Нека да работим с квадратни уравнения... Това са много популярни уравнения! В най -общия си вид квадратното уравнение изглежда така:
Например:
Тук а =1; б = 3; ° С = -4
Тук а =2; б = -0,5; ° С = 2,2
Тук а =-3; б = 6; ° С = -18
Е, схванахте идеята ...
Как да решим квадратни уравнения?Ако имате квадратно уравнение в тази форма, тогава всичко вече е просто. Спомняйки си вълшебната дума дискриминанта ... Рядък гимназист не е чувал тази дума! Изразът „вземане на решение чрез дискриминанта“ е успокояващ и успокояващ. Защото няма нужда да чакате мръсни трикове от дискриминанта! Той е прост и безпроблемен за използване. И така, формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:
Изразът под коренния знак е същият дискриминанта... Както можете да видите, за да намерим x, използваме само a, b и c... Тези. коефициенти от квадратното уравнение. Просто внимателно заменете стойностите a, b и cв тази формула и пребройте. Заместител с вашите знаци! Например за първото уравнение а =1; б = 3; ° С= -4. Затова записваме:
Примерът е почти решен:
Това е всичко.
Какви случаи са възможни при използване на тази формула? Има само три случая.
1. Дискриминантът е положителен. Това означава, че можете да извлечете корена от него. Добър корен се извлича, или лош - друг въпрос. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.
2. Дискриминантът е нула. Тогава имате едно решение. Строго погледнато, това не е един корен, но две еднакви... Но това играе роля при неравенствата, там ще проучим въпроса по -подробно.
3. Дискриминантът е отрицателен. От отрицателно число не се извлича квадратен корен. Ми добре. Това означава, че няма решения.
Всичко е много просто. И какво, според вас, е невъзможно да се сбърка? Е, да, как ...
Най -честите грешки са объркване със знакови знаци. a, b и c... По -скоро не с техните знаци (къде да се объркате?), А със заместване на отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Тук се записва подробна нотация на формулата с конкретни числа. Ако има изчислителни проблеми, Направи го!
Да предположим, че трябва да решите този пример:
Тук а = -6; b = -5; с = -1
Да речем, че знаете, че рядко получавате отговори за първи път.
Е, не бъди мързелив. Написването на допълнителен ред ще отнеме 30 секунди и броя на грешките ще намалее рязко... Така че пишем подробно, с всички скоби и знаци:
Изглежда невероятно трудно да се рисува толкова внимателно. Но изглежда само така. Опитай. Е, или изберете. Кое е по -добро, бързо или правилно? Освен това ще те направя щастлив. След известно време няма да има нужда да рисувате всичко толкова внимателно. То ще се получи от само себе си. Особено ако използвате практическите техники, описани по -долу. Този зъл пример с куп недостатъци може да бъде решен лесно и без грешки!
Така, как да решаваме квадратни уравнениязапомнихме чрез дискриминанта. Или научени, което също не е лошо. Знайте как правилно да идентифицирате a, b и c... Ти знаеш как внимателнозаместете ги в кореновата формула и внимателнопрочетете резултата. Разбирате, че ключовата дума тук е внимателно?
Въпреки това, квадратните уравнения често изглеждат малко по -различни. Например, така:
то непълни квадратни уравнения ... Те също могат да бъдат решени чрез дискриминанта. Просто трябва да разберете правилно на какво са равни a, b и c.
Разбрахте ли го? В първия пример а = 1; b = -4;а ° С? Изобщо го няма! Е, да, така е. В математиката това означава, че c = 0 ! Това е всичко. Заместете нулата във формулата вместо ° С,и ще успеем. Същото е и с втория пример. Тук няма само нула с, а б !
Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по -лесно. Без никакъв дискриминатор. Помислете за първото непълно уравнение. Какво можете да направите там от лявата страна? Можете да поставите x извън скобите! Нека го извадим.
И какво от това? И фактът, че произведението е равно на нула, ако и само ако, когато някой от факторите е равен на нула! Не ми вярвате? Е, тогава помислете за две ненулеви числа, които при умножение ще дадат нула!
Не работи? Това е ...
Затова можем уверено да напишем: x = 0, или x = 4
Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. Подходящи са и двете. Когато заместваме някое от тях в първоначалното уравнение, получаваме правилната идентичност 0 = 0. Както можете да видите, решението е много по -просто, отколкото чрез дискриминанта.
Второто уравнение също може да бъде решено просто. Преместете 9 надясно. Получаваме:
Остава да извлечем корена от 9 и това е всичко. Ще се окаже:
Също така два корена ... x = +3 и x = -3.
Така се решават всички непълни квадратни уравнения. Или чрез поставяне на x в скоби, или просто като преместите числото надясно и след това извлечете корена.
Изключително трудно е да се объркат тези техники. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена от х, което по някакъв начин е неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скобите ...
Засега вземете под внимание най -добрите практики, които драстично ще намалят грешките. Същите, които се дължат на невнимание ... ... за което тогава боли и обижда ...
Първо приемане... Не бъдете мързеливи, за да го доведете до стандартната форма, преди да решите квадратното уравнение. Какво означава това?
Да речем, след някои трансформации, получавате следното уравнение:
Не бързайте да пишете кореновата формула! Почти сигурно ще смесите шансовете. a, b и c.Изградете правилно примера. Първо X е на квадрат, след това без квадрата, след което свободният член. Като този:
И отново, не бързайте! Минусът пред x в квадрата може да ви накара наистина да се натъжите. Лесно е да го забравите ... Отървете се от минуса. Как? Да, както се преподава в предишната тема! Трябва да умножите цялото уравнение с -1. Получаваме:
Но сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да попълните примера. Направи го сам. Трябва да имате корени 2 и -1.
Прием на втория.Проверете корените! По теоремата на Виета. Не се тревожете, ще ви обясня всичко! Проверка последно нещоуравнението. Тези. тази, чрез която записахме формулата за корените. Ако (както в този пример) коефициентът а = 1, проверката на корените е лесна. Достатъчно е да ги умножите. Трябва да получите безплатен член, т.е. в нашия случай -2. Обърнете внимание, не 2, а -2! Безплатен член с моя знак
... Ако не работи, значи вече е прецакано някъде. Потърсете грешка. Ако се получи, трябва да сгънете корените. Последната и последна проверка. Трябва да получите коефициент бс обратното
познат. В нашия случай -1 + 2 = +1. И коефициента бкоето е преди x е -1. Така че, всичко е правилно!
Жалко, че това е толкова просто само за примери, когато х на квадрат е чист, с коефициент а = 1.Но поне в такива уравнения, проверете! Ще има по -малко грешки.
Приемна трета... Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, отървете се от дробите! Умножете уравнението с общия знаменател, както е описано в предишния раздел. При работа с дроби по някаква причина се появяват грешки ...
Между другото, обещах да опростя злия пример с куп минуси. Моля те! Ето го.
За да не се объркаме в минусите, умножаваме уравнението с -1. Получаваме:
Това е всичко! Удоволствие е да решите!
И така, да обобщим темата.
Практически съвети:
1. Преди да решим, довеждаме квадратното уравнение до стандартната форма, изграждаме го надясно.
2. Ако има отрицателен коефициент пред x в квадрата, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение с -1.
3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение със съответния коефициент.
4. Ако x на квадрат е чисто, коефициентът при него е равен на единица, решението може лесно да се провери чрез теоремата на Виета. Направи го!
Дробни уравнения. ОДЗ.
Продължаваме да усвояваме уравненията. Вече знаем как да работим с линейни и квадратни уравнения. Остава последният поглед - дробни уравнения... Или те също се наричат много по -солидно - дробни рационални уравнения... Това е същото.
Дробни уравнения.
Както подсказва името, дробите винаги присъстват в тези уравнения. Но не само дроби, а дроби, които имат неизвестен в знаменател... Поне един. Например:
Нека ви напомня, че ако знаменателите съдържат само числата, това са линейни уравнения.
Как да се реши дробни уравнения? Първо, отървете се от дробите! След това уравнението най -често се превръща в линейно или квадратно. И тогава ние знаем какво да правим ... В някои случаи може да се превърне в идентичност, като 5 = 5, или в неправилен израз, като 7 = 2. Но това рядко се случва. Ще спомена това по -долу.
Но как да се отървете от дроби!? Много просто. Прилагане на същите идентични трансформации.
Трябва да умножим цялото уравнение със същия израз. Така че всички знаменатели са намалени! Всичко ще стане по -лесно наведнъж. Нека обясня с пример. Да предположим, че трябва да решим уравнението:
Как преподавахте в по -ниските класове? Прехвърляме всичко в една посока, довеждаме до общ знаменател и т.н. Забравете го като лош сън! Това трябва да стане, когато добавяте или изваждате дробни изрази. Или работа с неравенства. И в уравненията веднага умножаваме двете страни с израз, който ще ни даде възможност да намалим всички знаменатели (т.е. по същество с общ знаменател). И какъв е този израз?
От лявата страна, за да отмените знаменателя, умножете по x + 2... А отдясно умножете по 2. Това означава, че уравнението трябва да се умножи по 2 (x + 2)... Умножаваме:
Това е обичайното умножение на дроби, но ще го напиша подробно:
Моля, обърнете внимание, че още не разширявам скобите. (x + 2)! И така, изцяло го пиша:
От лявата страна тя е напълно намалена (x + 2), а в дясно 2. Което е задължително! След намаляване получаваме линейнауравнението:
И всеки ще реши това уравнение! x = 2.
Нека решим още един пример, малко по -сложен:
Ако си спомним, че 3 = 3/1, и 2x = 2x / 1, можете да напишете:
И отново се освобождаваме от това, което всъщност не ни харесва - дроби.
Виждаме, че за да отмените знаменателя с х, трябва да умножите дробата по (x - 2)... Няколко не ни пречат. Е, умножаваме. Цялотолявата страна и цялотоправилната страна:
Отново скоби (x - 2)Не разкривам. Работя с скобите като цяло, сякаш е едно число! Това винаги трябва да се прави, в противен случай нищо няма да бъде намалено.
С чувство на дълбоко удовлетворение режем (x - 2)и получаваме уравнението без никакви дроби, в линийка!
И сега отваряме скобите:
Ние даваме подобни, прехвърляме всичко в лявата страна и получаваме:
Класическо квадратно уравнение. Но предстоящият минус не е добър. Винаги можете да се отървете от него, като умножите или разделите на -1. Но ако разгледате внимателно примера, ще забележите, че е най -добре това уравнение да се раздели на -2! С един замах минусът ще изчезне и шансовете ще станат по -красиви! Разделете на -2. Вляво - термин по термин, а вдясно - просто разделете нула на -2, нула и получете:
Решаваме чрез дискриминанта и проверяваме по теоремата на Виета. Получаваме x = 1 и x = 3... Два корена.
Както можете да видите, в първия случай уравнението след преобразуването стана линейно, но тук то е квадратично. Случва се така, че след като се отървете от дробите, всички xe се намаляват. Остава нещо като 5 = 5. Означава, че x може да бъде всичко... Каквото и да е, пак ще се свие. И вие получавате честната истина, 5 = 5. Но след като се отървете от дроби, може да се окаже напълно невярно, като 2 = 7. Това означава, че никакви решения! С всяко x се оказва неистина.
Реализира основното решение дробни уравнения? Това е просто и логично. Променяме оригиналния израз, така че всичко, което не ни харесва, изчезва. Или се намесва. В този случай това са дроби. Ще направим същото с всякакви сложни примери с логаритми, синуси и други ужаси. Ние винагище се отървем от всичко това.
Трябва обаче да променим оригиналния израз в посоката, от която се нуждаем. според правилата, да ... Овладяване което е подготовка за изпита по математика. Така че го овладяваме.
Сега ще научим как да заобиколим един от основните засади на изпита! Но първо, нека видим дали ще влезете в него или не?
Нека разгледаме един прост пример:
Въпросът вече е познат, умножаваме двете части по (x - 2), получаваме:
Напомням ви, със скоби (x - 2)ние работим като с един цялостен израз!
Тук вече не съм писал 1 в знаменателите, това е недостойно ... И не съм чертал скоби в знаменателите, с изключение на x - 2няма нищо, не е нужно да рисувате. Съкращаваме:
Отваряме скобите, преместваме всичко наляво, даваме подобни:
Решаваме, проверяваме, получаваме два корена. x = 2и x = 3... Глоба.
Да предположим, че задачата казва да се запише коренът или тяхната сума, ако има повече от един корен. Какво ще пишем?
Ако решите, че отговорът е 5, вие бяха засадени... И задачата няма да се брои за вас. Напразно са работили ... Правилен отговор 3.
Какъв е проблема?! И вие се опитвате да направите проверка. Заменете стойностите на неизвестното в оригиналенпример. И ако при x = 3всичко ще расте чудесно заедно с нас, получаваме 9 = 9, след това с x = 2деление на нула! Какво не може да се направи категорично. Означава x = 2не е решение и не се взема предвид в отговора. Това е така нареченият външен или допълнителен корен. Просто го изпускаме. Крайният корен е един. x = 3.
Как така ?! - чувам възмутени възклицания. Бяхме научени, че уравнението може да се умножи по израз! Това е идентична трансформация!
Да, идентични. С малко условие - израза, чрез който умножаваме (делим) - ненулева... А x - 2в x = 2е равно на нула! Така че всичко е честно.
И сега какво мога да направя ?! Не се умножава по израз? Трябва ли да проверявате всеки път? Отново не е ясно!
Спокойно! Не се паникьосвайте!
В тази трудна ситуация три магически букви ще ни спасят. Знам какво мислиш. Точно така! то ОДЗ ... Обхват на разрешените стойности.
С тази математическа програма можете решаване на квадратно уравнение.
Програмата не само дава отговор на проблема, но също така показва процеса на решение по два начина:
- използване на дискриминанта
- използвайки теоремата на Виета (ако е възможно).
Освен това отговорът се показва точен, а не приблизителен.
Например за уравнението \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) отговорът се показва в тази форма:
Тази програма може да бъде полезна за учениците от средните училища при подготовка за тестове и изпити, при проверка на знанията преди изпита, за родителите, за да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да свършите домашното по математика или алгебра възможно най -бързо? В този случай можете също да използвате нашите програми с подробно решение.
По този начин можете да провеждате свое собствено обучение и / или да преподавате на по -малките си братя или сестри, докато нивото на образование в областта на решаващите се проблеми се увеличава.
Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на квадратен полином, препоръчваме ви да се запознаете с тях.
Правила за въвеждане на квадратен полином
Всяка латинска буква може да се използва като променлива.
Например: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.н.
Числата могат да се въвеждат като цели или частични числа.
Освен това дробните числа могат да бъдат въвеждани не само под формата на десетичен знак, но и под формата на обикновена дроб.
Правила за въвеждане на десетични дроби.
В десетичните дроби дробната част от цялото може да бъде отделена или с точка, или със запетая.
Например, можете да въведете десетични знаци по следния начин: 2.5x - 3.5x ^ 2
Правила за въвеждане на обикновени дроби.
Само цяло число може да се използва като числител, знаменател и цяла част от дроб.
Знаменателят не може да бъде отрицателен.
Когато въвеждате цифрова дроб, числителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
Цялата част е отделена от фракцията с амперсанд: &
Вход: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Резултат: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)
При въвеждане на израз могат да се използват скоби... В този случай при решаване на квадратно уравнение първо се опростява въведеният израз.
Например: 1/2 (y-1) (y + 1)-(5y-10 & 1/2)
Реши
Установено е, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може би сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.
Защото Има много хора, които искат да разрешат проблема, заявката ви е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по -долу.
Моля изчакайте сек ...
Ако ти забелязах грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формуляра за обратна връзка.
Не забравяй посочи коя задачати решаваш и какво въведете в полетата.
Нашите игри, пъзели, емулатори:
Малко теория.
Квадратно уравнение и неговите корени. Непълни квадратни уравнения
Всяко от уравненията
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
има формата
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
където x е променлива, a, b и c са числа.
В първото уравнение a = -1, b = 6 и c = 1,4, във второто a = 8, b = -7 и c = 0, в третото a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такива уравнения се наричат квадратни уравнения.
Определение.
Квадратно уравнениее уравнение от формата ax 2 + bx + c = 0, където x е променлива, a, b и c са някои числа и \ (a \ neq 0 \).
Числата a, b и c са коефициентите на квадратното уравнение. Числото a се нарича първи коефициент, числото b - вторият коефициент, а числото c - свободният член.
Във всяко от уравненията под формата ax 2 + bx + c = 0, където \ (a \ neq 0 \), най -голямата степен на променливата x е квадратът. Оттук и името: квадратно уравнение.
Обърнете внимание, че квадратното уравнение се нарича още уравнение от втора степен, тъй като лявата му страна е полином от втора степен.
Извиква се квадратно уравнение, при което коефициентът при x 2 е 1 редуцирано квадратно уравнение... Например редуцираните квадратни уравнения са уравненията
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)
Ако в квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0 поне един от коефициентите b или c е равен на нула, тогава такова уравнение се нарича непълно квадратно уравнение... И така, уравненията -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 са непълни квадратни уравнения. В първия от тях b = 0, във втория c = 0, в третия b = 0 и c = 0.
Непълните квадратни уравнения са три вида:
1) ax 2 + c = 0, където \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, където \ (b \ neq 0 \);
3) ос 2 = 0.
Нека разгледаме решението на уравнения на всеки от тези типове.
За да разрешите непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0 за \ (c \ neq 0 \), прехвърлете свободния му член в дясната страна и разделете двете страни на уравнението с a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Rightarrow x_ (1,2) = \ pm \ sqrt ( - \ frac (c) (a)) \)
Тъй като \ (c \ neq 0 \), тогава \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)
Ако \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), тогава уравнението има два корена.
Ако \ (- \ frac (c) (a) За решаване на непълно квадратично уравнение от формата ax 2 + bx = 0 с \ (b \ neq 0 \) разпределете лявата му страна на фактори и получете уравнението
\ (x (ax + b) = 0 \ Rightarrow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ Rightarrow \ left \ (\ start (масив) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (масив) \ вдясно. \)
Следователно, едно непълно квадратно уравнение на формата ax 2 + bx = 0 за \ (b \ neq 0 \) винаги има два корена.
Непълно квадратно уравнение от формата ax 2 = 0 е еквивалентно на уравнението x 2 = 0 и следователно има уникален корен 0.
Формулата за корените на квадратно уравнение
Нека сега разгледаме как се решават квадратните уравнения, при които и коефициентите на неизвестните, и свободният член са различни от нула.
Нека решим квадратното уравнение в общ вид и в резултат получаваме формулата за корените. Тогава тази формула може да се приложи за решаване на всяко квадратно уравнение.
Решете квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0
Разделяйки двете му части на a, получаваме еквивалентното намалено квадратно уравнение
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)
Преобразуваме това уравнение, като изберем квадрата на бинома:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Rightarrow \)
Радикалният израз се нарича дискриминанта на квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0 (латински "дискриминант" е дискриминатор). Обозначава се с буквата D, т.е.
\ (D = b ^ 2-4ac \)
Сега, използвайки нотация на дискриминанта, пренаписваме формулата за корените на квадратното уравнение:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), където \ (D = b ^ 2-4ac \)
Очевидно е, че:
1) Ако D> 0, тогава квадратното уравнение има два корена.
2) Ако D = 0, тогава квадратното уравнение има един корен \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Ако D По този начин, в зависимост от стойността на дискриминанта, квадратното уравнение може да има два корена (за D> 0), един корен (за D = 0) или да няма корени (за D При решаване на квадратно уравнение, използвайки това формула, препоръчително е да се процедира по следния начин:
1) изчислете дискриминанта и го сравнете с нула;
2) ако дискриминантът е положителен или равен на нула, използвайте кореновата формула, ако дискриминантът е отрицателен, след това запишете, че няма корени.
Теоремата на Виета
Даденото квадратно уравнение ax 2 -7x + 10 = 0 има корени 2 и 5. Сумата от корените е 7, а продуктът е 10. Виждаме, че сумата от корените е равна на втория коефициент, взет с обратното знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Всяко квадратно уравнение с корени има това свойство.
Сумата от корените на даденото квадратно уравнение е равна на втория коефициент, взет с противоположния знак, а произведението на корените е равно на свободния член.
Тези. Теоремата на Виета гласи, че корените x 1 и x 2 от редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0 имат свойството:
\ (\ наляво \ (\ начало (масив) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (масив) \ надясно. \)
Квадратните уравнения често се появяват при решаване на различни задачи във физиката и математиката. В тази статия ще разгледаме как да решим тези равенства по универсален начин "чрез дискриминанта". Примери за използване на придобитите знания също са дадени в статията.
За какви уравнения говорим?
Фигурата по -долу показва формула, в която x е неизвестна променлива, а латинските символи a, b, c представляват известни числа.
Всеки от тези символи се нарича коефициент. Както можете да видите, числото "a" е пред квадратната променлива x. Това е максималната мощност на представения израз, поради което се нарича квадратно уравнение. Другото му име често се използва: уравнение от втори ред. Самата стойност a е квадратният коефициент (стоящ за променливата на квадрат), b е линейният коефициент (той е до променливата, повдигната до първата степен), и накрая, числото c е свободният член.
Обърнете внимание, че формата на уравнението, показана на фигурата по -горе, е обикновен класически квадратен израз. В допълнение към него има и други уравнения от втори ред, в които коефициентите b, c могат да бъдат нула.
Когато проблемът е поставен за решаване на разглежданото равенство, това означава, че трябва да се намерят такива стойности на променливата x, които да я задоволяват. Тук първото нещо, което трябва да запомните, е следното: тъй като максималната степен на x е 2, този вид израз не може да има повече от 2 решения. Това означава, че ако при решаването на уравнението са открити 2 стойности на x, които го удовлетворяват, тогава можете да сте сигурни, че няма трето число, замествайки което вместо x, равенството също би било вярно. Решенията на уравнение в математиката се наричат корени.
Методи за решаване на уравнения от втори ред
Решаването на уравнения от този тип изисква познаване на известна теория за тях. В курса по училищна алгебра се разглеждат 4 различни метода на решаване. Нека ги изброим:
- използване на факторизация;
- използвайки формулата за пълен квадрат;
- чрез прилагане на графиката на съответната квадратна функция;
- използвайки дискриминантното уравнение.
Предимството на първия метод се състои в неговата простота, но не може да се приложи към всички уравнения. Вторият метод е универсален, но донякъде тромав. Третият метод се отличава със своята яснота, но не винаги е удобен и приложим. И накрая, използването на дискриминационното уравнение е универсален и сравнително прост начин за намиране на корените на абсолютно всяко уравнение от втори ред. Ето защо в статията ще го разгледаме само.
Формула за получаване на корените на уравнението
Нека се обърнем към общата форма на квадратното уравнение. Нека го запишем: a * x² + b * x + c = 0. Преди да се използва методът за решаването му „чрез дискриминанта“, равенството винаги трябва да се свежда до писмената форма. Тоест, тя трябва да се състои от три члена (или по -малко, ако b или c е 0).
Например, ако има израз: x² -9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², тогава първо трябва да преместите всички негови членове в едната страна на равенството и да добавите термините, съдържащи променливата x в същите правомощия.
В този случай тази операция ще доведе до следния израз: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, което е еквивалентно на уравнението 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (тук умножихме лявото и дясните страни на равенството с -1) ...
В горния пример, a = 6, b = 4, c = -8. Имайте предвид, че всички условия на разглежданото равенство винаги се сумират помежду си, така че ако се появи знакът "-", това означава, че съответният коефициент е отрицателен, подобно на числото c в този случай.
След като разгледахме тази точка, сега се обръщаме към самата формула, която дава възможност да се получат корените на квадратно уравнение. Той има формата, показана на снимката по -долу.
Както можете да видите от този израз, той ви позволява да получите два корена (трябва да обърнете внимание на знака "±"). За да направите това, достатъчно е да замените в него коефициентите b, c и a.
Дискриминационна концепция
В предишния параграф беше дадена формула, която ви позволява бързо да решите всяко уравнение от втори ред. В него радикалният израз се нарича дискриминант, тоест D = b²-4 * a * c.
Защо тази част от формулата е подчертана и дори има собствено име? Факт е, че дискриминантът свързва и трите коефициента на уравнението в един израз. Последният факт означава, че той изцяло носи информация за корените, която може да бъде изразена в следния списък:
- D> 0: равенството има 2 различни решения, като и двете са реални числа.
- D = 0: Уравнението има само един корен и е реално число.
Задачата за определяне на дискриминанта
Нека да дадем прост пример за това как да открием дискриминанта. Нека бъде дадено следното равенство: 2 * x²-4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.
Довеждаме го до стандартната форма, получаваме: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (-4-7) = 0, откъдето стигаме до равенството : -2 * x² + 2 * x -11 = 0. Тук a = -2, b = 2, c = -11.
Сега можете да използвате посочената формула за дискриминанта: D = 2² - 4 * ( - 2) * ( - 11) = -84. Полученото число е отговорът на задачата. Тъй като дискриминантът в примера е по -малък от нула, тогава можем да кажем, че това квадратно уравнение няма реални корени. Само комплексните числа ще бъдат неговото решение.
Пример за неравенство чрез дискриминанта
Нека решим задачи от малко по -различен тип: предвид равенството -3 * x² -6 * x + c = 0. Необходимо е да се намерят такива стойности на c, за които D> 0.
В този случай са известни само 2 от 3 коефициента, така че няма да е възможно да се изчисли точната стойност на дискриминанта, но е известно, че тя е положителна. Използваме последния факт при съставяне на неравенството: D = (-6) ²-4 * (-3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Решението на полученото неравенство води до резултата: c> -3.
Нека проверим получения номер. За да направите това, изчислете D за 2 случая: c = -2 и c = -4. Числото -2 удовлетворява получения резултат (-2> -3), съответният дискриминант ще има стойността: D = 12> 0. На свой ред числото -4 не удовлетворява неравенството (-4 По този начин всички числа c, които са по -големи от -3, ще задоволят условието.
Пример за решаване на уравнение
Нека представим проблем, който се състои не само в намирането на дискриминанта, но и в решаването на уравнението. Трябва да намерите корените за равенството -2 * x² + 7-9 * x = 0.
В този пример дискриминантът е равен на следната стойност: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Тогава корените на уравнението се дефинират, както следва: x = (9 ± √137) / (- 4). Това са точните стойности на корените, ако изчислите приблизителния корен, тогава получавате числата: x = -5.176 и x = 0.676.
Геометричен проблем
Нека решим проблем, който ще изисква не само способността да се изчислява дискриминанта, но и използването на умения за абстрактно мислене и знания как да се правят квадратни уравнения.
Боб имаше завивка 5 х 4 метра. Момчето искаше да шие непрекъсната лента от красива материя по периметъра. Колко дебела ще бъде тази лента, ако е известно, че Боб има 10 м² плат.
Нека лентата има дебелина xm, тогава площта на тъканта по дългата страна на одеялото ще бъде (5 + 2 * x) * x, а тъй като има 2 дълги страни, имаме: 2 * x * (5 + 2 * x). На късата страна площта на пришития плат ще бъде 4 * x, тъй като има 2 от тези страни, получаваме стойността 8 * x. Обърнете внимание, че 2 * x е добавено към дългата страна, тъй като дължината на одеялото се е увеличила с това число. Общата площ на тъканта, пришита към одеялото, е 10 м². Следователно получаваме равенство: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.
За този пример дискриминантът е: D = 18²-4 * 4 * (-10) = 484. Коренът му е 22. Използвайки формулата, намираме необходимите корени: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0,5). Очевидно е, че от двата корена само числото 0,5 е подходящо според постановката на проблема.
Така лентата от плат, която Боб ще пришие към одеялото си, ще бъде широка 50 см.
По по -прост начин. За да направите това, поставете z извън скобите. Ще получите: z (аz + b) = 0. Факторите могат да бъдат записани: z = 0 и аz + b = 0, тъй като и двете могат да доведат до нула. В обозначението az + b = 0 преместваме втория надясно с различен знак. Следователно получаваме z1 = 0 и z2 = -b / a. Това са корените на оригинала.
Ако има непълно уравнение от формата аz² + с = 0, в този случай те се намират чрез просто прехвърляне на свободния член в дясната част на уравнението. Също така променете знака си, когато правите това. Резултатът ще бъде az² = -c. Експресно z² = -c / a. Вземете корена и запишете две решения - положителен и отрицателен квадратен корен.
Забележка
Ако в уравнението има дробни коефициенти, умножете цялото уравнение с подходящия коефициент, така че да се отървете от дробите.
Знанието за това как да се решават квадратни уравнения е необходимо както за ученици, така и за студенти, понякога може да помогне и на възрастен в ежедневието. Има няколко специфични метода на решение.
Решаване на квадратни уравнения
Квадратно уравнение под формата a * x ^ 2 + b * x + c = 0. Коефициентът x е желаната променлива, a, b, c са числови коефициенти. Не забравяйте, че знакът "+" може да се промени в знак "-".За да се реши това уравнение, е необходимо да се използва теоремата на Виета или да се намери дискриминанта. Най -често срещаният начин е да се намери дискриминанта, тъй като за някои стойности на a, b, c не е възможно да се използва теоремата на Виета.
За да намерите дискриминанта (D), трябва да напишете формулата D = b ^ 2 - 4 * a * c. Стойността D може да бъде по -голяма от, по -малка или равна на нула. Ако D е по -голямо или по -малко от нула, тогава ще има два корена, ако D = 0, тогава остава само един корен, по -точно можем да кажем, че D в този случай има два еквивалентни корена. Включете известните коефициенти a, b, c във формулата и изчислете стойността.
След като откриете дискриминанта, за да намерите x, използвайте формулите: x (1) = (- b + sqrt (D)) / 2 * a; x (2) = (- b-sqrt (D)) / 2 * a, където sqrt е функция за извличане на квадратния корен от дадено число. След като изчислите тези изрази, ще намерите два корена на вашето уравнение, след което уравнението се счита за решено.
Ако D е по -малко от нула, тогава той все още има корени. В училище този раздел практически не се изучава. Студентите трябва да знаят, че в корена се появява отрицателно число. Те се отърват от него, като маркират въображаемата част, тоест -1 под корена винаги е равно на въображаемия елемент „i“, който се умножава по корена със същото положително число. Например, ако D = sqrt (-20), след преобразуването се оказва D = sqrt (20) * i. След тази трансформация решението на уравнението се свежда до същото откритие на корените, както е описано по -горе.
Теоремата на Виета е да избере стойностите x (1) и x (2). Използват се две еднакви уравнения: x (1) + x (2) = -b; x (1) * x (2) = c. Освен това много важен момент е знакът пред коефициента b, не забравяйте, че този знак е противоположен на този в уравнението. На пръв поглед изглежда, че е много лесно да се изчислят x (1) и x (2), но при решаването ще се сблъскате с факта, че числата ще трябва да бъдат избрани.
Елементи за решаване на квадратни уравнения
Според правилата на математиката някои могат да бъдат разложени на фактори: (a + x (1)) * (bx (2)) = 0, ако сте успели да трансформирате това квадратно уравнение по този начин, използвайки формулите на математиката, тогава не се колебайте да запишете отговора. x (1) и x (2) ще бъдат равни на съседните коефициенти в скоби, но с обратен знак.Също така не забравяйте за непълните квадратни уравнения. Може да ви липсват някои от термините, ако е така, тогава всичките му коефициенти са просто равни на нула. Ако няма нищо пред x ^ 2 или x, тогава коефициентите a и b са равни на 1.
Тази тема може да изглежда сложна в началото поради многото трудни формули. Не само самите квадратни уравнения имат дълги записи, но и корените се намират чрез дискриминанта. Има общо три нови формули. Не е лесно да се запомни. Това е възможно само след често решаване на такива уравнения. Тогава всички формули ще се запомнят сами.
Общ изглед на квадратното уравнение
Тук се предлага тяхното изрично записване, когато първо се записва най -високата степен, а след това в низходящ ред. Често има ситуации, когато условията не са наред. Тогава е по -добре да пренапишете уравнението в низходящ ред на степента на променливата.
Нека въведем нотация. Те са представени в таблицата по -долу.
Ако приемем тези обозначения, всички квадратни уравнения се свеждат до следния запис.
Освен това коефициентът a ≠ 0. Нека тази формула се обозначи с номер едно.
Когато е дадено уравнението, не е ясно колко корени ще има в отговора. Тъй като винаги е възможен един от трите варианта:
- в разтвора ще има два корена;
- отговорът е едно число;
- уравнението изобщо няма да има корени.
И докато решението не бъде доведено до края, е трудно да се разбере коя от опциите ще изпадне в конкретен случай.
Видове записи на квадратни уравнения
Задачите могат да съдържат различни записи. Те не винаги ще изглеждат като общо квадратно уравнение. Понякога ще липсват някои условия. Това, което беше написано по -горе, е пълно уравнение. Ако премахнете втория или третия термин в него, получавате нещо различно. Тези записи също се наричат квадратни уравнения, само непълни.
Нещо повече, само условията, при които коефициентите "b" и "c" могат да изчезнат. Числото "а" при никакви обстоятелства не може да бъде равно на нула. Тъй като в този случай формулата се превръща в линейно уравнение. Формулите за непълна форма на уравнения ще бъдат както следва:
Така че, има само два типа, освен пълни, има и непълни квадратни уравнения. Нека първата формула е номер две, а втората номер три.
Дискриминация и зависимост на броя на корените от неговата стойност
Трябва да знаете това число, за да изчислите корените на уравнението. Винаги може да се изчисли, независимо от формулата на квадратното уравнение. За да изчислите дискриминанта, трябва да използвате равенството, написано по -долу, което ще има числото четири.
След като замените стойностите на коефициентите в тази формула, можете да получите числа с различни знаци. Ако отговорът е да, тогава отговорът на уравнението ще бъде от два различни корена. Ако числото е отрицателно, корените на квадратното уравнение ще отсъстват. Ако е равно на нула, отговорът ще бъде един.
Как се решава пълно квадратно уравнение?
Всъщност разглеждането на този въпрос вече е започнало. Защото първо трябва да намерите дискриминанта. След като е установено, че има корени на квадратното уравнение и техният брой е известен, трябва да използвате формулите за променливите. Ако има два корена, тогава трябва да приложите тази формула.
Тъй като съдържа знака „±“, ще има две стойности. Изразът с квадратен корен е дискриминант. Следователно формулата може да бъде пренаписана по различен начин.
Формула номер пет. Същият запис показва, че ако дискриминантът е нула, тогава двата корена ще приемат едни и същи стойности.
Ако решението на квадратни уравнения все още не е разработено, тогава е по -добре да запишете стойностите на всички коефициенти, преди да приложите дискриминантните и променливите формули. По -късно този момент няма да причини трудности. Но в самото начало има объркване.
Как се решава непълно квадратно уравнение?
Тук всичко е много по -просто. Дори няма нужда от допълнителни формули. И няма да имате нужда от тези, които вече са записани за дискриминантния и непознатия.
Първо, помислете за непълното уравнение номер две. В това равенство се предполага, че неизвестното количество се изважда от скобите и се решава линейното уравнение, което остава в скобите. Отговорът ще има два корена. Първият е задължително равен на нула, защото има фактор, състоящ се от самата променлива. Второто се получава чрез решаване на линейно уравнение.
Непълното уравнение номер три се решава чрез прехвърляне на числото от лявата страна на уравнението в дясно. След това трябва да разделите на фактора пред неизвестното. Остава само да извлечете квадратния корен и да не забравяте да го запишете два пъти с противоположни знаци.
След това се пишат някои действия, които да ви помогнат да научите как да решавате всякакви равенства, които се превръщат в квадратни уравнения. Те ще помогнат на ученика да избегне небрежни грешки. Тези недостатъци са причина за лоши оценки при изучаване на обширната тема „Квадратични уравнения (8 клас)“. Впоследствие няма да е необходимо тези действия да се извършват постоянно. Защото ще се появи стабилно умение.
- Първо, трябва да напишете уравнението в стандартен вид. Тоест първо терминът с най -високата степен на променливата, а след това - без степента и последната - само число.
- Ако минус се появи пред коефициента "а", това може да усложни работата за начинаещ да изучава квадратни уравнения. По -добре е да се отървете от него. За тази цел цялото равенство трябва да се умножи по "-1". Това означава, че всички термини ще променят знака си на обратното.
- По същия начин се препоръчва да се отървете от дроби. Просто умножете уравнението с подходящия коефициент, за да отмените знаменателите.
Примери за
Необходимо е да се решат следните квадратни уравнения:
x 2 - 7x = 0;
15 - 2x - x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).
Първото уравнение: x 2 - 7x = 0. То е непълно, затова се решава, както е описано за формулата номер две.
След излизане от скобите се оказва: x (x - 7) = 0.
Първият корен приема стойността: x 1 = 0. Вторият ще се намери от линейното уравнение: x - 7 = 0. Лесно е да се види, че x 2 = 7.
Второ уравнение: 5x 2 + 30 = 0. Отново непълно. Само тя е решена, както е описано за третата формула.
След прехвърляне на 30 в дясната страна на равенството: 5x 2 = 30. Сега трябва да разделите на 5. Оказва се: x 2 = 6. Отговорите ще бъдат числа: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.
Третото уравнение: 15 - 2x - x 2 = 0. По -нататък решението на квадратни уравнения ще започне с пренаписването им в стандартната форма: - x 2 - 2x + 15 = 0. Сега е време да използваме втория полезен съвет и умножете всичко по минус едно ... Оказва се x 2 + 2x - 15 = 0. Според четвъртата формула трябва да изчислите дискриминанта: D = 2 2 - 4 * ( - 15) = 4 + 60 = 64. Това е положително число. От казаното по -горе се оказва, че уравнението има два корена. Те трябва да бъдат изчислени по петата формула. Оказва се, че x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогава x 1 = 3, x 2 =-5.
Четвъртото уравнение x 2 + 8 + 3x = 0 се трансформира в това: x 2 + 3x + 8 = 0. Неговият дискриминант е равен на тази стойност: -23. Тъй като това число е отрицателно, отговорът на тази задача ще бъде следният запис: "Няма корени."
Петото уравнение 12x + x 2 + 36 = 0 трябва да бъде преписано, както следва: x 2 + 12x + 36 = 0. След прилагане на формулата за дискриминанта се получава числото нула. Това означава, че той ще има един корен, а именно: x = -12 / (2 * 1) = -6.
Шестото уравнение (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) изисква трансформации, които се състоят в това, че трябва да въведете подобни членове, преди да отворите скобите. На мястото на първия ще има такъв израз: x 2 + 2x + 1. След равенството ще се появи този запис: x 2 + 3x + 2. След като тези членове бъдат преброени, уравнението ще приеме формата: x 2 - x = 0. Превърна се в непълна ... Нещо подобно на него вече се счита за малко по -високо. Корените на това ще бъдат числата 0 и 1.
Зареждане ...