حصلنا على عدم المساواة المربعة المعتادة! لم تتغير الإشارة إلى أي مكان، لأنه في القاعدة هناك مرتين - رقم، المزيد من الوحدات.
وظائف صفر على رقمي رقمي
وضعنا علامات الوظيفة $ f \\ left (x \\ right) \u003d (x \\ right ^ (2) ^ (2)) - 7x + $ 10 - من الواضح، سيكون من السربول مع فروع تصل، لذلك سيكون هناك "إيجابيات" وبعد نحن مهتمون بالمنطقة التي تكون فيها الوظيفة أقل من الصفر، أي $ x \\ in \\ left (2؛ 5 \\ right) $ هو الحل للمهمة الأولية.
أخيرا، النظر في عدم المساواة الأخرى:
\\ [((0.2) ^ (1 + ((x) ^ (2))) \\ ge \\ frac (1) (25) \\]
مرة أخرى، نرى وظيفة إرشادية مع جزء كبير عشري في القاعدة. نقل هذا الكسر إلى العادي:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و 0.2 \u003d \\ FRAC (2) (10) \u003d \\ frac (1) \u003d ((5) ^ (- 1)) \\ charearrow \\\\ & \\ rawrow ((0، 2 ) ^ (1 + ((x) ^ (2))) \u003d ((\\ left ((((((5) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (1 + ((x) ^ (2) ))) \u003d ((5) ^ (- 1 \\ cdot \\ left (1 + (x) ^ (2)) \\ imim))) \\ End (محاذاة) \\]
في هذه الحالة، استفادنا من التصريحات المحددة سابقا - تم تخفيض القاعدة إلى الرقم 5\u003e 1 لتبسيط اتخاذ مزيد من القرار. بنفس الطريقة ومع الجزء الصحيح:
\\ [\\ frac (1) (25) \u003d ((\\ left (\\ frac (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (2)) \u003d ((\\ left ((5) ^ (- 1)) \\ اليمين)) ^ (2)) \u003d ((5) ^ (- 1 \\ cdot 2)) \u003d (((5) ^ (- 2)) \\]
أعد كتابة عدم المساواة الأصلية، مع مراعاة كلا التحويلتين:
\\ [(((0.2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ ge \\ frac (1) (25) \\ charearrow ((5) ^ (- 1 \\ cdot \\ left (1+ (1+ (x) ^ (2)) \\ right))) \\ ge ((5) ^ (- 2)) \\]
القواعد على كلا الجانبين هي نفسها ومتفوقة على واحد. لا توجد شروط أخرى على اليمين وعلى اليسار، لذلك ببساطة "تشديد" خمسة والحصول على تعبير بسيط:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) & -1 \\ cdot \\ left (1 + (x) ^ (2)) \\ for اليمين) \\ ge -2؛ \\\\ & -1 - ((x) ^ (2)) \\ GE -2؛ \\\\ & - ((x) ^ (2)) \\ GE -2 + 1؛ \\\\ & - ((x) ^ (2)) \\ ge -1؛ \\ رباعية \\ اليسار | \\ CDOT \\ اليسار (-1 \\ اليمين) \\ اليمين. \\\\ و ((x) ^ (2)) \\ Le 1. \\\\\\ ind (align) \\]
هنا من الضروري أن تكون حذرا. يحب العديد من الطلاب فقط استخراج الجذر التربيعي لكلا جزأينهم من عدم المساواة واكتب شيئا ما بروح X \\ Le 1 \\ ignarrow x \\ in \\ left (- \\ infty؛ -1 \\ for اليمين] $. للقيام بذلك في أي حال، نظرا لأن جذر مربع دقيق هو وحدة نمطية، وفي أي حال هي المتغير الأصلي:
\\ [\\ sqrt (((x) ^ (2))) \u003d \\ left | X \\ right | \\]
ومع ذلك، فإن العمل مع الوحدات النمطية ليست المهنة الأكثر متعة، أليس كذلك؟ لذلك نحن لن نعمل. وبدلا من ذلك، نحن ببساطة نقل جميع الشروط إلى اليسار وحل عدم المساواة المعتادة للفواصل الزمنية:
$ \\ ابدأ (محاذاة) و ((x) ^ (2)) - 1 \\ LE 0؛ \\\\ \\ left (x-1 \\ right) \\ left (x + 1 \\ right) \\ le 0 \\\\ \\ ((x) _ (1)) \u003d 1؛ \\ quad ((x) _ (2)) \u003d -1 \\\\\\ نهاية (محاذاة) $
نلاحظ مرة أخرى النقاط التي تم الحصول عليها على الرقمية مباشرة ومشاهدة العلامات:
ملاحظة: يتم رسم النقاط منذ أن حل محل عدم المساواة لا يصدق، يتم رسم جميع النقاط على الرسم البياني. لذلك، ستكون الإجابة مثل هذا: $ X \\ in \\ left [-1؛ 1 \\ right] $ - ليس الفاصل الزمني، أي الجزء.
بشكل عام، أود أن ألاحظ أنه لا يوجد شيء معقد في أوجه عدم المساواة الإرشادية. يتم تقليل معنى جميع التحولات التي أجريناها اليوم إلى خوارزمية بسيطة:
- ابحث عن القاعدة التي سنحلها جميع الدرجات؛
- قم بإجراء التحويل بلطف بحيث يتم الحصول على عدم المساواة من النوع $ ((A) ^ (x)) \\ GT ((A) ^ (n)) $. بالطبع، بدلا من متغيرات $ X $ و $ N $ N $، يمكن أن تقف وظائف أكثر تعقيدا، لكن لن يتم تغييرها منه؛
- ضرب أساس الدرجات. في الوقت نفسه، قد تتغير علامة عدم المساواة إذا كانت القاعدة $ $ 1 $ 1.
في جوهرها، هذه خوارزمية عالمية لحل جميع هذه التفاوتات. وكل ما سوف تخبرك به في هذا الموضوع - تقنيات وحيل محددة فقط، مما يسمح بتبسيط التحول وتسريعه. هنا سوف نتحدث عن واحدة من هذه التقنيات. :)
طريقة الترشيد
النظر في دفعة أخرى من عدم المساواة:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((\\ نص (نص () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text ()) ^ (x + 7)) \\ gt ((\\ text () \\! \\ pi \\! \\! \\ text ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2))؛ \\\\ & ((\\ left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ right)) ^ (((x) ^ (2) ^ (2)) - 2x)) \\ Lt 1؛ \\\\ & ((\\ left (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ (((x) ^ (2) ^ (2)) + 2x)) \\ gt ((\\ left (\\ frac (1) (9) (9) \\ اليمين)) ^ (16-x))؛ \\\\ & ((\\ left (3-2 \\ sqrt (2) \\ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \\ lt 1. \\\\\\ ind (align) \\]
فما هو خاص جدا عنهم؟ هم الرئتين. على الرغم من، توقف! يتم إنشاء الرقم π في أي درجة؟ ما هذا الهراء؟
وكيفية بناء عدد من 2 $ \\ SQRT (3) -3 $؟ أو 3-2 دولار \\ SQRT (2) $؟ من الواضح أن التحديات خاضت "الزعرور" قبل الجلوس للعمل. :)
في الواقع، لا شيء فظيع في هذه المهام. اسمحوا لي أن أذكرك: وظيفة إرشادية تسمى التعبير عن النوع $ ((A) ^ (x)) $، حيث $ A $ A $ هو أي رقم إيجابي، باستثناء الوحدة. الرقم π إيجابيا هو أننا نعرف أيضا. أرقام $ 2 \\ SQRT (3) -3 دولار و 3 دولارات + SQRT (2) $ هي أيضا إيجابية أيضا - من السهل التأكد من ذلك إذا قارنتهم بصفخ.
اتضح أن كل هذه التفاوتات "المخيفة" لا تختلف عن البسيط المناقش أعلاه؟ ويتم حلها بنفس الطريقة؟ نعم، صحيح تماما. ومع ذلك، على مثالهم، أود أن أفكر في قبول واحد ينقذ وقتا كبيرا على العمل والامتحانات المستقلة. سيكون حول طريقة الترشيد. لذلك، انتباه:
أي عدم المساواة الإرشادية للنوع $ ((A) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $ يعادل عدم المساواة من $ \\ left (xn \\ right) \\ cdot \\ idot (a-1 \\ اليمين) \\ GT 0 $.
هذه هي الطريقة بأكملها. :) و اعتقدت أنه سيكون هناك لعبة أخرى؟ لا شيء من هذا القبيل! لكن هذه الحقيقة البسيطة المسجلة حرفيا في سطر واحد سوف تبسط بشكل كبير العمل الأمريكي. إلق نظرة:
\\ [\\ ابدأ (مصفوفة) ((\\ نص (نص () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text ()) ^ (x + 7)) \\ gt ((\\ text () \\! \\! \\ pi \\ ! \\! \\ text ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\\\ \\ downarrow \\\\ \\\\ \\ left (x + 7- \\ left (((x) ^ (2)) -3x + 2 \\ right) \\ right) \\ idot \\ left \\ left (\\ text (text () \\! \\ pi \\! \\! \\ text () -1 \\ right) \\ gt 0 \\\\\\ end (matrix) \\]
لذلك لا مزيد من الوظائف الإرشادية! ولا تتذكر: تغييرات الإشارة أم لا. لكن مشكلة جديدة تنشأ: ماذا تفعل مع عامل الخوف \\ [\\ left (\\ text (text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () -1 \\ right \\]؟ نحن لا نعرف ما يساوي القيمة الدقيقة للعدد π. ومع ذلك، فإن القبطان واضح كما تلميحات:
\\ [\\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ Text () \\ حوالي 3،14 ... \\ GT 3 \\ charearrow \\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text (النص ( ) -1 \\ GT 3-1 \u003d 2 \\]
بشكل عام، القيمة الدقيقة ل π مختلفة بشكل خاص، وليس ما إذا كانت ليست مهمة فقط بالنسبة لنا لفهم ذلك في أي حال $ \\ text \\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () -1 \\ GT $ 2، .. هذا ثابت إيجابي، ويمكننا تقسيم جزء من عدم المساواة على ذلك:
\\ [\\ ادبت (محاذاة) \\ اليسار (x + 7- \\ left ((x) ^ (2) ^ (2)) - 3x + 2 \\ right) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ text () \\! \\ PI \\! \\! \\ text () -1 \\ right) \\ gt 0 \\\\ & x + 7- \\ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ right) \\ gt 0؛ \\\\ & X + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 \\ GT 0؛ \\\\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \\ GT 0؛ \\ رباعية \\ اليسار | \\ CDOT \\ اليسار (-1 \\ اليمين) \\ اليمين. \\\\ & ((x) ^ (2)) - 4x-5 \\ Lt 0؛ \\\\ & left (x-5 \\ right) \\ left (x + 1 \\ right) \\ lt 0. \\\\\\ ind (align) \\]
كما ترون، في مرحلة معينة اضطررت إلى تقسيم الوحدة في ناقص - في نفس الوقت تم تغيير علامة عدم المساواة. في النهاية، متحللة في المربع الثلاثي على نظرية VIETA - من الواضح أن الجذور تساوي $ ((x) _ (1) _ (1)) \u003d 5 $ و $ ((x) _ (2)) \u003d - $ 1. مزيد من حل كل شيء بطريقة فاصل كلاسيكي:
حل عدم المساواة عن طريق الفواصل الزمنية جميع النقاط هي التحيلات، لأن عدم المساواة الأولية صارمة. نحن مهتمون بالمنطقة ذات القيم السلبية، وبالتالي فإن الجواب هو: $ x \\ in \\ left (-1؛ 5 \\ right) $. هذا هو الحل كله. :)
دعنا ننتقل إلى المهمة التالية:
\\ [((\\ {left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ Lt 1 \\]
هنا، كل شيء بسيط، لأن الحق يستحق الوحدة. ونحن نتذكر أن الوحدة هي أي رقم إلى الصفر. حتى لو كان هذا الرقم تعبيرا غير عقلاني، ويقف في أسفل اليسار:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((\\ left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ imim)) ^ ((((x) ^ (2) ^ (2)) - 2x)) \\ lt 1 \u003d ((\\ left ( 2 \\ SQRT (3) -3 \\ اليمين)) ^ (0))؛ \\\\ \\ (\\ left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt ((\\ left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ اليمين)) ^ (0))؛ \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
حسنا، نحن ننفذ الترشيد:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) \\ اليسار (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ right) \\ cdot \\ left (2 \\ sqrt (3) -3-1 \\ right) \\ lt 0؛ \\\\ \\ \\ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ right) \\ cdot \\ left (2 \\ sqrt (3) -4 \\ right) \\ lt 0؛ \\\\ \\ Left (((x) ^ (2) ^ (2)) - 2x-0 \\ right) \\ cdot 2 \\ left (\\ sqrt (3) -2 \\ right) \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\]
لا يزال فقط للتعامل مع علامات. لا تحتوي المضاعف 2 $ \\ اليسرى (\\ SQRT (3) -2 \\ right) $ متغير $ x $ هو مجرد ثابت، ونحن بحاجة إلى معرفة علاماتها. للقيام بذلك، نلاحظ ما يلي:
\\ [\\ ابدأ (مصفوفة) \\ SQRT (3) \\ LT \\ SQRT (4) \u003d 2 \\\\ \\ downarrow \\\\ 2 \\ left (\\ sqrt (3) -2 \\ right) \\ lt 2 \\ cdot \\ left (2 -2 \\ اليمين) \u003d 0 \\\\\\ent (مصفوفة) \\]
اتضح أن العامل الثاني ليس مجرد ثابت، ولكن ثابت سلبي! وعند التقسيم عليه، ستتغير علامة عدم المساواة الأولية إلى العكس:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) \\ اليسار (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ right) \\ cdot 2 \\ left (\\ sqrt (3) -2 \\ right) \\ lt 0؛ \\\\ & ((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ GT 0؛ \\\\ & x \\ left (x-2 \\ right) \\ gt 0. \\\\\\ end (محاذاة) \\]
الآن كل شيء يصبح واضحا تماما. جذور المربع الثلاثي، يقف على اليمين: $ ((x) _ (1)) \u003d 0 $ و $ ((x) _ (2)) \u003d $ 2. نلاحظهم على مستقيم رقمي وشاهد علامات الوظيفة $ f \\ left (x \\ right) \u003d x \\ left (x-2 \\ right) $:
القضية هي عندما نهم فواصل جانبية نحن مهتمون بالفترة الزمنية التي تحمل علامة "Plus". يبقى فقط لتدوين الإجابة:
انتقل إلى المثال التالي:
\\ [(((\\ left (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ (((x) ^ (2) ^ (2)) + 2x)) \\ gt ((\\ left (\\ frac (1) \\ اليمين)) ^ (16-x)) \\]
حسنا، كل شيء واضح تماما هنا: في الأساس توجد درجات نفس العدد. لذلك، سأكتب كل شيء لفترة وجيزة:
\\ [\\ ابدأ (مصفوفة) \\ frac (1) (3) \u003d ((3) ^ (- 1))؛ \\ quad \\ frac (1) \u003d \\ frac (1) (((3) ^ ( 2))) \u003d ((3) ^ (- 2)) \\\\ \\ downarrow \\\\ ((\\ left (((3) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (((x) ^ (2) ) + 2x)) \\ gt ((\\ left ((((3) ^ (- 2)) \\ right)) ^ (16-x)) \\\\\\\\ ind (matrix) \\]
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((3) ^ (- 1 \\ cdot \\ left ((x) ^ (2) ^ (2)) + 2x \\ right))) \\ gt ((3) ^ (- 2 \\ cdot \\ اليسار (16-x \\ اليمين)))؛ \\\\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2)) - 2x)) \\ GT ((3) ^ (- 32 + 2x))؛ \\\\ \\ left (- ((x) ^ (2)) - 2x- اليسار (-32 + 2x \\ right) \\ right) \\ cdot \\ left (3-1 \\ right) \\ gt 0؛ \\\\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \\ GT 0؛ \\\\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \\ GT 0؛ \\ رباعية \\ اليسار | \\ CDOT \\ اليسار (-1 \\ اليمين) \\ اليمين. \\\\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \\ Lt 0؛ \\\\ & left (x + 8 \\ right) \\ left (x-4 \\ right) \\ lt 0. \\\\\\ ind (align) \\]
كما ترون، في عملية التحولات اضطررت إلى ضرب الرقم السلبي، لذلك تم تغيير علامة عدم المساواة. في النهاية، أعيد تطبق نظرية Vieta إلى التحلل على مضاعفات المربع الثلاثي. نتيجة لذلك، ستكون الإجابة ما يلي: $ X \\ in \\ left (-8؛ 4 \\ right) $ - أولئك الذين يرغبون في التأكد من أنه من خلال رسم عسري مباشر، وإذ تلاحظ علامات النقطة والعد. وفي الوقت نفسه، سوف نتحول إلى عدم المساواة الأخيرة من "مجموعة":
\\ [((\\ left (3-2 \\ sqrt (2) \\ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \\ lt 1 \\]
كما ترون، في أسفل هناك رقم غير عقلاني مرة أخرى، والوحدة تقف على اليمين مرة أخرى. لذلك، نعيد كتابة عدم المساواة الإرشادية لدينا على النحو التالي:
\\ [((\\ left (3-2 \\ sqrt (2) \\ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \\ lt ((\\ left (3-2 \\ sqrt (2) \\ اليمين)) ^ (0)) \\]
نحن نطبق الترشيد:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) \\ اليسار (3x - (x) ^ (2)) - 0 \\ right) \\ cdot \\ left \\ left (3-2 \\ sqrt (2) -1 \\ right) \\ lt 0؛ \\\\ \\ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ right) \\ cdot \\ left (2-2 \\ sqrt (2) \\ right) \\ lt 0؛ \\\\ \\ left (3x - ((x) ^ ((x) ^ (2)) - 0 \\ right) \\ cdot 2 \\ left (1- \\ sqrt (2) \\ right) \\ lt 0. \\\\ ind (align) \\]
ومع ذلك، فمن الواضح تماما أن $ 1- \\ SQRT (2) \\ LT 0 $، منذ $ \\ SQRT (2) \\ حوالي 1.4 ... \\ GT $ 1. لذلك، فإن العامل الثاني هو ثابت سلبي حديثا يمكن تقسيم كلاهما جزء من عدم المساواة:
\\ [\\ ابدأ (مصفوفة) \\ اليسار (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ right) \\ cdot 2 \\ left (1- \\ sqrt (2) \\ right) \\ lt 0 \\\\ \\ downarrow \\ \\\\ نهاية (مصفوفة) \\]
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ GT 0؛ \\\\ & 3x - ((x) ^ (2)) \\ GT 0؛ \\ رباعية \\ اليسار | \\ CDOT \\ اليسار (-1 \\ اليمين) \\ اليمين. \\\\ & ((x) ^ (2)) - 3x \\ Lt 0؛ \\\\ & x \\ left (x-3 \\ right) \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\]
الانتقال إلى قاعدة أخرى
مشكلة منفصلة في حل أوجه عدم المساواة الإرشادية هي البحث عن قاعدة "صحيحة". لسوء الحظ، ليس دائما عندما أنظر أولا إلى المهمة، فمن الواضح أن تأخذ للمؤسسة، وماذا تفعل درجة هذه الأساس.
ولكن لا تقلق: لا يوجد تكنولوجيات سحرية و "سرية". في الرياضيات، يمكن تطوير أي مهارة، والتي لا يمكن أن تكون خوارزمية، بسهولة من خلال الممارسة. ولكن لهذا يجب أن يحل مشاكل مستويات مختلفة من التعقيد. على سبيل المثال، هنا هي:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((4) ^ (\\ frac (4) (x)))؛ \\\\ & ((\\ left (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ ge ((3) ^ (2 + x))؛ \\\\ & ((\\ left (0.16 \\ right)) ^ (1 + 2x)) \\ cdot ((\\ left (6.25 \\ right)) ^ (x)) \\ ge 1؛ \\\\ & ((\\ left (\\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \\ right)) ^ (- x)) \\ lt ((9) ^ (4-2x)) \\ cdot 81. \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
معقد؟ مخيف؟ نعم، من الأسهل من الدجاج على الأسفلت! دعونا نحاول. عدم المساواة الأولى:
\\ [((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((4) ^ (\\ frac (4) (x))) \\]
حسنا، أعتقد هنا كل شيء واضح هنا:
نقوم بإعادة كتابة عدم المساواة الأصلية، مما يقلل من كل شيء إلى قاعدة "اثنين":
\\ [((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((2) ^ (\\ frac (8) (x))) \\ rawrow \\ left (\\ frac (x) (2) - \\ FRAC (8) (x) \\ right) \\ cdot \\ left (2-1 \\ right) \\ lt 0 \\]
نعم، نعم، لقد فهمت كل شيء: أنا فقط طبقت طريقة الترشيد الموصوفة أعلاه. الآن تحتاج إلى العمل بعناية: كان لدينا عدم المساواة العقلانية الكسرية (هذا متغير في القاسم)، وبالتالي، قبل أن يعادل شيئا ما إلى الصفر، من الضروري إحضار كل شيء إلى المقام العام والتخلص من المضاعف المستمر.
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و \\ left (\\ frac (x) (2) - \\ frac (8) (x) \\ right) \\ cdot \\ left (2-1 \\ right) \\ lt 0؛ \\\\ \\ \\ left (\\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \\ right) \\ cdot 1 \\ lt 0؛ \\\\ \\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \\ lt 0. \\\\\\ ind (align) \\]
الآن نستخدم طريقة الفاصل الزمني القياسي. الأصفار الصغار: $ X \u003d \\ PM $ 4. يشير المقام إلى الصفر فقط في $ x \u003d 0 $. إجمالي ثلاث نقاط يجب الإشارة إلى الخط المستقيم العددي (جميع نقاط Otkoloty، لأن علامة عدم المساواة صارمة). نحن نحصل:
المزيد من الحالة: ثلاث جذور لأنه ليس من الصعب تخمينه، يلاحظ الفقس تلك الفواصل الزمنية التي يتخذ فيها التعبير على اليسار قيما سلبية. لذلك، ستذهب الاستجابة النهائية مرة واحدة فاصلة اثنين:
نهاية الفترات ليست استجابة، لأن عدم المساواة الأولية كانت صارمة. لا توجد شيكات إضافية مطلوبة من هذا الاستجابة. في هذا الصدد، تكون التفاوتات الإرشادية أسهل بكثير من اللوغاريتمي: لا توجد قيود، إلخ.
انتقل إلى المهمة التالية:
\\ [((\\ اليسار (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ ge ((3) ^ (2 + x)) \\]
هنا أيضا، لا توجد مشاكل، لأننا نعرف بالفعل أن $ \\ Frac (1) \u003d ((((3) ^ (- 1)) $، لذلك يمكن إعادة كتابة جميع عدم المساواة حتى:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((\\ left (((3) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ ge ((3) ^ (2 + x )) \\ rawrow ((3) ^ (- \\ frac (3) (x))) \\ ge ((3) ^ (2 + x))؛ \\\\ \\ \\ left (- \\ frac (3) (x) - \\ left (2 + x \\ right) \\ right) \\ cdot \\ left (3-1 \\ right) \\ ge 0؛ \\\\ & \\ left (- \\ frac (3) (x) -2-x \\ right) \\ cdot 2 \\ ge 0؛ \\ رباعية \\ اليسار | : \\ غادر (-2 \\ اليمين) \\ اليمين. \\\\ \\ frac (3) (x) + 2 + x \\ le 0؛ \\\\ \\ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \\ Le 0. \\\\\\ ind (align) \\]
يرجى ملاحظة: في السطر الثالث، قررت عدم الرصد وتقسيم كل شيء على الفور (-2). مرت القوس الأول (الآن هناك إيجابيات في كل مكان)، وانخفض الاثنان مع العامل الثابت. هذا هو بالضبط ما هو ضروري للعمل عند إجراء حسابات حقيقية على العمل المستقل والاختبار - ليس من الضروري رسم كل إجراء وتحول.
علاوة على ذلك، فإن الطريقة الفاصلة مألوفة لنا تدخل. أصفار الأرقام: وهم ليسوا كذلك. لأن التمييز سيكون سلبيا. بدوره، يتم إعادة تعيين القاسم فقط عند X \u003d 0 $ - كآخر مرة. حسنا، من الواضح أنه على يمين X \u003d 0 $، سيتخذ الكسر القيم الإيجابية، واليسار هو سلبي. نظرا لأننا مهتمون بالقيم السلبية بدقة، فإن الإجابة النهائية: $ x \\ in \\ left (- \\ infty؛ 0 \\ right) $.
\\ [((\\ left (0.16 \\ right)) ^ (1 + 2x)) \\ cdot ((\\ left (6.25 \\ right)) ^ (x)) \\ ge 1 \\]
وما الذي يجب القيام به مع الكسور العشرية في عدم المساواة الإرشادية؟ صحيح: تخلص منهم، ترجمة إلى عادية. لذلك سنقوم بنقل:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و 0.16 \u003d \\ FRAC (16) (100) \u003d \\ frac (4) (25) \\ rawrow ((\\ left (0.16 \\ right)) ^ (1 + 2x)) \u003d ((\\ اليسار (\\ FRAC (4) (25) \\ right)) ^ (1 + 2x))؛ \\\\ & 6،25 \u003d \\ FRAC (625) (100) \u003d \\ frac (25) (4) \\ rawrow ((\\ left (6.25 \\ right)) ^ (x)) \u003d ((\\ left (\\ frac (\\ frac (\\ frac ( 25) (4) \\ اليمين)) ^ (x)). \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
إذن ماذا حصلنا على أسباب الوظائف الإرشادية؟ تلقينا رقمين عكسي المتبادل:
\\ [\\ frac (25) (4) \u003d ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (- 1)) \\ rawrow ((\\ left (\\ frac (25) (4) \\ اليمين)) ^ (x)) \u003d ((\\ left ((\\ {{(\\ frac (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (x)) \u003d ((يسار (\\ FRAC (4) (25) \\ right)) ^ (- x)) \\]
وبالتالي، يمكن إعادة كتابة عدم المساواة الأولية
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((\\ left (\\ frac (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (1 + 2x)) \\ cdot ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right) ) ^ (- x)) \\ GE 1؛ \\\\ & ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (1 + 2x + \\ left (-x \\ right))) \\ ge ((\\ left (\\ frac (4) (25) ) \\ اليمين)) ^ (0))؛ \\\\ \\ (\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (x + 1)) \\ ge ((\\ frac (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (0)) وبعد \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
بالطبع، عند مضاعفة الدرجات بنفس القاعدة، يتم طي مؤشراتها، والتي حدثت في السطر الثاني. بالإضافة إلى ذلك، قدمنا \u200b\u200bوحدة تقف على اليمين، أيضا في شكل درجة بناء على 4/25. يبقى فقط لتحقيق الترشيد:
\\ [((\\ {reft (\\ frac (4) (25) \\ right) ^ (x + 1)) \\ ge ((\\ frac (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (0)) \\ rawrow \\ left (x + 1-0 \\ right) \\ cdot \\ left (\\ frac (4) (25) -1 \\ right) \\ ge 0 \\]
لاحظ أن $ \\ FRAC (4) (25) -1 \u003d \\ FRAC (4-25) (25) \\ LT 0 $، I.E. العامل الثاني هو ثابت سلبي، وعند تقسيمه، ستتغير علامة عدم المساواة:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و X + 1-0 \\ Le 0 \\ ignarrow x \\ Le -1؛ \\\\ & x \\ in \\ left (- \\ infty؛ -1 \\ right]. \\\\\\ent (محاذاة) \\]
أخيرا، أخيرا عدم المساواة من "المجموعة" الحالية:
\\ [((\\ {reft (\\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \\ right)) ^ (- x)) \\ lt ((9) ^ (4-2x)) \\ cdot 81 \\]
من حيث المبدأ، فإن فكرة الحل هنا واضحة أيضا: يجب تخفيض جميع الوظائف الإرشادية الواردة في عدم المساواة إلى أساس "3". ولكن لهذا يجب أن العبث مع الجذور والدرجات:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) \\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \u003d \\ frac ((((3) ^ (3))) (((3) ^ (\\ frac (1) (3)) ) \u003d ((3) ^ (3- \\ frac (1) (3))) \u003d (((3) ^ (\\ frac (8) (3)))؛ \\\\ & 9 \u003d ((3) ^ (2))؛ \\ رباعية 81 \u003d ((3) ^ (4)). \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
مع الأخذ في الاعتبار هذه الحقائق، يمكن إعادة كتابة عدم المساواة الأولية بذلك:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((\\ left (((3) ^ (\\ frac (8) (3))) \\ right)) ^ (- x)) \\ lt ((\\ left ((3) ^ (2)) \\ right)) ^ (4-2x)) \\ cdot ((3) ^ (4))؛ \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8x) (3))) \\ lt ((3) ^ (8-4x)) \\ cdot ((3) ^ (4))؛ \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8x) (3))) \\ lt ((3) ^ (8-4x + 4))؛ \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8x) (3))) \\ lt ((3) ^ (4-4x)). \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
انتبه إلى الخط الثاني والثالث من الحسابات: قبل القيام بشيء مع عدم المساواة، تأكد من إحضاره إلى نفس الشيء الذي تحدثنا عنه من بداية الدرس: $ ((أ) ^ (x)) \\ lt (((أ) ^ (ن)) $. طالما أنك تركت أو صحيحة، فهناك بعض المضاعفين اليسارين، ثوابت إضافية، إلخ، لا يوجد ترشيد و "طحن" سبب لا يمكن القيام به! كانت المهام لا حصر لها بشكل غير صحيح بسبب سوء فهم هذه الحقيقة البسيطة. أنا نفسي أشاهد هذه المشكلة باستمرار في طلابي، عندما ننتقل فقط إلى تحليل عدم المساواة الإرشادية اللوغارية.
ولكن دعنا نعود إلى مهمتنا. دعونا نحاول هذا الوقت للقيام به دون ترشيد. نتذكر: قاعدة الدرجة هي أكثر من الوحدة، وبالتالي فإن ترويكا يمكن أن يشق ببساطة - لن تتغير علامة عدم المساواة. نحن نحصل:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) & - \\ frac (8x) (3) \\ lt 4-4x؛ \\\\ & 4x- frac (8x) (3) \\ lt 4؛ \\\\ \\ frac (4x) (3) \\ Lt 4؛ \\\\ & 4x \\ Lt 12؛ \\\\ & x \\ lt 3. \\\\\\ent (محاذاة) \\]
هذا كل شئ. الإجابة النهائية: $ x \\ in \\ left (- \\ infty؛ 3 \\ right) $.
اختيار تعبير مستقر واستبدال المتغير
في الختام، أقترح حل أربعة أوجه عدم المساواة في مظاهرة أخرى معقدة بالفعل للطلاب غير مستعدين. للتعامل معهم، تحتاج إلى تذكر قواعد العمل مع الدرجات. على وجه الخصوص، صدور العوامل العامة بين الأقواس.
لكن الشيء الأكثر أهمية هو أن نتعلم أن نفهم: ما يمكن أن تؤخذ بالضبط من الأقواس. يطلق عليه مثل هذا التعبير مستقر - يمكن الإشادة بمتغير جديد وبالتالي تخلص من الوظيفة الإرشادية. لذلك، دعونا نلقي نظرة على المهام:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ ge 6؛ \\\\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \\ ge 90؛ \\\\ & ((25) ^ (x + 1.5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \\ GT 2500؛ \\\\ \\ (\\ left (0.5 \\ right)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1.5)) \\ gt 768. \\\\\\ ind (align) \\]
لنبدأ بالسطر الأول. نحن نكتب هذا عدم المساواة بشكل منفصل:
\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ ge 6 \\]
لاحظ أن $ ((5) ^ (x + 2)) \u003d (((5) ^ (x + 1 + 1)) \u003d ((((5) ^ (x + 1)) \\ cdot $ 5، لذلك اليمين جزء -Hand يمكن إعادة كتابة:
لاحظ أنه لا توجد وظائف إرشادية أخرى باستثناء $ ((5) ^ (x + 1)) $، لا يوجد أي عدم المساواة. وبشكل عام، لا يوجد مكان آخر هناك أي متغير $ X $، لذلك نقدم متغير جديد: $ ((5) ^ (x + 1)) \u003d t $. نحصل على التصميم التالي:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و 5T + T \\ GE 6؛ \\\\ & 6T \\ GE 6؛ \\\\ & T \\ Ge 1. \\\\\\ent (محاذاة) \\]
نعود إلى المتغير الأولي ($ T \u003d ((((5) ^ (x + 1)) $)، وفي الوقت نفسه نتذكر أن 1 \u003d 5 0. نحن لدينا:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((5) ^ (x + 1)) \\ ge ((5) ^ (0))؛ \\\\ & X + 1 \\ GE 0؛ \\\\ & x \\ ge -1. \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
هذا كل هذا القرار! الإجابة: $ x \\ in \\ left [-1؛ + \\ infty \\ right) $. الذهاب إلى عدم المساواة الثانية:
\\ [((3) ^ (x)) + (((3) ^ (x + 2)) \\ ge 90 \\]
هنا كل نفس. لاحظ أن $ ((3) ^ (x + 2)) \u003d (((3) ^ (x)) \\ cdot ((((3) ^ (2)) \u003d 9 \\ cdot ((3) ^ (x)) $. ثم يمكن إعادة كتابة الجزء الأيسر:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((3) ^ (x)) + 9 \\ CDOT ((3) ^ (x)) \\ ge 90؛ \\ رباعية \\ اليسار | ((3) ^ (x)) \u003d t \\ right. \\\\ & T + 9T \\ GE 90؛ \\\\ & 10T \\ GE 90؛ \\\\ & t \\ ge 9 \\ charearrow ((3) ^ (x)) \\ ge 9 \\ rawrow ((3) ^ (x)) \\ ge ((3) ^ (2))؛ \\\\ & x \\ ge 2 \\ charearrow x \\ in \\ left [2؛ + \\ infty \\ right). \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
هذه هي الطريقة التي من الضروري اتخاذ قرار بشأن الرقابة الحقيقية والعمل المستقل.
حسنا، دعونا نحاول شيئا أكثر تعقيدا. على سبيل المثال، إليك عدم المساواة:
\\ [((25) ^ (x + 1.5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \\ GT 2500 \\]
ماهي المشكلة هنا؟ بادئ ذي بدء، وقواعد الوظائف الإرشادية التي تقف على اليسار، مختلفة: 5 و 25. ومع ذلك، 25 \u003d 5 2، لذلك يمكن تحويل المصطلح الأول:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((25) ^ (x + 1.5) \u003d ((\\ left ((((5) ^ (2)) \\ right)) ^ (x + 1.5)) \u003d ((5 ) ^ (2x + 3))؛ \\\\ & ((5) ^ (2x + 3)) \u003d ((5) ^ (2x + 2 + 1)) \u003d ((5) ^ (2x + 2)) \\ cdot 5. \\\\ end (imign) \\]
كما ترون، قادنا جميعا إلى نفس القاعدة، ثم لاحظت أن المصطلح الأول ينخفض \u200b\u200bبسهولة إلى الثاني - فقط يتحلل المؤشر. الآن يمكنك تقديم متغير جديد بأمان: $ ((5) ^ (2x + 2)) \u003d T $، وسيتم كتابة جميع عدم المساواة:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و 5T-T \\ GE 2500؛ \\\\ & 4T \\ GE 2500؛ \\\\ & t \\ ge 625 \u003d ((5) ^ (4))؛ \\\\ & ((5) ^ (2x + 2)) \\ GE ((5) ^ (4))؛ \\\\ & 2x + 2 \\ GE 4؛ \\\\ & 2x \\ ge 2؛ \\\\ & x \\ ge 1. \\\\\\ ind (align) \\]
ومرة أخرى لا صعوبات! الإجابة النهائية: $ X \\ في \\ غادر [1؛ + \\ INFTY \\ right) $. انتقل إلى عدم المساواة النهائية في درس اليوم:
\\ [(((\\ left (0.5 \\ right)) ^ (- 4x-8)) - (((16) ^ (x + 1.5)) \\ gt 768 \\]
أول شيء يجب الانتباه إليه هو، بالطبع، الكسر العشري في قاعدة الدرجة الأولى. من الضروري التخلص منه، وفي الوقت نفسه، أحضر كل الوظائف الإرشادية إلى نفس القاعدة - الرقم "2":
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و 0.5 \u003d \\ FRAC (1) (2) \u003d ((2) ^ (- 1)) \\ rawrow ((\\ left (0.5 \\ right)) ^ (- 4x- 8)) \u003d ((\\ left ((((2) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (- 4x-8)) \u003d (((2) ^ (4x + 8))؛ \\\\ & 16 \u003d ((2) ^ (4)) \\ charearrow ((16) ^ (x + 1.5)) \u003d ((\\ left (((((2) ^ (4)) \\ right)) ^ (x + 1.5) \u003d ((2) ^ (4x + 6))؛ \\\\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \\ GT 768. \\\\\\
ممتاز، لقد اتخذنا الخطوة الأولى - كل شيء أدى إلى نفس الأساس. الآن من الضروري تخصيص تعبير مستقر. لاحظ أن $ ((2) ^ (4x + 8)) \u003d ((2) ^ (4x + 6 + 2)) \u003d (((2) ^ (4x + 6)) \\ cdot $ 4. إذا قمت بإدخال متغير جديد $ ((2) ^ (4x + 6)) \u003d T $، فيمكن إعادة كتابة عدم المساواة الأولية على النحو التالي:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و 4T-T \\ GT 768؛ \\\\ & 3t \\ GT 768؛ \\\\ & t \\ gt 256 \u003d ((2) ^ (8))؛ \\\\ & ((2) ^ (4x + 6)) \\ gt ((2) ^ (8))؛ \\\\ & 4x + 6 \\ GT 8؛ \\\\ & 4x \\ GT 2؛ \\\\ & x \\ gt \\ frac (1) (2) \u003d 0.5. \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
بطبيعة الحال، قد ينشأ السؤال: كيف وجدنا أن 256 \u003d 2 8؟ لسوء الحظ، تحتاج فقط إلى معرفة خصومات الدرجة (وفي الوقت نفسه درجة ثلاثية وخمسة). حسنا، أو تقسيم 256 إلى 2 (من الممكن تقسيم، منذ رقم 256 نقطة) حتى نحصل على النتيجة. سوف تبدو مثل هذا:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و 256 \u003d 128 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 64 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 32 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 16 \\ cdot 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \u003d \\\\ & \u003d 8 \\ cdot 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \u003d \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \u003d \\\\ & \u003d 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \u003d \\\\ & \u003d ((2) ^ (8)). \\ NEG (محاذاة) \\ حدوث
الشيء نفسه مع ثلاثة أضعاف (أرقام 9 و 27 و 81 و 243 هي درجاتها) ومع سبع (أرقام 49 و 343 أيضا، سيكون من الجيد أيضا أن نتذكر). حسنا، وكانت القمم أيضا درجات "جميلة" لمعرفة:
\\ [\\ ابدأ (محاذاة) و ((5) ^ (2)) \u003d 25؛ \\\\ و ((5) ^ (3)) \u003d 125؛ \\\\ و ((5) ^ (4)) \u003d 625؛ \\\\ و ((5) ^ (5)) \u003d 3125. \\\\\\ نهاية (محاذاة) \\]
بالطبع، يمكن استعادة كل هذه الأرقام في العقل إذا رغبت في ذلك، ببساطة ضربها لبعضها البعض. ومع ذلك، عندما تضطر إلى حل العديد من أوجه عدم المساواة في العرض التوضيحي، وكل المقبل أكثر تعقيدا من السابق، فإن هذا الأخير، ما أريد أن أفكر فيه - إنه بعض الأرقام هناك. وبهذا المعنى، هذه المهام أكثر تعقيدا من عدم المساواة "الكلاسيكية" التي تم حلها بواسطة طريقة الفاصل الزمني.
و X \u003d B هو أبسط معادلة إرشادية. فيه أ. أكثر صفر. لكن لا يساوي واحد.
محلول المعادلات الإرشادية
من خصائص الوظيفة الإرشادية، نعلم أن مجال قيمها محدود بأرقام حقيقية إيجابية. ثم إذا ب \u003d 0، فإن المعادلة لا تحتوي على حلول. نفس الوضع يحدث في المعادلة حيث ب
الآن نضع ذلك ب\u003e 0. إذا في الوظيفة الإرشادية أ. المزيد من الوحدات، ستكون الوظيفة تزداد في جميع أنحاء منطقة التعريف بأكملها. إذا في وظيفة إرشادية للقاعدة لكن اكتمال الحالة التالية 0 بناء على ذلك وتطبيق نظرية على الجذر، نحصل على أن المعادلة A X \u003d B لديها جذر واحد واحد، مع B\u003e 0 والإيجابي أ. لا يساوي واحد. للعثور عليه، من الضروري تمثيل B في النموذج B \u003d A C. النظر في المثال التالي: حل المعادلة 5 (× 2 - 2 * X - 1) \u003d 25. تخيل 25 ك 5 2، نحصل على: 5 (× 2 - 2 * x - 1) \u003d 5 2. أو ما يعادل: x 2 - 2 * X - 1 \u003d 2. نحن نحل المعادلة المربعة التي تم الحصول عليها من خلال أي من الأساليب المعروفة. نحصل على اثنين من الجذور X \u003d 3 و X \u003d -1. الجواب: 3؛ -1. أحل المعادلة 4 × - 5 * 2 × + 4 \u003d 0. سنحل محل: T \u003d 2 × واحصل على معادلة مربع التالية: t 2 - 5 * T + 4 \u003d 0. الآن نحل المعادلة 2 X \u003d 1 و 2 X \u003d 4. الجواب: 0؛ 2. يعتمد حل أبسط أوجه عدم المساواة المظاهرة أيضا على خصائص الوظيفة المتزايدة والتنازل. إذا كانت الوظيفة الأساسية أكبر من الوحدة، فستزداد الوظيفة في جميع أنحاء منطقة التعريف. إذا في وظيفة إرشادية للقاعدة لكن يتم تنفيذ الحالة التالية 0 النظر في مثال: حل عدم المساواة (0.5) (7 - 3 * س)< 4. لاحظ أن 4 \u003d (0.5) 2. ثم تأخذ عدم المساواة النموذج (0.5) (7 - 3 * س)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. نحصل على: 7 - 3 * x\u003e -2. وبالتالي: H.<3. الجواب: H.<3. إذا كان في عدم المساواة في عدم المساواة، كانت القاعدة أكثر توخيا، ثم عند تقديمها من الأرض، لن تكون هناك حاجة إلى علامة عدم المساواة.
ثم من الواضح ذلك من عند سيكون حلا للمعادلة A X \u003d A C.
نحل هذه المعادلة إلى أي من الأساليب المعروفة. نحصل على جذور T1 \u003d 1 T2 \u003d 4محلول عدم المساواة الإرشادية
جار التحميل ...