একটি "কলাম" ("কোণা") দিয়ে বহুপদকে ভাগ করা। একটি কোণা দিয়ে বহুপদকে ভাগ করা অনলাইনে একটি অভিব্যক্তি দ্বারা একটি রাশিকে ভাগ করুন

বিবৃতি

অবশিষ্ট অসম্পূর্ণ ব্যক্তিগত.

মন্তব্য করুন

যেকোন বহুপদী $A(x)$ এবং $B(x)$ ($B(x)$-এর ডিগ্রী 0-এর চেয়ে বেশি), সেখানে অনন্য বহুপদী $Q(x)$ এবং $R(x)$ থেকে বিবৃতি শর্ত.

1. বহুপদী $x^(4) + 3x^(3) +5$ দ্বারা $x^(2) + 1$ এর বিভাজনের অবশিষ্টাংশ হল $3x + 4$:$x^(4) + 3x ^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
2. বহুপদী $x^(4) + 3x^(3) +5$ দ্বারা $x^(4) + 1$ এর বিভাজনের অবশিষ্টাংশ হল $3x^(3) + 4$:$x^( 4) + 3x^(3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
3. বহুপদী $x^(4) + 3x^(3) +5$ দ্বারা $x^(6) + 1$ এর বিভাজনের অবশিষ্টাংশ $x^(4) + 3x^(3) +5 এর সমান $:$x^(4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

বিবৃতি

যেকোন দুটি বহুপদ $A(x)$ এবং $B(x)$ (যেখানে বহুপদী $B(x)$ এর মাত্রা অশূন্য), সেখানে বহুপদী $A(x)$ আকারে একটি উপস্থাপনা আছে $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, যেখানে $Q(x)$ এবং $R(x)$ হল বহুপদ এবং $R(x)$ এর ডিগ্রী $B(x) ডিগ্রির চেয়ে কম

প্রমাণ

আমরা বহুপদী $A(x) এর ডিগ্রীর উপর আবেশ দ্বারা বিবৃতিটি প্রমাণ করব।$ আসুন এটি $n$ বোঝাই। যদি $n = 0$, বিবৃতিটি সত্য হয়: $A(x)$ হিসাবে লেখা যেতে পারে $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ এখন, বিবৃতিটি প্রমাণ করা যাক ডিগ্রী $n \ leq m$ এর বহুপদ। ডিগ্রী $k= n+1.$ এর বহুপদীর বিবৃতিটি প্রমাণ করা যাক

বহুপদী $B(x)$ এর ডিগ্রী $m$ এর সমান হোক। আসুন তিনটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ এবং তাদের প্রত্যেকের জন্য বিবৃতি প্রমাণ করুন।

1. $k< m$
   বহুপদী $A(x)$ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে

   $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

   অনুমোদন সম্পূর্ণ।

2. $k = m$
   বহুপদ $A(x)$ এবং $B(x)$-এর ফর্ম আছে

   $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \dots + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(যেখানে) ) \: a_(n+1) \neq 0;$

   $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \dots + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(যেখানে) ) \: b_(n+1) \neq 0.$

   আসুন $A(x)$ হিসাবে উপস্থাপন করি

   $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Big).$

   উল্লেখ্য যে বহুপদী $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ এর ডিগ্রী $n+1$ এর বেশি নয়, তাহলে এটি হল প্রয়োজনীয় প্রতিনিধিত্ব এবং বিবৃতি সত্য।

3. $k > m$
   আসুন আমরা ফর্মে বহুপদী $A(x)$ উপস্থাপন করি

   $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (যেখানে) \: a_(n+1) \neq 0.$

   বহুপদ বিবেচনা করুন $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ এর জন্য, আবেশ অনুমান হল সন্তুষ্ট, তাই এটিকে $A"(x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে বহুপদী $R"(x)$ এর ডিগ্রী $m-এর কম $, তারপর $A(x) $-এর জন্য উপস্থাপনাটি আবার লিখতে পারে

   $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$

   উল্লেখ্য যে বহুপদী $xR"(x)$ এর ডিগ্রী $m+1$ এর কম, অর্থাৎ $k$ এর কম। তারপরে ইন্ডাকশন হাইপোথিসিস $xR"(x)$ এর জন্য ধারণ করে এবং $xR হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে "(x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, যেখানে বহুপদী $R""(x)$ এর ডিগ্রী $m$ এর কম। আসুন উপস্থাপনাটি আবার লিখি $A(x)$ এর জন্য কিভাবে

   $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

   $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0)।$

   বহুপদী $R""(x) + a_(0)$ এর ডিগ্রী $m$ থেকে কম, তাই বিবৃতিটি সত্য।

বক্তব্য প্রমাণিত হয়েছে।

এই ক্ষেত্রে, বহুপদী $R(x)$ বলা হয় অবশিষ্ট$A(x)$কে $B(x)$, এবং $Q(x)$ দিয়ে ভাগ করা থেকে - অসম্পূর্ণ ব্যক্তিগত।

যদি অবশিষ্ট $R(x)$ একটি শূন্য বহুপদী হয়, তাহলে $A(x)$কে $B(x)$ দ্বারা বিভাজ্য বলা হয়।

একটি প্রমাণ দেওয়া হয় যে বহুপদী দ্বারা গঠিত একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশকে একটি বহুপদ এবং একটি সঠিক ভগ্নাংশের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। একটি কোণার সাথে বহুপদকে ভাগ করার এবং একটি কলাম দিয়ে গুণ করার উদাহরণগুলি বিশদভাবে বিশ্লেষণ করা হয়েছে।

বিষয়বস্তু

উপপাদ্য

যাক P k (এক্স), Qn (এক্স)- k ≥ n এর সাথে যথাক্রমে k এবং n ডিগ্রীর পরিবর্তনশীল x এর বহুপদ। তারপর বহুপদী P k (এক্স)নিম্নলিখিত আকারে একমাত্র উপায়ে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
(1) পিকে (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
যেখানে S k-n (এক্স)- ডিগ্রি k-n, U n- এর বহুপদী 1(x)- ডিগ্রির বহুপদ n-এর চেয়ে বেশি নয়- 1 , বা শূন্য।

প্রমাণ

একটি বহুপদ সংজ্ঞা দ্বারা:
;
;
;
,
যেখানে p i, q i পরিচিত সহগ, s i, u i অজানা সহগ।

আসুন স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক:
.
এর বিকল্প করা যাক (1) :
;
(2) .
ডান দিকের প্রথম পদটি ডিগ্রি k-এর বহুপদ। দ্বিতীয় এবং তৃতীয় পদের যোগফল হল ডিগ্রীর বহুপদ যা k-এর চেয়ে বেশি নয় - 1 . আসুন x k-এর সহগগুলিকে সমান করি:
p k = s k-n q n।
তাই s k-n = p k/q n.

আসুন সমীকরণটি রূপান্তরিত করি (2) :
.
স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক: .
যেহেতু s k-n = p k/q n, তাহলে x k এর সহগ শূন্যের সমান। অতএব - এটি একটি বহুপদ ডিগ্রী k এর চেয়ে বেশি নয় - 1 , তারপর পূর্ববর্তী সমীকরণটি এভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:
(3) .

এই সমীকরণটির সমীকরণের মতোই ফর্ম রয়েছে (1) , শুধুমাত্র k এর মান হয়ে গেল 1 কম এই পদ্ধতিটি k-n বার পুনরাবৃত্তি করে, আমরা সমীকরণটি পাই:
,
যেখান থেকে আমরা বহুপদী U n- এর সহগ নির্ণয় করি 1(x).

সুতরাং, আমরা সমস্ত অজানা সহগ s i, ul নির্ধারণ করেছি। তাছাড়া, s k-n ≠ 0 . লেমা প্রমাণিত।

বহুপদ বিভাজন

সমীকরণের উভয় পক্ষকে ভাগ করা (1) Qn-এ (এক্স), আমরা পেতে:
(4) .
দশমিক সংখ্যার সাথে সাদৃশ্য দ্বারা, S k-n (এক্স)ভগ্নাংশ বা ভাগফলের পূর্ণসংখ্যা অংশকে বলা হয়, U n- 1(x)- বিভাগের অবশিষ্টাংশ। বহুপদীর যে ভগ্নাংশে লবের বহুপদীর ডিগ্রি হর-এর বহুপদীর ডিগ্রির চেয়ে কম তাকে যথাযথ ভগ্নাংশ বলে। বহুপদীর একটি ভগ্নাংশ যেখানে লবের বহুপদীর ডিগ্রি হর-এর বহুপদীর ডিগ্রির চেয়ে বেশি বা সমান তাকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ বলে।

সমীকরণটি (4) দেখায় যে বহুপদীর যে কোনো অনুপযুক্ত ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যার অংশ এবং সঠিক ভগ্নাংশের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করে সরলীকৃত করা যেতে পারে।

তাদের মূলে, দশমিক পূর্ণসংখ্যা হল বহুপদ যার মধ্যে চলকটি সংখ্যার সমান 10 . উদাহরণস্বরূপ, 265847 নম্বরটি নিন। এটিকে এভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
.
অর্থাৎ, এটি একটি পঞ্চম-ডিগ্রী বহুপদী ইন 10 . 2, 6, 5, 8, 4, 7 সংখ্যাগুলি 10 এর ঘাতে সংখ্যার সম্প্রসারণের সহগ।

অতএব, বিভাজনের নিয়ম (কখনও কখনও দীর্ঘ বিভাজন বলা হয়) যা বিভাজক সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য তা বহুপদে প্রয়োগ করা যেতে পারে। একমাত্র পার্থক্য হল বহুপদকে ভাগ করার সময়, আপনাকে নয়টির বেশি সংখ্যাকে সর্বোচ্চ সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে না। আসুন নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে একটি কোণার সাথে বহুপদকে ভাগ করার প্রক্রিয়াটি বিবেচনা করি।

একটি কোণার সাথে বহুপদকে ভাগ করার একটি উদাহরণ

.

এখানে লবটি চতুর্থ ডিগ্রির একটি বহুপদী ধারণ করে। হর হল দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদী। কারন 4 ≥ 2 , তাহলে ভগ্নাংশটি ভুল। চলুন একটি কোণে (একটি কলামে) বহুপদকে আলাদা করে পুরো অংশটি নির্বাচন করি:

এখানে বিভাজন প্রক্রিয়ার বিশদ বিবরণ রয়েছে। আমরা বাম এবং ডান কলামে মূল বহুপদ লিখি। হর বহুপদীর অধীনে, ডান কলামে, একটি অনুভূমিক রেখা (কোণা) আঁকুন। এই লাইনের নীচে, কোণার নীচে, ভগ্নাংশের একটি সম্পূর্ণ অংশ থাকবে।

1.1 আমরা পুরো অংশের প্রথম পদটি খুঁজে পাই (কোণার নীচে)। এটি করার জন্য, লবের অগ্রবর্তী পদটিকে হর-এর অগ্রবর্তী পদ দ্বারা ভাগ করুন: .

1.2 গুন করুন 2 x 2 x দ্বারা 2 - 3 x + 5:
. আমরা বাম কলামে ফলাফল লিখি:

1.3 আমরা বাম কলামে বহুপদগুলির পার্থক্য নিই:

.

সুতরাং, আমরা একটি মধ্যবর্তী ফলাফল পেয়েছি:
.

ডান পাশের ভগ্নাংশটি অনুপযুক্ত কারণ লবটিতে বহুপদীর ডিগ্রি ( 3 ) হর-এ বহুপদী ডিগ্রির চেয়ে বড় বা সমান ( 2 ) আমরা গণনা পুনরাবৃত্তি. শুধুমাত্র এখন ভগ্নাংশের লবটি বাম কলামের শেষ লাইনে রয়েছে।
2.1 লবের অগ্রবর্তী পদটিকে হর-এর অগ্রবর্তী পদ দ্বারা ভাগ করা যাক: ;

2.2 হর দ্বারা গুণ করুন: ;

2.3 এবং বাম কলামের শেষ লাইন থেকে বিয়োগ করুন: ;


মধ্যবর্তী ফলাফল:
.

আমরা আবার গণনাগুলি পুনরাবৃত্তি করি, যেহেতু ডান দিকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ রয়েছে।
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


তাই আমরা পেয়েছি:
.
ডান ভগ্নাংশের লবটিতে বহুপদীর ডিগ্রি হরটিতে বহুপদীর ডিগ্রির চেয়ে কম, 1 < 2 . অতএব ভগ্নাংশ সঠিক.

;
2 x 2 - 4 x + 1- এটি একটি সম্পূর্ণ অংশ;
এক্স- 8 - বিভাগের বাকি।

উদাহরণ 2

ভগ্নাংশের সম্পূর্ণ অংশ নির্বাচন করুন এবং বিভাগের অবশিষ্টাংশ খুঁজুন:
.

আমরা আগের উদাহরণের মতো একই ক্রিয়া সম্পাদন করি:

এখানে বিভাগের অবশিষ্টাংশ শূন্য:
.

কলাম দ্বারা বহুপদকে গুণ করা

আপনি একটি কলামে বহুপদীকেও গুন করতে পারেন, পূর্ণসংখ্যা গুন করার মতো। এর নির্দিষ্ট উদাহরণ তাকান.

একটি কলাম দ্বারা বহুপদী গুণের একটি উদাহরণ

বহুপদীর গুণফল খুঁজুন:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
আমরা একটি কলামে ফলাফল লিখি, ডিগ্রী x সমতল করে।

3
;
;
;
.

মনে রাখবেন যে শুধুমাত্র সহগগুলি লেখা যেতে পারে, এবং পরিবর্তনশীল x এর ক্ষমতাগুলি বাদ দেওয়া যেতে পারে। তারপর বহুপদীর একটি কলাম দ্বারা গুন করলে এইরকম দেখাবে:

উদাহরণ 2

একটি কলামে বহুপদীর গুণফল খুঁজুন:
.

একটি কলামে বহুপদীকে গুণ করার সময়, x একটি চলকের একই ক্ষমতা অন্যটির নিচে লিখতে হবে। যদি x এর কিছু ক্ষমতা অনুপস্থিত থাকে, তাহলে সেগুলিকে স্পষ্টভাবে লিখতে হবে, শূন্য দিয়ে গুণ করতে হবে বা ফাঁকা রেখে দিতে হবে।

এই উদাহরণে, কিছু ডিগ্রি অনুপস্থিত। অতএব, আমরা তাদের স্পষ্টভাবে লিখি, শূন্য দ্বারা গুণিত:
.
একটি কলামে বহুপদকে গুণ করা।

1 আমরা একটি কলামে একটির নীচে মূল বহুপদ লিখি এবং একটি রেখা আঁকি।

2.1 দ্বিতীয় বহুপদীর সর্বনিম্ন পদটিকে প্রথম বহুপদ দ্বারা গুণ করুন:
.
আমরা একটি কলামে ফলাফল লিখি।

2.2 দ্বিতীয় বহুপদীর পরবর্তী পদটি শূন্য। অতএব, প্রথম বহুপদ দ্বারা এর গুণফলও শূন্য। শূন্য লাইন লেখা যাবে না।

2.3 দ্বিতীয় বহুপদীর পরবর্তী পদটিকে প্রথম বহুপদ দিয়ে গুণ করুন:
.
আমরা একটি কলামে ফলাফল লিখি, ডিগ্রী x সমতল করে।

2.3 আমরা দ্বিতীয় বহুপদীর পরবর্তী (সর্বোচ্চ) পদটিকে প্রথম বহুপদী দ্বারা গুণ করি:
.
আমরা একটি কলামে ফলাফল লিখি, ডিগ্রী x সমতল করে।

3 দ্বিতীয় বহুপদীর সমস্ত পদ প্রথম দ্বারা গুণিত হওয়ার পরে, একটি রেখা আঁকুন এবং একই ক্ষমতা x সহ পদগুলি যোগ করুন:
.

মনোমিয়ালের সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গি

f(x)=ax n, কোথায়:

-ক- যে কোনো সেটের অন্তর্গত হতে পারে এমন গুণাঙ্ক N, Z, Q, R, C

-এক্স- পরিবর্তনশীল

-nসূচক যা একটি সেটের অন্তর্গত এন

দুটি মনোমিয়াল একই রকম হয় যদি তাদের একই চলক এবং একই সূচক থাকে।

উদাহরণ: 3x2এবং -5x2; ½x 4এবং 2√3x4

যে সকল একপদার্থের সমষ্টি একে অপরের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ নয় তাকে বহুপদী (বা বহুপদী) বলে। এই ক্ষেত্রে, একপদ হল বহুপদীর পদ। দুটি পদ সম্বলিত বহুপদকে দ্বিপদ (বা দ্বিপদ) বলা হয়।
উদাহরণ: p(x)=3x 2 -5; h(x)=5x-1
তিনটি পদ সম্বলিত বহুপদকে ত্রিনমীয় বলে।

একটি চলক সহ একটি বহুপদীর সাধারণ দৃশ্য

কোথায়:

• একটি এন, একটি এন-1, একটি এন-2,..., একটি 1, একটি 0- বহুপদী সহগ। এগুলি প্রাকৃতিক, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ, বাস্তব বা জটিল সংখ্যা হতে পারে।
• একটি- বৃহত্তম সূচক সহ পদটির সহগ (প্রধান সহগ)
• একটি 0- ক্ষুদ্রতম সূচক সহ পদটির সহগ (মুক্ত পদ, বা ধ্রুবক)
• n- বহুপদ ডিগ্রী

উদাহরণ 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

• সহগ সহ তৃতীয় ডিগ্রি বহুপদী 5, -2, 7 এবং -1
• 5 - অগ্রণী সহগ
• -1 - বিনামূল্যে সদস্য
• এক্স- পরিবর্তনশীল

উদাহরণ 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

• সহগ সহ চতুর্থ ডিগ্রি বহুপদী -2√3.½এবং -4
• -2√3 - অগ্রণী সহগ
• -4 - বিনামূল্যে সদস্য
• এক্স- পরিবর্তনশীল

বহুপদ বিভাজন

p(x)এবং q(x)- দুটি বহুপদ:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...a 1 x 1 +a 0

ভাগফল এবং ভাগের অবশিষ্টাংশ খুঁজে বের করতে p(x)চালু q(x), আপনাকে নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে হবে:

1. ডিগ্রী p(x)এর থেকে বড় বা সমান হতে হবে q(x).
2. আমাদের অবশ্যই ডিগ্রীর ক্রমহ্রাসমান ক্রমে উভয় বহুপদ লিখতে হবে। যদি ইন p(x)কোন ডিগ্রী সহ কোন পদ নেই, এটি অবশ্যই 0 এর সহগ যোগ করতে হবে।
3. প্রধান সদস্য p(x)অগ্রণী পদ দ্বারা বিভক্ত q(x), এবং ফলাফলটি বিভাজক রেখার নীচে লেখা হয় (হরে)।
4. সমস্ত পদ দ্বারা ফলাফল গুণ করুন q(x)এবং শর্তাবলীর অধীনে বিপরীত চিহ্ন সহ ফলাফল লিখুন p(x)প্রাসঙ্গিক ডিগ্রি সহ।
5. একই ক্ষমতার মেয়াদের সাথে পদের সাথে পদ যোগ করুন।
6. আমরা ফলাফলে অবশিষ্ট শর্তাবলী বরাদ্দ করি p(x).
7. ফলিত বহুপদীর অগ্রবর্তী পদটিকে বহুপদীর প্রথম পদ দ্বারা ভাগ করুন q(x)এবং ধাপ 3-6 পুনরাবৃত্তি করুন।
8. এই পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করা হয় যতক্ষণ না সদ্য প্রাপ্ত বহুপদে একটি ডিগ্রী কম থাকে q(x). এই বহুপদ বিভাজনের অবশিষ্টাংশ হবে।
9. বিভাজক রেখার নিচে লেখা বহুপদীটি বিভাজনের ফলাফল (ভাগফল)।

উদাহরণ 1
ধাপ 1 এবং 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x 4 -2x 3 +2x 2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x 4 -2x 3 +2x 2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) ব্যক্তিগত

উত্তর: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1) (x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

উদাহরণ 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) STOP

x 2 +3x+12 --> C(x) ভাগফল

উত্তর: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

প্রথম ডিগ্রির বহুপদী দ্বারা বিভাজন

এই বিভাগটি উপরের অ্যালগরিদম ব্যবহার করে বা হর্নারের পদ্ধতি ব্যবহার করে আরও দ্রুত করা যেতে পারে।
যদি f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...a 1 x+a 0, বহুপদী হিসাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- প্রথম ডিগ্রির বহুপদী ⇒ q(x)=mx+n
তাহলে ভাগফলের বহুপদীর ডিগ্রি থাকবে n-1.

হর্নারের পদ্ধতি অনুসারে, $x_0=-\frac(n)(m)$।
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 = x 0 .b 2 +a 2
b 0 = x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
কোথায় b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 + ...b 1 x+b 0- ব্যক্তিগত। অবশিষ্টাংশটি শূন্য ডিগ্রির একটি বহুপদী হবে, যেহেতু অবশিষ্টাংশে বহুপদীর ডিগ্রি অবশ্যই ভাজকের ডিগ্রির চেয়ে কম হতে হবে।
অবশিষ্ট ⇒ সহ বিভাগ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+rযদি $x_0=-\frac(n)(m)$
মনে রাখবেন যে p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

উদাহরণ 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b 3 =5
b 2 =3.5-2=13
b 1 =3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 =3.43-6=123
r=3.123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

উদাহরণ 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 =-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 =-2          b 1 =(-2)।(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b 2 =(-2).7+0=-14     r=(-2)।(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

উদাহরণ 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b 2 =3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Rightarrow c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
উপসংহার
যদি আমরা একের চেয়ে বেশি ডিগ্রির বহুপদী দ্বারা ভাগ করি, তাহলে ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশ খুঁজে পেতে আমাদের অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে হবে 1-9 .
যদি আমরা প্রথম ডিগ্রির বহুপদী দ্বারা ভাগ করি mx+n, তারপর ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশ খুঁজে পেতে আপনাকে $x_0=-\frac(n)(m)$ এর সাথে হর্নারের পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে।
আমরা যদি শুধুমাত্র বিভাগের অবশিষ্টাংশে আগ্রহী হই, তবে এটি খুঁজে পাওয়া যথেষ্ট p(x 0).
উদাহরণ 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5

এটা প্রয়োজন হতে দিন

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1)।

এখানে আমাদের পণ্য দেওয়া হয়েছে (2x 3 – 7x 2 + x + 1) এবং একটি ফ্যাক্টর (2x – 1), আমাদের আরেকটি ফ্যাক্টর খুঁজে বের করতে হবে। এই উদাহরণে, এটি অবিলম্বে স্পষ্ট (কিন্তু সাধারণভাবে এটি প্রতিষ্ঠিত করা যায় না) যে অন্য, চাওয়া-পাওয়া ফ্যাক্টর, বা ভাগফল, একটি বহুপদ। এটি পরিষ্কার কারণ এই পণ্যটির 4টি পদ রয়েছে এবং এই গুণকের মাত্র 2টি রয়েছে৷ তবে, প্রয়োজনীয় ফ্যাক্টরের কতগুলি পদ আছে তা আগে থেকে বলা অসম্ভব: 2টি পদ, 3টি পদ ইত্যাদি থাকতে পারে৷ মনে রাখবেন যে সর্বোচ্চ পদ পণ্যের সর্বদা একটি গুণকের অগ্রবর্তী পদকে অন্যটির অগ্রবর্তী পদ দ্বারা গুণ করলে দেখা যায় (একটি বহুপদকে বহুপদী দ্বারা গুণ করা দেখুন) এবং এই জাতীয় পদ বিদ্যমান থাকতে পারে না, আমরা নিশ্চিত যে 2x 3 (এই গুণের অগ্রণী পদ ) প্রয়োজনীয় ফ্যাক্টরের অজানা অগ্রবর্তী পদ দ্বারা 2x (এই গুণকের অগ্রণী পদ) গুণ করলে পাওয়া যাবে। পরবর্তীটি খুঁজে পেতে, আপনাকে তাই 2x 3 কে 2x দ্বারা ভাগ করতে হবে - আমরা x 2 পাই। এটি ভাগফলের প্রধান সদস্য।

আসুন তাহলে মনে রাখবেন যে একটি বহুপদকে বহুপদী দ্বারা গুণ করার সময়, একটি বহুপদীর প্রতিটি পদকে অন্যটির প্রতিটি পদ দ্বারা গুণ করতে হবে। অতএব, এই গুণফলটি (2x 3 – 7x 2 + x + 1) ভাগফলের সমস্ত পদ দ্বারা ভাজকের (2x – 1) গুণফল। কিন্তু আমরা এখন ভাগফলের প্রথম (সর্বোচ্চ) পদ দ্বারা ভাজকের গুণফল খুঁজে পেতে পারি, অর্থাৎ (2x – 1) ∙ x 2 ; আমরা 2x 3 – x 2 পাই। ভাগফলের সমস্ত পদ দ্বারা ভাজকের গুণফল জানা (it = 2x 3 – 7x 2 + x + 1) এবং ভাগফলের 1ম পদ (it = 2x 3 – x 2) দ্বারা ভাজকের গুণফল জানা। বিয়োগ করলে আমরা প্রাইভেটের ১ম সদস্য ব্যতীত অন্য সকলের দ্বারা ভাজকের গুণফল বের করতে পারি। আমরা পেতে

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) – (2x 3 – x 2) = 2x 3 – 7x 2 + x + 1 – 2x 3 + x 2 = –6x 2 + x + 1।

এই অবশিষ্ট পণ্যের অগ্রণী পদ (–6x 2) ভাগফলের অবশিষ্টাংশের অগ্রণী পদ (1ম পদ ব্যতীত) দ্বারা ভাজকের অগ্রবর্তী পদের গুণফল (2x) হতে হবে। এখান থেকে আমরা বাকি ভাগফলের অগ্রণী পদ খুঁজে পাই। আমাদের দরকার –6x 2 ÷ 2x, আমরা পাই –3x। এটি কাঙ্ক্ষিত ভাগফলের দ্বিতীয় পদ। আমরা আবার ভাজকের গুণফল (2x – 1) দ্বিতীয়, এইমাত্র পাওয়া, ভাগফলের পদ, অর্থাৎ –3x দ্বারা খুঁজে পেতে পারি।

আমরা (2x – 1) ∙ (–3x) = –6x 2 + 3x পাই। সম্পূর্ণ প্রদত্ত গুণফল থেকে, আমরা ইতিমধ্যেই ভাগফলের ১ম পদ দ্বারা ভাজকের গুণফল বিয়োগ করেছি এবং অবশিষ্ট –6x 2 + x + 1 পেয়েছি, যা ১ম পদ ব্যতীত অবশিষ্টাংশ দ্বারা ভাজকের গুণফল। ভাগফলের এটি থেকে এইমাত্র পাওয়া গুণফল -6x 2 + 3x বিয়োগ করে, আমরা অবশিষ্টাংশ পাই, যা ভাগফলের ১ম এবং ২য় পদ ব্যতীত অন্য সকল দ্বারা ভাজকের গুণফল:

–6x 2 + x + 1 – (–6x 2 + 3x) = –6x 2 + x + 1 + 6x 2 – 3x = –2x + 1।

এই অবশিষ্ট পণ্যের অগ্রবর্তী পদকে (–2x) ভাজকের অগ্রবর্তী পদ (2x) দ্বারা ভাগ করলে আমরা অবশিষ্ট ভাগফলের অগ্রবর্তী পদ বা তার তৃতীয় পদটি পাই, (–2x) ÷ 2x = –1, - এটি ভাগফলের ৩য় পদ।

এটি দ্বারা ভাজককে গুণ করলে আমরা পাই

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1।

এখন পর্যন্ত বাকি সমস্ত গুণফল থেকে ভাগফলের 3য় পদ দ্বারা ভাজকের এই গুণফলকে বিয়োগ করা, অর্থাৎ

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

আমরা দেখতে পাব যে আমাদের উদাহরণে গুণফলটি ভাগফল = 0 এর শর্তাবলী 1ম, 2য় এবং 3য় ব্যতীত অবশিষ্ট অংশে বিভক্ত, যেখান থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে ভাগফলটির আর কোন সদস্য নেই, অর্থাৎ

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1) = x 2 – 3x – 1।

পূর্ববর্তী থেকে আমরা দেখতে পাই: 1) লভ্যাংশ এবং ভাজকের শর্তাবলী অবরোহী শক্তিতে সাজানো সুবিধাজনক, 2) গণনা সম্পাদনের জন্য কিছু ক্রম স্থাপন করা প্রয়োজন। বহু-সংখ্যাকে ভাগ করার সময় এই ধরনের সুবিধাজনক ক্রমটি পাটিগণিততে ব্যবহৃত একটি হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এটি অনুসরণ করে, আমরা পূর্ববর্তী সমস্ত গণনাগুলি নিম্নরূপ সাজাব (সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা পাশে দেওয়া হয়েছে):

এখানে যে বিয়োগগুলি প্রয়োজন সেগুলি সাবট্রাহেন্ডের পদগুলির চিহ্নগুলি পরিবর্তন করে সঞ্চালিত হয় এবং এই পরিবর্তনশীল চিহ্নগুলি উপরে লেখা হয়।

হ্যাঁ, লেখা আছে

এর অর্থ: সাবট্রাহেন্ডটি ছিল 2x 3 – x 2, এবং চিহ্ন পরিবর্তন করার পরে আমরা পেয়েছি –2x 3 + x 2।

গণনার গৃহীত বিন্যাসের কারণে, লভ্যাংশ এবং ভাজকের পদগুলি অবরোহী শক্তিতে সাজানো এবং উভয় বহুপদে x অক্ষরের ক্ষমতা চলে যাওয়ার কারণে, প্রতিবার 1 দ্বারা হ্রাস পেয়ে, এটি পরিণত হয় অনুরূপ পদগুলি একে অপরের নীচে লেখা আছে (উদাহরণস্বরূপ: –7x 2 এবং +x 2), কেন তাদের হ্রাস করা সহজ। এটি লক্ষ করা যেতে পারে যে লভ্যাংশের সমস্ত শর্ত গণনার প্রতিটি মুহূর্তে প্রয়োজন হয় না। উদাহরণস্বরূপ, এই মুহূর্তে +1 পদটির প্রয়োজন নেই যেখানে ভাগফলের ২য় পদ পাওয়া গেছে এবং গণনার এই অংশটিকে সরলীকরণ করা যেতে পারে।

আরো উদাহরণ:

1. (2a 4 – 3ab 3 – b 4 – 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab)।

অক্ষর a এবং লভ্যাংশ এবং ভাজককে অবরোহী শক্তিতে সাজাই:

(উল্লেখ্য যে, এখানে, লভ্যাংশে একটি 3 সহ একটি পদের অনুপস্থিতির কারণে, প্রথম বিয়োগে দেখা গেছে যে ভিন্ন পদ –a 2 b 2 এবং –2a 3 b একে অপরের অধীনে স্বাক্ষরিত। অবশ্যই, তারা পারে না একটি পদে হ্রাস করা হবে এবং উভয়ই জ্যেষ্ঠতার ক্রম অনুসারে লাইনের নীচে লেখা হয়েছে)।

উভয় উদাহরণেই, আপনাকে অনুরূপ পদগুলির প্রতি আরও মনোযোগ দিতে হবে: 1) একই পদগুলি প্রায়শই একে অপরের নীচে লেখা হয় না এবং 2) কখনও কখনও (যেমন, শেষ উদাহরণে, শর্তাবলী -4a n এবং -a n) প্রথম বিয়োগ) অনুরূপ পদগুলি একে অপরের অধীনে লেখা নয়।

এটি একটি ভিন্ন ক্রমানুসারে বহুপদ বিভাজন সম্পাদন করা সম্ভব, যথা: সর্বনিম্ন পদ বা সম্পূর্ণ বা অবশিষ্ট ভাগফল সন্ধান করার জন্য। এই ক্ষেত্রে, এই বহুপদীগুলিকে একটি অক্ষরের ঊর্ধ্বগতি শক্তিতে সাজানো সুবিধাজনক। যেমন:

এই নিবন্ধটি যুক্তিযুক্ত ভগ্নাংশ এবং তাদের পূর্ণসংখ্যা অংশগুলির বিচ্ছিন্নতা বিবেচনা করবে। ভগ্নাংশ নিয়মিত বা অনুপযুক্ত হতে পারে। যখন একটি ভগ্নাংশের লব হর থেকে কম হয়, তখন এটি একটি সঠিক ভগ্নাংশ এবং এর বিপরীতে, একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ।

আসুন সঠিক ভগ্নাংশের উদাহরণ দেখি: 1 2, 9 29, 8 17, অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ: 16 3, 21 20, 301 24।

আমরা ভগ্নাংশগুলি গণনা করব যা বাতিল করতে পারে, অর্থাৎ 12 16 হল 3 4, 21 14 হল 3 2।

একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ নির্বাচন করার সময়, লবকে হর দ্বারা ভাগ করার প্রক্রিয়াটি সম্পন্ন করা হয়। তারপর এই ধরনের ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে ভগ্নাংশটিকে ভাগের অবশিষ্টাংশ এবং হর এর অনুপাত হিসাবে বিবেচনা করা হয়।

উদাহরণ 1

27 কে 4 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্টটি খুঁজুন।

সমাধান

এটি একটি কলাম দ্বারা ভাগ করা প্রয়োজন, তারপর আমরা এটি পেতে

সুতরাং, 27 4 = সম্পূর্ণ অংশ + বর্তমান মান = 6 + 3 4

উত্তর:অবশিষ্ট 3.

উদাহরণ 2

সম্পূর্ণ অংশ 331 12 এবং 41 57 নির্বাচন করুন।

সমাধান

আমরা একটি কোণ ব্যবহার করে লব দ্বারা হরকে ভাগ করি:

তাই আমাদের কাছে 331 12 = 27 + 7 12 আছে।

দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি যথাযথ, যার মানে পুরো অংশটি শূন্যের সমান।

উত্তর:সম্পূর্ণ অংশ 27 এবং 0।

আসুন বহুপদীর শ্রেণীবিভাগ বিবেচনা করি, অন্য কথায়, ভগ্নাংশ-মূলদ ফাংশন। লবের ডিগ্রী হর এর ডিগ্রী থেকে কম হলে এটি সঠিক বলে বিবেচিত হয়, অন্যথায় এটি ভুল বলে বিবেচিত হয়।

সংজ্ঞা 1

একটি বহুপদকে বহুপদ দ্বারা ভাগ করাএকটি কোণ দ্বারা বিভাজনের নীতিতে ঘটে এবং একটি পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের যোগফল হিসাবে একটি ফাংশনের উপস্থাপনা হয়।

একটি বহুপদকে একটি রৈখিক দ্বিপদে ভাগ করতে, হর্নারের স্কিম ব্যবহার করা হয়।

উদাহরণ 3

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 কে একপদ 2 x 2 দ্বারা ভাগ করুন।

সমাধান

বিভাজনের সম্পত্তি ব্যবহার করে, আমরা এটি লিখি

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2।

integrals গ্রহণ করার সময় প্রায়ই এই ধরনের রূপান্তর সঞ্চালিত হয়।

উদাহরণ 4

একটি বহুপদকে বহুপদী দ্বারা ভাগ করুন: 2 x 3 + 3 x 3 + x।

সমাধান

বিভাজন চিহ্নটি 2 x 3 + 3 x 3 + x ফর্মের ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে। এখন আপনাকে পুরো অংশটি নির্বাচন করতে হবে। আমরা কলাম বিভাগ ব্যবহার করে এটি করি। আমরা যে পেতে

এর মানে হল যে আমরা পাই যে পূর্ণসংখ্যার অংশটির মান আছে - 2 x + 3, তারপর পুরো রাশিটি 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x হিসাবে লেখা হয়

উদাহরণ 5

ভাগ করুন এবং 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 এর অবশিষ্টাংশ খুঁজুন।

সমাধান

আসুন আমরা 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 ফর্মের একটি ভগ্নাংশ ঠিক করি।

লবের ডিগ্রী হর এর চেয়ে বড়, যার মানে আমাদের একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ আছে। কলাম বিভাগ ব্যবহার করে, সম্পূর্ণ অংশ নির্বাচন করুন। আমরা যে পেতে

আসুন আবার ভাগ করি এবং পাই:

এখান থেকে আমরা অবশিষ্টাংশ সমান - 65 x 2 + 10 x - 3, যা নিম্নরূপ:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1

এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে ভাগের সময় অবশিষ্টাংশ শনাক্ত করার জন্য ভগ্নাংশটিকে অতিরিক্ত রূপান্তর করা প্রয়োজন। এটি এই মত দেখায়:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

এর মানে হল যে অবশিষ্টাংশ 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 কে x 3 - 3 দ্বারা ভাগ করলে মান দেয় - 3 x 2 + 6 x - 4। দ্রুত ফলাফল খুঁজে পেতে, সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র ব্যবহার করা হয়।

উদাহরণ 6

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 কে 2 x + 3 দ্বারা ভাগ করুন।

সমাধান

ভগ্নাংশ হিসেবে ভাগ লিখি। আমরা 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 পাই। উল্লেখ্য যে লবটিতে যোগফল সূত্রের ঘনক ব্যবহার করে রাশি যোগ করা যেতে পারে। আমরা যে আছে

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

প্রদত্ত বহুপদীটি অবশিষ্ট ছাড়া বিভাজ্য।

সমাধান করার জন্য, একটি আরও সুবিধাজনক সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, এবং একটি বহুপদী দ্বারা বহুপদকে ভাগ করা সবচেয়ে সর্বজনীন বলে বিবেচিত হয়, এবং তাই প্রায়শই একটি সম্পূর্ণ অংশ বিচ্ছিন্ন করার সময় ব্যবহৃত হয়। চূড়ান্ত রেকর্ডে অবশ্যই বিভাগ থেকে প্রাপ্ত বহুপদ থাকতে হবে।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন