दो फलनों के भागफल के अवकलज का सूत्र। डमी के लिए डेरिवेटिव को हल करना: परिभाषा, कैसे खोजें, समाधान के उदाहरण। प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न

इस पाठ में, हम कार्यों के व्युत्पन्नों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और अधिक उन्नत विषय, अर्थात् उत्पादों और भागफलों के व्युत्पन्नों की ओर बढ़ते हैं। यदि आपने पिछला पाठ देखा है, तो आपको शायद एहसास हुआ होगा कि हमने केवल सबसे सरल निर्माणों पर विचार किया है, अर्थात्, पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, योग और अंतर। विशेष रूप से, हमने सीखा कि किसी योग का व्युत्पन्न उनके योग के बराबर होता है, और किसी अंतर का व्युत्पन्न क्रमशः उनके अंतर के बराबर होता है। दुर्भाग्य से, भागफल और उत्पाद व्युत्पन्न के मामले में, सूत्र बहुत अधिक जटिल होंगे। हम फलनों के गुणनफल के अवकलज के सूत्र से शुरुआत करेंगे।

त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न

आरंभ करने के लिए, मैं एक छोटा सा गीतात्मक विषयांतर करना चाहूँगा। तथ्य यह है कि मानक पावर फ़ंक्शन - $y=((x)^(n))$ के अलावा, इस पाठ में हम अन्य फ़ंक्शनों का भी सामना करेंगे, अर्थात्, $y=\sin x$, साथ ही $ y=\ cos x$ और अन्य त्रिकोणमिति - $y=tgx$ और, निश्चित रूप से, $y=ctgx$।

यदि हम सभी पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को अच्छी तरह से जानते हैं, अर्थात् $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, तो जहां तक त्रिकोणमितीय फलनों का अलग से उल्लेख करना आवश्यक है। आइए इसे लिखें:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(\sinx \right))^(\प्राइम ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\प्राइम ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\ prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \दाएं))^(\प्राइम ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(संरेखित)\]

लेकिन आप इन सूत्रों को अच्छी तरह से जानते हैं, चलिए आगे बढ़ते हैं।

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न क्या है?

सबसे पहले, सबसे महत्वपूर्ण बात: यदि कोई फ़ंक्शन दो अन्य फ़ंक्शन का उत्पाद है, उदाहरण के लिए, $f\cdot g$, तो इस निर्माण का व्युत्पन्न निम्नलिखित अभिव्यक्ति के बराबर होगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सूत्र उन सूत्रों से काफी अलग और अधिक जटिल है जिन्हें हमने पहले देखा था। उदाहरण के लिए, किसी राशि के व्युत्पन्न की गणना प्रारंभिक तरीके से की जाती है - $((\left(f+g \right))^(\ prime ))=(f)"+(g)"$, या का व्युत्पन्न एक अंतर, जिसकी गणना प्राथमिक तरीके से भी की जाती है - $(( \left(f-g \right))^(\ prime ))=(f)"-(g)"$.

आइए समस्या में हमें दिए गए दो कार्यों के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए पहला सूत्र लागू करने का प्रयास करें। आइए पहले उदाहरण से शुरू करें:

जाहिर है, निम्नलिखित निर्माण एक उत्पाद के रूप में, या अधिक सटीक रूप से, एक गुणक के रूप में कार्य करता है: $((x)^(3))$, हम इसे $f$ के रूप में मान सकते हैं, और $\left(x-5 \right) $ को हम $g$ मान सकते हैं। तब उनका उत्पाद बिल्कुल दो कार्यों का उत्पाद होगा। हमने निर्णय किया:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\प्राइम ))=((\left(( (x)^(3)) \दाएं))^(\प्राइम ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ दाएं))^(\प्राइम ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(संरेखित करें)\]।

आइए अब हमारी प्रत्येक शर्त पर करीब से नज़र डालें। हम देखते हैं कि पहले और दूसरे दोनों पदों में डिग्री $x$ है: पहले मामले में यह $((x)^(2))$ है, और दूसरे में यह $((x)^(3)) है $. आइए कोष्ठक में से छोड़ते हुए, कोष्ठक में से सबसे छोटी डिग्री निकालें:

\[\begin(संरेखित करें)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(संरेखित)\]

बस, हमें उत्तर मिल गया।

आइए अपनी समस्याओं पर वापस लौटें और हल करने का प्रयास करें:

तो, आइए फिर से लिखें:

फिर से, हम ध्यान दें कि हम दो कार्यों के उत्पाद के उत्पाद के बारे में बात कर रहे हैं: $x$, जिसे $f$ द्वारा दर्शाया जा सकता है, और $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, जो कर सकता है $g$ द्वारा निरूपित किया जाए।

इस प्रकार, हमारे सामने फिर से दो कार्यों का गुणनफल है। फ़ंक्शन $f\left(x \right)$ का व्युत्पन्न खोजने के लिए हम फिर से अपने सूत्र का उपयोग करेंगे। हम पाते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \दाएं))^(\प्राइम ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(संरेखित)\]

जवाब मिल गया है.

कारक व्युत्पन्न क्यों?

हमने अभी कई बहुत महत्वपूर्ण गणितीय तथ्यों का उपयोग किया है, जो स्वयं व्युत्पन्न से संबंधित नहीं हैं, लेकिन उनके ज्ञान के बिना, इस विषय के सभी आगे के अध्ययन का कोई मतलब नहीं है।

सबसे पहले, पहली समस्या को हल करने और पहले से ही डेरिवेटिव के सभी संकेतों से छुटकारा पाने के बाद, किसी कारण से हमने इस अभिव्यक्ति को कारक बनाना शुरू कर दिया।

दूसरे, निम्नलिखित समस्या को हल करते समय, हमने 8-9वीं कक्षा के फॉर्मूले का उपयोग करते हुए, एक तर्कसंगत घातांक और पीठ के साथ मूल से घात तक कई बार पारित किया, जिसे अलग से दोहराना उचित होगा।

गुणनखंडन के संबंध में - इन सभी अतिरिक्त प्रयासों और परिवर्तनों की आवश्यकता क्यों है? वास्तव में, यदि समस्या केवल यह कहती है कि "किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढें", तो इन अतिरिक्त चरणों की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, वास्तविक समस्याओं में जो सभी प्रकार की परीक्षाओं और परीक्षाओं में आपका इंतजार करती हैं, केवल व्युत्पन्न ढूँढना अक्सर पर्याप्त नहीं होता है। तथ्य यह है कि व्युत्पन्न केवल एक उपकरण है जिसके साथ आप पता लगा सकते हैं, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि या कमी, और इसके लिए आपको समीकरण को हल करने और इसे गुणनखंड करने की आवश्यकता है। और यहीं पर यह तकनीक बहुत उपयुक्त होगी. और सामान्य तौर पर, यदि भविष्य में किसी परिवर्तन की आवश्यकता होती है, तो किसी फ़ंक्शन के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक और सुखद होता है। इसलिए, नियम संख्या 1: यदि व्युत्पन्न को गुणनखंडित किया जा सकता है, तो आपको यही करना चाहिए। और तुरंत नियम संख्या 2 (अनिवार्य रूप से, यह 8वीं-9वीं कक्षा की सामग्री है): यदि समस्या में कोई जड़ है एन-वीं डिग्री, और जड़ स्पष्ट रूप से दो से अधिक है, तो इस जड़ को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक साधारण डिग्री द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, और एक अंश घातांक में दिखाई देगा, जहां एन- वही डिग्री - इस भिन्न के हर में होगी।

बेशक, अगर जड़ के नीचे कुछ डिग्री है (हमारे मामले में यह डिग्री है ), तो यह कहीं भी नहीं जाता है, लेकिन बस इसी डिग्री के अंश में समाप्त हो जाता है।

अब जब आप यह सब समझ गए हैं, तो आइए उत्पाद के डेरिवेटिव पर वापस जाएं और कुछ और समीकरणों की गणना करें।

लेकिन सीधे गणना पर जाने से पहले, मैं आपको निम्नलिखित पैटर्न याद दिलाना चाहूंगा:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(\sin x \right))^(\प्राइम ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\प्राइम ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\प्राइम ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(संरेखित)\]

आइए पहले उदाहरण पर विचार करें:

हमारे पास फिर से दो कार्यों का उत्पाद है: पहला $f$ है, दूसरा $g$ है। मैं आपको सूत्र याद दिला दूं:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\ prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

आइए निर्णय लें:

\[\begin(संरेखित)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\प्राइम ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\ prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(संरेखित)\]

चलिए दूसरे फ़ंक्शन पर चलते हैं:

पुनः, $\left(3x-2 \right)$ $f$ का एक फ़ंक्शन है, $\cos x$ $g$ का एक फ़ंक्शन है। कुल मिलाकर, दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न बराबर होगा:

\[\begin(संरेखित करें)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\ prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ बाएँ(\cos x \right))^(\प्राइम ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(संरेखित)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\ prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\प्राइम ))\]

आइए इसे अलग से लिखें:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\प्राइम ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\ prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

हम इस अभिव्यक्ति का गुणनखंडन नहीं करते हैं, क्योंकि यह अभी अंतिम उत्तर नहीं है। अब हमें दूसरा भाग हल करना है। आइए इसे लिखें:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\प्राइम ))=((\left(4x \right))^(\प्राइम ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\ prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(संरेखित)\]

अब आइए अपने मूल कार्य पर वापस लौटें और सब कुछ एक साथ एक संरचना में रखें:

\[\begin(संरेखित करें)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(संरेखित)\]

बस, यही अंतिम उत्तर है.

आइए अंतिम उदाहरण पर चलते हैं - यह गणना के मामले में सबसे जटिल और सबसे बड़ा होगा। तो, एक उदाहरण:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\प्राइम ))-((\left(2xctgx \right))^(\प्राइम ) )\]

हम प्रत्येक भाग को अलग से गिनते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\प्राइम ))=((\left(((x)^(2)) \दाएं))^(\प्राइम ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\प्राइम ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(संरेखित)\]

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\ prime ))=((\left(2x \right))^(\ prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\ prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \दाएं)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(संरेखित)\]

मूल फ़ंक्शन पर लौटते हुए, आइए संपूर्ण रूप से इसके व्युत्पन्न की गणना करें:

\[\begin(ign)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(संरेखित)\]

वास्तव में, मैं आपको व्युत्पन्न कार्यों के बारे में बस इतना ही बताना चाहता था। जैसा कि आप देख सकते हैं, सूत्र के साथ मुख्य समस्या इसे याद रखने में नहीं है, बल्कि इस तथ्य में है कि इसमें काफी बड़ी मात्रा में गणनाएँ शामिल हैं। लेकिन यह ठीक है, क्योंकि अब हम भागफल व्युत्पन्न की ओर बढ़ रहे हैं, जहां हमें वास्तव में कड़ी मेहनत करनी होगी।

भागफल का व्युत्पन्न क्या है?

तो, भागफल के अवकलज का सूत्र। डेरिवेटिव पर स्कूली पाठ्यक्रम में यह शायद सबसे जटिल फॉर्मूला है। मान लीजिए कि हमारे पास $\frac(f)(g)$ फॉर्म का एक फ़ंक्शन है, जहां $f$ और $g$ भी फ़ंक्शन हैं जिनसे हम अभाज्य को भी हटा सकते हैं। फिर इसकी गणना निम्न सूत्र के अनुसार की जाएगी:

अंश-गणक कुछ-कुछ हमें किसी उत्पाद के अवकलज के सूत्र की याद दिलाता है, लेकिन पदों के बीच एक ऋण चिह्न होता है और मूल हर का वर्ग भी हर में जोड़ा गया है। आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे काम करता है:

आइए हल करने का प्रयास करें:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\ prime ))=\frac(((\left) (((x)^(2))-1 \दाएं))^(\प्राइम ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \दाएं )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\ prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

मेरा सुझाव है कि प्रत्येक भाग को अलग-अलग लिखकर लिखें:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\प्राइम ))=((\left(((x)^(2)) \ दाएं))^(\प्राइम ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\प्राइम ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(संरेखित करें)\]

आइए अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:

\[\begin(संरेखित करें)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2))) \\\end(संरेखित)\]

हमें इसका उत्तर मिल गया है. चलिए दूसरे फ़ंक्शन पर चलते हैं:

इस तथ्य को देखते हुए कि इसका अंश केवल एक है, यहां गणना थोड़ी सरल होगी। तो चलिए लिखते हैं:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\ prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\ prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

आइए उदाहरण के प्रत्येक भाग की अलग से गणना करें:

\[\begin(संरेखित करें)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\प्राइम ))=((\left(( (x)^(2)) \दाएं))^(\प्राइम ))+(4)"=2x \\\end(संरेखित)\]

आइए अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)((\left(((x)^(2) )+4 \दाएं))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \दाएं))^(2)))\]

हमें इसका उत्तर मिल गया है. जैसा कि अपेक्षित था, गणना की मात्रा पहले फ़ंक्शन की तुलना में काफी कम निकली।

पदनामों में क्या अंतर है?

चौकस छात्रों के पास शायद पहले से ही एक प्रश्न है: क्यों कुछ मामलों में हम फ़ंक्शन को $f\left(x \right)$ के रूप में दर्शाते हैं, और अन्य मामलों में हम केवल $y$ लिखते हैं? वास्तव में, गणित के दृष्टिकोण से, बिल्कुल कोई अंतर नहीं है - आपको पहले पदनाम और दूसरे दोनों का उपयोग करने का अधिकार है, और परीक्षा या परीक्षण में कोई दंड नहीं होगा। उन लोगों के लिए जो अभी भी रुचि रखते हैं, मैं समझाऊंगा कि पाठ्यपुस्तकों और समस्याओं के लेखक कुछ मामलों में $f\left(x \right)$ क्यों लिखते हैं, और अन्य में (बहुत अधिक बार) - बस $y$। तथ्य यह है कि फॉर्म में एक फ़ंक्शन लिखकर, हम उन लोगों को स्पष्ट रूप से संकेत देते हैं जो हमारी गणना पढ़ते हैं कि हम विशेष रूप से कार्यात्मक निर्भरता की बीजगणितीय व्याख्या के बारे में बात कर रहे हैं। अर्थात्, एक निश्चित चर $x$ है, हम इस चर पर निर्भरता पर विचार करते हैं और इसे $f\left(x \right)$ दर्शाते हैं। उसी समय, इस तरह के पदनाम को देखकर, जो आपकी गणना पढ़ता है, उदाहरण के लिए, निरीक्षक, अवचेतन रूप से उम्मीद करेगा कि भविष्य में केवल बीजगणितीय परिवर्तन उसका इंतजार करेंगे - कोई ग्राफ़ और कोई ज्यामिति नहीं।

दूसरी ओर, फॉर्म \ के नोटेशन का उपयोग करके, यानी, एक एकल अक्षर के साथ एक चर को दर्शाते हुए, हम तुरंत यह स्पष्ट कर देते हैं कि भविष्य में हम फ़ंक्शन की ज्यामितीय व्याख्या में रुचि रखते हैं, यानी, हम रुचि रखते हैं, सबसे पहले सब, इसके ग्राफ़ में। तदनुसार, जब फॉर्म के रिकॉर्ड का सामना करना पड़ता है, तो पाठक को ग्राफिक गणना, यानी, ग्राफ़, निर्माण इत्यादि की अपेक्षा करने का अधिकार है, लेकिन, किसी भी मामले में, विश्लेषणात्मक परिवर्तन नहीं।

मैं आपका ध्यान उन कार्यों के डिज़ाइन की एक विशेषता की ओर भी आकर्षित करना चाहूंगा जिन पर हम आज विचार कर रहे हैं। कई छात्र सोचते हैं कि मैं बहुत विस्तृत गणनाएँ देता हूँ, और उनमें से कई को छोड़ दिया जा सकता है या बस उनके दिमाग में हल किया जा सकता है। हालाँकि, यह वास्तव में इतना विस्तृत रिकॉर्ड है जो आपको आक्रामक गलतियों से छुटकारा पाने और सही ढंग से हल की गई समस्याओं के प्रतिशत में उल्लेखनीय वृद्धि करने की अनुमति देगा, उदाहरण के लिए, परीक्षण या परीक्षा के लिए स्व-तैयारी के मामले में। इसलिए, यदि आप अभी भी अपनी क्षमताओं के बारे में अनिश्चित हैं, यदि आप अभी इस विषय का अध्ययन शुरू कर रहे हैं, तो जल्दबाजी न करें - प्रत्येक चरण का विस्तार से वर्णन करें, प्रत्येक कारक, प्रत्येक स्ट्रोक को लिखें, और बहुत जल्द आप ऐसे उदाहरणों को बेहतर तरीके से हल करना सीख जाएंगे। कई स्कूल शिक्षकों की तुलना में. मुझे लगता है, यह स्पष्ट है। आइए कुछ और उदाहरण गिनें।

कई दिलचस्प कार्य

इस बार, जैसा कि हम देखते हैं, गणना किए जा रहे डेरिवेटिव में त्रिकोणमिति मौजूद है। इसलिए, मैं आपको निम्नलिखित याद दिला दूं:

\[\begin(संरेखित करें)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\प्राइम ))=-\sin x \\\end(संरेखित करें )\]

बेशक, हम भागफल के व्युत्पन्न के बिना नहीं कर सकते, अर्थात्:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\ prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

आइए पहले फ़ंक्शन पर विचार करें:

\[\begin(संरेखित करें)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\ prime ))=\frac(((\left(\sin x) \दाएं))^(\प्राइम ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(संरेखित करें)\]

तो हमने इस अभिव्यक्ति का समाधान ढूंढ लिया है।

चलिए दूसरे उदाहरण पर चलते हैं:

जाहिर है, इसका व्युत्पन्न अधिक जटिल होगा, यदि केवल इसलिए कि त्रिकोणमिति इस फ़ंक्शन के अंश और हर दोनों में मौजूद है। हमने निर्णय किया:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\ prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\प्राइम ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\प्राइम )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

ध्यान दें कि हमारे पास उत्पाद का व्युत्पन्न है। इस मामले में यह इसके बराबर होगा:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\ prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ दाएं))^(\प्राइम ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(संरेखित)\]

आइए अपनी गणना पर वापस लौटें। हम लिखते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(संरेखित करें)\]

बस इतना ही! हमने गणित किया.

किसी उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए भागफल के व्युत्पन्न को एक सरल सूत्र में कैसे कम करें?

और यहां मैं त्रिकोणमितीय कार्यों के संबंध में एक बहुत ही महत्वपूर्ण टिप्पणी करना चाहूंगा। तथ्य यह है कि हमारे मूल निर्माण में $\frac(\sin x)(\cos x)$ के रूप की अभिव्यक्ति शामिल है, जिसे आसानी से $tgx$ से बदला जा सकता है। इस प्रकार, हम किसी उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए भागफल के व्युत्पन्न को एक सरल सूत्र में घटा देते हैं। आइए इस उदाहरण की दोबारा गणना करें और परिणामों की तुलना करें।

तो अब हमें निम्नलिखित पर विचार करने की आवश्यकता है:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

आइए इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए अपने मूल फ़ंक्शन $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ को फिर से लिखें। हम पाते हैं:

आइये गिनते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\ prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\प्राइम ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(संरेखित) \]

अब, यदि हम प्राप्त परिणाम की तुलना भिन्न तरीके से गणना करते समय पहले प्राप्त परिणाम से करें, तो हमें विश्वास हो जाएगा कि हमें वही अभिव्यक्ति प्राप्त हुई है। इस प्रकार, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम व्युत्पन्न की गणना करते समय किस रास्ते पर जाते हैं, अगर सब कुछ सही ढंग से गणना की जाती है, तो उत्तर वही होगा।

समस्याओं को हल करते समय महत्वपूर्ण बारीकियाँ

अंत में, मैं आपको भागफल के अवकलज की गणना से संबंधित एक और सूक्ष्मता बताना चाहूंगा। अब मैं आपको जो बताने जा रहा हूं वह वीडियो पाठ की मूल स्क्रिप्ट में नहीं था। हालाँकि, फिल्मांकन से कुछ घंटे पहले, मैं अपने एक छात्र के साथ अध्ययन कर रहा था, और हम भागफल व्युत्पन्न के विषय पर चर्चा कर रहे थे। और, जैसा कि बाद में पता चला, कई छात्र इस बिंदु को नहीं समझते हैं। तो, मान लें कि हमें निम्नलिखित फ़ंक्शन के रिमूव स्ट्रोक की गणना करने की आवश्यकता है:

सिद्धांत रूप में, पहली नज़र में इसमें कुछ भी अलौकिक नहीं है। हालाँकि, गणना प्रक्रिया में हम कई मूर्खतापूर्ण और आक्रामक गलतियाँ कर सकते हैं, जिन पर मैं अब चर्चा करना चाहूंगा।

तो, हम इस व्युत्पन्न की गणना करते हैं। सबसे पहले, हम ध्यान दें कि हमारे पास $3((x)^(2))$ शब्द है, इसलिए निम्नलिखित सूत्र को याद करना उचित है:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\ prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

इसके अलावा, हमारे पास $\frac(48)(x)$ शब्द है - हम भागफल के व्युत्पन्न के माध्यम से इससे निपटेंगे, अर्थात्:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\ prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

तो, आइए तय करें:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\ prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\प्राइम ))+10(0)"\]

पहले कार्यकाल में कोई समस्या नहीं है, देखें:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\ prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\प्राइम ))=3k.2x=6x\]

लेकिन पहले पद, $\frac(48)(x)$ के साथ, आपको अलग से काम करने की आवश्यकता है। तथ्य यह है कि कई छात्र उस स्थिति को भ्रमित करते हैं जब उन्हें $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\ prime ))$ खोजने की आवश्यकता होती है और जब उन्हें $((\left) खोजने की आवश्यकता होती है (\frac (48)(x) \दाएं))^(\प्राइम ))$. अर्थात्, वे भ्रमित हो जाते हैं जब अचर हर में होता है और जब अचर अंश में होता है, क्रमशः, जब चर अंश में या हर में होता है।

आइए पहले विकल्प से शुरू करें:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\ prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\ prime ) ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

दूसरी ओर, यदि हम दूसरे भिन्न के साथ भी ऐसा ही करने का प्रयास करें, तो हमें निम्नलिखित प्राप्त होगा:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\ prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\प्राइम ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\प्राइम ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(संरेखित करें)\]

हालाँकि, एक ही उदाहरण की गणना अलग-अलग तरीके से की जा सकती है: उस स्तर पर जहां हम भागफल के व्युत्पन्न के पास गए थे, हम $\frac(1)(x)$ को एक नकारात्मक घातांक वाली शक्ति के रूप में मान सकते हैं, यानी, हमें निम्नलिखित मिलता है :

\[\begin(संरेखित करें)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\ prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \दाएं))^(\प्राइम ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1) )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(संरेखण)\]

और इसलिए, और इसलिए हमें वही उत्तर मिला।

इस प्रकार, हम एक बार फिर दो महत्वपूर्ण तथ्यों के प्रति आश्वस्त हैं। सबसे पहले, एक ही व्युत्पन्न की गणना पूरी तरह से अलग तरीकों से की जा सकती है। उदाहरण के लिए, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\ prime ))$ को भागफल के व्युत्पन्न और पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न दोनों के रूप में माना जा सकता है। इसके अलावा, यदि सभी गणनाएँ सही ढंग से की जाती हैं, तो उत्तर हमेशा एक ही होगा। दूसरे, एक चर और एक स्थिरांक दोनों वाले डेरिवेटिव की गणना करते समय, यह मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है कि चर कहाँ स्थित है - अंश में या हर में। पहले मामले में, जब चर अंश में होता है, तो हमें एक सरल रैखिक फ़ंक्शन मिलता है जिसकी गणना आसानी से की जा सकती है। और यदि चर हर में है, तो हमें पहले दी गई गणनाओं के साथ अधिक जटिल अभिव्यक्ति मिलती है।

इस बिंदु पर, पाठ को पूरा माना जा सकता है, इसलिए यदि आप किसी भागफल या उत्पाद के व्युत्पन्न के बारे में कुछ भी नहीं समझते हैं, और सामान्य तौर पर, यदि इस विषय पर आपके कोई प्रश्न हैं, तो संकोच न करें - मेरी वेबसाइट पर जाएं , लिखें, कॉल करें, और मैं निश्चित रूप से कोशिश करूंगा कि क्या मैं आपकी मदद कर सकता हूं।

व्युत्पन्न स्वयं एक जटिल विषय नहीं हैं, लेकिन वे बहुत व्यापक हैं, और जो हम अभी पढ़ रहे हैं उसका उपयोग भविष्य में अधिक जटिल समस्याओं को हल करते समय किया जाएगा। इसीलिए बेहतर है कि किसी भागफल या उत्पाद के व्युत्पन्नों की गणना से संबंधित सभी गलतफहमियों को तुरंत, अभी ही पहचान लिया जाए। तब नहीं जब वे गलतफहमी का एक बड़ा गोला हों, बल्कि तब जब वे एक छोटी टेनिस गेंद हों जिससे निपटना आसान हो।

गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना व्युत्पन्न और इसकी गणना करने की विधियों के ज्ञान के बिना पूरी तरह से असंभव है। गणितीय विश्लेषण में व्युत्पन्न सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हमने आज का लेख इस मूलभूत विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?

व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

एक समारोह हो जाये एफ(एक्स) , एक निश्चित अंतराल में निर्दिष्ट (ए, बी) . बिंदु x और x0 इस अंतराल से संबंधित हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क बदलना - उसके मूल्यों में अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा गया है डेल्टा एक्स और इसे तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न की परिभाषा:

किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है, जब तर्क शून्य हो जाता है।

अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? और यहाँ यह है:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न OX अक्ष और किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।


व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न सरलरेखीय गति की गति के बराबर है।

दरअसल, स्कूल के दिनों से ही हर कोई जानता है कि गति एक विशेष मार्ग है x=f(t) और समय टी . एक निश्चित अवधि में औसत गति:

किसी समय में गति की गति का पता लगाना टी0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:

नियम एक: एक स्थिरांक निर्धारित करें

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए. गणित में उदाहरण हल करते समय इसे एक नियम के रूप में लें - यदि आप किसी अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं, तो उसे सरल बनाना सुनिश्चित करें .

उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:

नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न

दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।

हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो भिन्न कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

समाधान:

यहां जटिल फलनों के व्युत्पन्नों की गणना के बारे में बात करना महत्वपूर्ण है। एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है और स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न है।

उपरोक्त उदाहरण में हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है:

इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पाँचवीं घात से 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।

नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

दो फलनों के भागफल का अवकलज ज्ञात करने का सूत्र:

हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर खामियां होती हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।

इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन परीक्षा को हल करने और कार्यों को समझने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी व्युत्पन्न गणना नहीं की हो।

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अवकलज ज्ञात करने की क्रिया को विभेदीकरण कहते हैं।

तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में व्युत्पन्न को परिभाषित करके सबसे सरल (और बहुत सरल नहीं) कार्यों के डेरिवेटिव खोजने की समस्याओं को हल करने के परिणामस्वरूप, डेरिवेटिव की एक तालिका और भेदभाव के सटीक परिभाषित नियम सामने आए। . डेरिवेटिव खोजने के क्षेत्र में काम करने वाले पहले व्यक्ति आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज (1646-1716) थे।

इसलिए, हमारे समय में, किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की उपर्युक्त सीमा की गणना करने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि आपको केवल तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है व्युत्पन्न और विभेदीकरण के नियम। निम्नलिखित एल्गोरिदम व्युत्पन्न खोजने के लिए उपयुक्त है।

व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको मुख्य चिह्न के अंतर्गत एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है सरल कार्यों को घटकों में तोड़ेंऔर निर्धारित करें कि कौन से कार्य होंगे (उत्पाद, योग, भागफल)ये कार्य संबंधित हैं. इसके बाद, हम व्युत्पन्न की तालिका में प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न पाते हैं, और उत्पाद, योग और भागफल के व्युत्पन्न के लिए सूत्र - विभेदन के नियमों में पाते हैं। व्युत्पन्न तालिका और विभेदन नियम पहले दो उदाहरणों के बाद दिए गए हैं।

उदाहरण 1।किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। विभेदीकरण के नियमों से हमें पता चलता है कि कार्यों के योग का व्युत्पन्न कार्यों के व्युत्पन्नों का योग है, अर्थात।

व्युत्पन्न तालिका से हमें पता चलता है कि "x" का व्युत्पन्न एक के बराबर है, और साइन का व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर है। हम इन मानों को डेरिवेटिव के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक व्युत्पन्न ढूंढते हैं:

उदाहरण 2.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हम किसी योग के व्युत्पन्न के रूप में अंतर करते हैं जिसमें दूसरे पद का एक स्थिर कारक होता है; इसे व्युत्पन्न के चिह्न से निकाला जा सकता है:

यदि अभी भी इस बारे में प्रश्न उठते हैं कि कुछ कहां से आता है, तो वे आमतौर पर डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के सबसे सरल नियमों से परिचित होने के बाद साफ़ हो जाते हैं। हम अभी उन पर आगे बढ़ रहे हैं।

सरल कार्यों के व्युत्पन्नों की तालिका

1. एक अचर (संख्या) का व्युत्पन्न। कोई भी संख्या (1, 2, 5, 200...) जो फ़ंक्शन अभिव्यक्ति में है। हमेशा शून्य के बराबर. यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसकी अक्सर आवश्यकता होती है
2. स्वतंत्र चर का व्युत्पन्न। बहुधा "एक्स"। सदैव एक के बराबर। इसे लंबे समय तक याद रखना भी जरूरी है
3. डिग्री का व्युत्पन्न. समस्याओं को हल करते समय, आपको गैर-वर्गमूलों को घातों में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है।
4. घात -1 के लिए एक चर का व्युत्पन्न
5. वर्गमूल का व्युत्पन्न
6. ज्या का व्युत्पन्न
7. कोसाइन का व्युत्पन्न
8. स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
9. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
10. आर्क्साइन की व्युत्पत्ति
11. आर्ककोसाइन का व्युत्पन्न
12. आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न
13. चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
14. प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
15. लघुगणक फलन का व्युत्पन्न
16. घातांक की व्युत्पत्ति
17. एक घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

विभेदीकरण के नियम

1. किसी योग या अंतर की व्युत्पत्ति
2. उत्पाद का व्युत्पन्न
2ए. किसी अचर गुणनखंड से गुणा किये गये व्यंजक का व्युत्पन्न
3. भागफल का व्युत्पन्न
4. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न

नियम 1।यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय हैं, तो फ़ंक्शन एक ही बिंदु पर अवकलनीय हैं

और

वे। कार्यों के बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

परिणाम। यदि दो भिन्न-भिन्न फलनों में एक स्थिर पद का अंतर हो, तो उनके अवकलज बराबर होते हैं, अर्थात।

नियम 2.यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय हैं, तो उनका उत्पाद भी उसी बिंदु पर अवकलनीय है

और

वे। दो फलनों के उत्पाद का व्युत्पन्न इनमें से प्रत्येक फलन के उत्पाद और दूसरे के व्युत्पन्न के योग के बराबर होता है।

परिणाम 1. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है:

परिणाम 2. कई भिन्न-भिन्न कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न प्रत्येक कारक और अन्य सभी के व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, तीन गुणकों के लिए:

नियम 3.यदि कार्य

किसी बिंदु पर भिन्न और , तो फिर इस बिंदु पर उनका भागफल भी भिन्न हैयू/वी, और

वे। दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है, जिसका अंश हर के गुणनफल और अंश के व्युत्पन्न और अंश और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर का वर्ग होता है पूर्व अंश.

अन्य पेजों पर चीज़ें कहां खोजें

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न और वास्तविक समस्याओं में भागफल का पता लगाते समय, एक साथ कई विभेदीकरण नियमों को लागू करना हमेशा आवश्यक होता है, इसलिए लेख में इन व्युत्पन्नों पर अधिक उदाहरण हैं"उत्पाद का व्युत्पन्न और कार्यों का भागफल".

टिप्पणी।आपको किसी स्थिरांक (अर्थात् एक संख्या) को योग में एक पद और एक स्थिर गुणनखंड के रूप में भ्रमित नहीं करना चाहिए! किसी पद के मामले में, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, और एक स्थिर कारक के मामले में, इसे व्युत्पन्न के चिह्न से बाहर कर दिया जाता है। यह एक सामान्य गलती है जो डेरिवेटिव के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में होती है, लेकिन जैसा कि औसत छात्र कई एक- और दो-भाग वाले उदाहरणों को हल करता है, वह अब यह गलती नहीं करता है।

और यदि, किसी उत्पाद या भागफल को अलग करते समय, आपके पास एक शब्द है यू"वी, जिसमें यू- एक संख्या, उदाहरण के लिए, 2 या 5, यानी एक स्थिरांक, तो इस संख्या का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा और इसलिए, संपूर्ण पद शून्य के बराबर होगा (इस मामले पर उदाहरण 10 में चर्चा की गई है)।

एक और आम गलती एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में यांत्रिक रूप से हल करना है। इसीलिए एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्नएक अलग लेख समर्पित है. लेकिन पहले हम सरल फलनों के व्युत्पन्न खोजना सीखेंगे।

साथ ही, आप भावों को बदले बिना नहीं रह सकते। ऐसा करने के लिए, आपको नई विंडो में मैनुअल खोलने की आवश्यकता हो सकती है। शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियाएँऔर भिन्नों के साथ संचालन .

यदि आप घातों और मूलों के साथ भिन्नों के व्युत्पन्नों के समाधान की तलाश कर रहे हैं, अर्थात, जब फ़ंक्शन कैसा दिखता है , फिर पाठ का अनुसरण करें "घातों और मूलों के साथ भिन्नों के योगों का व्युत्पन्न।"

यदि आपके पास कोई कार्य है जैसे , फिर आप "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न" पाठ लेंगे।

चरण-दर-चरण उदाहरण - व्युत्पन्न कैसे खोजें

उदाहरण 3.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हम फ़ंक्शन अभिव्यक्ति के भागों को परिभाषित करते हैं: संपूर्ण अभिव्यक्ति एक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है, और इसके कारक योग हैं, जिनमें से दूसरे में एक पद में एक स्थिर कारक होता है। हम उत्पाद विभेदन नियम लागू करते हैं: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न दूसरे के व्युत्पन्न द्वारा इनमें से प्रत्येक कार्य के उत्पादों के योग के बराबर होता है:

इसके बाद, हम योग के विभेदन का नियम लागू करते हैं: कार्यों के बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है। हमारे मामले में, प्रत्येक योग में दूसरे पद में ऋण चिह्न होता है। प्रत्येक योग में हम एक स्वतंत्र चर, जिसका व्युत्पन्न एक के बराबर है, और एक स्थिरांक (संख्या) दोनों देखते हैं, जिसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। तो, "X" एक में बदल जाता है, और माइनस 5 शून्य में बदल जाता है। दूसरी अभिव्यक्ति में, "x" को 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए हम दो को "x" के व्युत्पन्न के समान इकाई से गुणा करते हैं। हमें निम्नलिखित व्युत्पन्न मान प्राप्त होते हैं:

हम पाए गए डेरिवेटिव को उत्पादों के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक संपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हमें भागफल का अवकलज ज्ञात करना आवश्यक है। हम भागफल को अलग करने के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक भिन्न के बराबर होता है, जिसका अंश हर के गुणनफल और अंश के व्युत्पन्न और अंश और व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है। हर, और हर पूर्व अंश का वर्ग है। हम पाते हैं:

हमने उदाहरण 2 में अंश में गुणनखंडों का व्युत्पन्न पहले ही पा लिया है। हमें यह भी नहीं भूलना चाहिए कि गुणनफल, जो वर्तमान उदाहरण में अंश में दूसरा गुणनखंड है, ऋण चिह्न के साथ लिया गया है:

यदि आप उन समस्याओं का समाधान ढूंढ रहे हैं जिनमें आपको किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, जहां जड़ों और शक्तियों का निरंतर ढेर होता है, जैसे, उदाहरण के लिए, , फिर कक्षा में आपका स्वागत है "घातों और मूलों के साथ भिन्नों के योगों का व्युत्पन्न" .

यदि आपको साइन, कोसाइन, टेंगेंट और अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव के बारे में अधिक जानने की ज़रूरत है, यानी, जब फ़ंक्शन कैसा दिखता है , तो आपके लिए एक सबक "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न" .

उदाहरण 5.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन में हम एक उत्पाद देखते हैं, जिसका एक कारक स्वतंत्र चर का वर्गमूल है, जिसके व्युत्पन्न से हमने व्युत्पन्न की तालिका में खुद को परिचित किया है। गुणनफल और वर्गमूल के अवकलज के सारणीबद्ध मान को विभेदित करने के नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 6.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन में हम एक भागफल देखते हैं जिसका लाभांश स्वतंत्र चर का वर्गमूल है। भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग करते हुए, जिसे हमने दोहराया और उदाहरण 4 में लागू किया, और वर्गमूल के व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान, हम प्राप्त करते हैं:

अंश में भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, अंश और हर को से गुणा करें।

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