একটি ঘনক্ষেত্র খোলার জন্য সূত্র. সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র

পাঠের বিষয়বস্তু

দুটি রাশির যোগফলের বর্গ

এমন অনেকগুলি ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে একটি বহুপদকে বহুপদী দ্বারা গুণ করলে তা অনেক সরলীকৃত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এটি হল (2 এক্স+ 3y) 2 .

অভিব্যক্তি (2 এক্স+ 3y) 2 হল দুটি বহুপদীর গুণ, যার প্রতিটি সমান (2 এক্স+ 3y)

(2এক্স+ 3y) 2 = (2এক্স+ 3y)(2এক্স+ 3y)

আমরা একটি বহুপদ দ্বারা বহুপদীর গুন পেয়েছি। চলুন এটি কার্যকর করা যাক:

(2এক্স+ 3y) 2 = (2এক্স+ 3y)(2এক্স+ 3y) = 4এক্স 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4এক্স 2 + 12xy+ 9y 2

অর্থাৎ, অভিব্যক্তি (2 এক্স+ 3y) 2 সমান 4এক্স 2 + 12xy + 9y 2

(2এক্স+ 3y) 2 = 4এক্স 2 + 12xy+ 9y 2

আসুন একটি অনুরূপ উদাহরণ সমাধান করি, যা সহজ:

(a+b) 2

অভিব্যক্তি ( a+b) 2 হল দুটি বহুপদীর গুন, যার প্রতিটি সমান ( a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

আসুন এই গুণটি করি:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = ক 2 + ab + ab + খ 2 = ক 2 + 2ab + খ 2

অর্থাৎ অভিব্যক্তি (a+b) 2 সমান ক 2 + 2ab + খ 2

(a+b) 2 = ক 2 + 2ab + খ 2

দেখা যাচ্ছে যে মামলাটি ( a+b) 2 যেকোনো পর্যন্ত বাড়ানো যেতে পারে কএবং খ. প্রথম উদাহরণটি আমরা সমাধান করেছি, যথা (2 এক্স+ 3y) 2 আইডেন্টিটি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে (a+b) 2 = ক 2 + 2ab + খ 2 . এটি করার জন্য, আপনাকে ভেরিয়েবলের পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করতে হবে কএবং খঅভিব্যক্তি থেকে সংশ্লিষ্ট পদ (2 এক্স+ 3y) 2। এই ক্ষেত্রে, পরিবর্তনশীল কসদস্য 2 এর সাথে মিলে যায় এক্স, এবং পরিবর্তনশীল খসদস্য 3 এর সাথে মিলে যায় y

ক = 2এক্স

খ = 3y

এবং তারপর আমরা পরিচয় ব্যবহার করতে পারেন (a+b) 2 = ক 2 + 2ab + খ 2 , কিন্তু ভেরিয়েবলের পরিবর্তে কএবং খআপনাকে এক্সপ্রেশন 2 প্রতিস্থাপন করতে হবে এক্সএবং 3 yযথাক্রমে:

(2এক্স+ 3y) 2 = (2এক্স) 2 + 2 × 2 এক্স× 3 y + (3y) 2 = 4এক্স 2 + 12xy+ 9y 2

ঠিক গতবারের মতো আমরা একটি বহুপদ পেয়েছি 4এক্স 2 + 12xy+ 9y 2 . সমাধানটি সাধারণত সংক্ষিপ্তভাবে লেখা হয়, মনের সমস্ত প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সম্পাদন করে:

(2এক্স+ 3y) 2 = 4এক্স 2 + 12xy+ 9y 2

পরিচয় (a+b) 2 = ক 2 + 2ab + খ 2 দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রকে বলা হয়। এই সূত্রটি এই মত পড়া যেতে পারে:

দুটি রাশির যোগফলের বর্গ প্রথম রাশির বর্গের সমান এবং প্রথম রাশির গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয়টি দ্বিতীয় রাশির বর্গক্ষেত্রের সমান।

অভিব্যক্তিটি বিবেচনা করুন (2 + 3) 2। এটি দুটি উপায়ে গণনা করা যেতে পারে: বন্ধনীতে সংযোজন সম্পাদন করুন এবং ফলস্বরূপ ফলাফলটি বর্গ করুন, বা দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করুন।

প্রথম উপায়:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

দ্বিতীয় উপায়:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

উদাহরণ 2. অভিব্যক্তি রূপান্তর (5 ক+ 3) 2 একটি বহুপদে।

দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করা যাক:

(a+b) 2 = ক 2 + 2ab + খ 2

(5a+ 3) 2 = (5ক) 2 + 2 × 5 একটি × 3 + 3 2 = 25ক 2 + 30ক + 9

মানে, (5a+ 3) 2 = 25ক 2 + 30ক + 9.

যোগফল সূত্রের বর্গ ব্যবহার না করে এই উদাহরণটি সমাধান করার চেষ্টা করা যাক। আমাদের একই ফলাফল পাওয়া উচিত:

(5a+ 3) 2 = (5a+ 3)(5a+ 3) = 25ক 2 + 15ক + 15ক + 9 = 25ক 2 + 30ক + 9

দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটির একটি জ্যামিতিক অর্থ রয়েছে। আমরা মনে রাখি যে একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য আমাদের তার দিকটি দ্বিতীয় শক্তিতে বাড়াতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, পাশের একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কসমান হবে ক 2. যদি আপনি একটি বর্গক্ষেত্রের পাশ বাড়িয়ে দেন খ, তাহলে ক্ষেত্রফল সমান হবে ( a+b) 2

নিম্নলিখিত চিত্রটি বিবেচনা করুন:

আসুন কল্পনা করি যে এই চিত্রে দেখানো বর্গক্ষেত্রের দিকটি দ্বারা বৃদ্ধি পেয়েছে খ. একটি বর্গক্ষেত্রের সব দিক সমান। যদি এর পাশ বাড়িয়ে দেওয়া হয় খ, তারপর অবশিষ্ট দিকগুলিও বৃদ্ধি পাবে খ

ফলাফলটি একটি নতুন বর্গক্ষেত্র, যা আগেরটির চেয়ে বড়। এটি পরিষ্কারভাবে দেখতে, অনুপস্থিত দিকগুলি সম্পূর্ণ করা যাক:

এই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আপনি আলাদাভাবে এতে অন্তর্ভুক্ত বর্গক্ষেত্র এবং আয়তক্ষেত্রগুলি গণনা করতে পারেন, তারপর ফলাফল যোগ করতে পারেন।

প্রথমে আপনি পাশ সহ একটি বর্গ গণনা করতে পারেন ক- এর ক্ষেত্রফল সমান হবে ক 2. তারপর আপনি বাহু সহ আয়তক্ষেত্র গণনা করতে পারেন কএবং খ- তারা সমান হবে ab. তারপর আপনি পাশ দিয়ে বর্গ গণনা করতে পারেন খ

ফলাফল হল নিম্নলিখিত এলাকার সমষ্টি:

ক 2 + ab+ab + খ 2

অভিন্ন আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের যোগফল 2 গুণ করে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে ab, যার আক্ষরিক অর্থ হবে "আয়তক্ষেত্র ab এর ক্ষেত্রফল দুবার পুনরাবৃত্তি করুন" . বীজগণিতভাবে, অনুরূপ পদ এনে এটি পাওয়া যায় abএবং ab. ফলাফল প্রকাশ ক 2 + 2ab+ খ 2 , যা দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রের ডান দিক:

(a+b) 2 = ক 2 + 2ab+ খ 2

দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গ

দুটি রাশির বর্গীয় পার্থক্যের সূত্রটি নিম্নরূপ:

(a − খ) 2 = ক 2 − 2ab + খ 2

দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গ প্রথম রাশির বর্গের সমান প্রথম রাশির গুণফলের দ্বিগুণ বিয়োগ এবং দ্বিতীয় যোগ দ্বিতীয় রাশির বর্গক্ষেত্রের সমান।

দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রের মতোই উদ্ভূত হয়। অভিব্যক্তি ( a − খ) 2 হল দুটি বহুপদীর গুণফল, যার প্রতিটি সমান ( a − খ)

(a − খ) 2 = (a − খ)(a − খ)

আপনি যদি এই গুণটি সম্পাদন করেন, আপনি একটি বহুপদ পাবেন ক 2 − 2ab + খ 2

(a − খ) 2 = (a − খ)(a − খ) = ক 2 − ab− ab+ খ 2 = ক 2 − 2ab + খ 2

উদাহরণ 1. অভিব্যক্তি রূপান্তর (7 এক্স− 5) 2 একটি বহুপদে।

দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করা যাক:

(a − খ) 2 = ক 2 − 2ab + খ 2

(7এক্স− 5) 2 = (7এক্স) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49এক্স 2 − 70এক্স + 25

মানে, (7এক্স− 5) 2 = 49এক্স 2 + 70এক্স + 25.

বর্গাকার পার্থক্য সূত্র ব্যবহার না করে এই উদাহরণটি সমাধান করার চেষ্টা করা যাক। আমাদের একই ফলাফল পাওয়া উচিত:

(7এক্স− 5) 2 = (7এক্স− 5) (7এক্স− 5) = 49এক্স 2 − 35এক্স − 35এক্স + 25 = 49এক্স 2 − 70এক্স+ 25.

দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটিরও একটি জ্যামিতিক অর্থ রয়েছে। যদি একটি বর্গের ক্ষেত্রফল পাশে থাকে কসমান ক 2, তারপর একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যার পাশের দ্বারা হ্রাস করা হয় খ, সমান হবে ( a − খ) 2

নিম্নলিখিত চিত্রটি বিবেচনা করুন:

আসুন কল্পনা করি যে এই চিত্রে দেখানো বর্গক্ষেত্রের দিকটি দ্বারা হ্রাস করা হয়েছে খ. একটি বর্গক্ষেত্রের সব দিক সমান। এক পাশ দিয়ে কমে গেলে খ, তারপর বাকি দিকগুলিও কমে যাবে খ

ফলাফলটি একটি নতুন বর্গক্ষেত্র, যা আগেরটির চেয়ে ছোট। এটি চিত্রটিতে হলুদ রঙে হাইলাইট করা হয়েছে। এর পাশ সমান ক− খকারণ পুরানো দিক কদ্বারা হ্রাস পেয়েছে খ. এই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আপনি বর্গক্ষেত্রের মূল এলাকা থেকে করতে পারেন ক 2 আয়তক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রগুলি বিয়োগ করুন যা পুরানো বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলি হ্রাস করার প্রক্রিয়াতে প্রাপ্ত হয়েছিল। আসুন এই আয়তক্ষেত্রগুলি দেখাই:

তারপর আপনি নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি লিখতে পারেন: পুরানো বর্গক্ষেত্র ক 2 বিয়োগ এলাকা abবিয়োগ এলাকা ( a − খ)খ

ক 2 − ab − (a − খ)খ

আসুন অভিব্যক্তিতে বন্ধনীগুলি প্রসারিত করি ( a − খ)খ

ক 2 − ab−ab + খ 2

আসুন অনুরূপ পদগুলি দেখুন:

ক 2 − 2ab + খ 2

ফলাফল প্রকাশ ক 2 − 2ab + খ 2 , যা দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্রের ডান দিক:

(a − খ) 2 = ক 2 − 2ab + খ 2

বর্গাকার যোগফল এবং বর্গীয় পার্থক্য সূত্রকে সাধারণত বলা হয় সংক্ষেপে গুণন সূত্র. এই সূত্রগুলি উল্লেখযোগ্যভাবে বহুপদী গুন করার প্রক্রিয়াকে সহজ এবং দ্রুততর করতে পারে।

আগে আমরা বলেছিলাম যে বহুপদীর সদস্যকে আলাদাভাবে বিবেচনা করার সময়, এটির সামনে থাকা চিহ্নটির সাথে এটিকে অবশ্যই বিবেচনা করতে হবে।

কিন্তু সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র ব্যবহার করার সময়, মূল বহুপদীর চিহ্নটিকে এই শব্দটির চিহ্ন হিসাবে বিবেচনা করা উচিত নয়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি অভিব্যক্তি দেওয়া হয় (5 এক্স − 2y) 2 এবং আমরা সূত্রটি ব্যবহার করতে চাই (a − খ) 2 = ক 2 − 2ab + খ 2 , তারপর পরিবর্তে খপ্রতিস্থাপন করতে হবে 2 y, −2 নয় y. এটি সূত্রগুলির সাথে কাজ করার একটি বৈশিষ্ট্য যা ভুলে যাওয়া উচিত নয়।

(5এক্স − 2y) 2
ক = 5এক্স
খ = 2y
(5এক্স − 2y) 2 = (5এক্স) 2 − 2 × 5 এক্স× 2 y + (2y) 2 = 25এক্স 2 − 20xy + 4y 2

যদি আমরা −2 প্রতিস্থাপন করি y, তাহলে এর মানে হবে যে মূল অভিব্যক্তির বন্ধনীর পার্থক্য যোগফল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে:

(5এক্স − 2y) 2 = (5এক্স + (−2y)) 2

এবং এই ক্ষেত্রে, আপনাকে বর্গীয় পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করতে হবে না, কিন্তু বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে:

(5এক্স + (−2y) 2
ক = 5এক্স
খ = −2y
(5এক্স + (−2y)) 2 = (5এক্স) 2 + 2 × 5 এক্স× (−2 y) + (−2y) 2 = 25এক্স 2 − 20xy + 4y 2

একটি ব্যতিক্রম ফর্মের অভিব্যক্তি হতে পারে (এক্স− (−y)) 2 . এই ক্ষেত্রে, সূত্র ব্যবহার করে (a − খ) 2 = ক 2 − 2ab + খ 2 পরিবর্তে খপ্রতিস্থাপিত করা উচিত (- y)

(এক্স− (−y)) 2 = এক্স 2 − 2 × এক্স× (− y) + (−y) 2 = এক্স 2 + 2xy + y 2

কিন্তু ফর্মের বর্গাকার অভিব্যক্তি এক্স − (−y), যোগ দিয়ে বিয়োগ প্রতিস্থাপন করা আরও সুবিধাজনক হবে x+y. তাহলে মূল অভিব্যক্তিটি রূপ নেবে ( x+y) 2 এবং পার্থক্যের পরিবর্তে যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করা সম্ভব হবে:

(x+y) 2 = এক্স 2 + 2xy + y 2

যোগফলের ঘনক এবং পার্থক্যের ঘনক

দুটি রাশির যোগফলের ঘনক এবং দুটি রাশির পার্থক্যের ঘনকের সূত্রগুলি নিম্নরূপ:

(ক + খ) 3 = ক 3 + 3ক 2 খ + 3ab 2 + খ 3

(a − খ) 3 = ক 3 − 3ক 2 খ + 3ab 2 − খ 3

দুটি রাশির যোগফলের ঘনকের সূত্রটি নিম্নরূপ পড়া যেতে পারে:

দুটি রাশির যোগফলের ঘনক্ষেত্র প্রথম রাশির গুনফলের সমান এবং প্রথম রাশির বর্গের গুণফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয় যোগটি প্রথম রাশির গুনফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয় রাশির বর্গক্ষেত্রের গুনফলের সমান। দ্বিতীয় অভিব্যক্তি।

এবং দুটি রাশির পার্থক্যের ঘনক্ষেত্রের সূত্রটি নিম্নরূপ পড়া যেতে পারে:

দুটি রাশির পার্থক্যের ঘনকটি প্রথম রাশিটির ঘনক্ষেত্রের সমান, প্রথম রাশিটির বর্গের গুণফলকে তিনগুণ করে এবং দ্বিতীয় যোগটি প্রথম রাশির গুনফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয় রাশির বর্গের বিয়োগের গুনফলের সমান। দ্বিতীয় অভিব্যক্তি।

সমস্যার সমাধান করার সময়, এই সূত্রগুলি হৃদয় দিয়ে জানার পরামর্শ দেওয়া হয়। মনে না থাকলে সমস্যা নেই! আপনি নিজেই তাদের অপসারণ করতে পারেন। আমরা ইতিমধ্যে এটি কিভাবে করতে জানি.

আসুন যোগফলের ঘনক্ষেত্রের সূত্রটি নিজেরাই বের করি:

(a+b) 3

অভিব্যক্তি ( a+b) 3 তিনটি বহুপদীর গুণফল, যার প্রতিটি সমান ( ক+ খ)

(a+b) 3 = (ক+ খ)(ক+ খ)(ক+ খ)

কিন্তু অভিব্যক্তি ( a+b) 3 হিসেবেও লেখা যায় (ক+ খ)(ক+ খ) 2

(a+b) 3 = (ক+ খ)(ক+ খ) 2

এই ক্ষেত্রে, ফ্যাক্টর ( ক+ খ) 2 হল দুটি রাশির যোগফলের বর্গ। যোগফলের এই বর্গটি রাশিটির সমান ক 2 + 2ab + খ 2 .

তারপর ( a+b) 3 হিসেবে লেখা যায় (ক+ খ)(ক 2 + 2ab + খ 2) .

(a+b) 3 = (ক+ খ)(ক 2 + 2ab + খ 2)

এবং এটি একটি বহুপদকে বহুপদী দ্বারা গুণ করছে। চলুন এটি কার্যকর করা যাক:

(a+b) 3 = (ক+ খ)(ক 2 + 2ab + খ 2) = ক 3 + 2ক 2 খ + ab 2 + ক 2 খ + 2ab 2 + খ 3 = ক 3 + 3ক 2 খ + 3ab 2 + খ 3

একইভাবে, আপনি দুটি রাশির পার্থক্যের ঘনক্ষেত্রের সূত্রটি বের করতে পারেন:

(a − খ) 3 = (a − খ)(ক 2 − 2ab + খ 2) = ক 3 − 2ক 2 খ + ab 2 − ক 2 খ + 2ab 2 − খ 3 = ক 3 − 3ক 2 খ+ 3ab 2 − খ 3

উদাহরণ 1. অভিব্যক্তি রূপান্তর ( এক্স+ 1) 3 একটি বহুপদে।

(ক + খ) 3 = ক 3 + 3ক 2 খ + 3ab 2 + খ 3

(এক্স+ 1) 3 = এক্স 3+3× এক্স 2 × 1 + 3 × এক্স× 1 2 + 1 3 = এক্স 3 + 3এক্স 2 + 3এক্স + 1

আসুন দুটি রাশির যোগফলের ঘনক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার না করে এই উদাহরণটি সমাধান করার চেষ্টা করি

(এক্স+ 1) 3 = (এক্স+ 1)(এক্স+ 1)(এক্স+ 1) = (এক্স+ 1)(এক্স 2 + 2এক্স + 1) = এক্স 3 + 2এক্স 2 + এক্স + এক্স 2 + 2এক্স + 1 = এক্স 3 + 3এক্স 2 + 3এক্স + 1

উদাহরণ 2. অভিব্যক্তি রূপান্তর (6ক 2 + 3খ 3) 3 একটি বহুপদে।

দুটি রাশির যোগফলের ঘনক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করা যাক:

(ক + খ) 3 = ক 3 + 3ক 2 খ + 3ab 2 + খ 3

(6ক 2 + 3খ 3) 3 = (6ক 2) 3 + 3 × (6 ক 2) 2×3 খ 3 + 3 × 6 ক 2 × (3খ 3) 2 + (3খ 3) 3 = 216ক 6 + 3 × 36 ক 4×3 খ 3 + 3 × 6 ক 2×9 খ 6 + 27খ 9

উদাহরণ 3. অভিব্যক্তি রূপান্তর ( n 2 − 3) 3 একটি বহুপদে।

(a − খ) = ক 3 − 3ক 2 খ + 3ab 2 − খ 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

উদাহরণ 4. অভিব্যক্তি রূপান্তর (2এক্স 2 − এক্স 3) 3 একটি বহুপদে।

দুটি রাশির পার্থক্যের ঘনক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করা যাক:

(a − খ) = ক 3 − 3ক 2 খ + 3ab 2 − খ 3

(2এক্স 2 − এক্স 3) 3 = (2এক্স 2) 3 − 3 × (2 এক্স 2) 2× এক্স 3 + 3 × 2 এক্স 2×( এক্স 3) 2 − (এক্স 3) 3 =
8এক্স 6 − 3 × 4 এক্স 4× এক্স 3 + 3 × 2 এক্স 2× এক্স 6 − এক্স 9 =
8এক্স 6 − 12এক্স 7 + 6এক্স 8 − এক্স 9

দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফল দ্বারা গুণ করা

এমন সমস্যা আছে যেখানে আপনাকে দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফল দ্বারা গুণ করতে হবে। উদাহরণ স্বরূপ:

(a − খ)(a+b)

এই অভিব্যক্তিতে, দুটি অভিব্যক্তির পার্থক্য কএবং খএকই দুটি রাশির যোগফল দ্বারা গুণিত। আসুন এই গুণটি করি:

(a − খ)(a+b) = ক 2 + ab − ab − খ 2 = ক 2 − খ 2

অর্থাৎ অভিব্যক্তি (a − খ)(a+b) সমান ক 2 − খ 2

(a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2

আমরা দেখি যে যখন আমরা দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফল দ্বারা গুণ করি তখন আমরা এই রাশিগুলির বর্গের পার্থক্য পাই।

দুটি রাশির পার্থক্যের গুণফল এবং তাদের যোগফল এই রাশিগুলির বর্গের পার্থক্যের সমান।

ঘটছে (a − খ)(a+b) কারো কাছে বিতরণ করা যেতে পারে কএবং খ. সহজ কথায়, যদি কোনো সমস্যা সমাধান করার সময় আপনাকে দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফল দ্বারা গুণ করতে হয়, তাহলে এই গুণটি এই রাশিগুলির বর্গের পার্থক্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে।

উদাহরণ 1. গুণ সঞ্চালন (2এক্স − 5)(2এক্স + 5)

এই উদাহরণে, অভিব্যক্তির পার্থক্য 2 এক্সএবং 5 একই রাশির যোগফল দ্বারা গুণিত। তারপর সূত্র অনুযায়ী (a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2 আমাদের আছে:

(2এক্স − 5)(2এক্স + 5) = (2এক্স) 2 − 5 2

আসুন ডান দিকটি গণনা করি, আমরা 4 পাই এক্স 2 − 25

(2এক্স − 5)(2এক্স + 5) = (2এক্স) 2 − 5 2 = 4এক্স 2 − 25

আসুন সূত্র ব্যবহার না করে এই উদাহরণটি সমাধান করার চেষ্টা করি (a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2 . আমরা একই ফলাফল পাব 4 এক্স 2 − 25

(2এক্স − 5)(2এক্স + 5) = 4এক্স 2 − 10এক্স + 10এক্স − 25 = 4এক্স 2 − 25

উদাহরণ 2. গুণ সঞ্চালন (4এক্স − 5y)(4এক্স + 5y)

(a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2

(4এক্স − 5y)(4এক্স + 5y) = (4এক্স) 2 − (5y) 2 = 16এক্স 2 − 25y 2

উদাহরণ 3. গুণ সঞ্চালন (2ক+ 3খ)(2ক− 3খ)

আসুন দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফল দ্বারা গুণ করার জন্য সূত্রটি ব্যবহার করি:

(a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2

(2a+ 3খ)(2a − 3খ) = (2ক) 2 − (3খ) 2 = 4ক 2 − 9খ 2

এই উদাহরণে, পদগুলির যোগফল 2 কএবং 3 খএই পদগুলির পার্থক্যের আগে অবস্থিত ছিল। এবং সূত্রে (a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2 পার্থক্য আগে অবস্থিত.

এটি কোন পার্থক্য করে না কিভাবে ফ্যাক্টরগুলি সাজানো হয় ( a − খ) ভি ( a+b) সূত্রে। তারা হিসাবে লেখা যেতে পারে (a − খ)(a+b) , তাই (a+b)(a − খ) . ফলাফল এখনও সমান হবে ক 2 − খ 2, যেহেতু উপাদানগুলি পুনর্বিন্যাস থেকে পণ্য পরিবর্তন হয় না।

সুতরাং এই উদাহরণে, কারণগুলি (2 a+ 3খ) এবং 2 a − 3খ) হিসাবে লেখা যেতে পারে (2a+ 3খ)(2a − 3খ) , তাই (2a − 3খ)(2a+ 3খ) . ফলাফল এখনও 4 হবে ক 2 − 9খ 2 .

উদাহরণ 3. গুণ সঞ্চালন (7 + 3এক্স)(3এক্স − 7)

আসুন দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফল দ্বারা গুণ করার জন্য সূত্রটি ব্যবহার করি:

(a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2

(7 + 3এক্স)(3এক্স − 7) = (3এক্স) 2 − 7 2 = 9এক্স 2 − 49

উদাহরণ 4. গুণ সঞ্চালন (এক্স 2 − y 3)(এক্স 2 + y 3)

(a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2

(এক্স 2 − y 3)(এক্স 2 + y 3) = (এক্স 2) 2 − (y 3) 2 = এক্স 4 − y 6

উদাহরণ 5. গুণ সঞ্চালন (−5এক্স− 3y)(5এক্স− 3y)

অভিব্যক্তিতে (−5 এক্স− 3y) আমরা বন্ধনীর বাইরে −1 রাখি, তারপর মূল অভিব্যক্তিটি নিম্নলিখিত ফর্মটি গ্রহণ করবে:

(−5এক্স− 3y)(5এক্স− 3y) = −1(5এক্স + 3y)(5এক্স − 3y)

কাজ (5এক্স + 3y)(5এক্স − 3y) বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য দিয়ে এটি প্রতিস্থাপন করুন:

(−5এক্স− 3y)(5এক্স− 3y) = −1(5এক্স + 3y)(5এক্স − 3y) = −1((5এক্স) 2 − (3y) 2)

বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য বন্ধনীতে আবদ্ধ ছিল। যদি এটি করা না হয়, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে −1 শুধুমাত্র (5) দ্বারা গুণিত হয় এক্স) 2। এবং এটি একটি ত্রুটি এবং মূল অভিব্যক্তির মান পরিবর্তনের দিকে পরিচালিত করবে।

(−5এক্স− 3y)(5এক্স− 3y) = −1(5এক্স + 3y)(5এক্স − 3y) = −1((5এক্স) 2 − (3y) 2) = −1(25এক্স 2 − 9এক্স 2)

এখন বন্ধনীর অভিব্যক্তি দ্বারা −1 গুণ করুন এবং চূড়ান্ত ফলাফল পান:

(−5এক্স− 3y)(5এক্স− 3y) = −1(5এক্স + 3y)(5এক্স − 3y) = −1((5এক্স) 2 − (3y) 2) =
−1(25এক্স 2 − 9y 2) = −25এক্স 2 + 9y 2

দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফলের আংশিক বর্গ দ্বারা গুণ করা

এমন সমস্যা আছে যেখানে আপনাকে দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফলের আংশিক বর্গ দ্বারা গুণ করতে হবে। এই টুকরা এই মত দেখায়:

(a − খ)(ক 2 + ab + খ 2)

প্রথম বহুপদ ( a − খ) হল দুটি রাশির পার্থক্য, এবং দ্বিতীয়টি একটি বহুপদ (ক 2 + ab + খ 2) এই দুটি রাশির যোগফলের আংশিক বর্গ।

যোগফলের আংশিক বর্গ হল ফর্মের বহুপদ ক 2 + ab + খ 2 . এটি একটি নিয়মিত সমষ্টি বর্গের মত দেখাচ্ছে ক 2 + 2ab + খ 2

উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি 4এক্স 2 + 6xy + 9y 2 রাশি 2 এর যোগফলের অসম্পূর্ণ বর্গ এক্সএবং 3 y .

প্রকৃতপক্ষে, অভিব্যক্তি প্রথম পদ 4এক্স 2 + 6xy + 9y 2 , যথা 4 এক্স 2 হল 2 রাশির বর্গ এক্স, যেহেতু (2 এক্স) 2 = 4এক্স 2. প্রকাশের তৃতীয় পদ 4এক্স 2 + 6xy + 9y 2 , যথা 9 y 2 হল রাশি 3 এর বর্গ y, যেহেতু (3 y) 2 = 9y 2. মাঝখানে সদস্য ৬ xy, রাশি 2 এর গুণফল এক্সএবং 3 y

সুতরাং, আসুন পার্থক্যটি গুণ করি ( a − খ) যোগফলের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা ক 2 + ab + খ 2

(a − খ)(ক 2 + ab + খ 2) = ক(ক 2 + ab + b 2) − খ(ক 2 + ab + খ 2) =
ক 3 + ক 2 খ + ab 2 − ক 2 খ − ab 2 − খ 3 = ক 3 − খ 3

অর্থাৎ অভিব্যক্তি (a − খ)(ক 2 + ab + খ 2) সমান ক 3 − খ 3

(a − খ)(ক 2 + ab + খ 2) = ক 3 − খ 3

এই পরিচয়কে দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফলের আংশিক বর্গ দ্বারা গুণ করার সূত্র বলা হয়। এই সূত্রটি এই মত পড়া যেতে পারে:

দুটি রাশির পার্থক্য এবং তাদের যোগফলের আংশিক বর্গক্ষেত্রের গুণফল এই রাশিগুলির ঘনকগুলির পার্থক্যের সমান।

উদাহরণ 1. গুণ সঞ্চালন (2এক্স − 3y)(4এক্স 2 + 6xy + 9y 2)

প্রথম বহুপদ (2 এক্স − 3y) হল দুটি রাশির পার্থক্য 2 এক্সএবং 3 y. দ্বিতীয় বহুপদ 4এক্স 2 + 6xy + 9y 2 এটি দুটি রাশি 2 এর যোগফলের আংশিক বর্গ এক্সএবং 3 y. এটি আপনাকে দীর্ঘ গণনা না করে সূত্রটি ব্যবহার করতে দেয় (a − খ)(ক 2 + ab + খ 2) = ক 3 − খ 3 . আমাদের ক্ষেত্রে, গুণ (2এক্স − 3y)(4এক্স 2 + 6xy + 9y 2) কিউব 2 এর পার্থক্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে এক্সএবং 3 y

(2এক্স − 3y)(4এক্স 2 + 6xy + 9y 2) = (2এক্স) 3 − (3y) 3 = 8এক্স 3 − 27y 3

(a − খ)(ক 2 + ab+ খ 2) = ক 3 − খ 3 . আমরা একই ফলাফল পাব, কিন্তু সমাধান দীর্ঘ হবে:

(2এক্স − 3y)(4এক্স 2 + 6xy + 9y 2) = 2এক্স(4এক্স 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4এক্স 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12এক্স 2 y + 18xy 2 − 12এক্স 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8এক্স 3 − 27y 3

উদাহরণ 2. গুণ সঞ্চালন (3 − এক্স)(9 + 3এক্স + এক্স 2)

প্রথম বহুপদ (3 − এক্স) হল দুটি রাশির পার্থক্য এবং দ্বিতীয় বহুপদ হল এই দুটি রাশির যোগফলের আংশিক বর্গ। এটি আমাদের সূত্রটি ব্যবহার করতে দেয় (a − খ)(ক 2 + ab + খ 2) = ক 3 − খ 3

(3 − এক্স)(9 + 3এক্স + এক্স 2) = 3 3 − এক্স 3 = 27 − এক্স 3

দুটি রাশির যোগফলকে তাদের পার্থক্যের আংশিক বর্গ দ্বারা গুণ করা

এমন সমস্যা আছে যেখানে আপনাকে দুটি রাশির যোগফলকে তাদের পার্থক্যের আংশিক বর্গ দ্বারা গুণ করতে হবে। এই টুকরা এই মত দেখায়:

(a+b)(ক 2 − ab + খ 2)

প্রথম বহুপদ ( a+b (ক 2 − ab + খ 2) এই দুটি রাশির পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ।

পার্থক্যের আংশিক বর্গ হল ফর্মের একটি বহুপদ ক 2 − ab + খ 2 . এটি একটি নিয়মিত পার্থক্য বর্গক্ষেত্র মত দেখায় ক 2 − 2ab + খ 2 তা ছাড়া এতে প্রথম এবং দ্বিতীয় রাশির গুণফল দ্বিগুণ হয় না।

উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি 4এক্স 2 − 6xy + 9y 2 রাশি 2 এর পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ এক্সএবং 3 y

(2এক্স) 2 − 2এক্স× 3 y + (3y) 2 = 4এক্স 2 − 6xy + 9y 2

আসল উদাহরণে ফিরে আসা যাক। যোগফলকে গুণ করা যাক a+bপার্থক্যের আংশিক বর্গ দ্বারা ক 2 − ab + খ 2

(a+b)(ক 2 − ab + খ 2) = ক(ক 2 − ab + b 2) + খ(ক 2 − ab + খ 2) =
ক 3 − ক 2 খ + ab 2 + ক 2 খ − ab 2 + খ 3 = ক 3 + খ 3

অর্থাৎ অভিব্যক্তি (a+b)(ক 2 − ab + খ 2) সমান ক 3 + খ 3

(a+b)(ক 2 − ab + খ 2) = ক 3 + খ 3

এই পরিচয়টিকে দুটি রাশির যোগফলকে তাদের পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা গুণ করার সূত্র বলা হয়। এই সূত্রটি এই মত পড়া যেতে পারে:

দুটি রাশির যোগফল এবং তাদের পার্থক্যের আংশিক বর্গক্ষেত্রের গুণফল এই রাশিগুলির কিউবগুলির যোগফলের সমান।

উদাহরণ 1. গুণ সঞ্চালন (2এক্স + 3y)(4এক্স 2 − 6xy + 9y 2)

প্রথম বহুপদ (2 এক্স + 3y) হল দুটি রাশির সমষ্টি 2 এক্সএবং 3 y, এবং দ্বিতীয় বহুপদ 4এক্স 2 − 6xy + 9y 2 এই রাশিগুলির পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ। এটি আপনাকে দীর্ঘ গণনা না করে সূত্রটি ব্যবহার করতে দেয় (a+b)(ক 2 − ab + খ 2) = ক 3 + খ 3 . আমাদের ক্ষেত্রে, গুণ (2এক্স + 3y)(4এক্স 2 − 6xy + 9y 2) কিউব 2 এর যোগফল দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে এক্সএবং 3 y

(2এক্স + 3y)(4এক্স 2 − 6xy + 9y 2) = (2এক্স) 3 + (3y) 3 = 8এক্স 3 + 27y 3

সূত্র ব্যবহার না করে একই উদাহরণ সমাধান করার চেষ্টা করা যাক (a+b)(ক 2 − ab+ খ 2) = ক 3 + খ 3 . আমরা একই ফলাফল পাব, কিন্তু সমাধান দীর্ঘ হবে:

(2এক্স + 3y)(4এক্স 2 − 6xy + 9y 2) = 2এক্স(4এক্স 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4এক্স 2 − 6xy + 9y 2) =
8এক্স 3 − 12এক্স 2 y + 18xy 2 + 12এক্স 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8এক্স 3 + 27y 3

উদাহরণ 2. গুণ সঞ্চালন (2এক্স+ y)(4এক্স 2 − 2xy + y 2)

প্রথম বহুপদ (2 এক্স+ y) হল দুটি রাশির সমষ্টি এবং দ্বিতীয়টি বহুপদী (4এক্স 2 − 2xy + y 2) এই রাশিগুলির পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ। এটি আমাদের সূত্রটি ব্যবহার করতে দেয় (a+b)(ক 2 − ab+ খ 2) = ক 3 + খ 3

(2এক্স+ y)(4এক্স 2 − 2xy + y 2) = (2এক্স) 3 + y 3 = 8এক্স 3 + y 3

সূত্র ব্যবহার না করে একই উদাহরণ সমাধান করার চেষ্টা করা যাক (a+b)(ক 2 − ab+ খ 2) = ক 3 + খ 3 . আমরা একই ফলাফল পাব, কিন্তু সমাধান দীর্ঘ হবে:

(2এক্স+ y)(4এক্স 2 − 2xy + y 2) = 2এক্স(4এক্স 2 − 2xy + y 2) + y(4এক্স 2 − 2xy + y 2) =
8এক্স 3 − 4এক্স 2 y + 2xy 2 + 4এক্স 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8এক্স 3 + y 3

স্বাধীন সমাধানের জন্য কাজ

আপনি পাঠ পছন্দ করেছেন?
আমাদের নতুন VKontakte গ্রুপে যোগ দিন এবং নতুন পাঠ সম্পর্কে বিজ্ঞপ্তি পেতে শুরু করুন

এই পাঠে আমরা যোগফলের বর্গ এবং পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্রগুলির সাথে পরিচিত হব এবং সেগুলি বের করব। জ্যামিতিকভাবে যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি প্রমাণ করা যাক। উপরন্তু, আমরা এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে বিভিন্ন উদাহরণ সমাধান করব।

যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি বিবেচনা করুন:

সুতরাং, আমরা যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি বের করেছি:

মৌখিকভাবে, এই সূত্রটি নিম্নরূপ প্রকাশ করা হয়: যোগফলের বর্গ প্রথম সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের সমান এবং দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গ দ্বারা প্রথম সংখ্যার গুণফলের দ্বিগুণ।

এই সূত্রটি জ্যামিতিকভাবে উপস্থাপন করা সহজ।

পাশ সহ একটি বর্গক্ষেত্র বিবেচনা করুন:

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

অন্যদিকে, একই বর্গাকার দিকটিকে a এবং b (চিত্র 1) এ বিভক্ত করে ভিন্নভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

ভাত। 1. বর্গক্ষেত্র

তারপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে ক্ষেত্রফলের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

যেহেতু বর্গক্ষেত্রগুলি একই ছিল, তাদের ক্ষেত্রগুলি সমান, যার অর্থ:

সুতরাং, আমরা জ্যামিতিকভাবে যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্র প্রমাণ করেছি।

আসুন উদাহরণ দেখি:

একটি মন্তব্য:উদাহরণটি বর্গাকার সমষ্টি সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়েছে।

বর্গীয় পার্থক্যের সূত্রটি বের করা যাক:

সুতরাং, আমরা বর্গীয় পার্থক্যের সূত্রটি পেয়েছি:

মৌখিকভাবে, এই সূত্রটি নিম্নরূপ প্রকাশ করা হয়: পার্থক্যের বর্গ প্রথম সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের সমান, দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গ দ্বারা প্রথম সংখ্যার গুণফলের দ্বিগুণ বিয়োগ করে।

আসুন উদাহরণ দেখি:

বর্গাকার যোগফল এবং বর্গীয় পার্থক্য সূত্রগুলি বাম থেকে ডানে এবং ডান থেকে বামে উভয়ই কাজ করতে পারে। যখন বাম থেকে ডানে ব্যবহার করা হয়, তখন এগুলি সংক্ষেপে গুণন সূত্র হবে এবং উদাহরণগুলি গণনা এবং রূপান্তর করার সময় ব্যবহৃত হয়। এবং যখন ডান থেকে বামে ব্যবহার করা হয় - ফ্যাক্টরাইজেশন সূত্র।

আসুন উদাহরণগুলি দেখি যেখানে আপনাকে বর্গ সমষ্টি এবং বর্গ পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করে একটি প্রদত্ত বহুপদকে গুণিত করতে হবে। এটি করার জন্য, আপনাকে বহুপদে খুব মনোযোগ সহকারে দেখতে হবে এবং ঠিক কীভাবে এটিকে সঠিকভাবে প্রসারিত করতে হবে তা নির্ধারণ করতে হবে।

একটি মন্তব্য:একটি বহুপদকে ফ্যাক্টর করার জন্য, আপনাকে প্রদত্ত রাশিতে কী উপস্থাপন করা হয়েছে তা নির্ধারণ করতে হবে। সুতরাং আমরা একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি বর্গ দেখতে. এখন আপনাকে দ্বিগুণ পণ্যটি খুঁজে বের করতে হবে - এটি হল। সুতরাং, সমস্ত প্রয়োজনীয় উপাদান রয়েছে, আপনাকে কেবলমাত্র নির্ধারণ করতে হবে এটি যোগফলের বর্গ নাকি পার্থক্য। দ্বিগুণ গুণফলের সামনে একটি যোগ চিহ্ন রয়েছে, যার অর্থ আমাদের কাছে যোগফলের বর্গ রয়েছে।

সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র।

সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র অধ্যয়ন: যোগফলের বর্গ এবং দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গ; দুটি অভিব্যক্তির বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য; যোগফলের ঘনক এবং দুটি রাশির পার্থক্যের ঘনক; দুটি রাশির ঘনক্ষেত্রের যোগফল এবং পার্থক্য।

উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রের প্রয়োগ।

অভিব্যক্তি, গুণনীয়ক বহুপদ, এবং বহুপদকে প্রমিত আকারে কমাতে, সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র ব্যবহার করা হয়। সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র হৃদয় দিয়ে জানা প্রয়োজন.

ধরুন a, b R তারপর:

1. দুটি রাশির যোগফলের বর্গ সমানপ্রথম রাশির বর্গ প্লাস প্রথম রাশির গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয় যোগ দ্বিতীয় রাশির বর্গক্ষেত্র।

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গ সমানপ্রথম রাশির বর্গ বিয়োগ প্রথম রাশির গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয় যোগ দ্বিতীয় রাশির বর্গক্ষেত্র।

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যদুটি রাশি এই রাশির পার্থক্য এবং তাদের যোগফলের গুণফলের সমান।

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. যোগফলের ঘনকদুটি রাশি প্রথম রাশির কিউবের সমান এবং প্রথম রাশির বর্গক্ষেত্রের গুণফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয়টি প্রথম রাশির গুনফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয়টির বর্গ দ্বিতীয় রাশির ঘনকের সমান।

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. পার্থক্য ঘনকদুটি রাশি প্রথম রাশির ঘনক্ষেত্রের সমান, প্রথম রাশির বর্গক্ষেত্রের গুণফল বিয়োগ তিনগুণ এবং দ্বিতীয় যোগ প্রথম রাশির গুণফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয় রাশির বর্গ বিয়োগ দ্বিতীয় রাশির ঘনকের সমান।

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. কিউবের সমষ্টিদুটি রাশি প্রথম এবং দ্বিতীয় রাশির যোগফল এবং এই রাশিগুলির পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রের গুণফলের সমান।

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. কিউব পার্থক্যদুটি রাশি এই রাশিগুলির যোগফলের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা প্রথম এবং দ্বিতীয় রাশির পার্থক্যের গুণফলের সমান।

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রের প্রয়োগ।

উদাহরণ 1.

হিসাব করুন

ক) দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করে, আমাদের আছে

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করে আমরা প্রাপ্ত করি

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

উদাহরণ 2।

হিসাব করুন

দুটি রাশির বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই

উদাহরণ 3.

একটি অভিব্যক্তি সরল করুন

(x - y) 2 + (x + y) 2

যোগফলের বর্গ এবং দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করা যাক

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

একটি টেবিলে সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

আপনার নিজের সমাধান করার জন্য সমস্যাও থাকবে, যার উত্তর আপনি দেখতে পাবেন।

সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র আপনাকে অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তর করতে দেয় - বহুপদ। তাদের সাহায্যে, বহুপদকে ফ্যাক্টর করা যেতে পারে, এবং সূত্রগুলিকে বিপরীত ক্রমে প্রয়োগ করে, দ্বিপদী, বর্গক্ষেত্র এবং ঘনকগুলির পণ্যগুলিকে বহুপদ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। আসুন সংক্ষিপ্ত গুণের জন্য সাধারণভাবে গৃহীত সমস্ত সূত্র বিবেচনা করি, তাদের উৎপত্তি, এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তরের সাধারণ কাজগুলি, সেইসাথে হোমওয়ার্ক (লিঙ্কগুলির মাধ্যমে তাদের উত্তর পাওয়া যাবে)।

সমষ্টির বর্গ

যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্র হল সমতা

(দুটি সংখ্যার যোগফলের বর্গ প্রথম সংখ্যার বর্গের সমান এবং প্রথম সংখ্যার গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয়টি দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের সমান)।

পরিবর্তে কএবং খএই সূত্রে যেকোনো সংখ্যা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে।

বর্গক্ষেত্র সমষ্টি সূত্র প্রায়ই গণনা সহজ করতে ব্যবহৃত হয়. উদাহরণ স্বরূপ,

বর্গাকার যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে, একটি বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে, যথা, দুটি অভিন্ন ফ্যাক্টরের গুণফল হিসেবে উপস্থাপন করা হয়।

উদাহরণ 1.

.

উদাহরণ 2।একটি বহুপদ হিসাবে অভিব্যক্তি লিখুন

সমাধান। যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই

বর্গক্ষেত্র পার্থক্য

বর্গীয় পার্থক্যের সূত্র হল সমতা

(দুটি সংখ্যার পার্থক্যের বর্গ প্রথম সংখ্যার বর্গ বিয়োগ প্রথম সংখ্যার গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয় যোগ দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গের সমান)।

বর্গক্ষেত্র পার্থক্য সূত্র প্রায়ই গণনা সহজ করতে ব্যবহৃত হয়. উদাহরণ স্বরূপ,

বর্গীয় পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করে, একটি বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে, যথা, দুটি অভিন্ন ফ্যাক্টরের গুণফল হিসেবে উপস্থাপন করা হয়।

একটি বহুপদকে বহুপদী দ্বারা গুণ করার নিয়ম থেকে সূত্রটি অনুসরণ করে:

উদাহরণ 5।একটি বহুপদ হিসাবে অভিব্যক্তি লিখুন

সমাধান। বর্গীয় পার্থক্যের সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা পাই

.

সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রটি নিজেই প্রয়োগ করুন এবং তারপর সমাধানটি দেখুন

একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করা হচ্ছে

প্রায়শই দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি বহুপদে যোগফল বা পার্থক্যের বর্গ থাকে, কিন্তু একটি লুকানো আকারে থাকে। একটি নিখুঁত বর্গ স্পষ্টভাবে পেতে, আপনাকে বহুপদকে রূপান্তর করতে হবে। এটি করার জন্য, একটি নিয়ম হিসাবে, বহুপদীর একটি পদকে দ্বিগুণ গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা হয় এবং তারপরে একই সংখ্যাটি বহুপদীতে যোগ করা হয় এবং এটি থেকে বিয়োগ করা হয়।

উদাহরণ 7।

সমাধান। এই বহুপদকে নিম্নরূপ রূপান্তরিত করা যেতে পারে:

এখানে আমরা 5টি উপস্থাপন করেছি এক্স 5/2 দ্বারা দ্বিগুণ গুণফলের আকারে এক্স, বহুপদীতে যোগ করুন এবং এটি থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ করুন, তারপর দ্বিপদীর জন্য যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি প্রয়োগ করুন।

সুতরাং, আমরা সমতা প্রমাণ করেছি

,

একটি নিখুঁত বর্গ এবং সংখ্যার সমান।

উদাহরণ 8।দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি বহুপদ বিবেচনা করুন

সমাধান। আসুন এটিতে নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি সম্পাদন করি:

এখানে আমরা 8টি উপস্থাপন করেছি এক্সএকটি ডবল পণ্য হিসাবে এক্স 4 দ্বারা, বহুপদীতে যোগ করে এবং এটি থেকে একই সংখ্যা 4² বিয়োগ করে, দ্বিপদীর জন্য বর্গ পার্থক্য সূত্র প্রয়োগ করে এক্স − 4 .

সুতরাং, আমরা সমতা প্রমাণ করেছি

,

দ্বিতীয় ডিগ্রীর বহুপদী দেখাচ্ছে

একটি নিখুঁত বর্গ এবং সংখ্যা −16 এর সমান।

সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রটি নিজেই প্রয়োগ করুন এবং তারপর সমাধানটি দেখুন

যোগফলের ঘনক

যোগফলের ঘনকের সূত্র হল সমতা

(দুটি সংখ্যার যোগফলের ঘনক্ষেত্র প্রথম সংখ্যার ঘনকের সমান এবং প্রথম সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের গুণফল তিনগুণ এবং দ্বিতীয়টি এবং প্রথম সংখ্যার গুণফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয়টির বর্গক্ষেত্র এবং প্লাস দ্বিতীয় সংখ্যার ঘনক)।

যোগফল ঘনক সূত্র নিম্নলিখিত হিসাবে উদ্ভূত হয়:

উদাহরণ 10।একটি বহুপদ হিসাবে অভিব্যক্তি লিখুন

সমাধান। যোগফল কিউব সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই

সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রটি নিজেই প্রয়োগ করুন এবং তারপর সমাধানটি দেখুন

পার্থক্য ঘনক

পার্থক্য ঘনক সূত্র হল সমতা

(দুটি সংখ্যার পার্থক্যের ঘনকটি প্রথম সংখ্যার ঘনক্ষেত্রের সমান, প্রথম সংখ্যা এবং দ্বিতীয়টির বর্গক্ষেত্রের ত্রিগুণ গুণফল, প্লাস প্রথম সংখ্যার ত্রিগুণ গুণফল এবং দ্বিতীয়টির বর্গ বিয়োগ দ্বিতীয় সংখ্যার)।

যোগফল ঘনক সূত্র ব্যবহার করে, বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে, যথা, তিনটি অভিন্ন ফ্যাক্টরের গুণফল হিসেবে উপস্থাপন করা হয়।

পার্থক্য ঘনক সূত্র নিম্নলিখিত হিসাবে উদ্ভূত হয়:

উদাহরণ 12।একটি বহুপদ হিসাবে অভিব্যক্তি লিখুন

সমাধান। পার্থক্য ঘনক সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই

সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রটি নিজেই প্রয়োগ করুন এবং তারপর সমাধানটি দেখুন

বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য

বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য হল সমতা

(দুটি সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য এই সংখ্যার যোগফল এবং তাদের পার্থক্যের গুণফলের সমান)।

যোগ কিউব সূত্র ব্যবহার করে, ফর্মের যেকোনো বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে।

বহুপদী গুণের নিয়ম ব্যবহার করে সূত্রের প্রমাণ পাওয়া যায়:

উদাহরণ 14.গুণফলটিকে বহুপদ হিসাবে লিখুন

.

সমাধান। বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে আমরা পাই

উদাহরণ 15।ফ্যাক্টরাইজ করুন

সমাধান। এই অভিব্যক্তিটি স্পষ্টভাবে কোনো পরিচয়ের সাথে খাপ খায় না। কিন্তু 16 নম্বরটিকে 4: 16=4² এর ভিত্তি সহ একটি শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। তারপর মূল অভিব্যক্তি একটি ভিন্ন ফর্ম নিতে হবে:

,

এবং এটি বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের সূত্র, এবং এই সূত্রটি প্রয়োগ করে, আমরা পাই