Понякога в живота има ситуации, когато трябва да се ровите в паметта си в търсене на отдавна забравени училищни знания. Например, трябва да определите площта на парцел с триъгълна форма или дойде редът на следващия ремонт в апартамент или частна къща и трябва да изчислите колко материал ще отнеме за повърхност с триъгълна форма. Имаше време, когато можехте да решите такъв проблем за няколко минути, а сега отчаяно се опитвате да си спомните как да определите площта на триъгълник?
Не е нужно да се тревожите за това! В крайна сметка е съвсем нормално, когато човешкият мозък реши да премести отдавна неизползваното знание някъде в отдалечен ъгъл, откъдето понякога не е толкова лесно да го извлече. За да не се налага да страдате с търсенето на забравени училищни знания, за да разрешите такъв проблем, тази статия съдържа различни методи, които улесняват намирането на необходимата площ на триъгълник.
Добре известно е, че триъгълникът е вид многоъгълник, който е ограничен от минималния възможен брой страни. По принцип всеки многоъгълник може да бъде разделен на няколко триъгълника, като се свържат върховете му със сегменти, които не пресичат страните му. Следователно, знаейки триъгълника, можете да изчислите площта на почти всяка фигура.
Сред всички възможни триъгълници, които се срещат в живота, могат да се разграничат следните конкретни типове: и правоъгълни.
Най-лесният начин да се изчисли площта на триъгълник е, когато един от ъглите му е прав, тоест в случай на правоъгълен триъгълник. Лесно е да се види, че е половин правоъгълник. Следователно площта му е равна на половината от произведението на страните, които образуват прав ъгъл между тях.
Ако знаем височината на триъгълника, спуснат от един от върховете му до противоположната страна, и дължината на тази страна, която се нарича основа, тогава площта се изчислява като половината от произведението на височината и основата. Това се записва по следната формула:
S = 1/2*b*h, при което
S е желаната площ на триъгълника;
b, h - съответно височината и основата на триъгълника.
Толкова е лесно да се изчисли площта на равнобедрен триъгълник, тъй като височината ще раздели противоположната страна и може лесно да бъде измерена. Ако площта е определена, тогава е удобно да вземете дължината на една от страните, образуващи прав ъгъл, като височина.
Всичко това със сигурност е добре, но как да определим дали един от ъглите на триъгълника е прав или не? Ако размерът на нашата фигура е малък, тогава можете да използвате строителен ъгъл, триъгълник за рисуване, пощенска картичка или друг обект с правоъгълна форма.
Но какво ще стане, ако имаме триъгълен парцел? В този случай процедирайте по следния начин: от горната част на предполагаемия прав ъгъл от едната страна се измерва разстояние, кратно на 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), а от другата страна разстояние, кратно на 4 (40 см, 160 см, 4 м). Сега трябва да измерите разстоянието между крайните точки на тези два сегмента. Ако стойността е кратна на 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), тогава може да се твърди, че ъгълът е прав.
Ако е известна стойността на дължината на всяка от трите страни на нашата фигура, тогава площта на триъгълника може да се определи с помощта на формулата на Херон. За да има по-опростена форма, се използва нова стойност, която се нарича полупериметър. Това е сборът от всички страни на нашия триъгълник, разделен наполовина. След като се изчисли полупериметърът, можете да започнете да определяте площта по формулата:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), където
sqrt - корен квадратен;
p е стойността на полупериметъра (p =(a+b+c)/2);
a, b, c - ръбове (страни) на триъгълника.
Но какво ще стане, ако триъгълникът има неправилна форма? Тук има два възможни начина. Първият от тях е да се опитаме да разделим такава фигура на два правоъгълни триъгълника, чиято сума от площите се изчислява отделно и след това се добавя. Или, ако ъгълът между двете страни и размерът на тези страни са известни, тогава приложете формулата:
S = 0,5 * ab * sinC, където
a,b - страните на триъгълника;
c е ъгълът между тези страни.
Последният случай е рядък на практика, но въпреки това всичко е възможно в живота, така че горната формула няма да е излишна. Успех с изчисленията!
Триъгълникът е добре позната фигура. И това, въпреки богатото разнообразие от форми. Правоъгълна, равностранна, остра, равнобедрена, тъпа. Всеки от тях е малко по-различен. Но за всеки е необходимо да се знае площта на триъгълника.
Общи формули за всички триъгълници, които използват дължините на страните или височините
Приетите в тях обозначения: страни - a, b, c; височини на съответните страни на a, n in, n s.
1. Площта на триъгълник се изчислява като произведение на ½, страната и височината, спусната върху него. S = ½ * a * n a. По същия начин трябва да се напишат формули за другите две страни.
2. Формула на Херон, в която се появява полупериметърът (прието е да се обозначава с малка буква p, за разлика от пълния периметър). Полупериметърът трябва да се изчисли по следния начин: съберете всички страни и ги разделете на 2. Формулата за полупериметъра: p = (a + b + c) / 2. След това равенството за площта на Фигурата изглежда така: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).
3. Ако не искате да използвате полупериметър, тогава ще ви бъде полезна такава формула, в която присъстват само дължините на страните: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Той е малко по-дълъг от предишния, но ще ви помогне, ако сте забравили как да намерите полупериметъра.
Общи формули, в които се появяват ъглите на триъгълник
Нотацията, която е необходима за четене на формулите: α, β, γ - ъгли. Те лежат на противоположните страни съответно a, b, c.
1. Според него половината от произведението на две страни и синусът на ъгъла между тях е равен на площта на триъгълника. Тоест: S = ½ a * b * sin γ. Формулите за другите два случая трябва да бъдат написани по подобен начин.
2. Площта на триъгълник може да се изчисли от една страна и три известни ъгъла. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. Има и формула с една известна страна и два ъгъла, съседни на нея. Изглежда така: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
Последните две формули не са най-простите. Доста е трудно да ги запомните.
Общи формули за ситуацията, когато са известни радиусите на вписаните или описани окръжности
Допълнителни обозначения: r, R — радиуси. Първият се използва за радиуса на вписаната окръжност. Втората е за описаната.
1. Първата формула, по която се изчислява площта на триъгълник, е свързана с полупериметъра. S = r * r. По друг начин може да се запише, както следва: S = ½ r * (a + b + c).
2. Във втория случай ще трябва да умножите всички страни на триъгълника и да ги разделите на четворния радиус на описаната окръжност. Буквално изглежда така: S \u003d (a * b * c) / (4R).
3. Третата ситуация ви позволява да правите без да знаете страните, но имате нужда от стойностите и на трите ъгъла. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.
Специален случай: правоъгълен триъгълник
Това е най-простата ситуация, тъй като се изисква само дължината на двата крака. Те се обозначават с латинските букви a и b. Площта на правоъгълния триъгълник е равна на половината от площта на правоъгълника, добавен към него.
Математически изглежда така: S = ½ a * b. Тя е най-лесна за запомняне. Тъй като изглежда като формулата за площта на правоъгълник, се появява само дроб, обозначаващ половината.
Специален случай: равнобедрен триъгълник
Тъй като двете му страни са равни, някои формули за неговата площ изглеждат донякъде опростени. Например, формулата на Херон, която изчислява площта на равнобедрен триъгълник, приема следната форма:
S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).
Ако го преобразувате, той ще стане по-кратък. В този случай формулата на Херон за равнобедрен триъгълник се записва, както следва:
S = ¼ в √(4 * a 2 - b 2).
Формулата за площ изглежда малко по-проста, отколкото за произволен триъгълник, ако страните и ъгълът между тях са известни. S \u003d ½ a 2 * sin β.
Специален случай: равностранен триъгълник
Обикновено при проблемите около него страната се знае или може по някакъв начин да бъде разпозната. Тогава формулата за намиране на площта на такъв триъгълник е както следва:
S = (a 2 √3) / 4.
Задачи за намиране на площта, ако триъгълникът е изобразен на карирана хартия
Най-простата ситуация е, когато се начертае правоъгълен триъгълник, така че краката му да съвпадат с линиите на хартията. След това просто трябва да преброите броя на клетките, които се вписват в краката. След това ги умножете и разделете на две.
Когато триъгълникът е остър или тъп, той трябва да бъде начертан до правоъгълник. Тогава в получената фигура ще има 3 триъгълника. Единият е този, който е даден в задачата. А другите две са спомагателни и правоъгълни. Площите на последните две трябва да се определят по описания по-горе метод. След това изчислете площта на правоъгълника и извадете от него изчислените за спомагателните. Определя се площта на триъгълника.
Много по-трудна е ситуацията, при която нито една от страните на триъгълника не съвпада с линиите на хартията. След това той трябва да бъде вписан в правоъгълник, така че върховете на оригиналната фигура да лежат отстрани. В този случай ще има три спомагателни правоъгълни триъгълника.
Пример за проблем във формулата на Херон
състояние. Някои триъгълници имат страни. Те са равни на 3, 5 и 6 см. Трябва да знаете неговата площ.
Сега можете да изчислите площта на триъгълник, като използвате горната формула. Под корен квадратен е произведението на четири числа: 7, 4, 2 и 1. Тоест площта е √ (4 * 14) = 2 √ (14).
Ако не се нуждаете от по-голяма точност, тогава можете да вземете корен квадратен от 14. Това е 3,74. Тогава площта ще бъде равна на 7,48.
Отговор. S \u003d 2 √14 cm 2 или 7,48 cm 2.
Пример за задача с правоъгълен триъгълник
състояние. Единият катет на правоъгълен триъгълник е с 31 см по-дълъг от втория. Необходимо е да се намерят дължините им, ако площта на триъгълника е 180 см 2.
Решение. Трябва да решите система от две уравнения. Първият е свързан с площта. Вторият е със съотношението на краката, което е дадено в задачата.
180 \u003d ½ a * b;
a \u003d b + 31.
Първо, стойността на "a" трябва да бъде заместена в първото уравнение. Оказва се: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Има само едно неизвестно количество, така че е лесно да се реши. След отваряне на скобите се получава квадратно уравнение: в 2 + 31 in - 360 \u003d 0. Дава две стойности за "in": 9 и - 40. Второто число не е подходящо като отговор , тъй като дължината на страната на триъгълника не може да бъде отрицателна стойност.
Остава да изчислим втория крак: към полученото число добавете 31. Оказва се 40. Това са търсените количества в задачата.
Отговор. Катетата на триъгълника са 9 и 40 см.
Задачата за намиране на страната през площта, страната и ъгъла на триъгълник
състояние. Площта на някакъв триъгълник е 60 см2. Необходимо е да се изчисли една от неговите страни, ако втората страна е 15 см, а ъгълът между тях е 30º.
Решение. Въз основа на приетите обозначения, желаната страна е "a", известната "b", даденият ъгъл е "γ". Тогава формулата за площ може да бъде пренаписана, както следва:
60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Тук синусът от 30 градуса е 0,5.
След трансформации "a" се оказва равно на 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Това е 16.
Отговор. Желаната страна е 16 см.
Задачата за квадрат, вписан в правоъгълен триъгълник
състояние. Върхът на квадрат със страна 24 см съвпада с правия ъгъл на триъгълника. Другите двама лежат на краката. Третият принадлежи на хипотенузата. Дължината на един от катетите е 42 см. Каква е площта на правоъгълен триъгълник?
Решение. Помислете за два правоъгълни триъгълника. Първият е посочен в задачата. Вторият се основава на известния крак на оригиналния триъгълник. Те са подобни, защото имат общ ъгъл и се образуват от успоредни прави.
Тогава съотношенията на краката им са равни. Катетата на по-малкия триъгълник са 24 cm (страна на квадрата) и 18 cm (дан катет 42 cm минус страната на квадрата 24 cm). Съответните крака на големия триъгълник са 42 см и х см. Именно това "х" е необходимо, за да се изчисли площта на триъгълника.
18/42 \u003d 24 / x, тоест x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (см).
Тогава площта е равна на произведението на 56 и 42, разделено на две, тоест 1176 cm 2.
Отговор. Желаната площ е 1176 см 2.
Концепцията за площ
Концепцията за площта на всяка геометрична фигура, по-специално триъгълник, ще бъде свързана с такава фигура като квадрат. За единица площ на всяка геометрична фигура ще вземем площта на квадрат, чиято страна е равна на единица. За пълнота припомняме две основни свойства за концепцията за области на геометрични форми.
Свойство 1:Ако геометричните фигури са равни, тогава техните площи също са равни.
Свойство 2:Всяка фигура може да бъде разделена на няколко фигури. Освен това площта на оригиналната фигура е равна на сумата от стойностите на площите на всички фигури, които я съставят.
Помислете за пример.
Пример 1
Очевидно е, че една от страните на триъгълника е диагоналът на правоъгълника , който има едната страна с дължина $5$ (от $5$ клетки), а другата $6$ (от $6$ клетки). Следователно площта на този триъгълник ще бъде равна на половината от такъв правоъгълник. Площта на правоъгълника е
Тогава площта на триъгълника е
Отговор: $15 $.
След това помислете за няколко метода за намиране на площите на триъгълници, а именно с помощта на височината и основата, като използвате формулата на Херон и площта на равностранен триъгълник.
Как да намерите площта на триъгълник с помощта на височината и основата
Теорема 1
Площта на триъгълник може да се намери като половината от произведението на дължината на една страна, умножена на височината, изтеглена към тази страна.
Математически изглежда така
$S=\frac(1)(2)αh$
където $a$ е дължината на страната, $h$ е изтеглената към нея височина.
Доказателство.
Помислете за триъгълник $ABC$, където $AC=α$. Височината $BH$ се изтегля от тази страна и е равна на $h$. Нека го изградим до квадрата $AXYC$, както е на фигура 2.
Площта на правоъгълника $AXBH$ е $h\cdot AH$, а тази на правоъгълника $HBYC$ е $h\cdot HC$. Тогава
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Следователно, желаната площ на триъгълника, според свойство 2, е равна на
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Теоремата е доказана.
Пример 2
Намерете площта на триъгълника на фигурата по-долу, ако клетката има площ, равна на единица
Основата на този триъгълник е $9$ (тъй като $9$ е $9$ клетки). Височината също е $9 $. Тогава по теорема 1 получаваме
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Отговор: $40,5$.
Формулата на Херон
Теорема 2
Ако са ни дадени три страни на триъгълник $α$, $β$ и $γ$, тогава неговата площ може да се намери по следния начин
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
тук $ρ$ означава полупериметъра на този триъгълник.
Доказателство.
Помислете за следната фигура:
По теоремата на Питагор от триъгълника $ABH$ получаваме
От триъгълника $CBH$, по теоремата на Питагор, имаме
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
От тези две отношения получаваме равенството
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Тъй като $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, то $α+β+γ=2ρ$, следователно
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
По теорема 1 получаваме
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Концепцията за площ
Концепцията за площта на всяка геометрична фигура, по-специално триъгълник, ще бъде свързана с такава фигура като квадрат. За единица площ на всяка геометрична фигура ще вземем площта на квадрат, чиято страна е равна на единица. За пълнота припомняме две основни свойства за концепцията за области на геометрични форми.
Свойство 1:Ако геометричните фигури са равни, тогава техните площи също са равни.
Свойство 2:Всяка фигура може да бъде разделена на няколко фигури. Освен това площта на оригиналната фигура е равна на сумата от стойностите на площите на всички фигури, които я съставят.
Помислете за пример.
Пример 1
Очевидно е, че една от страните на триъгълника е диагоналът на правоъгълника , който има едната страна с дължина $5$ (от $5$ клетки), а другата $6$ (от $6$ клетки). Следователно площта на този триъгълник ще бъде равна на половината от такъв правоъгълник. Площта на правоъгълника е
Тогава площта на триъгълника е
Отговор: $15 $.
След това помислете за няколко метода за намиране на площите на триъгълници, а именно с помощта на височината и основата, като използвате формулата на Херон и площта на равностранен триъгълник.
Как да намерите площта на триъгълник с помощта на височината и основата
Теорема 1
Площта на триъгълник може да се намери като половината от произведението на дължината на една страна, умножена на височината, изтеглена към тази страна.
Математически изглежда така
$S=\frac(1)(2)αh$
където $a$ е дължината на страната, $h$ е изтеглената към нея височина.
Доказателство.
Помислете за триъгълник $ABC$, където $AC=α$. Височината $BH$ се изтегля от тази страна и е равна на $h$. Нека го изградим до квадрата $AXYC$, както е на фигура 2.
Площта на правоъгълника $AXBH$ е $h\cdot AH$, а тази на правоъгълника $HBYC$ е $h\cdot HC$. Тогава
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Следователно, желаната площ на триъгълника, според свойство 2, е равна на
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Теоремата е доказана.
Пример 2
Намерете площта на триъгълника на фигурата по-долу, ако клетката има площ, равна на единица
Основата на този триъгълник е $9$ (тъй като $9$ е $9$ клетки). Височината също е $9 $. Тогава по теорема 1 получаваме
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Отговор: $40,5$.
Формулата на Херон
Теорема 2
Ако са ни дадени три страни на триъгълник $α$, $β$ и $γ$, тогава неговата площ може да се намери по следния начин
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
тук $ρ$ означава полупериметъра на този триъгълник.
Доказателство.
Помислете за следната фигура:
По теоремата на Питагор от триъгълника $ABH$ получаваме
От триъгълника $CBH$, по теоремата на Питагор, имаме
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
От тези две отношения получаваме равенството
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Тъй като $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, то $α+β+γ=2ρ$, следователно
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
По теорема 1 получаваме
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Формула за площе необходимо да се определи площта на фигура, която е функция с реална стойност, дефинирана върху определен клас фигури в евклидовата равнина и отговаряща на 4 условия:
- Положителен - Площта не може да бъде по-малка от нула;
- Нормализация - квадрат със страна на единица има площ 1;
- Конгруентност – конгруентните фигури имат еднаква площ;
- Адитивност - площта на обединението на 2 фигури без общи вътрешни точки е равна на сумата от площите на тези фигури.
| Геометрична фигура | Формула | Рисуване |
|---|---|---|
|
Резултатът от добавянето на разстоянията между средните точки на противоположните страни на изпъкнал четириъгълник ще бъде равен на неговия полупериметър. |
||
|
Сектор на кръга. Площта на сектор от окръжност е равна на произведението на неговата дъга и половината от радиуса. |
|
|
|
кръгов сегмент. За да получите площта на сегмента ASB, достатъчно е да извадите площта на триъгълника AOB от площта на сектора AOB. |
S = 1 / 2 R(s - AC) |
|
|
Площта на елипсата е равна на произведението на дължините на голямата и малката полуос на елипсата, умножена на pi. |
|
|
|
Елипса. Друг вариант как да се изчисли площта на една елипса е чрез нейните два радиуса. |
|
|
|
триъгълник. Чрез основата и височината. Формулата за площта на окръжността по отношение на нейния радиус и диаметър. |
||
|
Квадрат . През негова страна. Площта на квадрат е равна на квадрата на дължината на неговата страна. |
|
|
|
Квадрат. Чрез неговия диагонал. Площта на квадрат е половината от квадрата на дължината на неговия диагонал. |
||
|
правилен многоъгълник. За да определите площта на правилен многоъгълник, е необходимо да го разделите на равни триъгълници, които биха имали общ връх в центъра на вписаната окръжност. |
S= r p = 1/2 r n a |
Зареждане...