Деление на полиноми по "колона" ("ъгъл"). Деление на полиноми по ъгъл Разделете израз по израз онлайн

Изявление

остатък непълен частен.

Коментирайте

За всякакви полиноми $A(x)$ и $B(x)$ (степента на $B(x)$ е по-голяма от 0) има уникални полиноми $Q(x)$ и $R(x)$ от условие на твърдението.

  1. Остатъкът след разделяне на полинома $x^(4) + 3x^(3) +5$ на $x^(2) + 1$ е $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
  2. Остатъкът след разделяне на полинома $x^(4) + 3x^(3) +5$ на $x^(4) + 1$ е $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^( 3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
  3. Остатъкът след разделяне на полинома $x^(4) + 3x^(3) +5$ на $x^(6) + 1$ е $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^( 4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

Изявление

За всеки два полинома $A(x)$ и $B(x)$ (където степента на полинома $B(x)$ е ненула), съществува полиномно представяне $A(x)$ във формата $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, където $Q(x)$ и $R(x)$ са полиноми и степента на $R(x)$ е по-малка от степента на $B(x).$

Доказателство

Ще докажем твърдението чрез индукция по степента на полинома $A(x).$ Означим го с $n$. Ако $n = 0$, твърдението е вярно: $A(x)$ може да бъде представено като $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Сега нека твърдението е доказано за полиноми от степен $n \ leqm$. Нека докажем твърдението за полиноми от степен $k= n+1.$

Нека степента на полинома $B(x)$ е равна на $m$. Помислете за три случая: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ и докажете твърдението за всяко от тях.

  1. $k< m$
    Полиномът $A(x)$ може да бъде представен като

    $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

    Твърдението е направено.

  2. $k = m$
    Нека полиномите $A(x)$ и $B(x)$ имат формата

    $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \dots + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(където ) \: a_(n+1) \neq 0;$

    $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \dots + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(където ) \: b_(n+1) \neq 0.$

    Нека представим $A(x)$ като

    $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Big).$

    Забележете, че степента на полинома $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ е най-много $n+1$, тогава това представяне е желаното и твърдението е удовлетворено.

  3. $k > m$
    Представяме полинома $A(x)$ във формата

    $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (където) \: a_(n+1) \neq 0.$

    Помислете за полинома $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ може да бъде представен като $A" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, където степента на полинома $R"(x)$ е по-малка от $m$, тогава представянето за $A(x) $ може да се пренапише като

    $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$

    Забележете, че степента на полинома $xR"(x)$ е по-малка от $m+1$, т.е. по-малка от $k$. Тогава $xR"(x)$ удовлетворява индуктивното предположение и може да бъде представено като $ xR "(x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, където степента на полинома $R""(x)$ е по-малка от $m$. Препишете представянето за $ A(x)$ като

    $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

    $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

    Степента на полинома $R""(x) + a_(0)$ е по-малка от $m$, така че твърдението е вярно.

Твърдението е доказано.

В този случай се извиква полиномът $R(x)$ остатъкот разделяне на $A(x)$ на $B(x)$ и $Q(x)$ - непълен частен.

Ако остатъкът от $R(x)$ е нулев полином, тогава се казва, че $A(x)$ се дели на $B(x)$.

Дадено е доказателство, че неправилна дроб, съставена от полиноми, може да бъде представена като сбор от полином и правилна дроб. Подробно са анализирани примери за деление на полиноми с ъгъл и умножение по колона.

Съдържание

Теорема

Нека P k (х), Qn (х)са полиноми в променлива x от степени k и n съответно с k ≥ n . Тогава полиномът P k (х)може да бъде представен само по следния начин:
(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
където S k-n (х)- полином от степен k-n , U n- 1(x)- полином от степен не по-висока от n- 1 , или нула.

Доказателство

По дефиниция на полином:
;
;
;
,
където p i , q i - известни коефициенти, s i , u i - неизвестни коефициенти.

Нека въведем обозначението:
.
Заменете в (1) :
;
(2) .
Първият член от дясната страна е полином от степен k. Сборът от втория и третия член е полином от степен най-много k - 1 . Приравнете коефициентите при x k :
p k = s k-n q n .
Следователно s k-n = p k / q n .

Нека преобразуваме уравнението (2) :
.
Нека въведем обозначението: .
Тъй като s k-n = p k / q n , тогава коефициентът при x k е равен на нула. Следователно - това е полином от степен най-много k - 1 , . Тогава предишното уравнение може да бъде пренаписано като:
(3) .

Това уравнение има същата форма като уравнението (1) , стана само стойността на k 1 по-малък. Повтаряйки тази процедура k-n пъти, получаваме уравнението:
,
от който определяме коефициентите на полинома U n- 1(x).

И така, ние определихме всички неизвестни коефициенти s i, u l. Освен това, s k-n ≠ 0 . Лемата е доказана.

Деление на полиноми

Разделяне на двете страни на уравнението (1) на Q n (х), получаваме:
(4) .
По аналогия с десетичните числа, S k-n (х)се нарича цяла част от дроба или частна, U n- 1(x)- останалата част от дивизията. Дроб от полиноми, при които степента на полинома в числителя е по-малка от степента на полинома в знаменателя, се нарича правилна дроб. Дроб от полиноми, при които степента на полинома в числителя е по-голяма или равна на степента на полинома в знаменателя, се нарича неправилна дроб.

Уравнението (4) показва, че всяка неправилна част от полиноми може да бъде опростена, като се представи като сбор от цяла част и правилна дроб.

В основата си целите десетични числа са полиноми, в които променливата е равна на числото 10 . Например, да вземем числото 265847. То може да бъде представено като:
.
Тоест, това е полином от пета степен от 10 . Числата 2, 6, 5, 8, 4, 7 са коефициентите на разширяването на числото в степени на 10.

Следователно, полиномите могат да бъдат приложени към правилото за деление на ъгъл (понякога наричано деление на колона), което се прилага към деленето на числата. Единствената разлика е, че при разделяне на полиноми не е необходимо да преобразувате числа, по-големи от девет, в по-високи цифри. Помислете за процеса на разделяне на полиноми с ъгъл, като използвате конкретни примери.

Пример за разделяне на полиноми на ъгъл


.

Тук числителят е полином от четвърта степен. Знаменателят е полином от втора степен. Дотолкова доколкото 4 ≥ 2 , тогава дробът не е правилен. Избираме цялата част, като разделяме полиномите с ъгъл (в колона):



Нека дадем подробно описание на процеса на разделяне. Оригиналните полиноми са записани в лявата и дясната колона. Под полинома на знаменателя, в дясната колона, начертаваме хоризонтална линия (ъгъл). Под тази линия, под ъгъл, ще има цяла част от дроба.

1.1 Намираме първия член на цялата част (под ъгъла). За да направите това, разделяме най-големия член на числителя на най-големия член на знаменателя: .

1.2 Умножете 2x2на х 2 - 3 х + 5:
. Резултатът се записва в лявата колона:

1.3 Вземаме разликата на полиномите в лявата колона:

.



И така, получихме междинен резултат:
.

Дробата от дясната страна е неправилна, тъй като степента на полинома в числителя ( 3 ) е по-голямо или равно на степента на полинома в знаменателя ( 2 ). Повтаряме изчисленията. Едва сега числителят на дроба е в последния ред на лявата колона.
2.1 Разделете старшия член на числителя на старшия член на знаменателя: ;

2.2 Умножаваме по знаменателя: ;

2.3 И извадете от последния ред на лявата колона: ;


Междинен резултат:
.

Отново повтаряме изчисленията, тъй като от дясната страна има неправилна дроб.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Така че имаме:
.
Степента на полинома в числителя на дясната дроб е по-малка от степента на полинома на знаменателя, 1 < 2 . Следователно дробът е правилен.

;
2 x 2 - 4 x + 1е цялата част;
х- 8 - остатък от разделението.

Пример 2

Изберете цялата част от дроба и намерете остатъка от делението:
.

Извършваме същите действия като в предишния пример:

Тук остатъкът от делението е нула:
.

Умножение на полиноми по колона

Можете също да умножите полиноми по колона, подобно на умножението на цели числа. Нека разгледаме конкретни примери.

Пример за умножаване на полиноми по колона

Намерете произведението на полиномите:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Резултатът се записва в колона, подравнявайки степените на x.

3
;
;
;
.

Имайте предвид, че само коефициентите могат да бъдат записани, а степените на променливата x могат да бъдат пропуснати. Тогава умножението по колона от полиноми ще изглежда така:

Пример 2

Намерете произведението на полиномите в колона:
.

При умножаване на полиноми по колона е важно да се запишат едни и същи степени на променливата x една под друга. Ако някои степени на x са пропуснати, тогава те трябва да бъдат записани изрично чрез умножение по нула или да се оставят интервали.

В този пример някои степени са пропуснати. Следователно, ние ги записваме изрично, умножени по нула:
.
Умножаваме полиномите по колона.

1 Записваме оригиналните полиноми един под друг в колона и начертаваме линия.

2.1 Умножаваме най-ниския член на втория полином по първия полином:
.
Резултатът се записва в колона.

2.2 Следващият член на втория полином е равен на нула. Следователно произведението му от първия полином също е равно на нула. Нулевият ред може да бъде пропуснат.

2.3 Умножаваме следващия член на втория полином по първия полином:
.
Резултатът се записва в колона, подравнявайки степените на x.

2.3 Умножаваме следващия (най-висок) член на втория полином по първия полином:
.
Резултатът се записва в колона, подравнявайки степените на x.

3 След като всички членове на втория полином са умножени по първия, начертаваме линия и добавяме членовете със същите степени x:
.

Общ изглед на монома

f(x)=axn, където:

-а- коефициент, който може да принадлежи на всяко от множествата N, Z, Q, R, C

-х- променлива

-нстепен, която принадлежи на множеството н

Два монома са сходни, ако имат една и съща променлива и една и съща степен.

Примери: 3x2и -5x2; ½ x 4и 2√3x4

Сборът от мономи, които не са подобни един на друг, се нарича полином (или полином). В този случай мономите са членове на полинома. Полином, съдържащ два члена, се нарича бином (или бином).
пример: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
Полином, съдържащ три члена, се нарича трином.

Обща форма на полином с една променлива

където:

  • a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0са коефициентите на полинома. Те могат да бъдат естествени, целочислени, рационални, реални или комплексни числа.
  • a n- коефициент при член с най-висок експонент (водещ коефициент)
  • а 0- коефициент при член с най-малък експонент (свободен член или константа)
  • н- степен на полином

Пример 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

  • полином от трета степен с коефициенти 5, -2, 7 и -1
  • 5 - водещ фактор
  • -1 - безплатен член
  • х- променлива

Пример 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

  • полином от четвърта степен с коефициенти -2√3.½и -4
  • -2√3 - водещ фактор
  • -4 - безплатен член
  • х- променлива

Полиномно деление

p(x)и q(x)- два полинома:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

За намиране на частното и остатъка от деление p(x)на q(x), трябва да използвате следния алгоритъм:

  1. Степен p(x)трябва да бъде по-голямо или равно на q(x).
  2. Трябва да запишем и двата полинома в низходящ ред. Ако в p(x)няма член с никаква степен, трябва да се добави с коефициент 0.
  3. Водещ член p(x)разделени на водещи членове q(x), а резултатът се записва под разделителната линия (в знаменателя).
  4. Умножаваме резултата по всички термини q(x)и запишете резултата с противоположни знаци под условията p(x)със съответните степени.
  5. Събираме член по член членовете със същите степени.
  6. Останалите условия приписваме на резултата p(x).
  7. Разделяме водещия член на получения полином на първия член на полинома q(x)и повторете стъпки 3-6.
  8. Тази процедура се повтаря, докато новополучения полином има степен по-малка от q(x). Този полином ще бъде остатъкът от делението.
  9. Полиномът, написан под разделителната линия, е резултат от деление (частно).

Пример 1
Стъпки 1 и 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 СТОП

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Частен

Отговор: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Пример 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) СТОП

x 2 +3x+12 --> C(x) Коефициент

Отговор: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Деление на полином от първа степен

Това разделяне може да се извърши с помощта на горния алгоритъм или дори по-бързо с метода на Хорнер.
Ако f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, полиномът може да се пренапише като f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- полином от първа степен ⇒ q(x)=mx+n
Тогава полиномът в частното ще има степен n-1.

Според метода на Хорнър, $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 \u003d x 0 .b 2 + a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
където b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- частна. Остатъкът ще бъде полином от степен нула, тъй като степента на полинома в остатъка трябва да бъде по-малка от степента на делителя.
Деление с остатък ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+rако $x_0=-\frac(n)(m)$
Отбележи, че p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

Пример 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
х 0 =3

b 3 \u003d 5
b 2 = 3,5-2 = 13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 = 3,43-6 = 123
r=3,123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

Пример 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 \u003d -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 \u003d -2          b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Пример 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Strightright c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
Заключение
Ако разделим на полином със степен по-висока от единица, трябва да използваме алгоритъма, за да намерим частното и остатъка 1-9 .
Ако разделим на полином от първа степен mx+n, след това, за да намерите частното и остатъка, трябва да използвате метода на Хорнър с $x_0=-\frac(n)(m)$.
Ако се интересуваме само от остатъка от разделението, достатъчно е да намерим p(x0).
Пример 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
х 0 =1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5

Нека се изисква

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

Тук са дадени произведението (2x 3 - 7x 2 + x + 1) и един фактор (2x - 1), - трябва да намерите друг фактор. В този пример веднага става ясно (но това не може да се установи като цяло), че другият, желан, фактор или частно, също е полином. Това е ясно, защото този продукт има 4 члена, а този множител е само 2. Невъзможно е обаче да се каже предварително колко члена има желаният множител: може да има 2 члена, 3 члена и т.н. Не забравяйте, че най-високият член на произведението винаги се оказва от умножаването на най-високия член на един фактор по най-високия член на друг (вижте умножение на полином по полином) и че не може да има термини като този, ние сме сигурни, че 2x 3 (най-високият член на този продукт) ще се получи от умножаването на 2x (най-високия член на този фактор) с неизвестния водещ член на търсения множител. Следователно, за да намерим последното, трябва да разделим 2x 3 на 2x - получаваме x 2 . Това е старшият член на редника.

Припомнете си, че когато умножавате полином по полином, всеки член от един полином трябва да се умножи по всеки член на другия. Следователно това произведение (2x 3 - 7x 2 + x + 1) е произведението на делителя (2x - 1) и всички членове на частното. Но сега можем да намерим произведението на делителя и първия (най-висок) член на частното, т.е. (2x - 1) ∙ x 2; получаваме 2x 3 - x 2 . Знаейки произведението на делителя по всички членове на частното (то = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) и познавайки произведението на делителя по 1-ия член на частното (то = 2x 3 - x 2), като изваждане можем да намерим произведението на делителя от всички останали, с изключение на 1-ви, членове на частното. Вземи

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

Най-високият член (–6x 2) на това останало произведение трябва да бъде произведението на най-високия член на делителя (2x) и най-високия член на останалата част (с изключение на 1-ия член) на частното. От тук намираме старшия член на оставащото частно. Нуждаем се от –6x 2 ÷ 2x, получаваме –3x. Това е вторият член на желаното коефициент. Отново можем да намерим произведението на делителя (2x - 1) и втория, току-що намерен, частен член, т.е. -3x.

Получаваме (2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. От цялото това произведение вече извадихме произведението на делителя по 1-ия член на частното и получихме остатъка -6x 2 + x + 1, който е произведението на делителя от останалите, с изключение на 1-ви член на коефициента. Изваждайки от него току-що намереното произведение -6x 2 + 3x, получаваме остатъка, който е произведението на делителя от всички останали, с изключение на 1-ви и 2-ри, членове на частното:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

Разделяйки старшия член на това останало произведение (–2x) на старшия член на делителя (2x), получаваме старшия член на останалата част от частното, или неговия трети член, (–2x) ÷ 2x = –1, това е третият член на частното.

Умножавайки делителя по него, получаваме

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Изваждане на това произведение на делителя с 3-ия член на частното от цялото останало до момента произведение, т.е.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

ще видим, че в нашия пример произведението е разделено на останалите, с изключение на 1-ви, 2-ри и 3-ти, членове на частното = 0, от което заключаваме, че частното няма повече членове, т.е.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

От предишното виждаме: 1) удобно е условията на делителя и делителя да се подредят в низходяща степен, 2) необходимо е да се установи някакъв ред за извършване на изчисления. Такъв удобен ред може да се счита за този, който се използва в аритметиката при разделяне на многозначни числа. След това подреждаме всички предишни изчисления, както следва (по-кратки обяснения са дадени отстрани):

Тези изваждане, които са необходими тук, се извършват чрез промяна на знаците на членовете на изваждането и тези променливи знаци се записват отгоре.

Да, написано е

Това означава: изваждането беше 2x 3 - x 2 и след смяна на знаците получихме -2x 3 + x 2.

Поради приетата подредба на изчисленията, поради факта, че членовете на делителя и делителя са подредени в низходяща степен и поради факта, че степените на буквата x в двата полинома намаляват всеки път с 1, той се обърна от това, че такива термини са записани един под друг (например: –7x 2 и +x 2), защо е лесно да ги изведете. Може да се отбележи, че не всички членове на дивидента са необходими във всеки момент от изчисляването. Например, терминът +1 не е необходим в момента, в който е намерен 2-ри член на частното, и тази част от изчислението може да бъде опростена.


Още примери:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Подредете буквите a в низходяща степен и делителя и делителя:


(Обърнете внимание, че тук, поради липсата на член с 3 в дивидента, при първото изваждане се оказа, че не сходни членове -a 2 b 2 и -2a 3 b са подписани един под друг. Разбира се, те не могат да бъдат сведени до един мандат и и двата са записани под реда по старшинство).


И в двата примера човек трябва да бъде по-внимателен към подобни термини: 1) не сходните термини често се оказват написани един под друг и 2) понякога (както например в последния пример термините -4a n и -a n при първото изваждане) подобни термини излизат написани не един под друг.

Възможно е да се извърши разделянето на полиноми в различен ред, а именно: всеки път да се търси най-ниският член или цялото или оставащото частно. В този случай е удобно тези полиноми да бъдат подредени във възходящи степени на някаква буква. Например:


Тази статия ще разгледа рационалните дроби, тяхното разпределение на цели части. Дробите са правилни и грешни. Когато числителят е по-малък от знаменателя в дроб, това е правилна дроб, и обратно.

Помислете за примери за правилни дроби: 1 2, 9 29, 8 17, неправилни: 16 3, 21 20, 301 24.

Ще изчислим дроби, които могат да бъдат намалени, тоест 12 16 е 3 4, 21 14 е 3 2.

При избиране на цялата част се извършва процесът на разделяне на числителя на знаменателя. Тогава такава дроб може да бъде представена като сбор от цяло число и дробна част, където дробната част се счита за съотношението на остатъка от деленето и знаменателя.

Пример 1

Намерете остатъка, когато 27 се раздели на 4.

Решение

Необходимо е да се направи разделение по колона, тогава получаваме това

И така, 27 4 = цяло число + останалата част от n и m и миньор = 6 + 3 4

Отговор:остатък 3 .

Пример 2

Изберете цели части 331 12 и 41 57 .

Решение

Разделяме знаменателя на числителя с помощта на ъгъл:

Следователно имаме, че 331 12 \u003d 27 + 7 12.

Втората дроб е правилна, което означава, че цялата част е равна на нула.

Отговор:цели части 27 и 0 .

Помислете за класификацията на полиномите, с други думи, дробна рационална функция. Счита се за правилно, когато степента на числителя е по-малка от степента на знаменателя, в противен случай се счита за неправилна.

Определение 1

Деление на полином на полиномпротича според принципа на деление на ъгъл и представянето на функцията като сбор от целите и дробните части.

За разделяне на полином на линеен бином се използва схемата на Хорнер.

Пример 3

Разделете x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 на монома 2 x 2.

Решение

Използвайки свойството на деление, ние записваме това

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Често този тип трансформация се извършва при вземане на интеграли.

Пример 4

Разделете полином на полином: 2 x 3 + 3 на x 3 + x.

Решение

Знакът за деление може да се запише като дроб от вида 2 x 3 + 3 x 3 + x. Сега трябва да изберете цялата част. Правим това чрез разделяне на колона. Ние разбираме това

Така получаваме, че цялата част има стойност - 2 x + 3, тогава целият израз се записва като 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

Пример 5

Разделете и намерете остатъка след разделяне на 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 на x 3 + 2 x 2 - 1 .

Решение

Нека фиксираме дроб от вида 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 .

Степента на числителя е по-голяма от тази на знаменателя, което означава, че имаме неправилна дроб. Използвайки разделяне по колона, изберете цялата част. Ние разбираме това

Нека направим делението отново и ще получим:

От тук имаме, че остатъкът е - 65 x 2 + 10 x - 3, следователно:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 х 2 - 1

Има случаи, когато е необходимо допълнително да се извърши преобразуване на дроби, за да може да се разкрие остатъкът при разделяне. Изглежда така:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Това означава, че остатъкът при разделяне на 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 на x 3 - 3 дава стойността - 3 x 2 + 6 x - 4. За бързо намиране на резултата се използват съкратени формули за умножение.

Пример 6

Разделете 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 на 2 x + 3 .

Решение

Нека запишем делението като дроб. Получаваме, че 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Обърнете внимание, че в числителя изразът може да бъде добавен с помощта на формулата за кубичен сбор. Ние имаме това

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Даденият полином се дели без остатък.

За решението се използва по-удобен метод за решение, а разделянето на полином с полином се счита за най-универсално, поради което често се използва при избор на цяла част. Крайният запис трябва да съдържа получения полином от делението.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Зареждане...Зареждане...