त्रिकोणमिति में, याद रखने की तुलना में कई सूत्रों को निकालना आसान होता है। दोहरे कोण की कोज्या एक अद्भुत सूत्र है! यह आपको कमी सूत्र और आधा कोण सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है।
तो, हमें दोहरे कोण की कोज्या और त्रिकोणमितीय इकाई की आवश्यकता है:
वे और भी समान हैं: दोहरे कोण के कोसाइन के सूत्र में - कोसाइन और साइन के वर्गों के बीच का अंतर, और त्रिकोणमितीय इकाई में - उनका योग। यदि हम त्रिकोणमितीय इकाई से कोज्या व्यक्त करते हैं:
और इसे दोहरे कोण की कोज्या में प्रतिस्थापित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:
यह एक दोहरे कोण की कोज्या के लिए एक और सूत्र है:
यह सूत्र कमी सूत्र प्राप्त करने की कुंजी है:
तो, ज्या की डिग्री कम करने का सूत्र है:
यदि इसमें कोण अल्फा को आधा कोण अल्फा द्वारा आधे में बदल दिया जाता है, और डबल कोण दो अल्फा को कोण अल्फा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हमें साइन के लिए आधे कोण का सूत्र मिलता है:
अब, त्रिकोणमितीय इकाई से, हम ज्या व्यक्त करते हैं:
इस व्यंजक को द्विकोण की कोज्या के सूत्र में रखें:
हमें एक दोहरे कोण की कोज्या के लिए एक और सूत्र मिला है:
यह सूत्र कोज्या कमी और कोज्या के लिए आधा कोण सूत्र खोजने की कुंजी है।
इस प्रकार, कोसाइन की डिग्री को कम करने का सूत्र है:
यदि हम इसमें α को α/2 से और 2α को α से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें कोसाइन के लिए आधे तर्क का सूत्र मिलता है:
चूँकि स्पर्शरेखा ज्या से कोज्या का अनुपात है, स्पर्शरेखा का सूत्र है:
Cotangent कोसाइन और ज्या का अनुपात है। तो कोटैंजेंट का सूत्र है:
बेशक, त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की प्रक्रिया में, अर्ध-कोण सूत्र प्राप्त करने या हर बार डिग्री कम करने का कोई मतलब नहीं है। आपके सामने फ़ार्मुलों की एक शीट रखना बहुत आसान है। और सरलीकरण तेजी से आगे बढ़ेगा, और याद रखने के लिए दृश्य स्मृति चालू हो जाएगी।
लेकिन यह अभी भी कई बार इन सूत्रों को प्राप्त करने लायक है। तब आपको पूरा यकीन होगा कि परीक्षा के दौरान जब चीट शीट का उपयोग करने का कोई तरीका नहीं है, तो जरूरत पड़ने पर आप उन्हें आसानी से प्राप्त कर सकते हैं।
साइन मान सीमा में हैं [-1; 1], यानी -1 पाप α ≤ 1. इसलिए, अगर |a| > 1, तो समीकरण sin x = a का कोई मूल नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरण sin x = 2 का कोई मूल नहीं है।
आइए कुछ कार्यों की ओर मुड़ें।
समीकरण sin x = 1/2 को हल कीजिए।
फेसला।
ध्यान दें कि sin x इकाई वृत्त के बिंदु की कोटि है, जो बिंदु (1; 0) के मूल बिंदु के चारों ओर x के घूर्णन के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है।
वृत्त M 1 और M 2 के दो बिंदुओं पर ½ के बराबर एक कोटि मौजूद है।
1/2 \u003d पाप / 6 के बाद से, बिंदु M 1 बिंदु P (1; 0) से कोण x 1 \u003d π / 6 के साथ-साथ कोण x \u003d के माध्यम से मोड़कर प्राप्त किया जाता है। / 6 + 2πk, जहाँ k \u003d +/-1, +/-2,…
बिंदु एम 2 बिंदु पी (1; 0) से कोण x 2 = 5π/6, साथ ही कोण x = 5π/6 + 2πk के माध्यम से मोड़ने के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है, जहां के = +/- 1, +/- 2, ..., अर्थात। कोणों पर x = π - π/6 + 2πk, जहां k = +/-1, +/-2, ….
तो, समीकरण sin x = 1/2 के सभी मूल सूत्र x = /6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk द्वारा ज्ञात किए जा सकते हैं, जहाँ k € Z।
इन सूत्रों को एक में जोड़ा जा सकता है: x \u003d (-1) n / 6 + πn, जहां n € Z (1)।
वास्तव में, यदि n एक सम संख्या है, अर्थात्। n = 2k, तो सूत्र (1) से हम х = /6 + 2πk प्राप्त करते हैं, और यदि n एक विषम संख्या है, अर्थात्। n = 2k + 1, तो सूत्र (1) से हम х = - /6 + 2πk प्राप्त करते हैं।
जवाब। x \u003d (-1) n / 6 + n, जहां n € Z।
समीकरण पाप x = -1/2 को हल करें।
फेसला।
कोटि -1/2 में यूनिट सर्कल एम 1 और एम 2 के दो बिंदु हैं, जहां x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6। इसलिए, समीकरण sin x = -1/2 के सभी मूल सूत्र x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k Z द्वारा ज्ञात किए जा सकते हैं।
हम इन सूत्रों को एक में जोड़ सकते हैं: x \u003d (-1) n (-π / 6) + n, n € Z (2)।
वास्तव में, यदि n = 2k, तो सूत्र (2) से हम x = -π/6 + 2πk प्राप्त करते हैं, और यदि n = 2k - 1, तो सूत्र (2) से हम x = -5π/6 + 2πk पाते हैं।
जवाब। x \u003d (-1) n (-π / 6) + n, n € Z।
इस प्रकार, प्रत्येक समीकरण sin x = 1/2 और sin x = -1/2 के मूल की अनंत संख्या है।
खंड -π/2 x /2 पर, इनमें से प्रत्येक समीकरण का केवल एक मूल है:
x 1 \u003d π / 6 - समीकरण की जड़ पाप x \u003d 1/2 और x 1 \u003d -π / 6 - समीकरण की जड़ पाप x \u003d -1/2।
संख्या π/6 को संख्या 1/2 की चाप कहा जाता है और लिखा जाता है: arcsin 1/2 = /6; संख्या -π/6 को संख्या -1/2 का आर्क्साइन कहा जाता है और वे लिखते हैं: आर्क्सिन (-1/2) = -π/6।
सामान्य तौर पर, समीकरण पाप x \u003d a, जहां -1 a 1, खंड पर -π / 2 x / 2 में केवल एक जड़ होती है। यदि a 0 है, तो रूट अंतराल में संलग्न है; यदि एक< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
इस प्रकार, संख्या की चाप एक € [-1; 1] ऐसी संख्या को € [-π/2; /2], जिसकी ज्या है a.
आर्क्सिन ए = α अगर पाप α = ए और -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3)।
उदाहरण के लिए, चाप √2/2 = π/4, क्योंकि sin π/4 = √2/2 और – π/2 /4 ≤ /2;
आर्कसिन (-√3/2) = -π/3, क्योंकि पाप (-π/3) = -√3/2 और – π/2 
- /3 /2.
इसी तरह समस्या 1 और 2 को हल करते समय यह कैसे किया गया था, यह दिखाया जा सकता है कि समीकरण sin x = a की जड़ें, जहां |a| ≤ 1 सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है
x \u003d (-1) n आर्कसिन a + πn, n € Z (4)।
हम यह भी साबित कर सकते हैं कि किसी € [-1; 1] सूत्र arcsin (-a) = -arcsin a मान्य है।
सूत्र (4) से यह इस प्रकार है कि समीकरण की जड़ें
पाप x \u003d a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 के लिए सरल सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:
पाप x \u003d 0 x \u003d n, n € Z (5)
पाप x \u003d 1 x \u003d / 2 + 2πn, n € Z (6)
पाप x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
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|बीडी| - बिंदु A पर केन्द्रित वृत्त के चाप की लंबाई।
α रेडियन में व्यक्त कोण है।
स्पर्शरेखा ( tgα) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC| आसन्न पैर की लंबाई तक |AB| .
कोटैंजेंट ( सीटीजीα) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न टांग की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| विपरीत पैर की लंबाई तक |BC| .
स्पर्शरेखा
कहाँ एन- पूरा का पूरा।
पश्चिमी साहित्य में, स्पर्शरेखा को निम्नानुसार दर्शाया गया है:
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;
;
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स्पर्शरेखा फलन का आलेख, y = tg x
कोटैंजेंट
कहाँ एन- पूरा का पूरा।
पश्चिमी साहित्य में, कोटैंजेंट को निम्नानुसार दर्शाया गया है:
.
निम्नलिखित संकेतन भी अपनाया गया है:
;
;
.
सहस्पर्शी फलन का आलेख, y = ctg x
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण
दौरा
कार्य y= टीजी एक्सऔर y= सीटीजी एक्सअवधि के साथ आवधिक हैं।
समानता
स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के कार्य विषम हैं।
परिभाषा और मूल्यों के डोमेन, आरोही, अवरोही
फलन स्पर्शरेखा और कोटंगेंट अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर होते हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। टेंगेंट और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( एन- पूर्णांक)।
| वाई = टीजी एक्स | वाई = सीटीजी एक्स | |
| दायरा और निरंतरता | ||
| मूल्यों की श्रृंखला | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| आरोही | - | |
| अवरोही | - | |
| चरम | - | - |
| शून्य, y= 0 | ||
| y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0 | वाई = 0 | - |
सूत्रों
ज्या और कोज्या के संदर्भ में व्यंजक
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योग और अंतर के स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के लिए सूत्र
शेष सूत्र प्राप्त करना आसान है, उदाहरण के लिए
स्पर्शरेखा का उत्पाद
स्पर्शरेखाओं के योग और अंतर का सूत्र
यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के मान दिखाती है। 
सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक
अतिपरवलयिक कार्यों के संदर्भ में व्यंजक
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;
संजात
; .
.
फ़ंक्शन के चर x के संबंध में nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
स्पर्शरेखा के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति > > > ; स्पर्शज्या के लिए > > >
अभिन्न
श्रृंखला में विस्तार
x की घातों में स्पर्शरेखा का विस्तार प्राप्त करने के लिए, आपको कार्यों के लिए एक घात श्रृंखला में विस्तार के कई पद लेने होंगे पाप xऔर क्योंकि xऔर इन बहुपदों को एक दूसरे में विभाजित करें। इससे निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होते हैं।
पर ।
पर ।
कहाँ पे बी नहीं- बर्नौली संख्या। वे या तो पुनरावृत्ति संबंध से निर्धारित होते हैं:
;
;
कहाँ पे ।
या लाप्लास सूत्र के अनुसार: 
उलटा कार्य
स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के प्रतिलोम कार्य क्रमशः चाप स्पर्शरेखा और चाप स्पर्शरेखा हैं।
आर्कटिक, आर्कटिक
, कहाँ पे एन- पूरा का पूरा।
चाप स्पर्शरेखा, arcctg
, कहाँ पे एन- पूरा का पूरा।
सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, लैन, 2009।
जी. कॉर्न, शोधार्थियों और इंजीनियरों के लिए गणित की पुस्तिका, 2012।
सबसे सरल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
कोण अल्फा की ज्या को उसी कोण की कोज्या से विभाजित करने का भागफल इस कोण की स्पर्श रेखा के बराबर होता है (सूत्र 1)। सरलतम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के परिवर्तन की शुद्धता का प्रमाण भी देखें।
कोण अल्फा के कोज्या को उसी कोण की ज्या से विभाजित करने का भागफल उसी कोण के कोटैंजेंट के बराबर होता है (सूत्र 2)
एक कोण का छेदक उसी कोण के कोज्या द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है (सूत्र 3)
एक ही कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों का योग एक के बराबर होता है (सूत्र 4)। कोज्या और ज्या के वर्गों के योग का प्रमाण भी देखें।
कोण की इकाई और स्पर्शरेखा का योग इस कोण की कोज्या के इकाई के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है (सूत्र 5)
इस कोण के ज्या वर्ग द्वारा इकाई को विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है (सूत्र 6)
एक ही कोण के स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट का गुणनफल एक (सूत्र 7) के बराबर होता है।
त्रिकोणमितीय फलनों के ऋणात्मक कोणों को परिवर्तित करना (सम और विषम)
साइन, कोसाइन या स्पर्शरेखा की गणना करते समय कोण के डिग्री माप के नकारात्मक मूल्य से छुटकारा पाने के लिए, आप सम या विषम त्रिकोणमितीय कार्यों के सिद्धांतों के आधार पर निम्नलिखित त्रिकोणमितीय परिवर्तनों (पहचान) का उपयोग कर सकते हैं।
जैसा देख गया, कोज्याऔर secant is यहां तक कि समारोह, ज्या, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट विषम फलन हैं.
एक ऋणात्मक कोण की ज्या उसी धनात्मक कोण की ज्या के ऋणात्मक मान के बराबर होती है (अल्फा की ज्या घटाकर)।
कोसाइन "माइनस अल्फा" कोण अल्फा के कोसाइन के समान मान देगा।
टेंगेंट माइनस अल्फा माइनस टेंगेंट अल्फा के बराबर है।
दोहरे कोण में कमी के सूत्र (साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और दोहरे कोण के कोटेंगेंट)
यदि आपको कोण को आधे में विभाजित करने की आवश्यकता है, या इसके विपरीत, दोहरे कोण से एकल कोण पर जाएं, तो आप निम्न त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग कर सकते हैं:
दोहरा कोण रूपांतरण (डबल एंगल साइन, डबल एंगल कोसाइन और डबल एंगल टेंगेंट) एकल में निम्नलिखित नियमों के अनुसार होता है:
दोहरे कोण की ज्याएक कोण की ज्या और कोज्या के गुणनफल के दुगुने के बराबर है
दोहरे कोण की कोज्याएक कोण की कोज्या के वर्ग और इस कोण की ज्या के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर है
दोहरे कोण की कोज्याएक कोण की कोज्या के वर्ग के दोगुने के बराबर माइनस एक
दोहरे कोण की कोज्याएक कोण के दोहरे ज्या वर्ग के एक ऋण के बराबर होता है
दोहरा कोण स्पर्शरेखाएक भिन्न के बराबर है जिसका अंश एक कोण के स्पर्शरेखा का दोगुना है, और जिसका हर एक कोण के वर्ग के स्पर्शरेखा के एक ऋण के बराबर है।
दोहरा कोण कोटैंजेंटएक भिन्न के बराबर है जिसका अंश एक कोण के कोटेंगेंट का वर्ग माइनस एक है, और हर एक कोण के कोटेंजेंट के दोगुने के बराबर है
सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्र
नीचे दिए गए रूपांतरण सूत्र तब उपयोगी हो सकते हैं जब आपको त्रिकोणमितीय फलन (sin α, cos α, tg α) के तर्क को दो से विभाजित करने और व्यंजक को आधे कोण के मान पर लाने की आवश्यकता होती है। α के मान से हमें α/2 प्राप्त होता है।इन सूत्रों को कहा जाता है सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के सूत्र. उनका मूल्य इस तथ्य में निहित है कि उनकी मदद से त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति आधे कोण के स्पर्शरेखा की अभिव्यक्ति तक कम हो जाती है, भले ही त्रिकोणमितीय कार्य (sin cos tg ctg) मूल रूप से अभिव्यक्ति में थे। उसके बाद, आधे कोण के स्पर्शरेखा वाले समीकरण को हल करना बहुत आसान है।
त्रिकोणमितीय आधा कोण परिवर्तन पहचान
किसी कोण के आधे मान को उसके पूर्णांक मान में त्रिकोणमितीय रूपान्तरण के सूत्र निम्नलिखित हैं।त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन α/2 के तर्क का मान त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन α के तर्क के मान तक कम हो जाता है।
कोण जोड़ने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
पाप (α - β) = पाप α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
कोणों के योग की स्पर्श रेखा और कोटंगेंटत्रिकोणमितीय कार्यों को परिवर्तित करने के लिए अल्फा और बीटा को निम्नलिखित नियमों के अनुसार परिवर्तित किया जा सकता है:
कोणों के योग की स्पर्शरेखाएक भिन्न के बराबर होता है जिसका अंश पहले कोण की स्पर्शरेखा और दूसरे कोण की स्पर्शरेखा का योग होता है, और हर पहले कोण की स्पर्शरेखा और दूसरे कोण की स्पर्शरेखा के गुणनफल का एक ऋण होता है।
कोण अंतर स्पर्शरेखाएक भिन्न के बराबर होता है, जिसका अंश घटाए गए कोण की स्पर्शरेखा और घटाए जाने वाले कोण की स्पर्शरेखा के बीच के अंतर के बराबर होता है, और हर इन कोणों की स्पर्शरेखाओं का गुणनफल होता है।
कोणों के योग का स्पर्शज्याएक भिन्न के बराबर होता है जिसका अंश इन कोणों के जोड़ एक के गुणनफल के बराबर होता है, और हर दूसरे कोण के कोटैंजेंट और पहले कोण के कोटैंजेंट के बीच के अंतर के बराबर होता है।
कोण अंतर का कोटैंजेंटएक भिन्न के बराबर होता है जिसका अंश इन कोणों के माइनस वन के कोटंगेंट का गुणनफल होता है, और हर इन कोणों के कोटंगेंट के योग के बराबर होता है।
जब आपको गणना करने की आवश्यकता होती है, तो इन त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, उदाहरण के लिए, 105 डिग्री (tg 105) की स्पर्शरेखा। यदि इसे tg (45 + 60) के रूप में दर्शाया जाता है, तो आप कोणों के योग के स्पर्शरेखा के दिए गए समान परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं, जिसके बाद आप केवल 45 की स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा के सारणीबद्ध मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। 60 डिग्री का।
त्रिकोणमितीय कार्यों के योग या अंतर को परिवर्तित करने के सूत्र
पाप α + sin β के योग का प्रतिनिधित्व करने वाले व्यंजकों को निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है:
ट्रिपल कोण सूत्र - sin3α cos3α tg3α को sinα cosα tgα में बदलें
कभी-कभी कोण के ट्रिपल मान को परिवर्तित करना आवश्यक होता है ताकि कोण α 3α के बजाय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क बन जाए।इस मामले में, आप त्रिकोण के परिवर्तन के लिए सूत्रों (पहचान) का उपयोग कर सकते हैं:
त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद को बदलने के सूत्र
यदि विभिन्न कोणों के कोसाइन के विभिन्न कोणों की ज्या के गुणनफल को परिवर्तित करना आवश्यक हो जाता है, या यहाँ तक कि साइन और कोसाइन के उत्पाद को भी परिवर्तित करना आवश्यक हो जाता है, तो आप निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग कर सकते हैं:
इस मामले में, विभिन्न कोणों के साइन, कोसाइन या स्पर्शरेखा कार्यों का उत्पाद योग या अंतर में परिवर्तित हो जाएगा।
त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्र
आपको निम्नानुसार कास्ट टेबल का उपयोग करने की आवश्यकता है। पंक्ति में, उस फ़ंक्शन का चयन करें जिसमें हमें रुचि हो। स्तंभ एक कोण है। उदाहरण के लिए, पहली पंक्ति और पहले कॉलम के चौराहे पर कोण (α+90) की साइन, हम पाते हैं कि sin (α+90) = cos α ।
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