Разлика на примери за квадратни корени. Правило за събиране на квадратни корени

Тема за квадратни корение задължително в училищна програмакурс по математика. Не можете без тях, когато решавате квадратни уравнения. И по-късно става необходимо не само да се извлекат корените, но и да се извършват други действия с тях. Сред тях са доста сложни: степенуване, умножение и деление. Но има и доста прости: изваждане и събиране на корени. Между другото, те изглеждат така само на пръв поглед. Изпълнението им без грешки не винаги е лесно за някой, който тепърва започва да се запознава с тях.

Какво е математически корен?

Това действие възникна в опозиция на степенуването. Математиката предлага две противоположни операции. Има изваждане за събиране. Умножението се противопоставя на делението. Обратното действие на степен е извличането на съответния корен.

Ако степента е две, тогава коренът ще бъде квадратен. Най-разпространена е в училищна математика. Той дори няма индикация, че е квадрат, тоест до него не е зададено числото 2. Математическата нотация на този оператор (радикал) е представена на фигурата.

Определението му плавно произтича от описаното действие. За да извлечете корен квадратен от число, трябва да разберете какво ще даде радикалният израз, когато се умножи по себе си. Това число ще бъде корен квадратен. Ако запишем това математически, получаваме следното: x*x=x 2 =y, което означава √y=x.

Какви действия можете да извършвате с тях?

В основата си коренът е дробна степен с единица в числителя. И знаменателят може да бъде всичко. Например квадратният корен има две. Следователно всички действия, които могат да бъдат извършени с правомощия, ще бъдат валидни и за roots.

И изискванията за тези действия са едни и същи. Ако умножението, делението и степенуването не срещат трудности за учениците, тогава добавянето на корени, както и изваждането им, понякога води до объркване. И всичко това, защото искам да извърша тези операции без оглед на знака на корена. И тук започват грешките.

Какви са правилата за събиране и изваждане?

Първо трябва да запомните две категорични „не трябва“:

• невъзможно е да се извършва събиране и изваждане на корени, както при простите числа, т.е. невъзможно е да се запишат коренни изрази на сумата под един знак и да се извършват математически операции с тях;
• Не можете да събирате и изваждате корени с различни показатели, например квадратни и кубични.

Ярък пример за първата забрана: √6 + √10 ≠ √16, но √(6 + 10) = √16.

Във втория случай е по-добре да се ограничим до опростяване на самите корени. И оставете сумата им в отговора.

Сега към правилата

1. Намерете и групирайте подобни корени. Тоест тези, които не само имат еднакви числа под радикала, но и самите те имат същия индикатор.
2. Извършете добавянето на корените, комбинирани в една група в първото действие. Лесно е за изпълнение, защото трябва само да добавите стойностите, които се появяват пред радикалите.
3. Извадете корените на тези членове, в които радикалният израз образува цял квадрат. С други думи, не оставяйте нищо под знака на радикал.
4. Опростете радикалните изрази. За да направите това, трябва да ги разложите на прости множители и да видите дали дават квадрат на някое число. Ясно е, че това е вярно, когато говорим за корен квадратен. Когато показателят е три или четири, тогава простите множители трябва да дават куба или четвъртата степен на числото.
5. Премахнете изпод знака на радикала фактора, който дава цялата сила.
6. Вижте дали подобни термини се появяват отново. Ако да, изпълнете втората стъпка отново.

В ситуация, в която задачата не изисква точна стойносткорен, може да се изчисли на калкулатор. Безкраен десетичен знак, който ще се появи в неговия прозорец, закръглен нагоре. Най-често това се прави до стотни. И след това извършете всички операции за десетични дроби.

Това е цялата информация за това как да добавите корени. Примерите по-долу ще илюстрират горното.

Първа задача

Изчислете стойността на изразите:

а) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

б) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

в) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Ако следвате горния алгоритъм, можете да видите, че няма нищо за първите две действия в този пример. Но можете да опростите някои радикални изрази.

Например, разложете 32 на два фактора 2 и 16; 18 ще бъде равно на произведението от 9 и 2; 128 е 2 върху 64. Като се има предвид това, изразът ще бъде записан така:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Сега трябва да премахнете под радикалния знак онези фактори, които дават квадрата на числото. Това е 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. Изразът ще приеме формата:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Трябва малко да опростим записа. За да направите това, умножете коефициентите преди коренните знаци:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

В този израз всички термини се оказаха подобни. Следователно, просто трябва да ги сгънете. Отговорът ще бъде: 5√2.

б) Подобно на предишния пример, добавянето на корени започва с тяхното опростяване. Коренните изрази 75, 147, 48 и 300 ще бъдат представени в следните двойки: 5 и 25, 3 и 49, 3 и 16, 3 и 100. Всеки от тях съдържа число, което може да бъде извадено от знака на корена :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

След опростяване отговорът е: 5√5 - 5√3. Може да се остави в тази форма, но е по-добре да извадите общия множител 5 извън скоби: 5 (√5 - √3).

в) И отново разлагане на множители: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. След премахване на факторите под знака за корен, имаме:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. След привеждане на подобни членове получаваме резултата: 7√11.

Пример с дробни изрази

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Ще трябва да разложите на множители следните числа: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Подобно на вече обсъдените, трябва да премахнете факторите под знака на корена и опростете израза:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Този израз изисква премахване на ирационалността в знаменателя. За да направите това, трябва да умножите втория член по √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

За да завършите действията, трябва да изберете цялата част от факторите пред корените. За първия е 1, за втория е 2.

Коренни формули. Свойства на квадратния корен.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

В предишния урок разбрахме какво е квадратен корен. Време е да разберем кои съществуват формули за кореникакво са свойства на корените, и какво може да се направи с всичко това.

Формули на корените, свойства на корените и правила за работа с корени- това е по същество едно и също нещо. Има изненадващо малко формули за квадратни корени. Което определено ме радва! Или по-скоро можете да напишете много различни формули, но за практична и уверена работа с корени са достатъчни само три. Всичко останало произтича от тези трите. Въпреки че много хора се объркват в трите коренни формули, да...

Да започнем с най-простия. Ето я:

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Корен квадратен от число x е число a, което, умножено по себе си, дава числото x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Както при всички числа, можете да извършвате аритметични операции събиране и изваждане с квадратни корени.

Инструкции

1. Първо, когато добавяте квадратни корени, опитайте се да извлечете тези корени. Това ще бъде приемливо, ако числата под знака за корен са идеални квадрати. Да кажем, че даденият израз е ?4 + ?9. Първото число 4 е квадрат на числото 2. Второто число 9 е квадрат на числото 3. Така се оказва, че: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Ако няма пълни квадратчета под знака за корен, тогава опитайте да преместите множителя на числото от под знака за корен. Да кажем, да кажем, че е даден изразът?24 +?54. Разложете числата на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Числото 24 има фактор 4, този, който може да бъде прехвърлен от под знака за квадратен корен. Числото 54 има коефициент 9. Така се оказва, че: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . В този пример, в резултат на премахване на множителя под знака на корена, беше възможно да се опрости дадения израз.

3. Нека сумата от 2 квадратни корена е знаменателят на дроб, да речем A / (?a + ?b). И нека вашата задача е „да се отървете от ирационалността в знаменателя“. След това можете да използвате следващия метод. Умножете числителя и знаменателя на дробта по израза ?a - ?b. Така знаменателят ще съдържа съкратената формула за умножение: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. По аналогия, ако знаменателят съдържа разликата между корените: ?a - ?b, тогава числителят и знаменателят на дробта трябва да се умножат по израза ?a + ?b. Например нека дробта 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ?5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. Помислете за по-сложен пример за премахване на ирационалността в знаменателя. Нека е дадена дробта 12 / (?2 + ?3 + ?5). Трябва да умножите числителя и знаменателя на дробта по израза?2 + ?3 - ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. И накрая, ако имате нужда само от приблизителна стойност, можете да изчислите квадратния корен с помощта на калкулатор. Изчислете стойностите поотделно за цялото число и го запишете с необходимата точност (да речем два знака след десетичната запетая). И след това извършете необходимите аритметични операции, както с обикновените числа. Да кажем, да кажем, че трябва да намерите приблизителната стойност на израза ?7 + ?5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Видео по темата

Забележка!
В никакъв случай не могат да се събират квадратни корени като примитивни числа, т.е. ?3 + ?2 ? ?5!!!

Полезен съвет
Ако разлагате число, за да преместите квадрата от знака за корен, извършете обратната проверка - умножете всички получени фактори и получете оригиналното число.

Съдържание:

В математиката корените могат да бъдат квадратни, кубични или да имат друг показател (степен), който се записва вляво над знака за корен. Израз под знака за корен се нарича радикален израз. Добавянето на корени е подобно на добавянето на членове на алгебричен израз, т.е. изисква определяне на подобни корени.

стъпки

Част 1 Определяне на корени

1. 1 Обозначаване на корени.Израз под знака за корен (√) означава, че е необходимо да се извлече корен от определена степен от този израз.
   • Коренът се отбелязва със знака √.
   • Показателят (степента) на корена се записва вляво над знака за корен. Например кубичният корен от 27 се записва като: 3 √(27)
   • Ако индексът (степента) на корена липсва, тогава показателят се счита за равен на 2, т.е. той е квадратен корен (или корен от втора степен).
   • Числото, записано преди знака за корен, се нарича множител (тоест това число се умножава по корена), например 5√(2)
   • Ако няма множител пред корена, тогава той е равен на 1 (помнете, че всяко число, умножено по 1, е равно на себе си).
   • Ако за първи път работите с корени, направете подходящи бележки за множителя и степенния корен, за да избегнете объркване и да разберете по-добре предназначението им.
2. 2 Запомнете кои корени могат да се сгъват и кои не.Точно както не можете да добавяте различни членове на израз, например 2a + 2b ≠ 4ab, не можете да добавяте различни корени.
   • Не можете да добавяте корени с различни радикални изрази, например √(2) + √(3) ≠ √(5). Но можете да съберете числата под един и същ корен, например √(2 + 3) = √(5) (корен квадратен от 2 е приблизително 1,414, корен квадратен от 3 е приблизително 1,732, а корен квадратен от 5 е приблизително 2,236).
   • Не можете да добавяте корени с едни и същи радикални изрази, но различни експоненти, например √(64) + 3 √(64) (тази сума не е равна на 5 √(64), тъй като квадратният корен от 64 е 8, корен кубичен от 64 е 4, 8 + 4 = 12, което е много по-голямо от корен пети от 64, който е приблизително 2,297).

Част 2 Опростяване и добавяне на корени

1. 1 Идентифицирайте и групирайте подобни корени.Подобни корени са корени, които имат еднакви показатели и същите радикални изрази. Например, разгледайте израза:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Първо, пренапишете израза, така че корените със същия индекс да са разположени последователно.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • След това пренапишете израза така, че корените с еднакъв степенен показател и със същия радикален израз да са разположени последователно.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Опростете корените.За да направите това, разложете (където е възможно) радикалните изрази на два фактора, единият от които е изваден изпод корена. В този случай премахнатото число и коренният фактор се умножават.
   • В примера по-горе разложете числото 50 на 2*25 и числото 32 на 2*16. От 25 и 16 можете да вземете квадратни корени (съответно 5 и 4) и да премахнете 5 и 4 изпод корена, като ги умножите съответно по коефициентите 2 и 1. Така получавате опростен израз: 10√(2 ) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Числото 81 може да бъде разложено на множители 3*27 и от числото 27 можете да вземете кубичен корен от 3. Това число 3 може да бъде извадено изпод корена. Така получавате още по-опростен израз: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Добавете множителите с подобни корени.В нашия пример има подобни корени квадратни от 2 (те могат да бъдат добавени) и подобни корени квадратни от 3 (те също могат да бъдат добавени). Кубичният корен от 3 няма такива корени.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Краен опростен израз: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Няма общоприети правила за реда, в който се записват корените в израза. Следователно можете да напишете корени във възходящ ред на техните индикатори и във възходящ ред на радикални изрази.

Корен квадратен от число x е число a, което, умножено по себе си, дава числото x: a * a = a^2 = x, √x = a. Както при всички числа, можете да извършвате аритметичните операции събиране и изваждане с квадратни корени.

Инструкции

• Първо, когато добавяте квадратни корени, опитайте се да извлечете тези корени. Това ще бъде възможно, ако числата под знака за корен са перфектни квадрати. Например, нека е даден изразът √4 + √9. Първото число 4 е квадрат на числото 2. Второто число 9 е квадрат на числото 3. Така се оказва, че: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Ако няма пълни квадратчета под знака за корен, опитайте се да премахнете множителя на числото под знака за корен. Например нека бъде даден изразът √24 + √54. Разложете числата на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Числото 24 има фактор 4, който може да бъде изваден под знака за квадратен корен. Числото 54 има коефициент 9. Така се оказва, че: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . В този пример, в резултат на премахване на множителя под знака на корена, беше възможно да се опрости дадения израз.
• Нека сумата от два квадратни корена е знаменателят на дроб, например A / (√a + √b). И нека вашата задача е „да се отървете от ирационалността в знаменателя“. След това можете да използвате следния метод. Умножете числителя и знаменателя на дробта по израза √a - √b. Така в знаменателя получаваме съкратената формула за умножение: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. По аналогия, ако знаменателят съдържа разликата между корените: √a - √b, тогава числителят и знаменателят на дробта трябва да се умножат по израза √a + √b. Например нека дробта 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Помислете повече сложен примеросвобождаване от ирационалността в знаменателя. Нека е дадена дробта 12 / (√2 + √3 + √5). Необходимо е да умножите числителя и знаменателя на дробта по израза √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• И накрая, ако имате нужда само от приблизителна стойност, можете да използвате калкулатор, за да изчислите квадратния корен. Изчислете стойностите поотделно за всяко число и ги запишете с необходимата точност (например два знака след десетичната запетая). И след това извършете необходимите аритметични операции, както с обикновените числа. Например, да кажем, че трябва да знаете приблизителната стойност на израза √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.