Как найти координаты вершины параболы квадратичной функции. Парабола

Функция вида , где называется квадратичной функцией .

График квадратичной функции – парабола .

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

То есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х (в данном случае шаг 1), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола «станет шире» параболы :

Давайте подытожим:

1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз.

2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

1) определяем направление ветвей (а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины параболы по формуле , .

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1

Пример 2

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .

Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

y 2 = 2 * p * x,

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

x 0 = -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

х = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b 2 — 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

D ˃ 0, то х 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D = 0, то х 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

определить направление ветвей;
найти координаты вершины;
найти пересечение с осью ординат;
найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х 2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
с осью ординат пересекается в значении у = 4;
найдем дискриминант: D = 25 - 16 = 9;
ищем корни:

Х 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
Х 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

Пример 2.

Для функции у = 3 * х 2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

Х 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
Х 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

График квадратичной функции называют параболой. Эта линия имеет весомое физическое значение. По параболам движутся некоторые небесные тела. Антенна в форме параболы фокусирует лучи, идущие параллельно оси симметрии параболы. Тела, кинутые вверх под углом, долетают до верхней точки и падают вниз, также описывая параболу. Видимо, что неизменно пригодно знать координаты вершины этого движения.

Инструкция

1. Квадратичная функция в всеобщем виде записывается уравнением: y = ax? + bx + c. Графиком этого уравнения является парабола, ветви которой направлены вверх (при a > 0) либо вниз (при a < 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное уравнение, получите y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. Людям, приятелем с представлением производной, легко обнаружить вершину параболы. Самостоятельно от расположения ветвей параболы ее вершина является точкой экстремума (минимума, если ветви направлены вверх, либо максимума, когда ветви направлены вниз). Дабы обнаружить точки полагаемого экстремума всякий функции, нужно вычислить ее первую производную и приравнять ее к нулю. В всеобщем виде производная квадратичной функции равна f"(x) = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. Приравняв к нулю, вы получите 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.

3. Парабола – симметричная линия. Ось симметрии проходит через вершину параболы. Зная точки пересечения параболы с осью координат X, дозволено легко обнаружить абсциссу вершины x0. Пускай x1 и x2 – корни параболы (так называют точки пересечения параболы с осью абсцисс, от того что эти значения обращают квадратное уравнение ax? + bx + c в нуль). При этом пускай |x2| > |x1|, тогда вершина параболы лежит посередине между ними и может быть обнаружена из дальнейшего выражения: x0 = ?(|x2| – |x1|).

Парабола – это график квадратичной функции, в всеобщем виде уравнение параболы записывается y=aх^2+bх+с, где а?0. Это универсальная кривая второго порядка, которая описывает многие явления в жизни, скажем, движение подбрасываемого и после этого падающего тела, форму радуги, следственно знание обнаружить параболу может дюже сгодиться в жизни.

Вам понадобится

– формула квадратичного уравнения;
– лист бумаги с координатной сеткой;
– карандаш, ластик;
– компьютер и программа Excel.

Инструкция

1. В первую очередь обнаружьте вершину параболы. Дабы обнаружить абсциссу этой точки, возьмите показатель перед х, поделите его на удвоенный показатель перед х^2 и умножьте на -1 (формула х=-b/2a). Ординату обнаружьте, подставив полученное значение в уравнение либо по формуле у=(b^2-4ac)/4a. Вы получили координаты точки вершины параболы.

2. Вершину параболы дозволено обнаружить и иным методом. Потому что вершина является экстремумом функции, то для ее вычисления вычислите первую производную и приравняйте ее к нулю. В всеобщем виде вы получите формулу f(x)’ = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. А приравняв ее к нулю, вы придете к той же самой формуле – х=-b/2a.

3. Узнайте, направлены ли ветви параболы вверх либо вниз. Для этого посмотрите на показатель перед х^2, то есть на а. Если а>0, то ветви направлены вверх, если а

4. Постройте ось симметрии параболы, она пересекает вершину параболы и параллельна оси оу. Все точки параболы будут равноудалены от нее, следственно дозволено возвести лишь одну часть, а после этого симметрично отобразить ее касательно оси параболы.

5. Постройте линию параболы. Для этого обнаружьте несколько точек, подставляя различные значения х в уравнения и решая равенство. Комфортно обнаружить пересечение с осями, для этого подставляйте в равенство х=0 и у=0. Возведя одну сторону, отразите ее симметрично касательно оси.

6. Дозволено возвести параболу при помощи программы Excel. Для этого откройте новейший документ и выделите в нем два столбика, х и у=f(х). В первом столбике запишите значения х на выбранном отрезке, а во втором столбце запишите формулу, скажем, =2В3*В3-4В3+1 либо =2В3^2-4В3+1. Дабы не писать эту формулу всякий раз, «растяните» ее на каждый столбец, нажав мышкой на небольшой крестик в нижнем правом углу и потянув вниз.

7. Получив таблицу, нажмите меню «Вставка» – «Диаграмма». Выберите точечную диаграмму, нажмите «Дальше». В появившемся окне добавьте ряд, нажав кнопку «Добавить». Дабы предпочесть необходимые ячейки, щелкните поочередно по кнопкам, обведенным красным овалом ниже, после этого выделите ваши столбики со значениями. Нажав кнопку «Готово», оцените итог – готовую параболу .

Видео по теме

При изыскании квадратичной функции, графиком которой является парабола, в одном из пунктов нужно обнаружить координаты вершины параболы. Как это сделать аналитически, применяя заданное для параболы уравнение?

Инструкция

1. Квадратичная функция – это функция вида y=ax^2+bx+c, где a – старший показатель (он неукоснительно должен быть ненулевым), b – младший показатель, с – вольный член. Данная функция дает своим графиком параболу, ветви которой направлены либо вверх (если а>0), либо вниз (если а<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Обнаружим координату x0 вершины параболы. Она находится по формулеx0=-b/a.

3. y0=y(x0).Дабы обнаружить координату y0 вершины параболы, нужно в функцию взамен x подставить обнаруженное значение x0. Сосчитайте, чему равен y0.

4. Координаты вершины параболы обнаружены. Запишите их в виде координат одной точки (x0,y0).

5. При построении параболы помните, что она симметрична касательно оси симметрии параболы, проходящей вертикально через вершину параболы, т.к. квадратичная функция является четной. Следственно довольно по точкам возвести только одну ветвь параболы, а иную достроить симметрично.

Видео по теме

Для функций (вернее их графиков) применяется представление наибольшего значения, в том числе и локального максимума. Представление же «вершина» скорее связано с геометрическими фигурами. Точки максимумов гладких функций (имеющих производную) легко определить с подмогой нулей первой производной.

Инструкция

1. Для точек, в которых функция не дифференцируема, но постоянна, наибольшее на интервале значение может иметь вид острия (на пример y=-|x|). В таких точках к графику функции дозволено провести сколь желательно много касательных и производная для нее легко не существует. Сами функции такого типа обыкновенно задаются на отрезках. Точки, в которых производная функции равна нулю либо не существует, именуются скептическими.

2. Выходит, для нахождения точек максимумов функции y=f(x) следует:- обнаружить скептические точки;- для того дабы предпочесть точку максимума, следует обнаружить знак производной в окрестности скептической точки. Если при прохождении точки происходит чередование знака с «+» на «-», то имеет место максимум.

3. Пример. Обнаружить наибольшие значения функции (см. рис.1).y=x+3 при x?-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1.

4. Реение. y=x+3 при x?-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1. Функция задана на отрезках умышленно, потому что в данном случае преследуется цель отобразить все в одном примере. Легко проверить, что при х=-1 функция остается постоянной.y’=1 при x?-1 и y’=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3(x^(1/3))/(x^(1/3)) при x>-1. y’=0 при x=8/27. y’ не существует при x=-1 и x=0.При этом y’>0 если x

Видео по теме

Парабола – одна из кривых второго порядка, ее точки возведены в соответствии с квадратным уравнением. Основное в построении этой косой – обнаружить вершину параболы . Это дозволено сделать несколькими методами.

Инструкция

1. Дабы обнаружить координаты вершины параболы , воспользуйтесь дальнейшей формулой: х=-b/2а, где а – показатель перед х в квадрате, а b – показатель перед х. Подставьте ваши значения и рассчитайте его значение. После этого подставьте полученное значение взамен х в уравнение и посчитайте ординату вершины. Скажем, если вам дано уравнение у=2х^2-4х+5, то абсциссу обнаружьте дальнейшим образом: х=-(-4)/2*2=1. Подставив х=1 в уравнение, рассчитайте значение у для вершины параболы : у=2*1^2-4*1+5=3. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1;3).

2. Значение ординаты параболы дозволено обнаружить и без заблаговременного расчета абсциссы. Для этого воспользуйтесь формулой у=-b^2/4ас+с.

3. Если вы знакомы с представлением производной, обнаружьте вершину параболы при помощи производных, воспользовавшись дальнейшим свойством всякий функции: первая производная функции, приравненная к нулю, указывает на точки экстремума. Потому что вершина параболы , самостоятельно от того, направлены ее ветви вверх либо вниз, является точкой экстремума, вычислите производную для вашей функции. В всеобщем виде она будет иметь вид f(х)=2ах+b. Приравняйте ее к нулю и получите координаты вершины параболы , соответствующей вашей функции.

4. Испробуйте обнаружить вершину параболы , воспользовавшись таким ее свойством, как симметричность. Для этого обнаружьте точки пересечения параболы с осью ох, приравняв функцию к нулю (подставив у=0). Решив квадратное уравнение, вы обнаружите х1 и х2. Потому что парабола симметрична касательно директрисы, проходящей через вершину , эти точки будут равноудалены от абсциссы вершины. Дабы ее обнаружить, поделим расстояние между точками напополам: х=(Iх1-х2I)/2.

5. Если какой-нибудь из показателей равен нулю (помимо а), рассчитайте координаты вершины параболы по облегченным формулам. Скажем, если b=0, то есть уравнение имеет вид у=ах^2+с, то вершина будет лежать на оси оу и ее координаты будут равны (0;с). Если же не только показатель b=0, но и с=0, то вершина параболы находится в начале координат, точке (0;0).

Видео по теме

Исходя из одной точки, прямые образуют угол, где всеобщая для них точка является вершиной. В разделе теоретической алгебры частенько встречаются задачи, когда нужно обнаружить координаты этой вершины , дабы после этого определить уравнение проходящей через вершину прямой.

Инструкция

1. Перед тем, как начать процесс нахождения координат вершины , определитесь с начальными данными. Примите, что желанная вершина принадлежит треугольнику ABC, в котором вестимы координаты 2-х остальных вершин, а также числовые значения углов , равные «e» и «k» по стороне AB.

2. Совместите новую систему координат с одной из сторон треугольника AB таким образом, дабы предисловие системы координат совпадало с точкой A, координаты которой вам знамениты. Вторая вершина B будет лежать на оси OX, и ее координаты вам также знамениты. Определите по оси ОХ значение длины стороны AB согласно координатам и примите ее равной «m».

3. Опустите перпендикуляр из незнакомой вершины C на ось ОХ и на сторону треугольника AB соответственно. Получившаяся высота «y» и определяет значение одной из координат вершины C по оси OY. Примите, что высота «y» делит сторону AB на два отрезка, равные «x» и «m – x».

4. От того что вам вестимы значения всех углов треугольника, значит, знамениты и значения их тангенсов. Примите значения тангенсов для углов , примыкающих к стороне треугольника AB, равными tan(e) и tan(k).

5. Введите уравнения для 2-х прямых, проходящих по сторонам AC и BC соответственно: y = tan(e) * x и y = tan(k) * (m – x). После этого обнаружьте пересечение этих прямых, применяя преобразованные уравнения прямых: tan(e) = y/x и tan(k) = y/(m – x).

6. Если принять, что tan(e)/tan(k) равняется (y/x) /(y/ (m – x)) либо позже сокращения «y» – (m – x) / x , в итоге вы получите желанные значения координат, равные x = m / (tan(e)/tan(k) + e) и y = x * tan(e).

7. Подставьте значения углов (e) и (k), а также обнаруженное значение стороны AB = m в уравнения x = m / (tan(e)/tan(k) + e) и y = x * tan(e).

8. Преобразуйте новую систему координат в начальную систему координат, от того что между ними установлено взаимно-однозначное соответствие, и получите желанные координаты вершины треугольника ABC.

Видео по теме

Нагаева Светлана Николаевна, учитель математики МАОУ « Лицей №1» города Березники.

Проект урока по алгебре в 9 классе (гуманитарный профиль).

«Наиболее глубокий след оставляет то, что человек открыл сам».(Д. Пойя.)

Тема урока: «Вывод формул для вычисления координат вершины параболы».

Цели урока : познавательные :

Ожидаемый результат:

- осознание, принятие и разрешение проблемы учащимися;

Формирование способов получения новых знаний через сравнение и сопоставления фактов, способа от частного к общему;

Узнают формулы нахождения координат вершины и оси симметрии параболы для функций вида y = ax 2 +bx+c.

Тип урока: урок постановки учебной задачи. Методы обучения – наглядно-иллюстративный, словесный, обучение в сотрудничестве, проблемный, элементы технологии критического мышления.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, демонстрационный экран, слайды презентации по теме: «Формулы для нахождения координат вершины параболы»; листы формата А3; цветные маркеры.

Технология - системно-деятельностный подход.

Этапы урока:

Психологический настрой(мотивация).

Актуализация опорных знаний(создание ситуации успеха).

Постановка проблемы.

Формулирование темы и цели урока.

Решение проблемы.

Анализ хода решения проблемы.

Применение результатов решения проблемы в последующей деятельности.

Подведение итогов урока (итог «глазами» ученика, итог «глазами» учителя.).

Домашнее задание.

Ход урока:

Психологический настрой.

Задача: Учится решать общую задачу и работать в коллективе(работа в группах по 5 чел.).

Ребята, на протяжении последних четырёх уроков мы занимались изучением квадратичной функции, но знания наши пока ещё не совсем полные, поэтому мы продолжаем изучать квадратичную функцию с целью узнать что-то новое об этой функции.

Мотивация учащихся к самостоятельной постановке темы и цели урока.

Функция
и ее график.

;
;

Не выполняя построения графика функций, можем ли мы ответить на вопросы:

Что является графиком функций?

Какая прямая является осью симметрии (если она существует)?

3. Есть ли вершина, каковы её координаты?

Хочу узнать

Таблица заполняется по ходу проведения урока.

Актуализация опорных знаний и умений учащихся. Разминка. 1. Вынести за скобки старший коэффициент: 5x 2 + 25x -5; ax 2 + bx + c. 2.Выделить удвоенное произведение: ab; ax; b/a. 3.Возвести в квадрат: b/2; c 2 /a; 2a/3b. 4.Представить в виде алгебраической суммы: а – в; x –(- b/2a).

Объясните, как, зная вид графика функции y =ƒ( x ) , построить графики функций:

а) y =ƒ(x - a ) , - с помощью параллельного переноса на а единиц вправо вдоль оси х ;

б) y =ƒ(x ) + b , - с помощью параллельного переноса на b единиц вверх вдоль оси y ;

в) y =ƒ(x - а) + b , ↔ на а единиц, ↕ на b единиц;

г) Как построить график функции y = (x - 2) 2 + 3 ? Что является ее графиком?

Назовите вершину параболы.
Графиком является парабола y = x 2 с вершиной в точке (2; 3).

Назовите координаты вершины параболы: y =x- 4x + 5 ( проблема). Почему нельзя определить координаты вершины параболы по виду функции? (другой вид имеет квадратичная функция).

Деятельность учащихся:

Строят речевые конструкции с использованием функциональной терминологии.

Обсуждение ответов. Сравнивают, сопоставляют с ранее изученными функциями, выбирают и записывают на доске знания и умения, которые им могут понадобиться для решения проблемы в столбик «ЗНАЮ»:

В столбик «Хочу узнать»:вершину, ось симметрии параболы
.

Учащиеся могут записывать в столбики «ЗНАЮ» и «ХОЧУ ЗНАТЬ» функции как в общем виде, так и частные случаи. Постановка учебной задачи: найти координаты вершины параболы, если квадратичная функция задана в общем виде y = ax+ bx + c . Учащиеся формулируют и записывают в тетрадь тему и цель урока. (Вывод формул для вычисления координат вершины параболы. Научиться находить координаты вершины параболы новым способом – по формулам).

Решение проблемы.

Деятельность учащихся: Сравнивая «старые» знания с новыми знаниями учащиеся предлагают выделить полный квадрат. На конкретных примерах
;
и получают соответственно
;
. Находят координаты вершины и уравнение оси симметрии, Понимают, что с задачей справились, т.к. привели новую функцию к знакомому виду.

Учащиеся выделяют полный квадрат для функции
; , сравнивают полученный результат, делают вывод по данной функции. Находят координаты вершины и ось симметрии.

Сможете ли вы назвать вершину и ось параболы, если функция задана в общем виде
, не выделяя полного квадрата? Как вы будете действовать в этом случае? И как применить ваш предыдущий опыт по нахождению вершины и оси параболы?

Деятельность учащихся:

Опираясь на уже имеющиеся знания, опыт учащиеся начинают понимать, что нужно идти дальше, от частного к общему, проводят доказательства в общем виде.

Появляются новые затруднения. В группах появляется решение: . Анализ хода решения проблемы. Заслушивается один представитель от каждой группы.

Сравнивают, анализируют записи
и
, записывается в тетрадь одно общее решение поставленной задачи - формулы координат вершины параболы
.

Учащиеся делают вывод: координаты вершины и ось параболы для функции
можно найти рациональным способом.

Применение результатов по решению проблемы в последующей деятельности.

Деятельность учащихся:

Решение заданий из учебника №121; 123. Найдите координаты вершины параболы новым рациональным способом. Запишите уравнение прямой, которая является осью симметрии параболы.

Подведение итогов (рефлексия учебной деятельности на уроке).

Вернемся к таблице и заполним столбик «УЗНАЛ».

Итог урока «глазами» учащихся:

ХОЧУ УЗНАТЬ

5. знаю, как построить графики этих функций

6. знаю, как найти координаты вершины этих парабол и ось параболы

7. метод выделения полного квадрата

8. как находить координаты вершин, ось параболы.

2. уравнение оси симметрии параболы

1. координаты вершины параболы

2 .как вывести формулу

3. рациональный способ нахождения оси параболы и координат вершины параболы

Итог « глазами учителя»:

Цель урока достигнута.

Учащиеся осознали, приняли и разрешили возникшую проблему.

В процессе решения учебно-проблемной задачи учащиеся не только приобрели новые знания: зависимость коэффициентов квадратного трехчлена и координат вершины параболы, уравнения оси симметрии, но самое главное на уроке – формирование обобщенных способов приобретения новых знаний, самостоятельного анализа проблемы и нахождения неизвестного.

Домашнее задание : п.7 №122 ;127(б) ;128.

P.S. Представленный урок проведен 15 октября 2014 года в рамках городского семинара учителей математики по теме «Формирование УУД на уроках математики».

На этапе «Применение результатов…» при решении заданий из учебника некоторые учащиеся начали понимать ценность своего «открытия»: более простого способа нахождения координат вершины и уравнения оси симметрии, а другие не скрывали радости, ведь не надо «мучаться» с выделением полного квадрата. Но самое главное – сделали все сами!

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

График функции y = ax 2 + bx + c, где a - первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0 .

Например, y =x 2 –8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

a =1, b =-8, c =15;

подставляем значения a и b в формулу;

x0=8/2=4;

вычисляем значения y;

y0 = 16–32+15 = -1;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n — корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x 2 –6x+5

1) Приравниваем к нулю:

x 2 –6x+5=0.

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b 2 –4 ac:

D =36–20=16.

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

1 — первый корень;
5 — второй корень.

4) Вычисляем:

x0 =(5+1)/2=3

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x 2 +8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x 2 + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2) 2 и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

x 2 + 8x +16= 6.

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4) 2 = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина - точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f"(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

Записываем производную и приравниваем к нулю.

f"(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x 2 +11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

Правильно находите коэффициенты .

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

Нужно проверять правильно ли ваше решение.
Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.