U ovoj lekciji nastavljamo da proučavamo derivate funkcija i prelazimo na napredniju temu, naime, derivate proizvoda i količnika. Ako ste gledali prethodnu lekciju, vjerovatno ste shvatili da smo razmatrali samo najjednostavnije konstrukcije, odnosno izvod funkcije stepena, zbir i razliku. Konkretno, naučili smo da je derivacija zbira jednaka njihovom zbiru, a derivacija razlike jednaka njihovoj razlici. Nažalost, u slučaju kvocijenata i derivata proizvoda, formule će biti mnogo složenije. Počećemo sa formulom za derivaciju proizvoda funkcija.
Derivati trigonometrijskih funkcija
Za početak, dozvolite mi da napravim malu lirsku digresiju. Činjenica je da ćemo pored standardne funkcije snage - $y=((x)^(n))$, u ovoj lekciji naići i na druge funkcije, naime, $y=\sin x$, kao i $ y=\ cos x$ i druga trigonometrija - $y=tgx$ i, naravno, $y=ctgx$.
Ako svi savršeno dobro znamo izvod funkcije stepena, naime $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, onda kao za trigonometrijske funkcije, potrebno je posebno spomenuti. Hajde da to zapišemo:
\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
Ali vi vrlo dobro znate ove formule, idemo dalje.
Šta je derivat proizvoda?
Prvo, najvažnija stvar: ako je funkcija proizvod dvije druge funkcije, na primjer, $f\cdot g$, tada će derivacija ove konstrukcije biti jednaka sljedećem izrazu:
Kao što vidite, ova formula je značajno drugačija i složenija od formula koje smo ranije pogledali. Na primjer, derivacija sume se izračunava na elementaran način - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, ili derivat od razlika, koja se takođe izračunava na elementaran način - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.
Pokušajmo primijeniti prvu formulu za izračunavanje izvoda dviju funkcija koje su nam date u zadatku. Počnimo s prvim primjerom:
Očigledno, sljedeća konstrukcija djeluje kao proizvod, tačnije, kao množitelj: $((x)^(3))$, možemo ga smatrati $f$, a $\left(x-5 \right) $ možemo smatrati kao $g$. Tada će njihov proizvod biti upravo proizvod dvije funkcije. Odlučujemo:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \desno))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ desno))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].
Pogledajmo pobliže svaki naš termin. Vidimo da i prvi i drugi član sadrže stepen $x$: u prvom slučaju to je $((x)^(2))$, au drugom je $((x)^(3)) $. Uzmimo najmanji stepen iz zagrada, ostavljajući u zagradama:
\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \desno)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(poravnati)\]
To je to, našli smo odgovor.
Vratimo se našim problemima i pokušajmo ih riješiti:
Dakle, hajde da prepišemo:
Opet, napominjemo da govorimo o proizvodu proizvoda dvije funkcije: $x$, koji se može označiti sa $f$, i $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, koji može biti označeno sa $g$.
Dakle, opet imamo pred sobom proizvod dvije funkcije. Da bismo pronašli derivaciju funkcije $f\left(x \right)$, ponovo ćemo koristiti našu formulu. Dobijamo:
\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \desno))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]
Odgovor je pronađen.
Zašto faktorski derivati?
Upravo smo koristili nekoliko vrlo važnih matematičkih činjenica, koje same po sebi nisu vezane za derivate, ali bez njihovog znanja, svako dalje proučavanje ove teme jednostavno nema smisla.
Prvo, rješavajući prvi problem i već smo se riješili svih znakova derivacija, iz nekog razloga smo počeli faktorizirati ovaj izraz.
Drugo, prilikom rješavanja sljedećeg zadatka, nekoliko puta smo prelazili s korijena na stepen s racionalnim eksponentom i nazad, koristeći formulu za 8-9. razred, koju bi vrijedilo posebno ponoviti.
Što se tiče faktorizacije - zašto su potrebni svi ti dodatni napori i transformacije? U stvari, ako problem jednostavno kaže “pronađi derivaciju funkcije”, onda ovi dodatni koraci nisu potrebni. Međutim, u stvarnim problemima koji vas čekaju na svim vrstama ispita i testova, jednostavno pronalaženje izvedenice često nije dovoljno. Činjenica je da je izvod samo alat pomoću kojeg možete saznati, na primjer, povećanje ili smanjenje funkcije, a za to morate riješiti jednadžbu i faktorizirati je. I tu će ova tehnika biti vrlo prikladna. I općenito, mnogo je zgodnije i ugodnije raditi s funkcijom faktoriziranom u budućnosti ako su potrebne bilo kakve transformacije. Stoga, pravilo br. 1: ako se izvod može faktorizirati, to je ono što biste trebali učiniti. I odmah pravilo br. 2 (u suštini, ovo je materijal za 8.-9. razred): ako problem sadrži korijen n--ti stepen, a korijen je očito veći od dva, onda se ovaj korijen može zamijeniti običnim stepenom sa racionalnim eksponentom, a u eksponentu će se pojaviti razlomak, gdje n― upravo taj stepen ― će biti u nazivniku ovog razlomka.
Naravno, ako postoji neki stepen ispod korena (u našem slučaju to je stepen k), onda ne ide nikuda, već jednostavno završi u brojniku upravo ovog stepena.
Sada kada ste sve ovo razumjeli, vratimo se na izvode proizvoda i izračunajmo još nekoliko jednačina.
Ali prije nego što pređemo direktno na proračune, želio bih vas podsjetiti na sljedeće obrasce:
\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Razmotrimo prvi primjer:
Opet imamo proizvod dvije funkcije: prva je $f$, druga je $g$. Dozvolite mi da vas podsjetim na formulu:
\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]
Hajde da odlučimo:
\[\begin(align)& (y)"=((\left((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \desno) \\\end(align)\]
Pređimo na drugu funkciju:
Opet, $\left(3x-2 \right)$ je funkcija od $f$, $\cos x$ je funkcija od $g$. Ukupno, derivacija proizvoda dvije funkcije bit će jednaka:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ lijevo(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \desno)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \desno)\cdot \sin x \\\end(align)\]
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]
Zapišimo to posebno:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \desno)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]
Ovaj izraz ne činimo faktorima, jer ovo još nije konačan odgovor. Sada moramo riješiti drugi dio. Hajde da to ispišemo:
\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]
Sada se vratimo našem prvobitnom zadatku i sastavite sve u jednu strukturu:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]
To je to, ovo je konačan odgovor.
Prijeđimo na posljednji primjer - on će biti najsloženiji i najobimniji u smislu proračuna. Dakle, primjer:
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]
Svaki dio posebno računamo:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \desno)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Vraćajući se na originalnu funkciju, izračunajmo njenu derivaciju u cjelini:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
To je, u stvari, sve što sam hteo da vam kažem o izvedenim delima. Kao što vidite, glavni problem formule nije u njenom pamćenju, već u činjenici da uključuje prilično veliku količinu proračuna. Ali to je u redu, jer sada prelazimo na izvod kvocijenta, gdje ćemo morati jako puno raditi.
Šta je derivat količnika?
Dakle, formula za izvod količnika. Ovo je možda najsloženija formula u školskom kursu o izvedenicama. Recimo da imamo funkciju oblika $\frac(f)(g)$, gdje su $f$ i $g$ također funkcije iz kojih također možemo ukloniti prost. Zatim će se izračunati prema sljedećoj formuli:
Brojnik nas donekle podsjeća na formulu za izvod proizvoda, ali između članova postoji znak minus, a nazivniku je dodan i kvadrat originalnog nazivnika. Pogledajmo kako ovo funkcionira u praksi:
Pokušajmo riješiti:
\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \desno))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]
Predlažem da svaki dio napišete posebno i zapišete:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ desno))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(poravnati)\]
Prepišimo naš izraz:
\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\levo(x+2 \desno))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\levo(x+2 \desno))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\levo(x+2 \desno) ))^(2))) \\\end(align)\]
Našli smo odgovor. Pređimo na drugu funkciju:
Sudeći po činjenici da mu je brojilac jednostavno jedan, izračuni će ovdje biti malo jednostavniji. Dakle, napišimo:
\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \desno)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\levo(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]
Izračunajmo svaki dio primjera posebno:
\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \desno))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]
Prepišimo naš izraz:
\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)((\left(((x)^(2) )+4 \desno))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]
Našli smo odgovor. Kao što se i očekivalo, ispostavilo se da je količina proračuna znatno manja nego za prvu funkciju.
Koja je razlika između oznaka?
Pažljivi učenici vjerovatno već imaju pitanje: zašto u nekim slučajevima funkciju označavamo sa $f\left(x \right)$, a u drugim slučajevima jednostavno pišemo $y$? Zapravo, sa stanovišta matematike, nema apsolutno nikakve razlike - imate pravo koristiti i prvu oznaku i drugu, a neće biti kazni na ispitima ili testovima. Za one koje još zanima, objasniću zašto autori udžbenika i zadataka u nekim slučajevima pišu $f\left(x \right)$, a u drugim (mnogo češće) - jednostavno $y$. Činjenica je da pisanjem funkcije u obliku \ implicitno nagovještavamo onima koji čitaju naše proračune da govorimo upravo o algebarskoj interpretaciji funkcionalne ovisnosti. Odnosno, postoji određena varijabla $x$, razmatramo zavisnost od ove varijable i označavamo je $f\left(x \right)$. U isto vrijeme, nakon što je vidio takvu oznaku, onaj koji čita vaše proračune, na primjer, inspektor, podsvjesno će očekivati da ga u budućnosti čekaju samo algebarske transformacije - bez grafova i bez geometrije.
S druge strane, koristeći notacije oblika \, tj. označavajući varijablu jednim slovom, odmah jasno stavljamo do znanja da nas u budućnosti zanima geometrijska interpretacija funkcije, tj. sve, u svom grafikonu. Shodno tome, kada se suoči sa zapisom forme\, čitalac ima pravo da očekuje grafičke proračune, odnosno grafikone, konstrukcije itd., ali ni u kom slučaju analitičke transformacije.
Takođe bih želeo da vam skrenem pažnju na jednu karakteristiku dizajna zadataka koje danas razmatramo. Mnogi studenti misle da dajem previše detaljne kalkulacije, a mnoge od njih mogu se preskočiti ili jednostavno riješiti u glavi. Međutim, upravo tako detaljan zapis će vam omogućiti da se riješite uvredljivih grešaka i značajno povećate postotak ispravno riješenih problema, na primjer, u slučaju samopripreme za testove ili ispite. Stoga, ako još uvijek niste sigurni u svoje sposobnosti, ako tek počinjete proučavati ovu temu, nemojte žuriti - opišite svaki korak do detalja, zapišite svaki faktor, svaki potez i vrlo brzo ćete naučiti bolje rješavati takve primjere od mnogih školskih nastavnika. Nadam se da je ovo jasno. Nabrojimo još nekoliko primjera.
Nekoliko zanimljivih zadataka
Ovog puta, kao što vidimo, trigonometrija je prisutna u izvodnicama koje se računaju. Stoga, da vas podsjetim na sljedeće:
\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]
Naravno, ne možemo bez derivacije količnika, odnosno:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Razmotrimo prvu funkciju:
\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(poravnati)\]
Tako smo pronašli rješenje za ovaj izraz.
Pređimo na drugi primjer:
Očigledno, njegov izvod će biti složeniji, makar samo zato što je trigonometrija prisutna i u brojniku i u nazivniku ove funkcije. Odlučujemo:
\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]
Imajte na umu da imamo derivat proizvoda. U ovom slučaju će biti jednako:
\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ desno))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]
Vratimo se našim proračunima. Zapisujemo:
\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)((\cos )^(2))x) \\\end(poravnati)\]
To je sve! Izračunali smo.
Kako svesti izvod količnika na jednostavnu formulu za derivaciju proizvoda?
I ovdje bih želio napraviti jednu vrlo važnu primjedbu u vezi sa trigonometrijskim funkcijama. Činjenica je da naša originalna konstrukcija sadrži izraz oblika $\frac(\sin x)(\cos x)$, koji se lako može zamijeniti jednostavno sa $tgx$. Dakle, izvod količnika svodimo na jednostavniju formulu za izvod proizvoda. Izračunajmo ponovo ovaj primjer i uporedimo rezultate.
Dakle, sada moramo razmotriti sljedeće:
\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Prepišimo našu originalnu funkciju $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ uzimajući u obzir ovu činjenicu. Dobijamo:
izbrojimo:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]
Sada, ako uporedimo dobijeni rezultat sa onim što smo ranije dobili pri računanju na drugačiji način, onda ćemo se uveriti da smo dobili isti izraz. Dakle, bez obzira kojim putem idemo pri izračunavanju derivacije, ako je sve ispravno izračunato, onda će odgovor biti isti.
Važne nijanse pri rješavanju problema
U zaključku, želio bih vam reći još jednu suptilnost u vezi s izračunavanjem derivata količnika. Ono što ću vam sada reći nije bilo u originalnom scenariju video lekcije. Međutim, nekoliko sati prije snimanja, učio sam s jednim od svojih učenika i upravo smo razgovarali o temi kvocijentnih derivata. I, kako se ispostavilo, mnogi studenti ne razumiju ovu poentu. Dakle, recimo da moramo izračunati potez uklanjanja sljedeće funkcije:
U principu, na prvi pogled u tome nema ničeg natprirodnog. Međutim, u procesu proračuna možemo napraviti mnogo glupih i uvredljivih grešaka, o kojima bih sada želio da razgovaramo.
Dakle, izračunavamo ovu derivaciju. Prije svega, napominjemo da imamo pojam $3((x)^(2))$, pa je prikladno podsjetiti se na sljedeću formulu:
\[((\left(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Osim toga, imamo pojam $\frac(48)(x)$ - bavit ćemo se njime kroz izvod količnika, odnosno:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Dakle, odlučimo:
\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]
Sa prvim mandatom nema problema, pogledajte:
\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]
Ali sa prvim članom, $\frac(48)(x)$, morate raditi odvojeno. Činjenica je da mnogi studenti brkaju situaciju kada treba da pronađu $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ i kada treba da pronađu $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. To jest, oni se zbune kada je konstanta u nazivniku i kada je konstanta u brojniku, respektivno, kada je varijabla u brojniku ili u nazivniku.
Počnimo s prvom opcijom:
\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]
S druge strane, ako pokušamo da uradimo isto sa drugim razlomkom, dobićemo sledeće:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right) ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Međutim, isti primjer bi se mogao izračunati drugačije: u fazi u kojoj smo prešli na derivaciju kvocijenta, možemo smatrati $\frac(1)(x)$ kao potenciju sa negativnim eksponentom, tj. dobijamo sljedeće :
\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \desno))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]
I tako, i tako smo dobili isti odgovor.
Tako smo se još jednom uvjerili u dvije važne činjenice. Prvo, isti izvod se može izračunati na potpuno različite načine. Na primjer, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ može se smatrati i kao izvod količnika i kao izvod funkcije stepena. Štaviše, ako se svi proračuni izvode ispravno, onda će odgovor uvijek biti isti. Drugo, kada se računaju derivati koji sadrže i varijablu i konstantu, fundamentalno je važno gdje se varijabla nalazi - u brojniku ili u nazivniku. U prvom slučaju, kada je varijabla u brojniku, dobijamo jednostavnu linearnu funkciju koja se lako može izračunati. A ako je varijabla u nazivniku, onda dobijamo složeniji izraz s prethodno datim popratnim proračunima.
U ovom trenutku lekcija se može smatrati završenom, pa ako ne razumijete ništa o izvedenicama količnika ili proizvoda, i općenito, ako imate bilo kakvih pitanja na ovu temu, ne oklijevajte - idite na moju web stranicu , pišite, zovite, i svakako ću probati mogu li vam pomoći.
Derivati sami po sebi nisu kompleksna tema, ali su veoma opsežni, a ono što sada proučavamo koristit će se u budućnosti pri rješavanju složenijih problema. Zato je bolje odmah, odmah, identifikovati sve nesporazume vezane za izračunavanje izvoda količnika ili proizvoda. Ne kada su ogromna gruda nesporazuma, već kada su mala teniska loptica s kojom je lako izaći na kraj.
Rješavanje fizičkih zadataka ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njeno izračunavanje. Izvod je jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Šta je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati izvod funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?
Geometrijsko i fizičko značenje derivacije
Neka postoji funkcija f(x) , specificirano u određenom intervalu (a, b) . Tačke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:
Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.
Inače se može napisati ovako:
Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo šta je to:
derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.
Fizičko značenje izvedenice: derivacija putanje u odnosu na vrijeme jednaka je brzini pravolinijskog kretanja.
Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom periodu:
Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:
Prvo pravilo: postavite konstantu
Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, obavezno ga pojednostavite .
Primjer. Izračunajmo derivaciju:
Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija
Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.
Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.
Pronađite izvod funkcije:
Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija
Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:
Primjer: pronađite derivaciju funkcije:
Rješenje: 
Ovdje je važno govoriti o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Derivat kompleksne funkcije jednak je proizvodu izvoda ove funkcije u odnosu na međuargument i derivacije međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu.
U gornjem primjeru nailazimo na izraz:
U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim pomnožimo sa derivacijom samog međuargumena u odnosu na nezavisnu varijablu.
Četvrto pravilo: derivacija količnika dvije funkcije
Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:
Pokušali smo da pričamo o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.
Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najteži test i shvatite zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izračunavanja izvedenica.
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.
Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definirana pravila diferencijacije. . Prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata bili su Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu derivati i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.
Da nađemo derivat, potreban vam je izraz pod predznakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Zatim pronalazimo izvode elementarnih funkcija u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Izvodna tablica i pravila diferencijacije dati su nakon prva dva primjera.
Primjer 1. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.
Iz tabele izvoda saznajemo da je izvod "x" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i pronalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:
Primjer 2. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. Razlikujemo kao derivaciju sume u kojoj drugi član ima konstantan faktor; može se izvaditi iz predznaka izvoda:
Ako se i dalje postavljaju pitanja o tome odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon upoznavanja s tablicom izvedenica i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Prelazimo na njih upravo sada.
Tablica izvoda jednostavnih funkcija
| 1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek jednako nuli. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno | |
| 2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti dugo vremena | |
| 3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije. | |
| 4. Derivat varijable na stepen -1 | |
| 5. Derivat kvadratnog korijena | |
| 6. Derivat sinusa | |
| 7. Derivat kosinusa |  |
| 8. Derivat tangente |  |
| 9. Derivat kotangensa |  |
| 10. Derivat od arcsinusa |  |
| 11. Derivat arkosinusa |  |
| 12. Derivat arktangensa |  |
| 13. Derivat arc kotangensa |  |
| 14. Derivat prirodnog logaritma | |
| 15. Derivat logaritamske funkcije |  |
| 16. Derivat eksponenta | |
| 17. Derivat eksponencijalne funkcije |
Pravila diferencijacije
| 1. Derivat zbira ili razlike |  |
| 2. Derivat proizvoda |  |
| 2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom | |
| 3. Derivat količnika |  |
| 4. Derivat kompleksne funkcije |  |
Pravilo 1.Ako funkcije
su diferencibilne u nekoj tački, onda su funkcije diferencibilne u istoj tački
i
one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.
Posljedica. Ako se dvije diferencijabilne funkcije razlikuju po konstantnom članu, onda su njihovi derivati jednaki, tj.
Pravilo 2.Ako funkcije
su diferencibilni u nekom trenutku, onda je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački
i
one. Izvod proizvoda dvije funkcije jednak je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge.
Zaključak 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:
Zaključak 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju proizvoda izvoda svakog faktora i svih ostalih.
Na primjer, za tri množitelja:
Pravilo 3.Ako funkcije
diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciranu/v , i
one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat bivši brojilac.
Gdje tražiti stvari na drugim stranicama
Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa je u članku više primjera o tim izvodnicama"Derivat proizvoda i količnik funkcija".
Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegov izvod je jednak nuli, a u slučaju konstantnog faktora uzet je iz predznaka izvoda. Ovo je tipična greška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student riješi nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, više ne pravi ovu grešku.
I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je razmatran u primjeru 10).
Još jedna uobičajena greška je mehanički rješavanje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.
Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima I Operacije sa razlomcima .
Ako tražite rješenja za izvode razlomaka sa potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda kao 
, zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima."
Ako imate zadatak kao 
, onda ćete uzeti lekciju “Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.
Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat
Primjer 3. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbroji, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge:
Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbiru drugi član ima predznak minus. U svakom zbiru vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće derivacijske vrijednosti:
Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:
Primjer 4. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda od nazivnik, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:
Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:
Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i potencija, kao što je npr. 
, onda dobro došli na čas "Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .
Ako trebate saznati više o izvodima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda lekcija za vas "Derivati jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .
Primjer 5. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, čiji smo izvod upoznali u tabeli derivacija. Koristeći pravilo za razlikovanje proizvoda i tabelarne vrijednosti izvoda kvadratnog korijena, dobijamo:
Primjer 6. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. U ovoj funkciji vidimo količnik čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarne vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:
Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojilac i imenilac sa .
Učitavanje...