फाइबोनैचि अनुक्रम और स्वर्णिम अनुपात के सिद्धांत। स्वर्ण अनुपात और फाइबोनैचि अनुक्रम संख्या शंकु फाइबोनैचि अनुक्रम में प्रकट हुए

पब्लिशिंग हाउस "" के साथ मिलकर, हम व्यावहारिक गणित के प्रोफेसर एडवर्ड शीनरमैन की पुस्तक "ए गाइड फॉर देज़ इन लव विद मैथमेटिक्स" का एक अंश प्रकाशित कर रहे हैं, जो आकर्षक गणित, पहेलियाँ और ब्रह्मांड के गैर-मानक प्रश्नों के लिए समर्पित है। संख्याओं और आंकड़ों का. एलेक्सी ओगनेव द्वारा अंग्रेजी से अनुवाद।

यह अध्याय प्रसिद्ध फाइबोनैचि संख्याओं के बारे में बात करता है: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, आदि। इस श्रृंखला का नाम पीसा के लियोनार्डो के नाम पर रखा गया था, जिन्हें फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता है। पीसा के लियोनार्डो (1170-1250) - मध्ययुगीन यूरोप के पहले प्रमुख गणितज्ञों में से एक। फिबोनाची के उपनाम का अर्थ है "बोनाची का पुत्र।" "बुक ऑफ अबेकस" के लेखक, जो दशमलव संख्या प्रणाली की व्याख्या करता है।

वर्ग और डोमिनोज़

आइए चौकों और डोमिनोज़ को बिछाकर शुरुआत करें। आइए 1 × 10 मापने वाले एक लंबे क्षैतिज फ्रेम की कल्पना करें। हम इसे पूरी तरह से 1 × 1 वर्ग और 1 × 2 डोमिनोज़ से भरना चाहते हैं, एक भी अंतराल नहीं छोड़ना। यहाँ एक चित्र है:

प्रश्न: यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

सुविधा के लिए, आइए विकल्पों की संख्या को F10 के रूप में निरूपित करें। उन सभी का अध्ययन करना और फिर उन्हें गिनना कठिन काम है, जो त्रुटियों से भरा है। समस्या को सरल बनाना कहीं बेहतर है. आइए तुरंत F10 की तलाश न करें, आइए F1 से शुरुआत करें। यह आसान नहीं हो सकता! हमें 1 × 1 फ्रेम को 1 × 1 वर्ग और 1 × 2 डोमिनोज़ से भरना होगा। डोमिनोज़ फिट नहीं होंगे, इसलिए एकमात्र समाधान एक वर्ग लेना है। दूसरे शब्दों में, F1 = 1.

अब आइए F2 को देखें। फ़्रेम का आकार 1 × 2 है। आप इसे दो वर्गों या एक डोमिनोज़ से भर सकते हैं। तो दो विकल्प हैं और F2 = 2.

अगला: आप 1×3 फ़्रेम को कितने तरीकों से भर सकते हैं? पहला विकल्प: तीन वर्ग. दो अन्य विकल्प: एक डोमिनोज़ (दो फिट नहीं होंगे) और बाईं या दाईं ओर एक वर्ग। तो, F3 = 3. एक और कदम: 1 × 4 फ्रेम लें। चित्र सभी भरने के विकल्प दिखाता है:

हमें पाँच संभावनाएँ मिलीं, लेकिन इसकी क्या गारंटी है कि हमने कुछ भी नहीं छोड़ा? खुद को परखने का एक तरीका है. फ़्रेम के बाएँ सिरे पर या तो एक वर्ग या एक डोमिनोज़ हो सकता है। चित्र में शीर्ष पंक्ति में विकल्प हैं जब बाईं ओर एक वर्ग होता है, निचली पंक्ति में - जब बाईं ओर एक डोमिनो होता है।

मान लीजिए कि बाईं ओर एक वर्ग है। शेष भाग को वर्गों और डोमिनोज़ से भरना होगा। दूसरे शब्दों में, आपको फ़्रेम को 1 × 3 भरने की आवश्यकता है। यह 3 विकल्प देता है, क्योंकि F3 = 3. यदि बाईं ओर एक डोमिनो है, तो शेष भाग का आकार 1 × 2 है, और दो विकल्प हैं इसे भरें, चूँकि F2 = 2.

तो हमारे पास 3 + 2 = 5 विकल्प हैं और हमने यह सुनिश्चित किया है कि F4 = 5 है।

अब आप। कुछ मिनटों के लिए सोचें और 1×5 फ़्रेम के लिए सभी भरने के विकल्प ढूंढें। बहुत सारे नहीं हैं। समाधान अध्याय के अंत में है. आप थोड़ा ब्रेक लेकर सोच सकते हैं.

आइए अपने चौकों पर लौटें। मैं विश्वास करना चाहूंगा कि आपको 8 विकल्प मिल गए हैं, क्योंकि बिछाने के 5 तरीके हैं, बाईं ओर एक वर्ग है, और 3 और तरीके हैं, बाईं ओर डोमिनोज़ है। इस प्रकार F5 = 8.

आइए संक्षेप करें। हम FN द्वारा 1 × n फ़्रेम को वर्गों और डोमिनोज़ से भरने के तरीकों की संख्या को दर्शाते हैं। हमें F10 ढूंढ़ना है. यहाँ वह है जो हम पहले से ही जानते हैं:

पर चलते हैं। F6 किसके बराबर है? आप सभी विकल्प निकाल सकते हैं, लेकिन यह उबाऊ है। प्रश्न को दो भागों में विभाजित करना बेहतर है। 1 × 6 फ्रेम को कितने तरीकों से भरा जा सकता है यदि बाईं ओर (ए) एक वर्ग और (बी) एक डोमिनो है? अच्छी खबर: हम पहले से ही उत्तर जानते हैं! पहले मामले में, हमारे पास पाँच वर्ग बचे हैं, और हम जानते हैं कि F5 = 8. दूसरे मामले में, हमें चार वर्ग भरने होंगे; हम जानते हैं कि F4 = 5. इस प्रकार, F5 + F4 = 13.

F7 किसके बराबर है? समान विचारों के आधार पर, F7 =F6+F5=13+8=21. F8 के बारे में क्या? जाहिर है, F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. और इसी तरह। हमें निम्नलिखित संबंध मिला: Fn = Fn-1 + Fn-2।

कुछ और कदम और हम आवश्यक संख्या F10 ज्ञात कर लेंगे। सही उत्तर अध्याय के अंत में है।

फाइबोनैचि संख्याएँ

फाइबोनैचि संख्याएँ अनुक्रम हैं:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

इसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार बनाया गया है:

— प्रथम दो संख्याएँ 1 और 1 हैं;

- प्रत्येक अगली संख्या दो पिछली संख्याओं को जोड़कर प्राप्त की जाती है।

हम शून्य से शुरू करके अनुक्रम के nवें तत्व Fn को निरूपित करेंगे: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, ... हम सूत्र का उपयोग करके अगले तत्व की गणना करते हैं: Fn = Fn -1 + एफएन-2।

जैसा कि हम देख सकते हैं, वर्गों और डोमिनोज़ को ढेर करने की समस्या हमें संख्याओं के फाइबोनैचि अनुक्रम तक ले गई [ 1 ]वर्ग और डोमिनोज़ समस्या में, हमें पता चला कि F1 = 1 और F2 = 2. लेकिन फाइबोनैचि संख्याएँ F0 = 1 से शुरू होती हैं। यह समस्या की शर्तों के साथ कैसे फिट बैठता है? समान परिस्थितियों में 0×1 फ़्रेम को भरने के कितने तरीके हैं? वर्ग की लंबाई और डोमिनोज़ की लंबाई, आख़िरकार, शून्य से अधिक है, इसलिए यह कहना आकर्षक है कि उत्तर शून्य है, लेकिन ऐसा नहीं है। 0 × 1 आयत पहले से ही भरा हुआ है, वहां कोई अंतराल नहीं है; हमें स्क्वायर या डोमिनोज़ की आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार, कार्रवाई का केवल एक ही तरीका है: स्क्वायर या डोमिनोज़ न लें। क्या तुम समझ रहे हो? ऐसे में मैं आपको बधाई देता हूं. आपके पास गणित की आत्मा है!

फाइबोनैचि संख्याओं का योग

आइए पहले कुछ फाइबोनैचि संख्याओं को जोड़ने का प्रयास करें। हम किसी भी n के योग F0 + F1 +… + Fn के बारे में क्या कह सकते हैं? आइए कुछ गणनाएँ करें और देखें कि हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं। नीचे दिए गए अतिरिक्त परिणामों पर ध्यान दें। क्या आपको कोई पैटर्न दिखता है? आगे बढ़ने से पहले एक क्षण रुकें; बेहतर होगा कि आप पहले से तैयार समाधान पढ़ने के बजाय स्वयं ही उत्तर ढूंढ़ लें।

मैं विश्वास करना चाहूंगा कि आपने देखा है कि योग के परिणाम, यदि आप उनमें एक जोड़ते हैं, तो वह भी फाइबोनैचि संख्याओं के अनुक्रम में पंक्तिबद्ध हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं F0 को F5 में जोड़ने पर प्राप्त होता है: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. संख्याओं F0 को F6 में जोड़ने पर 33 प्राप्त होता है। जो F8 = 34 से कम है। हम गैर-नकारात्मक पूर्णांक n के लिए सूत्र लिख सकते हैं: F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1। (*)

संभवतः आपके लिए व्यक्तिगत रूप से यह देखना पर्याप्त होगा कि सूत्र [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. एक दर्जन मामलों में यह आपको विश्वास दिलाने का काम करता है कि यह सच है, लेकिन गणितज्ञ प्रमाण के भूखे हैं। हमें दो संभावित प्रमाण प्रस्तुत करते हुए खुशी हो रही है कि यह सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांक n के लिए सत्य है।

पहले को प्रेरण द्वारा प्रमाण कहा जाता है, दूसरे को संयोजनात्मक प्रमाण कहा जाता है।

प्रेरण द्वारा प्रमाण

सूत्र [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.संक्षिप्त रूप में अनंत संख्या में सूत्रों का प्रतिनिधित्व करता है। साबित करें कि [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n के किसी विशेष मान के लिए सत्य, मान लीजिए n = 6, एक सरल अंकगणितीय समस्या है। यह F0 से F6 तक की संख्याओं को लिखने और उन्हें जोड़ने के लिए पर्याप्त होगा: F0 +F2 +…+F6 =1+1+2+3+5+8+13=33.

यह देखना आसान है कि F8 = 34, इसलिए सूत्र काम करता है। चलिए F7 पर चलते हैं। आइए सभी संख्याओं को जोड़ने में समय बर्बाद न करें: हम पहले से ही F6 तक का योग जानते हैं। इस प्रकार, (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54. पहले की तरह, सब कुछ फिट बैठता है: F9 = 55।

यदि अब हम यह जाँचना शुरू करें कि n = 8 का सूत्र काम करता है या नहीं, तो अंततः हमारी ताकत ख़त्म हो जाएगी। लेकिन आइए फिर भी देखें कि हम पहले से क्या जानते हैं और हम क्या जानना चाहते हैं:

F0 +F1 +…+F7 =F9.

F0 +F1 +…+F7 +F7 =?

आइए पिछले परिणाम का उपयोग करें: (F0 +F1 +…+F7)+F8 =(F9-1)+F8.

हम निश्चित रूप से अंकगणितीय रूप से (F9-1) + F8 की गणना कर सकते हैं। लेकिन इससे हम और भी थक जायेंगे. साथ ही, हम जानते हैं कि F8 + F9 = F10. इस प्रकार, हमें कुछ भी गणना करने या फाइबोनैचि संख्याओं की तालिका को देखने की आवश्यकता नहीं है:

(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.

n = 7 के बारे में हम जो जानते थे उसके आधार पर हमने सत्यापित किया कि सूत्र n = 8 के लिए काम करता है।

n = 9 के मामले में, हम उसी तरह n = 8 के परिणाम पर भरोसा करते हैं (इसे स्वयं देखें)। निःसंदेह, निष्ठा सिद्ध होने पर [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n के लिए, हम निश्चिंत हो सकते हैं कि [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n+1 के लिए भी सत्य है।

हम पूरा सबूत देने को तैयार हैं. जैसा कि पहले ही कहा जा चुका है, [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.शून्य से अनंत तक n के सभी मानों के लिए अनंत सूत्रों का प्रतिनिधित्व करता है। आइए देखें कि प्रमाण कैसे काम करता है।

पहले हम सिद्ध करते हैं [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.सबसे सरल मामले में, n = 0 के लिए। हम बस जाँचते हैं कि F0 = F0+2 - 1. चूँकि F0 = 1 और F2 = 2, स्पष्ट रूप से 1 = 2 - 1 और F0 = F2-1।

इसके अलावा, हमारे लिए यह दिखाना पर्याप्त है कि n (मान लीजिए, n = k) के एक मान के लिए सूत्र की वैधता का स्वचालित रूप से मतलब है कि यह n + 1 के लिए सही है (हमारे उदाहरण में, n = k + 1)। हमें बस यह प्रदर्शित करने की आवश्यकता है कि यह "स्वचालित रूप से" कैसे काम करता है। हमें क्या करना होगा?

आइए कुछ संख्या k लें। आइए मान लें कि हम पहले से ही जानते हैं कि F0+F1+…+Fk =Fk+2–1. हम F0 + F1 +… + Fk + Fk+1 मान ढूंढ रहे हैं।

हम पहले से ही Fk तक फाइबोनैचि संख्याओं का योग जानते हैं, इसलिए हमें यह मिलता है:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =(Fk+2–1)+Fk+1.

दाहिना पक्ष Fk+2 - 1 + Fk+1 के बराबर है, और हम जानते हैं कि क्रमिक फाइबोनैचि संख्याओं का योग किसके बराबर होता है:

Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) - 1 = Fk+3– 1

आइए अपनी समानता में स्थानापन्न करें:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =Fk+3–1

अब मैं समझाऊंगा कि हमने क्या किया। यदि हम यह जानते हैं कि [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.सत्य है जब हम Fk तक की संख्याओं का योग करते हैं, तो [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.यदि हम Fk+1 जोड़ते हैं तो यह सत्य होना चाहिए।

आइए संक्षेप में बताएं:

सूत्र [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n = 0 के लिए सत्य है।

यदि सूत्र [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n के लिए सत्य है, यह n + 1 के लिए भी सत्य है।

हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n के किसी भी मान के लिए सत्य है। क्या यह सच है [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n = 4987 के लिए? यह सत्य है यदि व्यंजक n = 4986 के लिए सत्य है, जो n = 4985 के लिए व्यंजक के सत्य होने पर आधारित है, और इसी प्रकार n = 0 तक। इसलिए, सूत्र [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.सभी संभावित मूल्यों के लिए सत्य। प्रमाण की इस विधि को कहा जाता है गणितीय प्रेरण (या प्रेरण द्वारा प्रमाण). हम आधार मामले का परीक्षण करते हैं और एक टेम्पलेट प्रदान करते हैं जिसके द्वारा प्रत्येक अगले मामले को पिछले मामले के आधार पर सिद्ध किया जा सकता है।

संयुक्त प्रमाण

लेकिन यहां पहचान का बिल्कुल अलग सबूत है [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. यहां मूल दृष्टिकोण इस तथ्य का लाभ उठाना है कि संख्या Fn एक 1 × n आयत को वर्गों और डोमिनोज़ के साथ पंक्तिबद्ध करने के तरीकों की संख्या है।

मैं आपको याद दिला दूं कि हमें यह साबित करना होगा:

F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn+2- 1. (*)

विचार यह है कि समीकरण के दोनों पक्षों को क्लैडिंग समस्या के समाधान के रूप में माना जाए। यदि हम सिद्ध करें कि बाएँ और दाएँ पक्ष एक ही आयत के समाधान हैं, तो वे एक दूसरे के साथ संपाती होंगे। इस तकनीक को कॉम्बिनेटोरियल प्रूफ़ कहा जाता है[ 2 ]शब्द "कॉम्बिनेटोरियल" संज्ञा "कॉम्बिनेटरिक्स" से लिया गया है, जो गणित की एक शाखा का नाम है जिसका विषय एक आयत को अस्तर करने जैसी समस्याओं में विकल्पों की गिनती करना है। शब्द "कॉम्बिनेटरिक्स", बदले में, "कॉम्बिनेशन" शब्द से लिया गया है।.

किस कॉम्बिनेटरिक्स प्रश्न के लिए समीकरण [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.दो सही उत्तर देता है? यह पहेली ख़तरे पर पाई गई पहेली के समान है! [ 3 ]संयुक्त राज्य अमेरिका में लोकप्रिय टीवी क्विज़ शो। खतरे के समान! विभिन्न देशों में प्रकाशित; रूस में यह "खुद का खेल" है। - लगभग। ईडी।, जहां प्रतिभागियों को पहले से सही उत्तर जानकर एक प्रश्न तैयार करना होगा।

दाहिना भाग सरल दिखता है, तो चलिए वहीं से शुरू करते हैं। उत्तर: Fn+2– 1. प्रश्न क्या है? यदि उत्तर केवल Fn+2 होता, तो हम आसानी से प्रश्न तैयार कर सकते थे: हम कितने तरीकों से वर्गों और डोमिनोज़ का उपयोग करके 1 × (n + 2) आयत का सामना कर सकते हैं? यह लगभग वही है जो आपको चाहिए, लेकिन उत्तर एक कम है। आइए प्रश्न को धीरे से बदलने और उत्तर को छोटा करने का प्रयास करें। आइए एक क्लैडिंग विकल्प को हटा दें और शेष को गिनें। कठिनाई एक ऐसे विकल्प को खोजने की है जो बाकियों से बिल्कुल अलग हो। क्या वहां ऐसी कोई चीज है?

प्रत्येक क्लैडिंग विधि में वर्गों या डोमिनोज़ का उपयोग शामिल होता है। एक संस्करण में केवल वर्ग शामिल होते हैं, अन्य में कम से कम एक डोमिनोज़ होता है। आइए इसे एक नए प्रश्न का आधार मानें।

सवाल:कम से कम एक डोमिनोज़ सहित, वर्गों और डोमिनोज़ के साथ 1 × (एन + 2) आयताकार फ्रेम को अस्तर करने के लिए कितने विकल्प हैं?

अब हम इस सवाल के दो जवाब ढूंढेंगे. चूँकि दोनों सही होंगे, हम आत्मविश्वास से संख्याओं के बीच बराबर का चिह्न लगा सकते हैं।

हम पहले ही एक उत्तर पर चर्चा कर चुके हैं। Fn+2 स्टाइलिंग विकल्प हैं। उनमें से केवल एक में डोमिनोज़ के बिना, विशेष रूप से वर्गों का उपयोग शामिल है। इस प्रकार, हमारे प्रश्न का उत्तर #1 है: एफएन+2-1।

दूसरा उत्तर होना चाहिए - मुझे आशा है - समीकरण का बाईं ओर [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. आइए देखें कि यह कैसे काम करता है।

आपको फ़्रेम भरने के लिए उन विकल्पों को गिनना होगा जिनमें कम से कम एक डोमिनोज़ शामिल हो। आइए इस बारे में सोचें कि सबसे पहला डोमिनोज़ कहाँ स्थित होगा। n+2 स्थितियाँ हैं, और पहला डोमिनोज़ 1 से n+1 स्थिति में स्थित हो सकता है।

मामले n = 4 पर विचार करें। हम 1 × 6 फ्रेम को भरने के लिए विकल्पों की तलाश कर रहे हैं जिसमें कम से कम एक डोमिनोज़ शामिल हो। हम उत्तर जानते हैं: F6 - 1 = 13 - 1 = 12, लेकिन हमें इसे अलग तरीके से प्राप्त करने की आवश्यकता है।

पहला डोमिनोज़ निम्नलिखित पदों पर रह सकता है:

पहला कॉलम उस मामले को दिखाता है जब डोमिनोज़ पहली स्थिति में होता है, दूसरा - जब डोमिनोज़ दूसरे स्थान पर होता है, आदि।

प्रत्येक कॉलम में कितने विकल्प हैं?

पहले कॉलम में पाँच विकल्प हैं। यदि हम डोमिनोज़ को बाईं ओर छोड़ते हैं, तो हमें 1 × 4 आयत के लिए बिल्कुल F4 = 5 विकल्प मिलते हैं। दूसरे कॉलम में तीन विकल्प हैं। आइए डोमिनोज़ और बाईं ओर के वर्ग को हटा दें। हमें 1 × 3 आयत के लिए F3 = 3 विकल्प मिलते हैं। इसी प्रकार अन्य स्तंभों के लिए भी। यहां हमने जो पाया:

इस प्रकार, वर्गों और डोमिनोज़ (कम से कम एक डोमिनोज़ के साथ) के साथ 1 × 6 आयताकार फ्रेम को टाइल करने के तरीकों की संख्या F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12 है।

निष्कर्ष: F0+F1+F2+F3+F4=12=F6–1.

आइए सामान्य मामले पर विचार करें। हमें लंबाई n + 2 का एक फ्रेम दिया गया है। इसे भरने के लिए कितने विकल्प हैं ताकि पहला डोमिनो किसी स्थिति k पर हो? इस मामले में, पहले k-1 स्थान पर वर्गों का कब्ज़ा होता है। इस प्रकार, कुल मिलाकर k + 1 पदों पर कब्जा है [ 4 ]संख्या k 1 से n + 1 तक मान ले सकती है, लेकिन इससे अधिक नहीं, क्योंकि अन्यथा अंतिम डोमिनोज़ फ़्रेम से बाहर चिपक जाएगा।. शेष (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 को किसी भी प्रकार से भरा जा सकता है। यह Fn-k+1 विकल्प देता है। आइए एक आरेख बनाएं:

यदि k 1 से n + 1 में बदल जाता है, तो n - k + 1 का मान 0 से n में बदल जाता है। इस प्रकार, कम से कम एक डोमिनोज़ का उपयोग करके हमारे फ्रेम को भरने के विकल्पों की संख्या Fn + Fn-1 +… + F1 + F0 के बराबर है।

यदि हम पदों को उल्टे क्रम में रखते हैं, तो हमें अभिव्यक्ति का बायाँ भाग (*) मिलता है। इस प्रकार, हमें पूछे गए प्रश्न का दूसरा उत्तर मिल गया है: F0 +F1 +…+Fn।

तो हमारे पास प्रश्न के दो उत्तर हैं। हमारे द्वारा प्राप्त दो सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त मान मेल खाते हैं, और पहचान [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.सिद्ध किया हुआ।

फाइबोनैचि अनुपात और स्वर्णिम अनुपात

दो लगातार फाइबोनैचि संख्याओं को जोड़ने पर अगली फाइबोनैचि संख्या प्राप्त होती है। इस अनुभाग में हम एक अधिक दिलचस्प प्रश्न पर बात करेंगे: यदि हम फाइबोनैचि संख्या को श्रृंखला में उसके पहले वाली संख्या से विभाजित करें तो क्या होगा? आइए अनुपात Fk1 की गणना करें। k का मान बढ़ाने के लिए.

तालिका में आप F1/F0 से F20/19 तक अनुपात देख सकते हैं।

फाइबोनैचि संख्या जितनी अधिक होती है, अनुपात Fk+1/Fk एक स्थिरांक के उतना ही करीब होता है, जो लगभग 1.61803 के बराबर होता है। यह संख्या - आपको आश्चर्य होगा - काफी प्रसिद्ध है, और यदि आप इसे किसी खोज इंजन में दर्ज करते हैं, तो सुनहरे अनुपात के बारे में ढेर सारे पृष्ठ सामने आ जाएंगे। यह क्या है? आसन्न फाइबोनैचि संख्याओं का अनुपात समान नहीं है। हालाँकि, यदि संख्याएँ काफी बड़ी हैं तो यह लगभग समान है। आइए संख्या 1.61803 का सूत्र खोजें और इसके लिए हम अस्थायी रूप से मान लेंगे कि सभी अनुपात समान हैं। आइए हम संकेतन x का परिचय दें:

x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…

इसका मतलब है कि Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1, आदि। हम पुन: सूत्रीकरण कर सकते हैं:

Fk+2 =xFk+1=x2>Fk.

लेकिन हम जानते हैं कि Fk+2= Fk+1 + Fk. इस प्रकार, x2>FkFk = xFk + Fk।

यदि हम दोनों पक्षों को Fk से विभाजित करते हैं और पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है: x2-x-1=0। इसके दो समाधान हैं:

अनुपात सकारात्मक होना चाहिए. और अब हमारे पास एक संख्या है जिससे हम परिचित हैं। आमतौर पर ग्रीक अक्षर φ (phi) का उपयोग सुनहरे अनुपात को दर्शाने के लिए किया जाता है:

हमने पहले ही देखा है कि पड़ोसी फाइबोनैचि संख्याओं का अनुपात φ तक पहुंचता है (प्रवृत्त होता है)। यह आश्चर्यजनक है। यह हमें अनुमानित फाइबोनैचि संख्याओं की गणना करने का एक और तरीका देता है। फाइबोनैचि संख्याओं का क्रम श्रृंखला F0 F1, F2, F3, F4, F5 है... यदि सभी अनुपात Fk+1/Fk समान हैं, तो हमें सूत्र मिलता है:

यहाँ साथ- एक और स्थिरांक. आइए अलग-अलग n के लिए Fn और φn के गोलाकार मानों की तुलना करें:

n के बड़े मानों के लिए अनुपात Fn/ φn≈0.723607। यह संख्या बिल्कुल φ/root5 के बराबर है। दूसरे शब्दों में,

ध्यान दें कि यदि हम निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांक बनाते हैं, तो हमें बिल्कुल Fn मिलता है।

यदि आप निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकन करने की जहमत नहीं उठाना चाहते, तो जैक्स बिनेट के नाम पर दिया गया सूत्र [ 5 ]जैक्स बिनेट (1786-1856) - फ्रांसीसी गणितज्ञ, मैकेनिक और खगोलशास्त्री। फाइबोनैचि संख्याओं के सूत्र का नाम बिनेट के नाम पर रखा गया है, हालाँकि इसे लगभग सौ साल पहले अब्राहम डी मोइवर (1667-1754) द्वारा प्राप्त किया गया था। - लगभग। गली, आपको सटीक मूल्य देगा:

फ़्रेम भरें 1×5

हमारे फ्रेम को निम्नलिखित तरीकों से वर्गों और डोमिनोज़ से भरा जा सकता है:

जब वर्ग पहले आता है तो F4 = 5 विकल्प होते हैं, और जब डोमिनो पहले आता है तो F3 = 3 विकल्प होते हैं। कुल मिलाकर यह F5 = F4 + F3 = 8 विकल्प देता है।

F10 मान(स्टाइलिंग से संबंधित अगले प्रश्न का उत्तर) 89 है।

ब्रह्मांड में अभी भी कई अनसुलझे रहस्य हैं, जिनमें से कुछ को वैज्ञानिक पहले ही पहचानने और उनका वर्णन करने में सक्षम हैं। फाइबोनैचि संख्याएं और सुनहरा अनुपात हमारे आस-पास की दुनिया को जानने, उसके स्वरूप का निर्माण करने और किसी व्यक्ति द्वारा इष्टतम दृश्य धारणा का आधार बनता है, जिसकी मदद से वह सुंदरता और सद्भाव महसूस कर सकता है।

सुनहरा अनुपात

सुनहरे अनुपात के आयामों को निर्धारित करने का सिद्धांत पूरी दुनिया और उसके हिस्सों की संरचना और कार्यों में पूर्णता को रेखांकित करता है, इसकी अभिव्यक्ति प्रकृति, कला और प्रौद्योगिकी में देखी जा सकती है। स्वर्णिम अनुपात का सिद्धांत प्राचीन वैज्ञानिकों द्वारा संख्याओं की प्रकृति पर शोध के परिणामस्वरूप स्थापित किया गया था।

यह खंडों के विभाजनों के अनुपात और अनुपात के सिद्धांत पर आधारित है, जिसे प्राचीन दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस ने बनाया था। उन्होंने साबित किया कि जब एक खंड को दो भागों में विभाजित किया जाता है: X (छोटा) और Y (बड़ा), तो बड़े से छोटे का अनुपात उनके योग (संपूर्ण खंड) के अनुपात के बराबर होगा:

परिणाम एक समीकरण है: एक्स 2 - एक्स - 1=0,जिसे इस प्रकार हल किया गया है x=(1±√5)/2.

यदि हम अनुपात 1/x पर विचार करें, तो यह बराबर है 1,618…

प्राचीन विचारकों द्वारा स्वर्णिम अनुपात के उपयोग का प्रमाण तीसरी शताब्दी में लिखी गई यूक्लिड की पुस्तक "एलिमेंट्स" में दिया गया है। बी.सी., जिन्होंने नियमित पंचकोणों के निर्माण के लिए इस नियम को लागू किया। पाइथागोरस के बीच, यह आकृति पवित्र मानी जाती है क्योंकि यह सममित और असममित दोनों है। पेंटाग्राम जीवन और स्वास्थ्य का प्रतीक है।

फाइबोनैचि संख्याएँ

पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो, जिसे बाद में फाइबोनैचि के नाम से जाना गया, की प्रसिद्ध पुस्तक लिबर अबासी 1202 में प्रकाशित हुई थी। इसमें वैज्ञानिक पहली बार संख्याओं के पैटर्न का हवाला देते हैं, जिसकी श्रृंखला में प्रत्येक संख्या का योग होता है। 2 पिछले अंक. फाइबोनैचि संख्या अनुक्रम इस प्रकार है:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, आदि।

वैज्ञानिक ने कई पैटर्न भी उद्धृत किये:

श्रृंखला की किसी भी संख्या को अगली संख्या से विभाजित करने पर वह मान 0.618 के बराबर होगा। इसके अलावा, पहली फाइबोनैचि संख्याएँ ऐसी कोई संख्या नहीं देती हैं, लेकिन जैसे-जैसे हम अनुक्रम की शुरुआत से आगे बढ़ेंगे, यह अनुपात अधिक से अधिक सटीक होता जाएगा।
यदि आप श्रृंखला की संख्या को पिछली संख्या से विभाजित करते हैं, तो परिणाम 1.618 हो जाएगा।
एक संख्या को अगली संख्या से एक से विभाजित करने पर मान 0.382 दिखेगा।

सुनहरे खंड, फाइबोनैचि संख्या (0.618) के कनेक्शन और पैटर्न का अनुप्रयोग न केवल गणित में, बल्कि प्रकृति, इतिहास, वास्तुकला और निर्माण और कई अन्य विज्ञानों में भी पाया जा सकता है।

आर्किमिडीज़ सर्पिल और सुनहरा आयत

प्रकृति में बहुत सामान्य सर्पिलों का अध्ययन आर्किमिडीज़ द्वारा किया गया था, जिन्होंने इसका समीकरण भी निकाला था। सर्पिल का आकार सुनहरे अनुपात के नियमों पर आधारित है। इसे खोलते समय, एक लंबाई प्राप्त होती है जिस पर अनुपात और फाइबोनैचि संख्याएं लागू की जा सकती हैं; चरण समान रूप से बढ़ता है।

फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच समानता को एक "सुनहरा आयत" बनाकर देखा जा सकता है जिसकी भुजाएँ 1.618:1 के समानुपाती होती हैं। इसे एक बड़े आयत से छोटे आयत की ओर ले जाकर बनाया गया है ताकि भुजाओं की लंबाई श्रृंखला की संख्याओं के बराबर हो। इसे वर्ग "1" से प्रारंभ करके उल्टे क्रम में भी बनाया जा सकता है। जब इस आयत के कोनों को उनके प्रतिच्छेदन के केंद्र पर रेखाओं द्वारा जोड़ा जाता है, तो एक फाइबोनैचि या लघुगणकीय सर्पिल प्राप्त होता है।

सुनहरे अनुपात के उपयोग का इतिहास

मिस्र के कई प्राचीन वास्तुशिल्प स्मारक सुनहरे अनुपात का उपयोग करके बनाए गए थे: चेप्स के प्रसिद्ध पिरामिड, आदि। प्राचीन ग्रीस के वास्तुकारों ने मंदिरों, एम्फीथिएटर और स्टेडियम जैसी वास्तुशिल्प वस्तुओं के निर्माण में उनका व्यापक रूप से उपयोग किया था। उदाहरण के लिए, ऐसे अनुपात का उपयोग पार्थेनन के प्राचीन मंदिर, (एथेंस) और अन्य वस्तुओं के निर्माण में किया गया था जो गणितीय पैटर्न के आधार पर सद्भाव का प्रदर्शन करते हुए प्राचीन वास्तुकला की उत्कृष्ट कृतियाँ बन गईं।

बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात में रुचि कम हो गई और पैटर्न को भुला दिया गया, लेकिन फ्रांसिस्कन भिक्षु एल. पैसिओली डी बोर्गो की पुस्तक "द डिवाइन प्रोपोर्शन" (1509) के साथ यह पुनर्जागरण में फिर से शुरू हुआ। इसमें लियोनार्डो दा विंची के चित्र शामिल थे, जिन्होंने नया नाम "गोल्डन रेशियो" स्थापित किया था। सुनहरे अनुपात के 12 गुण वैज्ञानिक रूप से भी सिद्ध हो चुके हैं, और लेखक ने इस बारे में बात की है कि यह प्रकृति, कला में कैसे प्रकट होता है और इसे "दुनिया और प्रकृति के निर्माण का सिद्धांत" कहा जाता है।

विट्रुवियन मैन लियोनार्डो

चित्र, जिसे लियोनार्डो दा विंची ने 1492 में विट्रुवियस की पुस्तक को चित्रित करने के लिए उपयोग किया था, में 2 स्थितियों में एक मानव आकृति को दर्शाया गया है, जिसमें भुजाएँ फैली हुई हैं। आकृति एक वृत्त और एक वर्ग में अंकित है। इस चित्र को मानव शरीर (पुरुष) का विहित अनुपात माना जाता है, जिसका वर्णन लियोनार्डो ने रोमन वास्तुकार विट्रुवियस के ग्रंथों में उनके अध्ययन के आधार पर किया है।

हाथों और पैरों के अंत से समान दूरी पर शरीर का केंद्र नाभि है, हाथों की लंबाई व्यक्ति की ऊंचाई के बराबर है, कंधों की अधिकतम चौड़ाई = ऊंचाई का 1/8, छाती के शीर्ष से बालों तक की दूरी = 1/7, छाती के शीर्ष से सिर के शीर्ष तक की दूरी = 1/6 आदि।

तब से, चित्र का उपयोग मानव शरीर की आंतरिक समरूपता को दर्शाने वाले प्रतीक के रूप में किया जाता रहा है।

लियोनार्डो ने मानव आकृति में आनुपातिक संबंधों को निर्दिष्ट करने के लिए "गोल्डन रेशियो" शब्द का उपयोग किया। उदाहरण के लिए, कमर से पैरों तक की दूरी नाभि से सिर के ऊपर तक उसी दूरी से संबंधित होती है, जिस प्रकार ऊंचाई पहली लंबाई (कमर से नीचे) तक होती है। यह गणना सुनहरे अनुपात की गणना करते समय खंडों के अनुपात के समान ही की जाती है और 1.618 तक जाती है।

इन सभी सामंजस्यपूर्ण अनुपातों का उपयोग अक्सर कलाकारों द्वारा सुंदर और प्रभावशाली रचनाएँ बनाने के लिए किया जाता है।

16वीं से 19वीं शताब्दी में स्वर्णिम अनुपात पर शोध

सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करते हुए, अनुपात के मुद्दे पर शोध सदियों से चल रहा है। लियोनार्डो दा विंची के समानांतर, जर्मन कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने भी मानव शरीर के सही अनुपात के सिद्धांत को विकसित करने पर काम किया। इस उद्देश्य के लिए, उन्होंने एक विशेष कम्पास भी बनाया।

16वीं सदी में फाइबोनैचि संख्या और सुनहरे अनुपात के बीच संबंध का प्रश्न खगोलशास्त्री आई. केप्लर के काम के लिए समर्पित था, जिन्होंने सबसे पहले इन नियमों को वनस्पति विज्ञान में लागू किया था।

19वीं शताब्दी में एक नई "खोज" सुनहरे अनुपात की प्रतीक्षा कर रही थी। जर्मन वैज्ञानिक प्रोफ़ेसर ज़ीसिग के "एस्थेटिक इन्वेस्टिगेशन" के प्रकाशन के साथ। उन्होंने इन अनुपातों को निरपेक्षता तक बढ़ाया और घोषित किया कि वे सभी प्राकृतिक घटनाओं के लिए सार्वभौमिक हैं। उन्होंने बड़ी संख्या में लोगों, या बल्कि उनके शारीरिक अनुपात (लगभग 2 हजार) का अध्ययन किया, जिसके परिणामों के आधार पर शरीर के विभिन्न हिस्सों के अनुपात में सांख्यिकीय रूप से पुष्टि किए गए पैटर्न के बारे में निष्कर्ष निकाले गए: कंधों की लंबाई, अग्रबाहु, हाथ, उंगलियाँ, आदि।

कविताएँ लिखते समय कला की वस्तुओं (फूलदान, वास्तुशिल्प संरचनाएँ), संगीतमय स्वर और आकार का भी अध्ययन किया गया - ज़ीसिग ने खंडों और संख्याओं की लंबाई के माध्यम से यह सब प्रदर्शित किया, और उन्होंने "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" शब्द भी पेश किया। परिणाम प्राप्त करने के बाद, यह पता चला कि फाइबोनैचि श्रृंखला प्राप्त की गई थी।

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्या और स्वर्णिम अनुपात

वनस्पति एवं प्राणी जगत में समरूपता के रूप में आकृति विज्ञान की प्रवृत्ति होती है, जो विकास एवं गति की दिशा में देखी जाती है। सममित भागों में विभाजन जिसमें सुनहरे अनुपात देखे जाते हैं - यह पैटर्न कई पौधों और जानवरों में निहित है।

उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हमारे आस-पास की प्रकृति का वर्णन किया जा सकता है:

किसी भी पौधे की पत्तियों या शाखाओं की व्यवस्था, साथ ही दूरियाँ, दी गई संख्याओं 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 इत्यादि की श्रृंखला के अनुरूप होती हैं;
सूरजमुखी के बीज (शंकु, अनानास कोशिकाओं पर तराजू), अलग-अलग दिशाओं में मुड़े हुए सर्पिल के साथ दो पंक्तियों में व्यवस्थित;
पूंछ की लंबाई और छिपकली के पूरे शरीर का अनुपात;
एक अंडे का आकार, यदि आप उसके चौड़े हिस्से के माध्यम से एक रेखा खींचते हैं;
किसी व्यक्ति के हाथ की उंगलियों के आकार का अनुपात।

और, निस्संदेह, सबसे दिलचस्प आकृतियों में सर्पिल घोंघे के गोले, मकड़ी के जाले पर पैटर्न, तूफान के अंदर हवा की गति, डीएनए में डबल हेलिक्स और आकाशगंगाओं की संरचना शामिल हैं - जिनमें से सभी में फाइबोनैचि अनुक्रम शामिल है।

कला में स्वर्णिम अनुपात का उपयोग

शोधकर्ता कला में सुनहरे अनुपात के उपयोग के उदाहरणों की खोज करते हुए विभिन्न वास्तुशिल्प वस्तुओं और चित्रकला के कार्यों का विस्तार से अध्ययन कर रहे हैं। प्रसिद्ध मूर्तिकला कृतियाँ हैं, जिनके निर्माता सुनहरे अनुपात का पालन करते हैं - ओलंपियन ज़ीउस, अपोलो बेल्वेडियर और की मूर्तियाँ

लियोनार्डो दा विंची की रचनाओं में से एक, "पोर्ट्रेट ऑफ़ द मोना लिसा", कई वर्षों से वैज्ञानिकों द्वारा शोध का विषय रही है। उन्होंने पाया कि कार्य की संरचना पूरी तरह से "सुनहरे त्रिकोण" से बनी है जो एक नियमित पंचकोण-तारे में एक साथ एकजुट हैं। दा विंची के सभी कार्य इस बात के प्रमाण हैं कि मानव शरीर की संरचना और अनुपात में उनका ज्ञान कितना गहरा था, जिसकी बदौलत वह मोना लिसा की अविश्वसनीय रहस्यमय मुस्कान को पकड़ने में सक्षम थे।

वास्तुकला में स्वर्णिम अनुपात

एक उदाहरण के रूप में, वैज्ञानिकों ने "गोल्डन रेशियो" के नियमों के अनुसार बनाई गई वास्तुशिल्प उत्कृष्ट कृतियों की जांच की: मिस्र के पिरामिड, पेंथियन, पार्थेनन, नोट्रे डेम डे पेरिस कैथेड्रल, सेंट बेसिल कैथेड्रल, आदि।

पार्थेनन - प्राचीन ग्रीस (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) की सबसे खूबसूरत इमारतों में से एक - में 8 स्तंभ हैं और अलग-अलग तरफ 17 हैं, इसकी ऊंचाई और किनारों की लंबाई का अनुपात 0.618 है। इसके अग्रभागों पर उभार "सुनहरा अनुपात" (नीचे फोटो) के अनुसार बनाए गए हैं।

उन वैज्ञानिकों में से एक, जिन्होंने वास्तुशिल्प वस्तुओं (तथाकथित "मॉड्यूलर") के लिए अनुपात की मॉड्यूलर प्रणाली में सुधार किया और सफलतापूर्वक लागू किया, वह फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर थे। मॉड्यूलेटर मानव शरीर के भागों में सशर्त विभाजन से जुड़ी एक माप प्रणाली पर आधारित है।

रूसी वास्तुकार एम. कज़ाकोव, जिन्होंने मॉस्को में कई आवासीय भवनों के साथ-साथ क्रेमलिन में सीनेट भवन और गोलित्सिन अस्पताल (अब एन.आई. पिरोगोव के नाम पर पहला क्लिनिक) का निर्माण किया, उन वास्तुकारों में से एक थे जिन्होंने डिजाइन में कानूनों का इस्तेमाल किया और सुनहरे अनुपात के बारे में निर्माण.

डिज़ाइन में अनुपात लागू करना

कपड़ों के डिजाइन में, सभी फैशन डिजाइनर मानव शरीर के अनुपात और सुनहरे अनुपात के नियमों को ध्यान में रखते हुए नई छवियां और मॉडल बनाते हैं, हालांकि स्वभाव से सभी लोगों के पास आदर्श अनुपात नहीं होता है।

लैंडस्केप डिज़ाइन की योजना बनाते समय और पौधों (पेड़ों और झाड़ियों), फव्वारों और छोटी वास्तुशिल्प वस्तुओं की मदद से त्रि-आयामी पार्क रचनाएँ बनाते समय, "दिव्य अनुपात" के नियमों को भी लागू किया जा सकता है। आखिरकार, पार्क की संरचना का ध्यान आगंतुक पर प्रभाव डालने पर केंद्रित होना चाहिए, जो इसे स्वतंत्र रूप से नेविगेट करने और संरचना केंद्र ढूंढने में सक्षम होगा।

पार्क के सभी तत्व ऐसे अनुपात में हैं कि ज्यामितीय संरचना, सापेक्ष स्थिति, रोशनी और रोशनी की मदद से सद्भाव और पूर्णता की छाप पैदा हो सके।

साइबरनेटिक्स और प्रौद्योगिकी में स्वर्णिम अनुपात का अनुप्रयोग

स्वर्ण खंड और फाइबोनैचि संख्याओं के नियम ऊर्जा संक्रमणों में, रासायनिक यौगिकों को बनाने वाले प्राथमिक कणों के साथ होने वाली प्रक्रियाओं में, अंतरिक्ष प्रणालियों में और डीएनए की आनुवंशिक संरचना में भी दिखाई देते हैं।

इसी तरह की प्रक्रियाएं मानव शरीर में होती हैं, जो उसके जीवन के बायोरिदम में, अंगों की क्रिया में प्रकट होती हैं, उदाहरण के लिए, मस्तिष्क या दृष्टि।

आधुनिक साइबरनेटिक्स और कंप्यूटर विज्ञान में सुनहरे अनुपात के एल्गोरिदम और पैटर्न का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। नौसिखिया प्रोग्रामर को हल करने के लिए जो सरल कार्य दिए जाते हैं उनमें से एक है एक सूत्र लिखना और प्रोग्रामिंग भाषाओं का उपयोग करके एक निश्चित संख्या तक फाइबोनैचि संख्याओं का योग निर्धारित करना।

स्वर्णिम अनुपात के सिद्धांत पर आधुनिक शोध

20वीं सदी के मध्य से, मानव जीवन पर स्वर्णिम अनुपात के नियमों की समस्याओं और प्रभाव में रुचि तेजी से बढ़ी है, और विभिन्न व्यवसायों के कई वैज्ञानिकों में: गणितज्ञ, जातीय शोधकर्ता, जीवविज्ञानी, दार्शनिक, चिकित्सा कार्यकर्ता, अर्थशास्त्री, संगीतकार, वगैरह।

संयुक्त राज्य अमेरिका में, द फाइबोनैचि क्वार्टरली पत्रिका का प्रकाशन 1970 के दशक में शुरू हुआ, जहाँ इस विषय पर रचनाएँ प्रकाशित हुईं। प्रेस में ऐसे कार्य छपते हैं जिनमें ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि श्रृंखला के सामान्यीकृत नियमों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, सूचना कोडिंग, रासायनिक अनुसंधान, जैविक अनुसंधान आदि के लिए।

यह सब प्राचीन और आधुनिक वैज्ञानिकों के निष्कर्षों की पुष्टि करता है कि सुनहरा अनुपात बहुपक्षीय रूप से विज्ञान के मूलभूत मुद्दों से संबंधित है और हमारे आसपास की दुनिया की कई रचनाओं और घटनाओं की समरूपता में प्रकट होता है।

फाइबोनैचि संख्याएँ किसी संख्या अनुक्रम के तत्व हैं।

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, जिसमें प्रत्येक अगली संख्या दो पिछली संख्याओं के योग के बराबर है। यह नाम पीसा (या फाइबोनैचि) के मध्ययुगीन गणितज्ञ लियोनार्डो के नाम पर रखा गया है, जो इतालवी शहर पीसा में एक व्यापारी और गणितज्ञ के रूप में रहते थे और काम करते थे। वह अपने समय के सबसे प्रसिद्ध यूरोपीय वैज्ञानिकों में से एक हैं। उनकी सबसे बड़ी उपलब्धियों में अरबी अंकों की शुरूआत थी, जिसने रोमन अंकों की जगह ले ली। एफएन =एफएन-1 +एफएन-2

एक गणितीय श्रृंखला स्पर्शोन्मुख रूप से (अर्थात अधिक से अधिक धीरे-धीरे आगे बढ़ती हुई) एक स्थिर अनुपात की ओर प्रवृत्त होती है। हालाँकि, यह रवैया तर्कहीन है; इसके बाद दशमलव मानों का एक अंतहीन, अप्रत्याशित क्रम है। इसे कभी भी सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता. यदि किसी श्रृंखला का हिस्सा प्रत्येक संख्या को उसके पूर्ववर्ती (उदाहरण के लिए, 13-^8 या 21 -IZ) से विभाजित किया जाता है, तो क्रिया का परिणाम एक अनुपात में व्यक्त किया जाता है जो अपरिमेय संख्या 1.61803398875 के आसपास थोड़ा अधिक या थोड़ा अधिक उतार-चढ़ाव करता है। श्रृंखला के पड़ोसी अनुपातों से कम। यह अनुपात, अनंत काल तक, कभी भी अंतिम अंक तक सटीक नहीं होगा (यहां तक कि हमारे समय में बनाए गए सबसे शक्तिशाली कंप्यूटर का उपयोग करके भी)। संक्षिप्तता के लिए, हम फाइबोनैचि अनुपात के रूप में 1.618 का उपयोग करेंगे और पाठकों से इस त्रुटि के प्रति सचेत रहने के लिए कहेंगे।

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम का विश्लेषण करते समय फाइबोनैचि संख्याएं भी महत्वपूर्ण होती हैं। फाइबोनैचि संख्याएं पास्कल त्रिभुज (द्विपद गुणांक) के विकर्ण के सूत्र से आती हैं।

फाइबोनैचि संख्याएँ "सुनहरे अनुपात" से संबंधित निकलीं।

स्वर्णिम अनुपात प्राचीन मिस्र और बेबीलोन, भारत और चीन में जाना जाता था। "स्वर्णिम अनुपात" क्या है? उत्तर अभी भी अज्ञात है. फाइबोनैचि संख्याएँ हमारे समय में अभ्यास के सिद्धांत के लिए वास्तव में प्रासंगिक हैं। महत्व में वृद्धि 20वीं शताब्दी में हुई और आज भी जारी है। अर्थशास्त्र और कंप्यूटर विज्ञान में फाइबोनैचि संख्याओं के उपयोग ने बड़ी संख्या में लोगों को उनके अध्ययन की ओर आकर्षित किया।

मेरे शोध की पद्धति में विशेष साहित्य का अध्ययन करना और प्राप्त जानकारी का सारांश देना, साथ ही अपना स्वयं का शोध करना और संख्याओं के गुणों और उनके उपयोग के दायरे की पहचान करना शामिल था।

वैज्ञानिक अनुसंधान के दौरान, उन्होंने फाइबोनैचि संख्याओं और उनके गुणों की अवधारणाओं को परिभाषित किया। मुझे जीवित प्रकृति में दिलचस्प पैटर्न भी मिले, सीधे तौर पर सूरजमुखी के बीजों की संरचना में।

सूरजमुखी पर, बीज सर्पिल में व्यवस्थित होते हैं, और दूसरी दिशा में जाने वाले सर्पिलों की संख्या भिन्न होती है - वे क्रमिक फाइबोनैचि संख्याएँ हैं।

इस सूरजमुखी में 34 और 55 हैं।

अनानास के फलों पर भी ऐसा ही देखा जाता है, जहां 8 और 14 सर्पिल होते हैं। मकई की पत्तियां फाइबोनैचि संख्याओं की अनूठी संपत्ति से जुड़ी होती हैं।

पौधे के तने के पैरों की पत्तियों की पेचदार व्यवस्था के अनुरूप ए/बी रूप के अंश, अक्सर क्रमिक फाइबोनैचि संख्याओं के अनुपात होते हैं। हेज़ल के लिए यह अनुपात 2/3 है, ओक के लिए 3/5, चिनार के लिए 5/8, विलो के लिए 8/13, आदि।

पौधे के तने पर पत्तियों की व्यवस्था को देखकर, आप देख सकते हैं कि पत्तियों के प्रत्येक जोड़े (ए और सी) के बीच, तीसरा स्वर्णिम अनुपात (बी) के स्थान पर स्थित है।

फाइबोनैचि संख्या की एक और दिलचस्प संपत्ति यह है कि एक के अलावा किन्हीं दो अलग-अलग फाइबोनैचि संख्याओं का गुणनफल और भागफल कभी भी फाइबोनैचि संख्या नहीं होता है।

शोध के परिणामस्वरूप, मैं निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचा: फाइबोनैचि संख्याएं एक अद्वितीय अंकगणितीय प्रगति हैं जो 13वीं शताब्दी ईस्वी में सामने आईं। यह प्रगति अपनी प्रासंगिकता नहीं खोती है, जिसकी पुष्टि मेरे शोध के दौरान हुई थी। फाइबोनैचि संख्याएँ प्रोग्रामिंग और आर्थिक पूर्वानुमानों, चित्रकला, वास्तुकला और संगीत में भी पाई जाती हैं। लियोनार्डो दा विंची, माइकल एंजेलो, राफेल और बोटिसेली जैसे प्रसिद्ध कलाकारों की पेंटिंग्स सुनहरे अनुपात का जादू छिपाती हैं। यहां तक कि आई. आई. शिश्किन ने अपनी पेंटिंग "पाइन ग्रोव" में सुनहरे अनुपात का उपयोग किया।

इस पर विश्वास करना कठिन है, लेकिन सुनहरा अनुपात मोजार्ट, बीथोवेन, चोपिन आदि जैसे महान संगीतकारों के संगीत कार्यों में भी पाया जाता है।

फाइबोनैचि संख्याएँ वास्तुकला में भी पाई जाती हैं। उदाहरण के लिए, पार्थेनन और नोट्रे डेम कैथेड्रल के निर्माण में सुनहरे अनुपात का उपयोग किया गया था

मैंने पाया कि हमारे क्षेत्र में भी फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, घर की सजावट, पेडिमेंट।

फाइबोनैचि संख्याएँ...प्रकृति और जीवन में

लियोनार्डो फाइबोनैचि मध्य युग के महानतम गणितज्ञों में से एक हैं। अपने कार्यों में से एक, "द बुक ऑफ कैलकुलेशन" में फिबोनाची ने गणना की इंडो-अरबी प्रणाली और रोमन प्रणाली की तुलना में इसके उपयोग के फायदों का वर्णन किया है।

परिभाषा
फाइबोनैचि संख्या या फाइबोनैचि अनुक्रम एक संख्या अनुक्रम है जिसमें कई गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, एक अनुक्रम में दो आसन्न संख्याओं का योग अगली संख्या का मान देता है (उदाहरण के लिए, 1+1=2; 2+3=5, आदि), जो तथाकथित फाइबोनैचि गुणांक के अस्तित्व की पुष्टि करता है , अर्थात। स्थिर अनुपात.

फाइबोनैचि अनुक्रम इस तरह शुरू होता है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

फाइबोनैचि संख्याओं की पूर्ण परिभाषा

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फाइबोनैचि अनुक्रम के गुण

1. जैसे-जैसे क्रम संख्या बढ़ती है, प्रत्येक संख्या का अगली संख्या से अनुपात 0.618 हो जाता है। प्रत्येक संख्या का पिछली संख्या से अनुपात 1.618 (0.618 के विपरीत) हो जाता है। संख्या 0.618 को (FI) कहा जाता है।

2. प्रत्येक संख्या को उसके बाद वाली संख्या से विभाजित करने पर, एक के बाद वाली संख्या 0.382 होती है; इसके विपरीत - क्रमशः 2.618.

3. इस प्रकार अनुपातों का चयन करने पर, हमें फाइबोनैचि अनुपातों का मुख्य सेट प्राप्त होता है: ... 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236।

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फाइबोनैचि अनुक्रम और "सुनहरा अनुपात" के बीच संबंध

फाइबोनैचि अनुक्रम स्पर्शोन्मुख रूप से (धीमे और धीमे होते हुए) कुछ निरंतर संबंध की ओर प्रवृत्त होता है। हालाँकि, यह अनुपात अपरिमेय है, अर्थात, यह भिन्नात्मक भाग में दशमलव अंकों के अनंत, अप्रत्याशित अनुक्रम वाली एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। इसे सटीक रूप से व्यक्त करना असंभव है.

यदि फाइबोनैचि अनुक्रम के किसी भी सदस्य को उसके पूर्ववर्ती (उदाहरण के लिए, 13:8) से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम एक ऐसा मान होगा जो अपरिमेय मान 1.61803398875 के आसपास उतार-चढ़ाव करता है... और कभी-कभी इससे अधिक हो जाता है, कभी-कभी उस तक नहीं पहुंचता है। लेकिन इस पर अनंत काल खर्च करने के बाद भी, अंतिम दशमलव अंक तक अनुपात का सटीक पता लगाना असंभव है। संक्षिप्तता के लिए हम इसे 1.618 के रूप में प्रस्तुत करेंगे। लुका पैसिओली (एक मध्ययुगीन गणितज्ञ) द्वारा इसे दैवीय अनुपात कहने से पहले ही इस अनुपात को विशेष नाम दिए जाने लगे थे। इसके आधुनिक नामों में गोल्डन रेशियो, गोल्डन एवरेज और घूमने वाले वर्गों का अनुपात शामिल हैं। केप्लर ने इस रिश्ते को "ज्यामिति के खजाने" में से एक कहा। बीजगणित में, इसे आमतौर पर ग्रीक अक्षर फाई द्वारा दर्शाया जाना स्वीकार किया जाता है

आइए एक खंड के उदाहरण का उपयोग करके सुनहरे अनुपात की कल्पना करें।

A और B सिरों वाले एक खंड पर विचार करें। मान लीजिए कि बिंदु C खंड AB को इस प्रकार विभाजित करता है,

एसी/सीबी = सीबी/एबी या

एबी/सीबी = सीबी/एसी.

आप इसकी कल्पना कुछ इस तरह कर सकते हैं: ए--सी---बी

स्वर्णिम अनुपात एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें संपूर्ण खंड बड़े भाग से संबंधित होता है जैसे कि बड़ा भाग स्वयं छोटे से संबंधित होता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े के लिए है और बड़ा संपूर्ण के लिए है।

सुनहरे अनुपात के खंडों को एक अनंत अपरिमेय अंश 0.618... के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि एबी को एक के रूप में लिया जाता है, एसी = 0.382.. जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, संख्याएं 0.618 और 0.382 फाइबोनैचि अनुक्रम के गुणांक हैं।

प्रकृति और इतिहास में फाइबोनैचि अनुपात और स्वर्णिम अनुपात

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यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि फाइबोनैचि मानवता को उसके अनुक्रम की याद दिलाता प्रतीत होता है। यह प्राचीन यूनानियों और मिस्रवासियों को ज्ञात था। और वास्तव में, तब से, फाइबोनैचि अनुपात द्वारा वर्णित पैटर्न प्रकृति, वास्तुकला, ललित कला, गणित, भौतिकी, खगोल विज्ञान, जीव विज्ञान और कई अन्य क्षेत्रों में पाए गए हैं। यह आश्चर्यजनक है कि फाइबोनैचि अनुक्रम का उपयोग करके कितने स्थिरांक की गणना की जा सकती है, और इसके पद बड़ी संख्या में संयोजनों में कैसे दिखाई देते हैं। हालाँकि, यह कहना कोई अतिशयोक्ति नहीं है कि यह केवल संख्याओं का खेल नहीं है, बल्कि अब तक खोजी गई प्राकृतिक घटनाओं की सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अभिव्यक्ति है।

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नीचे दिए गए उदाहरण इस गणितीय अनुक्रम के कुछ दिलचस्प अनुप्रयोग दिखाते हैं।

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1. सिंक एक सर्पिल में मुड़ा हुआ है। यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी छोटी लंबाई मिलती है। छोटे दस-सेंटीमीटर खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है। सर्पिल रूप से घुमावदार खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। तथ्य यह है कि शैल कर्ल के आयामों का अनुपात स्थिर है और 1.618 के बराबर है। आर्किमिडीज़ ने कोशों के सर्पिल का अध्ययन किया और सर्पिल का समीकरण निकाला। इस समीकरण के अनुसार खींचे गए सर्पिल को उनके नाम से पुकारा जाता है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज़ सर्पिल का व्यापक रूप से प्रौद्योगिकी में उपयोग किया जाता है।

2. पौधे और जानवर। गोएथे ने प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर भी जोर दिया। पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की पेचदार और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले ही देखी गई थी। सर्पिल को सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि की व्यवस्था में देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों का संयुक्त कार्य इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डालता है। यह पता चला कि सूरजमुखी के बीज और पाइन शंकु की एक शाखा पर पत्तियों की व्यवस्था में, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे अनुपात का नियम स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपना जाल सर्पिल पैटर्न में बुनती है। एक तूफान सर्पिल की तरह घूम रहा है। हिरन का भयभीत झुंड एक सर्पिल में बिखर जाता है। डीएनए अणु एक दोहरे हेलिक्स में मुड़ा हुआ है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।

सड़क किनारे जड़ी-बूटियों के बीच एक अनोखा पौधा उगता है - चिकोरी। आइए इस पर करीब से नज़र डालें। मुख्य तने से एक अंकुर बन गया है। पहला पत्ता वहीं स्थित था। शूट अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन करता है, रुकता है, एक पत्ती छोड़ता है, लेकिन इस बार यह पहले की तुलना में छोटा है, फिर से स्पेस में इजेक्शन करता है, लेकिन कम बल के साथ, इससे भी छोटे आकार की एक पत्ती छोड़ता है और फिर से बाहर निकल जाता है . यदि पहला उत्सर्जन 100 इकाइयों के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाइयों के बराबर होता है, तीसरा - 38, चौथा - 24, आदि। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। बढ़ते और अंतरिक्ष पर विजय प्राप्त करते समय, पौधे ने कुछ निश्चित अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग सुनहरे अनुपात के अनुपात में धीरे-धीरे कम होते गए।

छिपकली जीवित बच्चा जनने वाली होती है। पहली नज़र में, छिपकली का अनुपात हमारी आंखों के लिए सुखद होता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई से संबंधित होती है, जैसे कि 62 से 38।

पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की रचनात्मक प्रवृत्ति लगातार टूटती रहती है - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता। यहां सुनहरा अनुपात विकास की दिशा के लंबवत भागों के अनुपात में दिखाई देता है। प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपातों में किया है। भाग संपूर्ण संरचना की पुनरावृत्ति को प्रकट करते हैं।

इस सदी की शुरुआत में पियरे क्यूरी ने समरूपता के बारे में कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना कोई भी किसी पिंड की समरूपता पर विचार नहीं कर सकता है। स्वर्ण समरूपता के नियम प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और ब्रह्मांडीय प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और पूरे शरीर की संरचना में मौजूद हैं, और मस्तिष्क और दृश्य धारणा के बायोरिदम और कामकाज में भी खुद को प्रकट करते हैं।

3. अंतरिक्ष. खगोल विज्ञान के इतिहास से ज्ञात होता है कि 18वीं शताब्दी के जर्मन खगोलशास्त्री आई. टिटियस ने इस श्रृंखला (फाइबोनैचि) की मदद से सौर मंडल के ग्रहों के बीच की दूरी में एक पैटर्न और क्रम पाया था।

हालाँकि, एक मामला जो कानून का खंडन करता प्रतीत हुआ: मंगल और बृहस्पति के बीच कोई ग्रह नहीं था। आकाश के इस हिस्से के केंद्रित अवलोकन से क्षुद्रग्रह बेल्ट की खोज हुई। यह 19वीं सदी की शुरुआत में टिटियस की मृत्यु के बाद हुआ।

फाइबोनैचि श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: इसका उपयोग जीवित प्राणियों की वास्तुकला, मानव निर्मित संरचनाओं और आकाशगंगाओं की संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। ये तथ्य संख्या श्रृंखला की अभिव्यक्ति की स्थितियों से स्वतंत्रता के प्रमाण हैं, जो इसकी सार्वभौमिकता के संकेतों में से एक है।

4. पिरामिड. कई लोगों ने गीज़ा के पिरामिड के रहस्यों को जानने की कोशिश की है। मिस्र के अन्य पिरामिडों के विपरीत, यह कोई कब्र नहीं है, बल्कि संख्या संयोजनों की एक अबूझ पहेली है। पिरामिड के वास्तुकारों ने शाश्वत प्रतीक के निर्माण में जो उल्लेखनीय सरलता, कौशल, समय और श्रम लगाया, वह उस संदेश के अत्यधिक महत्व को दर्शाता है जो वे भविष्य की पीढ़ियों को बताना चाहते थे। उनका युग प्रीलिटरेट, प्रीहाइरोग्लिफ़िक था, और प्रतीक खोजों को रिकॉर्ड करने का एकमात्र साधन थे। गीज़ा के पिरामिड के ज्यामितीय-गणितीय रहस्य की कुंजी, जो इतने लंबे समय तक मानव जाति के लिए एक रहस्य थी, वास्तव में हेरोडोटस को मंदिर के पुजारियों द्वारा दी गई थी, जिन्होंने उसे सूचित किया था कि पिरामिड का निर्माण इस प्रकार किया गया था कि इसका क्षेत्रफल उसका प्रत्येक फलक उसकी ऊँचाई के वर्ग के बराबर था।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल

356 x 440/2 = 78320

चौकोर क्षेत्र

280 x 280 = 78400

गीज़ा में पिरामिड के आधार के किनारे की लंबाई 783.3 फीट (238.7 मीटर) है, पिरामिड की ऊंचाई 484.4 फीट (147.6 मीटर) है। आधार किनारे की लंबाई को ऊंचाई से विभाजित करने पर अनुपात Ф=1.618 प्राप्त होता है। 484.4 फीट की ऊंचाई 5813 इंच (5-8-13) से मेल खाती है - ये फाइबोनैचि अनुक्रम से संख्याएं हैं। ये दिलचस्प अवलोकन बताते हैं कि पिरामिड का डिज़ाइन अनुपात Ф=1.618 पर आधारित है। कुछ आधुनिक विद्वान यह व्याख्या करने में इच्छुक हैं कि प्राचीन मिस्रवासियों ने इसे ज्ञान प्रदान करने के एकमात्र उद्देश्य के लिए बनाया था जिसे वे भविष्य की पीढ़ियों के लिए संरक्षित करना चाहते थे। गीज़ा के पिरामिड के गहन अध्ययन से पता चला कि उस समय गणित और ज्योतिष का ज्ञान कितना व्यापक था। पिरामिड के सभी आंतरिक और बाहरी अनुपातों में, संख्या 1.618 एक केंद्रीय भूमिका निभाती है।

मेक्सिको में पिरामिड. न केवल मिस्र के पिरामिड सुनहरे अनुपात के सही अनुपात के अनुसार बनाए गए थे, वही घटना मैक्सिकन पिरामिड में भी पाई गई थी। यह विचार उठता है कि मिस्र और मैक्सिकन दोनों पिरामिड लगभग एक ही समय में सामान्य मूल के लोगों द्वारा बनाए गए थे।

फाइबोनैचि अनुक्रम, जो फिल्म और पुस्तक द दा विंची कोड की बदौलत प्रसिद्ध हुआ, तेरहवीं शताब्दी में पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो द्वारा प्राप्त संख्याओं की एक श्रृंखला है, जिसे उनके छद्म नाम फाइबोनैचि द्वारा बेहतर जाना जाता है। वैज्ञानिक के अनुयायियों ने देखा कि संख्याओं की यह श्रृंखला जिस सूत्र के अधीन है, वह हमारे आसपास की दुनिया में परिलक्षित होता है और अन्य गणितीय खोजों की प्रतिध्वनि करता है, जिससे हमारे लिए ब्रह्मांड के रहस्यों का द्वार खुल जाता है। इस लेख में हम आपको बताएंगे कि फाइबोनैचि अनुक्रम क्या है, यह पैटर्न प्रकृति में कैसे प्रदर्शित होता है इसके उदाहरण देखें, और अन्य गणितीय सिद्धांतों के साथ इसकी तुलना भी करें।

अवधारणा का निरूपण और परिभाषा

फाइबोनैचि श्रृंखला एक गणितीय अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक तत्व पिछले दो के योग के बराबर होता है। आइए हम अनुक्रम के एक निश्चित सदस्य को x n के रूप में निरूपित करें। इस प्रकार, हमें एक सूत्र प्राप्त होता है जो संपूर्ण श्रृंखला के लिए मान्य है: x n+2 = x n + x n+1। इस स्थिति में, अनुक्रम का क्रम इस प्रकार दिखेगा: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34। अगली संख्या 55 होगी, क्योंकि 21 और 34 का योग 55 है। और इसी सिद्धांत के अनुसार आगे भी।

पर्यावरण में उदाहरण

यदि हम पौधे को देखें, विशेष रूप से पत्तियों के शीर्ष पर, तो हम देखेंगे कि वे एक सर्पिल में खिलते हैं। आसन्न पत्तियों के बीच कोण बनते हैं, जो बदले में सही गणितीय फाइबोनैचि अनुक्रम बनाते हैं। इस विशेषता के कारण, पेड़ पर उगने वाले प्रत्येक पत्ते को सूर्य की रोशनी और गर्मी की अधिकतम मात्रा प्राप्त होती है।

फाइबोनैचि की गणितीय पहेली

प्रसिद्ध गणितज्ञ ने अपने सिद्धांत को एक पहेली के रूप में प्रस्तुत किया। ऐसा लगता है. आप यह पता लगाने के लिए एक सीमित स्थान में खरगोशों के एक जोड़े को रख सकते हैं कि एक वर्ष में कितने जोड़े खरगोश पैदा होंगे। इन जानवरों की प्रकृति को ध्यान में रखते हुए, तथ्य यह है कि हर महीने एक जोड़ा एक नया जोड़ा पैदा करने में सक्षम होता है, और वे दो महीने तक पहुंचने के बाद प्रजनन के लिए तैयार हो जाते हैं, अंततः उन्हें संख्याओं की अपनी प्रसिद्ध श्रृंखला प्राप्त हुई: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - जो प्रत्येक माह में खरगोशों के नए जोड़े की संख्या दर्शाता है।

फाइबोनैचि अनुक्रम और आनुपातिक संबंध

इस श्रृंखला में कई गणितीय बारीकियाँ हैं जिन पर विचार किया जाना चाहिए। धीमी और धीमी गति से (स्पर्शोन्मुख रूप से) आगे बढ़ते हुए, यह एक निश्चित आनुपातिक संबंध की ओर प्रवृत्त होता है। लेकिन यह तर्कहीन है. दूसरे शब्दों में, यह भिन्नात्मक भाग में दशमलव संख्याओं के अप्रत्याशित और अनंत अनुक्रम वाली एक संख्या है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला के किसी भी तत्व का अनुपात 1.618 के आंकड़े के आसपास बदलता रहता है, कभी-कभी इससे अधिक, कभी-कभी उस तक पहुंच जाता है। सादृश्य द्वारा अगला 0.618 तक पहुंचता है। जो संख्या 1.618 के व्युत्क्रमानुपाती है। यदि हम तत्वों को एक से विभाजित करते हैं, तो हमें 2.618 और 0.382 प्राप्त होते हैं। जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, वे व्युत्क्रमानुपाती भी हैं। परिणामी संख्याओं को फाइबोनैचि अनुपात कहा जाता है। अब आइए समझाएं कि हमने ये गणनाएं क्यों कीं।

सुनहरा अनुपात

हम अपने आस-पास की सभी वस्तुओं को कुछ मानदंडों के अनुसार अलग करते हैं। उनमें से एक है रूप. कुछ लोग हमें अधिक आकर्षित करते हैं, कुछ कम, और कुछ हमें बिल्कुल पसंद नहीं आते। यह देखा गया है कि एक सममित और आनुपातिक वस्तु किसी व्यक्ति द्वारा समझना बहुत आसान है और सद्भाव और सुंदरता की भावना पैदा करती है। एक पूर्ण छवि में हमेशा विभिन्न आकारों के हिस्से शामिल होते हैं जो एक दूसरे के साथ एक निश्चित संबंध में होते हैं। यहीं से इस प्रश्न का उत्तर मिलता है कि स्वर्णिम अनुपात किसे कहा जाता है। इस अवधारणा का अर्थ प्रकृति, विज्ञान, कला आदि में संपूर्ण और भागों के बीच संबंधों की पूर्णता है। गणितीय दृष्टिकोण से, निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। आइए किसी भी लंबाई का एक खंड लें और इसे दो भागों में इस तरह से विभाजित करें कि छोटा हिस्सा बड़े हिस्से से संबंधित हो, क्योंकि योग (पूरे खंड की लंबाई) बड़े हिस्से से संबंधित हो। तो, चलिए सेगमेंट लेते हैं साथप्रति मान एक. उसका हिस्सा एदूसरा भाग 0.618 के बराबर होगा बी, यह पता चला, 0.382 के बराबर है। इस प्रकार, हम स्वर्णिम अनुपात शर्त का अनुपालन करते हैं। रेखा खंड अनुपात सीको ए 1.618 के बराबर है। और भागों का संबंध सीऔर बी- 2.618. हमें फाइबोनैचि अनुपात मिलता है जिसे हम पहले से जानते हैं। स्वर्ण त्रिभुज, स्वर्ण आयत और स्वर्ण घनाभ एक ही सिद्धांत का उपयोग करके बनाए गए हैं। यह भी ध्यान देने योग्य है कि मानव शरीर के अंगों का आनुपातिक अनुपात स्वर्णिम अनुपात के करीब है।

क्या फाइबोनैचि अनुक्रम हर चीज़ का आधार है?

आइए गोल्डन सेक्शन के सिद्धांत और इतालवी गणितज्ञ की प्रसिद्ध श्रृंखला को संयोजित करने का प्रयास करें। आइए पहले आकार के दो वर्गों से शुरुआत करें। फिर शीर्ष पर दूसरे आकार का एक और वर्ग जोड़ें। आइए इसके आगे वही आकृति बनाएं जिसकी भुजा की लंबाई पिछली दो भुजाओं के योग के बराबर हो। इसी प्रकार पांच आकार का एक वर्ग बनाएं। और आप इस विज्ञापन को तब तक जारी रख सकते हैं जब तक आप इससे थक न जाएं। मुख्य बात यह है कि प्रत्येक अगले वर्ग की भुजा का आकार पिछले दो की भुजाओं के आकार के योग के बराबर है। हमें बहुभुजों की एक श्रृंखला मिलती है जिनकी भुजाओं की लंबाई फाइबोनैचि संख्याएँ हैं। इन आकृतियों को फाइबोनैचि आयत कहा जाता है। आइए अपने बहुभुजों के कोनों के माध्यम से एक चिकनी रेखा खींचें और प्राप्त करें... एक आर्किमिडीज़ सर्पिल! किसी दिए गए आंकड़े के चरण में वृद्धि, जैसा कि ज्ञात है, हमेशा एक समान होती है। यदि आप अपनी कल्पना का उपयोग करते हैं, तो परिणामी चित्र मोलस्क खोल से जुड़ा हो सकता है। यहां से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि फाइबोनैचि अनुक्रम आसपास की दुनिया में तत्वों के आनुपातिक, सामंजस्यपूर्ण संबंधों का आधार है।

गणितीय अनुक्रम और ब्रह्मांड

यदि आप बारीकी से देखें, तो आर्किमिडीज़ सर्पिल (कभी-कभी स्पष्ट रूप से, कभी-कभी परोक्ष रूप से) और, परिणामस्वरूप, फाइबोनैचि सिद्धांत को मनुष्यों के आसपास के कई परिचित प्राकृतिक तत्वों में खोजा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक ही मोलस्क का खोल, साधारण ब्रोकोली के पुष्पक्रम, एक सूरजमुखी का फूल, एक शंकुधारी पौधे का एक शंकु, और इसी तरह। यदि हम आगे देखें तो हमें अनंत आकाशगंगाओं में फाइबोनैचि अनुक्रम दिखाई देगा। यहाँ तक कि मनुष्य भी, प्रकृति से प्रेरित होकर और उसके रूपों को अपनाकर, ऐसी वस्तुओं का निर्माण करता है जिनमें उपर्युक्त श्रृंखला का पता लगाया जा सकता है। अब स्वर्णिम अनुपात को याद करने का समय आ गया है। फाइबोनैचि पैटर्न के साथ-साथ इस सिद्धांत के सिद्धांतों का पता लगाया जा सकता है। एक संस्करण है कि फाइबोनैचि अनुक्रम स्वर्ण अनुपात के अधिक परिपूर्ण और मौलिक लघुगणकीय अनुक्रम के अनुकूल होने के लिए प्रकृति का एक प्रकार का परीक्षण है, जो लगभग समान है, लेकिन इसकी कोई शुरुआत नहीं है और यह अनंत है। प्रकृति का पैटर्न ऐसा है कि उसका अपना एक संदर्भ बिंदु होना चाहिए, जहां से कुछ नया बनाने की शुरुआत की जा सके। फाइबोनैचि श्रृंखला के पहले तत्वों का अनुपात स्वर्णिम अनुपात के सिद्धांतों से बहुत दूर है। हालाँकि, हम इसे जितना आगे जारी रखेंगे, यह विसंगति उतनी ही दूर होती जाएगी। किसी अनुक्रम को निर्धारित करने के लिए, आपको उसके तीन तत्वों को जानना होगा जो एक दूसरे के बाद आते हैं। गोल्डन सीक्वेंस के लिए, दो पर्याप्त हैं। चूँकि यह अंकगणितीय और ज्यामितीय प्रगति दोनों है।

निष्कर्ष

फिर भी, उपरोक्त के आधार पर, कोई भी काफी तार्किक प्रश्न पूछ सकता है: "ये संख्याएँ कहाँ से आईं? पूरी दुनिया की संरचना का लेखक कौन है, जिसने इसे आदर्श बनाने की कोशिश की? क्या सब कुछ हमेशा वैसा ही था जैसा वह चाहता था? यदि तो, विफलता क्यों हुई? आगे क्या होगा?" जब आपको एक प्रश्न का उत्तर मिल जाता है, तो आपको अगला भी मिल जाता है। मैंने इसे हल कर लिया - दो और सामने आए। उन्हें हल करने के बाद, आपको तीन और मिलते हैं। उनसे निपटने के बाद, आपको पाँच अनसुलझे मिलेंगे। फिर आठ, फिर तेरह, इक्कीस, चौंतीस, पचपन...