विभाज्यता कौशल का उपयोग गणना को सरल करता है, और आनुपातिक रूप से उनके निष्पादन की गति को बढ़ाता है। आइए मुख्य विशेषता का विस्तार से विश्लेषण करें विभाज्यता विशेषताएं.
विभाज्यता के लिए सबसे सरल मानदंड इकाइयों: सभी संख्याएँ एक से विभाज्य हैं। यह उतना ही प्राथमिक है और इसके द्वारा विभाज्यता के संकेतों के साथ दो, पांच, दस. एक सम संख्या को दो से, या एक को 0 के अंतिम अंक के साथ, पांच से विभाजित किया जा सकता है - 5 या 0 के अंतिम अंक वाली संख्या। केवल 0 के अंतिम अंक वाली वे संख्याएं दस से विभाजित की जाएंगी, 100 - केवल वे संख्याएँ जिनके दो अंतिम अंक शून्य हैं, पर 1000 - केवल तीन अंतिम शून्य वाले।
उदाहरण के लिए:
संख्या 79516 को 2 से विभाजित किया जा सकता है, क्योंकि यह 6 में समाप्त होता है, एक सम संख्या; 9651 2 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 1 एक विषम अंक है; 1790 2 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम अंक शून्य है। 3470 को 5 से विभाजित किया जाएगा (अंतिम अंक 0 है); 1054 5 से विभाज्य नहीं है (अंतिम 4)। 7800 को 10 और 100 से विभाजित किया जाएगा; 542000 10, 100, 1000 से विभाज्य है।
कम व्यापक रूप से जाना जाता है, लेकिन विशेषता का उपयोग करना बहुत आसान है विभाज्यता विशेषताएंपर 3 तथा 9 , 4 , 6 तथा 8, 25 . विभाज्यता की विशिष्ट विशेषताएं भी हैं 7, 11, 13, 17, 19 और इसी तरह, लेकिन व्यवहार में उनका उपयोग बहुत कम बार किया जाता है।
3 और 9 . से विभाजित करने की एक विशेषता विशेषता.
पर तीनऔर/या पर नौशेष के बिना, उन संख्याओं को विभाजित किया जाएगा जिनके अंकों को जोड़ने का परिणाम तीन और/या नौ का गुणज है।
उदाहरण के लिए:
संख्या 156321, जोड़ 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 को क्रमशः 3 से विभाजित और 9 से विभाजित किया जाएगा, संख्या को स्वयं 3 और 9 से विभाजित किया जा सकता है। संख्या 79123 नहीं होगी या तो 3 या 9 से विभाजित किया जाता है, इसलिए इसके अंकों (22) का योग इन संख्याओं से विभाज्य नहीं है।
4, 8, 16 और इसी तरह से विभाजित करने की एक विशिष्ट विशेषता.
एक संख्या को शेषफल के बिना विभाजित किया जा सकता है चार, यदि इसके अंतिम दो अंक शून्य हैं या एक संख्या है जिसे 4 से विभाजित किया जा सकता है। अन्य सभी मामलों में, शेष के बिना विभाजन संभव नहीं है।
उदाहरण के लिए:
संख्या 75300 4 से विभाज्य है, क्योंकि अंतिम दो अंक शून्य हैं; 48834 4 से विभाज्य नहीं है क्योंकि अंतिम दो अंक 34 देते हैं, जो 4 से विभाज्य नहीं है; 35908 4 से विभाज्य है, क्योंकि 08 के अंतिम दो अंक 8 को 4 से विभाज्य संख्या देते हैं।
एक समान सिद्धांत विभाज्यता की कसौटी पर लागू होता है आठ. एक संख्या आठ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंक शून्य हों या एक संख्या 8 से विभाज्य हो। अन्यथा, भाग से प्राप्त भागफल एक पूर्णांक नहीं होगा।
विभाजन के लिए समान गुण 16, 32, 64 आदि, लेकिन उनका उपयोग रोजमर्रा की गणना में नहीं किया जाता है।
6 से विभाज्यता की एक विशेषता विशेषता।
संख्या से विभाज्य है छह, यदि यह दो और तीन दोनों से विभाज्य है, अन्य सभी विकल्पों के साथ, शेषफल के बिना विभाजन असंभव है।
उदाहरण के लिए:
126 6 से विभाज्य है, क्योंकि यह 2 (अंतिम सम संख्या 6) और 3 दोनों से विभाज्य है (अंकों का योग 1 + 2 + 6 = 9 तीन से विभाज्य है)
7 से विभाज्यता की एक विशेषता विशेषता।
संख्या से विभाज्य है सातयदि इसकी अंतिम दुगनी संख्या और "अंतिम अंक के बिना छोड़ी गई संख्या" का अंतर सात से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं सात से विभाज्य है।
उदाहरण के लिए:
संख्या 296492 है। आइए अंतिम अंक "2" लें, इसे दोगुना करें, यह 4 निकलता है। 29649 - 4 = 29645 घटाएं। यह पता लगाना समस्याग्रस्त है कि क्या यह 7 से विभाज्य है, इसलिए फिर से विश्लेषण किया गया। अगला, हम अंतिम अंक "5" को दोगुना करते हैं, यह 10 आता है। हम 2964 - 10 = 2954 घटाते हैं। परिणाम समान है, यह स्पष्ट नहीं है कि यह 7 से विभाज्य है या नहीं, इसलिए हम विश्लेषण जारी रखते हैं। हम अंतिम अंक "4" के साथ विश्लेषण करते हैं, दोगुना, यह 8 आता है। घटाएं 295 - 8 = 287। हम दो सौ अस्सी-सात की तुलना करते हैं - यह 7 से विभाज्य नहीं है, इस संबंध में हम खोज जारी रखते हैं। सादृश्य से, अंतिम अंक "7", दोगुना, 14 आता है। 28 - 14 \u003d 14 घटाएं। 14 संख्या 7 से विभाज्य है, इसलिए मूल संख्या 7 से विभाज्य है।
11 . से विभाज्यता की एक विशेषता विशेषता.
पर ग्यारहकेवल वे संख्याएँ विभाज्य होती हैं जिनके लिए विषम स्थानों में रखे गए अंकों को जोड़ने का परिणाम या तो सम स्थानों में रखे गए अंकों के योग के बराबर होता है, या ग्यारह से विभाज्य संख्या से भिन्न होता है।
उदाहरण के लिए:
संख्या 103,785 11 से विभाज्य है, क्योंकि विषम स्थानों के अंकों का योग 1 + 3 + 8 = 12, सम स्थानों के अंकों के योग के बराबर है, 0 + 7 + 5 = 12. संख्या 9,163,627 है 11 से विभाज्य है, क्योंकि विषम स्थानों के अंकों का योग 9 + 6 + 6 + 7 = 28 है, और सम स्थानों के अंकों का योग 1 + 3 + 2 = 6 है; संख्या 28 और 6 के बीच का अंतर 22 है, और यह संख्या 11 से विभाज्य है। संख्या 461,025 11 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि संख्याएँ 4 + 1 + 2 = 7 और 6 + 0 + 5 = 11 बराबर नहीं हैं। और उनका अंतर 11 - 7 = 4 11 से विभाज्य नहीं है।
25 . से विभाज्यता की एक विशेषता विशेषता.
पर पच्चीसउन संख्याओं को विभाजित करेगा जिनके दो अंतिम अंक शून्य हैं या एक ऐसी संख्या बनाते हैं जिसे पच्चीस से विभाजित किया जा सकता है (अर्थात, 00, 25, 50, या 75 में समाप्त होने वाली संख्याएँ)। अन्य मामलों में, संख्या को पूरी तरह से 25 से विभाजित नहीं किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए:
9450 25 से विभाज्य है (50 में समाप्त होता है); 5085 25 से विभाज्य नहीं है।
प्राकृत संख्याओं के विभाजन को सरल बनाने के लिए पहले दस और संख्या 11, 25 की संख्याओं से भाग देने के नियम निकाले गए, जिन्हें एक खंड में जोड़ दिया गया है। प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संकेत. नीचे ऐसे नियम दिए गए हैं जिनके द्वारा किसी संख्या को किसी अन्य प्राकृत संख्या से विभाजित किए बिना उसका विश्लेषण करने पर प्रश्न का उत्तर मिल जाएगा, क्या एक प्राकृत संख्या 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 और संख्याओं का गुणज है। एक बिट इकाई?
वे प्राकृत संख्याएँ जिनके पहले अंक में अंक (अंत में) 2,4,6,8,0 हों, सम कहलाते हैं।
संख्याओं की 2 . से विभाज्यता का चिह्न
सभी सम प्राकृत संख्याएं 2 से विभाज्य हैं, उदाहरण के लिए: 172, 94.67 838, 1670।
संख्याओं की 3 . से विभाज्यता का चिह्न
सभी प्राकृत संख्याएँ 3 से विभाज्य होती हैं, जिनके अंकों का योग 3 का गुणज होता है। उदाहरण के लिए:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
संख्याओं की 4 . से विभाज्यता का चिह्न
सभी प्राकृत संख्याएँ 4 से विभाज्य हैं, जिनमें से अंतिम दो अंक शून्य या 4 के गुणज हैं। उदाहरण के लिए:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
5 . से संख्याओं की विभाज्यता का चिह्न
संख्याओं की 6 . से विभाज्यता का चिह्न
वे प्राकृत संख्याएँ जो एक ही समय में 2 और 3 से विभाज्य हैं, 6 से विभाज्य हैं (सभी सम संख्याएँ जो 3 से विभाज्य हैं)। उदाहरण के लिए: 126 (बी - सम, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3)।
संख्याओं की 9 . से विभाज्यता का चिह्न
वे प्राकृत संख्याएँ 9 से विभाज्य हैं, जिनके अंकों का योग 9 का गुणज है। उदाहरण के लिए:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
संख्याओं की 10 . से विभाज्यता का चिह्न
11 . से संख्याओं की विभाज्यता का चिह्न
केवल वे प्राकृत संख्याएँ 11 से विभाज्य होती हैं, जिनमें सम स्थानों वाले अंकों का योग विषम स्थानों के अंकों के योग के बराबर होता है, या विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग के बीच का अंतर होता है। 11 का गुणज है। उदाहरण के लिए:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 और 0 + 7 + 7 = 14);
9,163,627 (9 + 6 + बी + 7 = 28 और 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
संख्याओं की 25 . से विभाज्यता का चिह्न
वे प्राकृत संख्याएँ 25 से विभाज्य हैं, जिनमें से अंतिम दो अंक शून्य हैं या 25 के गुणज हैं। उदाहरण के लिए:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
एक बिट इकाई द्वारा संख्याओं की विभाज्यता का चिह्न
उन प्राकृत संख्याओं को एक बिट इकाई में विभाजित किया जाता है, जिसमें शून्य की संख्या बिट इकाई के शून्यों की संख्या से अधिक या उसके बराबर होती है। उदाहरण के लिए: 12,000 10, 100 और 1000 से विभाज्य है।
विभाज्यता के संकेतों पर लेखों की एक श्रृंखला जारी है 3 . से विभाज्यता का चिन्ह. यह लेख पहले 3 से विभाज्यता के लिए मानदंड का सूत्रीकरण देता है, और यह पता लगाने में इस मानदंड के आवेदन का उदाहरण देता है कि कौन से पूर्णांक 3 से विभाज्य हैं और कौन से नहीं हैं। इसके अलावा, 3 से विभाज्यता परीक्षण का प्रमाण दिया गया है। किसी व्यंजक के मान के रूप में दी गई संख्याओं की 3 से विभाज्यता स्थापित करने की विधियों पर भी विचार किया जाता है।
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3 से विभाज्यता का चिन्ह, उदाहरण
चलो साथ - साथ शुरू करते हैं 3 . से विभाज्यता के लिए परीक्षण के सूत्रएक पूर्णांक 3 से विभाज्य होता है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य है, यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य नहीं है, तो संख्या स्वयं 3 से विभाज्य नहीं है।
उपरोक्त सूत्रीकरण से यह स्पष्ट है कि प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने की क्षमता के बिना 3 से विभाज्यता के चिन्ह का उपयोग नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, 3 से विभाज्यता के चिन्ह के सफल अनुप्रयोग के लिए, आपको यह जानना होगा कि सभी एकल-अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं में, संख्याएँ 3, 6 और 9, 3 से विभाज्य हैं, और संख्याएँ 1, 2, 4, 5, 7 और 8 3 से विभाज्य नहीं हैं।
अब हम सबसे सरल पर विचार कर सकते हैं 3 . से विभाज्यता के परीक्षण को लागू करने के उदाहरण. आइए जानें कि क्या संख्या 3? 42 से विभाज्य है। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 42 के अंकों के योग की गणना करते हैं, यह 4+2=6 के बराबर है। चूँकि 6, 3 से विभाज्य है, तो, 3 से विभाज्यता के चिन्ह के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि संख्या 42 भी 3 से विभाज्य है। लेकिन धनात्मक पूर्णांक 71 3 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग 7+1=8 है, और 8 3 से विभाज्य नहीं है।
क्या 0 3 से विभाज्य है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, 3 से विभाज्यता के परीक्षण की आवश्यकता नहीं है, यहाँ हमें विभाज्यता के संबंधित गुण को याद करने की आवश्यकता है, जिसमें कहा गया है कि शून्य किसी भी पूर्णांक से विभाज्य है। अतः 0, 3 से विभाज्य है।
कुछ मामलों में, यह दिखाने के लिए कि दी गई संख्या में 3 से विभाज्य होने की क्षमता है या नहीं, 3 से विभाज्यता के परीक्षण को लगातार कई बार लागू करना पड़ता है। आइए एक उदाहरण लेते हैं।
दर्शाइए कि संख्या 907444812 3 से विभाज्य है।
907444812 के अंकों का योग है 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 । यह पता लगाने के लिए कि क्या 39, 3 से विभाज्य है, हम इसके अंकों के योग की गणना करते हैं: 3+9=12। और यह पता लगाने के लिए कि क्या 12 3 से विभाज्य है, हम संख्या 12 के अंकों का योग ज्ञात करते हैं, हमारे पास 1+2=3 है। चूँकि हमें संख्या 3 मिली है, जो 3 से विभाज्य है, तो, 3 से विभाज्यता के चिन्ह के कारण, संख्या 12, 3 से विभाज्य है। इसलिए, 39, 3 से विभाज्य है, क्योंकि इसके अंकों का योग 12 है, और 12 3 से विभाज्य है। अंत में, 907333812 3 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का योग 39 है और 39 3 से विभाज्य है।
सामग्री को समेकित करने के लिए, हम एक अन्य उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करेंगे।
क्या संख्या 3 से विभाज्य है? 543 205?
आइए इस संख्या के अंकों के योग की गणना करें: 5+4+3+2+0+5=19 । बदले में, संख्या 19 के अंकों का योग 1+9=10 है, और संख्या 10 के अंकों का योग 1+0=1 है। चूँकि हमें संख्या 1 प्राप्त हुई है, जो 3 से विभाज्य नहीं है, यह 3 से विभाज्यता की कसौटी का अनुसरण करता है कि 10, 3 से विभाज्य नहीं है। इसलिए, 19 3 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग 10 है, और 10 3 से विभाज्य नहीं है। इसलिए, मूल संख्या?543205 3 से विभाज्य नहीं है क्योंकि इसके अंकों का योग, 19 के बराबर, 3 से विभाज्य नहीं है।
यह ध्यान देने योग्य है कि दी गई संख्या का 3 से प्रत्यक्ष विभाजन भी हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि दी गई संख्या 3 से विभाज्य है या नहीं। इसके द्वारा हम यह कहना चाहते हैं कि 3 से विभाज्यता के चिन्ह के पक्ष में विभाजन की उपेक्षा नहीं की जानी चाहिए। पिछले उदाहरण में, 543 205 को 3 से 3 से विभाजित करते हुए, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि 543 205 3 से विभाज्य नहीं है, जिससे हम कह सकते हैं कि 543 205 3 से भी विभाज्य नहीं है।
3 . से विभाज्यता के परीक्षण का प्रमाण
संख्या a का निम्नलिखित निरूपण हमें 3 से विभाज्यता के चिन्ह को सिद्ध करने में मदद करेगा। हम किसी भी प्राकृत संख्या a को अंकों में विघटित कर सकते हैं, जिसके बाद 10, 100, 1000 आदि से गुणा करने का नियम हमें a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ के रूप का निरूपण प्राप्त करने की अनुमति देता है। a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , जहां a n , a n?1 ,…, a 0 संख्या a में बाएं से दाएं अंक हैं। स्पष्टता के लिए, हम इस तरह के प्रतिनिधित्व का एक उदाहरण देते हैं: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 ।
अब आइए कई स्पष्ट समानताएं लिखें: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 और इसी तरह।
समीकरण में प्रतिस्थापित करना a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 के बजाय 10 , 100 , 1 000 और इसी तरह 3 3+1 , 33 3 +1, 999+1=333 3+1 और इसी तरह, हमें मिलता है
.
प्राकृत संख्याओं के योग के गुण और प्राकृत संख्याओं के गुणन के गुण परिणामी समानता को निम्नानुसार फिर से लिखने की अनुमति देते हैं:
अभिव्यक्ति 
a के अंकों का योग है। आइए हम इसे अक्षर A द्वारा संक्षिप्तता और सुविधा के लिए नामित करें, अर्थात हम स्वीकार करते हैं। तब हमें रूप की संख्या a का निरूपण प्राप्त होता है, जिसका उपयोग हम 3 से विभाज्यता के परीक्षण को सिद्ध करने में करेंगे।
साथ ही, 3 से विभाज्यता के परीक्षण को सिद्ध करने के लिए, हमें विभाज्यता के निम्नलिखित गुणों की आवश्यकता है:
- एक पूर्णांक a के लिए एक पूर्णांक b से विभाज्य होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि a का मापांक b के मापांक से विभाज्य हो;
- यदि समानता में a=s+t किसी एक को छोड़कर सभी पद किसी पूर्णांक b से विभाज्य हैं, तो यह एक पद भी b से विभाज्य है।
अब हम पूरी तरह से तैयार हैं और इसे अंजाम दे सकते हैं 3 . से विभाज्यता का प्रमाण, सुविधा के लिए, हम इस विशेषता को 3 से विभाज्यता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त के रूप में तैयार करते हैं।
किसी पूर्णांक a के 3 से विभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।
a=0 के लिए प्रमेय स्पष्ट है।
यदि a शून्य से भिन्न है, तो a का मापांक एक प्राकृत संख्या है, तो एक निरूपण संभव है, जहाँ a के अंकों का योग है।
चूँकि पूर्णांकों का योग और गुणनफल एक पूर्णांक है, फिर एक पूर्णांक है, तो विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, गुणनफल किसी भी a 0, a 1,…, a n के लिए 3 से विभाज्य होता है।
यदि संख्या a के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, अर्थात A, 3 से विभाज्य है, तो, प्रमेय से पहले विभाज्यता गुण के कारण, यह 3 से विभाज्य है, इसलिए, 3 से विभाज्य है। यह पर्याप्तता साबित करता है।
यदि a 3 से विभाज्य है, तो वह भी 3 से विभाज्य है, तो विभाज्यता के समान गुण के कारण संख्या A 3 से विभाज्य है, अर्थात संख्या a के अंकों का योग 3 से विभाज्य है। यह आवश्यकता को सिद्ध करता है।
3 . से विभाज्यता के अन्य मामले
कभी-कभी पूर्णांकों को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, लेकिन चर के दिए गए मान के लिए चर के साथ कुछ अभिव्यक्ति के मान के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी प्राकृत n के व्यंजक का मान एक प्राकृत संख्या है। यह स्पष्ट है कि संख्याओं के इस नियतन के साथ, 3 से सीधा विभाजन उनकी 3 से विभाज्यता स्थापित करने में मदद नहीं करेगा, और 3 से विभाज्यता का चिह्न हमेशा लागू नहीं किया जा सकेगा। अब हम ऐसी समस्याओं को हल करने के कई तरीकों पर विचार करेंगे।
इन दृष्टिकोणों का सार मूल अभिव्यक्ति को कई कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना है, और यदि कम से कम एक कारक 3 से विभाज्य है, तो, संबंधित विभाज्यता संपत्ति के कारण, यह निष्कर्ष निकालना संभव होगा कि संपूर्ण उत्पाद 3 से विभाज्य है।
कभी-कभी न्यूटन के द्विपद का उपयोग करके इस दृष्टिकोण को लागू किया जा सकता है। आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें।
क्या किसी प्राकृतिक n के लिए व्यंजक का मान 3 से विभाज्य है?
समानता स्पष्ट है। आइए न्यूटन के द्विपद सूत्र का उपयोग करें: 
अंतिम व्यंजक में, हम कोष्ठकों में से 3 निकाल सकते हैं, और हमें प्राप्त होता है। परिणामी उत्पाद 3 से विभाज्य है, क्योंकि इसमें एक कारक 3 है, और प्राकृतिक n के लिए कोष्ठक में व्यंजक का मान एक प्राकृतिक संख्या है। इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए 3 से विभाज्य है।
कई मामलों में, गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा 3 से विभाज्यता सिद्ध की जा सकती है। आइए एक उदाहरण को हल करने में इसके अनुप्रयोग का विश्लेषण करें।
सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत n के लिए व्यंजक का मान 3 से विभाज्य है।
सबूत के लिए, हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हैं।
n=1 के लिए, व्यंजक का मान है, और 6, 3 से विभाज्य है।
मान लीजिए व्यंजक का मान 3 से विभाज्य है जब n=k , जो कि 3 से विभाज्य है।
इस बात को ध्यान में रखते हुए कि यह 3 से विभाज्य है, हम दिखाएंगे कि n=k+1 के लिए व्यंजक का मान 3 से विभाज्य है, अर्थात हम यह दिखाएंगे कि 
3 से विभाज्य है।
आइए कुछ परिवर्तन करें: 
व्यंजक को 3 से विभाजित किया जाता है और व्यंजक 
3 से विभाज्य है, इसलिए उनका योग 3 से विभाज्य है।
अतः गणितीय प्रेरण की विधि किसी भी प्राकृतिक n के लिए 3 से विभाज्य साबित हुई।
आइए 3 से विभाज्यता के प्रमाण के लिए एक और दृष्टिकोण दिखाएं। यदि हम दिखाते हैं कि n=3 m , n=3 m+1 और n=3 m+2 के लिए, जहां m एक मनमाना पूर्णांक है, कुछ व्यंजक का मान (चर n के साथ) 3 से विभाज्य है, तो यह सिद्ध होगा किसी भी पूर्णांक n के लिए व्यंजक की 3 से विभाज्यता। पिछले उदाहरण को हल करते समय इस दृष्टिकोण पर विचार करें।
दिखाएँ कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए 3 से क्या विभाज्य है।
n=3 मीटर के लिए हमारे पास है। परिणामी उत्पाद 3 से विभाज्य है क्योंकि इसमें एक कारक 3 है जो 3 से विभाज्य है।
परिणामी उत्पाद भी 3 से विभाज्य है।
और यह गुणनफल 3 से विभाज्य है।
इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए 3 से विभाज्य है।
अंत में, हम एक और उदाहरण का समाधान प्रस्तुत करते हैं।
क्या व्यंजक का मान 3 . से विभाज्य है? 
कुछ प्राकृतिक एन के लिए।
एन = 1 के लिए हमारे पास है। परिणामी संख्या के अंकों का योग 3 है, इसलिए 3 से विभाज्यता का चिन्ह हमें यह दावा करने की अनुमति देता है कि यह संख्या 3 से विभाज्य है।
एन = 2 के लिए हमारे पास है। अंकों और इस संख्या का योग 3 है, इसलिए यह 3 से विभाज्य है।
यह स्पष्ट है कि किसी भी अन्य प्राकृतिक n के लिए हमारे पास ऐसी संख्याएँ होंगी जिनके अंकों का योग 3 है, इसलिए ये संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं।
इस तरह, किसी भी प्राकृतिक n के लिए 3 से विभाज्य है।
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गणित, ग्रेड 6, शैक्षिक संगठनों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक, ज़ुबारेवा I.I., मोर्दकोविच ए.जी., 2014।
पाठ्यपुस्तक में सैद्धांतिक सामग्री इस तरह प्रस्तुत की जाती है कि शिक्षक शिक्षण के लिए समस्या-आधारित दृष्टिकोण लागू कर सके। अंकन प्रणाली की सहायता से, जटिलता के चार स्तरों के अभ्यासों को प्रतिष्ठित किया जाता है। प्रत्येक पैराग्राफ में, गणितीय शिक्षा के स्तर तक पहुंचने के लिए छात्रों को क्या जानने और हासिल करने में सक्षम होने के आधार पर नियंत्रण कार्य तैयार किए जाते हैं। पाठ्यपुस्तक के अंत में घरेलू परीक्षण और उत्तर हैं। रंग चित्रण (चित्र और आरेख) शैक्षिक सामग्री की उच्च स्तर की स्पष्टता प्रदान करते हैं।
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कार्य।
4. एक त्रिभुज ABC खींचिए और उसके बाहर एक बिंदु O अंकित कीजिए (जैसा कि चित्र 11 में दिखाया गया है)। बिंदु O के सन्दर्भ में त्रिभुज ABC के सममित आकृति की रचना कीजिए।
5. त्रिभुज KMN खींचिए और इस त्रिभुज के संबंध में एक सममित आकृति की रचना कीजिए:
ए) इसके शिखर - अंक एम;
बी) अंक ओ - पक्ष एमएन के मध्य बिंदु।
6. एक आकृति बनाएं जो सममित हो:
ए) बिंदु ओ के सापेक्ष किरण ओएम; लिखिए कि कौन सा बिंदु बिंदु O के सममित है;
बी) एक मनमाना बिंदु ए के संबंध में किरण ओएम जो इस किरण से संबंधित नहीं है;
ग) बिंदु O के संबंध में सीधी रेखा AB, जो इस रेखा से संबंधित नहीं है;
d) इस रेखा से संबंधित बिंदु O के संबंध में रेखा AB; लिखिए कि कौन सा बिंदु बिंदु O के सममित है।
प्रत्येक मामले में, केंद्रीय सममित आंकड़ों की सापेक्ष स्थिति का वर्णन करें।
विषयसूची
अध्याय I. सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएं। COORDINATES
§ 1. रोटेशन और केंद्रीय समरूपता
§ 2. धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ। समन्वय रेखा
3. संख्या का मापांक। विपरीत संख्या
§ 4. संख्याओं की तुलना
5. रेखाओं का समांतरता
6. "+", "-" संकेतों वाले संख्यात्मक भाव
7. बीजीय योग और उसके गुण
§ 8. दो संख्याओं के बीजीय योग के मान की गणना करने का नियम
9. निर्देशांक रेखा के बिंदुओं के बीच की दूरी
10. अक्षीय समरूपता
§ 11. संख्या अंतराल
§ 12. धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का गुणा और भाग
§ 13. निर्देशांक
§ 14. निर्देशांक तल
§ 15. साधारण भिन्नों का गुणा और भाग
16. संयोजक समस्याओं के लिए गुणन नियम
दूसरा अध्याय। शाब्दिक अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना
§ 17. ब्रैकेट विस्तार
§ 18. भावों का सरलीकरण
§ 19. समीकरणों का हल
20. समीकरणों को संकलित करने के लिए समस्याओं को हल करना
§ 21. भिन्नों पर दो मुख्य समस्या
§ 22. सर्कल। परिधि
§ 23. सर्कल। एक वृत्त का क्षेत्रफल
§ 24. गेंद। वृत्त
अध्याय III। प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता
§ 25. भाजक और गुणज
§ 26. किसी कार्य की विभाज्यता
§ 27. संख्याओं के योग और अंतर की विभाज्यता
§ 28. 2, 5, 10, 4 और 25 से विभाज्यता के चिन्ह
29. 3 और 9 . से विभाज्यता के संकेत
§ 30. अभाज्य संख्याएँ। किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना
§ 31. महानतम सामान्य भाजक
32. सहअभाज्य संख्याएँ। किसी उत्पाद द्वारा विभाज्यता का संकेत। आम एकाधिक
अध्याय IV। हमारे आसपास का गणित
33. दो संख्याओं का अनुपात
§ 34. आरेख
35. मात्राओं की आनुपातिकता
36. अनुपातों का उपयोग करके समस्याओं को हल करना
§ 37. विविध कार्य
38. "संभावना" की अवधारणा के साथ पहला परिचय
39. संभाव्यता की गणना के साथ पहला परिचित
घरेलू परीक्षण
परियोजना गतिविधियों के लिए विषय
जवाब
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गणित
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संख्याओं का जोड़।
- ए+बी=सी, जहां a और b पद हैं, c योग है।
- अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, ज्ञात पद को योग से घटाएं।
संख्याओं का घटाव।
- ए-बी = सी, जहां a मिन्यूएंड है, b सबट्रेंड है, c अंतर है।
- अज्ञात minuend को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड को अंतर में जोड़ना होगा।
- अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, आपको मिन्यूएंड से अंतर घटाना होगा।
संख्याओं का गुणन।
- ए बी = सी, जहां a और b गुणनखंड हैं, c गुणनफल है।
- अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको ज्ञात कारक द्वारा उत्पाद को विभाजित करने की आवश्यकता है।
संख्याओं का विभाजन।
- ए: बी = सी, जहां a भाज्य है, b भाजक है, c भागफल है।
- अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए, आपको भाजक को भागफल से गुणा करना होगा।
- एक अज्ञात भाजक को खोजने के लिए, आपको भाज्य को भागफल से विभाजित करना होगा।
जोड़ के नियम।
- ए+बी=बी+ए(विस्थापन: योग शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है)।
- (ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)(सहयोगी: दो पदों के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरे और तीसरे का योग जोड़ सकते हैं)।
अतिरिक्त तालिका।
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
गुणन के नियम।
- ए बी = बी ए(विस्थापन: कारकों का क्रमपरिवर्तन उत्पाद को नहीं बदलता है)।
- (ए बी) सी = ए (बी सी)(संयुक्त: दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं)।
- (ए+बी) सी=ए सी+बी सी(जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण नियम: दो संख्याओं के योग को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणाम जोड़ सकते हैं)।
- (ए-बी) सी=ए सी-बी सी(घटाव के संबंध में गुणन का वितरण नियम: दो संख्याओं के अंतर को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप इस संख्या को अलग-अलग घटा और घटाकर गुणा कर सकते हैं और पहले परिणाम से दूसरे को घटा सकते हैं)।
पहाड़ा.
2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.
2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.
2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.
2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.
2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5 = 45।
2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6 = 36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6 = 54।
2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.
2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.
2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.
2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10 = 90।
भाजक और गुणक।
- विभक्तप्राकृतिक संख्या एकउस प्राकृत संख्या का नाम बताइए जिससे एकशेष के बिना विभाजित। (संख्याएं 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, संख्या 24 के भाजक हैं, क्योंकि 24 उनमें से प्रत्येक द्वारा बिना किसी शेषफल के विभाज्य है) किसी भी प्राकृत संख्या का 1-भाजक। किसी भी संख्या का सबसे बड़ा भाजक वह संख्या ही होती है।
- विभिन्नप्राकृतिक संख्या बीएक प्राकृत संख्या है जो बिना शेषफल के विभाजित होती है बी. (संख्याएँ 24, 48, 72, ... संख्या 24 के गुणज हैं, क्योंकि वे शेषफल के बिना 24 से विभाज्य हैं)। किसी भी संख्या का सबसे छोटा गुणज वह संख्या ही होती है।
प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के लक्षण।
- वस्तुओं (1, 2, 3, 4, ...) को गिनते समय उपयोग की जाने वाली संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं। प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है एन.
- नंबर 0, 2, 4, 6, 8 बुलाया यहाँ तक कीसंख्याएं। वे संख्याएँ जो सम अंकों में समाप्त होती हैं, सम संख्याएँ कहलाती हैं।
- नंबर 1, 3, 5, 7, 9 बुलाया अजीबसंख्याएं। वे संख्याएँ जो विषम अंकों में समाप्त होती हैं, विषम संख्याएँ कहलाती हैं।
- संख्या 2 से विभाज्यता का चिन्ह. सम अंक पर समाप्त होने वाली सभी प्राकृत संख्याएँ 2 से विभाज्य होती हैं।
- संख्या 5 . से विभाज्यता का चिन्ह. 0 या 5 पर समाप्त होने वाली सभी प्राकृत संख्याएँ 5 से विभाज्य होती हैं।
- संख्या 10 . से विभाज्यता का चिह्न. 0 पर समाप्त होने वाली सभी प्राकृतिक संख्याएँ 10 से विभाज्य होती हैं।
- संख्या 3 . से विभाज्यता का चिह्न. यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य हो, तो वह संख्या स्वयं 3 से विभाज्य होगी।
- संख्या 9 . से विभाज्यता का चिह्न. यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य हो, तो वह संख्या स्वयं 9 से विभाज्य होगी।
- संख्या 4 . से विभाज्यता का चिन्ह. यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है, तो दी गई संख्या स्वयं 4 से विभाज्य है।
- संख्या 11 से विभाज्यता का संकेत।यदि विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य हो, तो वह संख्या स्वयं 11 से विभाज्य होती है।
- एक अभाज्य संख्या वह संख्या है जिसमें केवल दो भाजक होते हैं: एक और स्वयं संख्या।
- एक भाज्य संख्या वह संख्या है जिसमें दो से अधिक भाजक होते हैं।
- संख्या 1 न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या।
- एक भाज्य संख्या को केवल अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखना एक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं में गुणनखंडन करना कहलाता है। किसी भी भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है।
- दी गई प्राकृत संख्याओं का सबसे बड़ा समापवर्तक वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या है जिससे इनमें से प्रत्येक संख्या विभाज्य है।
- इन संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक इन संख्याओं के प्रसार में उभयनिष्ठ गुणनखंडों के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण। GCD(24, 42)=2 3=6, चूंकि 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, उनके सामान्य अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
- यदि प्राकृत संख्याओं में केवल एक उभयनिष्ठ भाजक हो - एक, तो इन संख्याओं को सहअभाज्य कहा जाता है।
- दी गई प्राकृत संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य वह छोटी से छोटी प्राकृत संख्या है जो दी गई प्रत्येक संख्या का गुणज है। उदाहरण। एलसीएम (24, 42) = 168। यह सबसे छोटी संख्या है जो 24 और 42 दोनों से विभाज्य है।
- दी गई अनेक प्राकृत संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, यह आवश्यक है: 1) दी गई प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना; 2) सबसे बड़ी संख्याओं का प्रसार लिखिए और अन्य संख्याओं के प्रसार से लुप्त गुणनखंडों से गुणा कीजिए।
- दो सहअभाज्य संख्याओं का सबसे छोटा गुणज इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
बी- भिन्न का हर दिखाता है कि कितने बराबर भागों को विभाजित किया गया है;
एक-अंश का अंश दिखाता है कि ऐसे कितने हिस्से लिए गए थे। फ्रैक्शनल बार का अर्थ है विभाजन चिह्न।
कभी-कभी, क्षैतिज भिन्नात्मक रेखा के बजाय, वे एक स्लैश लगाते हैं, और एक साधारण अंश इस तरह लिखा जाता है: ए/बी.
- पर उचित अंशअंश हर से छोटा है।
- पर अनुचित अंशअंश हर से बड़ा या हर के बराबर है।
यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही प्राकृत संख्या से गुणा या भाग दिया जाए, तो उसके बराबर भिन्न प्राप्त होती है।
किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को उनके उभयनिष्ठ भाजक से भाग देने पर भिन्न अपचयन कहलाता है।
- एक संख्या जिसमें एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है, एक मिश्रित संख्या कहलाती है।
- मिश्रित संख्या के रूप में एक अनुचित अंश का प्रतिनिधित्व करने के लिए, अंश के अंश को हर से विभाजित करना आवश्यक है, तो अधूरा भागफल मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग होगा, शेष भिन्नात्मक भाग का अंश होगा , और भाजक वही रहेगा।
- मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाने के लिए, आपको मिश्रित संख्या के पूर्णांक भाग को हर से गुणा करना होगा, भिन्नात्मक भाग के अंश को परिणाम में जोड़ना होगा और इसे अनुचित भिन्न के अंश में लिखना होगा, और हर को छोड़ देना होगा। वही।
- रे ओहबिंदु पर मूल के साथ हे, जिस पर सिंगल कटके लिए और दिशा, बुलाया समन्वय बीम.
- निर्देशांक किरण के बिंदु के अनुरूप संख्या कहलाती है समन्वयइस बिंदु। उदाहरण के लिए , ए(3). पढ़ें: निर्देशांक 3 के साथ बिंदु A.
- सबसे कम आम भाजक ( NOZ) इन इरेड्यूसबल भिन्नों में से सबसे कम सामान्य गुणज है ( अनापत्ति प्रमाण पत्र) इन भिन्नों के हर।
- भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में लाने के लिए, आपको: 1) इन भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात करना होगा, यह सबसे छोटा सामान्य हर होगा। 2) प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात कीजिए, जिसके लिए हम प्रत्येक भिन्न के हर द्वारा नए हर को विभाजित करते हैं। 3) प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उसके अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।
- समान भाजक वाले दो भिन्नों में से एक बड़ा अंश वाला होता है, और छोटा अंश वाला छोटा होता है।
- एक ही अंश के साथ दो भिन्नों में से, छोटे हर वाला बड़ा होता है, और बड़ा हर वाला छोटा होता है।
- भिन्न अंशों और भिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको भिन्नों को सबसे कम आम भाजक तक कम करना होगा, और फिर समान भाजक के साथ भिन्नों की तुलना करना होगा।
साधारण अंशों पर संचालन।
- समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और हर को वही छोड़ दें।
- यदि आपको भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ने की आवश्यकता है, तो पहले भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में कम करें, और फिर समान भाजक के साथ भिन्न जोड़ें।
- समान हर वाले भिन्नों को घटाने के लिए, दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाया जाता है और हर को वही छोड़ दिया जाता है।
- यदि आपको भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाना है, तो उन्हें पहले एक सामान्य हर में लाया जाता है, और फिर समान हर वाले भिन्नों को घटाया जाता है।
- मिश्रित संख्याओं को जोड़ने या घटाने के लिए संचालन करते समय, इन कार्यों को पूर्णांक भागों और भिन्न भागों के लिए अलग-अलग किया जाता है, और फिर परिणाम मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है।
- दो साधारण भिन्नों का गुणनफल उस भिन्न के बराबर होता है जिसका अंश अंशों के गुणनफल के बराबर होता है और हर दिए गए भिन्नों के हरों का गुणनफल होता है।
- एक साधारण भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा।
- दो संख्याएँ जिनका गुणनफल एक के बराबर होता है, परस्पर पारस्परिक संख्याएँ कहलाती हैं।
- मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय, उन्हें पहले अनुचित भिन्नों में परिवर्तित किया जाता है।
- किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने के लिए, आपको संख्या को उस भिन्न से गुणा करना होगा।
- एक सामान्य अंश को एक सामान्य अंश से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।
- मिश्रित संख्याओं को विभाजित करते समय, उन्हें पहले अनुचित अंशों में परिवर्तित किया जाता है।
- एक साधारण अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको अंश के हर को इस प्राकृतिक संख्या से गुणा करना होगा, और अंश को वही छोड़ देना होगा। ((2/7):5=2/(7 5)=2/35)।
- किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने के लिए, आपको इस भिन्न से उसकी संगत संख्या को विभाजित करना होगा।
- दशमलव भिन्न एक दशमलव प्रणाली में लिखी गई संख्या है और इसमें एक से कम अंक होते हैं। (3.25; 0.1457 आदि)
- दशमलव बिंदु के बाद के दशमलव स्थानों को दशमलव स्थान कहा जाता है।
- यदि दशमलव भिन्न के अंत में शून्य जोड़ दिया जाए या छोड़ दिया जाए तो दशमलव भिन्न नहीं बदलेगा।
दशमलव भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको: 1) इन भिन्नों में दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना होगा; 2) उन्हें एक के नीचे एक लिख दें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे लिखा जा सके; 3) अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, योग करें, और योग के योग में अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाएं।
दशमलव भिन्नों का घटाव करने के लिए, आपको यह करना होगा: 1) माइन्यूएंड और सबट्रेंड में दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना; 2) घटाए गए के नीचे हस्ताक्षर करें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो; 3) अल्पविराम को अनदेखा करते हुए घटाव करें, और परिणाम में, अल्पविराम को अल्पविराम और उपखंड के अल्पविराम के नीचे रखें।
- एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको अल्पविराम को अनदेखा करते हुए इसे इस संख्या से गुणा करना होगा, और परिणामी उत्पाद में, दिए गए अंश में दशमलव बिंदु के बाद के रूप में दाईं ओर जितने अंक थे, उन्हें अलग करें।
- एक दशमलव अंश को दूसरे से गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए गुणा करने की आवश्यकता है, और परिणामी परिणाम में, दोनों कारकों में अल्पविराम के बाद के रूप में दाईं ओर अल्पविराम के साथ कई अंकों को अलग करें।
- किसी दशमलव को 10, 100, 1000, आदि से गुणा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को 1, 2, 3, आदि अंकों से दाईं ओर ले जाना होगा।
- दशमलव को 0.1 से गुणा करना; 0.01; 0.001, आदि, आपको अल्पविराम को 1, 2, 3, आदि अंकों से बाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है।
- एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको अंश को इस संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता होती है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित किया जाता है और पूरे भाग का विभाजन समाप्त होने पर एक निजी अल्पविराम में डाल दिया जाता है।
- दशमलव को 10, 100, 1000, आदि से विभाजित करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को 1, 2, 3, आदि अंकों से बाईं ओर ले जाना होगा।
- किसी संख्या को दशमलव से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक में अल्पविराम और भाजक को दाईं ओर उतने अंकों को स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है, जितने कि वे भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं, और फिर एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करते हैं।
- दशमलव को 0.1 से विभाजित करने के लिए; 0.01; 0.001, आदि, आपको अल्पविराम को 1, 2, 3, आदि अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। (दशमलव को 0.1; 0.01; 0.001, आदि से विभाजित करना उस दशमलव को 10, 100, 1000, आदि से गुणा करने के समान है)
किसी संख्या को एक निश्चित अंक में गोल करने के लिए, हम इस अंक के अंक को रेखांकित करते हैं, और फिर हम रेखांकित के पीछे के सभी अंकों को शून्य से बदल देते हैं, और यदि वे दशमलव बिंदु के बाद हैं, तो हम छोड़ देते हैं। यदि पहला शून्य-प्रतिस्थापित या छोड़ा गया अंक 0, 1, 2, 3, या 4 है, तो रेखांकित अंक अपरिवर्तित रहता है। यदि पहला अंक शून्य से बदल दिया गया है या छोड़ दिया गया है, तो 5, 6, 7, 8 या 9 है, तो रेखांकित अंक 1 से बढ़ जाता है।
कई संख्याओं का अंकगणितीय माध्य।
कई संख्याओं का अंकगणितीय माध्य इन संख्याओं के योग को पदों की संख्या से विभाजित करने का भागफल है।
संख्याओं की एक श्रृंखला की सीमा।
डेटा श्रृंखला के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों के बीच के अंतर को संख्याओं की श्रृंखला की श्रेणी कहा जाता है।
संख्या श्रृंखला फैशन.
वह संख्या जो दी गई श्रंखला की दी गई संख्याओं में सबसे अधिक बारंबारता के साथ आती है, संख्याओं की श्रंखला का बहुलक कहलाती है।
- सौवें को प्रतिशत कहा जाता है। एक किताब खरीदें जो "प्रतिशत समस्याओं को कैसे हल करें" सिखाती है।
- प्रतिशत को भिन्न या प्राकृत संख्या के रूप में व्यक्त करने के लिए, आपको प्रतिशत को 100% से विभाजित करना होगा। (4% = 0.04; 32% = 0.32)।
- किसी संख्या को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए, आपको इसे 100% से गुणा करना होगा। (0.65 = 0.65 100% = 65%; 1.5 = 1.5 100% = 150%)।
- किसी संख्या का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, आपको प्रतिशत को एक साधारण या दशमलव भिन्न के रूप में व्यक्त करना होगा और परिणामी भिन्न को दी गई संख्या से गुणा करना होगा।
- किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करने के लिए, आपको प्रतिशत को एक साधारण या दशमलव भिन्न के रूप में व्यक्त करना होगा और दी गई संख्या को इस भिन्न से विभाजित करना होगा।
- दूसरी से पहली संख्या का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, आपको पहली संख्या को दूसरे से विभाजित करने और परिणाम को 100% से गुणा करने की आवश्यकता है।
- दो संख्याओं के भागफल को इन संख्याओं का अनुपात कहते हैं। ए:बीया ए/बीसंख्या a और b का अनुपात है, इसके अलावा, a पिछला पद है, b अगला पद है।
- यदि इस संबंध के पदों को पुनर्व्यवस्थित किया जाए, तो परिणामी संबंध इस संबंध का विलोम कहलाता है। संबंध b/a और a/b परस्पर प्रतिलोम हैं।
- यदि अनुपात के दोनों पदों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाए तो अनुपात नहीं बदलेगा।
- दो अनुपातों की समानता को अनुपात कहते हैं।
- ए: बी = सी: डी. यह अनुपात है। पढ़ना: एकतो पर लागू होता है बी, कैसे सीको संदर्भित करता है डी. संख्या ए और डी को अनुपात के चरम सदस्य कहा जाता है, और संख्या बी और सी अनुपात के मध्य सदस्य हैं।
- किसी अनुपात के चरम पदों का गुणनफल उसके मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है। अनुपात के लिए ए: बी = सी: डीया ए/बी=सी/डीमुख्य संपत्ति इस तरह लिखी गई है: ए डी = बी सी।
- अनुपात का अज्ञात चरम पद ज्ञात करने के लिए, आपको अनुपात के औसत पदों के गुणनफल को ज्ञात चरम पद से भाग देना होगा।
- अनुपात के अज्ञात मध्य पद को खोजने के लिए, आपको अनुपात के चरम पदों के गुणनफल को ज्ञात मध्य पद से विभाजित करना होगा। आनुपातिक कार्य।
मान दें आपआकार पर निर्भर करता है एक्स. यदि वृद्धि के साथ एक्सकई गुना आकार परएक ही कारक से बढ़ता है, तो ऐसे मूल्य एक्सतथा परसीधे आनुपातिक कहा जाता है।
यदि दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक हैं, तो पहली मात्रा के दो मनमाना मानों का अनुपात दूसरी मात्रा के दो संगत मानों के अनुपात के बराबर होता है।
मानचित्र पर खंड की लंबाई और जमीन पर संबंधित दूरी की लंबाई के अनुपात को मानचित्र का पैमाना कहा जाता है।
मान दें परआकार पर निर्भर करता है एक्स. यदि वृद्धि के साथ एक्सकई गुना आकार परएक ही कारक से घटता है, तो ऐसे मान एक्सतथा परव्युत्क्रमानुपाती कहलाते हैं।
यदि दो मात्राएँ व्युत्क्रमानुपाती होती हैं, तो एक मात्रा के दो मनमाने ढंग से लिए गए मानों का अनुपात दूसरी मात्रा के संगत मानों के व्युत्क्रमानुपात के बराबर होता है।
- एक सेट कुछ सामान्य गुणों या कानूनों के अनुसार संकलित कुछ वस्तुओं या संख्याओं का संग्रह होता है (एक पृष्ठ पर बहुत सारे अक्षर, 5 के हर के साथ बहुत सारे नियमित अंश, आकाश में बहुत सारे तारे, आदि)।
- समुच्चय तत्वों से बने होते हैं और या तो परिमित या अनंत होते हैं। जिस समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता है उसे रिक्त समुच्चय कहते हैं और इसे निरूपित किया जाता है ओह
- बहुत सारा परसमुच्चय का उपसमुच्चय कहा जाता है लेकिनयदि समुच्चय के सभी अवयव परसेट के तत्व हैं लेकिन।
- चौराहा सेट करें लेकिनतथा परएक समुच्चय है जिसके अवयव समुच्चय के हैं लेकिनऔर कई पर.
- सेटों का संघ लेकिनतथा परएक समुच्चय है जिसके अवयव दिए गए समुच्चयों में से कम से कम एक से संबंधित हैं लेकिनतथा पर.
संख्याओं का समूह।
- एन- प्राकृत संख्याओं का समुच्चय: 1, 2, 3, 4,…
- जेड- पूर्णांकों का समुच्चय:…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- क्यूपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है मी/एन, कहाँ पे एम- पूरे, एन- प्राकृतिक (-2; 3/5; v9; v25, आदि)
- निर्देशांक रेखा एक सीधी रेखा होती है जिस पर एक सकारात्मक दिशा, एक संदर्भ बिंदु (बिंदु O) और एक इकाई खंड दिया जाता है।
- निर्देशांक रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक निश्चित संख्या से मेल खाता है, जिसे इस बिंदु का निर्देशांक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, ए(5) पढ़ें: पांच समन्वय के साथ बिंदु ए। तीन बजे). पढ़ें: निर्देशांक माइनस तीन के साथ बिंदु B.
- संख्या का मापांक a (लिखें |ए|) दी गई संख्या के संगत बिंदु से मूल बिंदु तक की दूरी कहलाती है एक. किसी भी संख्या का मापांक मान ऋणात्मक नहीं होता है। |3|=3; |-3|=3, क्योंकि मूल बिंदु से संख्या -3 और संख्या 3 तक की दूरी तीन इकाई खंडों के बराबर है। |0|=0 .
- किसी संख्या के मापांक की परिभाषा के अनुसार: |ए|=ए, यदि ए?0तथा |ए|=-ए, यदि एक बी.
- यदि, संख्या a और b की तुलना करते समय, अंतर ए-बीएक ऋणात्मक संख्या है, तो ए, तो उन्हें सख्त असमानता कहा जाता है।
- यदि असमानताओं को संकेतों में लिखा जाता है? या ?, तो उन्हें गैर-सख्त असमानताएँ कहा जाता है।
संख्यात्मक असमानताओं के गुण।
जी) 
फॉर्म x?a की असमानता। उत्तर:
विभाज्यता चिन्ह
विभाज्यता चिन्ह- एक नियम जो आपको अपेक्षाकृत तेज़ी से यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि कोई संख्या वास्तविक विभाजन किए बिना पूर्व निर्धारित संख्या का गुणज है या नहीं। एक नियम के रूप में, यह एक स्थितीय संख्या प्रणाली (आमतौर पर दशमलव) में एक संख्या के अंकन से अंकों के एक हिस्से के साथ क्रियाओं पर आधारित होता है।
कई सरल नियम हैं जो आपको दशमलव संख्या प्रणाली में किसी संख्या के छोटे भाजक खोजने की अनुमति देते हैं:
2 . से विभाज्यता का चिन्ह
3 . से विभाज्यता का चिन्ह
4 चिन्ह से विभाज्यता
5 . से विभाज्यता का चिन्ह
6 . से विभाज्यता का चिन्ह
7 . से विभाज्यता का चिन्ह
8 . से विभाज्यता का चिन्ह
9 . से विभाज्यता का चिन्ह
10 . से विभाज्यता का चिन्ह
11 . से विभाज्यता का चिन्ह
12 . से विभाज्यता का चिन्ह
13 . से विभाज्यता का चिन्ह
14 . से विभाज्यता का चिन्ह
15 . से विभाज्यता का चिन्ह
17 . से विभाज्यता का चिन्ह
19 . से विभाज्यता का चिन्ह
23 . से विभाज्यता का चिन्ह
25 . से विभाज्यता का चिन्ह
99 . से विभाज्यता का चिन्ह
हम संख्या को दाएँ से बाएँ 2 अंकों के समूहों में विभाजित करते हैं (बाएँ समूह में एक अंक हो सकता है) और इन समूहों का योग ज्ञात करते हैं, उन्हें दो अंकों की संख्या मानते हैं। यह योग 99 से विभाज्य है यदि और केवल यदि संख्या स्वयं 99 से विभाज्य है।
101 . से विभाज्यता का चिह्न
हम संख्या को दाएँ से बाएँ 2 अंकों के समूहों में विभाजित करते हैं (सबसे बाएँ समूह में एक अंक हो सकता है) और चर चिह्नों वाले इन समूहों का योग ज्ञात करते हैं, उन्हें दो-अंकीय संख्याएँ मानते हुए। यह योग 101 से विभाज्य है यदि और केवल यदि संख्या स्वयं 101 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 590547 101 से विभाज्य है, क्योंकि 59-05+47=101 101 से विभाज्य है।
2 . से विभाज्यता का चिन्ह एन
कोई संख्या दो के nवें घात से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसके अंतिम n अंकों से बनी संख्या उसी घात से विभाज्य हो।
5 . से विभाज्यता का चिन्ह एन
कोई संख्या 5 के nवें घात से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसके अंतिम n अंकों से बनी संख्या उसी घात से विभाज्य हो।
10 . से विभाज्यता का चिन्ह एन − 1
आइए संख्या को दाएं से बाएं n अंकों के समूहों में विभाजित करें (बाएं समूह में 1 से n अंक हो सकते हैं) और इन समूहों का योग ज्ञात करें, उन्हें n-अंकीय संख्याएं मानते हुए। यह राशि 10 . से विभाज्य है एन− 1 यदि और केवल तभी यदि संख्या स्वयं 10 . से विभाज्य हो एन − 1 .
10 . से विभाज्यता का चिन्ह एन
एक संख्या दस के nवें घात से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसके अंतिम n अंक हैं
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