Površina paralelograma je jednaka. Površina paralelograma

Bilješka. Ovo je dio lekcije sa problemima geometrije (paralelogramski dio). Ako trebate riješiti problem geometrije koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. Za označavanje radnje preuzimanja kvadratni korijen u rješavanju problema koristi se simbol √ ili sqrt(), s radikalnim izrazom navedenim u zagradama.

Teorijski materijal

Objašnjenja za formule za pronalaženje površine paralelograma:

  1. Površina paralelograma jednaka je umnošku dužine jedne od njegovih stranica i visine te stranice
  2. Površina paralelograma jednaka je umnošku njegove dvije susjedne stranice i sinusa ugla između njih
  3. Površina paralelograma jednaka je polovini umnoška njegovih dijagonala i sinusa ugla između njih

Problemi s pronalaženjem površine paralelograma

Zadatak.
U paralelogramu su kraća visina i kraća stranica 9 cm, a korijen 82. Veća dijagonala je 15 cm. Nađite površinu paralelograma.

Rješenje.
Označimo manju visinu paralelograma ABCD spuštenog iz tačke B na veću osnovu AD kao BK.
Nađimo vrijednost noge pravougaonog trougla ABK formirana manjom visinom, manjom stranom i dijelom veće osnove. Prema Pitagorinoj teoremi:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1

Produžimo gornju osnovu paralelograma BC i spustimo na nju visinu AN od njegove donje osnove. AN = BK kao stranice pravougaonika ANBK. Nađimo krak NC rezultirajućeg pravokutnog trougla ANC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC=12

Sada pronađimo veću bazu BC paralelograma ABCD.
BC = NC - NB
Uzmimo u obzir da je NB = AK kao stranice pravougaonika, dakle
BC = 12 - 1 = 11

Površina paralelograma jednaka je umnošku osnove i visine ove baze.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Odgovori: 99 cm 2 .

Zadatak

U paralelogramu ABCD, okomita BO je spuštena na dijagonalu AC. Nađite površinu paralelograma ako je AO=8, OC=6 i BO=4.

Rješenje.
Spustimo još jednu okomitu DK na dijagonalu AC.
Prema tome, trouglovi AOB i DKC, COB i AKD su parno jednaki. Jedna od stranica je suprotna strana paralelograma, jedan od uglova je pravi ugao, jer je okomit na dijagonalu, a jedan od preostalih uglova je unutrašnji krst koji leži za paralelne stranice paralelograma i sekante dijagonala.

Dakle, površina paralelograma je jednaka površini navedenih trokuta. To je
Sparalel = 2S AOB +2S BOC

Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovini proizvoda kateta. Gdje
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Odgovori: 56 cm 2 .

Video kurs “Dobijte A” uključuje sve teme neophodne za uspjeh polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi problemi 1-13 Jedinstveni državni ispit profila matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složeni koncepti. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Prilikom rješavanja zadataka na ovu temu, osim osnovna svojstva paralelogram i odgovarajuće formule, možete zapamtiti i primijeniti sljedeće:

  1. Simetrala unutrašnjeg ugla paralelograma odsiječe od njega jednakokraki trokut
  2. Simetrale unutrašnjih uglova uz jednu od stranica paralelograma međusobno su okomite
  3. Simetrale koje dolaze iz suprotnih unutrašnjih uglova paralelograma paralelne su jedna s drugom ili leže na istoj pravoj liniji
  4. Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica
  5. Površina paralelograma jednaka je polovini umnoška dijagonala i sinusa ugla između njih

Razmotrimo probleme u kojima se ova svojstva koriste.

Zadatak 1.

Simetrala ugla C paralelograma ABCD siječe stranicu AD u tački M i nastavak stranice AB iza tačke A u tački E. Nađi obim paralelograma ako je AE = 4, DM = 3.

Rješenje.

1. Trougao CMD je jednakokračan. (Svojstvo 1). Dakle, CD = MD = 3 cm.

2. Trougao EAM je jednakokračan.
Dakle, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Perimetar ABCD = 20 cm.

Odgovori. 20 cm.

Zadatak 2.

Dijagonale su nacrtane u konveksnom četvorouglu ABCD. Poznato je da su površine trouglova ABD, ACD, BCD jednake. Dokazati da je ovaj četvorougao paralelogram.

Rješenje.

1. Neka je BE visina trougla ABD, CF visina trougla ACD. Kako su, prema uslovima zadatka, površine trouglova jednake i imaju zajedničku osnovu AD, onda su i visine ovih trouglova jednake. BE = CF.

2. BE, CF su okomite na AD. Tačke B i C nalaze se na istoj strani u odnosu na pravu liniju AD. BE = CF. Dakle, prava BC || A.D. (*)

3. Neka je AL visina trougla ACD, BK visina trougla BCD. Kako su, prema uslovima zadatka, površine trouglova jednake i imaju zajedničku osnovu CD, onda su i visine ovih trouglova jednake. AL = BK.

4. AL i BK su okomite na CD. Tačke B i A nalaze se na istoj strani u odnosu na pravu liniju CD. AL = BK. Dakle, prava AB || CD (**)

5. Iz uslova (*), (**) slijedi da je ABCD paralelogram.

Odgovori. Dokazan. ABCD je paralelogram.

Zadatak 3.

Na stranicama BC i CD paralelograma ABCD označene su tačke M i H, tako da se segmenti BM i HD sijeku u tački O;<ВМD = 95 о,

Rješenje.

1. U trouglu DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. U pravokutnom trokutu DHC
(

Onda<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Budući da je u pravokutnom trokutu krak koji leži nasuprot kuta od 30° jednak polovini hipotenuze).

Ali CD = AB. Tada je AB: HD = 2:1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Odgovor: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Zadatak 4.

Jedna od dijagonala paralelograma dužine 4√6 čini sa osnovom ugao od 60°, a druga dijagonala sa istom osnovom čini ugao od 45°. Pronađite drugu dijagonalu.

Rješenje.

1. AO = 2√6.

2. Teoremu sinusa primjenjujemo na trougao AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Odgovor: 12.

Zadatak 5.

Za paralelogram sa stranicama 5√2 i 7√2, manji ugao između dijagonala jednak je manjem uglu paralelograma. Nađite zbir dužina dijagonala.

Rješenje.

Neka su d 1, d 2 dijagonale paralelograma, a ugao između dijagonala i manjeg ugla paralelograma jednak je φ.

1. Izbrojimo dva različita
načine svoje područje.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Dobijamo jednakost 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ili

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Koristeći odnos između stranica i dijagonala paralelograma, zapisujemo jednakost

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Kreirajmo sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Pomnožimo drugu jednačinu sistema sa 2 i dodajmo je prvoj.

Dobijamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Otuda je Id 1 + d 2 I = 24.

Pošto su d 1, d 2 dužine dijagonala paralelograma, onda je d 1 + d 2 = 24.

Odgovor: 24.

Zadatak 6.

Stranice paralelograma su 4 i 6. Oštar ugao između dijagonala je 45 stepeni. Pronađite površinu paralelograma.

Rješenje.

1. Iz trougla AOB, koristeći kosinus teoremu, zapisujemo odnos između stranice paralelograma i dijagonala.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Slično pišemo relaciju za trougao AOD.

Uzmimo to u obzir<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Dobijamo jednačinu d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Imamo sistem
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Oduzimanjem prve od druge jednačine dobijamo 2d 1 · d 2 √2 = 80 ili

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Bilješka: U ovom i prethodnom zadatku nema potrebe rješavati sistem u potpunosti, s obzirom da nam je u ovom zadatku potreban proizvod dijagonala za izračunavanje površine.

Odgovor: 10.

Zadatak 7.

Površina paralelograma je 96, a njegove stranice su 8 i 15. Nađite kvadrat manje dijagonale.

Rješenje.

1. S ABCD = AB · AD · sin VAD. Napravimo zamjenu u formuli.

Dobijamo 96 = 8 · 15 · sin VAD. Otuda je sin VAD = 4/5.

2. Nađimo cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

Prema uslovima zadatka nalazimo dužinu manje dijagonale. Dijagonala VD će biti manja ako je ugao VAD oštar. Tada je cos VAD = 3 / 5.

3. Iz trougla ABD, koristeći kosinus teorem, nalazimo kvadrat dijagonale BD.

VD 2 = AV 2 + AD 2 – 2 · AV · VD · cos VAD.

VD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Odgovor: 145.

Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti problem geometrije?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Područje geometrijske figure- numerička karakteristika geometrijske figure koja pokazuje veličinu ove figure (dio površine ograničen zatvorenom konturom ove figure). Veličina područja izražava se brojem kvadratnih jedinica koje se u njemu nalaze.

Formule površine trougla

  1. Formula za površinu trokuta po strani i visini
    Površina trougla jednak polovini umnoška dužine stranice trokuta i dužine visine povučene ovoj strani
  2. Formula za površinu trokuta zasnovanu na tri strane i poluprečniku opisane kružnice
  3. Formula za površinu trokuta zasnovana na tri strane i poluprečniku upisane kružnice
    Površina trougla jednak je proizvodu poluperimetra trokuta i poluprečnika upisane kružnice.
    4. gdje je S površina trokuta,
    - dužine stranica trougla,
    - visina trougla,
    - ugao između stranica i,
    - poluprečnik upisane kružnice,
    R - poluprečnik opisane kružnice,

Formule kvadratne površine

  1. Formula za površinu kvadrata po dužini stranice
    Kvadratna površina jednak kvadratu dužine njegove stranice.
  2. Formula za površinu kvadrata duž dijagonalne dužine
    Kvadratna površina jednaka polovini kvadrata dužine njegove dijagonale.
    S=1 2
    2
    3. gdje je S površina kvadrata,
    - dužina stranice kvadrata,
    - dužina dijagonale kvadrata.

Formula površine pravokutnika

    Površina pravougaonika jednak proizvodu dužina njegove dvije susjedne strane

    gdje je S površina pravokutnika,
    - dužine stranica pravougaonika.

Formule površine paralelograma

  1. Formula za površinu paralelograma na osnovu dužine i visine stranice
    Površina paralelograma
  2. Formula za površinu paralelograma zasnovana na dvije strane i kutu između njih
    Površina paralelograma jednak je proizvodu dužina njegovih stranica pomnoženog sa sinusom ugla između njih.

    a b sin α

    3. gdje je S površina paralelograma,
    - dužine stranica paralelograma,
    - dužina visine paralelograma,
    - ugao između stranica paralelograma.

Formule za površinu romba

  1. Formula za površinu romba na osnovu dužine i visine stranice
    Područje romba jednak proizvodu dužine njegove stranice i dužine visine spuštene na ovu stranu.
  2. Formula za površinu romba na osnovu dužine stranice i kuta
    Područje romba jednak je proizvodu kvadrata dužine njegove stranice i sinusa ugla između stranica romba.
  3. Formula za površinu romba zasnovana na dužinama njegovih dijagonala
    Područje romba jednak polovini umnoška dužina njegovih dijagonala.
    4. gdje je S površina romba,
    - dužina stranice romba,
    - dužina visine romba,
    - ugao između stranica romba,
    1, 2 - dužine dijagonala.

Formule površine trapeza

  1. Heronova formula za trapez

    gdje je S površina trapeza,
    - dužine osnova trapeza,
    - dužine stranica trapeza,

Paralelogram je četvorougaona figura čije su suprotne strane paralelne i jednake u paru. Njegovi suprotni uglovi su takođe jednaki, a tačka preseka dijagonala paralelograma ih deli na pola, kao centar simetrije figure. Posebni slučajevi paralelograma su takvi geometrijski oblici kao što su kvadrat, pravougaonik i romb. Područje paralelograma može se pronaći na različite načine, ovisno o tome koji se početni podaci koriste za formuliranje problema.


Ključna karakteristika paralelograma, koja se vrlo često koristi pri pronalaženju njegove površine, je njegova visina. Visina paralelograma se obično naziva okomom povučenom iz proizvoljne tačke na suprotnoj strani do pravog segmenta koji formira tu stranu.
  1. U najjednostavnijem slučaju, površina paralelograma se definira kao proizvod njegove osnove i visine.

    S = DC ∙ h


    gdje je S površina paralelograma;
    a - baza;
    h je visina povučena do date baze.

    Ovu formulu je vrlo lako razumjeti i zapamtiti ako pogledate sljedeću sliku.

    Kao što možete vidjeti iz ove slike, ako odsiječemo zamišljeni trokut lijevo od paralelograma i pričvrstimo ga desno, rezultat će biti pravougaonik. Kao što znate, površina pravougaonika se nalazi množenjem njegove dužine sa visinom. Samo u slučaju paralelograma dužina će biti osnova, a visina pravougaonika će biti visina paralelograma spuštenog na datu stranu.

  2. Područje paralelograma se također može naći množenjem dužina dvije susjedne baze i sinusa ugla između njih:

    S = AD∙AB∙sinα


    gde su AD, AB susedne baze koje formiraju presek i ugao a između sebe;
    α je ugao između baza AD i AB.

  3. Također možete pronaći površinu paralelograma tako što ćete podijeliti na pola proizvod dužina dijagonala paralelograma sa sinusom ugla između njih.

    S = ½∙AC∙BD∙sinβ


    gdje su AC, BD dijagonale paralelograma;
    β je ugao između dijagonala.

  4. Postoji i formula za pronalaženje površine paralelograma kroz polumjer upisane kružnice. Napisano je kako slijedi:
Učitavanje...Učitavanje...