ফিবোনাচি ক্রম এবং সোনালী অনুপাতের নীতি। গোল্ডেন রেশিও এবং ফিবোনাচি সিকোয়েন্স নম্বর শঙ্কু ফিবোনাচি সিকোয়েন্সে প্রকাশিত

পাবলিশিং হাউস "" এর সাথে একসাথে, আমরা ফলিত গণিতের অধ্যাপক এডওয়ার্ড শেইনারম্যানের বই থেকে একটি উদ্ধৃতি প্রকাশ করছি, "গণিতের সাথে প্রেমে যারা আছেন তাদের জন্য একটি নির্দেশিকা", আকর্ষণীয় গণিত, ধাঁধা এবং মহাবিশ্বের অ-মানক প্রশ্নগুলির জন্য উত্সর্গীকৃত। সংখ্যা এবং পরিসংখ্যান। আলেক্সি ওগনেভ দ্বারা ইংরেজি থেকে অনুবাদ।

এই অধ্যায়ে বিখ্যাত ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি সম্পর্কে কথা বলা হয়েছে: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ইত্যাদি। এই সিরিজটির নামকরণ করা হয়েছিল পিসার লিওনার্দোর নামে, যা ফিবোনাচি নামে বেশি পরিচিত। পিসার লিওনার্দো (1170-1250) - মধ্যযুগীয় ইউরোপের প্রথম প্রধান গণিতবিদদের একজন। ফিবোনাচির ডাকনামের অর্থ "বোনাচ্চির ছেলে।" "বুক অফ অ্যাবাকাস" এর লেখক, যা দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিকে ব্যাখ্যা করে।

স্কোয়ার এবং ডমিনো

চলুন শুরু করা যাক স্কোয়ার এবং ডোমিনো সাজিয়ে। 1 × 10 পরিমাপের একটি দীর্ঘ অনুভূমিক ফ্রেম কল্পনা করা যাক। আমরা এটিকে সম্পূর্ণরূপে 1 × 1 স্কোয়ার এবং 1 × 2 ডোমিনো দিয়ে পূরণ করতে চাই, একটিও ফাঁক না রেখে। এখানে একটি ছবি:

প্রশ্ন: এটি কত উপায়ে করা যেতে পারে?

সুবিধার জন্য, আসুন F10 হিসাবে বিকল্পের সংখ্যা চিহ্নিত করা যাক। সেগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া এবং তারপরে সেগুলি গণনা করা কঠোর পরিশ্রম, ত্রুটিপূর্ণ। সমস্যাটি সরলীকরণ করা অনেক ভালো। চলুন ব্যাট থেকে F10 না খুঁজে, F1 দিয়ে শুরু করা যাক। এটা সহজ হতে পারে না! আমাদের 1 × 1 স্কোয়ার এবং 1 × 2 ডোমিনো দিয়ে একটি 1 × 1 ফ্রেম পূরণ করতে হবে৷ ডমিনোগুলি ফিট হবে না, তাই একমাত্র সমাধান হল একটি বর্গক্ষেত্র নেওয়া৷ অন্য কথায়, F1 = 1।

এবার F2 দেখি। ফ্রেমের আকার হল 1 × 2৷ আপনি এটি দুটি স্কোয়ার বা একটি ডমিনো দিয়ে পূরণ করতে পারেন৷ সুতরাং দুটি বিকল্প আছে এবং F2 = 2।

পরবর্তী: আপনি কত উপায়ে 1 × 3 ফ্রেম পূরণ করতে পারেন? প্রথম বিকল্প: তিনটি বর্গক্ষেত্র। অন্য দুটি বিকল্প: একটি ডমিনো (দুটি ফিট হবে না) এবং বাম বা ডান দিকে একটি বর্গক্ষেত্র। সুতরাং, F3 = 3. আরও একটি ধাপ: একটি 1 × 4 ফ্রেম নিন। চিত্রটি সমস্ত ফিলিং অপশন দেখায়:

আমরা পাঁচটি সম্ভাবনা খুঁজে পেয়েছি, কিন্তু আমরা যে কিছু মিস করিনি তার নিশ্চয়তা কোথায়? নিজেকে পরীক্ষা করার একটি উপায় আছে। ফ্রেমের বাম প্রান্তে একটি বর্গক্ষেত্র বা একটি ডমিনো হতে পারে। চিত্রের উপরের সারিতে বিকল্প রয়েছে যখন বাম দিকে একটি বর্গক্ষেত্র থাকে, নীচের সারিতে - যখন বাম দিকে একটি ডমিনো থাকে।

ধরা যাক বাম দিকে একটি বর্গক্ষেত্র আছে। অবশিষ্ট অংশ স্কোয়ার এবং ডোমিনো দিয়ে ভরাট করা প্রয়োজন। অন্য কথায়, আপনাকে ফ্রেম 1 × 3 পূরণ করতে হবে। এটি 3টি বিকল্প দেয়, যেহেতু F3 = 3। যদি বাম দিকে একটি ডমিনো থাকে, তবে অবশিষ্ট অংশের আকার 1 × 2, এবং দুটি বিকল্প রয়েছে এটি পূরণ করুন, যেহেতু F2 = 2।

সুতরাং আমাদের কাছে 3 + 2 = 5 বিকল্প রয়েছে এবং আমরা নিশ্চিত করেছি F4 = 5।

এখন তোমার পালা. কয়েক মিনিটের জন্য চিন্তা করুন এবং 1×5 ফ্রেমের জন্য সমস্ত ফিলিং বিকল্পগুলি খুঁজুন৷ অনেকগুলি নেই৷ সমাধানটি অধ্যায়ের শেষে। আপনি একটি বিরতি নিতে এবং চিন্তা করতে পারেন.

এর আমাদের স্কোয়ার ফিরে আসা যাক. আমি বিশ্বাস করতে চাই যে আপনি 8টি বিকল্প খুঁজে পেয়েছেন, যেহেতু বাম দিকে একটি বর্গাকার সহ 5টি উপায় রয়েছে, এবং বাম দিকে একটি ডমিনো সহ আরও 3টি উপায় রয়েছে৷ এইভাবে F5 = 8।

আসুন সংক্ষিপ্ত করা যাক। বর্গাকার এবং ডমিনো দিয়ে 1 × n ফ্রেম পূরণ করার উপায়গুলি আমরা FN দ্বারা নির্দেশ করি। আমাদের F10 খুঁজে বের করতে হবে। আমরা ইতিমধ্যে যা জানি তা এখানে:

চল এগোই. F6 এর সমান কি? আপনি সমস্ত বিকল্প আঁকতে পারেন, কিন্তু এটি বিরক্তিকর। প্রশ্ন দুটি ভাগে বিভক্ত করা ভাল। বাম দিকে (a) একটি বর্গক্ষেত্র এবং (b) একটি ডোমিনো হলে 1 × 6 ফ্রেমটি কয়টি উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে? সুসংবাদ: আমরা ইতিমধ্যে উত্তর জানি! প্রথম ক্ষেত্রে, আমাদের পাঁচটি স্কোয়ার বাকি আছে, এবং আমরা জানি যে F5 = 8। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, আমাদের চারটি স্কোয়ার পূরণ করতে হবে; আমরা জানি যে F4 = 5। সুতরাং, F5 + F4 = 13।

F7 কিসের সমান? একই বিবেচনার ভিত্তিতে, F7 =F6+F5=13+8=21। F8 সম্পর্কে কি? স্পষ্টতই, F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. ইত্যাদি। আমরা নিম্নলিখিত সম্পর্ক খুঁজে পেয়েছি: Fn = Fn-1 + Fn-2।

আরও কয়েকটি ধাপ এবং আমরা প্রয়োজনীয় নম্বর F10 খুঁজে পাব। সঠিক উত্তর অধ্যায়ের শেষে আছে।

ফিবোনাচি সংখ্যা

ফিবোনাচি সংখ্যা ক্রম:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

এটি নিম্নলিখিত নিয়ম অনুযায়ী নির্মিত হয়:

— প্রথম দুটি সংখ্যা হল 1 এবং 1;

— প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা আগের দুটি যোগ করে প্রাপ্ত হয়।

আমরা শূন্য থেকে শুরু করে Fn অনুক্রমের nম উপাদানটি নির্দেশ করব: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, ... আমরা সূত্রটি ব্যবহার করে পরবর্তী উপাদানটি গণনা করি: Fn = Fn -1 + Fn-2।

আমরা দেখতে পাচ্ছি, স্কোয়ার এবং ডোমিনো স্তুপীকরণের সমস্যা আমাদেরকে সংখ্যার ফিবোনাচি অনুক্রমের দিকে নিয়ে যায় [ 1 ]স্কোয়ার এবং ডোমিনোস সমস্যায়, আমরা খুঁজে পেয়েছি যে F1 = 1 এবং F2 = 2। কিন্তু ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি F0 = 1 দিয়ে শুরু হয়। এটি কীভাবে সমস্যার শর্তগুলির সাথে খাপ খায়? একই অবস্থার অধীনে একটি 0 × 1 ফ্রেম পূরণ করার জন্য কয়টি উপায় আছে? বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং ডমিনোর দৈর্ঘ্য সর্বোপরি, শূন্যের চেয়েও বেশি, তাই উত্তরটি শূন্য বলতে লোভনীয়, তবে এটি এমন নয়। 0 × 1 আয়তক্ষেত্রটি ইতিমধ্যে পূর্ণ হয়েছে, সেখানে কোন ফাঁক নেই; আমরা একটি বর্গক্ষেত্র বা একটি ডমিনো প্রয়োজন নেই. এইভাবে, কর্মের একটি মাত্র কোর্স আছে: বর্গ বা ডমিনো হয় না। তুমি কি বুঝতে পেরেছো? সেক্ষেত্রে আমি আপনাকে অভিনন্দন জানাই। আপনি একটি গণিত আত্মা আছে!

ফিবোনাচি সংখ্যার সমষ্টি

প্রথম কয়েকটি ফিবোনাচি সংখ্যা যোগ করার চেষ্টা করা যাক। যে কোন n-এর যোগফল F0 + F1 +… + Fn সম্পর্কে আমরা কী বলতে পারি? আসুন কিছু গণনা করি এবং দেখি আমরা কী নিয়ে এসেছি। নীচে সংযোজন ফলাফল লক্ষ্য করুন. আপনি একটি প্যাটার্ন দেখতে? এগিয়ে যাওয়ার আগে এক মুহূর্ত সময় নিন; একটি প্রস্তুত সমাধান পড়ার চেয়ে আপনি নিজেই উত্তরটি খুঁজে বের করলে এটি ভাল হবে।

আমি বিশ্বাস করতে চাই যে আপনি দেখেছেন যে সমষ্টির ফলাফল, যদি আপনি তাদের সাথে একটি যোগ করেন, তাও ফিবোনাচি সংখ্যার ক্রম অনুসারে। উদাহরণ স্বরূপ, F0 এর সাথে F5 নম্বর যোগ করলে পাওয়া যায়: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1। F0-এর সাথে F6 নম্বর যোগ করলে 33 পাওয়া যায়, কোনটি F8 = 34 এর চেয়ে কম। আমরা নন-নেগেটিভ পূর্ণসংখ্যা n এর সূত্র লিখতে পারি: F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1। (*)

এটি সম্ভবত আপনার জন্য ব্যক্তিগতভাবে যথেষ্ট হবে যে সূত্রটি দেখতে [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1।. এক ডজন ক্ষেত্রে কাজ করে আপনাকে বিশ্বাস করতে এটি সত্য, কিন্তু গণিতবিদরা প্রমাণের জন্য ক্ষুধার্ত। আমরা দুটি সম্ভাব্য প্রমাণ উপস্থাপন করতে পেরে খুশি যে এটি সমস্ত অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য সত্য।

প্রথমটিকে ইন্ডাকশন দ্বারা প্রমাণ বলা হয়, দ্বিতীয়টিকে বলা হয় সমন্বিত প্রমাণ।

আনয়ন দ্বারা প্রমাণ

সূত্র [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1।সংকুচিত আকারে অসীম সংখ্যক সূত্রের প্রতিনিধিত্ব করে। প্রমাণ কর যে [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1। n এর একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য সত্য, বলুন n = 6, একটি সাধারণ গাণিতিক সমস্যা। F0 থেকে F6 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো লিখে সেগুলো যোগ করাই যথেষ্ট হবে: F0 +F2 +…+F6 =1+1+2+3+5+8+13=33।

এটি দেখতে সহজ যে F8 = 34, তাই সূত্রটি কাজ করে। চলুন F7 এ যাওয়া যাক। আসুন আমরা সমস্ত সংখ্যা যোগ করার সময় নষ্ট না করি: আমরা ইতিমধ্যেই F6 পর্যন্ত যোগফল জানি। সুতরাং, (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54. আগের মতই, সবকিছু মিলে যায়: F9 = 55।

যদি আমরা এখন n = 8 এর সূত্রটি কাজ করে কিনা তা পরীক্ষা করা শুরু করি, অবশেষে আমাদের শক্তি শেষ হয়ে যাবে। তবে আসুন আমরা ইতিমধ্যে কী জানি এবং আমরা কী জানতে চাই তা দেখি:

F0 +F1 +…+F7 =F9.

F0 +F1 +…+F7 +F7 =?

আগের ফলাফলটি ব্যবহার করা যাক: (F0 +F1 +…+F7)+F8 =(F9-1)+F8।

আমরা অবশ্যই (F9-1) + F8 গাণিতিকভাবে গণনা করতে পারি। কিন্তু এটা আমাদের আরও ক্লান্ত করে তুলবে। একই সাথে, আমরা জানি যে F8 + F9 = F10। সুতরাং, আমাদের কিছু গণনা করার বা ফিবোনাচি সংখ্যার সারণী দেখার দরকার নেই:

(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.

আমরা যাচাই করেছি যে সূত্রটি n = 8 এর জন্য কাজ করে যা আমরা n = 7 সম্পর্কে জানতাম তার উপর ভিত্তি করে।

n = 9 এর ক্ষেত্রে, আমরা n = 8 এর ফলাফলের উপর একইভাবে নির্ভর করি (নিজের জন্য এটি দেখুন)। অবশ্যই, আনুগত্য প্রমাণিত [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1। n এর জন্য, আমরা নিশ্চিত হতে পারি যে [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1। n+1 এর জন্যও সত্য।

আমরা পূর্ণ প্রমাণ দিতে প্রস্তুত। আগেই বলা হয়েছে, [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1।শূন্য থেকে অসীম পর্যন্ত n-এর সমস্ত মানের জন্য অসীম সংখ্যক সূত্রের প্রতিনিধিত্ব করে। আসুন প্রমাণটি কীভাবে কাজ করে তা দেখা যাক।

প্রথমে আমরা প্রমাণ করি [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1।সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে, n = 0 এর জন্য। আমরা সহজভাবে পরীক্ষা করি যে F0 = F0+2 - 1। যেহেতু F0 = 1 এবং F2 = 2, স্পষ্টতই 1 = 2 - 1 এবং F0 = F2-1।

আরও, এটি দেখানোর জন্য আমাদের পক্ষে যথেষ্ট যে n এর একটি মানের জন্য সূত্রটির বৈধতা (বলুন, n = k) স্বয়ংক্রিয়ভাবে মানে যে এটি n + 1 (আমাদের উদাহরণে, n = k + 1) এর জন্য সঠিক। আমাদের শুধু দেখাতে হবে কিভাবে এটা "স্বয়ংক্রিয়ভাবে" কাজ করে। আমাদেরকে কি করতে হবে?

কিছু সংখ্যা k নেওয়া যাক। ধরা যাক আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে F0+F1+…+Fk =Fk+2–1। আমরা F0 + F1 +… + Fk + Fk+1 মান খুঁজছি।

আমরা ইতিমধ্যেই Fk পর্যন্ত ফিবোনাচি সংখ্যার যোগফল জানি, তাই আমরা পাই:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =(Fk+2–1)+Fk+1।

ডান দিকটি Fk+2 - 1 + Fk+1 এর সমান, এবং আমরা জানি ক্রমাগত ফিবোনাচি সংখ্যার সমষ্টি কিসের সমান:

Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) - 1 = Fk+3– 1

আসুন আমাদের সমতায় প্রতিস্থাপন করি:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 = Fk+3–1

এখন আমি ব্যাখ্যা করব আমরা কি করেছি। আমরা যদি জানি যে [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1।সত্য যখন আমরা সংখ্যাগুলিকে Fk পর্যন্ত যোগ করি, তখন [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1।আমরা Fk+1 যোগ করলে অবশ্যই সত্য হতে হবে।

আসুন সংক্ষিপ্ত করা যাক:

সূত্র [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1। n = 0 এর জন্য সত্য।

যদি সূত্র [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1। n এর জন্য সত্য, এটি n + 1 এর জন্যও সত্য।

আমরা আত্মবিশ্বাসের সাথে বলতে পারি যে [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1। n-এর যেকোনো মানের জন্য সত্য। এটা সত্যি [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1। n = 4987 এর জন্য? এটি সত্য যদি n = 4986-এর জন্য অভিব্যক্তিটি সত্য হয়, যা n = 4985 এর জন্য অভিব্যক্তিটি সত্য হওয়ার উপর ভিত্তি করে এবং n = 0 পর্যন্ত তাই। অতএব, সূত্র [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1।সমস্ত সম্ভাব্য মানের জন্য সত্য। প্রমাণ এই পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত হয় গাণিতিক আনয়ন (বা আনয়ন দ্বারা প্রমাণ). আমরা বেস কেস পরীক্ষা করি এবং একটি টেমপ্লেট প্রদান করি যার দ্বারা প্রতিটি পরবর্তী কেস আগেরটির উপর ভিত্তি করে প্রমাণিত হতে পারে।

সমন্বিত প্রমাণ

কিন্তু এখানে পরিচয়ের সম্পূর্ণ ভিন্ন প্রমাণ [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1।. এখানে মৌলিক পদ্ধতি হল এই সত্যটির সুবিধা নেওয়া যে Fn সংখ্যা হল বর্গাকার এবং ডোমিনো সহ একটি 1 × n আয়তক্ষেত্র রেখা করার উপায়গুলির সংখ্যা।

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে আমাদের প্রমাণ করতে হবে:

F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn+2- 1। (*)

ধারণাটি হল সমীকরণের উভয় পক্ষকে ক্ল্যাডিং সমস্যার সমাধান হিসাবে বিবেচনা করা। যদি আমরা প্রমাণ করি যে বাম এবং ডান দিকগুলি একই আয়তক্ষেত্রের সমাধান, তারা একে অপরের সাথে মিলিত হবে। এই কৌশলটিকে বলা হয় সমন্বিত প্রমাণ [ 2 ]"কম্বিনেটরিয়াল" শব্দটি বিশেষ্য "কম্বিনেটরিক্স" থেকে উদ্ভূত হয়েছে, গণিতের একটি শাখার নাম যার বিষয় একটি আয়তক্ষেত্রের আস্তরণের মতো সমস্যায় বিকল্পগুলি গণনা করছে। "কম্বিনেটরিক্স" শব্দটি পরিবর্তে, "কম্বিনেশন" শব্দ থেকে উদ্ভূত হয়েছে।.

যার জন্য কম্বিনেটরিক্স প্রশ্ন সমীকরণ করে [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1।দুটি সঠিক উত্তর দেয়? এই ধাঁধাটি বিপদে পাওয়া ধাঁধার মতই! [ 3 ]মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে জনপ্রিয় টিভি কুইজ শো। বিপদের অনুরূপ! বিভিন্ন দেশে প্রকাশিত; রাশিয়ায় এটি "নিজস্ব খেলা"। - প্রায়. এড, যেখানে অংশগ্রহণকারীদের অবশ্যই সঠিক উত্তর আগে থেকে জেনে একটি প্রশ্ন তৈরি করতে হবে।

ডান দিকটি সহজ দেখায়, তাই সেখান থেকে শুরু করা যাক। উত্তর: Fn+2– 1. প্রশ্নটি কী? উত্তরটি যদি সহজভাবে Fn+2 হয়, তাহলে আমরা সহজেই প্রশ্নটি তৈরি করতে পারতাম: বর্গক্ষেত্র এবং ডোমিনো ব্যবহার করে আমরা কত উপায়ে 1 × (n + 2) আয়তক্ষেত্রের মুখোমুখি হতে পারি? এটি আপনার প্রয়োজন প্রায়, কিন্তু উত্তর একটি কম. আসুন আস্তে আস্তে প্রশ্ন পরিবর্তন করে উত্তর কমানোর চেষ্টা করি। আসুন একটি ক্ল্যাডিং বিকল্পটি সরিয়ে ফেলি এবং অবশিষ্টগুলি গণনা করি। অসুবিধা হল একটি বিকল্প খুঁজে বের করা যা বাকিদের থেকে আমূল আলাদা। সেখানে কি এমন জিনিস আছে?

প্রতিটি ক্ল্যাডিং পদ্ধতিতে স্কোয়ার বা ডমিনো ব্যবহার জড়িত। শুধুমাত্র বর্গক্ষেত্রগুলি একটি একক বৈকল্পিকের সাথে জড়িত, অন্যগুলিতে কমপক্ষে একটি ডমিনো রয়েছে। এর একটি নতুন প্রশ্নের ভিত্তি হিসাবে এটি গ্রহণ করা যাক.

প্রশ্নঃএকটি 1 × (n + 2) আয়তক্ষেত্রাকার ফ্রেমে বর্গক্ষেত্র এবং ডোমিনোসহ আস্তরণের জন্য কতগুলি বিকল্প রয়েছে, যার মধ্যে অন্তত একটি ডমিনো রয়েছে?

এখন আমরা এই প্রশ্নের দুটি উত্তর পাব। যেহেতু উভয়ই সঠিক হবে, আমরা আত্মবিশ্বাসের সাথে সংখ্যার মধ্যে একটি সমান চিহ্ন রাখতে পারি।

আমরা ইতিমধ্যে একটি উত্তর আলোচনা করেছি. Fn+2 স্টাইলিং বিকল্প আছে। তাদের মধ্যে শুধুমাত্র একটি ডোমিনো ছাড়াই একচেটিয়াভাবে বর্গক্ষেত্র ব্যবহার করে। সুতরাং, আমাদের প্রশ্নের উত্তর #1 হল: Fn+2–1।

দ্বিতীয় উত্তরটি হওয়া উচিত - আমি আশা করি - সমীকরণের বাম দিকে [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1।. দেখা যাক এটা কিভাবে কাজ করে।

আপনাকে ফ্রেমটি পূরণ করার জন্য বিকল্পগুলি গণনা করতে হবে যাতে কমপক্ষে একটি ডমিনো অন্তর্ভুক্ত থাকে। এর প্রথম ডমিনো কোথায় অবস্থিত হবে তা নিয়ে চিন্তা করা যাক। n+2 পজিশন আছে এবং প্রথম ডমিনো 1 থেকে n+1 পজিশনে অবস্থিত হতে পারে।

কেস n = 4 বিবেচনা করুন। আমরা একটি 1 × 6 ফ্রেম পূরণ করার বিকল্পগুলি খুঁজছি যাতে কমপক্ষে একটি ডমিনো জড়িত থাকে। আমরা উত্তর জানি: F6 - 1 = 13 - 1 = 12, কিন্তু আমাদের এটি অন্যভাবে পেতে হবে।

প্রথম ডমিনো নিম্নলিখিত অবস্থানগুলি দখল করতে পারে:

প্রথম কলামটি কেস দেখায় যখন ডমিনো প্রথম অবস্থানে থাকে, দ্বিতীয়টি - যখন ডমিনো দ্বিতীয় অবস্থানে থাকে ইত্যাদি।

প্রতিটি কলামে কয়টি অপশন আছে?

প্রথম কলামে পাঁচটি বিকল্প রয়েছে। যদি আমরা বাম দিকে ডোমিনো ড্রপ করি, তাহলে আমরা 1 × 4 আয়তক্ষেত্রের জন্য ঠিক F4 = 5 বিকল্প পাব। দ্বিতীয় কলামে তিনটি বিকল্প রয়েছে। বাম দিকের ডোমিনো এবং বর্গক্ষেত্রটি বাতিল করা যাক। আমরা 1 × 3 আয়তক্ষেত্রের জন্য F3 = 3 বিকল্প পাই। একইভাবে অন্যান্য কলামের জন্য। আমরা যা পেয়েছি তা এখানে:

সুতরাং, বর্গক্ষেত্র এবং ডোমিনো (অন্তত একটি ডোমিনো সহ) একটি 1 × 6 আয়তক্ষেত্রাকার ফ্রেমে টাইল করার উপায়গুলির সংখ্যা হল F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12।

উপসংহার: F0+F1+F2+F3+F4=12=F6–1।

আসুন সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক। আমাদেরকে n + 2 দৈর্ঘ্যের একটি ফ্রেম দেওয়া হয়েছে। এটি পূরণ করার জন্য কয়টি বিকল্প রয়েছে যাতে প্রথম ডমিনোটি k অবস্থানে থাকে? এই ক্ষেত্রে, প্রথম k - 1 অবস্থানগুলি বর্গ দ্বারা দখল করা হয়। এইভাবে, মোট k + 1 পদ দখল করা হয়েছে [ 4 ]k সংখ্যাটি 1 থেকে n + 1 পর্যন্ত মান নিতে পারে, তবে আর নয়, কারণ অন্যথায় শেষ ডমিনোটি ফ্রেমের বাইরে থাকবে।. অবশিষ্ট (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 যে কোনও উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে। এটি Fn-k+1 বিকল্প দেয়। আসুন একটি চিত্র তৈরি করি:

k 1 থেকে n + 1 এ পরিবর্তিত হলে, মান n - k + 1 0 থেকে n এ পরিবর্তিত হয়। সুতরাং, কমপক্ষে একটি ডমিনো ব্যবহার করে আমাদের ফ্রেম পূরণ করার বিকল্পগুলির সংখ্যা Fn + Fn-1 +… + F1 + F0 এর সমান।

যদি আমরা পদগুলিকে বিপরীত ক্রমে রাখি, আমরা অভিব্যক্তির বাম দিকে (*) পাব। সুতরাং, আমরা উত্থাপিত প্রশ্নের দ্বিতীয় উত্তর খুঁজে পেয়েছি: F0 +F1 +…+Fn।

সুতরাং আমাদের কাছে প্রশ্নের দুটি উত্তর আছে। আমরা প্রাপ্ত দুটি সূত্র ব্যবহার করে প্রাপ্ত মানগুলি মিলে যায়, এবং পরিচয় [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1।প্রমাণিত

ফিবোনাচি অনুপাত এবং সোনালী অনুপাত

পরপর দুটি ফিবোনাচি সংখ্যা যোগ করলে পরবর্তী ফিবোনাচি সংখ্যা পাওয়া যায়। এই বিভাগে আমরা আরও একটি আকর্ষণীয় প্রশ্নে স্পর্শ করব: যদি আমরা ফিবোনাচি সংখ্যাটিকে সিরিজের পূর্ববর্তী সংখ্যা দিয়ে ভাগ করি তাহলে কী হবে? Fk1 অনুপাত নির্ণয় করা যাক। k এর মান বৃদ্ধির জন্য।

টেবিলে আপনি F1/F0 থেকে F20/19 অনুপাত দেখতে পারেন।

ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি যত বেশি হবে, Fk+1/Fk অনুপাতটি একটি ধ্রুবকের কাছাকাছি হবে, প্রায় 1.61803 এর সমান। এই সংখ্যাটি হল - আপনি অবাক হবেন - বেশ পরিচিত, এবং আপনি যদি এটি একটি সার্চ ইঞ্জিনে প্রবেশ করেন, তাহলে সুবর্ণ অনুপাত সম্পর্কে এক টন পৃষ্ঠা উঠে আসবে। এটা কি? সংলগ্ন ফিবোনাচি সংখ্যার অনুপাত একই নয়। যাইহোক, সংখ্যা যথেষ্ট বড় হলে এটি প্রায় একই। আসুন 1.61803 নম্বরের সূত্রটি খুঁজে বের করি এবং এর জন্য আমরা সাময়িকভাবে ধরে নেব যে সমস্ত অনুপাত একই। আসুন স্বরলিপি x প্রবর্তন করি:

x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…

এর মানে হল Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1, ইত্যাদি। আমরা সংস্কার করতে পারি:

Fk+2 =xFk+1=x2>Fk।

কিন্তু আমরা জানি যে Fk+2= Fk+1 + Fk। সুতরাং, x2>FkFk = xFk + Fk।

যদি আমরা উভয় পক্ষকে Fk দ্বারা ভাগ করি এবং পদগুলিকে পুনর্বিন্যাস করি, তাহলে আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পাব: x2-x-1=0। এর দুটি সমাধান রয়েছে:

অনুপাত অবশ্যই ইতিবাচক হতে হবে। এবং এখন আমাদের কাছে পরিচিত একটি সংখ্যা রয়েছে। সাধারণত গ্রীক অক্ষর φ (phi) সোনালী অনুপাত বোঝাতে ব্যবহৃত হয়:

আমরা ইতিমধ্যে লক্ষ্য করেছি যে প্রতিবেশী ফিবোনাচি সংখ্যার অনুপাত φ-এর দিকে (প্রবণতা)। এটা চমৎকার. এটি আমাদের আনুমানিক ফিবোনাচি সংখ্যা গণনা করার আরেকটি উপায় দেয়। ফিবোনাচি সংখ্যার ক্রম হল F0 F1, F2, F3, F4, F5... যদি সমস্ত অনুপাত Fk+1/Fk একই হয়, আমরা সূত্রটি পাব:

এখানে সঙ্গে- আরেকটি ধ্রুবক। চলুন বিভিন্ন n-এর জন্য Fn এবং φn-এর বৃত্তাকার মান তুলনা করি:

n অনুপাতের বড় মানের জন্য Fn/ φn≈0.723607। এই সংখ্যাটি ঠিক φ/root5 এর সমান। অন্য কথায়,

মনে রাখবেন যে যদি আমরা নিকটতম পূর্ণ সংখ্যায় রাউন্ড করি তবে আমরা ঠিক Fn পাব।

আপনি যদি নিকটতম পূর্ণ সংখ্যায় রাউন্ডিং করতে বিরক্ত না করতে চান, জ্যাক বিনেটের নামানুসারে সূত্রটি [ 5 ]জ্যাক বিনেট (1786-1856) - ফরাসি গণিতবিদ, মেকানিক এবং জ্যোতির্বিদ। ফিবোনাচি সংখ্যার সূত্রটি বিনেটের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যদিও এটি প্রায় একশ বছর আগে আব্রাহাম ডি মোইভের (1667-1754) দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল। - প্রায়. গলি, আপনাকে সঠিক মান দেবে:

ফ্রেম পূরণ 1×5

আমাদের ফ্রেমটি নিম্নলিখিত উপায়ে স্কোয়ার এবং ডমিনো দিয়ে পূর্ণ করা যেতে পারে:

স্কোয়ারটি প্রথমে এলে F4 = 5টি অপশন থাকে এবং ডমিনোটি প্রথমে এলে F3 = 3টি অপশন থাকে। মোট এটি F5 = F4 + F3 = 8 বিকল্প দেয়।

F10 মান(স্টাইলিং সম্পর্কিত পরবর্তী প্রশ্নের উত্তর) হল 89।

মহাবিশ্বে এখনও অনেক অমীমাংসিত রহস্য রয়েছে, যার মধ্যে কিছু বিজ্ঞানী ইতিমধ্যে সনাক্ত করতে এবং বর্ণনা করতে সক্ষম হয়েছেন। ফিবোনাচি সংখ্যা এবং সোনালী অনুপাত আমাদের চারপাশের জগতকে উন্মোচন করার ভিত্তি তৈরি করে, এটির গঠন এবং একজন ব্যক্তির দ্বারা সর্বোত্তম চাক্ষুষ উপলব্ধি তৈরি করে, যার সাহায্যে সে সৌন্দর্য এবং সাদৃশ্য অনুভব করতে পারে।

গোল্ডেন রেশিও

সুবর্ণ অনুপাতের মাত্রা নির্ধারণের নীতিটি সমগ্র বিশ্বের পরিপূর্ণতা এবং এর কাঠামো এবং কার্যকারিতার অংশগুলির অন্তর্নিহিত, এর প্রকাশ প্রকৃতি, শিল্প এবং প্রযুক্তিতে দেখা যায়। সংখ্যার প্রকৃতি নিয়ে প্রাচীন বিজ্ঞানীদের গবেষণার ফলস্বরূপ সোনালী অনুপাতের মতবাদ প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল।

এটি বিভাগগুলির অনুপাত এবং অনুপাতের তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে, যা প্রাচীন দার্শনিক এবং গণিতবিদ পিথাগোরাস দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল। তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে একটি অংশকে দুটি ভাগে ভাগ করার সময়: X (ছোট) এবং Y (বড়), বৃহত্তর থেকে ছোটের অনুপাত তাদের যোগফলের অনুপাতের সমান হবে (সম্পূর্ণ অংশ):

ফলাফল একটি সমীকরণ: x 2 - x - 1=0,যা হিসাবে সমাধান করা হয় x=(1±√5)/2।

যদি আমরা অনুপাত 1/x বিবেচনা করি, তাহলে এটি সমান 1,618…

প্রাচীন চিন্তাবিদদের দ্বারা সোনালি অনুপাত ব্যবহারের প্রমাণ ইউক্লিডের বই "এলিমেন্টস" এ দেওয়া হয়েছে, যা তৃতীয় শতাব্দীতে লেখা হয়েছিল। BC, যিনি নিয়মিত পঞ্চভুজ নির্মাণের জন্য এই নিয়ম প্রয়োগ করেছিলেন। পিথাগোরিয়ানদের মধ্যে, এই চিত্রটিকে পবিত্র বলে মনে করা হয় কারণ এটি প্রতিসাম্য এবং অপ্রতিসম। পেন্টাগ্রাম জীবন এবং স্বাস্থ্যের প্রতীক।

ফিবোনাচি সংখ্যা

পিসার ইতালীয় গণিতবিদ লিওনার্দোর বিখ্যাত বই Liber abaci, যিনি পরে ফিবোনাচি নামে পরিচিত হন, 1202 সালে প্রকাশিত হয়েছিল। এতে, বিজ্ঞানী প্রথমবারের মতো সংখ্যার প্যাটার্ন উদ্ধৃত করেছেন, যার প্রতিটি সংখ্যার সমষ্টি। 2 পূর্ববর্তী সংখ্যা। ফিবোনাচি সংখ্যা ক্রম নিম্নরূপ:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ইত্যাদি।

বিজ্ঞানী বেশ কয়েকটি নিদর্শনও উদ্ধৃত করেছেন:

পরেরটি দ্বারা ভাগ করা সিরিজের যেকোনো সংখ্যা একটি মানের সমান হবে যা 0.618 হয়। তদুপরি, প্রথম ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি এমন একটি সংখ্যা দেয় না, তবে আমরা ক্রমটির শুরু থেকে যত এগিয়ে যাব, এই অনুপাতটি আরও বেশি সঠিক হবে।
আপনি যদি সিরিজ থেকে সংখ্যাটিকে পূর্ববর্তী একটি দ্বারা ভাগ করেন তবে ফলাফলটি 1.618-এ পৌঁছে যাবে।
একটি সংখ্যা পরের দ্বারা একটি দ্বারা ভাগ করলে 0.382 এর মান দেখাবে।

সুবর্ণ বিভাগের সংযোগ এবং নিদর্শনগুলির প্রয়োগ, ফিবোনাচ্চি সংখ্যা (0.618) শুধুমাত্র গণিতে নয়, প্রকৃতি, ইতিহাস, স্থাপত্য এবং নির্মাণ এবং অন্যান্য অনেক বিজ্ঞানেও পাওয়া যায়।

আর্কিমিডিস সর্পিল এবং সোনালী আয়তক্ষেত্র

সর্পিল, প্রকৃতিতে খুব সাধারণ, আর্কিমিডিস দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল, যিনি এমনকি এর সমীকরণটিও বের করেছিলেন। সর্পিল আকৃতি সুবর্ণ অনুপাতের আইনের উপর ভিত্তি করে। এটি খুলে দেওয়ার সময়, একটি দৈর্ঘ্য পাওয়া যায় যার অনুপাত এবং ফিবোনাচি সংখ্যা প্রয়োগ করা যেতে পারে; ধাপটি সমানভাবে বৃদ্ধি পায়।

ফিবোনাচি সংখ্যা এবং সোনালী অনুপাতের মধ্যে সমান্তরাল একটি "সোনালী আয়তক্ষেত্র" তৈরি করে দেখা যেতে পারে যার বাহুগুলি 1.618:1 হিসাবে সমানুপাতিক। এটি একটি বৃহত্তর আয়তক্ষেত্র থেকে ছোটে সরানোর মাধ্যমে তৈরি করা হয়েছে যাতে বাহুর দৈর্ঘ্য সিরিজের সংখ্যার সমান হয়। এটি বর্গাকার "1" দিয়ে শুরু করে বিপরীত ক্রমেও তৈরি করা যেতে পারে। যখন এই আয়তক্ষেত্রের কোণগুলি তাদের ছেদকের কেন্দ্রে রেখা দ্বারা সংযুক্ত থাকে, তখন একটি ফিবোনাচি বা লগারিদমিক সর্পিল পাওয়া যায়।

সোনালি অনুপাত ব্যবহারের ইতিহাস

মিশরের অনেক প্রাচীন স্থাপত্য নিদর্শন সোনালি অনুপাত ব্যবহার করে নির্মিত হয়েছিল: চিওপসের বিখ্যাত পিরামিড, ইত্যাদি। প্রাচীন গ্রিসের স্থপতিরা মন্দির, অ্যাম্ফিথিয়েটার এবং স্টেডিয়ামের মতো স্থাপত্য সামগ্রী নির্মাণে তাদের ব্যাপকভাবে ব্যবহার করেছিলেন। উদাহরণস্বরূপ, পার্থেননের প্রাচীন মন্দির, (এথেন্স) এবং অন্যান্য বস্তু যা গাণিতিক নিদর্শনগুলির উপর ভিত্তি করে সামঞ্জস্য প্রদর্শন করে প্রাচীন স্থাপত্যের মাস্টারপিস হয়ে ওঠে, এই ধরনের অনুপাতগুলি ব্যবহার করা হয়েছিল।

পরবর্তী শতাব্দীতে, সোনালী অনুপাতের প্রতি আগ্রহ কমে যায়, এবং নিদর্শনগুলি ভুলে যায়, কিন্তু এটি আবার রেনেসাঁতে ফ্রান্সিসকান সন্ন্যাসী এল. প্যাসিওলি ডি বোরগো "দ্য ডিভাইন প্রপোশন" (1509) বইয়ের সাথে আবার শুরু হয়। এটিতে লিওনার্দো দা ভিঞ্চির দৃষ্টান্ত রয়েছে, যিনি নতুন নাম "গোল্ডেন রেশিও" প্রতিষ্ঠা করেছিলেন। সোনালি অনুপাতের 12টি বৈশিষ্ট্যও বৈজ্ঞানিকভাবে প্রমাণিত হয়েছিল এবং লেখক কীভাবে এটি প্রকৃতিতে, শিল্পে নিজেকে প্রকাশ করে সে সম্পর্কে কথা বলেছেন এবং এটিকে "বিশ্ব এবং প্রকৃতি নির্মাণের নীতি" বলে অভিহিত করেছেন।

ভিট্রুভিয়ান ম্যান লিওনার্দো

1492 সালে লিওনার্দো দা ভিঞ্চি ভিট্রুভিয়াসের বইটি চিত্রিত করার জন্য যে অঙ্কনটি ব্যবহার করেছিলেন, তাতে একটি মানব চিত্রকে 2টি অবস্থানে চিত্রিত করা হয়েছে যার পাশে বাহু ছড়িয়ে রয়েছে। চিত্রটি একটি বৃত্ত এবং একটি বর্গক্ষেত্রে খোদাই করা আছে। এই অঙ্কনটিকে মানবদেহের (পুরুষ) প্রামাণিক অনুপাত হিসাবে বিবেচনা করা হয়, যা রোমান স্থপতি ভিট্রুভিয়াসের গ্রন্থগুলিতে অধ্যয়নের ভিত্তিতে লিওনার্দো বর্ণনা করেছেন।

বাহু এবং পায়ের প্রান্ত থেকে একটি সমদূরত্ব বিন্দু হিসাবে শরীরের কেন্দ্র হল নাভি, বাহুগুলির দৈর্ঘ্য ব্যক্তির উচ্চতার সমান, কাঁধের সর্বাধিক প্রস্থ = উচ্চতার 1/8, বুকের উপর থেকে চুলের দূরত্ব = 1/7, বুকের উপর থেকে মাথার উপরে = 1/6 ইত্যাদি।

তারপর থেকে, অঙ্কনটি মানবদেহের অভ্যন্তরীণ প্রতিসাম্য প্রদর্শনকারী প্রতীক হিসাবে ব্যবহৃত হয়েছে।

লিওনার্দো মানুষের চিত্রে আনুপাতিক সম্পর্ক নির্ধারণ করতে "গোল্ডেন রেশিও" শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন। উদাহরণস্বরূপ, কোমর থেকে পায়ের দূরত্বটি নাভি থেকে মাথার উপরের দৈর্ঘ্যের একই দূরত্বের সাথে সম্পর্কিত যেভাবে উচ্চতা প্রথম দৈর্ঘ্যের (কোমর থেকে নীচে)। সোনালি অনুপাত গণনা করার সময় এই গণনাটি সেগমেন্টের অনুপাতের অনুরূপভাবে করা হয় এবং 1.618 এর দিকে থাকে।

এই সমস্ত সুরেলা অনুপাত প্রায়শই শিল্পীরা সুন্দর এবং চিত্তাকর্ষক কাজ তৈরি করতে ব্যবহার করে।

16 তম থেকে 19 শতকে সোনালী অনুপাত নিয়ে গবেষণা

সুবর্ণ অনুপাত এবং ফিবোনাচি সংখ্যা ব্যবহার করে, অনুপাতের বিষয়ে গবেষণা শতাব্দী ধরে চলছে। লিওনার্দো দা ভিঞ্চির সাথে সমান্তরালভাবে, জার্মান শিল্পী আলব্রেখট ডুরারও মানবদেহের সঠিক অনুপাতের তত্ত্বের বিকাশে কাজ করেছিলেন। এই উদ্দেশ্যে, তিনি এমনকি একটি বিশেষ কম্পাস তৈরি করেছিলেন।

16 শতকে ফিবোনাচি সংখ্যা এবং সোনালী অনুপাতের মধ্যে সংযোগের প্রশ্নটি জ্যোতির্বিজ্ঞানী আই. কেপলারের কাজে নিবেদিত ছিল, যিনি প্রথম উদ্ভিদবিদ্যায় এই নিয়মগুলি প্রয়োগ করেছিলেন।

19 শতকে একটি নতুন "আবিষ্কার" সোনালী অনুপাতের জন্য অপেক্ষা করছে। জার্মান বিজ্ঞানী অধ্যাপক Zeisig এর "নান্দনিক তদন্ত" প্রকাশনার সঙ্গে. তিনি এই অনুপাতগুলিকে পরম হিসাবে উত্থাপন করেছিলেন এবং ঘোষণা করেছিলেন যে তারা সমস্ত প্রাকৃতিক ঘটনার জন্য সর্বজনীন। তিনি বিপুল সংখ্যক মানুষের অধ্যয়ন করেছেন, বা বরং তাদের শারীরিক অনুপাত (প্রায় 2 হাজার), যার ফলাফলের ভিত্তিতে শরীরের বিভিন্ন অংশের অনুপাতের পরিসংখ্যানগতভাবে নিশ্চিত প্যাটার্ন সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিল: কাঁধের দৈর্ঘ্য, বাহু, হাত, আঙ্গুল ইত্যাদি

কবিতা লেখার সময় শিল্পের বস্তুগুলি (দানি, স্থাপত্যের কাঠামো), বাদ্যযন্ত্রের সুর এবং আকারগুলিও অধ্যয়ন করা হয়েছিল - জেসিগ এই সমস্ত কিছু অংশ এবং সংখ্যার দৈর্ঘ্যের মাধ্যমে প্রদর্শন করেছিলেন এবং তিনি "গাণিতিক নন্দনতত্ত্ব" শব্দটিও চালু করেছিলেন। ফলাফল প্রাপ্তির পরে, এটি ফিবোনাচি সিরিজ প্রাপ্ত করা হয়েছে.

ফিবোনাচি সংখ্যা এবং প্রকৃতিতে সোনালী অনুপাত

উদ্ভিদ এবং প্রাণী জগতে প্রতিসাম্য আকারে রূপবিদ্যার প্রতি একটি প্রবণতা রয়েছে, যা বৃদ্ধি এবং চলাচলের দিকে পরিলক্ষিত হয়। প্রতিসম অংশে বিভাজন যেখানে সোনালী অনুপাত পরিলক্ষিত হয় - এই প্যাটার্নটি অনেক গাছপালা এবং প্রাণীর মধ্যে অন্তর্নিহিত।

ফিবোনাচি সংখ্যা ব্যবহার করে আমাদের চারপাশের প্রকৃতি বর্ণনা করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ:

যেকোন গাছের পাতা বা শাখার বিন্যাস, সেইসাথে দূরত্ব, প্রদত্ত সংখ্যা 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 এবং আরও কিছু সিরিজের সাথে মিলে যায়;
সূর্যমুখী বীজ (শঙ্কু, আনারস কোষের উপর আঁশ), বিভিন্ন দিকে পাকানো সর্পিল বরাবর দুটি সারিতে সাজানো;
লেজের দৈর্ঘ্য এবং টিকটিকিটির পুরো শরীরের অনুপাত;
একটি ডিমের আকৃতি, যদি আপনি তার প্রশস্ত অংশের মাধ্যমে একটি রেখা আঁকেন;
একজন ব্যক্তির হাতের আঙুলের আকারের অনুপাত।

এবং, অবশ্যই, সবচেয়ে আকর্ষণীয় আকারগুলির মধ্যে রয়েছে সর্পিল শামুকের খোলস, মাকড়সার জালের নিদর্শন, হারিকেনের ভিতরে বাতাসের গতিবিধি, ডিএনএ-তে ডাবল হেলিক্স এবং ছায়াপথগুলির গঠন - যার সবই ফিবোনাচি ক্রম জড়িত।

শিল্পে সোনালী অনুপাতের ব্যবহার

গবেষকরা বিভিন্ন স্থাপত্য বস্তু এবং চিত্রকলার কাজের বিস্তারিতভাবে শিল্প অধ্যয়নে সোনালী অনুপাতের ব্যবহারের উদাহরণ অনুসন্ধান করছেন। বিখ্যাত ভাস্কর্যের কাজ রয়েছে, যার নির্মাতারা সোনালি অনুপাত মেনে চলেছিলেন - অলিম্পিয়ান জিউস, অ্যাপোলো বেলভেদেরের মূর্তি এবং

লিওনার্দো দা ভিঞ্চির একটি সৃষ্টি, "মোনা লিসার প্রতিকৃতি", বহু বছর ধরে বিজ্ঞানীদের গবেষণার বিষয়। তারা আবিষ্কার করেছেন যে কাজের রচনাটি সম্পূর্ণরূপে "সোনার ত্রিভুজ" দ্বারা গঠিত যা একটি নিয়মিত পেন্টাগন-স্টারে একত্রিত হয়। দা ভিঞ্চির সমস্ত কাজই প্রমাণ করে যে মানবদেহের গঠন এবং অনুপাত সম্পর্কে তাঁর জ্ঞান কতটা গভীর ছিল, যার জন্য তিনি মোনালিসার অবিশ্বাস্যভাবে রহস্যময় হাসিটি ক্যাপচার করতে সক্ষম হয়েছিলেন।

স্থাপত্যে গোল্ডেন রেশিও

উদাহরণ হিসাবে, বিজ্ঞানীরা "সোনার অনুপাত" এর নিয়ম অনুসারে তৈরি করা স্থাপত্যের মাস্টারপিসগুলি পরীক্ষা করেছেন: মিশরীয় পিরামিড, প্যানথিয়ন, পার্থেনন, নটর ডেম ডি প্যারিস ক্যাথেড্রাল, সেন্ট বেসিল ক্যাথেড্রাল ইত্যাদি।

পার্থেনন - প্রাচীন গ্রীসের সবচেয়ে সুন্দর ভবনগুলির মধ্যে একটি (খ্রিস্টপূর্ব 5ম শতাব্দী) - এর 8 টি কলাম এবং 17টি বিভিন্ন দিকে রয়েছে, এর উচ্চতা এবং পাশের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 0.618। এর সম্মুখভাগের প্রোট্রুশনগুলি "সোনার অনুপাত" (নীচের ছবি) অনুসারে তৈরি করা হয়।

স্থাপত্য বস্তুর (তথাকথিত "মড্যুলার") অনুপাতের মডুলার সিস্টেমের উন্নতির সাথে এবং সফলভাবে প্রয়োগ করা বিজ্ঞানীদের মধ্যে একজন ছিলেন ফরাসি স্থপতি লে করবুসিয়ার। মডুলেটর মানবদেহের অংশে শর্তসাপেক্ষ বিভাজনের সাথে যুক্ত একটি পরিমাপ পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে।

রাশিয়ান স্থপতি এম. কাজাকভ, যিনি মস্কোতে বেশ কয়েকটি আবাসিক ভবন নির্মাণ করেছিলেন, সেইসাথে ক্রেমলিনের সেনেট ভবন এবং গোলিটসিন হাসপাতাল (এখন এন. আই. পিরোগভের নামে 1ম ক্লিনিকাল নামকরণ করা হয়েছে), ছিলেন একজন স্থপতি যিনি নকশায় আইন ব্যবহার করেছিলেন এবং গোল্ডেন অনুপাত সম্পর্কে নির্মাণ.

নকশায় অনুপাত প্রয়োগ করা

পোশাকের ডিজাইনে, সমস্ত ফ্যাশন ডিজাইনার মানবদেহের অনুপাত এবং সোনালী অনুপাতের নিয়মগুলি বিবেচনায় নিয়ে নতুন চিত্র এবং মডেল তৈরি করে, যদিও প্রকৃতির দ্বারা সমস্ত মানুষের আদর্শ অনুপাত থাকে না।

ল্যান্ডস্কেপ ডিজাইনের পরিকল্পনা করার সময় এবং গাছপালা (গাছ এবং গুল্ম), ফোয়ারা এবং ছোট স্থাপত্য বস্তুর সাহায্যে ত্রি-মাত্রিক পার্ক রচনা তৈরি করার সময়, "ঐশ্বরিক অনুপাত" এর আইনগুলিও প্রয়োগ করা যেতে পারে। সর্বোপরি, পার্কের রচনাটি দর্শকদের উপর একটি ছাপ তৈরি করার দিকে মনোনিবেশ করা উচিত, যারা এটিকে অবাধে নেভিগেট করতে এবং রচনা কেন্দ্রটি খুঁজে পেতে সক্ষম হবে।

জ্যামিতিক গঠন, আপেক্ষিক অবস্থান, আলোকসজ্জা এবং আলোর সাহায্যে সাদৃশ্য এবং পরিপূর্ণতার ছাপ তৈরি করতে পার্কের সমস্ত উপাদানগুলি এমন অনুপাতে রয়েছে।

সাইবারনেটিক্স এবং প্রযুক্তিতে সোনালী অনুপাতের প্রয়োগ

গোল্ডেন সেকশন এবং ফিবোনাচি সংখ্যার নিয়মগুলি শক্তির পরিবর্তনে, রাসায়নিক যৌগগুলি তৈরি করে এমন প্রাথমিক কণাগুলির সাথে সংঘটিত প্রক্রিয়াগুলিতে, স্পেস সিস্টেমে এবং ডিএনএর জেনেটিক কাঠামোতেও উপস্থিত হয়।

অনুরূপ প্রক্রিয়া মানুষের শরীরে ঘটে, তার জীবনের বায়োরিদমে নিজেকে প্রকাশ করে, অঙ্গগুলির ক্রিয়ায়, উদাহরণস্বরূপ, মস্তিষ্ক বা দৃষ্টি।

অ্যালগরিদম এবং সোনালী অনুপাতের প্যাটার্নগুলি আধুনিক সাইবারনেটিক্স এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। নবজাতক প্রোগ্রামারদের সমাধান করার জন্য যে সহজ কাজগুলি দেওয়া হয় তার মধ্যে একটি হল একটি সূত্র লেখা এবং প্রোগ্রামিং ভাষা ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা পর্যন্ত ফিবোনাচি সংখ্যার যোগফল নির্ধারণ করা।

গোল্ডেন রেশিওর তত্ত্ব নিয়ে আধুনিক গবেষণা

বিংশ শতাব্দীর মাঝামাঝি থেকে, মানব জীবনের উপর সুবর্ণ অনুপাতের আইনের সমস্যা এবং প্রভাবের প্রতি আগ্রহ তীব্রভাবে বৃদ্ধি পেয়েছে এবং বিভিন্ন পেশার অনেক বিজ্ঞানীর কাছ থেকে: গণিতবিদ, জাতিগত গবেষক, জীববিজ্ঞানী, দার্শনিক, চিকিৎসাকর্মী, অর্থনীতিবিদ, সঙ্গীতজ্ঞ, ইত্যাদি

মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে, দ্য ফিবোনাচি ত্রৈমাসিক পত্রিকাটি 1970 এর দশকে প্রকাশ করা শুরু করে, যেখানে এই বিষয়ে কাজ প্রকাশিত হয়েছিল। কাজগুলি প্রেসে প্রদর্শিত হয় যেখানে গোল্ডেন রেশিও এবং ফিবোনাচি সিরিজের সাধারণীকৃত নিয়মগুলি জ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। যেমন তথ্য কোডিং, রাসায়নিক গবেষণা, জৈবিক গবেষণা ইত্যাদির জন্য।

এই সমস্তগুলি প্রাচীন এবং আধুনিক বিজ্ঞানীদের সিদ্ধান্তকে নিশ্চিত করে যে সোনালী অনুপাতটি বহুপাক্ষিকভাবে বিজ্ঞানের মৌলিক বিষয়গুলির সাথে সম্পর্কিত এবং আমাদের চারপাশের বিশ্বের অনেক সৃষ্টি এবং ঘটনার প্রতিসাম্যে উদ্ভাসিত হয়।

ফিবোনাচি সংখ্যা একটি সংখ্যা ক্রম উপাদান.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, যার প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা আগের দুটি সংখ্যার যোগফলের সমান। নামটি পিসা (বা ফিবোনাচ্চি) এর মধ্যযুগীয় গণিতবিদ লিওনার্দোর নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি ইতালীয় শহর পিসাতে একজন বণিক এবং গণিতবিদ হিসাবে বসবাস করতেন এবং কাজ করতেন। তিনি তার সময়ের সবচেয়ে বিখ্যাত ইউরোপীয় বিজ্ঞানীদের একজন। তার সর্বশ্রেষ্ঠ কৃতিত্বের মধ্যে ছিল আরবি সংখ্যার প্রবর্তন, যা রোমান সংখ্যাকে প্রতিস্থাপন করে। Fn =Fn-1 +Fn-2

একটি গাণিতিক সিরিজ অ্যাসিম্পটোটিকভাবে (অর্থাৎ, আরও ধীরে ধীরে এগিয়ে যাওয়া) একটি ধ্রুবক অনুপাতের দিকে ঝোঁক। যাইহোক, এই মনোভাব অযৌক্তিক; এটির পরে সারিবদ্ধ দশমিক মানের একটি অন্তহীন, অপ্রত্যাশিত ক্রম রয়েছে। এটা কখনই সঠিকভাবে প্রকাশ করা যায় না। যদি একটি সিরিজের অংশ এমন প্রতিটি সংখ্যাকে তার পূর্বসূরি দ্বারা ভাগ করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, 13-^8 বা 21 -IZ), ক্রিয়াটির ফলাফল এমন একটি অনুপাতে প্রকাশ করা হয় যা অযৌক্তিক সংখ্যা 1.61803398875 এর চারপাশে ওঠানামা করে, সামান্য বেশি বা সামান্য সিরিজের প্রতিবেশী অনুপাতের চেয়ে কম। অনুপাত কখনই, অসীম, শেষ সংখ্যা পর্যন্ত সঠিক হবে না (এমনকি আমাদের সময়ে তৈরি করা সবচেয়ে শক্তিশালী কম্পিউটার ব্যবহার করে)। সংক্ষিপ্ততার জন্য, আমরা ফিবোনাচি অনুপাত হিসাবে 1.618 ব্যবহার করব এবং পাঠকদের এই ত্রুটি সম্পর্কে সচেতন হতে বলব।

দুটি সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক নির্ধারণের জন্য ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম বিশ্লেষণ করার সময় ফিবোনাচি সংখ্যাগুলিও গুরুত্বপূর্ণ। ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি প্যাসকেলের ত্রিভুজ (দ্বিপদ সহগ) এর কর্ণের সূত্র থেকে এসেছে।

ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি "গোল্ডেন রেশিও" এর সাথে সম্পর্কিত বলে প্রমাণিত হয়েছে।

সোনালি অনুপাত প্রাচীন মিশর এবং ব্যাবিলনে, ভারত ও চীনে পরিচিত ছিল। "গোল্ডেন রেশিও" কি? উত্তর এখনও অজানা. ফিবোনাচি সংখ্যা সত্যিই আমাদের সময়ে অনুশীলন তত্ত্বের সাথে প্রাসঙ্গিক। গুরুত্ব বৃদ্ধি 20 শতকে ঘটেছে এবং আজ পর্যন্ত অব্যাহত আছে। অর্থনীতি এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানে ফিবোনাচি সংখ্যার ব্যবহার জনগণকে তাদের গবেষণায় আকৃষ্ট করেছিল।

আমার গবেষণার পদ্ধতির মধ্যে রয়েছে বিশেষ সাহিত্য অধ্যয়ন এবং প্রাপ্ত তথ্যের সংক্ষিপ্তকরণ, সেইসাথে আমার নিজস্ব গবেষণা পরিচালনা করা এবং সংখ্যার বৈশিষ্ট্য এবং তাদের ব্যবহারের সুযোগ চিহ্নিত করা।

বৈজ্ঞানিক গবেষণার সময়, তিনি ফিবোনাচি সংখ্যার ধারণা এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন। আমি সরাসরি সূর্যমুখী বীজের কাঠামোতে জীবন্ত প্রকৃতির আকর্ষণীয় নিদর্শন খুঁজে পেয়েছি।

একটি সূর্যমুখীতে, বীজগুলি সর্পিলাকারে সাজানো থাকে এবং অন্য দিকে যাওয়া সর্পিলগুলির সংখ্যাগুলি আলাদা - সেগুলি পরপর ফিবোনাচি সংখ্যা।

এই সূর্যমুখী আছে 34 এবং 55.

আনারস ফলের ক্ষেত্রেও একই রকম পরিলক্ষিত হয়, যেখানে 8 এবং 14টি সর্পিল রয়েছে।ভুট্টা পাতা ফিবোনাচি সংখ্যার অনন্য বৈশিষ্ট্যের সাথে যুক্ত।

a/b ফর্মের ভগ্নাংশ, উদ্ভিদের কান্ডের পায়ের পাতার হেলিকাল বিন্যাসের সাথে মিলে, প্রায়শই পরপর ফিবোনাচি সংখ্যার অনুপাত। হ্যাজেলের জন্য এই অনুপাত 2/3, ওকের জন্য 3/5, পপলারের জন্য 5/8, উইলোর জন্য 8/13 ইত্যাদি।

গাছের কান্ডে পাতার বিন্যাস দেখে আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে প্রতিটি জোড়া পাতার (A এবং C) মধ্যে তৃতীয়টি সোনালী অনুপাতের (B) স্থানে অবস্থিত।

ফিবোনাচি সংখ্যার আরেকটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য হল যে একটি ছাড়া অন্য দুটি ভিন্ন ফিবোনাচি সংখ্যার গুণফল এবং ভাগফল কখনই ফিবোনাচি সংখ্যা নয়।

গবেষণার ফলস্বরূপ, আমি নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি: ফিবোনাচি সংখ্যা একটি অনন্য গাণিতিক অগ্রগতি যা খ্রিস্টীয় 13 শতকে আবির্ভূত হয়েছিল। এই অগ্রগতি তার প্রাসঙ্গিকতা হারায় না, যা আমার গবেষণার সময় নিশ্চিত করা হয়েছিল। ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি প্রোগ্রামিং এবং অর্থনৈতিক পূর্বাভাস, চিত্রকলা, স্থাপত্য এবং সঙ্গীতেও পাওয়া যায়। লিওনার্দো দা ভিঞ্চি, মাইকেলেঞ্জেলো, রাফেল এবং বোটিসেলির মতো বিখ্যাত শিল্পীদের আঁকা চিত্রগুলি সোনালী অনুপাতের জাদুকে লুকিয়ে রাখে। এমনকি I. I. Shishkin তার পেইন্টিং "পাইন গ্রোভ" এ সুবর্ণ অনুপাত ব্যবহার করেছেন।

এটি বিশ্বাস করা কঠিন, তবে মোজার্ট, বিথোভেন, চোপিন ইত্যাদির মতো দুর্দান্ত সুরকারদের সংগীত রচনায়ও সোনালী অনুপাত পাওয়া যায়।

ফিবোনাচি সংখ্যাগুলিও স্থাপত্যে পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, পার্থেনন এবং নটরডেম ক্যাথেড্রাল নির্মাণে সোনালী অনুপাত ব্যবহার করা হয়েছিল

আমি আবিষ্কার করেছি যে ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি আমাদের এলাকায়ও ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, বাড়ির ছাঁটা, পেডিমেন্টস।

ফিবোনাচি সংখ্যা... প্রকৃতি এবং জীবনে

লিওনার্দো ফিবোনাচি মধ্যযুগের অন্যতম সেরা গণিতবিদ। ফিবোনাচ্চি তার একটি কাজ, "দ্য বুক অফ ক্যালকুলেশনস"-এ ইন্দো-আরবি গণনা পদ্ধতি এবং রোমান ভাষার তুলনায় এর ব্যবহারের সুবিধাগুলি বর্ণনা করেছেন।

সংজ্ঞা
ফিবোনাচি সংখ্যা বা ফিবোনাচি সিকোয়েন্স হল এমন একটি সংখ্যা ক্রম যার অনেকগুলি বৈশিষ্ট্য রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ক্রমানুসারে দুটি সন্নিহিত সংখ্যার যোগফল পরেরটির মান দেয় (উদাহরণস্বরূপ, 1+1=2; 2+3=5, ইত্যাদি), যা তথাকথিত ফিবোনাচি সহগগুলির অস্তিত্ব নিশ্চিত করে , অর্থাৎ ধ্রুবক অনুপাত।

ফিবোনাচি ক্রমটি এভাবে শুরু হয়: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

ফিবোনাচি সংখ্যার সম্পূর্ণ সংজ্ঞা

3.

ফিবোনাচি সিকোয়েন্সের বৈশিষ্ট্য

1. ক্রমিক সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে প্রতিটি সংখ্যার অনুপাত পরেরটির সাথে 0.618-এর দিকে থাকে। প্রতিটি সংখ্যার পূর্ববর্তী সংখ্যার অনুপাত 1.618 (0.618 এর বিপরীত)। 0.618 নম্বরটিকে (FI) বলা হয়।

2. প্রতিটি সংখ্যাকে অনুসরণ করা একটি দ্বারা ভাগ করলে, একটির পরের সংখ্যাটি 0.382 হয়; বিপরীতে - যথাক্রমে 2.618।

3. এইভাবে অনুপাত নির্বাচন করে, আমরা ফিবোনাচি অনুপাতের প্রধান সেট পাই: ... 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236।

5.

ফিবোনাচি সিকোয়েন্স এবং "গোল্ডেন রেশিও" এর মধ্যে সংযোগ

ফিবোনাচি সিকোয়েন্স অ্যাসিম্পটোটিকভাবে (ধীরে এবং ধীর গতিতে) কিছু ধ্রুবক সম্পর্কের দিকে ঝোঁক। যাইহোক, এই অনুপাতটি অযৌক্তিক, অর্থাৎ, এটি ভগ্নাংশে দশমিক সংখ্যাগুলির একটি অসীম, অপ্রত্যাশিত ক্রম সহ একটি সংখ্যাকে প্রতিনিধিত্ব করে। এটা সুনির্দিষ্টভাবে প্রকাশ করা অসম্ভব।

যদি ফিবোনাচি সিকোয়েন্সের কোনো সদস্যকে তার পূর্বসূরীর দ্বারা ভাগ করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, 13:8), ফলাফল হবে একটি মান যা অযৌক্তিক মান 1.61803398875 এর চারপাশে ওঠানামা করে... এবং কখনও কখনও এটি অতিক্রম করে, কখনও কখনও এটি পৌঁছায় না। কিন্তু এর জন্য অনন্তকাল ব্যয় করার পরেও, শেষ দশমিক সংখ্যা পর্যন্ত অনুপাতটি সঠিকভাবে বের করা অসম্ভব। সংক্ষিপ্ততার জন্য, আমরা এটি 1.618 আকারে উপস্থাপন করব। লুকা প্যাসিওলি (একজন মধ্যযুগীয় গণিতবিদ) এটিকে ঐশ্বরিক অনুপাত বলার আগেই এই অনুপাতটিকে বিশেষ নাম দেওয়া শুরু হয়েছিল। এর আধুনিক নামগুলোর মধ্যে রয়েছে গোল্ডেন রেশিও, গোল্ডেন এভারেজ এবং আবর্তিত বর্গক্ষেত্রের অনুপাত। কেপলার এই সম্পর্কটিকে "জ্যামিতির ধন" বলে অভিহিত করেছিলেন। বীজগণিতে, এটি সাধারণত গ্রীক অক্ষর phi দ্বারা চিহ্নিত করা গৃহীত হয়

একটি সেগমেন্টের উদাহরণ ব্যবহার করে সোনালি অনুপাতটি কল্পনা করা যাক।

A এবং B প্রান্ত বিশিষ্ট একটি রেখাংশ বিবেচনা করুন। বিন্দু C কে AB ভাগ করা যাক যাতে,

AC/CB = CB/AB বা

AB/CB = CB/AC.

আপনি এটিকে এরকম কিছু কল্পনা করতে পারেন: A-–C---B

গোল্ডেন রেশিও হল একটি সেগমেন্টের অসম অংশে আনুপাতিক বিভাজন, যেখানে পুরো অংশটি বৃহত্তর অংশের সাথে সম্পর্কিত কারণ বড় অংশটি নিজেই ছোটটির সাথে সম্পর্কিত; বা অন্য কথায়, ছোট অংশটি বৃহত্তরটির জন্য যেমন বৃহত্তরটি সমগ্রের জন্য।

সোনালী অনুপাতের অংশগুলিকে একটি অসীম অযৌক্তিক ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয় 0.618..., যদি AB কে এক হিসাবে নেওয়া হয়, AC = 0.382.. আমরা ইতিমধ্যেই জানি, 0.618 এবং 0.382 সংখ্যাগুলি হল ফিবোনাচি অনুক্রমের সহগ৷

ফিবোনাচি অনুপাত এবং প্রকৃতি এবং ইতিহাসে সোনালী অনুপাত

10.

এটি লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে ফিবোনাচি তার অনুক্রমের মানবতাকে স্মরণ করিয়ে দিচ্ছেন বলে মনে হচ্ছে। এটি প্রাচীন গ্রীক এবং মিশরীয়দের কাছে পরিচিত ছিল। এবং প্রকৃতপক্ষে, তারপর থেকে, প্রকৃতি, স্থাপত্য, চারুকলা, গণিত, পদার্থবিদ্যা, জ্যোতির্বিদ্যা, জীববিদ্যা এবং অন্যান্য অনেক ক্ষেত্রে ফিবোনাচি অনুপাত দ্বারা বর্ণিত নিদর্শনগুলি পাওয়া গেছে। এটি আশ্চর্যজনক যে ফিবোনাচি ক্রম ব্যবহার করে কতগুলি ধ্রুবক গণনা করা যায় এবং কীভাবে এর পদগুলি বিপুল সংখ্যক সংমিশ্রণে উপস্থিত হয়। যাইহোক, এটা বললে অত্যুক্তি হবে না যে এটি শুধুমাত্র সংখ্যার খেলা নয়, প্রাকৃতিক ঘটনাগুলির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক অভিব্যক্তি যা আবিষ্কৃত হয়েছে।

11.

নীচের উদাহরণগুলি এই গাণিতিক ক্রমটির কিছু আকর্ষণীয় প্রয়োগ দেখায়।

12.

1. সিঙ্ক একটি সর্পিল মধ্যে পাকানো হয়. আপনি যদি এটি উন্মোচন করেন তবে আপনি সাপের দৈর্ঘ্যের চেয়ে কিছুটা ছোট দৈর্ঘ্য পাবেন। ছোট দশ সেন্টিমিটার শেলের একটি সর্পিল 35 সেমি লম্বা। সর্পিলভাবে কুঁচকানো খোলের আকৃতি আর্কিমিডিসের দৃষ্টি আকর্ষণ করেছিল। আসল বিষয়টি হ'ল শেল কার্লগুলির মাত্রাগুলির অনুপাত ধ্রুবক এবং 1.618 এর সমান। আর্কিমিডিস শেলগুলির সর্পিল অধ্যয়ন করেছিলেন এবং সর্পিল সমীকরণ তৈরি করেছিলেন। এই সমীকরণ অনুসারে আঁকা সর্পিলকে তার নামে ডাকা হয়। তার পদক্ষেপের বৃদ্ধি সবসময় অভিন্ন। বর্তমানে, আর্কিমিডিস সর্পিল প্রযুক্তিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

2. উদ্ভিদ এবং প্রাণী। গ্যেটেও সর্পিলতার প্রতি প্রকৃতির প্রবণতার উপর জোর দিয়েছেন। গাছের ডালে পাতার হেলিকাল এবং সর্পিল বিন্যাস অনেক আগেই লক্ষ্য করা গেছে। সূর্যমুখী বীজ, পাইন শঙ্কু, আনারস, ক্যাকটি ইত্যাদির বিন্যাসে সর্পিল দেখা গেছে। উদ্ভিদবিদ এবং গণিতবিদদের যৌথ কাজ এই আশ্চর্যজনক প্রাকৃতিক ঘটনার উপর আলোকপাত করেছে। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে সূর্যমুখী বীজ এবং পাইন শঙ্কুর একটি শাখায় পাতার বিন্যাসে, ফিবোনাচি সিরিজটি নিজেকে প্রকাশ করে এবং সেইজন্য, সোনালী অনুপাতের আইনটি নিজেকে প্রকাশ করে। মাকড়সা একটি সর্পিল প্যাটার্নে তার জাল বুনে। একটি হারিকেন একটি সর্পিল মত ঘুরছে. রেনডিয়ারের একটি ভীত পাল একটি সর্পিল মধ্যে ছড়িয়ে পড়ে। ডিএনএ অণু একটি ডাবল হেলিক্সে পেঁচানো হয়। গোয়েথে সর্পিলটিকে "জীবনের বক্ররেখা" বলে অভিহিত করেছেন।

রাস্তার ধারের ভেষজগুলির মধ্যে একটি অসাধারণ উদ্ভিদ জন্মায় - চিকোরি। এর এটা ঘনিষ্ঠভাবে কটাক্ষপাত করা যাক. মূল কান্ড থেকে একটি অঙ্কুর তৈরি হয়েছে। প্রথম পাতা ঠিক সেখানে অবস্থিত ছিল. অঙ্কুরটি মহাকাশে একটি শক্তিশালী ইজেকশন করে, থেমে যায়, একটি পাতা ছেড়ে দেয়, কিন্তু এবার এটি প্রথমটির চেয়ে ছোট, আবার মহাকাশে একটি ইজেকশন করে, কিন্তু কম বল দিয়ে, একটি আরও ছোট আকারের একটি পাতা ছেড়ে দেয় এবং আবার বের করা হয় . যদি প্রথম নির্গমনটি 100 ইউনিট হিসাবে ধরা হয়, তবে দ্বিতীয়টি 62 ইউনিটের সমান, তৃতীয়টি - 38, চতুর্থটি - 24 ইত্যাদি। পাপড়ির দৈর্ঘ্যও সোনালী অনুপাতের সাপেক্ষে। ক্রমবর্ধমান এবং স্থান জয় করার ক্ষেত্রে, উদ্ভিদ নির্দিষ্ট অনুপাত বজায় রাখে। এর বৃদ্ধির আবেগ ধীরে ধীরে সোনালী অনুপাতের অনুপাতে হ্রাস পেয়েছে।

টিকটিকি প্রাণবন্ত। প্রথম নজরে, টিকটিকিটির অনুপাত রয়েছে যা আমাদের চোখে আনন্দদায়ক - এর লেজের দৈর্ঘ্য শরীরের বাকি অংশের দৈর্ঘ্যের সাথে সম্পর্কিত, যেমন 62 থেকে 38।

উদ্ভিদ এবং প্রাণী উভয় জগতেই, প্রকৃতির গঠনমূলক প্রবণতা ক্রমাগতভাবে ভেঙ্গে যায় - বৃদ্ধি এবং চলাচলের দিক সম্পর্কিত প্রতিসাম্য। এখানে সুবর্ণ অনুপাত বৃদ্ধির দিকে লম্ব অংশের অনুপাতে প্রদর্শিত হয়। প্রকৃতি প্রতিসম অংশ এবং সোনালী অনুপাতে বিভাজন করেছে। অংশগুলি সম্পূর্ণ কাঠামোর পুনরাবৃত্তি প্রকাশ করে।

এই শতাব্দীর শুরুতে পিয়েরে কুরি প্রতিসাম্য সম্পর্কে বেশ কয়েকটি গভীর ধারণা তৈরি করেছিলেন। তিনি যুক্তি দিয়েছিলেন যে পরিবেশের প্রতিসাম্য বিবেচনা না করে যে কোনও দেহের প্রতিসাম্য বিবেচনা করা যায় না। সোনালী প্রতিসাম্যের নিয়মগুলি প্রাথমিক কণার শক্তি পরিবর্তনে, কিছু রাসায়নিক যৌগের গঠনে, গ্রহ ও মহাজাগতিক সিস্টেমে, জীবিত প্রাণীর জিন কাঠামোতে প্রকাশিত হয়। এই নিদর্শনগুলি, উপরে নির্দেশিত হিসাবে, পৃথক মানব অঙ্গ এবং সমগ্র শরীরের গঠনে বিদ্যমান, এবং মস্তিষ্কের বায়োরিদম এবং কার্যকারিতা এবং চাক্ষুষ উপলব্ধিতে নিজেদেরকে প্রকাশ করে।

3. স্থান। জ্যোতির্বিদ্যার ইতিহাস থেকে জানা যায় যে 18 শতকের একজন জার্মান জ্যোতির্বিজ্ঞানী I. Titius এই সিরিজের সাহায্যে (Fibonacci) সৌরজগতের গ্রহগুলির মধ্যে দূরত্বের একটি প্যাটার্ন এবং অর্ডার খুঁজে পেয়েছিলেন।

যাইহোক, একটি মামলা যা আইনের বিরোধিতা বলে মনে হয়েছিল: মঙ্গল এবং বৃহস্পতির মধ্যে কোনও গ্রহ ছিল না। আকাশের এই অংশের নিবদ্ধ পর্যবেক্ষণ গ্রহাণু বেল্ট আবিষ্কারের দিকে পরিচালিত করে। 19 শতকের শুরুতে টিটিয়াসের মৃত্যুর পরে এটি ঘটেছিল।

ফিবোনাচি সিরিজটি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়: এটি জীবিত প্রাণীর স্থাপত্যবিদ্যা, মনুষ্যসৃষ্ট কাঠামো এবং গ্যালাক্সির গঠন উপস্থাপন করতে ব্যবহৃত হয়। এই তথ্যগুলি এর প্রকাশের শর্ত থেকে সংখ্যা সিরিজের স্বাধীনতার প্রমাণ, যা এর সর্বজনীনতার অন্যতম লক্ষণ।

4. পিরামিড। অনেকেই গিজার পিরামিডের রহস্য উদঘাটনের চেষ্টা করেছেন। অন্যান্য মিশরীয় পিরামিড থেকে ভিন্ন, এটি একটি সমাধি নয়, বরং সংখ্যা সংমিশ্রণের একটি অমীমাংসিত ধাঁধা। পিরামিডের স্থপতিরা চিরন্তন প্রতীক নির্মাণে যে অসাধারণ চাতুর্য, দক্ষতা, সময় এবং শ্রম নিযুক্ত করেছেন তা ভবিষ্যত প্রজন্মের কাছে তারা যে বার্তা দিতে চেয়েছিলেন তার চরম গুরুত্ব নির্দেশ করে। তাদের যুগ ছিল প্রিলিটেরেট, প্রাক-লিপিক এবং চিহ্নই ছিল আবিষ্কার রেকর্ড করার একমাত্র মাধ্যম। গিজার পিরামিডের জ্যামিতিক-গাণিতিক রহস্যের চাবিকাঠি, যা এতদিন ধরে মানবজাতির কাছে রহস্য ছিল, আসলে মন্দিরের পুরোহিতরা হেরোডোটাসকে দিয়েছিলেন, যিনি তাকে জানিয়েছিলেন যে পিরামিডটি তৈরি করা হয়েছিল যাতে এলাকাটি এর প্রতিটি মুখ ছিল তার উচ্চতার বর্গক্ষেত্রের সমান।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

356 x 440 / 2 = 78320

বর্গাকার এলাকা

280 x 280 = 78400

গিজার পিরামিডের ভিত্তির প্রান্তের দৈর্ঘ্য 783.3 ফুট (238.7 মিটার), পিরামিডের উচ্চতা 484.4 ফুট (147.6 মিটার)। ভিত্তি প্রান্তের দৈর্ঘ্য উচ্চতা দ্বারা ভাগ করলে অনুপাত Ф=1.618 হয়। 484.4 ফুট উচ্চতা 5813 ইঞ্চি (5-8-13) এর সাথে মিলে যায় - এইগুলি ফিবোনাচি সিকোয়েন্সের সংখ্যা। এই আকর্ষণীয় পর্যবেক্ষণগুলি সুপারিশ করে যে পিরামিডের নকশা Ф=1.618 অনুপাতের উপর ভিত্তি করে। কিছু আধুনিক পণ্ডিত ব্যাখ্যা করতে ঝুঁকেছেন যে প্রাচীন মিশরীয়রা এটিকে তৈরি করেছিল একমাত্র জ্ঞান প্রেরণের উদ্দেশ্যে যা তারা ভবিষ্যতের প্রজন্মের জন্য সংরক্ষণ করতে চেয়েছিল। গিজার পিরামিডের নিবিড় অধ্যয়ন দেখায় যে সেই সময়ে গণিত এবং জ্যোতিষের জ্ঞান কতটা ব্যাপক ছিল। পিরামিডের সমস্ত অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক অনুপাতে, 1.618 সংখ্যাটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে।

মেক্সিকোতে পিরামিড। সুবর্ণ অনুপাতের নিখুঁত অনুপাতের সাথে মিশরীয় পিরামিডগুলিই কেবল তৈরি করা হয়নি, মেক্সিকান পিরামিডগুলিতেও একই ঘটনা পাওয়া গেছে। ধারণাটি উত্থাপিত হয় যে মিশরীয় এবং মেক্সিকান পিরামিড উভয়ই প্রায় একই সময়ে সাধারণ বংশোদ্ভূত লোকদের দ্বারা নির্মিত হয়েছিল।

ফিবোনাচি সিকোয়েন্স, ফিল্ম এবং বই দ্য দা ভিঞ্চি কোডের জন্য সর্বাধিক ধন্যবাদ দ্বারা বিখ্যাত হয়েছে, পিসার ইতালীয় গণিতবিদ লিওনার্দো দ্বারা প্রাপ্ত সংখ্যার একটি সিরিজ, যা ত্রয়োদশ শতাব্দীতে তার ছদ্মনাম ফিবোনাচ্চি দ্বারা বেশি পরিচিত। বিজ্ঞানীর অনুগামীরা লক্ষ্য করেছেন যে যে সূত্রটি সংখ্যার এই সিরিজের অধীনস্থ তা আমাদের চারপাশের বিশ্বে প্রতিফলিত হয় এবং অন্যান্য গাণিতিক আবিষ্কারের প্রতিধ্বনি করে, যার ফলে আমাদের জন্য মহাবিশ্বের গোপনীয়তার দরজা খুলে যায়। এই নিবন্ধে আমরা আপনাকে বলব ফিবোনাচি ক্রম কী, প্রকৃতিতে এই প্যাটার্নটি কীভাবে প্রদর্শিত হয় তার উদাহরণগুলি দেখুন এবং অন্যান্য গাণিতিক তত্ত্বের সাথে তুলনা করুন।

ধারণার প্রণয়ন এবং সংজ্ঞা

ফিবোনাচি সিরিজ হল একটি গাণিতিক ক্রম যেখানে প্রতিটি উপাদান আগের দুটির যোগফলের সমান। ক্রমটির একটি নির্দিষ্ট সদস্যকে x n হিসাবে চিহ্নিত করা যাক। এইভাবে, আমরা একটি সূত্র পাই যা সম্পূর্ণ সিরিজের জন্য বৈধ: x n+2 = x n + x n+1। এই ক্ষেত্রে, অনুক্রমের ক্রমটি এরকম দেখাবে: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34। পরবর্তী সংখ্যাটি হবে 55, যেহেতু 21 এবং 34 এর যোগফল 55। এবং তাই একই নীতি অনুযায়ী.

পরিবেশে উদাহরণ

যদি আমরা উদ্ভিদের দিকে তাকাই, বিশেষ করে পাতার মুকুটে, আমরা লক্ষ্য করব যে তারা একটি সর্পিল আকারে প্রস্ফুটিত হয়। সংলগ্ন পাতার মধ্যে কোণ তৈরি হয়, যা সঠিক গাণিতিক ফিবোনাচি ক্রম তৈরি করে। এই বৈশিষ্ট্যটির জন্য ধন্যবাদ, গাছে বেড়ে ওঠা প্রতিটি পৃথক পাতা সর্বাধিক পরিমাণে সূর্যালোক এবং তাপ পায়।

ফিবোনাচির গাণিতিক ধাঁধা

বিখ্যাত গণিতবিদ তার তত্ত্ব একটি ধাঁধার আকারে উপস্থাপন করেছিলেন। এটা এই মত শোনাচ্ছে. এক বছরে কত জোড়া খরগোশের জন্ম হবে তা জানতে আপনি একটি সীমিত স্থানে এক জোড়া খরগোশ রাখতে পারেন। এই প্রাণীদের প্রকৃতি বিবেচনা করে, এই সত্য যে প্রতি মাসে একটি দম্পতি একটি নতুন জোড়া তৈরি করতে সক্ষম হয় এবং তারা দুই মাস পৌঁছানোর পরে পুনরুত্পাদন করতে প্রস্তুত হয়, অবশেষে তিনি তার বিখ্যাত সিরিজ সংখ্যাগুলি পেয়েছিলেন: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - যা প্রতি মাসে নতুন জোড়া খরগোশের সংখ্যা দেখায়।

ফিবোনাচি ক্রম এবং আনুপাতিক সম্পর্ক

এই সিরিজের বেশ কয়েকটি গাণিতিক সূক্ষ্মতা রয়েছে যা অবশ্যই বিবেচনা করা উচিত। ধীর এবং ধীর গতিতে (অ্যাসিম্পটোটিকভাবে), এটি একটি নির্দিষ্ট আনুপাতিক সম্পর্কের দিকে ঝোঁক। কিন্তু এটা যুক্তিহীন। অন্য কথায়, এটি ভগ্নাংশে দশমিক সংখ্যার একটি অপ্রত্যাশিত এবং অসীম ক্রম সহ একটি সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, সিরিজের যেকোনো উপাদানের অনুপাত 1.618 চিত্রের চারপাশে পরিবর্তিত হয়, কখনও কখনও এটিকে অতিক্রম করে, কখনও কখনও এটিতে পৌঁছায়। সাদৃশ্য দ্বারা পরেরটি 0.618 এ পৌঁছেছে। যা 1.618 সংখ্যার বিপরীতভাবে সমানুপাতিক। যদি আমরা উপাদানগুলিকে এক দ্বারা ভাগ করি তবে আমরা 2.618 এবং 0.382 পাব। আপনি ইতিমধ্যে বুঝতে পেরেছেন, তারা বিপরীতভাবে সমানুপাতিক। ফলস্বরূপ সংখ্যাগুলিকে বলা হয় ফিবোনাচি অনুপাত। এখন ব্যাখ্যা করা যাক কেন আমরা এই গণনাগুলি সম্পাদন করেছি।

গোল্ডেন রেশিও

আমরা আমাদের চারপাশের সমস্ত বস্তুকে নির্দিষ্ট মানদণ্ড অনুসারে আলাদা করি। তার মধ্যে একটি হল ফর্ম। কিছু লোক আমাদের বেশি আকর্ষণ করে, কেউ কম, এবং কিছু লোক আমরা একেবারেই পছন্দ করি না। এটি লক্ষ্য করা গেছে যে একটি প্রতিসম এবং আনুপাতিক বস্তু একজন ব্যক্তির দ্বারা উপলব্ধি করা অনেক সহজ এবং সাদৃশ্য এবং সৌন্দর্যের অনুভূতি জাগিয়ে তোলে। একটি সম্পূর্ণ চিত্র সবসময় একে অপরের সাথে একটি নির্দিষ্ট সম্পর্কযুক্ত বিভিন্ন আকারের অংশগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে। এখান থেকে গোল্ডেন রেশিও কাকে বলে সেই প্রশ্নের উত্তর অনুসরণ করে। এই ধারণার অর্থ হল সম্পূর্ণ এবং প্রকৃতি, বিজ্ঞান, শিল্প ইত্যাদির মধ্যে সম্পর্কের পরিপূর্ণতা। গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, নিম্নলিখিত উদাহরণটি বিবেচনা করুন। আসুন যেকোন দৈর্ঘ্যের একটি সেগমেন্ট নিন এবং এটিকে দুটি অংশে এমনভাবে ভাগ করি যাতে ছোট অংশটি বড়টির সাথে সম্পর্কিত হয় যেমন যোগফল (সম্পূর্ণ অংশের দৈর্ঘ্য) বড়টির সাথে। তো, সেগমেন্টটা নেওয়া যাক সঙ্গেমান প্রতি এক. তার অংশ ক 0.618 এর সমান হবে, দ্বিতীয় অংশ খ, দেখা যাচ্ছে, 0.382 এর সমান। এইভাবে, আমরা গোল্ডেন রেশিও শর্ত মেনে চলি। লাইন সেগমেন্ট অনুপাত গপ্রতি ক 1.618 সমান। এবং অংশগুলির সম্পর্ক গএবং খ- 2.618। আমরা ইতিমধ্যে জানি ফিবোনাচি অনুপাত পেতে. সোনালী ত্রিভুজ, সোনালী আয়তক্ষেত্র এবং সোনালী কিউবয়েড একই নীতি ব্যবহার করে নির্মিত হয়েছে। এটিও লক্ষণীয় যে মানবদেহের অংশগুলির আনুপাতিক অনুপাত গোল্ডেন রেশিওর কাছাকাছি।

ফিবোনাচি ক্রম কি সবকিছুর ভিত্তি?

আসুন গোল্ডেন বিভাগের তত্ত্ব এবং ইতালীয় গণিতজ্ঞের বিখ্যাত সিরিজের তত্ত্বকে একত্রিত করার চেষ্টা করি। প্রথম আকারের দুটি বর্গ দিয়ে শুরু করা যাক। তারপর উপরে দ্বিতীয় আকারের আরেকটি বর্গক্ষেত্র যোগ করুন। আগের দুটি বাহুর যোগফলের সমান একটি বাহুর দৈর্ঘ্য সহ এর পাশে একই চিত্রটি আঁকুন। একইভাবে, পাঁচ আকারের একটি বর্গ আঁকুন। এবং আপনি এটিতে ক্লান্ত না হওয়া পর্যন্ত এই বিজ্ঞাপনটি অসীম চালিয়ে যেতে পারেন। মূল বিষয় হল প্রতিটি পরবর্তী বর্গক্ষেত্রের সাইড সাইজ আগের দুটির সাইড সাইজের সমষ্টির সমান। আমরা বহুভুজের একটি সিরিজ পাই যার পার্শ্ব দৈর্ঘ্য ফিবোনাচি সংখ্যা। এই পরিসংখ্যানগুলিকে ফিবোনাচি আয়তক্ষেত্র বলা হয়। আসুন আমাদের বহুভুজের কোণে একটি মসৃণ রেখা আঁকুন এবং পান... একটি আর্কিমিডিস সর্পিল! একটি প্রদত্ত চিত্রের ধাপে বৃদ্ধি, যেমনটি জানা যায়, সর্বদা অভিন্ন। আপনি যদি আপনার কল্পনা ব্যবহার করেন, ফলস্বরূপ অঙ্কনটি একটি মোলাস্ক শেলের সাথে যুক্ত হতে পারে। এখান থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে ফিবোনাচি ক্রম হল পার্শ্ববর্তী বিশ্বের উপাদানগুলির আনুপাতিক, সুরেলা সম্পর্কের ভিত্তি।

গাণিতিক ক্রম এবং মহাবিশ্ব

আপনি যদি ঘনিষ্ঠভাবে লক্ষ্য করেন, আর্কিমিডিস সর্পিল (কখনও কখনও স্পষ্টভাবে, কখনও কখনও আবৃতভাবে) এবং ফলস্বরূপ, ফিবোনাচি নীতিটি মানুষের আশেপাশের অনেক পরিচিত প্রাকৃতিক উপাদানের মধ্যে খুঁজে পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি মোলাস্কের একই খোসা, সাধারণ ব্রোকলির ফুল, একটি সূর্যমুখী ফুল, একটি শঙ্কুযুক্ত উদ্ভিদের শঙ্কু এবং এর মতো। আমরা যদি আরও তাকাই, আমরা দেখতে পাব অসীম ছায়াপথের ফিবোনাচি ক্রম। এমনকি মানুষ, প্রকৃতির দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে এবং তার রূপগুলিকে গ্রহণ করে, এমন বস্তু তৈরি করে যাতে উপরে উল্লিখিত সিরিজটি খুঁজে পাওয়া যায়। এখন গোল্ডেন রেশিও মনে রাখার সময়। ফিবোনাচি প্যাটার্নের পাশাপাশি, এই তত্ত্বের নীতিগুলি খুঁজে পাওয়া যায়। একটি সংস্করণ আছে যে ফিবোনাচি ক্রম হল গোল্ডেন রেশিওর আরও নিখুঁত এবং মৌলিক লগারিদমিক অনুক্রমের সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়ার জন্য প্রকৃতির এক ধরনের পরীক্ষা, যা প্রায় অভিন্ন, কিন্তু এর কোনো শুরু নেই এবং অসীম। প্রকৃতির প্যাটার্ন এমন যে এটির অবশ্যই নিজস্ব পয়েন্ট অফ রেফারেন্স থাকতে হবে, যেখান থেকে নতুন কিছু তৈরি করা শুরু করা যায়। ফিবোনাচি সিরিজের প্রথম উপাদানগুলোর অনুপাত গোল্ডেন রেশিওর নীতি থেকে অনেক দূরে। যাইহোক, আমরা যতই এটি চালিয়ে যাব, ততই এই অসঙ্গতি দূর হবে। একটি ক্রম নির্ধারণ করতে, আপনাকে একে অপরের পরে আসা তিনটি উপাদান জানতে হবে। গোল্ডেন সিকোয়েন্সের জন্য দুটিই যথেষ্ট। যেহেতু এটি একটি পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক উভয় অগ্রগতি।

উপসংহার

তবুও, উপরের উপর ভিত্তি করে, কেউ বেশ যৌক্তিক প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে পারে: "এই সংখ্যাগুলি কোথা থেকে এসেছে? সমগ্র বিশ্বের কাঠামোর লেখক কে, যিনি এটিকে আদর্শ করার চেষ্টা করেছিলেন? সবকিছু কি সবসময় তিনি যেমন চেয়েছিলেন তেমনই ছিল? যদি তাহলে ব্যর্থতা কেন হলো? এরপর কি হবে?" আপনি যখন একটি প্রশ্নের উত্তর খুঁজে পাবেন, আপনি পরবর্তীটি পাবেন। আমি এটি সমাধান করেছি - আরও দুটি উপস্থিত। তাদের সমাধান করার পরে, আপনি আরও তিনটি পাবেন। তাদের সাথে মোকাবিলা করার পরে, আপনি পাঁচটি অমীমাংসিত পাবেন। তারপর আট, তারপর তেরো, একুশ, চৌত্রিশ, পঞ্চান্ন...