U trigonometriji je mnoge formule lakše izvesti nego zapamtiti. Kosinus dvostrukog ugla je divna formula! Omogućava vam da dobijete formule za smanjenje stupnjeva i formule za pola kutova.
Dakle, trebamo kosinus dvostrukog ugla i trigonometrijsku jedinicu:
Oni su čak i slični: u formuli kosinusa dvostrukog ugla to je razlika između kvadrata kosinusa i sinusa, au trigonometrijskoj jedinici to je njihov zbir. Ako kosinus izrazimo iz trigonometrijske jedinice:
i zamenimo ga kosinusom dvostrukog ugla, dobijamo:
Ovo je još jedna formula dvostrukog ugla kosinusa:
Ova formula je ključ za dobivanje formule redukcije:
Dakle, formula za smanjenje stepena sinusa je:
Ako se u njemu alfa ugao zameni sa pola ugla alfa na pola, a dvostruki ugao dva alfa zameni alfa uglom, tada dobijamo formulu pola ugla za sinus:
Sada možemo izraziti sinus iz trigonometrijske jedinice:
Zamijenimo ovaj izraz u formulu kosinusa dvostrukog ugla:
Dobili smo još jednu formulu za kosinus dvostrukog ugla:
Ova formula je ključ za pronalaženje formule za smanjenje snage kosinusa i pola ugla za kosinus.
Dakle, formula za smanjenje stepena kosinusa je:
Ako zamijenimo α sa α/2, a 2α sa α, dobićemo formulu za polovični argument za kosinus:
Budući da je tangent omjer sinusa i kosinusa, formula za tangent je:
Kotangens je omjer kosinusa i sinusa. Dakle, formula za kotangens je:
Naravno, u procesu pojednostavljivanja trigonometrijskih izraza, nema smisla izvoditi formulu za pola ugla ili svaki put smanjivati stepen. Mnogo je lakše staviti pred sebe list papira sa formulama. I pojednostavljivanje će se kretati brže, a vizualna memorija će uključiti pamćenje.
Ali ipak vrijedi izvući ove formule nekoliko puta. Tada ćete biti potpuno sigurni da ćete ih tokom ispita, kada nije moguće koristiti varalicu, lako dobiti ako se ukaže potreba.
Vrijednosti sinusa su sadržane u intervalu [-1; 1], tj. -1 ≤ sin α ≤ 1. Prema tome, ako je |a| > 1, tada jednačina sin x = a nema korijena. Na primjer, jednadžba sin x = 2 nema korijen.
Pogledajmo neke probleme.
Riješite jednačinu sin x = 1/2.
Rješenje.
Imajte na umu da je sin x ordinata tačke na jediničnom krugu, koja se dobija rotiranjem tačke P (1; 0) za ugao x oko početka.
U dvije tačke kružnice M 1 i M 2 nalazi se ordinata jednaka ½.
Kako je 1/2 = sin π/6, onda se tačka M 1 dobija iz tačke P (1; 0) rotacijom za ugao x 1 = π/6, kao i za uglove x = π/6 + 2πk, gde je k = +/-1, +/-2, …
Tačka M 2 se dobija iz tačke P (1; 0) kao rezultat rotacije za ugao x 2 = 5π/6, kao i za uglove x = 5π/6 + 2πk, gde je k = +/-1, + /-2, ... , tj. pod uglovima x = π – π/6 + 2πk, gdje je k = +/-1, +/-2, ….
Dakle, svi korijeni jednadžbe sin x = 1/2 mogu se pronaći pomoću formula x = π/6 + 2πk, x = π – π/6 + 2πk, gdje je k € Z.
Ove formule se mogu kombinovati u jednu: x = (-1) n π/6 + πn, gde je n € Z (1).
Zaista, ako je n paran broj, tj. n = 2k, onda iz formule (1) dobijamo x = π/6 + 2πk, a ako je n neparan broj, tj. n = 2k + 1, onda iz formule (1) dobijamo x = π – π/6 + 2πk.
Odgovori. x = (-1) n π/6 + πn, gdje je n € Z.
Riješite jednačinu sin x = -1/2.
Rješenje.
Ordinata -1/2 ima dvije tačke jedinične kružnice M 1 i M 2, gdje je x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Prema tome, svi korijeni jednadžbe sin x = -1/2 mogu se pronaći pomoću formula x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k € Z.
Ove formule možemo kombinovati u jednu: x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z (2).
Zaista, ako je n = 2k, onda pomoću formule (2) dobijamo x = -π/6 + 2πk, a ako je n = 2k – 1, onda pomoću formule (2) nalazimo x = -5π/6 + 2πk.
Odgovori. x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z.
Dakle, svaka od jednačina sin x = 1/2 i sin x = -1/2 ima beskonačan broj korijena.
Na segmentu -π/2 ≤ x ≤ π/2, svaka od ovih jednačina ima samo jedan korijen:
x 1 = π/6 je korijen jednačine sin x = 1/2, a x 1 = -π/6 je korijen jednačine sin x = -1/2.
Broj π/6 naziva se arksinus broja 1/2 i piše se: arcsin 1/2 = π/6; broj -π/6 naziva se arksinus broja -1/2 i piše se: arcsin (-1/2) = -π/6.
Općenito, jednačina sin x = a, gdje je -1 ≤ a ≤ 1, ima samo jedan korijen na segmentu -π/2 ≤ x ≤ π/2. Ako je a ≥ 0, tada je korijen sadržan u intervalu; ako a< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Dakle, arksinus broja a € [–1; 1] takav broj se naziva € [–π/2; π/2], čiji je sinus jednak a.
arcsin a = α, ako je sin α = a i -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
Na primjer, arcsin √2/2 = π/4, jer sin π/4 = √2/2 i – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, jer sin (-π/3) = -√3/2 i – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
Na isti način kao što je učinjeno pri rješavanju zadataka 1 i 2, može se pokazati da su korijeni jednačine sin x = a, gdje je |a| ≤ 1, izraženo formulom
x = (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4).
Također možemo dokazati da za bilo koje a € [-1; 1] formula arcsin (-a) = -arcsin a je važeća.
Iz formule (4) slijedi da su korijeni jednadžbe
sin x = a za a = 0, a = 1, a = -1 može se pronaći pomoću jednostavnijih formula:
sin x = 0 x = πn, n € Z (5)
sin x = 1 x = π/2 + 2πn, n € Z (6)
sin x = -1 x = -π/2 + 2πn, n € Z (7)
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
|BD| - dužina luka kružnice sa centrom u tački A.
α je ugao izražen u radijanima.
tangenta ( tan α) je trigonometrijska funkcija koja zavisi od ugla α između hipotenuze i kraka pravouglog trougla, jednaka odnosu dužine suprotne krake |BC| na dužinu susedne noge |AB| .
kotangens ( ctg α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine susjednog kraka |AB| na dužinu suprotne noge |BC| .
Tangenta
Gdje n- cela.
U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
;
;
.
Grafikon tangentne funkcije, y = tan x
Kotangens
Gdje n- cela.
U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Sljedeće oznake su također prihvaćene:
;
;
.
Grafikon kotangens funkcije, y = ctg x
Svojstva tangente i kotangensa
Periodičnost
Funkcije y = tg x i y = ctg x su periodične sa periodom π.
Paritet
Tangentne i kotangensne funkcije su neparne.
Područja definicije i vrijednosti, povećanje, smanjenje
Tangentne i kotangensne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangente i kotangensa prikazana su u tabeli ( n- cijeli).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Obim i kontinuitet | ||
| Raspon vrijednosti | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Povećanje | - | |
| Silazno | - | |
| Ekstremi | - | - |
| Nule, y = 0 | ||
| Točke preseka sa ordinatnom osom, x = 0 | y = 0 | - |
Formule
Izrazi koji koriste sinus i kosinus
;
;
;
;
;
Formule za tangentu i kotangens iz zbira i razlike
Preostale formule je lako dobiti, na primjer
Proizvod tangenti
Formula za zbir i razliku tangenta
Ova tabela prikazuje vrijednosti tangenta i kotangensa za određene vrijednosti argumenta. 
Izrazi koji koriste kompleksne brojeve
Izrazi kroz hiperboličke funkcije
;
;
Derivati
; .
.
Derivat n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu > > > ; za kotangens > > >
Integrali
Proširenja serije
Da biste dobili ekspanziju tangente po stepenu x, potrebno je uzeti nekoliko članova proširenja u nizu stepena za funkcije sin x I cos x i podijeliti ove polinome jedni s drugima, . Ovo proizvodi sljedeće formule.
U .
u .
Gdje Bn- Bernulijevi brojevi. One se određuju ili iz relacije recidiva:
;
;
Gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli: 
Inverzne funkcije
Inverzne funkcije tangente i kotangensa su arktangens i arkkotangens, respektivno.
Arktangent, arctg
, Gdje n- cela.
Arkotangenta, arcctg
, Gdje n- cela.
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.
G. Korn, Priručnik iz matematike za naučnike i inženjere, 2012.
Najjednostavniji trigonometrijski identiteti
Kvocijent dijeljenja sinusa ugla alfa kosinusom istog ugla jednak je tangentu ovog ugla (Formula 1). Vidi i dokaz ispravnosti transformacije najjednostavnijih trigonometrijskih identiteta.
Kvocijent dijeljenja kosinusa ugla alfa sa sinusom istog ugla jednak je kotangensu istog ugla (Formula 2)
Sekansa ugla jednaka je jedinici podijeljenoj kosinusom istog ugla (Formula 3)
Zbir kvadrata sinusa i kosinusa istog ugla jednak je jedan (Formula 4). vidi i dokaz zbira kvadrata kosinusa i sinusa.
Zbir jedinice i tangenta ugla jednak je omjeru jedan i kvadrata kosinusa ovog ugla (Formula 5)
Jedan plus kotangens ugla jednak je količniku jedan podijeljen sa sinusnim kvadratom ovog ugla (Formula 6)
Proizvod tangente i kotangensa istog ugla jednak je jedan (Formula 7).
Pretvaranje negativnih uglova trigonometrijskih funkcija (parnih i neparnih)
Da biste se riješili negativne vrijednosti stepena mjere kuta pri izračunavanju sinusa, kosinusa ili tangente, možete koristiti sljedeće trigonometrijske transformacije (identitete) zasnovane na principima parnih ili neparnih trigonometrijskih funkcija.
kao što se vidi, kosinus a sekansa je ravnomjerna funkcija, sinus, tangent i kotangens su neparne funkcije.
Sinus negativnog ugla jednak je negativnoj vrijednosti sinusa istog pozitivnog ugla (minus sinus alfa).
Kosinus minus alfa će dati istu vrijednost kao kosinus alfa ugla.
Tangenta minus alfa je jednaka minus tangenta alfa.
Formule za smanjenje dvostrukih uglova (sinus, kosinus, tangenta i kotangens dvostrukih uglova)
Ako trebate podijeliti ugao na pola, ili obrnuto, preći iz dvostrukog ugao u jedan, možete koristiti sljedeće trigonometrijske identitete:
Double Angle Conversion (sinus dvostrukog ugla, kosinus dvostrukog ugla i tangens dvostrukog ugla) u singlu se javlja prema sljedećim pravilima:
Sinus dvostrukog ugla jednak dvostrukom umnošku sinusa i kosinusa jednog ugla
Kosinus dvostrukog ugla jednaka je razlici između kvadrata kosinusa jednog ugla i kvadrata sinusa ovog ugla
Kosinus dvostrukog ugla jednak dvostrukom kvadratu kosinusa jednog ugla minus jedan
Kosinus dvostrukog ugla jednako jednom minus dvostruki sinus na kvadrat jednostrukog kuta
Tangenta dvostrukog ugla jednak je razlomku čiji je brojilac dvostruki tangent jednog ugla, a imenilac je jednak jedan minus tangenta na kvadrat jednog ugla.
Kotangens dvostrukog ugla jednak je razlomku čiji je brojilac kvadrat kotangensa jednog ugla minus jedan, a imenilac je jednak dvostrukom kotangensu jednog ugla
Formule za univerzalnu trigonometrijsku supstituciju
Formule konverzije u nastavku mogu biti korisne kada trebate podijeliti argument trigonometrijske funkcije (sin α, cos α, tan α) sa dva i svesti izraz na vrijednost od pola ugla. Iz vrijednosti α dobijamo α/2.Ove formule se nazivaju formule univerzalne trigonometrijske supstitucije. Njihova vrijednost je u tome što se uz njihovu pomoć trigonometrijski izraz svodi na izražavanje tangente pola ugla, bez obzira na to koje su trigonometrijske funkcije (sin cos tan ctg) izvorno bile u izrazu. Nakon toga, jednadžba s tangentom pola ugla je mnogo lakše riješiti.
Trigonometrijski identiteti za transformacije poluugla
Slijede formule za trigonometrijsku konverziju pola ugla u njegovu cijelu vrijednost.Vrijednost argumenta trigonometrijske funkcije α/2 svodi se na vrijednost argumenta trigonometrijske funkcije α.
Trigonometrijske formule za sabiranje uglova
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Tangenta i kotangensa zbira uglova alfa i beta mogu se konvertirati korištenjem sljedećih pravila za pretvaranje trigonometrijskih funkcija:
Tangenta zbira uglova jednak je razlomku čiji je brojilac zbir tangente prvog i tangenta drugog ugla, a nazivnik je jedan minus proizvod tangente prvog ugla i tangente drugog ugla.
Tangent razlike uglova jednak je razlomku čiji je brojnik jednak razlici između tangente ugla koji se smanjuje i tangente ugla koji se oduzima, a imenilac je jedan plus proizvod tangenta ovih uglova.
Kotangens zbira uglova jednak je razlomku čiji je brojilac jednak umnošku kotangensa ovih uglova plus jedan, a nazivnik je jednak razlici između kotangensa drugog ugla i kotangensa prvog ugla.
Kotangens razlike uglova jednak je razlomku čiji je brojilac proizvod kotangensa ovih uglova minus jedan, a imenilac je jednak zbiru kotangensa ovih uglova.
Ovi trigonometrijski identiteti su zgodni za korištenje kada trebate izračunati, na primjer, tangent od 105 stepeni (tg 105). Ako ga zamislite kao tg (45 + 60), onda možete koristiti date identične transformacije tangenta zbira uglova, a zatim jednostavno zamijeniti tabelarne vrijednosti tangente 45 i tangente 60 stepeni.
Formule za pretvaranje zbira ili razlike trigonometrijskih funkcija
Izrazi koji predstavljaju zbir oblika sin α + sin β mogu se transformirati pomoću sljedećih formula:
Formule trostrukog ugla - pretvaranje sin3α cos3α tan3α u sinα cosα tanα
Ponekad je potrebno transformirati trostruku vrijednost ugla tako da argument trigonometrijske funkcije postane ugao α umjesto 3α.U ovom slučaju možete koristiti formule za transformaciju trostrukog ugla (identitete):
Formule za pretvaranje proizvoda trigonometrijskih funkcija
Ako postoji potreba za transformacijom proizvoda sinusa različitih uglova, kosinusa različitih uglova ili čak proizvoda sinusa i kosinusa, tada možete koristiti sljedeće trigonometrijske identitete:
U ovom slučaju, proizvod sinusnih, kosinusnih ili tangentnih funkcija različitih uglova će se pretvoriti u zbroj ili razliku.
Formule za redukciju trigonometrijskih funkcija
Trebate koristiti tablicu redukcije na sljedeći način. U liniji biramo funkciju koja nas zanima. U koloni se nalazi ugao. Na primjer, sinus ugla (α+90) na presjeku prvog reda i prve kolone, saznajemo da je sin (α+90) = cos α.
Učitavanje...