जीवन में कभी-कभी ऐसे हालात होते हैं जब आपको लंबे समय से भूले हुए स्कूली ज्ञान की तलाश में अपनी याददाश्त में तल्लीन करना पड़ता है। उदाहरण के लिए, आपको एक त्रिकोणीय आकार के भूमि भूखंड का क्षेत्रफल निर्धारित करने की आवश्यकता है, या एक अपार्टमेंट या एक निजी घर में अगली मरम्मत की बारी आ गई है, और आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि इसमें कितनी सामग्री लगेगी त्रिकोणीय आकार वाली सतह के लिए। एक समय था जब आप इस तरह की समस्या को कुछ मिनटों में हल कर सकते थे, और अब आप यह याद करने की पूरी कोशिश कर रहे हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निर्धारित किया जाए?
आपको इस बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है! आखिरकार, यह बिल्कुल सामान्य है जब मानव मस्तिष्क लंबे समय से अप्रयुक्त ज्ञान को एक दूरस्थ कोने में स्थानांतरित करने का निर्णय लेता है, जहां से इसे निकालना कभी-कभी इतना आसान नहीं होता है। ताकि आपको इस तरह की समस्या को हल करने के लिए भूले हुए स्कूली ज्ञान की खोज से पीड़ित न होना पड़े, इस लेख में विभिन्न विधियाँ हैं जो एक त्रिभुज के आवश्यक क्षेत्र को खोजना आसान बनाती हैं।
यह सर्वविदित है कि त्रिभुज एक प्रकार का बहुभुज है जो पक्षों की न्यूनतम संभव संख्या द्वारा सीमित होता है। सिद्धांत रूप में, किसी भी बहुभुज को उसके शीर्षों को उन खंडों से जोड़कर कई त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जो उसकी भुजाओं को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। इसलिए त्रिभुज को जानकर आप लगभग किसी भी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
जीवन में होने वाले सभी संभावित त्रिभुजों में, निम्नलिखित विशेष प्रकारों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: और आयताकार।
त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सबसे आसान तरीका यह है कि जब इसका एक कोना सही हो, यानी समकोण त्रिभुज के मामले में। यह देखना आसान है कि यह आधा आयत है। इसलिए, इसका क्षेत्रफल उन भुजाओं के आधे गुणनफल के बराबर है, जो उनके बीच एक समकोण बनाती हैं।
यदि हम त्रिभुज की ऊँचाई, उसके एक शीर्ष से विपरीत दिशा में नीचे की ओर, और इस भुजा की लंबाई, जिसे आधार कहते हैं, ज्ञात करें, तो क्षेत्रफल की गणना ऊँचाई और आधार के आधे गुणनफल के रूप में की जाती है। यह निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके लिखा गया है:
एस = 1/2*बी*एच, जिसमें
S त्रिभुज का वांछित क्षेत्रफल है;
b, h - क्रमशः त्रिभुज की ऊँचाई और आधार।
समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना इतना आसान है, क्योंकि ऊँचाई विपरीत भुजा को समद्विभाजित करेगी, और इसे आसानी से मापा जा सकता है। यदि क्षेत्र निर्धारित किया जाता है, तो एक समकोण बनाने वाली भुजा की लंबाई को ऊंचाई के रूप में लेना सुविधाजनक होता है।
यह सब निश्चित रूप से अच्छा है, लेकिन यह कैसे निर्धारित किया जाए कि त्रिभुज का कोई एक कोना सही है या नहीं? अगर हमारे फिगर का साइज छोटा है तो आप बिल्डिंग एंगल, ड्रॉइंग ट्राएंगल, पोस्टकार्ड या आयताकार शेप वाली दूसरी वस्तु का इस्तेमाल कर सकते हैं।
लेकिन क्या होगा अगर हमारे पास त्रिकोणीय भूमि भूखंड है? इस मामले में, निम्नानुसार आगे बढ़ें: एक तरफ कथित समकोण के शीर्ष से, 3 (30 सेमी, 90 सेमी, 3 मीटर) की दूरी गुणक मापा जाता है, और दूसरी तरफ 4 (40) की दूरी गुणक सेमी, 160 सेमी, 4 मीटर)। अब आपको इन दो खंडों के अंतिम बिंदुओं के बीच की दूरी को मापने की आवश्यकता है। यदि मान 5 (50 सेमी, 250 सेमी, 5 मीटर) का गुणज है, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि कोण सही है।
यदि हमारी आकृति की तीनों भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई का मान ज्ञात हो, तो हीरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है। इसका एक सरल रूप होने के लिए, एक नए मान का उपयोग किया जाता है, जिसे अर्ध-परिधि कहा जाता है। यह हमारे त्रिभुज की सभी भुजाओं का योग है, जो आधे में विभाजित है। अर्ध-परिधि की गणना के बाद, आप सूत्र का उपयोग करके क्षेत्र निर्धारित करना शुरू कर सकते हैं:
एस = वर्ग (पी (पी-ए) (पी-बी) (पी-सी)), कहा पे
sqrt - वर्गमूल;
p अर्ध-परिधि का मान है (p =(a+b+c)/2);
ए, बी, सी - त्रिभुज के किनारे (भुजाएँ)।
लेकिन क्या होगा अगर त्रिभुज का आकार अनियमित हो? यहां दो संभावित तरीके हैं। इनमें से पहला यह है कि ऐसी आकृति को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करने का प्रयास किया जाए, जिनके क्षेत्रफलों का योग अलग-अलग परिकलित किया जाता है, और फिर जोड़ा जाता है। या, यदि दोनों पक्षों के बीच का कोण और इन भुजाओं का आकार ज्ञात हो, तो सूत्र लागू करें:
एस = 0.5 * एबी * पापसी, जहां
ए, बी - त्रिभुज की भुजाएँ;
c इन भुजाओं के बीच का कोण है।
बाद वाला मामला व्यवहार में दुर्लभ है, लेकिन फिर भी, जीवन में सब कुछ संभव है, इसलिए उपरोक्त सूत्र अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा। आपकी गणना के साथ शुभकामनाएँ!
त्रिकोण एक प्रसिद्ध आकृति है। और यह, इसके रूपों की समृद्ध विविधता के बावजूद। आयताकार, समबाहु, तीव्र, समद्विबाहु, अधिक। उनमें से प्रत्येक कुछ अलग है। लेकिन किसी के लिए भी त्रिभुज का क्षेत्रफल जानना आवश्यक है।
सभी त्रिभुजों के लिए सामान्य सूत्र जो भुजाओं या ऊँचाई की लंबाई का उपयोग करते हैं
उनमें अपनाए गए पदनाम: पक्ष - ए, बी, सी; a, n in, n s पर संगत भुजाओं पर ऊँचाई।
1. त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना ½ के गुणनफल के रूप में की जाती है, भुजा और उस पर नीचे की ऊंचाई। एस = ½ * ए * एन ए। इसी तरह, अन्य दो पक्षों के लिए सूत्र लिखना चाहिए।
2. बगुला का सूत्र, जिसमें अर्ध-परिधि दिखाई देती है (इसे पूर्ण परिधि के विपरीत एक छोटे अक्षर p से निरूपित करने की प्रथा है)। अर्ध-परिधि की गणना निम्नानुसार की जानी चाहिए: सभी पक्षों को जोड़ें और उन्हें 2 से विभाजित करें। अर्ध-परिधि सूत्र: p \u003d (a + b + c) / 2. फिर \ के क्षेत्र के लिए समानता आंकड़ा इस तरह दिखता है: एस \u003d (पी * (पी - ए) * ( पी - सी) * (पी - सी))।
3. यदि आप अर्ध-परिधि का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, तो ऐसा सूत्र काम आएगा, जिसमें केवल भुजाओं की लंबाई मौजूद है: S \u003d ¼ * ((a + b + c) * ( बी + सी - ए) * (ए + सी - सी) * (ए + बी - सी))। यह पिछले वाले की तुलना में कुछ लंबा है, लेकिन अगर आप भूल गए कि अर्ध-परिधि कैसे खोजना है तो यह मदद करेगा।
सामान्य सूत्र जिसमें त्रिभुज के कोण दिखाई देते हैं
सूत्र पढ़ने के लिए आवश्यक अंकन: α, β, γ - कोण। वे क्रमशः विपरीत भुजाएँ a, b, c स्थित हैं।
1. इसके अनुसार, दो भुजाओं का आधा गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है। वह है: एस = ½ ए * बी * पाप γ। अन्य दो मामलों के सूत्र इसी तरह लिखे जाने चाहिए।
2. त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना एक भुजा और तीन ज्ञात कोणों से की जा सकती है। एस \u003d (ए 2 * पाप β * पाप γ) / (2 पाप α)।
3. एक ज्ञात भुजा और उससे सटे दो कोणों वाला एक सूत्र भी होता है। यह इस तरह दिखता है: एस = सी 2 / (2 (सीटीजी α + सीटीजी β))।
अंतिम दो सूत्र सबसे सरल नहीं हैं। उन्हें याद रखना काफी मुश्किल है।
उस स्थिति के लिए सामान्य सूत्र जब अंकित या परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्या ज्ञात हो
अतिरिक्त पदनाम: आर, आर - त्रिज्या। पहले का उपयोग खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के लिए किया जाता है। दूसरा वर्णित के लिए है।
1. पहला सूत्र जिसके द्वारा त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना की जाती है, अर्ध-परिधि से संबंधित है। एस = आर * आर। दूसरे तरीके से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: S \u003d ½ r * (a + b + c)।
2. दूसरे मामले में, आपको त्रिभुज की सभी भुजाओं को गुणा करना होगा और उन्हें परिबद्ध वृत्त की चौगुनी त्रिज्या से विभाजित करना होगा। शाब्दिक शब्दों में, यह इस तरह दिखता है: S \u003d (a * b * c) / (4R)।
3. तीसरी स्थिति आपको पक्षों को जाने बिना करने की अनुमति देती है, लेकिन आपको तीनों कोणों के मूल्यों की आवश्यकता होती है। एस \u003d 2 आर 2 * पाप α * पाप β * पाप ।
विशेष मामला: समकोण त्रिभुज
यह सबसे सरल स्थिति है, क्योंकि केवल दोनों पैरों की लंबाई की आवश्यकता होती है। उन्हें लैटिन अक्षरों ए और बी द्वारा दर्शाया गया है। एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल इसमें जोड़े गए आयत के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से, यह इस तरह दिखता है: S = ½ a * b। वह याद रखने में सबसे आसान है। क्योंकि यह एक आयत के क्षेत्रफल के लिए सूत्र जैसा दिखता है, केवल एक अंश दिखाई देता है, जो आधा दर्शाता है।
विशेष मामला: समद्विबाहु त्रिभुज
चूँकि इसकी दोनों भुजाएँ समान हैं, इसलिए इसके क्षेत्रफल के कुछ सूत्र थोड़े सरल लगते हैं। उदाहरण के लिए, बगुला का सूत्र, जो एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करता है, निम्नलिखित रूप लेता है:
S = ½ in ((a + ½ in)*(a - ½ in))।
यदि आप इसे रूपांतरित करते हैं, तो यह छोटा हो जाएगा। इस मामले में, एक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए बगुला का सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:
एस = में (4 * ए 2 - बी 2)।
यदि भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात हो तो क्षेत्रफल सूत्र एक मनमाना त्रिभुज की तुलना में कुछ सरल लगता है। एस \u003d ½ ए 2 * पाप β।
विशेष मामला: समबाहु त्रिभुज
आमतौर पर उसके बारे में समस्याओं में पक्ष जाना जाता है या किसी तरह पहचाना जा सकता है। तब ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
एस = (ए 2 3) / 4।
यदि त्रिभुज को चेकर पेपर पर दर्शाया गया है तो क्षेत्रफल ज्ञात करने का कार्य
सबसे सरल स्थिति तब होती है जब एक समकोण त्रिभुज खींचा जाता है ताकि उसके पैर कागज की रेखाओं से मेल खाते हों। फिर आपको केवल उन कोशिकाओं की संख्या गिनने की आवश्यकता है जो पैरों में फिट होती हैं। फिर उन्हें गुणा करें और दो से भाग दें।
जब त्रिभुज न्यून या अधिक हो, तो उसे एक आयत की ओर खींचा जाना चाहिए। तब परिणामी आकृति में 3 त्रिभुज होंगे। एक वह है जो कार्य में दिया गया है। और अन्य दो सहायक और आयताकार हैं। अंतिम दो के क्षेत्रों को ऊपर वर्णित विधि द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए। फिर आयत के क्षेत्र की गणना करें और उसमें से सहायक के लिए गणना की गई घटाएं। त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित होता है।
अधिक कठिन वह स्थिति है जिसमें त्रिभुज की कोई भी भुजा कागज की रेखाओं से मेल नहीं खाती। फिर इसे एक आयत में अंकित किया जाना चाहिए ताकि मूल आकृति के कोने इसके किनारों पर हों। इस मामले में, तीन सहायक समकोण त्रिभुज होंगे।
हेरॉन के सूत्र पर एक समस्या का एक उदाहरण
स्थिति। कुछ त्रिभुज की भुजाएँ होती हैं। वे 3, 5 और 6 सेमी के बराबर हैं।आपको इसका क्षेत्रफल जानना होगा।
अब आप उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। वर्गमूल के अंतर्गत चार संख्याओं का गुणनफल होता है: 7, 4, 2 और 1। यानी क्षेत्रफल √ (4 * 14) = 2 √ (14) है।
यदि आपको अधिक सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो आप 14 का वर्गमूल ले सकते हैं। यह 3.74 है। तब क्षेत्रफल 7.48 के बराबर होगा।
जवाब। एस \u003d 2 14 सेमी 2 या 7.48 सेमी 2।
समकोण त्रिभुज वाली समस्या का एक उदाहरण
स्थिति। एक समकोण त्रिभुज का एक पैर दूसरे से 31 सेमी लंबा है। यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 180 सेमी 2 है, तो उनकी लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है।
फेसला। आपको दो समीकरणों के निकाय को हल करना है। पहले क्षेत्र के साथ करना है। दूसरा पैरों के अनुपात के साथ है, जो समस्या में दिया गया है।
180 \u003d ½ ए * बी;
ए \u003d बी + 31।
सबसे पहले, "ए" के मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। यह पता चला है: 180 \u003d ½ (में + 31) * में। इसकी केवल एक अज्ञात मात्रा है, इसलिए इसे हल करना आसान है। कोष्ठक खोलने के बाद, एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: 2 + 31 में - 360 \u003d 0. यह "इन" के लिए दो मान देता है: 9 और - 40। दूसरा नंबर उत्तर के रूप में उपयुक्त नहीं है , चूंकि त्रिभुज की भुजा की लंबाई ऋणात्मक मान नहीं हो सकती है।
यह दूसरे चरण की गणना करने के लिए बनी हुई है: परिणामी संख्या में 31 जोड़ें। यह 40 निकला। ये समस्या में मांगी गई मात्राएँ हैं।
जवाब। त्रिभुज के पैर 9 और 40 सेमी हैं।
त्रिभुज के क्षेत्रफल, भुजा और कोण से भुजा ज्ञात करने का कार्य
स्थिति। किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 60 सेमी2 है। इसकी एक भुजा की गणना करना आवश्यक है यदि दूसरी भुजा 15 सेमी है, और उनके बीच का कोण 30º है।
फेसला। स्वीकृत पदों के आधार पर, वांछित पक्ष "ए", ज्ञात "बी" है, दिया गया कोण "γ" है। फिर क्षेत्र सूत्र को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:
60 \u003d ½ ए * 15 * पाप 30º। यहां 30 डिग्री की ज्या 0.5 है।
परिवर्तनों के बाद, "ए" 60 / (0.5 * 0.5 * 15) के बराबर हो जाता है। यानी 16.
जवाब। वांछित पक्ष 16 सेमी है।
एक समकोण त्रिभुज में अंकित एक वर्ग की समस्या
स्थिति। 24 सेमी भुजा वाले एक वर्ग का शीर्ष त्रिभुज के समकोण के साथ संपाती है। अन्य दो पैरों पर झूठ बोलते हैं। तीसरा कर्ण का है। एक पैर की लंबाई 42 सेमी है समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?
फेसला। दो समकोण त्रिभुजों पर विचार कीजिए। पहला कार्य में निर्दिष्ट है। दूसरा मूल त्रिभुज के ज्ञात पैर पर आधारित है। वे समान हैं क्योंकि उनके पास एक सामान्य कोण है और समानांतर रेखाओं से बनते हैं।
तब उनके पैरों के अनुपात बराबर होते हैं। छोटे त्रिभुज की टांगें 24 सेमी (वर्ग की भुजा) और 18 सेमी (दिए गए पैर 42 सेमी से वर्ग 24 सेमी की भुजा को घटाकर) हैं। बड़े त्रिभुज के संगत पैर 42 सेमी और x सेमी हैं। यह "x" है जो त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए आवश्यक है।
18/42 \u003d 24 / x, यानी x \u003d 24 * 42/18 \u003d 56 (सेमी)।
तब क्षेत्रफल 56 और 42 के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे दो से विभाजित किया जाता है, यानी 1176 सेमी 2।
जवाब। वांछित क्षेत्र 1176 सेमी 2 है।
क्षेत्र की अवधारणा
किसी भी ज्यामितीय आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा, विशेष रूप से एक त्रिभुज, एक वर्ग के रूप में इस तरह की आकृति से जुड़ी होगी। किसी भी ज्यामितीय आकृति के एक इकाई क्षेत्रफल के लिए हम एक वर्ग का क्षेत्रफल लेंगे, जिसकी भुजा एक के बराबर होगी। पूर्णता के लिए, हम ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की अवधारणा के लिए दो बुनियादी गुणों को याद करते हैं।
संपत्ति 1:यदि ज्यामितीय आकृतियाँ समान हैं, तो उनके क्षेत्रफल भी समान हैं।
संपत्ति 2:किसी भी आकृति को कई आकृतियों में विभाजित किया जा सकता है। इसके अलावा, मूल आकृति का क्षेत्रफल उन सभी आकृतियों के क्षेत्रों के मूल्यों के योग के बराबर है जो इसे बनाते हैं।
आइए एक उदाहरण पर विचार करें।
उदाहरण 1
यह स्पष्ट है कि त्रिभुज की एक भुजा आयत का विकर्ण है, जिसकी एक भुजा की लंबाई $5$ ($5$ कोशिकाओं के बाद से) और दूसरी $6$ ($6$ कोशिकाओं के बाद से) है। अतः इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ऐसे आयत के आधे के बराबर होगा। आयत का क्षेत्रफल है
तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है
उत्तर: $15$।
इसके बाद, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कई विधियों पर विचार करें, अर्थात् ऊँचाई और आधार का उपयोग करके, बगुला सूत्र और समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करके।
ऊंचाई और आधार का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें
प्रमेय 1
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक भुजा की लंबाई के आधे गुणनफल के रूप में उस भुजा की ओर खींची गई ऊँचाई के गुणनफल के रूप में पाया जा सकता है।
गणितीय रूप से ऐसा दिखता है
$S=\frac(1)(2)αh$
जहां $a$ पक्ष की लंबाई है, $h$ इसके लिए खींची गई ऊंचाई है।
प्रमाण।
त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें जहाँ $AC=α$। ऊंचाई $BH$ इस तरफ खींची गई है और $h$ के बराबर है। आइए इसे चित्र 2 के अनुसार वर्ग $AXYC$ तक बनाएँ।
आयत $AXBH$ का क्षेत्रफल $h\cdot AH$ है, और आयत $HBYC$ का क्षेत्रफल $h\cdot HC$ है। फिर
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
अत: त्रिभुज का वांछित क्षेत्रफल गुण 2 के अनुसार के बराबर है
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ फ़्रैक(1)(2)αh$
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
उदाहरण 2
नीचे दी गई आकृति में त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि कोशिका का क्षेत्रफल एक के बराबर है
इस त्रिभुज का आधार $9$ है (चूंकि $9$ $9$ सेल है)। ऊंचाई भी $9$ है। तब, प्रमेय 1 से हम प्राप्त करते हैं
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
उत्तर: $40.5$।
हीरोन का सूत्र
प्रमेय 2
यदि हमें त्रिभुज की तीन भुजाएँ $α$, $β$ और $γ$ दी जाती हैं, तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
यहाँ $ρ$ का अर्थ इस त्रिभुज का आधा परिमाप है।
प्रमाण।
निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, त्रिभुज $ABH$ से हम प्राप्त करते हैं
पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा त्रिभुज $CBH$ से, हमारे पास है
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
इन दो संबंधों से हम समानता प्राप्त करते हैं
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
चूंकि $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, फिर $α+β+γ=2ρ$, इसलिए
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
प्रमेय 1 से हमें प्राप्त होता है
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
क्षेत्र की अवधारणा
किसी भी ज्यामितीय आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा, विशेष रूप से एक त्रिभुज, एक वर्ग के रूप में इस तरह की आकृति से जुड़ी होगी। किसी भी ज्यामितीय आकृति के एक इकाई क्षेत्रफल के लिए हम एक वर्ग का क्षेत्रफल लेंगे, जिसकी भुजा एक के बराबर होगी। पूर्णता के लिए, हम ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की अवधारणा के लिए दो बुनियादी गुणों को याद करते हैं।
संपत्ति 1:यदि ज्यामितीय आकृतियाँ समान हैं, तो उनके क्षेत्रफल भी समान हैं।
संपत्ति 2:किसी भी आकृति को कई आकृतियों में विभाजित किया जा सकता है। इसके अलावा, मूल आकृति का क्षेत्रफल उन सभी आकृतियों के क्षेत्रों के मूल्यों के योग के बराबर है जो इसे बनाते हैं।
आइए एक उदाहरण पर विचार करें।
उदाहरण 1
यह स्पष्ट है कि त्रिभुज की एक भुजा आयत का विकर्ण है, जिसकी एक भुजा की लंबाई $5$ ($5$ कोशिकाओं के बाद से) और दूसरी $6$ ($6$ कोशिकाओं के बाद से) है। अतः इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ऐसे आयत के आधे के बराबर होगा। आयत का क्षेत्रफल है
तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है
उत्तर: $15$।
इसके बाद, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कई विधियों पर विचार करें, अर्थात् ऊँचाई और आधार का उपयोग करके, बगुला सूत्र और समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करके।
ऊंचाई और आधार का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें
प्रमेय 1
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक भुजा की लंबाई के आधे गुणनफल के रूप में उस भुजा की ओर खींची गई ऊँचाई के गुणनफल के रूप में पाया जा सकता है।
गणितीय रूप से ऐसा दिखता है
$S=\frac(1)(2)αh$
जहां $a$ पक्ष की लंबाई है, $h$ इसके लिए खींची गई ऊंचाई है।
प्रमाण।
त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें जहाँ $AC=α$। ऊंचाई $BH$ इस तरफ खींची गई है और $h$ के बराबर है। आइए इसे चित्र 2 के अनुसार वर्ग $AXYC$ तक बनाएँ।
आयत $AXBH$ का क्षेत्रफल $h\cdot AH$ है, और आयत $HBYC$ का क्षेत्रफल $h\cdot HC$ है। फिर
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
अत: त्रिभुज का वांछित क्षेत्रफल गुण 2 के अनुसार के बराबर है
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ फ़्रैक(1)(2)αh$
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
उदाहरण 2
नीचे दी गई आकृति में त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि कोशिका का क्षेत्रफल एक के बराबर है
इस त्रिभुज का आधार $9$ है (चूंकि $9$ $9$ सेल है)। ऊंचाई भी $9$ है। तब, प्रमेय 1 से हम प्राप्त करते हैं
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
उत्तर: $40.5$।
हीरोन का सूत्र
प्रमेय 2
यदि हमें त्रिभुज की तीन भुजाएँ $α$, $β$ और $γ$ दी जाती हैं, तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
यहाँ $ρ$ का अर्थ इस त्रिभुज का आधा परिमाप है।
प्रमाण।
निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, त्रिभुज $ABH$ से हम प्राप्त करते हैं
पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा त्रिभुज $CBH$ से, हमारे पास है
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
इन दो संबंधों से हम समानता प्राप्त करते हैं
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
चूंकि $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, फिर $α+β+γ=2ρ$, इसलिए
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
प्रमेय 1 से हमें प्राप्त होता है
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
क्षेत्र सूत्रएक आकृति के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए आवश्यक है, जो कि यूक्लिडियन विमान में एक निश्चित वर्ग के आंकड़ों पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य है और 4 शर्तों को संतुष्ट करता है:
- धनात्मक - क्षेत्रफल शून्य से कम नहीं हो सकता;
- सामान्यीकरण - एकता के किनारे वाले वर्ग का क्षेत्रफल 1 होता है;
- सर्वांगसमता - सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल समान होता है;
- योगात्मकता - बिना उभयनिष्ठ आन्तरिक बिन्दुओं के 2 अंकों के मिलन का क्षेत्रफल इन आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
| ज्यामितीय आकृति | सूत्र | चित्रकला |
|---|---|---|
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एक उत्तल चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं के बीच की दूरियों को जोड़ने का परिणाम उसके अर्धपरिमाण के बराबर होगा। |
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सर्किल सेक्टर। एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल उसके चाप के गुणनफल और आधी त्रिज्या के बराबर होता है। |
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सर्कल खंड। खंड ASB का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, त्रिभुज AOB के क्षेत्रफल को AOB के क्षेत्रफल से घटाना पर्याप्त है। |
एस = 1/2 आर (एस - एसी) |
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एक दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल दीर्घवृत्त pi के प्रमुख और लघु अर्ध-अक्षों की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है। |
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अंडाकार. एक दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने का एक अन्य विकल्प इसकी दो त्रिज्याओं के माध्यम से है। |
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त्रिभुज। आधार और ऊंचाई के माध्यम से। त्रिज्या और व्यास के संदर्भ में एक वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र। |
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वर्ग । उसकी तरफ से। एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है। |
|
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वर्ग। इसके विकर्ण के माध्यम से. एक वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण की लंबाई का आधा वर्ग है। |
||
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नियमित बहुभुज. एक नियमित बहुभुज के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, इसे समान त्रिभुजों में विभाजित करना आवश्यक है, जिसमें उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र में एक सामान्य शीर्ष होगा। |
एस= आर पी = 1/2 आर एन ए |
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