Type de cours : apprendre de nouveaux matériaux.

Objectifs de la leçon:

expansion et approfondissement des idées des élèves sur les problèmes résolus en utilisant la progression arithmétique; organisation de l'activité de recherche des étudiants dans la dérivation de la formule de la somme des n premiers membres d'une progression arithmétique ;
développement de compétences pour acquérir indépendamment de nouvelles connaissances, utiliser les connaissances déjà acquises pour accomplir la tâche définie;
le développement du désir et du besoin de généraliser les faits obtenus, le développement de l'indépendance.

Tâches:

généraliser et systématiser les connaissances existantes sur le thème « Progression arithmétique » ;
dériver des formules pour calculer la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique;
enseigner comment appliquer les formules obtenues pour résoudre divers problèmes;
attirer l'attention des élèves sur l'ordre des actions lors de la recherche de la valeur d'une expression numérique.

Équipement:

des cartes avec des devoirs pour travailler en groupes et en binômes ;
papier d'évaluation;
présentation"Progression arithmétique".

I. Actualisation des connaissances de base.

1. Travail indépendant en binôme.

1ère possibilité :

Donner une définition d'une progression arithmétique. Notez la formule récurrente qui définit la progression arithmétique. Bonjour exemple de progression arithmétique et indiquez sa différence.

2ème possibilité :

Écrivez la formule du nième terme de la progression arithmétique. Trouvez le 100e terme de la progression arithmétique ( un}: 2, 5, 8 …
À ce moment, deux élèves au dos du tableau préparent des réponses aux mêmes questions.
Les élèves évaluent le travail du partenaire par rapport au tableau. (Les feuilles de réponses sont remises).

2. Moment de jeu.

Exercice 1.

Prof. J'ai conçu une progression arithmétique. Posez-moi simplement deux questions pour qu'après les réponses vous puissiez rapidement nommer le 7ème terme de cette progression. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Questions des étudiants.

Quel est le sixième terme de la progression et quelle est la différence ?
Quel est le huitième terme de la progression et quelle est la différence ?

S'il n'y a plus de questions, l'enseignant peut les stimuler - "interdiction" de d (différence), c'est-à-dire qu'il n'est pas permis de demander quelle est la différence. Vous pouvez poser des questions : quel est le 6ème terme de la progression et quel est le 8ème terme de la progression ?

Tâche 2.

Il y a 20 nombres écrits au tableau : 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Le professeur tourne le dos au tableau. Les élèves appellent le numéro du numéro et l'enseignant appelle instantanément le numéro lui-même. Explique comment je fais?

L'enseignante se souvient de la formule du nième trimestre un n = 3n - 2 et, en substituant les valeurs données de n, trouve les valeurs correspondantes un.

II. Énoncé du problème éducatif.

Je propose de résoudre un problème ancien datant du 2ème millénaire avant JC, trouvé dans les papyrus égyptiens.

Tâche:« Qu'on vous dise : divisez 10 mesures d'orge entre 10 personnes, la différence entre chaque personne et son voisin est égale à 1/8 de la mesure.

Comment cette tâche est-elle liée au sujet de la progression arithmétique ? (Chaque suivant obtient 1/8 de mesure de plus, ce qui signifie la différence d = 1/8, 10 personnes, ce qui signifie n = 10.)
A votre avis, que signifie le chiffre 10 ? (La somme de tous les membres de la progression.)
Que devez-vous savoir d'autre pour qu'il soit facile et simple de diviser l'orge en fonction de l'état de la tâche ? (Le premier terme de la progression.)

Objectif de la leçon- obtenir la dépendance de la somme des membres de la progression sur leur nombre, le premier terme et la différence, et vérifier si le problème a été résolu correctement dans les temps anciens.

Avant de tirer la conclusion de la formule, voyons comment les anciens Égyptiens ont résolu le problème.

Et ils l'ont résolu comme suit :

1) 10 mesures : 10 = 1 mesure - part moyenne ;
2) 1 mesure ∙ = 2 mesures - doublé moyenne partager.
doublé moyenne la part est la somme des parts des 5e et 6e personnes.
3) 2 mesures - 1/8 mesures = 1 7/8 mesures - deux fois la part de la cinquième personne.
4) 1 7/8 : 2 = 5/16 - la part de la quinte ; et ainsi de suite, vous pouvez trouver la part de chaque personne précédente et suivante.

On obtient la séquence :

III. La solution au problème.

1. Travailler en groupe

Groupe I : Trouvez la somme de 20 nombres naturels consécutifs : S 20 = (20 + 1) 10 = 210.

En général

Groupe II : Trouvez la somme des nombres naturels de 1 à 100 (La Légende du Petit Gauss).

S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

Sortir:

IIIe groupe : Trouvez la somme des nombres naturels de 1 à 21.

Résolution : 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

Sortir:

Groupe IV : Trouvez la somme des nombres naturels de 1 à 101.

Sortir:

Cette méthode de résolution des problèmes considérés est appelée « méthode de Gauss ».

2. Chaque groupe présente une solution au problème au tableau.

3. Généralisation des solutions proposées pour une progression arithmétique arbitraire :

un 1, un 2, un 3, ..., un n-2, un n-1, un n.
S n = un 1 + un 2 + un 3 + un 4 +… + un n-3 + un n-2 + un n-1 + un n.

Trouvons cette somme en raisonnant de la même manière :

4. Avons-nous résolu la tâche à accomplir ?(Oui.)

IV. Compréhension primaire et application des formules obtenues dans la résolution de problèmes.

1. Vérifier la solution à un ancien problème à l'aide de la formule.

2. Application de la formule à la résolution de divers problèmes.

3. Exercices pour former la capacité d'appliquer la formule lors de la résolution de problèmes.

A) N° 613

Étant donné: ( un) - progression arithmétique;

(un n): 1, 2, 3, ..., 1500

Trouve: S 1500

Solution: , un 1 = 1, un 1500 = 1500,

B) Donné : ( un) - progression arithmétique;
(un n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Trouve: m
Solution:

V. Travail indépendant avec vérification mutuelle.

Denis est allé travailler comme coursier. Au cours du premier mois, son salaire était de 200 roubles, et chaque mois suivant, il augmentait de 30 roubles. Combien a-t-il gagné en un an ?

Étant donné: ( un) - progression arithmétique;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Trouve: S 12
Solution:

Réponse : Denis a reçu 4380 roubles en un an.

Vi. Briefing des devoirs.

p.4.3 - apprendre la dérivation de la formule.
№№ 585, 623 .
Créez un problème qui serait résolu en utilisant la formule de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique.

VII. Résumant la leçon.

1. Fiche d'évaluation

2. Continuer les phrases

Aujourd'hui, dans la leçon que j'ai apprise ...
Formules apprises...
Je pense que …

3. Pouvez-vous trouver la somme des nombres de 1 à 500 ? Quelle méthode utiliserez-vous pour résoudre ce problème ?

Bibliographie.

1. Algèbre, 9e année. Manuel pour les établissements d'enseignement. Éd. G.V. Dorofeeva. M. : "Éducation", 2009.

Si tout nombre naturel m correspondre à un nombre réel un , alors ils disent qu'il est donné séquence numérique :

une 1 , une 2 , une 3 , . . . , un , . . . .

Ainsi, une suite numérique est fonction d'un argument naturel.

Nombre une 1 sont appelés le premier membre de la séquence , numéro une 2 — deuxième mandat , numéro une 3 — troisième etc. Nombre un sont appelés le nième terme de la suite , et le nombre naturel m — son numéro .

De deux membres voisins un et un +1 membre de la séquence un +1 sont appelés subséquent (envers un ), une un — précédent (envers un +1 ).

Pour spécifier une séquence, vous devez spécifier une méthode qui vous permet de trouver un membre de la séquence avec n'importe quel numéro.

Souvent, la séquence est donnée avec formules du nième terme , c'est-à-dire une formule qui vous permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

Par exemple,

une séquence de nombres impairs positifs peut être spécifiée par la formule

un= 2n- 1,

et la séquence d'alternance 1 et -1 - par la formule

b m = (-1)m +1 . ◄

La séquence peut être déterminée formule récursive, c'est-à-dire une formule qui exprime n'importe quel membre de la séquence, en commençant par certains, jusqu'aux membres précédents (un ou plusieurs).

Par exemple,

si une 1 = 1 , une un +1 = un + 5

une 1 = 1,

une 2 = une 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

une 3 = une 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

une 4 = une 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

une 5 = une 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Si un 1= 1, un 2 = 1, un +2 = un + un +1 , alors les sept premiers membres de la séquence numérique sont définis comme suit :

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

une 6 = une 4 + une 5 = 3 + 5 = 8,

une 7 = une 5 + une 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Les séquences peuvent être final et sans fin .

La séquence s'appelle l'ultime s'il a un nombre fini de membres. La séquence s'appelle sans fin s'il a une infinité de membres.

Par exemple,

suite de nombres naturels à deux chiffres :

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Une suite de nombres premiers :

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sans fin. ◄

La séquence s'appelle en augmentant si chacun de ses membres, à partir du second, est supérieur au précédent.

La séquence s'appelle diminuant si chacun de ses membres, à partir du second, est inférieur au précédent.

Par exemple,

2, 4, 6, 8, . . . , 2m, . . . - séquence croissante ;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /m, . . . - une séquence décroissante. ◄

Une suite dont les éléments ne diminuent pas avec un nombre croissant, ou, au contraire, n'augmentent pas, est appelée séquence monotone .

Les séquences monotones, en particulier, sont des séquences ascendantes et des séquences descendantes.

Progression arithmétique

Progression arithmétique une séquence est appelée, dont chaque membre, en commençant par le second, est égal au précédent, auquel s'ajoute le même nombre.

une 1 , une 2 , une 3 , . . . , un, . . .

est une progression arithmétique si pour tout nombre naturel m la condition est remplie :

un +1 = un + ré,

où ré - un certain nombre.

Ainsi, la différence entre le membre suivant et le membre précédent d'une progression arithmétique donnée est toujours constante :

un 2 - une 1 = un 3 - une 2 = . . . = un +1 - un = ré.

Nombre ré sont appelés différence de progression arithmétique.

Pour fixer une progression arithmétique, il suffit d'indiquer son premier terme et la différence.

Par exemple,

si une 1 = 3, ré = 4 , alors les cinq premiers membres de la séquence se trouvent comme suit :

un 1 =3,

un 2 = un 1 + ré = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + ré= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + ré= 11 + 4 = 15,

une 5 = une 4 + ré= 15 + 4 = 19. ◄

Pour la progression arithmétique avec le premier terme une 1 et la différence ré sa m

un = un 1 + (m- 1)ré.

Par exemple,

trouver le trentième terme de la progression arithmétique

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, ré = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (m- 2)ré,

un= un 1 + (m- 1)ré,

un +1 = une 1 + sd,

alors évidemment

un=	un n-1 + un n + 1
	2

chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.

les nombres a, b et c sont des membres consécutifs d'une progression arithmétique si et seulement si l'un d'eux est égal à la moyenne arithmétique des deux autres.

Par exemple,

un = 2m- 7 , est une progression arithmétique.

Utilisons la déclaration ci-dessus. Nous avons:

un = 2m- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2m- 9,

un n+1 = 2(n + 1) - 7 = 2m- 5.

D'où,

un n + 1 + un n-1	=	2m- 5 + 2m- 9	= 2m- 7 = un,
2		2

◄

Noter que m -ème terme de la progression arithmétique peut être trouvé non seulement par une 1 , mais aussi tout précédent un k

un = un k + (m- k)ré.

Par exemple,

pour une 5 peut être écrit

un 5 = un 1 + 4ré,

un 5 = un 2 + 3ré,

un 5 = un 3 + 2ré,

un 5 = un 4 + ré. ◄

un = un n-k + kd,

un = un n + k - kd,

alors évidemment

un=	une n-k + un n + k
	2

tout membre d'une progression arithmétique, à partir de la seconde, est égal à la demi-somme des membres de cette progression arithmétique également espacés de celle-ci.

De plus, pour toute progression arithmétique, l'égalité est vraie :

un m + un n = un k + un l,

m + n = k + l.

Par exemple,

en progression arithmétique

1) une 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (une 9 + une 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7ré= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, car

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= un 1 + un 2 + un 3 +. ... ...+ un,

la première m membres de la progression arithmétique est égal au produit de la demi-somme des termes extrêmes par le nombre de termes :

D'où, en particulier, il s'ensuit que s'il est nécessaire de sommer les termes

un k, un k +1 , . . . , un,

alors la formule précédente conserve sa structure :

Par exemple,

en progression arithmétique 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Si une progression arithmétique est donnée, alors les valeurs une 1 , un, ré, m etS m lié par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Une progression arithmétique est une suite monotone. Où:

si ré > 0 , alors il augmente ;
si ré < 0 , alors il est décroissant ;
si ré = 0 , alors la séquence sera stationnaire.

Progression géométrique

Progression géométrique une séquence est appelée, dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

est une progression géométrique si pour tout nombre naturel m la condition est remplie :

b n +1 = b n · q,

où q ≠ 0 - un certain nombre.

Ainsi, le rapport du membre suivant d'une progression géométrique donnée au précédent est un nombre constant :

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombre q sont appelés dénominateur de la progression géométrique.

Pour fixer une progression géométrique, il suffit d'indiquer son premier terme et son dénominateur.

Par exemple,

si b 1 = 1, q = -3 , alors les cinq premiers membres de la séquence se trouvent comme suit :

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 et le dénominateur q sa m Le e terme peut être trouvé par la formule :

b n = b 1 · qn -1 .

Par exemple,

trouver le septième terme de la progression géométrique 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

alors évidemment

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

chaque membre d'une progression géométrique, à partir du second, est égal à la moyenne géométrique (proportionnelle) des membres précédents et suivants.

Puisque la déclaration inverse est également vraie, la déclaration suivante est vraie :

les nombres a, b et c sont des membres consécutifs d'une progression géométrique si et seulement si le carré de l'un d'eux est égal au produit des deux autres, c'est-à-dire que l'un des nombres est la moyenne géométrique des deux autres.

Par exemple,

démontrons que la suite donnée par la formule b n= -3 2 m , est une progression exponentielle. Utilisons la déclaration ci-dessus. Nous avons:

b n= -3 2 m,

b n -1 = -3 2 m -1 ,

b n +1 = -3 2 m +1 .

D'où,

b n 2 = (-3 2 m) 2 = (-3 2 m -1 ) (-3 2 m +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ce qui prouve la déclaration requise. ◄

Noter que m -ème terme de la progression géométrique peut être trouvé non seulement par b 1 mais aussi tout terme précédent b k , pour laquelle il suffit d'utiliser la formule

b n = b k · qn - k.

Par exemple,

pour b 5 peut être écrit

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · qk,

alors évidemment

b n 2 = b n - k· b n + k

le carré de tout membre d'une progression géométrique, à partir de la seconde, est égal au produit des membres de cette progression équidistants de celle-ci.

De plus, pour toute progression géométrique, l'égalité est vraie :

b m· b n= b k· b l,

m+ m= k+ je.

Par exemple,

exponentiellement

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , car

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

la première m membres d'une progression géométrique avec le dénominateur q ≠ 0 calculé par la formule :

Et quand q = 1 - selon la formule

S n= nb 1

Notez que si vous devez additionner les termes

b k, b k +1 , . . . , b n,

alors la formule est utilisée :

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Par exemple,

exponentiellement 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Si une progression géométrique est donnée, alors les valeurs b 1 , b n, q, m et S n lié par deux formules :

Pour une progression géométrique avec le premier terme b 1 et le dénominateur q ce qui suit propriétés monotones :

la progression est ascendante si l'une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 et q> 1;

b 1 < 0 et 0 < q< 1;

la progression est décroissante si l'une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 et 0 < q< 1;

b 1 < 0 et q> 1.

Si q< 0 , alors la progression géométrique est alternée : ses membres impairs ont le même signe que son premier terme, et les termes pairs ont le signe opposé. Il est clair qu'une progression géométrique alternée n'est pas monotone.

Le travail du premier m les membres d'une progression géométrique peuvent être calculés par la formule :

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) m / 2 .

Par exemple,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progression géométrique décroissante à l'infini

Progression géométrique décroissante à l'infini est appelée une progression géométrique infinie, dont le module du dénominateur est inférieur à 1 , C'est

|q| < 1 .

Notez qu'une progression géométrique infiniment décroissante peut ne pas être une séquence décroissante. Cela correspond au cas

1 < q< 0 .

Avec un tel dénominateur, la séquence est alternée. Par exemple,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante est le nombre auquel la somme du premier m membres de la progression avec une augmentation illimitée du nombre m ... Ce nombre est toujours fini et s'exprime par la formule

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Par exemple,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relation entre les progressions arithmétiques et géométriques

Les progressions arithmétiques et géométriques sont étroitement liées. Regardons juste deux exemples.

une 1 , une 2 , une 3 , . . . ré , alors

b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . bd .

Par exemple,

1, 3, 5, . . . - progression arithmétique avec différence 2 et

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progression géométrique avec dénominateur 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progression géométrique avec dénominateur q , alors

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - progression arithmétique avec différence enregistrer unq .

Par exemple,

2, 12, 72, . . . - progression géométrique avec dénominateur 6 et

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progression arithmétique avec différence lg 6 . ◄

Premier niveau

Progression arithmétique. Théorie détaillée avec exemples (2019)

Séquence de nombres

Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:
Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, eux). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :

Séquence de nombres
Par exemple, pour notre séquence :

Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de la séquence. En d'autres termes, il n'y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le -ième nombre) est toujours un.
Le nombre avec le nombre est appelé le ème membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un index égal au numéro de ce membre :.

Dans notre cas:

Disons que nous avons une séquence numérique dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.
Par exemple:

etc.
Cette suite de nombres est appelée une progression arithmétique.
Le terme "progression" a été introduit par l'auteur romain Boèce au 6ème siècle et a été compris dans un sens plus large comme une séquence de nombres sans fin. Le nom « arithmétique » a été repris de la théorie des proportions continues, qui était occupée par les anciens Grecs.

Il s'agit d'une séquence numérique, dont chaque membre est égal au précédent, ajouté au même nombre. Ce nombre est appelé la différence de la progression arithmétique et est noté par .

Essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression arithmétique et lesquelles ne le sont pas :

une)
b)
c)
ré)

Entendu? Comparons nos réponses :
Est un progression arithmétique - b, c.
N'est pas progression arithmétique - a, d.

Revenons à la progression donnée () et essayons de trouver la valeur de son ème membre. Existe deux le moyen de le trouver.

1. Méthode

On peut ajouter à la valeur précédente du numéro de la progression jusqu'à atteindre le ième terme de la progression. C'est bien que nous n'ayons pas grand-chose à résumer - seulement trois valeurs :

Ainsi, le e membre de la progression arithmétique décrite est égal à.

2. Méthode

Et si on avait besoin de trouver la valeur du ième terme dans la progression ? La sommation nous prendrait plus d'une heure, et ce n'est pas un fait que nous ne nous tromperions pas en additionnant des nombres.
Bien sûr, les mathématiciens ont mis au point une manière dont vous n'avez pas besoin d'ajouter la différence de la progression arithmétique à la valeur précédente. Regardez de plus près l'image dessinée ... Vous avez sûrement déjà remarqué un certain motif, à savoir:

Par exemple, voyons comment s'ajoute la valeur du ième membre de cette progression arithmétique :

En d'autres termes:

Essayez de trouver par vous-même la valeur d'un membre d'une progression arithmétique donnée.

Calculé? Comparez vos notes à la réponse :

Veuillez noter que vous avez obtenu exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque nous avons successivement ajouté les membres de la progression arithmétique à la valeur précédente.
Essayons de "dépersonnaliser" cette formule - nous allons la généraliser et obtenir :

Équation de progression arithmétique.

Les progressions arithmétiques sont croissantes et parfois décroissantes.

Ascendant- des progressions dans lesquelles chaque valeur ultérieure des membres est supérieure à la précédente.
Par exemple:

décroissant- les progressions dans lesquelles chaque valeur ultérieure des membres est inférieure à la précédente.
Par exemple:

La formule dérivée est utilisée pour calculer les termes en termes croissants et décroissants d'une progression arithmétique.
Vérifions-le en pratique.
On nous donne une progression arithmétique composée des nombres suivants : Voyons quel sera le ième nombre de cette progression arithmétique si nous utilisons notre formule pour la calculer :

Depuis:

Ainsi, nous nous sommes assurés que la formule fonctionne à la fois en progression arithmétique décroissante et croissante.
Essayez de trouver par vous-même les e et e termes de cette progression arithmétique.

Comparons les résultats obtenus :

Propriété de progression arithmétique

Compliquons la tâche - nous allons dériver la propriété de la progression arithmétique.
Disons qu'on nous donne la condition suivante :
- progression arithmétique, trouver la valeur.
Facile, dites-vous et commencez à compter selon la formule que vous connaissez déjà :

Soit, a, alors :

Absolument raison. Il s'avère que nous trouvons d'abord, puis l'ajoutons au premier nombre et obtenons ce que nous recherchons. Si la progression est représentée par de petites valeurs, alors il n'y a rien de compliqué, mais si on nous donne des nombres dans la condition ? Avouez-le, il y a un risque de se tromper dans les calculs.
Maintenant, réfléchissez, est-il possible de résoudre ce problème en une seule action en utilisant n'importe quelle formule ? Bien sûr, oui, et c'est elle que nous allons essayer de retirer maintenant.

Désignons le terme requis de la progression arithmétique car nous connaissons la formule pour la trouver - c'est la même formule que nous avons dérivée au début :
, alors:

le membre précédent de la progression est :
le prochain membre de la progression est :

Résumons les membres précédents et suivants de la progression :

Il s'avère que la somme des membres précédents et suivants de la progression est la valeur doublée du membre de la progression situé entre eux. En d'autres termes, pour trouver la valeur d'un membre de la progression avec des valeurs antérieures et successives connues, il faut les additionner et diviser par.

C'est vrai, nous avons le même numéro. Fixons le matériel. Calculez vous-même la valeur de la progression, car ce n'est pas difficile du tout.

Bien fait! Vous savez presque tout sur la progression ! Il ne reste qu'une formule à apprendre, qui, selon la légende, aurait été facilement déduite pour lui-même par l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, le "roi des mathématiciens" - Karl Gauss ...

Lorsque Karl Gauss avait 9 ans, un enseignant chargé de vérifier le travail des élèves d'autres années a demandé la tâche suivante dans la leçon : "Calculer la somme de tous les nombres naturels jusqu'à (selon d'autres sources jusqu'à) inclusivement." Imaginez la surprise du professeur lorsqu'un de ses élèves (c'était Karl Gauss) a donné la bonne réponse au problème en une minute, alors que la plupart des camarades de classe du casse-cou, après de longs calculs, ont reçu le mauvais résultat...

Le jeune Karl Gauss a remarqué un certain motif que vous pouvez facilement remarquer.
Disons que nous avons une progression arithmétique composée de -ième membres : nous devons trouver la somme des membres donnés de la progression arithmétique. Bien sûr, on peut additionner manuellement toutes les valeurs, mais et si dans la tâche il fallait trouver la somme de ses membres, comme Gauss le recherchait ?

Dessinons une progression donnée. Regardez attentivement les nombres mis en évidence et essayez d'effectuer diverses opérations mathématiques avec eux.

L'as tu essayé? Qu'avez-vous remarqué? Droit! Leurs sommes sont égales

Maintenant, dites-moi, combien y a-t-il de telles paires dans la progression donnée ? Bien sûr, exactement la moitié de tous les nombres, c'est-à-dire.
Sur la base du fait que la somme de deux membres de la progression arithmétique est égale, et des paires égales similaires, nous obtenons que la somme totale est :
.
Ainsi, la formule pour la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera la suivante :

Dans certains problèmes, on ne connaît pas le ième terme, mais on connaît la différence dans la progression. Essayez de substituer dans la formule de la somme, la formule du ième terme.
Qu'est-ce que tu as fait?

Bien fait! Revenons maintenant au problème qui a été posé à Karl Gauss : calculez vous-même quelle est la somme des nombres à partir du -ème, et la somme des nombres à partir du -ème.

Combien as-tu eu ?
Gauss a constaté que la somme des membres est égale, et la somme des membres. C'est comme ça que tu as décidé ?

En fait, la formule pour la somme des membres d'une progression arithmétique a été prouvée par l'ancien scientifique grec Diophante au IIIe siècle, et tout au long de cette période, des personnes pleines d'esprit utilisaient les propriétés d'une progression arithmétique avec force et force.
Par exemple, imaginez l'Egypte ancienne et le chantier de construction le plus ambitieux de cette époque - la construction de la pyramide... La photo en montre un côté.

Où est la progression ici me direz-vous ? Regardez attentivement et trouvez un modèle dans le nombre de blocs de sable dans chaque rangée du mur de la pyramide.

N'est-ce pas une progression arithmétique ? Calculez combien de blocs sont nécessaires pour construire un mur si des briques de blocs sont placées dans la base. J'espère que vous ne compterez pas en passant votre doigt sur l'écran, vous souvenez-vous de la dernière formule et de tout ce que nous avons dit sur la progression arithmétique ?

Dans ce cas, la progression ressemble à ceci :.
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de membres de la progression arithmétique.
Remplaçons nos données dans les dernières formules (nous compterons le nombre de blocs de 2 manières).

Méthode 1.

Méthode 2.

Et maintenant, vous pouvez calculer sur le moniteur : comparez les valeurs obtenues avec le nombre de blocs qui se trouvent dans notre pyramide. Est-ce que c'est venu ensemble? Bravo, vous maîtrisez la somme des termes de la progression arithmétique.
Bien sûr, vous ne pouvez pas construire une pyramide à partir de blocs à la base, mais à partir de ? Essayez de calculer combien de briques de sable sont nécessaires pour construire un mur dans cette condition.
as-tu réussi ?
La bonne réponse est blocs :

Entraînement

Tâches:

Masha se remet en forme d'ici l'été. Chaque jour, elle augmente le nombre de squats. Combien de fois Masha va-t-elle s'accroupir en semaines, si lors du premier entraînement elle a fait des squats.
Quelle est la somme de tous les nombres impairs contenus dans.
Lors du stockage des bûches, les bûcherons les empilent de manière à ce que chaque couche supérieure contienne une bûche de moins que la précédente. Combien y a-t-il de bûches dans une maçonnerie, si les bûches servent de base à la maçonnerie.

Réponses:

Définissons les paramètres de la progression arithmétique. Dans ce cas
(semaines = jours).
Réponse: Après deux semaines, Masha devrait s'accroupir une fois par jour.
Premier nombre impair, dernier nombre.
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de nombres impairs dans est la moitié, cependant, nous allons vérifier ce fait en utilisant la formule pour trouver le -ième terme d'une progression arithmétique :
Les nombres contiennent des nombres impairs.
Remplacez les données disponibles dans la formule :
Réponse: La somme de tous les nombres impairs contenus dans est égale à.
Rappelons-nous le problème de la pyramide. Pour notre cas, a, puisque chaque couche supérieure est réduite d'un journal, alors seulement dans un tas de couches, c'est-à-dire.
Remplaçons les données dans la formule :
Réponse: Il y a des rondins dans la maçonnerie.

Résumons

- une séquence numérique dans laquelle la différence entre des nombres adjacents est la même et égale. Il peut être ascendant et décroissant.
Trouver la formule-ème membre de la progression arithmétique est écrit par la formule -, où est le nombre de nombres dans la progression.
Propriété des membres d'une progression arithmétique- - où est le nombre de nombres dans la progression.
La somme des membres d'une progression arithmétique peut être trouvé de deux manières :

, où est le nombre de valeurs.

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. NIVEAU MOYEN

Séquence de nombres

Asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:

Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez. Mais vous pouvez toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Ceci est un exemple de séquence de nombres.

Séquence de nombres est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.

Autrement dit, à chaque nombre peut être associé un certain nombre naturel, et le seul. Et nous n'attribuerons ce numéro à aucun autre numéro de cet ensemble.

Le nombre avec le nombre est appelé le ème membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un index égal au numéro de ce membre :.

C'est très pratique si le e terme de la séquence peut être spécifié par une formule. Par exemple, la formule

spécifie la séquence :

Et la formule est la séquence suivante :

Par exemple, une progression arithmétique est une suite (le premier terme ici est égal, et la différence). Ou (, différence).

Formule du nième terme

On appelle récurrente une formule dans laquelle pour connaître le ème membre, il faut connaître le précédent ou plusieurs précédents :

Pour trouver, par exemple, le e terme de la progression à l'aide d'une telle formule, il faudra calculer les neuf précédents. Par exemple, laissez. Puis:

Eh bien, quelle est la formule maintenant?

Dans chaque ligne, nous ajoutons, multiplié par un certain nombre. Pour quelle raison? Très simple : c'est le numéro du membre actuel moins :

Beaucoup plus pratique maintenant, non? Nous vérifions:

Décider vous-même:

Dans une progression arithmétique, trouvez la formule du nième terme et trouvez le centième terme.

Solution:

Le premier terme est égal. Quelle est la différence? Et voici quoi :

(c'est parce qu'on l'appelle la différence, qui est égale à la différence des membres successifs de la progression).

La formule est donc :

Alors le centième terme est :

Quelle est la somme de tous les nombres naturels de à ?

Selon la légende, le grand mathématicien Karl Gauss, étant un garçon de 9 ans, a calculé ce montant en quelques minutes. Il a remarqué que la somme du premier et du dernier nombre est égale, la somme du deuxième et de l'avant-dernier est la même, la somme du troisième et du troisième à partir de la fin est la même, et ainsi de suite. Combien y aura-t-il de telles paires ? C'est vrai, exactement la moitié du nombre de tous les nombres, c'est-à-dire. Donc,

La formule générale pour la somme des premiers membres de toute progression arithmétique serait :

Exemple:
Trouvez la somme de tous les multiples à deux chiffres.

Solution:

Le premier de ces nombres est. Chaque suivant est obtenu en ajoutant au nombre précédent. Ainsi, les nombres qui nous intéressent forment une progression arithmétique avec le premier terme et la différence.

La formule du e terme pour cette progression est :

Combien de membres sont dans la progression s'ils doivent tous être à deux chiffres ?

Très facile: .

Le dernier terme de la progression sera égal. Puis la somme :

Réponse: .

Décidez maintenant par vous-même :

Chaque jour, l'athlète court plus de m que la veille. Combien de kilomètres parcourra-t-il en semaines s'il a couru km m le premier jour ?
Un cycliste parcourt plus de kilomètres chaque jour que le précédent. Le premier jour, il a parcouru km. Combien de jours doit-il voyager pour parcourir le km ? Combien de kilomètres parcourra-t-il le dernier jour du voyage ?
Le prix d'un réfrigérateur dans un magasin diminue du même montant chaque année. Déterminez de combien le prix du réfrigérateur a diminué chaque année, si, mis en vente pour des roubles, six ans plus tard, il a été vendu pour des roubles.

Réponses:

Le plus important ici est de reconnaître la progression arithmétique et de déterminer ses paramètres. Dans ce cas, (semaines = jours). Vous devez déterminer la somme des premiers membres de cette progression :
.
Réponse:
Il est donné ici :, il faut trouver.
Évidemment, vous devez utiliser la même formule de somme que dans le problème précédent :
.
Remplacez les valeurs :
La racine ne convient évidemment pas, donc la réponse est.
Calculons la distance parcourue le dernier jour à l'aide de la formule du e terme :
(km).
Réponse:
Étant donné:. Trouve: .
Rien de plus simple :
(frotter).
Réponse:

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. BREF SUR LE PRINCIPAL

Il s'agit d'une séquence numérique dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.

La progression arithmétique peut être ascendante () et décroissante ().

Par exemple:

La formule pour trouver le n-ième terme d'une progression arithmétique

écrit par la formule, où est le nombre de nombres dans la progression.

Propriété des membres d'une progression arithmétique

Il vous permet de trouver facilement un membre de la progression si ses membres voisins sont connus - où est le nombre de numéros dans la progression.

La somme des membres d'une progression arithmétique

Il y a deux façons de trouver le montant :

Où est le nombre de valeurs.

Instructions

Une progression arithmétique est une suite de la forme a1, a1 + d, a1 + 2d ..., a1 + (n-1) d. D par étapes progression Il est évident que le total d'un n-ième terme arbitraire de l'arithmétique progression a la forme : An = A1 + (n-1) d. Puis connaissant l'un des membres progression, membre progression et pas progression, vous pouvez, c'est-à-dire le numéro du membre de la progression. Évidemment, il sera déterminé par la formule n = (An-A1 + d) / d.

Maintenant, laissons le terme m être connu progression et un autre membre progression- n-ième, mais n, comme dans le cas précédent, mais on sait que n et m ne coïncident pas. progression peut être calculé par la formule : d = (An-Am) / (n-m). Alors n = (An-Am + md) / d.

Si la somme de plusieurs éléments de l'arithmétique est connue progression, ainsi que son premier et son dernier, le nombre de ces éléments peut également être déterminé. progression sera égal à : S = ((A1 + An) / 2) n. Alors n = 2S / (A1 + An) - chdenov progression... En utilisant le fait que An = A1 + (n-1) d, cette formule peut être réécrite comme : n = 2S / (2A1 + (n-1) d). A partir de là, on peut exprimer n en résolvant une équation quadratique.

Une suite arithmétique est un tel ensemble ordonné de nombres, dont chaque membre, à l'exception du premier, diffère du précédent du même montant. Cette constante est appelée la différence de la progression ou son pas et peut être calculée à partir des membres connus de la progression arithmétique.

Instructions

Si les valeurs du premier et du deuxième ou de toute autre paire de termes voisins sont connues à partir des conditions du problème, pour calculer la différence (d), il suffit de soustraire le précédent du terme suivant. La valeur résultante peut être positive ou négative, selon que la progression est croissante. Sous sa forme générale, écrivez la solution pour une paire arbitraire (aᵢ et aᵢ₊₁) de membres adjacents de la progression comme suit : d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pour une paire de membres d'une telle progression, dont l'un est le premier (a₁), et l'autre est tout autre choisi arbitrairement, il est également possible de composer une formule pour trouver la différence (d). Cependant, dans ce cas, le numéro de séquence (i) d'un membre arbitrairement sélectionné de la séquence doit être connu. Pour calculer la différence, additionnez les deux nombres et divisez le résultat par le nombre ordinal d'un terme arbitraire réduit de un. En général, écrivez cette formule comme suit : d = (a₁ + aᵢ) / (i-1).

Si, en plus d'un membre arbitraire de la progression arithmétique avec l'ordinal i, un autre membre avec l'ordinal u est connu, modifiez la formule de l'étape précédente en conséquence. Dans ce cas, la différence (d) de la progression sera la somme de ces deux termes divisée par la différence de leurs nombres ordinaux : d = (aᵢ + aᵥ) / (i-v).

La formule de calcul de la différence (d) deviendra un peu plus compliquée si la valeur de son premier terme (a₁) et la somme (Sᵢ) d'un nombre donné (i) des premiers membres de la suite arithmétique sont données dans le problème conditions. Pour obtenir la valeur souhaitée, divisez le montant par le nombre de membres qui le composent, soustrayez la valeur du premier nombre de la séquence et doublez le résultat. Divisez la valeur résultante par le nombre de membres qui composent la somme, réduit de un. En général, notez la formule de calcul du discriminant comme suit : d = 2 * (Sᵢ / i-a₁) / (i-1).

Lorsqu'on étudie l'algèbre dans une école d'enseignement général (9e année), l'un des sujets importants est l'étude des suites numériques, qui comprennent des progressions - géométriques et arithmétiques. Dans cet article, nous examinerons la progression arithmétique et des exemples avec des solutions.

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ?

Pour comprendre cela, il est nécessaire de donner une définition de la progression envisagée, ainsi que de donner les formules de base qui seront ensuite utilisées dans la résolution de problèmes.

Arithmétique ou est un ensemble de nombres rationnels ordonnés, dont chaque terme diffère du précédent par une quantité constante. Cette valeur est appelée la différence. C'est-à-dire que, connaissant n'importe quel membre de la série ordonnée de nombres et la différence, vous pouvez restaurer l'intégralité de la progression arithmétique.

Donnons un exemple. La prochaine séquence de nombres sera une progression arithmétique : 4, 8, 12, 16, ..., puisque la différence dans ce cas est 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mais l'ensemble des nombres 3, 5, 8, 12, 17 ne peut plus être attribué au type de progression considéré, puisque la différence pour lui n'est pas une valeur constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formules importantes

Donnons maintenant les formules de base qui seront nécessaires pour résoudre des problèmes en utilisant une progression arithmétique. Notons a n le nième terme de la suite, où n est un entier. La différence est indiquée par la lettre latine d. Alors les expressions suivantes sont valides :

Pour déterminer la valeur du nième terme, la formule convient : a n = (n-1) * d + a 1.
Pour déterminer la somme des n premiers termes : S n = (a n + a 1) * n / 2.

Pour comprendre des exemples de progression arithmétique avec une solution en 9e année, il suffit de se souvenir de ces deux formules, puisque tout problème du type considéré repose sur leur utilisation. Vous devez également vous rappeler que la différence de progression est déterminée par la formule : d = a n - a n-1.

Exemple n°1 : trouver un membre inconnu

Donnons un exemple simple d'une progression arithmétique et des formules qui doivent être utilisées pour résoudre.

Soit la suite 10, 8, 6, 4, ... donnée, il faut y trouver cinq termes.

Il résulte déjà de l'énoncé du problème que les 4 premiers termes sont connus. Le cinquième peut être défini de deux manières :

Calculons d'abord la différence. On a : d = 8 - 10 = -2. De même, on pourrait prendre n'importe quel autre membre se tenant l'un à côté de l'autre. Par exemple, d = 4 - 6 = -2. Comme on sait que d = a n - a n-1, alors d = a 5 - a 4, d'où on obtient : a 5 = a 4 + d. Remplacez les valeurs connues : a 5 = 4 + (-2) = 2.
La deuxième méthode nécessite également de connaître la différence de la progression considérée, vous devez donc d'abord la déterminer comme indiqué ci-dessus (d = -2). Sachant que le premier terme a 1 = 10, on utilise la formule pour n nombre de la séquence. On a : a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. En substituant n = 5 dans la dernière expression, on obtient : a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Comme vous pouvez le voir, les deux méthodes de résolution ont conduit au même résultat. A noter que dans cet exemple, la différence d de la progression est négative. De telles séquences sont appelées décroissantes, car chaque terme suivant est inférieur au précédent.

Exemple n°2 : Différence de progression

Compliquons maintenant un peu la tâche, nous allons donner un exemple de la façon de trouver la différence d'une progression arithmétique.

On sait que dans certaines progressions algébriques le 1er terme est égal à 6, et le 7ème terme est égal à 18. Il faut trouver la différence et restituer cette suite au 7ème terme.

Utilisons la formule pour déterminer le terme inconnu : a n = (n - 1) * d + a 1. Nous y substituons les données connues de la condition, c'est-à-dire les nombres a 1 et a 7, nous avons : 18 = 6 + 6 * d. A partir de cette expression, vous pouvez facilement calculer la différence : d = (18 - 6) / 6 = 2. Ainsi, nous avons répondu à la première partie du problème.

Pour restituer une suite jusqu'à 7 termes, il faut utiliser la définition d'une progression algébrique, c'est-à-dire a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, et ainsi de suite. Du coup, on restitue toute la séquence : a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16, un 7 = 18.

Exemple n°3 : faire une progression

Compliquons encore plus l'état du problème. Il faut maintenant répondre à la question de savoir comment trouver la progression arithmétique. Vous pouvez donner l'exemple suivant : étant donné deux nombres, par exemple - 4 et 5. Il est nécessaire de faire une progression algébrique pour que trois termes supplémentaires s'adaptent entre eux.

Avant de commencer à résoudre ce problème, il est nécessaire de comprendre quelle place les nombres donnés occuperont dans la progression future. Puisqu'il y aura trois autres termes entre eux, alors un 1 = -4 et un 5 = 5. Ceci étant établi, nous passons au problème, qui est similaire au précédent. Encore une fois, pour le nième terme, on utilise la formule, on obtient : a 5 = a 1 + 4 * d. D'où : d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ici, nous n'avons pas reçu une valeur entière de la différence, mais c'est un nombre rationnel, donc les formules pour la progression algébrique restent les mêmes.

Ajoutez maintenant la différence trouvée à un 1 et restaurez les membres manquants de la progression. On obtient : a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, ce qui coïncidait avec l'état du problème.

Exemple n°4 : le premier terme de la progression

Continuons à donner des exemples de progression arithmétique avec une solution. Dans tous les problèmes précédents, le premier nombre de la progression algébrique était connu. Considérons maintenant un problème d'un type différent : donnons deux nombres, où a 15 = 50 et a 43 = 37. Il faut trouver le nombre à partir duquel cette séquence commence.

Les formules utilisées jusqu'à présent supposent la connaissance de a 1 et d. Rien n'est connu sur ces nombres dans l'énoncé du problème. Néanmoins, nous écrivons des expressions pour chaque membre sur lequel il existe des informations : a 15 = a 1 + 14 * d et a 43 = a 1 + 42 * d. Reçu deux équations, dans lesquelles 2 quantités inconnues (a 1 et d). Cela signifie que le problème se réduit à résoudre un système d'équations linéaires.

La façon la plus simple de résoudre ce système est d'exprimer un 1 dans chaque équation, puis de comparer les expressions résultantes. La première équation : a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d ; deuxième équation : a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. En égalant ces expressions, on obtient : 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, d'où la différence d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (seulement 3 décimales sont données).

Connaissant d, vous pouvez utiliser l'une des 2 expressions ci-dessus pour un 1. Par exemple, le premier : a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Si vous avez des doutes sur le résultat, vous pouvez le vérifier, par exemple, déterminer le terme 43 de la progression, qui est spécifié dans la condition. On obtient : a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Une petite erreur est due au fait que les calculs ont utilisé des arrondis au millième.

Exemple #5 : montant

Voyons maintenant quelques exemples avec des solutions pour la somme d'une progression arithmétique.

Soit une progression numérique de la forme suivante : 1, 2, 3, 4, ...,. Comment calculer la somme de ces 100 nombres ?

Grâce au développement de la technologie informatique, il est possible de résoudre ce problème, c'est-à-dire d'additionner tous les nombres de manière séquentielle, ce que l'ordinateur fera dès qu'une personne appuie sur la touche Entrée. Cependant, le problème peut être résolu dans l'esprit, si nous faisons attention que la série de nombres présentée est une progression algébrique, et sa différence est 1. En appliquant la formule de la somme, nous obtenons : S n = n * (a 1 + un) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Il est intéressant de noter que ce problème est dit « gaussien », car au début du XVIIIe siècle, le célèbre Allemand, alors qu'il n'avait encore que 10 ans, était capable de le résoudre dans sa tête en quelques secondes. Le garçon ne connaissait pas la formule de la somme d'une progression algébrique, mais il a remarqué que si vous additionnez par paires les nombres sur les bords de la séquence, vous obtenez toujours un résultat, c'est-à-dire 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., et puisque de ces montants seront exactement 50 (100/2), alors pour obtenir la bonne réponse, il suffit de multiplier 50 par 101.

Exemple n°6 : somme des membres de n à m

Un autre exemple typique de la somme d'une progression arithmétique est le suivant : étant donné une série de nombres : 3, 7, 11, 15, ..., vous devez trouver ce que la somme de ses membres de 8 à 14 sera égale.

Le problème est résolu de deux manières. Le premier d'entre eux consiste à trouver des termes inconnus de 8 à 14, puis à les ajouter de manière séquentielle. Comme il y a peu de termes, cette méthode n'est pas assez laborieuse. Néanmoins, il est proposé de résoudre ce problème par la seconde méthode, qui est plus universelle.

L'idée est d'obtenir une formule pour la somme de la progression algébrique entre les termes m et n, où n> m sont des nombres entiers. Écrivons deux expressions pour la somme dans les deux cas :

S m = m * (un m + un 1) / 2.
S n = n * (un n + un 1) / 2.

Puisque n> m, il est évident que la somme des 2 inclut la première. La dernière conclusion signifie que si nous prenons la différence entre ces sommes et y ajoutons le terme a m (dans le cas de la différence, il est soustrait de la somme S n), alors nous obtenons la réponse nécessaire au problème. On a : S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n/2 + am * (1- m/2). Dans cette expression, il est nécessaire de substituer les formules pour un n et un m. On obtient alors : S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

La formule résultante est quelque peu lourde ; néanmoins, la somme de S mn ne dépend que de n, m, a 1 et d. Dans notre cas, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. En substituant ces nombres, on obtient : S mn = 301.

Comme le montrent les solutions données, tous les problèmes sont basés sur la connaissance de l'expression du nième terme et de la formule de la somme de l'ensemble des premiers termes. Avant de procéder à la résolution de l'un de ces problèmes, il est recommandé de lire attentivement la condition, de bien comprendre ce qui doit être trouvé, puis de passer à la solution.

Une autre astuce consiste à rechercher la simplicité, c'est-à-dire que si vous pouvez répondre à une question sans utiliser de calculs mathématiques complexes, vous devez le faire, car dans ce cas, la probabilité de faire une erreur est moindre. Par exemple, dans un exemple de progression arithmétique avec la solution # 6, on pourrait s'arrêter à la formule S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, et casser le problème général en sous-tâches distinctes (dans ce cas, recherchez d'abord les membres an et am).

En cas de doute sur le résultat obtenu, il est recommandé de le vérifier, comme cela a été fait dans certains des exemples donnés. Nous avons compris comment trouver la progression arithmétique. Si vous le comprenez, ce n'est pas si difficile.