বর্গক্ষেত্র এবং কিউব জন্য সমস্ত সূত্র. সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র। একটি বহুপদকে বহুপদী দ্বারা গুণ করা

আপনার নিজের সমাধান করার জন্য সমস্যাও থাকবে, যার উত্তর আপনি দেখতে পাবেন।

সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র আপনাকে অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তর করতে দেয় - বহুপদ। তাদের সাহায্যে, বহুপদকে ফ্যাক্টর করা যেতে পারে, এবং সূত্রগুলিকে বিপরীত ক্রমে প্রয়োগ করে, দ্বিপদী, বর্গক্ষেত্র এবং ঘনকগুলির পণ্যগুলিকে বহুপদ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। আসুন সংক্ষিপ্ত গুণের জন্য সাধারণভাবে গৃহীত সমস্ত সূত্র বিবেচনা করি, তাদের উৎপত্তি, এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তরের সাধারণ কাজগুলি, সেইসাথে হোমওয়ার্ক (লিঙ্কগুলির মাধ্যমে তাদের উত্তর পাওয়া যাবে)।

সমষ্টির বর্গ

যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্র হল সমতা

(দুটি সংখ্যার যোগফলের বর্গ প্রথম সংখ্যার বর্গের সমান এবং প্রথম সংখ্যার গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয়টি দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের সমান)।

পরিবর্তে কএবং খএই সূত্রে যেকোনো সংখ্যা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে।

বর্গক্ষেত্র সমষ্টি সূত্র প্রায়ই গণনা সহজ করতে ব্যবহৃত হয়. উদাহরণ স্বরূপ,

বর্গাকার যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে, একটি বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে, যথা, দুটি অভিন্ন ফ্যাক্টরের গুণফল হিসেবে উপস্থাপন করা হয়।

উদাহরণ 1.

উদাহরণ 2।একটি বহুপদ হিসাবে অভিব্যক্তি লিখুন

সমাধান। যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই

বর্গক্ষেত্র পার্থক্য

বর্গীয় পার্থক্যের সূত্র হল সমতা

(দুটি সংখ্যার পার্থক্যের বর্গ প্রথম সংখ্যার বর্গ বিয়োগ প্রথম সংখ্যার গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয় যোগ দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গের সমান)।

বর্গক্ষেত্র পার্থক্য সূত্র প্রায়ই গণনা সহজ করতে ব্যবহৃত হয়. উদাহরণ স্বরূপ,

বর্গীয় পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করে, একটি বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে, যথা, দুটি অভিন্ন ফ্যাক্টরের গুণফল হিসেবে উপস্থাপন করা হয়।

একটি বহুপদকে বহুপদী দ্বারা গুণ করার নিয়ম থেকে সূত্রটি অনুসরণ করে:

উদাহরণ 5।একটি বহুপদ হিসাবে অভিব্যক্তি লিখুন

সমাধান। বর্গীয় পার্থক্যের সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা পাই

সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রটি নিজেই প্রয়োগ করুন এবং তারপর সমাধানটি দেখুন

একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করা হচ্ছে

প্রায়শই দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি বহুপদে যোগফল বা পার্থক্যের বর্গ থাকে, কিন্তু একটি লুকানো আকারে থাকে। একটি নিখুঁত বর্গ স্পষ্টভাবে পেতে, আপনাকে বহুপদকে রূপান্তর করতে হবে। এটি করার জন্য, একটি নিয়ম হিসাবে, বহুপদীর একটি পদকে দ্বিগুণ গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা হয় এবং তারপরে একই সংখ্যাটি বহুপদীতে যোগ করা হয় এবং এটি থেকে বিয়োগ করা হয়।

উদাহরণ 7।

সমাধান। এই বহুপদকে নিম্নরূপ রূপান্তরিত করা যেতে পারে:

এখানে আমরা 5টি উপস্থাপন করেছি এক্স 5/2 দ্বারা দ্বিগুণ গুণফলের আকারে এক্স, বহুপদীতে যোগ করুন এবং এটি থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ করুন, তারপর দ্বিপদীর জন্য যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি প্রয়োগ করুন।

সুতরাং, আমরা সমতা প্রমাণ করেছি

একটি নিখুঁত বর্গ এবং সংখ্যার সমান।

উদাহরণ 8।দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি বহুপদ বিবেচনা করুন

সমাধান। আসুন এটিতে নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি সম্পাদন করি:

এখানে আমরা 8টি উপস্থাপন করেছি এক্সএকটি ডবল পণ্য হিসাবে এক্স 4 দ্বারা, বহুপদীতে যোগ করে এবং এটি থেকে একই সংখ্যা 4² বিয়োগ করে, দ্বিপদীর জন্য বর্গ পার্থক্য সূত্র প্রয়োগ করে এক্স − 4 .

সুতরাং, আমরা সমতা প্রমাণ করেছি

দ্বিতীয় ডিগ্রীর বহুপদী দেখাচ্ছে

একটি নিখুঁত বর্গ এবং সংখ্যা −16 এর সমান।

সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রটি নিজেই প্রয়োগ করুন এবং তারপর সমাধানটি দেখুন

যোগফলের ঘনক

যোগফলের ঘনকের সূত্র হল সমতা

(দুটি সংখ্যার যোগফলের ঘনক্ষেত্র প্রথম সংখ্যার ঘনকের সমান এবং প্রথম সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের গুণফল তিনগুণ এবং দ্বিতীয়টি এবং প্রথম সংখ্যার গুণফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয়টির বর্গক্ষেত্র এবং প্লাস দ্বিতীয় সংখ্যার ঘনক)।

যোগফল ঘনক সূত্র নিম্নলিখিত হিসাবে উদ্ভূত হয়:

উদাহরণ 10।একটি বহুপদ হিসাবে অভিব্যক্তি লিখুন

সমাধান। যোগফল কিউব সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই

সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রটি নিজেই প্রয়োগ করুন এবং তারপর সমাধানটি দেখুন

পার্থক্য ঘনক

পার্থক্য ঘনক সূত্র হল সমতা

(দুটি সংখ্যার পার্থক্যের ঘনকটি প্রথম সংখ্যার ঘনক্ষেত্রের সমান, প্রথম সংখ্যা এবং দ্বিতীয়টির বর্গক্ষেত্রের ত্রিগুণ গুণফল, প্লাস প্রথম সংখ্যার ত্রিগুণ গুণফল এবং দ্বিতীয়টির বর্গ বিয়োগ দ্বিতীয় সংখ্যার)।

যোগফল ঘনক সূত্র ব্যবহার করে, বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে, যথা, তিনটি অভিন্ন ফ্যাক্টরের গুণফল হিসেবে উপস্থাপন করা হয়।

পার্থক্য ঘনক সূত্র নিম্নলিখিত হিসাবে উদ্ভূত হয়:

উদাহরণ 12।একটি বহুপদ হিসাবে অভিব্যক্তি লিখুন

সমাধান। পার্থক্য ঘনক সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই

সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রটি নিজেই প্রয়োগ করুন এবং তারপর সমাধানটি দেখুন

বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য

বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য হল সমতা

(দুটি সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য এই সংখ্যার যোগফল এবং তাদের পার্থক্যের গুণফলের সমান)।

যোগ কিউব সূত্র ব্যবহার করে, ফর্মের যেকোনো বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে।

বহুপদী গুণের নিয়ম ব্যবহার করে সূত্রের প্রমাণ পাওয়া যায়:

উদাহরণ 14.গুণফলটিকে বহুপদ হিসাবে লিখুন

সমাধান। বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে আমরা পাই

উদাহরণ 15।ফ্যাক্টরাইজ করুন

সমাধান। এই অভিব্যক্তিটি স্পষ্টভাবে কোনো পরিচয়ের সাথে খাপ খায় না। কিন্তু 16 নম্বরটিকে 4: 16=4² এর ভিত্তি সহ একটি শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। তারপর মূল অভিব্যক্তি একটি ভিন্ন ফর্ম নিতে হবে:

এবং এটি বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের সূত্র, এবং এই সূত্রটি প্রয়োগ করে, আমরা পাই

বীজগাণিতিক বহুপদী গণনা করার সময়, গণনা সহজ করতে, ব্যবহার করুন সংক্ষেপে গুণন সূত্র. মোট সাতটি সূত্র আছে। আপনি হৃদয় দিয়ে তাদের সব জানতে হবে.

এটিও মনে রাখা উচিত যে সূত্রগুলিতে "a" এবং "b" এর পরিবর্তে সংখ্যা বা অন্য কোন বীজগণিত বহুপদী হতে পারে।

বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য

মনে রাখবেন!

বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যদুটি সংখ্যা এই সংখ্যার পার্থক্য এবং তাদের যোগফলের গুণফলের সমান।

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
9a 2 − 4b 2 সহ 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

সমষ্টির বর্গ

মনে রাখবেন!

দুটি সংখ্যার যোগফলের বর্গ প্রথম সংখ্যার বর্গের সমান এবং প্রথম সংখ্যার গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয় যোগ দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের সমান।

(ক + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

দয়া করে মনে রাখবেন যে এই সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র দিয়ে এটি সহজ বড় সংখ্যার বর্গ খুঁজুনএকটি ক্যালকুলেটর বা দীর্ঘ গুণ ব্যবহার না করে। একটি উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করা যাক:

112 2 খুঁজুন।

আসুন আমরা 112 কে এমন সংখ্যার যোগফলের মধ্যে বিভক্ত করি যার বর্গগুলি আমরা ভালভাবে মনে রাখি।
112 = 100 + 1
বন্ধনীতে সংখ্যার যোগফল লিখুন এবং বন্ধনীর উপরে একটি বর্গক্ষেত্র রাখুন।
112 2 = (100 + 12) 2
যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করা যাক:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

মনে রাখবেন যে বর্গাকার সমষ্টি সূত্রটি যেকোনো বীজগণিত বহুপদীর জন্যও বৈধ।

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

সতর্কতা !

(a + b) 2 সমান নয় (a 2 + b 2)

বর্গক্ষেত্র পার্থক্য

মনে রাখবেন!

দুটি সংখ্যার পার্থক্যের বর্গ প্রথম সংখ্যার বর্গ বিয়োগ প্রথম সংখ্যার গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয় যোগ দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের সমান।

(ক − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

এটি একটি খুব দরকারী রূপান্তর মনে রাখা মূল্যবান:

(a − b) 2 = (b − a) 2

উপরের সূত্রটি কেবল বন্ধনী খোলার মাধ্যমে প্রমাণ করা যেতে পারে:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

যোগফলের ঘনক

মনে রাখবেন!

দুইটি সংখ্যার যোগফলের ঘনক্ষেত্র প্রথম সংখ্যার গুনফলের সমান এবং প্রথম সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের গুণফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয় যোগ দ্বিতীয়টির বর্গ দ্বারা প্রথমটির গুণফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয়টির ঘনকের সমান। .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

একটি যোগফলের ঘনকটি কীভাবে মনে রাখবেন

এই "ভীতিকর" চেহারার সূত্রটি মনে রাখা বেশ সহজ।

শিখুন যে "a 3" শুরুতে আসে।
মাঝখানে দুটি বহুপদীর সহগ 3 আছে।
মনে রাখবেন যে শূন্য শক্তির যেকোনো সংখ্যা হল 1। (a 0 = 1, b 0 = 1)। এটি লক্ষ্য করা সহজ যে সূত্রে "এ" ডিগ্রি হ্রাস এবং "বি" ডিগ্রি বৃদ্ধি পেয়েছে। আপনি এটি যাচাই করতে পারেন:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

সতর্কতা !

(a + b) 3 একটি 3 + b 3 এর সমান নয়

পার্থক্য ঘনক

মনে রাখবেন!

পার্থক্য ঘনকদুটি সংখ্যা প্রথম সংখ্যার ঘনকের সমান, প্রথম সংখ্যার বর্গের গুণফলের তিনগুণ বিয়োগ এবং দ্বিতীয় যোগ প্রথম সংখ্যার গুণফলের তিন গুণ এবং দ্বিতীয়টির বর্গ বিয়োগ দ্বিতীয়টির ঘনকের।

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

এই সূত্রটি পূর্ববর্তীটির মতো মনে রাখা হয়, তবে শুধুমাত্র "+" এবং "−" চিহ্নগুলির পরিবর্তনকে বিবেচনা করে। প্রথম শব্দ "a 3" এর আগে "+" (গণিতের নিয়ম অনুসারে, আমরা এটি লিখি না)। এর মানে হল যে পরবর্তী পদের আগে “−” হবে, তারপর আবার “+”, ইত্যাদি।

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

কিউবের সমষ্টি

সম কিউবের সাথে বিভ্রান্ত হবেন না!

মনে রাখবেন!

কিউবের সমষ্টিদুটি সংখ্যার যোগফল এবং পার্থক্যের আংশিক বর্গক্ষেত্রের গুণফলের সমান।

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)

কিউবের সমষ্টি হল দুটি বন্ধনীর গুণফল।

প্রথম বন্ধনীটি দুটি সংখ্যার যোগফল।
দ্বিতীয় বন্ধনী হল সংখ্যার মধ্যে পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ। পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ হল অভিব্যক্তি:
(a 2 − ab + b 2)
এই বর্গটি অসম্পূর্ণ, যেহেতু মাঝখানে, দ্বিগুণ গুণফলের পরিবর্তে, সংখ্যার স্বাভাবিক গুণফল আছে।

কিউব পার্থক্য

পার্থক্য ঘনক সঙ্গে বিভ্রান্ত করা হবে না!

মনে রাখবেন!

কিউব পার্থক্যদুটি সংখ্যার পার্থক্য এবং যোগফলের আংশিক বর্গক্ষেত্রের গুণফলের সমান।

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

চিহ্ন লেখার সময় সতর্ক থাকুন।

সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র ব্যবহার করে

এটা মনে রাখা উচিত যে উপরে দেওয়া সমস্ত সূত্র ডান থেকে বামে ব্যবহার করা হয়।

পাঠ্যপুস্তকের অনেক উদাহরণ আপনার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে যাতে আপনি সূত্র ব্যবহার করে বহুপদকে একত্রিত করতে পারেন।

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

আপনি বিভাগে সমস্ত সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র সহ একটি টেবিল ডাউনলোড করতে পারেন “

বীজগণিত কোর্সে অধ্যয়ন করা প্রথম বিষয়গুলির মধ্যে একটি হল সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র। গ্রেড 7-এ, এগুলি সহজতম পরিস্থিতিতে ব্যবহার করা হয়, যেখানে আপনাকে একটি অভিব্যক্তির সূত্রগুলির একটিকে চিনতে হবে এবং একটি বহুপদ বা, বিপরীতভাবে, দ্রুত বর্গক্ষেত্র বা ঘনক্ষেত্র একটি যোগফল বা পার্থক্যকে ফ্যাক্টর করতে হবে। ভবিষ্যতে, FSU দ্রুত অসমতা এবং সমীকরণগুলি সমাধান করতে এবং এমনকি ক্যালকুলেটর ছাড়াই কিছু সংখ্যাসূচক রাশি গণনা করতে ব্যবহৃত হয়।

সূত্রের একটি তালিকা দেখতে কেমন?

7টি মৌলিক সূত্র রয়েছে যা আপনাকে বন্ধনীতে বহুপদকে দ্রুত গুণ করতে দেয়।

কখনও কখনও এই তালিকায় চতুর্থ ডিগ্রির জন্য একটি সম্প্রসারণও অন্তর্ভুক্ত থাকে, যা উপস্থাপিত পরিচয়গুলি থেকে অনুসরণ করে এবং ফর্ম রয়েছে:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²)।

বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য ব্যতীত সকল সমতার একটি জোড়া (সমষ্টি - পার্থক্য) আছে। বর্গক্ষেত্রের যোগফলের সূত্র দেওয়া নেই.

অবশিষ্ট সমতা মনে রাখা সহজ:

এটা মনে রাখা উচিত যে FSU গুলি যে কোনও ক্ষেত্রে এবং যে কোনও মানগুলির জন্য কাজ করে কএবং খ: এগুলি হয় নির্বিচারে সংখ্যা বা পূর্ণসংখ্যা রাশি হতে পারে।

এমন পরিস্থিতিতে যেখানে আপনি হঠাৎ মনে করতে পারেন না যে সূত্রের একটি নির্দিষ্ট পদের সামনে কোন চিহ্নটি রয়েছে, আপনি বন্ধনীগুলি খুলতে পারেন এবং সূত্রটি ব্যবহার করার পরে একই ফলাফল পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, ডিফারেন্স কিউব এফএসইউ প্রয়োগ করার সময় যদি কোনও সমস্যা দেখা দেয় তবে আপনাকে মূল অভিব্যক্তিটি লিখতে হবে এবং এক একটি গুণ সঞ্চালন:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³।

ফলস্বরূপ, সমস্ত অনুরূপ পদ আনার পরে, টেবিলের মতো একই বহুপদী পাওয়া গেছে। একই ম্যানিপুলেশনগুলি অন্যান্য সমস্ত FSU এর সাথে করা যেতে পারে।

সমীকরণ সমাধানের জন্য FSU এর প্রয়োগ

উদাহরণস্বরূপ, আপনাকে একটি সমীকরণ সমন্বিত সমাধান করতে হবে ডিগ্রি 3 এর বহুপদ:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0।

স্কুল পাঠ্যক্রম ঘন সমীকরণ সমাধানের জন্য সর্বজনীন কৌশলগুলিকে কভার করে না এবং এই জাতীয় কাজগুলি প্রায়শই সহজ পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, ফ্যাক্টরাইজেশন)। যদি আমরা লক্ষ্য করি যে পরিচয়ের বাম দিকটি যোগফলের ঘনকের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, তাহলে সমীকরণটি আরও সহজ আকারে লেখা যেতে পারে:

(x + 1)³ = 0।

এই জাতীয় সমীকরণের মূল মৌখিকভাবে গণনা করা হয়: x = -1.

বৈষম্য একইভাবে সমাধান করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি অসমতা সমাধান করতে পারেন x³ – 6x² + 9x > 0.

প্রথমত, আপনাকে অভিব্যক্তিটিকে ফ্যাক্টর করতে হবে। প্রথমে আপনাকে বন্ধনী করতে হবে এক্স. এর পরে, লক্ষ্য করুন যে বন্ধনীর অভিব্যক্তিটি পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রে রূপান্তরিত হতে পারে।

তারপরে আপনাকে সেই পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করতে হবে যেখানে অভিব্যক্তিটি শূন্য মান নেয় এবং সেগুলিকে সংখ্যারেখায় চিহ্নিত করতে হবে। একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, এগুলি 0 এবং 3 হবে। তারপর, ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে, নির্ধারণ করুন যে কোন ব্যবধানে x অসমতার অবস্থার সাথে মিলবে।

পারফর্ম করার সময় FSUs কার্যকর হতে পারে ক্যালকুলেটরের সাহায্য ছাড়াই কিছু গণনা:

703² - 203² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

উপরন্তু, ফ্যাক্টরিং এক্সপ্রেশনের মাধ্যমে, আপনি সহজেই ভগ্নাংশ কমাতে পারেন এবং বিভিন্ন বীজগাণিতিক রাশি সরলীকরণ করতে পারেন।

7-8 গ্রেডের সমস্যার উদাহরণ

উপসংহারে, আমরা বীজগণিতের সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র ব্যবহারের উপর দুটি কাজ বিশ্লেষণ এবং সমাধান করব।

টাস্ক 1. অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন:

(মি + 3)² + (3 মি + 1) (3 মি - 1) - 2 মি (5 মি + 3)।

সমাধান। টাস্কের শর্তের জন্য অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করা প্রয়োজন, যেমন বন্ধনী খোলা, গুণ ও সূচকের ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা এবং একই ধরনের সমস্ত পদ আনা। চলুন শর্তসাপেক্ষে অভিব্যক্তিটিকে তিনটি ভাগে ভাগ করি (পদ সংখ্যা অনুসারে) এবং যেখানে সম্ভব FSU ব্যবহার করে বন্ধনীগুলি এক এক করে খুলি।

(m + 3)² = m² + 6m + 9(সমষ্টি বর্গ);
(3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য);
শেষ মেয়াদে আপনাকে গুণ করতে হবে: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

আসল অভিব্যক্তিতে প্রাপ্ত ফলাফলগুলি প্রতিস্থাপন করা যাক:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

লক্ষণগুলি বিবেচনায় নিয়ে, আমরা বন্ধনী খুলব এবং অনুরূপ শর্তাবলী উপস্থাপন করব:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8।

সমস্যা 2. অজানা k থেকে 5 তম শক্তি সম্বলিত একটি সমীকরণ সমাধান করুন:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³।

সমাধান। এই ক্ষেত্রে, এফএসইউ এবং গ্রুপিং পদ্ধতি ব্যবহার করা প্রয়োজন। পরিচয়ের ডানদিকে শেষ এবং শেষ পদগুলি সরানো প্রয়োজন।

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k।

সাধারণ ফ্যাক্টর ডান এবং বাম দিক থেকে উদ্ভূত হয় (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

সবকিছু সমীকরণের বাম দিকে স্থানান্তরিত হয় যাতে 0 ডানদিকে থাকে:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

আবার সাধারণ ফ্যাক্টরটি বের করা প্রয়োজন:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0।

প্রাপ্ত প্রথম ফ্যাক্টর থেকে আমরা আহরণ করতে পারি k. সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র অনুসারে, দ্বিতীয় গুণনীয়কটি অভিন্নভাবে সমান হবে (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0।

বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0।

যেহেতু একটি গুণফল 0 এর সমান হয় যদি তার অন্তত একটি ফ্যাক্টর শূন্য হয়, তাই সমীকরণের সমস্ত মূল খুঁজে পাওয়া কঠিন নয়:

k = 0;
k - 1 = 0; k = 1;
k + 1 = 0; k = -1;
(k + 2)² = 0; k = -2।

দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণের উপর ভিত্তি করে, আপনি বুঝতে পারবেন কীভাবে সূত্রগুলি, তাদের পার্থক্যগুলি মনে রাখতে হয় এবং FSU ব্যবহার করে বেশ কয়েকটি ব্যবহারিক সমস্যার সমাধান করতে হয়। কাজগুলি সহজ এবং সেগুলি সম্পূর্ণ করতে কোনও অসুবিধা হওয়া উচিত নয়।

পাঠের বিষয়বস্তু

দুটি রাশির যোগফলের বর্গ

এমন অনেকগুলি ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে একটি বহুপদকে বহুপদী দ্বারা গুণ করলে তা অনেক সরলীকৃত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এটি হল (2 এক্স+ 3y) 2 .

অভিব্যক্তি (2 এক্স+ 3y) 2 হল দুটি বহুপদীর গুণ, যার প্রতিটি সমান (2 এক্স+ 3y)

(2এক্স+ 3y) 2 = (2এক্স+ 3y)(2এক্স+ 3y)

আমরা একটি বহুপদ দ্বারা বহুপদীর গুন পেয়েছি। চলুন এটি কার্যকর করা যাক:

(2এক্স+ 3y) 2 = (2এক্স+ 3y)(2এক্স+ 3y) = 4এক্স 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4এক্স 2 + 12xy+ 9y 2

অর্থাৎ, অভিব্যক্তি (2 এক্স+ 3y) 2 সমান 4এক্স 2 + 12xy + 9y 2

(2এক্স+ 3y) 2 = 4এক্স 2 + 12xy+ 9y 2

আসুন একটি অনুরূপ উদাহরণ সমাধান করি, যা সহজ:

(a+b) 2

অভিব্যক্তি ( a+b) 2 হল দুটি বহুপদীর গুন, যার প্রতিটি সমান ( a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

আসুন এই গুণটি করি:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = ক 2 + ab + ab + খ 2 = ক 2 + 2ab + খ 2

অর্থাৎ অভিব্যক্তি (a+b) 2 সমান ক 2 + 2ab + খ 2

(a+b) 2 = ক 2 + 2ab + খ 2

দেখা যাচ্ছে যে মামলাটি ( a+b) 2 যেকোনো পর্যন্ত বাড়ানো যেতে পারে কএবং খ. প্রথম উদাহরণটি আমরা সমাধান করেছি, যথা (2 এক্স+ 3y) 2 আইডেন্টিটি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে (a+b) 2 = ক 2 + 2ab + খ 2 . এটি করার জন্য, আপনাকে ভেরিয়েবলের পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করতে হবে কএবং খঅভিব্যক্তি থেকে সংশ্লিষ্ট পদ (2 এক্স+ 3y) 2। এই ক্ষেত্রে, পরিবর্তনশীল কসদস্য 2 এর সাথে মিলে যায় এক্স, এবং পরিবর্তনশীল খসদস্য 3 এর সাথে মিলে যায় y

ক = 2এক্স

খ = 3y

এবং তারপর আমরা পরিচয় ব্যবহার করতে পারেন (a+b) 2 = ক 2 + 2ab + খ 2 , কিন্তু ভেরিয়েবলের পরিবর্তে কএবং খআপনাকে এক্সপ্রেশন 2 প্রতিস্থাপন করতে হবে এক্সএবং 3 yযথাক্রমে:

(2এক্স+ 3y) 2 = (2এক্স) 2 + 2 × 2 এক্স× 3 y + (3y) 2 = 4এক্স 2 + 12xy+ 9y 2

ঠিক গতবারের মতো আমরা একটি বহুপদ পেয়েছি 4এক্স 2 + 12xy+ 9y 2 . সমাধানটি সাধারণত সংক্ষিপ্তভাবে লেখা হয়, মনের সমস্ত প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সম্পাদন করে:

(2এক্স+ 3y) 2 = 4এক্স 2 + 12xy+ 9y 2

পরিচয় (a+b) 2 = ক 2 + 2ab + খ 2 দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রকে বলা হয়। এই সূত্রটি এই মত পড়া যেতে পারে:

দুটি রাশির যোগফলের বর্গ প্রথম রাশির বর্গের সমান এবং প্রথম রাশির গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয়টি দ্বিতীয় রাশির বর্গক্ষেত্রের সমান।

অভিব্যক্তিটি বিবেচনা করুন (2 + 3) 2। এটি দুটি উপায়ে গণনা করা যেতে পারে: বন্ধনীতে সংযোজন সম্পাদন করুন এবং ফলস্বরূপ ফলাফলটি বর্গ করুন, বা দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করুন।

প্রথম উপায়:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

দ্বিতীয় উপায়:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

উদাহরণ 2. অভিব্যক্তি রূপান্তর (5 ক+ 3) 2 একটি বহুপদে।

দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করা যাক:

(a+b) 2 = ক 2 + 2ab + খ 2

(5a+ 3) 2 = (5ক) 2 + 2 × 5 একটি × 3 + 3 2 = 25ক 2 + 30ক + 9

মানে, (5a+ 3) 2 = 25ক 2 + 30ক + 9.

যোগফল সূত্রের বর্গ ব্যবহার না করে এই উদাহরণটি সমাধান করার চেষ্টা করা যাক। আমাদের একই ফলাফল পাওয়া উচিত:

(5a+ 3) 2 = (5a+ 3)(5a+ 3) = 25ক 2 + 15ক + 15ক + 9 = 25ক 2 + 30ক + 9

দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটির একটি জ্যামিতিক অর্থ রয়েছে। আমরা মনে রাখি যে একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য আমাদের তার দিকটি দ্বিতীয় শক্তিতে বাড়াতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, পাশের একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কসমান হবে ক 2. যদি আপনি একটি বর্গক্ষেত্রের পাশ বাড়িয়ে দেন খ, তাহলে ক্ষেত্রফল সমান হবে ( a+b) 2

নিম্নলিখিত চিত্রটি বিবেচনা করুন:

আসুন কল্পনা করি যে এই চিত্রে দেখানো বর্গক্ষেত্রের দিকটি দ্বারা বৃদ্ধি পেয়েছে খ. একটি বর্গক্ষেত্রের সব দিক সমান। যদি এর পাশ বাড়িয়ে দেওয়া হয় খ, তারপর অবশিষ্ট দিকগুলিও বৃদ্ধি পাবে খ

ফলাফলটি একটি নতুন বর্গক্ষেত্র, যা আগেরটির চেয়ে বড়। এটি পরিষ্কারভাবে দেখতে, অনুপস্থিত দিকগুলি সম্পূর্ণ করা যাক:

এই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আপনি আলাদাভাবে এতে অন্তর্ভুক্ত বর্গক্ষেত্র এবং আয়তক্ষেত্রগুলি গণনা করতে পারেন, তারপর ফলাফল যোগ করতে পারেন।

প্রথমে আপনি পাশ সহ একটি বর্গ গণনা করতে পারেন ক- এর ক্ষেত্রফল সমান হবে ক 2. তারপর আপনি বাহু সহ আয়তক্ষেত্র গণনা করতে পারেন কএবং খ- তারা সমান হবে ab. তারপর আপনি পাশ দিয়ে বর্গ গণনা করতে পারেন খ

ফলাফল হল নিম্নলিখিত এলাকার সমষ্টি:

ক 2 + ab+ab + খ 2

অভিন্ন আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের যোগফল 2 গুণ করে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে ab, যার আক্ষরিক অর্থ হবে "আয়তক্ষেত্র ab এর ক্ষেত্রফল দুবার পুনরাবৃত্তি করুন" . বীজগণিতভাবে, অনুরূপ পদ এনে এটি পাওয়া যায় abএবং ab. ফলাফল প্রকাশ ক 2 + 2ab+ খ 2 , যা দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রের ডান দিক:

(a+b) 2 = ক 2 + 2ab+ খ 2

দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গ

দুটি রাশির বর্গীয় পার্থক্যের সূত্রটি নিম্নরূপ:

(a − খ) 2 = ক 2 − 2ab + খ 2

দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গ প্রথম রাশির বর্গের সমান প্রথম রাশির গুণফলের দ্বিগুণ বিয়োগ এবং দ্বিতীয় যোগ দ্বিতীয় রাশির বর্গক্ষেত্রের সমান।

দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রের মতোই উদ্ভূত হয়। অভিব্যক্তি ( a − খ) 2 হল দুটি বহুপদীর গুণফল, যার প্রতিটি সমান ( a − খ)

(a − খ) 2 = (a − খ)(a − খ)

আপনি যদি এই গুণটি সম্পাদন করেন, আপনি একটি বহুপদ পাবেন ক 2 − 2ab + খ 2

(a − খ) 2 = (a − খ)(a − খ) = ক 2 − ab− ab+ খ 2 = ক 2 − 2ab + খ 2

উদাহরণ 1. অভিব্যক্তি রূপান্তর (7 এক্স− 5) 2 একটি বহুপদে।

দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করা যাক:

(a − খ) 2 = ক 2 − 2ab + খ 2

(7এক্স− 5) 2 = (7এক্স) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49এক্স 2 − 70এক্স + 25

মানে, (7এক্স− 5) 2 = 49এক্স 2 + 70এক্স + 25.

বর্গাকার পার্থক্য সূত্র ব্যবহার না করে এই উদাহরণটি সমাধান করার চেষ্টা করা যাক। আমাদের একই ফলাফল পাওয়া উচিত:

(7এক্স− 5) 2 = (7এক্স− 5) (7এক্স− 5) = 49এক্স 2 − 35এক্স − 35এক্স + 25 = 49এক্স 2 − 70এক্স+ 25.

দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটিরও একটি জ্যামিতিক অর্থ রয়েছে। যদি একটি বর্গের ক্ষেত্রফল পাশে থাকে কসমান ক 2, তারপর একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যার পাশের দ্বারা হ্রাস করা হয় খ, সমান হবে ( a − খ) 2

নিম্নলিখিত চিত্রটি বিবেচনা করুন:

আসুন কল্পনা করি যে এই চিত্রে দেখানো বর্গক্ষেত্রের দিকটি দ্বারা হ্রাস করা হয়েছে খ. একটি বর্গক্ষেত্রের সব দিক সমান। এক পাশ দিয়ে কমে গেলে খ, তারপর বাকি দিকগুলিও কমে যাবে খ

ফলাফলটি একটি নতুন বর্গক্ষেত্র, যা আগেরটির চেয়ে ছোট। এটি চিত্রটিতে হলুদ রঙে হাইলাইট করা হয়েছে। এর পাশ সমান ক− খকারণ পুরানো দিক কদ্বারা হ্রাস পেয়েছে খ. এই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আপনি বর্গক্ষেত্রের মূল এলাকা থেকে করতে পারেন ক 2 আয়তক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রগুলি বিয়োগ করুন যা পুরানো বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলি হ্রাস করার প্রক্রিয়াতে প্রাপ্ত হয়েছিল। আসুন এই আয়তক্ষেত্রগুলি দেখাই:

তারপর আপনি নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি লিখতে পারেন: পুরানো বর্গক্ষেত্র ক 2 বিয়োগ এলাকা abবিয়োগ এলাকা ( a − খ)খ

ক 2 − ab − (a − খ)খ

আসুন অভিব্যক্তিতে বন্ধনীগুলি প্রসারিত করি ( a − খ)খ

ক 2 − ab−ab + খ 2

আসুন অনুরূপ পদগুলি দেখুন:

ক 2 − 2ab + খ 2

ফলাফল প্রকাশ ক 2 − 2ab + খ 2 , যা দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্রের ডান দিক:

(a − খ) 2 = ক 2 − 2ab + খ 2

বর্গাকার যোগফল এবং বর্গীয় পার্থক্য সূত্রকে সাধারণত বলা হয় সংক্ষেপে গুণন সূত্র. এই সূত্রগুলি উল্লেখযোগ্যভাবে বহুপদী গুন করার প্রক্রিয়াকে সহজ এবং দ্রুততর করতে পারে।

আগে আমরা বলেছিলাম যে বহুপদীর সদস্যকে আলাদাভাবে বিবেচনা করার সময়, এটির সামনে থাকা চিহ্নটির সাথে এটিকে অবশ্যই বিবেচনা করতে হবে।

কিন্তু সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র ব্যবহার করার সময়, মূল বহুপদীর চিহ্নটিকে এই শব্দটির চিহ্ন হিসাবে বিবেচনা করা উচিত নয়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি অভিব্যক্তি দেওয়া হয় (5 এক্স − 2y) 2 এবং আমরা সূত্রটি ব্যবহার করতে চাই (a − খ) 2 = ক 2 − 2ab + খ 2 , তারপর পরিবর্তে খপ্রতিস্থাপন করতে হবে 2 y, −2 নয় y. এটি সূত্রগুলির সাথে কাজ করার একটি বৈশিষ্ট্য যা ভুলে যাওয়া উচিত নয়।

(5এক্স − 2y) 2
ক = 5এক্স
খ = 2y
(5এক্স − 2y) 2 = (5এক্স) 2 − 2 × 5 এক্স× 2 y + (2y) 2 = 25এক্স 2 − 20xy + 4y 2

যদি আমরা −2 প্রতিস্থাপন করি y, তাহলে এর মানে হবে যে মূল অভিব্যক্তির বন্ধনীর পার্থক্য যোগফল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে:

(5এক্স − 2y) 2 = (5এক্স + (−2y)) 2

এবং এই ক্ষেত্রে, আপনাকে বর্গীয় পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করতে হবে না, কিন্তু বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে:

(5এক্স + (−2y) 2
ক = 5এক্স
খ = −2y
(5এক্স + (−2y)) 2 = (5এক্স) 2 + 2 × 5 এক্স× (−2 y) + (−2y) 2 = 25এক্স 2 − 20xy + 4y 2

একটি ব্যতিক্রম ফর্মের অভিব্যক্তি হতে পারে (এক্স− (−y)) 2 . এই ক্ষেত্রে, সূত্র ব্যবহার করে (a − খ) 2 = ক 2 − 2ab + খ 2 পরিবর্তে খপ্রতিস্থাপিত করা উচিত (- y)

(এক্স− (−y)) 2 = এক্স 2 − 2 × এক্স× (− y) + (−y) 2 = এক্স 2 + 2xy + y 2

কিন্তু ফর্মের বর্গাকার অভিব্যক্তি এক্স − (−y), যোগ দিয়ে বিয়োগ প্রতিস্থাপন করা আরও সুবিধাজনক হবে x+y. তাহলে মূল অভিব্যক্তিটি রূপ নেবে ( x+y) 2 এবং পার্থক্যের পরিবর্তে যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করা সম্ভব হবে:

(x+y) 2 = এক্স 2 + 2xy + y 2

যোগফলের ঘনক এবং পার্থক্যের ঘনক

দুটি রাশির যোগফলের ঘনক এবং দুটি রাশির পার্থক্যের ঘনকের সূত্রগুলি নিম্নরূপ:

(ক + খ) 3 = ক 3 + 3ক 2 খ + 3ab 2 + খ 3

(a − খ) 3 = ক 3 − 3ক 2 খ + 3ab 2 − খ 3

দুটি রাশির যোগফলের ঘনকের সূত্রটি নিম্নরূপ পড়া যেতে পারে:

দুটি রাশির যোগফলের ঘনক্ষেত্র প্রথম রাশির গুনফলের সমান এবং প্রথম রাশির বর্গের গুণফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয় যোগটি প্রথম রাশির গুনফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয় রাশির বর্গক্ষেত্রের গুনফলের সমান। দ্বিতীয় অভিব্যক্তি।

এবং দুটি রাশির পার্থক্যের ঘনক্ষেত্রের সূত্রটি নিম্নরূপ পড়া যেতে পারে:

দুটি রাশির পার্থক্যের ঘনকটি প্রথম রাশিটির ঘনক্ষেত্রের সমান, প্রথম রাশিটির বর্গের গুণফলকে তিনগুণ করে এবং দ্বিতীয় যোগটি প্রথম রাশির গুনফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয় রাশির বর্গের বিয়োগের গুনফলের সমান। দ্বিতীয় অভিব্যক্তি।

সমস্যার সমাধান করার সময়, এই সূত্রগুলি হৃদয় দিয়ে জানার পরামর্শ দেওয়া হয়। মনে না থাকলে সমস্যা নেই! আপনি নিজেই তাদের অপসারণ করতে পারেন। আমরা ইতিমধ্যে এটি কিভাবে করতে জানি.

আসুন যোগফলের ঘনক্ষেত্রের সূত্রটি নিজেরাই বের করি:

(a+b) 3

অভিব্যক্তি ( a+b) 3 তিনটি বহুপদীর গুণফল, যার প্রতিটি সমান ( ক+ খ)

(a+b) 3 = (ক+ খ)(ক+ খ)(ক+ খ)

কিন্তু অভিব্যক্তি ( a+b) 3 হিসেবেও লেখা যায় (ক+ খ)(ক+ খ) 2

(a+b) 3 = (ক+ খ)(ক+ খ) 2

এই ক্ষেত্রে, ফ্যাক্টর ( ক+ খ) 2 হল দুটি রাশির যোগফলের বর্গ। যোগফলের এই বর্গটি রাশিটির সমান ক 2 + 2ab + খ 2 .

তারপর ( a+b) 3 হিসেবে লেখা যায় (ক+ খ)(ক 2 + 2ab + খ 2) .

(a+b) 3 = (ক+ খ)(ক 2 + 2ab + খ 2)

এবং এটি একটি বহুপদকে বহুপদী দ্বারা গুণ করছে। চলুন এটি কার্যকর করা যাক:

(a+b) 3 = (ক+ খ)(ক 2 + 2ab + খ 2) = ক 3 + 2ক 2 খ + ab 2 + ক 2 খ + 2ab 2 + খ 3 = ক 3 + 3ক 2 খ + 3ab 2 + খ 3

একইভাবে, আপনি দুটি রাশির পার্থক্যের ঘনক্ষেত্রের সূত্রটি বের করতে পারেন:

(a − খ) 3 = (a − খ)(ক 2 − 2ab + খ 2) = ক 3 − 2ক 2 খ + ab 2 − ক 2 খ + 2ab 2 − খ 3 = ক 3 − 3ক 2 খ+ 3ab 2 − খ 3

উদাহরণ 1. অভিব্যক্তি রূপান্তর ( এক্স+ 1) 3 একটি বহুপদে।

(ক + খ) 3 = ক 3 + 3ক 2 খ + 3ab 2 + খ 3

(এক্স+ 1) 3 = এক্স 3+3× এক্স 2 × 1 + 3 × এক্স× 1 2 + 1 3 = এক্স 3 + 3এক্স 2 + 3এক্স + 1

আসুন দুটি রাশির যোগফলের ঘনক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার না করে এই উদাহরণটি সমাধান করার চেষ্টা করি

(এক্স+ 1) 3 = (এক্স+ 1)(এক্স+ 1)(এক্স+ 1) = (এক্স+ 1)(এক্স 2 + 2এক্স + 1) = এক্স 3 + 2এক্স 2 + এক্স + এক্স 2 + 2এক্স + 1 = এক্স 3 + 3এক্স 2 + 3এক্স + 1

উদাহরণ 2. অভিব্যক্তি রূপান্তর (6ক 2 + 3খ 3) 3 একটি বহুপদে।

দুটি রাশির যোগফলের ঘনক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করা যাক:

(ক + খ) 3 = ক 3 + 3ক 2 খ + 3ab 2 + খ 3

(6ক 2 + 3খ 3) 3 = (6ক 2) 3 + 3 × (6 ক 2) 2×3 খ 3 + 3 × 6 ক 2 × (3খ 3) 2 + (3খ 3) 3 = 216ক 6 + 3 × 36 ক 4×3 খ 3 + 3 × 6 ক 2×9 খ 6 + 27খ 9

উদাহরণ 3. অভিব্যক্তি রূপান্তর ( n 2 − 3) 3 একটি বহুপদে।

(a − খ) = ক 3 − 3ক 2 খ + 3ab 2 − খ 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

উদাহরণ 4. অভিব্যক্তি রূপান্তর (2এক্স 2 − এক্স 3) 3 একটি বহুপদে।

দুটি রাশির পার্থক্যের ঘনক্ষেত্রের সূত্রটি ব্যবহার করা যাক:

(a − খ) = ক 3 − 3ক 2 খ + 3ab 2 − খ 3

(2এক্স 2 − এক্স 3) 3 = (2এক্স 2) 3 − 3 × (2 এক্স 2) 2× এক্স 3 + 3 × 2 এক্স 2×( এক্স 3) 2 − (এক্স 3) 3 =
8এক্স 6 − 3 × 4 এক্স 4× এক্স 3 + 3 × 2 এক্স 2× এক্স 6 − এক্স 9 =
8এক্স 6 − 12এক্স 7 + 6এক্স 8 − এক্স 9

দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফল দ্বারা গুণ করা

এমন সমস্যা আছে যেখানে আপনাকে দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফল দ্বারা গুণ করতে হবে। উদাহরণ স্বরূপ:

(a − খ)(a+b)

এই অভিব্যক্তিতে, দুটি অভিব্যক্তির পার্থক্য কএবং খএকই দুটি রাশির যোগফল দ্বারা গুণিত। আসুন এই গুণটি করি:

(a − খ)(a+b) = ক 2 + ab − ab − খ 2 = ক 2 − খ 2

অর্থাৎ অভিব্যক্তি (a − খ)(a+b) সমান ক 2 − খ 2

(a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2

আমরা দেখি যে যখন আমরা দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফল দ্বারা গুণ করি তখন আমরা এই রাশিগুলির বর্গের পার্থক্য পাই।

দুটি রাশির পার্থক্যের গুণফল এবং তাদের যোগফল এই রাশিগুলির বর্গের পার্থক্যের সমান।

ঘটছে (a − খ)(a+b) কারো কাছে বিতরণ করা যেতে পারে কএবং খ. সহজ কথায়, যদি কোনো সমস্যা সমাধান করার সময় আপনাকে দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফল দ্বারা গুণ করতে হয়, তাহলে এই গুণটি এই রাশিগুলির বর্গের পার্থক্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে।

উদাহরণ 1. গুণ সঞ্চালন (2এক্স − 5)(2এক্স + 5)

এই উদাহরণে, অভিব্যক্তির পার্থক্য 2 এক্সএবং 5 একই রাশির যোগফল দ্বারা গুণিত। তারপর সূত্র অনুযায়ী (a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2 আমাদের আছে:

(2এক্স − 5)(2এক্স + 5) = (2এক্স) 2 − 5 2

আসুন ডান দিকটি গণনা করি, আমরা 4 পাই এক্স 2 − 25

(2এক্স − 5)(2এক্স + 5) = (2এক্স) 2 − 5 2 = 4এক্স 2 − 25

আসুন সূত্র ব্যবহার না করে এই উদাহরণটি সমাধান করার চেষ্টা করি (a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2 . আমরা একই ফলাফল পাব 4 এক্স 2 − 25

(2এক্স − 5)(2এক্স + 5) = 4এক্স 2 − 10এক্স + 10এক্স − 25 = 4এক্স 2 − 25

উদাহরণ 2. গুণ সঞ্চালন (4এক্স − 5y)(4এক্স + 5y)

(a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2

(4এক্স − 5y)(4এক্স + 5y) = (4এক্স) 2 − (5y) 2 = 16এক্স 2 − 25y 2

উদাহরণ 3. গুণ সঞ্চালন (2ক+ 3খ)(2ক− 3খ)

আসুন দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফল দ্বারা গুণ করার জন্য সূত্রটি ব্যবহার করি:

(a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2

(2a+ 3খ)(2a − 3খ) = (2ক) 2 − (3খ) 2 = 4ক 2 − 9খ 2

এই উদাহরণে, পদগুলির যোগফল 2 কএবং 3 খএই পদগুলির পার্থক্যের আগে অবস্থিত ছিল। এবং সূত্রে (a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2 পার্থক্য আগে অবস্থিত.

এটি কোন পার্থক্য করে না কিভাবে ফ্যাক্টরগুলি সাজানো হয় ( a − খ) ভি ( a+b) সূত্রে। তারা হিসাবে লেখা যেতে পারে (a − খ)(a+b) , তাই (a+b)(a − খ) . ফলাফল এখনও সমান হবে ক 2 − খ 2, যেহেতু উপাদানগুলি পুনর্বিন্যাস থেকে পণ্য পরিবর্তন হয় না।

সুতরাং এই উদাহরণে, কারণগুলি (2 a+ 3খ) এবং 2 a − 3খ) হিসাবে লেখা যেতে পারে (2a+ 3খ)(2a − 3খ) , তাই (2a − 3খ)(2a+ 3খ) . ফলাফল এখনও 4 হবে ক 2 − 9খ 2 .

উদাহরণ 3. গুণ সঞ্চালন (7 + 3এক্স)(3এক্স − 7)

(a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2

(7 + 3এক্স)(3এক্স − 7) = (3এক্স) 2 − 7 2 = 9এক্স 2 − 49

উদাহরণ 4. গুণ সঞ্চালন (এক্স 2 − y 3)(এক্স 2 + y 3)

(a − খ)(a+b) = ক 2 − খ 2

(এক্স 2 − y 3)(এক্স 2 + y 3) = (এক্স 2) 2 − (y 3) 2 = এক্স 4 − y 6

উদাহরণ 5. গুণ সঞ্চালন (−5এক্স− 3y)(5এক্স− 3y)

অভিব্যক্তিতে (−5 এক্স− 3y) আমরা বন্ধনীর বাইরে −1 রাখি, তারপর মূল অভিব্যক্তিটি নিম্নলিখিত ফর্মটি গ্রহণ করবে:

(−5এক্স− 3y)(5এক্স− 3y) = −1(5এক্স + 3y)(5এক্স − 3y)

কাজ (5এক্স + 3y)(5এক্স − 3y) বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য দিয়ে এটি প্রতিস্থাপন করুন:

(−5এক্স− 3y)(5এক্স− 3y) = −1(5এক্স + 3y)(5এক্স − 3y) = −1((5এক্স) 2 − (3y) 2)

বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য বন্ধনীতে আবদ্ধ ছিল। যদি এটি করা না হয়, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে −1 শুধুমাত্র (5) দ্বারা গুণিত হয় এক্স) 2। এবং এটি একটি ত্রুটি এবং মূল অভিব্যক্তির মান পরিবর্তনের দিকে পরিচালিত করবে।

(−5এক্স− 3y)(5এক্স− 3y) = −1(5এক্স + 3y)(5এক্স − 3y) = −1((5এক্স) 2 − (3y) 2) = −1(25এক্স 2 − 9এক্স 2)

এখন বন্ধনীর অভিব্যক্তি দ্বারা −1 গুণ করুন এবং চূড়ান্ত ফলাফল পান:

(−5এক্স− 3y)(5এক্স− 3y) = −1(5এক্স + 3y)(5এক্স − 3y) = −1((5এক্স) 2 − (3y) 2) =
−1(25এক্স 2 − 9y 2) = −25এক্স 2 + 9y 2

দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফলের আংশিক বর্গ দ্বারা গুণ করা

এমন সমস্যা আছে যেখানে আপনাকে দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফলের আংশিক বর্গ দ্বারা গুণ করতে হবে। এই টুকরা এই মত দেখায়:

(a − খ)(ক 2 + ab + খ 2)

প্রথম বহুপদ ( a − খ) হল দুটি রাশির পার্থক্য, এবং দ্বিতীয়টি একটি বহুপদ (ক 2 + ab + খ 2) এই দুটি রাশির যোগফলের আংশিক বর্গ।

যোগফলের আংশিক বর্গ হল ফর্মের বহুপদ ক 2 + ab + খ 2 . এটি একটি নিয়মিত সমষ্টি বর্গের মত দেখাচ্ছে ক 2 + 2ab + খ 2

উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি 4এক্স 2 + 6xy + 9y 2 রাশি 2 এর যোগফলের অসম্পূর্ণ বর্গ এক্সএবং 3 y .

প্রকৃতপক্ষে, অভিব্যক্তি প্রথম পদ 4এক্স 2 + 6xy + 9y 2 , যথা 4 এক্স 2 হল 2 রাশির বর্গ এক্স, যেহেতু (2 এক্স) 2 = 4এক্স 2. প্রকাশের তৃতীয় পদ 4এক্স 2 + 6xy + 9y 2 , যথা 9 y 2 হল রাশি 3 এর বর্গ y, যেহেতু (3 y) 2 = 9y 2. মাঝখানে সদস্য ৬ xy, রাশি 2 এর গুণফল এক্সএবং 3 y

সুতরাং, আসুন পার্থক্যটি গুণ করি ( a − খ) যোগফলের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা ক 2 + ab + খ 2

(a − খ)(ক 2 + ab + খ 2) = ক(ক 2 + ab + b 2) − খ(ক 2 + ab + খ 2) =
ক 3 + ক 2 খ + ab 2 − ক 2 খ − ab 2 − খ 3 = ক 3 − খ 3

অর্থাৎ অভিব্যক্তি (a − খ)(ক 2 + ab + খ 2) সমান ক 3 − খ 3

(a − খ)(ক 2 + ab + খ 2) = ক 3 − খ 3

এই পরিচয়কে দুটি রাশির পার্থক্যকে তাদের যোগফলের আংশিক বর্গ দ্বারা গুণ করার সূত্র বলা হয়। এই সূত্রটি এই মত পড়া যেতে পারে:

দুটি রাশির পার্থক্য এবং তাদের যোগফলের আংশিক বর্গক্ষেত্রের গুণফল এই রাশিগুলির ঘনকগুলির পার্থক্যের সমান।

উদাহরণ 1. গুণ সঞ্চালন (2এক্স − 3y)(4এক্স 2 + 6xy + 9y 2)

প্রথম বহুপদ (2 এক্স − 3y) হল দুটি রাশির পার্থক্য 2 এক্সএবং 3 y. দ্বিতীয় বহুপদ 4এক্স 2 + 6xy + 9y 2 এটি দুটি রাশি 2 এর যোগফলের আংশিক বর্গ এক্সএবং 3 y. এটি আপনাকে দীর্ঘ গণনা না করে সূত্রটি ব্যবহার করতে দেয় (a − খ)(ক 2 + ab + খ 2) = ক 3 − খ 3 . আমাদের ক্ষেত্রে, গুণ (2এক্স − 3y)(4এক্স 2 + 6xy + 9y 2) কিউব 2 এর পার্থক্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে এক্সএবং 3 y

(2এক্স − 3y)(4এক্স 2 + 6xy + 9y 2) = (2এক্স) 3 − (3y) 3 = 8এক্স 3 − 27y 3

(a − খ)(ক 2 + ab+ খ 2) = ক 3 − খ 3 . আমরা একই ফলাফল পাব, কিন্তু সমাধান দীর্ঘ হবে:

(2এক্স − 3y)(4এক্স 2 + 6xy + 9y 2) = 2এক্স(4এক্স 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4এক্স 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12এক্স 2 y + 18xy 2 − 12এক্স 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8এক্স 3 − 27y 3

উদাহরণ 2. গুণ সঞ্চালন (3 − এক্স)(9 + 3এক্স + এক্স 2)

প্রথম বহুপদ (3 − এক্স) হল দুটি রাশির পার্থক্য এবং দ্বিতীয় বহুপদ হল এই দুটি রাশির যোগফলের আংশিক বর্গ। এটি আমাদের সূত্রটি ব্যবহার করতে দেয় (a − খ)(ক 2 + ab + খ 2) = ক 3 − খ 3

(3 − এক্স)(9 + 3এক্স + এক্স 2) = 3 3 − এক্স 3 = 27 − এক্স 3

দুটি রাশির যোগফলকে তাদের পার্থক্যের আংশিক বর্গ দ্বারা গুণ করা

এমন সমস্যা আছে যেখানে আপনাকে দুটি রাশির যোগফলকে তাদের পার্থক্যের আংশিক বর্গ দ্বারা গুণ করতে হবে। এই টুকরা এই মত দেখায়:

(a+b)(ক 2 − ab + খ 2)

প্রথম বহুপদ ( a+b (ক 2 − ab + খ 2) এই দুটি রাশির পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ।

পার্থক্যের আংশিক বর্গ হল ফর্মের একটি বহুপদ ক 2 − ab + খ 2 . এটি একটি নিয়মিত পার্থক্য বর্গক্ষেত্র মত দেখায় ক 2 − 2ab + খ 2 তা ছাড়া এতে প্রথম এবং দ্বিতীয় রাশির গুণফল দ্বিগুণ হয় না।

উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি 4এক্স 2 − 6xy + 9y 2 রাশি 2 এর পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ এক্সএবং 3 y

(2এক্স) 2 − 2এক্স× 3 y + (3y) 2 = 4এক্স 2 − 6xy + 9y 2

আসল উদাহরণে ফিরে আসা যাক। যোগফলকে গুণ করা যাক a+bপার্থক্যের আংশিক বর্গ দ্বারা ক 2 − ab + খ 2

(a+b)(ক 2 − ab + খ 2) = ক(ক 2 − ab + b 2) + খ(ক 2 − ab + খ 2) =
ক 3 − ক 2 খ + ab 2 + ক 2 খ − ab 2 + খ 3 = ক 3 + খ 3

অর্থাৎ অভিব্যক্তি (a+b)(ক 2 − ab + খ 2) সমান ক 3 + খ 3

(a+b)(ক 2 − ab + খ 2) = ক 3 + খ 3

এই পরিচয়টিকে দুটি রাশির যোগফলকে তাদের পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা গুণ করার সূত্র বলা হয়। এই সূত্রটি এই মত পড়া যেতে পারে:

দুটি রাশির যোগফল এবং তাদের পার্থক্যের আংশিক বর্গক্ষেত্রের গুণফল এই রাশিগুলির কিউবগুলির যোগফলের সমান।

উদাহরণ 1. গুণ সঞ্চালন (2এক্স + 3y)(4এক্স 2 − 6xy + 9y 2)

প্রথম বহুপদ (2 এক্স + 3y) হল দুটি রাশির সমষ্টি 2 এক্সএবং 3 y, এবং দ্বিতীয় বহুপদ 4এক্স 2 − 6xy + 9y 2 এই রাশিগুলির পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ। এটি আপনাকে দীর্ঘ গণনা না করে সূত্রটি ব্যবহার করতে দেয় (a+b)(ক 2 − ab + খ 2) = ক 3 + খ 3 . আমাদের ক্ষেত্রে, গুণ (2এক্স + 3y)(4এক্স 2 − 6xy + 9y 2) কিউব 2 এর যোগফল দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে এক্সএবং 3 y

(2এক্স + 3y)(4এক্স 2 − 6xy + 9y 2) = (2এক্স) 3 + (3y) 3 = 8এক্স 3 + 27y 3

সূত্র ব্যবহার না করে একই উদাহরণ সমাধান করার চেষ্টা করা যাক (a+b)(ক 2 − ab+ খ 2) = ক 3 + খ 3 . আমরা একই ফলাফল পাব, কিন্তু সমাধান দীর্ঘ হবে:

(2এক্স + 3y)(4এক্স 2 − 6xy + 9y 2) = 2এক্স(4এক্স 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4এক্স 2 − 6xy + 9y 2) =
8এক্স 3 − 12এক্স 2 y + 18xy 2 + 12এক্স 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8এক্স 3 + 27y 3

উদাহরণ 2. গুণ সঞ্চালন (2এক্স+ y)(4এক্স 2 − 2xy + y 2)

প্রথম বহুপদ (2 এক্স+ y) হল দুটি রাশির সমষ্টি এবং দ্বিতীয়টি বহুপদী (4এক্স 2 − 2xy + y 2) এই রাশিগুলির পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ। এটি আমাদের সূত্রটি ব্যবহার করতে দেয় (a+b)(ক 2 − ab+ খ 2) = ক 3 + খ 3

(2এক্স+ y)(4এক্স 2 − 2xy + y 2) = (2এক্স) 3 + y 3 = 8এক্স 3 + y 3

(2এক্স+ y)(4এক্স 2 − 2xy + y 2) = 2এক্স(4এক্স 2 − 2xy + y 2) + y(4এক্স 2 − 2xy + y 2) =
8এক্স 3 − 4এক্স 2 y + 2xy 2 + 4এক্স 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8এক্স 3 + y 3

স্বাধীন সমাধানের জন্য কাজ

আপনি পাঠ পছন্দ করেছেন?
আমাদের নতুন VKontakte গ্রুপে যোগ দিন এবং নতুন পাঠ সম্পর্কে বিজ্ঞপ্তি পেতে শুরু করুন

বীজগাণিতিক বহুপদকে সরল করার জন্য, আছে সংক্ষেপে গুণন সূত্র. তাদের মধ্যে অনেকগুলি নেই এবং সেগুলি মনে রাখা সহজ, তবে আপনাকে সেগুলি মনে রাখতে হবে। সূত্রে ব্যবহৃত স্বরলিপি যেকোনো রূপ নিতে পারে (সংখ্যা বা বহুপদ)।

প্রথম সংক্ষেপে গুণন সূত্র বলা হয় বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য. এটি দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গ থেকে একটি সংখ্যার বর্গ বিয়োগ করে, যা এই সংখ্যাগুলির মধ্যে পার্থক্যের পাশাপাশি তাদের গুণফলের সমান।

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

আসুন স্বচ্ছতার জন্য এটি দেখুন:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

দ্বিতীয় সূত্র সম্পর্কে বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি. মনে হচ্ছে দুই রাশির বর্গের যোগফল প্রথম রাশির বর্গক্ষেত্রের সমান, প্রথম রাশির দ্বিগুণ গুণফলকে দ্বিতীয় দিয়ে গুণ করলে দ্বিতীয় রাশির বর্গ যোগ করা হয়।

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

এই সূত্রটির জন্য ধন্যবাদ, কম্পিউটার প্রযুক্তির ব্যবহার ছাড়াই একটি বড় সংখ্যার বর্গ গণনা করা অনেক সহজ হয়ে যায়।

সুতরাং উদাহরণস্বরূপ: 112 এর বর্গ সমান হবে
1) প্রথমে, আসুন 112 কে এমন সংখ্যায় ভাগ করি যার বর্গগুলি আমাদের কাছে পরিচিত
112 = 100 + 12
2) আমরা বর্গাকার বন্ধনীতে ফলাফল লিখি
112 2 = (100+12) 2
3) সূত্র প্রয়োগ করে, আমরা পাই:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

তৃতীয় সূত্র হল বর্গীয় পার্থক্য. যেটি বলে যে একটি বর্গক্ষেত্রে একে অপরের থেকে বিয়োগ করা দুটি পরিমাণ সমান, কারণ প্রথম পরিমাণের বর্গ থেকে আমরা দ্বিতীয়টি দ্বারা গুণিত প্রথম পরিমাণের দ্বিগুণ গুণফলকে বিয়োগ করি, তাদের সাথে দ্বিতীয় পরিমাণের বর্গ যোগ করি।

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

যেখানে (a - b) 2 সমান (b - a) 2. এটা প্রমাণ করতে, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

সংক্ষিপ্ত গুণের চতুর্থ সূত্র বলা হয় যোগফলের ঘনক. যা এইরকম শোনাচ্ছে: একটি ঘনক্ষেত্রে দুটি সমমানের পরিমাণ 1 পরিমাণের ঘনকের সমান, 1 পরিমাণের বর্গের ত্রিগুণ গুণফলকে 2য় রাশির দ্বারা গুণিত করা হয়, এর সাথে 1 পরিমাণের ত্রিগুণ গুণফলকে 2-এর বর্গ দ্বারা গুণ করা হয়। পরিমাণ, প্লাস দ্বিতীয় পরিমাণ কিউবড।

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

পঞ্চম, আপনি ইতিমধ্যে বুঝতে পেরেছেন, বলা হয় পার্থক্য ঘনক. যা পরিমাণের মধ্যে পার্থক্য খুঁজে বের করে, যেমন ঘনক্ষেত্রের প্রথম স্বরলিপি থেকে আমরা দ্বিতীয় দ্বারা গুণিত বর্গক্ষেত্রে প্রথম স্বরলিপির ত্রিগুণ গুণফলকে বিয়োগ করি, তাদের সাথে দ্বিতীয়টির বর্গ দ্বারা গুণিত প্রথম স্বরলিপির ত্রিগুণ গুণফল যোগ করা হয়। স্বরলিপি, ঘনক্ষেত্রে দ্বিতীয় স্বরলিপি বিয়োগ।

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

ষষ্ঠকে বলা হয়- কিউবের সমষ্টি. কিউবগুলির যোগফল পার্থক্যের আংশিক বর্গ দ্বারা গুণিত দুটি যোগের গুণফলের সমান, যেহেতু মাঝখানে কোন দ্বিগুণ মান নেই।

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

কিউবের সমষ্টি বলার আরেকটি উপায় হল পণ্যটিকে দুটি বন্ধনীতে কল করা।

সপ্তম এবং শেষ এক বলা হয় কিউব পার্থক্য(এটি পার্থক্য ঘনক সূত্রের সাথে সহজেই বিভ্রান্ত হতে পারে, তবে এগুলি ভিন্ন জিনিস)। ঘনক্ষেত্রের পার্থক্যটি যোগফলের আংশিক বর্গ দ্বারা গুণিত দুটি পরিমাণের পার্থক্যের গুণফলের সমান, যেহেতু মাঝখানে কোন দ্বিগুণ মান নেই।

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

এবং তাই সংক্ষিপ্ত গুণের জন্য শুধুমাত্র 7 টি সূত্র রয়েছে, তারা একে অপরের সাথে একই রকম এবং মনে রাখা সহজ, একমাত্র গুরুত্বপূর্ণ জিনিসটি লক্ষণগুলিতে বিভ্রান্ত না হওয়া। এগুলি বিপরীত ক্রমে ব্যবহার করার জন্যও ডিজাইন করা হয়েছে এবং পাঠ্যপুস্তকে বেশ কয়েকটি এ জাতীয় কাজ রয়েছে। সতর্ক থাকুন এবং সবকিছু আপনার জন্য কাজ করবে।

সূত্র সম্পর্কে আপনার যদি প্রশ্ন থাকে তবে মন্তব্যে সেগুলি লিখতে ভুলবেন না। আমরা আপনাকে উত্তর দিতে খুশি হবে!

আপনি যদি মাতৃত্বকালীন ছুটিতে থাকেন তবে অর্থ উপার্জন করতে চান। শুধু Oriflame এর সাথে ইন্টারনেট ব্যবসার লিঙ্কটি অনুসরণ করুন। সেখানে সবকিছু বিস্তারিতভাবে লেখা এবং দেখানো হয়েছে। এটা মজাদার হবে!