Dans cette leçon, nous continuons à étudier les dérivées des fonctions et passons à un sujet plus avancé, à savoir les dérivées des produits et des quotients. Si vous avez regardé la leçon précédente, vous avez probablement réalisé que nous n'avons considéré que les constructions les plus simples, à savoir la dérivée d'une fonction puissance, la somme et la différence. En particulier, nous avons appris que la dérivée d'une somme est égale à leur somme et que la dérivée d'une différence est respectivement égale à leur différence. Malheureusement, dans le cas des dérivés de quotient et de produit, les formules seront beaucoup plus compliquées. Nous commencerons par la formule de la dérivée d'un produit de fonctions.
Dérivées de fonctions trigonométriques
Pour commencer, permettez-moi de faire une petite digression lyrique. Le fait est qu'en plus de la fonction puissance standard - $y=((x)^(n))$, dans cette leçon, nous rencontrerons également d'autres fonctions, à savoir $y=\sin x$, ainsi que $ y=\ cos x$ et autres trigonométries - $y=tgx$ et, bien sûr, $y=ctgx$.
Si nous connaissons tous parfaitement la dérivée d'une fonction puissance, à savoir $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, alors comme pour fonctions trigonométriques, doivent être mentionnées séparément. Écrivons-le :
\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
Mais vous connaissez très bien ces formules, passons à autre chose.
Quelle est la dérivée d’un produit ?
Tout d'abord, le plus important : si une fonction est le produit de deux autres fonctions, par exemple $f\cdot g$, alors la dérivée de cette construction sera égale à l'expression suivante :
Comme vous pouvez le constater, cette formule est très différente et plus complexe que les formules que nous avons examinées précédemment. Par exemple, la dérivée d'une somme est calculée de manière élémentaire - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, ou la dérivée de une différence, qui se calcule également de manière élémentaire - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.
Essayons d'appliquer la première formule pour calculer les dérivées des deux fonctions qui nous sont données dans le problème. Commençons par le premier exemple :
Évidemment, la construction suivante fait office de produit, ou plus précisément de multiplicateur : $((x)^(3))$, on peut la considérer comme $f$, et $\left(x-5 \right) $ nous pouvons considérer comme $g$. Alors leur produit sera précisément le produit de deux fonctions. Nous décidons:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ droite))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \fin(aligner)\].
Examinons maintenant de plus près chacun de nos termes. On voit que le premier et le deuxième termes contiennent le degré $x$ : dans le premier cas c'est $((x)^(2))$, et dans le second c'est $((x)^(3)) $. Retirons le plus petit degré entre parenthèses, en laissant entre parenthèses :
\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\fin (aligner)\]
Ça y est, nous avons trouvé la réponse.
Revenons à nos problèmes et essayons de résoudre :
Alors réécrivons :
Encore une fois, notons que nous parlons du produit du produit de deux fonctions : $x$, qui peut être noté $f$, et $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, qui peut être noté $g$.
Ainsi, nous avons à nouveau devant nous le produit de deux fonctions. Pour trouver la dérivée de la fonction $f\left(x \right)$ nous utiliserons à nouveau notre formule. On a:
\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]
La réponse a été trouvée.
Pourquoi factoriser les dérivés ?
Nous venons d'utiliser plusieurs faits mathématiques très importants, qui en eux-mêmes ne sont pas liés aux dérivées, mais sans leur connaissance, toute étude plus approfondie de ce sujet n'a tout simplement aucun sens.
Premièrement, en résolvant le tout premier problème et en nous débarrassant déjà de tous les signes de dérivés, pour une raison quelconque, nous avons commencé à factoriser cette expression.
Deuxièmement, lors de la résolution du problème suivant, nous sommes passés plusieurs fois de la racine à la puissance avec un exposant rationnel et inversement, tout en utilisant la formule de 8e à 9e années, qui mériterait d'être répétée séparément.
Concernant la factorisation, pourquoi tous ces efforts et transformations supplémentaires sont-ils nécessaires ? En fait, si le problème dit simplement « trouver la dérivée d’une fonction », alors ces étapes supplémentaires ne sont pas nécessaires. Cependant, dans les problèmes réels qui vous attendent dans toutes sortes d’examens et de tests, il ne suffit souvent pas de simplement trouver la dérivée. Le fait est que la dérivée n'est qu'un outil avec lequel vous pouvez connaître, par exemple, l'augmentation ou la diminution d'une fonction, et pour cela, vous devez résoudre l'équation et la factoriser. Et c’est là que cette technique sera tout à fait appropriée. Et en général, il est beaucoup plus pratique et agréable de travailler avec une fonction factorisée dans le futur si des transformations sont nécessaires. Donc règle n°1 : si la dérivée peut être factorisée, c’est ce qu’il faut faire. Et immédiatement la règle n°2 (essentiellement, il s'agit de matériel de 8e à 9e) : si le problème contient une racine n-ème degré, et la racine est clairement supérieure à deux, alors cette racine peut être remplacée par un degré ordinaire avec un exposant rationnel, et une fraction apparaîtra dans l'exposant, où n― ce même degré ― sera le dénominateur de cette fraction.
Bien sûr, s’il y a un certain degré sous la racine (dans notre cas c’est le degré k), alors cela ne va nulle part, mais finit simplement au numérateur de ce même degré.
Maintenant que vous avez compris tout cela, revenons aux dérivées du produit et calculons quelques équations supplémentaires.
Mais avant de passer directement aux calculs, je voudrais vous rappeler les schémas suivants :
\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Considérons le premier exemple :
Nous avons à nouveau un produit de deux fonctions : la première est $f$, la seconde est $g$. Je vous rappelle la formule :
\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]
Décidons :
\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]
Passons à la deuxième fonction :
Encore une fois, $\left(3x-2 \right)$ est une fonction de $f$, $\cos x$ est une fonction de $g$. Au total, la dérivée du produit de deux fonctions sera égale à :
\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ gauche(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]
Écrivons-le séparément :
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]
Nous ne factorisons pas cette expression, car ce n’est pas encore la réponse définitive. Il nous reste maintenant à résoudre la deuxième partie. Écrivons-le :
\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]
Revenons maintenant à notre tâche initiale et rassemblons le tout en une seule structure :
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]
Voilà, c'est la réponse finale.
Passons au dernier exemple, ce sera le plus complexe et le plus volumineux en termes de calculs. Alors, un exemple :
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]
On compte chaque partie séparément :
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Revenant à la fonction d'origine, calculons sa dérivée dans son ensemble :
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
C’est en fait tout ce que je voulais vous dire sur les œuvres dérivées. Comme vous pouvez le constater, le principal problème de la formule n'est pas sa mémorisation, mais le fait qu'elle implique une quantité assez importante de calculs. Mais ce n'est pas grave, car maintenant nous passons à la dérivée du quotient, où nous allons devoir travailler très dur.
Quelle est la dérivée d'un quotient ?
Donc, la formule de la dérivée du quotient. C’est peut-être la formule la plus complexe du cours scolaire sur les produits dérivés. Disons que nous avons une fonction de la forme $\frac(f)(g)$, où $f$ et $g$ sont également des fonctions dont nous pouvons également supprimer le nombre premier. Ensuite il sera calculé selon la formule suivante :
Le numérateur nous rappelle un peu la formule de la dérivée d'un produit, mais il y a un signe moins entre les termes et le carré du dénominateur d'origine a également été ajouté au dénominateur. Voyons comment cela fonctionne en pratique :
Essayons de résoudre :
\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]
Je suggère d'écrire chaque partie séparément et d'écrire :
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ droite))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\fin (aligner)\]
Réécrivons notre expression :
\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right ))^(2))) \\\fin(aligner)\]
Nous avons trouvé la réponse. Passons à la deuxième fonction :
À en juger par le fait que son numérateur est simplement un, les calculs ici seront un peu plus simples. Alors, écrivons :
\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\gauche(((x)^(2))+4 \droite))^(2)))\]
Calculons chaque partie de l'exemple séparément :
\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]
Réécrivons notre expression :
\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]
Nous avons trouvé la réponse. Comme prévu, la quantité de calcul s’est avérée nettement inférieure à celle de la première fonction.
Quelle est la différence entre les désignations ?
Les étudiants attentifs ont probablement déjà une question : pourquoi dans certains cas désignons-nous la fonction par $f\left(x \right)$, et dans d'autres cas nous écrivons simplement $y$ ? En fait, du point de vue des mathématiques, il n'y a absolument aucune différence - vous avez le droit d'utiliser à la fois la première désignation et la seconde, et il n'y aura aucune pénalité lors des examens ou des tests. Pour ceux qui sont encore intéressés, j'expliquerai pourquoi les auteurs de manuels et de problèmes écrivent dans certains cas $f\left(x \right)$, et dans d'autres (beaucoup plus fréquents) - simplement $y$. Le fait est qu'en écrivant une fonction sous la forme \, nous indiquons implicitement à ceux qui lisent nos calculs que nous parlons spécifiquement de l'interprétation algébrique de la dépendance fonctionnelle. C'est-à-dire qu'il existe une certaine variable $x$, nous considérons la dépendance à l'égard de cette variable et la notons $f\left(x \right)$. Dans le même temps, après avoir vu une telle désignation, celui qui lit vos calculs, par exemple l'inspecteur, s'attendra inconsciemment à ce qu'à l'avenir seules des transformations algébriques l'attendent - pas de graphiques ni de géométrie.
En revanche, en utilisant des notations de la forme \, c'est-à-dire désignant une variable avec une seule lettre, on précise immédiatement qu'à l'avenir on s'intéresse à l'interprétation géométrique de la fonction, c'est-à-dire qu'on s'intéresse d'abord à le tout, dans son graphique. Ainsi, face à un enregistrement de la forme \, le lecteur est en droit d'attendre des calculs graphiques, c'est-à-dire des graphiques, des constructions, etc., mais en aucun cas des transformations analytiques.
Je voudrais également attirer votre attention sur une caractéristique de la conception des tâches que nous envisageons aujourd'hui. De nombreux étudiants pensent que je donne des calculs trop détaillés et que beaucoup d'entre eux pourraient être ignorés ou simplement résolus dans leur tête. Cependant, c'est précisément un enregistrement aussi détaillé qui vous permettra de vous débarrasser des erreurs offensantes et d'augmenter considérablement le pourcentage de problèmes correctement résolus, par exemple dans le cas de l'auto-préparation à des tests ou à des examens. Par conséquent, si vous n'êtes toujours pas sûr de vos capacités, si vous commencez tout juste à étudier ce sujet, ne vous précipitez pas - décrivez chaque étape en détail, notez chaque facteur, chaque trait, et très bientôt vous apprendrez à mieux résoudre de tels exemples. que de nombreux professeurs d'école. J'espère que c'est clair. Comptons quelques exemples supplémentaires.
Plusieurs tâches intéressantes
Cette fois, comme on le voit, la trigonométrie est présente dans les dérivées calculées. Par conséquent, permettez-moi de vous rappeler ce qui suit :
\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]
Bien entendu, on ne peut pas se passer de la dérivée du quotient, à savoir :
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Considérons la première fonction :
\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\fin (aligner)\]
Nous avons donc trouvé une solution à cette expression.
Passons au deuxième exemple :
Évidemment, sa dérivée sera plus complexe, ne serait-ce que parce que la trigonométrie est présente à la fois au numérateur et au dénominateur de cette fonction. Nous décidons:
\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]
Notez que nous avons un dérivé du produit. Dans ce cas il sera égal à :
\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ droite))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]
Revenons à nos calculs. Nous écrivons :
\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\fin(aligner)\]
C'est tout! Nous avons fait le calcul.
Comment réduire la dérivée d'un quotient à une formule simple de dérivée d'un produit ?
Et ici, je voudrais faire une remarque très importante concernant les fonctions trigonométriques. Le fait est que notre construction originale contient une expression de la forme $\frac(\sin x)(\cos x)$, qui peut facilement être remplacée simplement par $tgx$. Ainsi, nous réduisons la dérivée d’un quotient à une formule plus simple pour la dérivée d’un produit. Calculons à nouveau cet exemple et comparons les résultats.
Nous devons donc maintenant considérer les éléments suivants :
\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Réécrivons notre fonction originale $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ en tenant compte de ce fait. On a:
Comptons:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]
Maintenant, si nous comparons le résultat obtenu avec celui que nous avons obtenu plus tôt en calculant d'une manière différente, alors nous serons convaincus que nous avons reçu la même expression. Ainsi, quelle que soit la voie que nous suivons lors du calcul de la dérivée, si tout est calculé correctement, alors la réponse sera la même.
Nuances importantes lors de la résolution de problèmes
En conclusion, je voudrais vous faire part d'une autre subtilité liée au calcul de la dérivée d'un quotient. Ce que je vais vous dire maintenant ne figurait pas dans le script original de la leçon vidéo. Cependant, quelques heures avant le tournage, j'étudiais avec un de mes étudiants et nous discutions justement du sujet des dérivées du quotient. Et il s’est avéré que de nombreux étudiants ne comprennent pas ce point. Supposons donc que nous devions calculer la course de suppression de la fonction suivante :
En principe, à première vue, cela n’a rien de surnaturel. Cependant, dans le processus de calcul, nous pouvons commettre de nombreuses erreurs stupides et offensantes, dont j'aimerais parler maintenant.
Nous calculons donc cette dérivée. Tout d'abord, notons que nous avons le terme $3((x)^(2))$, il convient donc de rappeler la formule suivante :
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
De plus, nous avons le terme $\frac(48)(x)$ - nous le traiterons à travers la dérivée du quotient, à savoir :
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Alors décidons :
\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]
Il n'y a aucun problème avec le premier terme, voir :
\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]
Mais avec le premier terme, $\frac(48)(x)$, vous devez travailler séparément. Le fait est que de nombreux étudiants confondent la situation lorsqu'ils doivent trouver $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ et lorsqu'ils doivent trouver $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Autrement dit, ils sont confus lorsque la constante est au dénominateur et lorsque la constante est au numérateur, respectivement, lorsque la variable est au numérateur ou au dénominateur.
Commençons par la première option :
\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]
En revanche, si nous essayons de faire la même chose avec la deuxième fraction, nous obtiendrons ceci :
\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Cependant, le même exemple pourrait être calculé différemment : au stade où l'on passe à la dérivée du quotient, on peut considérer $\frac(1)(x)$ comme une puissance à exposant négatif, c'est-à-dire qu'on obtient ce qui suit :
\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Et ainsi, nous avons reçu la même réponse.
Ainsi, nous sommes une fois de plus convaincus de deux faits importants. Premièrement, la même dérivée peut être calculée de manières complètement différentes. Par exemple, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ peut être considéré à la fois comme la dérivée d'un quotient et comme la dérivée d'une fonction puissance. De plus, si tous les calculs sont effectués correctement, la réponse sera toujours la même. Deuxièmement, lors du calcul de dérivées contenant à la fois une variable et une constante, il est fondamentalement important de savoir où se trouve la variable - au numérateur ou au dénominateur. Dans le premier cas, lorsque la variable est au numérateur, on obtient une fonction linéaire simple et facilement calculable. Et si la variable est au dénominateur, nous obtenons alors une expression plus complexe avec les calculs d'accompagnement donnés précédemment.
A ce stade, la leçon peut être considérée comme terminée, donc si vous ne comprenez rien aux dérivées d'un quotient ou d'un produit, et en général, si vous avez des questions sur ce sujet, n'hésitez pas - rendez-vous sur mon site , écrivez, appelez et j'essaierai certainement, puis-je vous aider.
Les dérivés eux-mêmes ne constituent pas un sujet complexe, mais ils sont très vastes et ce que nous étudions actuellement sera utilisé à l'avenir pour résoudre des problèmes plus complexes. C’est pourquoi il est préférable d’identifier immédiatement et dès maintenant tous les malentendus liés au calcul des dérivées d’un quotient ou d’un produit. Pas lorsqu’il s’agit d’une énorme boule de neige d’incompréhension, mais lorsqu’il s’agit d’une petite balle de tennis facile à manipuler.
Résoudre des problèmes physiques ou des exemples mathématiques est totalement impossible sans la connaissance de la dérivée et des méthodes de calcul. La dérivée est l’un des concepts les plus importants de l’analyse mathématique. Nous avons décidé de consacrer l’article d’aujourd’hui à ce sujet fondamental. Qu'est-ce qu'une dérivée, quelle est sa signification physique et géométrique, comment calculer la dérivée d'une fonction ? Toutes ces questions peuvent être regroupées en une seule : comment comprendre la dérivée ?
Signification géométrique et physique de la dérivée
Qu'il y ait une fonction f(x) , spécifié dans un certain intervalle (un B) . Les points x et x0 appartiennent à cet intervalle. Lorsque x change, la fonction elle-même change. Changer l'argument - la différence de ses valeurs x-x0 . Cette différence s’écrit deltax et est appelé incrément d’argument. Un changement ou un incrément d'une fonction est la différence entre les valeurs d'une fonction en deux points. Définition du dérivé :
La dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction en un point donné à l'incrément de l'argument lorsque ce dernier tend vers zéro.
Sinon, cela peut s'écrire ainsi :
Quel est l'intérêt de trouver une telle limite ? Et voici ce que c'est :
la dérivée d'une fonction en un point est égale à la tangente de l'angle entre l'axe OX et la tangente au graphique de la fonction en un point donné.
Signification physique de la dérivée : la dérivée de la trajectoire par rapport au temps est égale à la vitesse du mouvement rectiligne.
En effet, depuis l'école tout le monde sait que la vitesse est un chemin particulier x=f(t) et le temps t . Vitesse moyenne sur une certaine période de temps :
Pour connaître la vitesse de déplacement à un instant donné t0 vous devez calculer la limite :
Première règle : définir une constante
La constante peut être soustraite du signe dérivé. De plus, cela doit être fait. Lorsque vous résolvez des exemples en mathématiques, prenez-le comme règle : Si vous pouvez simplifier une expression, assurez-vous de la simplifier .
Exemple. Calculons la dérivée :
Deuxième règle : dérivée de la somme des fonctions
La dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. Il en va de même pour la dérivée de la différence de fonctions.
Nous ne donnerons pas de démonstration de ce théorème, mais considérerons plutôt un exemple pratique.
Trouvez la dérivée de la fonction :
Troisième règle : dérivée du produit de fonctions
La dérivée du produit de deux fonctions différentiables est calculée par la formule :
Exemple : trouver la dérivée d'une fonction :
Solution: 
Il est important de parler ici du calcul des dérivées de fonctions complexes. La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de cette fonction par rapport à l'argument intermédiaire et de la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à la variable indépendante.
Dans l'exemple ci-dessus, nous rencontrons l'expression :
Dans ce cas, l’argument intermédiaire est 8x à la puissance cinq. Afin de calculer la dérivée d'une telle expression, nous calculons d'abord la dérivée de la fonction externe par rapport à l'argument intermédiaire, puis multiplions par la dérivée de l'argument intermédiaire lui-même par rapport à la variable indépendante.
Règle quatre : dérivée du quotient de deux fonctions
Formule pour déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions :
Nous avons essayé de parler de produits dérivés pour les nuls à partir de zéro. Ce sujet n'est pas aussi simple qu'il y paraît, alors soyez prévenu : il y a souvent des pièges dans les exemples, alors soyez prudent lors du calcul des dérivées.
Pour toute question sur ce sujet ou sur d’autres sujets, vous pouvez contacter le service étudiants. En peu de temps, nous vous aiderons à résoudre les tests les plus difficiles et à comprendre les tâches, même si vous n'avez jamais effectué de calculs de dérivées auparavant.
Le maintien de votre vie privée est important pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit la manière dont nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez consulter nos pratiques de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions.
Collecte et utilisation des informations personnelles
Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique.
Il peut vous être demandé de fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.
Vous trouverez ci-dessous quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.
Quelles informations personnelles collectons-nous :
- Lorsque vous soumettez une candidature sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, notamment votre nom, votre numéro de téléphone, votre adresse e-mail, etc.
Comment utilisons-nous vos informations personnelles:
- Les informations personnelles que nous collectons nous permettent de vous contacter avec des offres uniques, des promotions et d'autres événements et événements à venir.
- De temps en temps, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour envoyer des notifications et des communications importantes.
- Nous pouvons également utiliser les informations personnelles à des fins internes, telles que la réalisation d'audits, d'analyses de données et diverses recherches afin d'améliorer les services que nous fournissons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
- Si vous participez à un tirage au sort, un concours ou une promotion similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.
Divulgation d'informations à des tiers
Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.
Des exceptions:
- Si nécessaire - conformément à la loi, à la procédure judiciaire, dans le cadre d'une procédure judiciaire et/ou sur la base de demandes publiques ou de demandes des autorités gouvernementales du territoire de la Fédération de Russie - divulguer vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée à des fins de sécurité, d'application de la loi ou à d'autres fins d'importance publique.
- En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.
Protection des informations personnelles
Nous prenons des précautions - notamment administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.
Respecter votre vie privée au niveau de l'entreprise
Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les normes de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.
L’opération consistant à trouver la dérivée est appelée différenciation.
À la suite de la résolution des problèmes de recherche de dérivées des fonctions les plus simples (et pas très simples) en définissant la dérivée comme la limite du rapport de l'incrément à l'incrément de l'argument, un tableau de dérivées et des règles de différenciation précisément définies sont apparus . Les premiers à travailler dans le domaine de la recherche de dérivés furent Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Par conséquent, à notre époque, pour trouver la dérivée d'une fonction, vous n'avez pas besoin de calculer la limite mentionnée ci-dessus du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, mais il vous suffit d'utiliser le tableau de dérivés et les règles de différenciation. L'algorithme suivant convient pour trouver la dérivée.
Pour trouver la dérivée, il vous faut une expression sous le signe premier décomposer des fonctions simples en composants et déterminer quelles actions (produit, somme, quotient) ces fonctions sont liées. Ensuite, on retrouve les dérivées des fonctions élémentaires dans le tableau des dérivées, et les formules des dérivées du produit, de la somme et du quotient - dans les règles de différenciation. La table des dérivées et les règles de différenciation sont données après les deux premiers exemples.
Exemple 1. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. À partir des règles de différenciation, nous découvrons que la dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées de fonctions, c'est-à-dire
À partir du tableau des dérivées, nous découvrons que la dérivée de "x" est égale à un et que la dérivée du sinus est égale au cosinus. Nous substituons ces valeurs dans la somme des dérivées et trouvons la dérivée requise par la condition du problème :
Exemple 2. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. On différencie comme dérivée d'une somme dont le deuxième terme a un facteur constant ; il peut être soustrait du signe de la dérivée :
Si des questions se posent encore quant à l'origine de quelque chose, elles sont généralement résolues après s'être familiarisé avec le tableau des dérivées et les règles de différenciation les plus simples. Nous passons à eux en ce moment.
Tableau des dérivées de fonctions simples
| 1. Dérivée d'une constante (nombre). N'importe quel nombre (1, 2, 5, 200...) présent dans l'expression de fonction. Toujours égal à zéro. Il est très important de s’en souvenir, car cela est très souvent nécessaire. | |
| 2. Dérivée de la variable indépendante. Le plus souvent « X ». Toujours égal à un. Il est également important de s'en souvenir longtemps | |
| 3. Dérivé du degré. Lorsque vous résolvez des problèmes, vous devez convertir des racines non carrées en puissances. | |
| 4. Dérivée d'une variable à la puissance -1 | |
| 5. Dérivée de racine carrée | |
| 6. Dérivée du sinus | |
| 7. Dérivée du cosinus |  |
| 8. Dérivée de la tangente |  |
| 9. Dérivée de cotangente |  |
| 10. Dérivée de l'arc sinus |  |
| 11. Dérivée de l'arccosinus |  |
| 12. Dérivée de l'arctangente |  |
| 13. Dérivée de l'arc cotangent |  |
| 14. Dérivée du logarithme népérien | |
| 15. Dérivée d'une fonction logarithmique |  |
| 16. Dérivée de l'exposant | |
| 17. Dérivée d'une fonction exponentielle |
Règles de différenciation
| 1. Dérivée d'une somme ou d'une différence |  |
| 2. Dérivé du produit |  |
| 2a. Dérivée d'une expression multipliée par un facteur constant | |
| 3. Dérivée du quotient |  |
| 4. Dérivée d'une fonction complexe |  |
Règle 1.Si les fonctions
sont différentiables à un moment donné, alors les fonctions sont différentiables au même point
et
ceux. la dérivée d'une somme algébrique de fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions.
Conséquence. Si deux fonctions différentiables diffèrent par un terme constant, alors leurs dérivées sont égales, c'est à dire.
Règle 2.Si les fonctions
sont différentiables à un moment donné, alors leur produit est différentiable au même point
et
ceux. La dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et de la dérivée de l'autre.
Corollaire 1. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée:
Corollaire 2. La dérivée du produit de plusieurs fonctions différentiables est égale à la somme des produits de la dérivée de chaque facteur et de tous les autres.
Par exemple, pour trois multiplicateurs :
Règle 3.Si les fonctions
différenciable à un moment donné Et , alors à ce stade leur quotient est également dérivableu/v, et
ceux. la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et le numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur.
Où chercher des choses sur d'autres pages
Pour trouver la dérivée d'un produit et d'un quotient dans des problèmes réels, il est toujours nécessaire d'appliquer plusieurs règles de différenciation à la fois, il y a donc plus d'exemples sur ces dérivées dans l'article"Dérivée du produit et quotient des fonctions".
Commentaire. Il ne faut pas confondre une constante (c'est-à-dire un nombre) avec un terme dans une somme et comme un facteur constant ! Dans le cas d'un terme, sa dérivée est égale à zéro, et dans le cas d'un facteur constant, elle est soustraite du signe des dérivées. Il s'agit d'une erreur typique qui se produit au stade initial de l'étude des dérivées, mais à mesure que l'étudiant moyen résout plusieurs exemples en une ou deux parties, il ne commet plus cette erreur.
Et si, pour différencier un produit ou un quotient, vous disposez d'un terme toi"v, dans lequel toi- un nombre, par exemple 2 ou 5, c'est-à-dire une constante, alors la dérivée de ce nombre sera égale à zéro et, par conséquent, le terme entier sera égal à zéro (ce cas est abordé dans l'exemple 10).
Une autre erreur courante consiste à résoudre mécaniquement la dérivée d’une fonction complexe comme la dérivée d’une fonction simple. C'est pourquoi dérivée d'une fonction complexe un article séparé est consacré. Mais nous allons d’abord apprendre à trouver les dérivées de fonctions simples.
En chemin, on ne peut pas se passer de transformer les expressions. Pour ce faire, vous devrez peut-être ouvrir le manuel dans une nouvelle fenêtre. Des actions avec des pouvoirs et des racines Et Opérations avec des fractions .
Si vous cherchez des solutions aux dérivées de fractions avec des puissances et des racines, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à 
, puis suivez la leçon « Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines ».
Si vous avez une tâche comme 
, alors vous suivrez la leçon « Dérivées de fonctions trigonométriques simples ».
Exemples étape par étape - comment trouver la dérivée
Exemple 3. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Nous définissons les parties de l'expression de fonction : l'expression entière représente un produit, et ses facteurs sont des sommes, dans la seconde desquelles l'un des termes contient un facteur constant. On applique la règle de différenciation des produits : la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions par la dérivée de l'autre :
Ensuite, on applique la règle de différenciation de la somme : la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions. Dans notre cas, dans chaque somme le deuxième terme a un signe moins. Dans chaque somme, nous voyons à la fois une variable indépendante dont la dérivée est égale à un et une constante (nombre) dont la dérivée est égale à zéro. Ainsi, « X » devient un et moins 5 devient zéro. Dans la deuxième expression, « x » est multiplié par 2, nous multiplions donc deux par la même unité que la dérivée de « x ». On obtient les valeurs dérivées suivantes :
Nous substituons les dérivées trouvées dans la somme des produits et obtenons la dérivée de la fonction entière requise par la condition du problème :
Exemple 4. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Nous devons trouver la dérivée du quotient. On applique la formule de différenciation du quotient : la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et de la dérivée du numérateur et du numérateur et de la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l’ancien numérateur. On a:
Nous avons déjà trouvé la dérivée des facteurs au numérateur dans l'exemple 2. N'oublions pas non plus que le produit, qui est le deuxième facteur au numérateur dans l'exemple actuel, est pris avec un signe moins :
Si vous cherchez des solutions à des problèmes dans lesquels vous devez trouver la dérivée d'une fonction, où il y a un tas continu de racines et de puissances, comme, par exemple, 
, alors bienvenue en classe "Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines" .
Si vous avez besoin d'en savoir plus sur les dérivées des sinus, cosinus, tangentes et autres fonctions trigonométriques, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , alors une leçon pour toi "Dérivées de fonctions trigonométriques simples" .
Exemple 5. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Dans cette fonction, nous voyons un produit dont l'un des facteurs est la racine carrée de la variable indépendante, dont nous avons pris connaissance de la dérivée dans le tableau des dérivées. En utilisant la règle de différenciation du produit et la valeur tabulaire de la dérivée de la racine carrée, on obtient :
Exemple 6. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Dans cette fonction on voit un quotient dont le dividende est la racine carrée de la variable indépendante. En utilisant la règle de différenciation des quotients, que nous avons répétée et appliquée dans l'exemple 4, et la valeur tabulée de la dérivée de la racine carrée, on obtient :
Pour supprimer une fraction du numérateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par .
Chargement...