वर्ग और घन के सभी सूत्र। संक्षिप्त गुणन सूत्र। एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करना

एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य भी होंगे, जिनके उत्तर आप देख सकते हैं।

संक्षिप्त गुणन सूत्र आपको अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तन करने की अनुमति देते हैं - बहुपद। उनकी सहायता से, बहुपदों का गुणनखंड किया जा सकता है, और सूत्रों का उल्टे क्रम में उपयोग करते हुए, द्विपद, वर्ग और घन के उत्पादों को बहुपद के रूप में दर्शाया जा सकता है। आइए संक्षिप्त गुणन, उनकी व्युत्पत्ति, इन फ़ार्मुलों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तनों के लिए सामान्य कार्यों के साथ-साथ होमवर्क असाइनमेंट (उनके उत्तर लिंक द्वारा खोले जाते हैं) के लिए आम तौर पर स्वीकृत सभी फ़ार्मुलों पर विचार करें।

योग वर्ग

योग के वर्ग का सूत्र समानता है

(दो संख्याओं के योग का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर होता है और पहली संख्या के गुणनफल का दुगुना और दूसरा जोड़ दूसरी संख्या के वर्ग के बराबर होता है)।

के बजाय एकतथा बीइस सूत्र में किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

योग वर्ग सूत्र का उपयोग अक्सर गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए,

योग वर्ग सूत्र का उपयोग करके, बहुपद को गुणनखंडित किया जा सकता है, अर्थात्, दो समान कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण 1

.

उदाहरण 2बहुपद व्यंजक के रूप में लिखें

समाधान। योग के वर्ग के सूत्र से, हम प्राप्त करते हैं

अंतर का वर्ग

अंतर के वर्ग का सूत्र समानता है

(दो संख्याओं के अंतर का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर है, पहली संख्या के गुणनफल का दोगुना और दूसरा जोड़ दूसरी संख्या का वर्ग)।

चुकता अंतर सूत्र का उपयोग अक्सर गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए,

अंतर वर्ग सूत्र का उपयोग करके, बहुपद को गुणनखंडित किया जा सकता है, अर्थात्, दो समान कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है।

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के नियम से सूत्र इस प्रकार है:

उदाहरण 5बहुपद व्यंजक के रूप में लिखें

समाधान। अंतर के वर्ग के सूत्र से, हम प्राप्त करते हैं

.

संक्षिप्त गुणन सूत्र को स्वयं लागू करें, और फिर समाधान देखें

पूर्ण वर्ग चयन

अक्सर दूसरी डिग्री के बहुपद में योग या अंतर का वर्ग होता है, लेकिन यह एक छिपे हुए रूप में समाहित होता है। पूर्ण वर्ग को स्पष्ट रूप से प्राप्त करने के लिए, आपको बहुपद को बदलना होगा। ऐसा करने के लिए, एक नियम के रूप में, बहुपद की शर्तों में से एक को दोहरे उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है, और फिर उसी संख्या को बहुपद में जोड़ा और घटाया जाता है।

उदाहरण 7

समाधान। इस बहुपद को इस प्रकार रूपांतरित किया जा सकता है:

यहां हमने प्रस्तुत किया है 5 एक्स 5/2 by . के दोहरे गुणनफल के रूप में एक्स, बहुपद में जोड़ा और उसमें से वही संख्या घटाई, फिर द्विपद के लिए योग वर्ग सूत्र लागू किया।

इसलिए हमने समानता साबित कर दी है

,

एक पूर्ण वर्ग और संख्या के बराबर होता है।

उदाहरण 8दूसरी डिग्री बहुपद पर विचार करें

समाधान। आइए इस पर निम्नलिखित परिवर्तन करें:

यहां हमने प्रस्तुत किया है 8 एक्सदोहरे उत्पाद के रूप में एक्स 4 से, बहुपद में जोड़ा जाता है और उसमें से वही संख्या 4² घटा दी जाती है, द्विपद के लिए अंतर वर्ग सूत्र लागू किया जाता है एक्स − 4 .

इसलिए हमने समानता साबित कर दी है

,

दिखा रहा है कि एक दूसरी डिग्री बहुपद

एक पूर्ण वर्ग और संख्या −16 के बराबर होती है।

संक्षिप्त गुणन सूत्र को स्वयं लागू करें, और फिर समाधान देखें

योग घन

घन का योग सूत्र समानता है

(दो संख्याओं के योग का घन पहली संख्या के घन के बराबर है और पहली संख्या के वर्ग का तीन गुना दूसरी संख्या का गुणा है, साथ ही पहली संख्या के गुणनफल को दूसरे के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना, साथ ही घन दूसरे नंबर का)।

घन का योग सूत्र इस प्रकार प्राप्त होता है:

उदाहरण 10बहुपद व्यंजक के रूप में लिखें

समाधान। घन के योग सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

संक्षिप्त गुणन सूत्र को स्वयं लागू करें, और फिर समाधान देखें

अंतर घन

अंतर घन सूत्र समानता है

(दो संख्याओं के अंतर का घन पहली संख्या के घन के बराबर है, पहली संख्या के वर्ग का तीन गुना और दूसरी, साथ ही पहली संख्या के गुणनफल का तीन गुना और दूसरी संख्या का वर्ग घटाकर का घन दूसरा नंबर)।

योग घन सूत्र की सहायता से बहुपद को गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है, अर्थात् इसे तीन समान गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अंतर घन सूत्र निम्नानुसार प्राप्त होता है:

उदाहरण 12.बहुपद व्यंजक के रूप में लिखें

समाधान। अंतर घन सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

संक्षिप्त गुणन सूत्र को स्वयं लागू करें, और फिर समाधान देखें

वर्गों का अंतर

वर्गों के अंतर का सूत्र समानता है

(दो संख्याओं के वर्गों के बीच का अंतर इन संख्याओं के योग और उनके अंतर के गुणनफल के बराबर होता है)।

घन सूत्र का उपयोग करके, रूप के किसी भी बहुपद के योगफलों को गुणनखंडित किया जा सकता है।

बहुपद के लिए गुणन नियम का उपयोग करके सूत्र का प्रमाण प्राप्त किया गया था:

उदाहरण 14उत्पाद को बहुपद के रूप में लिखें

.

समाधान। वर्ग सूत्र के अंतर से, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 15खंड करना

समाधान। स्पष्ट रूप में यह अभिव्यक्ति किसी पहचान के अनुरूप नहीं है। लेकिन संख्या 16 को आधार 4: 16=4² के साथ एक शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है। तब मूल अभिव्यक्ति एक अलग रूप लेगी:

,

और यह वर्गों के अंतर का सूत्र है, और इस सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

बीजीय बहुपदों की गणना करते समय, गणनाओं को सरल बनाने के लिए, हम उपयोग करते हैं संक्षिप्त गुणन सूत्र. ऐसे कुल सात सूत्र हैं। उन सभी को दिल से जानने की जरूरत है।

यह भी याद रखना चाहिए कि सूत्रों में "ए" और "बी" के बजाय, संख्याएं और कोई अन्य बीजीय बहुपद दोनों हो सकते हैं।

वर्गों का अंतर

याद है!

वर्गों का अंतरदो संख्याएँ इन संख्याओं के अंतर और उनके योग के गुणनफल के बराबर होती हैं।

ए 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी)

• 15 2 - 2 2 = (15 - 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 - 4b 2 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc) के साथ

योग वर्ग

याद है!

दो संख्याओं के योग का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर होता है और पहली संख्या के गुणनफल का दुगुना और दूसरा जोड़ दूसरी संख्या के वर्ग के बराबर होता है।

(एक + बी) 2 = ए 2 + 2एबी + बी 2

ध्यान दें कि इस घटे हुए गुणन सूत्र के साथ, यह आसान है बड़ी संख्या के वर्ग खोजेंकैलकुलेटर या लंबे गुणा का उपयोग किए बिना। आइए एक उदाहरण के साथ समझाते हैं:

112 2 खोजें।

• आइए 112 को उन संख्याओं के योग में विघटित करें जिनके वर्ग हमें अच्छी तरह याद हैं।
  112 = 100 + 1
• हम कोष्ठक में संख्याओं का योग लिखते हैं और कोष्ठक के ऊपर एक वर्ग लगाते हैं।
  112 2 = (100 + 12) 2
• आइए योग वर्ग सूत्र का उपयोग करें:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

याद रखें कि वर्ग योग सूत्र किसी भी बीजीय बहुपद के लिए भी मान्य है।

• (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

चेतावनी!

(ए + बी) 2 बराबर नहीं है (ए 2 + बी 2)

अंतर का वर्ग

याद है!

दो संख्याओं के बीच के अंतर का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर है जो पहली और दूसरी के गुणनफल का दोगुना है और दूसरी संख्या का वर्ग है।

(एक - बी) 2 = ए 2 - 2ab + बी 2

यह एक बहुत ही उपयोगी परिवर्तन को याद रखने योग्य भी है:

(ए - बी) 2 = (बी - ए) 2

उपरोक्त सूत्र केवल कोष्ठकों का विस्तार करके सिद्ध होता है:

(a - b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

योग घन

याद है!

दो संख्याओं के योग का घन पहली संख्या के घन के बराबर होता है और पहली संख्या के वर्ग का तीन गुना दूसरी संख्या के गुणनफल का तीन गुना दूसरी संख्या के वर्ग के गुणनफल के साथ दूसरे के घन के बराबर होता है।

(ए + बी) 3 = ए 3 + 3 ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3

घन का योग कैसे याद रखें

इस "भयानक" दिखने वाले सूत्र को याद रखना काफी सरल है।

• जानें कि "ए 3" शुरुआत में आता है।
• बीच में दो बहुपदों के गुणांक 3 होते हैं।
• याद रखें कि शून्य शक्ति के लिए कोई भी संख्या 1 है। (ए 0 = 1, बी 0 = 1)। यह देखना आसान है कि सूत्र में डिग्री "ए" में कमी और डिग्री "बी" में वृद्धि हुई है। आप इसे सत्यापित कर सकते हैं:
  (ए + बी) 3 = ए 3 बी 0 + 3 ए 2 बी 1 + 3 ए 1 बी 2 + बी 3 ए 0 = ए 3 + 3 ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3

चेतावनी!

(a + b) 3, a 3 + b 3 . के बराबर नहीं है

अंतर घन

याद है!

अंतर घनदो संख्याएँ पहली संख्या के घन के बराबर होती हैं, पहली संख्या के वर्ग का तीन गुना, दूसरी संख्या के गुणा का तीन गुना, पहली संख्या के गुणनफल का तीन गुना, दूसरे के घन को घटाकर।

(ए - बी) 3 = ए 3 - 3 ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3

इस सूत्र को पिछले एक की तरह याद किया जाता है, लेकिन केवल "+" और "-" संकेतों के प्रत्यावर्तन को ध्यान में रखते हुए। पहले सदस्य "ए 3" से पहले एक "+" होता है (गणित के नियमों के अनुसार, हम इसे नहीं लिखते हैं)। इसका मतलब है कि अगला सदस्य "-" से पहले होगा, फिर "+", आदि।

(ए - बी) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

घनों का योग

योग घन के साथ भ्रमित होने की नहीं!

याद है!

घनों का योगअंतर के अधूरे वर्ग द्वारा दो संख्याओं के योग के गुणनफल के बराबर है।

ए 3 + बी 3 = (ए + बी) (ए 2 - एबी + बी 2)

घनों का योग दो कोष्ठकों का गुणनफल है।

• पहला कोष्ठक दो संख्याओं का योग है।
• दूसरा कोष्ठक संख्याओं के अंतर का अधूरा वर्ग है। अंतर के अपूर्ण वर्ग को व्यंजक कहते हैं:
  (ए 2 - एबी + बी 2)
  यह वर्ग अधूरा है, क्योंकि बीच में दोहरे गुणन के स्थान पर संख्याओं का साधारण गुणनफल होता है।

घनों का अंतर

अंतर घन के साथ भ्रमित होने की नहीं!

याद है!

घनों का अंतरयोग के अपूर्ण वर्ग द्वारा दो संख्याओं के अंतर के गुणनफल के बराबर है।

ए 3 - बी 3 = (ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2)

अक्षर लिखते समय सावधान रहें।

संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग

यह याद रखना चाहिए कि ऊपर दिए गए सभी सूत्रों का उपयोग दाएं से बाएं भी किया जाता है।

पाठ्यपुस्तकों में कई उदाहरण आपके लिए बहुपद पीठ को इकट्ठा करने के लिए सूत्रों का उपयोग करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।

• ए 2 + 2 ए + 1 = (ए + 1) 2
• (एसी - 4 बी) (एसी + 4 बी) = ए 2 सी 2 - 16 बी 2

आप अनुभाग में संक्षिप्त गुणन के लिए सभी सूत्रों के साथ एक तालिका डाउनलोड कर सकते हैं "

बीजगणित पाठ्यक्रम में अध्ययन किए जाने वाले पहले विषयों में से एक संक्षिप्त गुणन के सूत्र हैं। ग्रेड 7 में, उनका उपयोग सबसे सरल परिस्थितियों में किया जाता है जहां अभिव्यक्ति में सूत्रों में से एक को पहचानना और बहुपद को कारक बनाना या इसके विपरीत, योग या अंतर को जल्दी से वर्ग या घन करना आवश्यक है। भविष्य में, एफएसयू का उपयोग असमानताओं और समीकरणों को जल्दी से हल करने के लिए किया जाता है, और यहां तक ​​​​कि कैलकुलेटर के बिना कुछ संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की गणना करने के लिए भी किया जाता है।

सूत्रों की सूची कैसी दिखती है?

7 बुनियादी सूत्र हैं जो आपको कोष्ठक में बहुपदों को जल्दी से गुणा करने की अनुमति देते हैं।

कभी-कभी इस सूची में चौथी डिग्री का विस्तार भी शामिल होता है, जो प्रस्तुत पहचान से होता है और इसका रूप होता है:

ए⁴ - बी⁴ = (ए - बी) (ए + बी) (ए² + बी²)।

वर्गों के अंतर को छोड़कर सभी समानताओं में एक युग्म (योग - अंतर) होता है। वर्गों के योग का कोई सूत्र नहीं है.

शेष समानताओं को याद रखना आसान है।:

यह याद रखना चाहिए कि एफएसओ किसी भी मामले में और किसी भी मूल्य के लिए काम करते हैं। एकतथा बी: यह मनमाना संख्या और पूर्णांक व्यंजक दोनों हो सकते हैं।

ऐसी स्थिति में जहां आपको अचानक याद न आए कि एक या दूसरे पद के सामने सूत्र में कौन सा चिन्ह है, आप कोष्ठक खोल सकते हैं और वही परिणाम प्राप्त कर सकते हैं जो सूत्र का उपयोग करने के बाद होता है। उदाहरण के लिए, यदि अंतर घन के एफएसयू को लागू करते समय कोई समस्या उत्पन्न होती है, तो आपको मूल अभिव्यक्ति लिखने की आवश्यकता होती है और एक-एक करके गुणा करें:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³।

परिणामस्वरूप, ऐसे सभी पदों को कम करने के बाद, वही बहुपद प्राप्त हुआ जैसा कि तालिका में है। अन्य सभी एफएसओ के साथ समान जोड़तोड़ को अंजाम दिया जा सकता है।

समीकरणों को हल करने के लिए FSO का अनुप्रयोग

उदाहरण के लिए, आपको एक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है जिसमें तीसरी डिग्री बहुपद:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

स्कूली पाठ्यक्रम घन समीकरणों को हल करने के लिए सार्वभौमिक तकनीकों पर विचार नहीं करता है, और ऐसे कार्यों को अक्सर सरल तरीकों (उदाहरण के लिए, गुणनखंड) द्वारा हल किया जाता है। यदि आप देखते हैं कि पहचान का बायां भाग योग के घन जैसा दिखता है, तो समीकरण को सरल रूप में लिखा जा सकता है:

(एक्स + 1)³ = 0.

ऐसे समीकरण की जड़ की गणना मौखिक रूप से की जाती है: एक्स = -1.

असमानताओं को इसी तरह हल किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम असमानता को हल कर सकते हैं x³ - 6x² + 9x > 0.

सबसे पहले, अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करना आवश्यक है। सबसे पहले आपको कोष्ठक निकालने की आवश्यकता है एक्स. उसके बाद, आपको ध्यान देना चाहिए कि कोष्ठक में व्यंजक को अंतर के वर्ग में बदला जा सकता है।

फिर आपको उन बिंदुओं को खोजने की जरूरत है जिन पर व्यंजक शून्य मान लेता है, और उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करें। एक विशिष्ट मामले में, ये 0 और 3 होंगे। फिर, अंतराल विधि का उपयोग करके, यह निर्धारित करें कि x किस अंतराल में असमानता की स्थिति को पूरा करेगा।

FSOs करने में सहायक हो सकते हैं कैलकुलेटर की मदद के बिना कुछ गणना:

703² - 203² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

इसके अतिरिक्त, व्यंजकों को गुणन करके, आप भिन्नों को आसानी से कम कर सकते हैं और विभिन्न बीजीय व्यंजकों को सरल बना सकते हैं।

ग्रेड 7-8 . के कार्यों के उदाहरण

अंत में, हम बीजगणित में संक्षिप्त गुणन सूत्रों के अनुप्रयोग के लिए दो कार्यों का विश्लेषण और समाधान करेंगे।

कार्य 1. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

(एम + 3)² + (3मी + 1)(3मी -1) - 2मी (5मी + 3)।

समाधान। कार्य की स्थिति में, अभिव्यक्ति को सरल बनाना आवश्यक है, अर्थात, कोष्ठक खोलें, गुणन और घातांक के संचालन को करें, और ऐसे सभी शब्दों को भी लाएं। हम सशर्त रूप से अभिव्यक्ति को तीन भागों में विभाजित करते हैं (शब्दों की संख्या के अनुसार) और जहां संभव हो वहां एफएसयू का उपयोग करके कोष्ठक को एक-एक करके खोलते हैं।

• (एम + 3)² = एम² + 6 मी + 9(वर्ग राशि);
• (3मी + 1)(3मी -1) = 9मी² - 1(वर्गों का अंतर);
• अंतिम अवधि में, आपको गुणा करने की आवश्यकता है: 2मी (5मी + 3) = 10मी² + 6मी.

परिणामों को मूल अभिव्यक्ति में बदलें:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

संकेतों को ध्यान में रखते हुए, हम कोष्ठक खोलते हैं और समान पद देते हैं:

एम² + 6 एम + 9 + 9 एम² 1 - 10 एम² - 6 एम = 8।

कार्य 2. अज्ञात k वाले समीकरण को 5 की घात में हल करें:

के⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³।

समाधान। इस मामले में, एफएसओ और समूहीकरण पद्धति का उपयोग करना आवश्यक है। हमें अंतिम और अंतिम शर्तों को पहचान के दाईं ओर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है।

के⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k।

उभयनिष्ठ गुणक दाएं और बाएं भागों से लिया जाता है (के² + 4k +4):

के³ (के² + 4 के + 4) = के (के² + 4 के + 4).

सब कुछ समीकरण के बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है ताकि 0 दाईं ओर बना रहे:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

फिर से, आपको सामान्य कारक निकालने की आवश्यकता है:

(के³ - के) (के² + 4 के + 4) = 0।

प्राप्त पहले कारक से, हम प्राप्त कर सकते हैं क. लघु गुणन सूत्र के अनुसार, दूसरा गुणनखंड समान रूप से के बराबर होगा (के + 2)²:

के (के² - 1)(के + 2)² = 0.

वर्ग अंतर सूत्र का उपयोग करना:

के (के -1)(के + 1)(के + 2)² = 0.

चूंकि गुणनफल 0 है, यदि इसका कम से कम एक गुणनखंड शून्य है, तो समीकरण के सभी मूल ज्ञात करना कठिन नहीं होगा:

1. कश्मीर = 0;
2. के - 1 = 0; कश्मीर = 1;
3. के + 1 = 0; के = -1;
4. (के + 2)² = 0; के = -2।

उदाहरणात्मक उदाहरणों के आधार पर, कोई यह समझ सकता है कि फ़ार्मुलों, उनके अंतरों को कैसे याद किया जाए, और FSU का उपयोग करके कई व्यावहारिक समस्याओं को भी हल किया जाए। कार्य सरल हैं और उन्हें पूरा करना मुश्किल नहीं होना चाहिए।

पाठ सामग्री

दो भावों के योग का वर्ग

ऐसे कई मामले हैं जहां बहुपद के बहुपद के गुणन को बहुत सरल किया जा सकता है। ऐसा, उदाहरण के लिए, मामला है (2 .) एक्स+ 3आप) 2 .

अभिव्यक्ति (2 एक्स+ 3आप) 2 दो बहुपदों का गुणन है, जिनमें से प्रत्येक (2 .) के बराबर है एक्स+ 3आप)

(2एक्स+ 3आप) 2 = (2एक्स+ 3आप)(2एक्स+ 3आप)

हमें एक बहुपद का एक बहुपद से गुणन प्राप्त होता है। आइए इसे निष्पादित करें:

(2एक्स+ 3आप) 2 = (2एक्स+ 3आप)(2एक्स+ 3आप) = 4एक्स 2 + 6xy + 6xy + 9आप 2 = 4एक्स 2 + 12xy+ 9आप 2

अर्थात्, व्यंजक (2 .) एक्स+ 3आप) 2 बराबर है 4एक्स 2 + 12xy + 9आप 2

(2एक्स+ 3आप) 2 = 4एक्स 2 + 12xy+ 9आप 2

आइए एक समान उदाहरण को हल करें, जो सरल है:

(ए+बी) 2

अभिव्यक्ति ( ए+बी) 2 दो बहुपदों का गुणन है, जिनमें से प्रत्येक बराबर है ( ए+बी)

(ए+बी) 2 = (ए+बी)(ए+बी)

आइए यह गुणा करें:

(ए+बी) 2 = (ए+बी)(ए+बी) = एक 2 + अब + अब + बी 2 = एक 2 + 2अब + बी 2

यही अभिव्यक्ति है (ए+बी) 2 बराबर है एक 2 + 2अब + बी 2

(ए+बी) 2 = एक 2 + 2अब + बी 2

यह पता चला है कि मामला ( ए+बी) 2 को किसी के लिए भी बढ़ाया जा सकता है एकतथा बी. पहला उदाहरण हमने हल किया, अर्थात् (2 .) एक्स+ 3आप) 2 को पहचान का उपयोग करके हल किया जा सकता है (ए+बी) 2 = एक 2 + 2अब + बी 2 . ऐसा करने के लिए, आपको चर के बजाय स्थानापन्न करने की आवश्यकता है एकतथा बीव्यंजक से संगत पद (2 एक्स+ 3आप) 2. इस मामले में, चर एकमैच डिक 2 एक्स, और चर बीमैच डिक 3 आप

एक = 2एक्स

बी = 3आप

और फिर हम पहचान का उपयोग कर सकते हैं (ए+बी) 2 = एक 2 + 2अब + बी 2 , लेकिन चर के बजाय एकतथा बीआपको भाव 2 . को स्थानापन्न करने की आवश्यकता है एक्सऔर 3 आपक्रमश:

(2एक्स+ 3आप) 2 = (2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स× 3 आप + (3आप) 2 = 4एक्स 2 + 12xy+ 9आप 2

पिछली बार की तरह, हमें एक बहुपद मिला 4एक्स 2 + 12xy+ 9आप 2 . समाधान आमतौर पर छोटा लिखा जाता है, जो दिमाग में सभी प्राथमिक परिवर्तन करता है:

(2एक्स+ 3आप) 2 = 4एक्स 2 + 12xy+ 9आप 2

पहचान (ए+बी) 2 = एक 2 + 2अब + बी 2 दो व्यंजकों के योग के वर्ग का सूत्र कहलाता है। इस सूत्र को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है:

दो व्यंजकों के योग का वर्ग पहली व्यंजक के वर्ग के बराबर होता है और पहली व्यंजक के गुणनफल का दुगुना और दूसरा जोड़ दूसरी व्यंजक के वर्ग के बराबर होता है।

व्यंजक (2 + 3) 2 पर विचार करें। इसकी गणना दो तरह से की जा सकती है: कोष्ठक में योग करना और परिणाम का वर्ग करना, या दो भावों के योग के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करना।

पहला तरीका:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

दूसरा तरीका:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

उदाहरण 2. अभिव्यक्ति परिवर्तित करें (5 एक+ 3) 2 एक बहुपद में।

आइए दो भावों के योग के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करें:

(ए+बी) 2 = एक 2 + 2अब + बी 2

(5ए + 3) 2 = (5एक) 2 + 2 × 5 एक × 3 + 3 2 = 25एक 2 + 30एक + 9

माध्यम, (5ए + 3) 2 = 25एक 2 + 30एक + 9.

आइए योग वर्ग सूत्र का उपयोग किए बिना इस उदाहरण को हल करने का प्रयास करें। हमें वही परिणाम मिलना चाहिए:

(5ए + 3) 2 = (5ए + 3)(5ए + 3) = 25एक 2 + 15एक + 15एक + 9 = 25एक 2 + 30एक + 9

दो भावों के योग के वर्ग के सूत्र का एक ज्यामितीय अर्थ होता है। हमें याद है कि एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको इसके पक्ष को दूसरी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, एक भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल एकके बराबर होगा एक 2. यदि आप वर्ग की भुजा को बढ़ाते हैं बी, तो क्षेत्रफल बराबर होगा ( ए+बी) 2

निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:

कल्पना कीजिए कि इस आकृति में दर्शाए गए वर्ग की भुजा को से बढ़ा दिया गया है बी. एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं। यदि इसकी भुजा को से बढ़ा दिया जाए बी, तो अन्य पक्ष भी बढ़ जाएंगे बी

परिणाम एक नया वर्ग है, जो पिछले वाले से बड़ा है। इसे अच्छी तरह से देखने के लिए, आइए लापता पक्षों को पूरा करें:

इस वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप इसमें शामिल वर्गों और आयतों की अलग-अलग गणना कर सकते हैं, फिर परिणाम जोड़ सकते हैं।

सबसे पहले, आप एक पक्ष के साथ एक वर्ग की गणना कर सकते हैं एक- इसका क्षेत्रफल के बराबर होगा एक 2. फिर आप पक्षों के साथ आयतों की गणना कर सकते हैं एकतथा बी- वे बराबर होंगे अब. तब आप एक भुजा वाले वर्ग की गणना कर सकते हैं बी

परिणाम निम्नलिखित क्षेत्रों का योग है:

एक 2 + एबी+एबी + बी 2

समरूप आयतों के क्षेत्रफलों के योग को 2 . से गुणा करके बदला जा सकता है अब, जिसका शाब्दिक अर्थ है "आयत ab के क्षेत्रफल का दो गुना दोहराएं" . बीजगणितीय रूप से, यह समान पदों को कम करके प्राप्त किया जाता है अबतथा अब. परिणाम एक अभिव्यक्ति है एक 2 + 2अब+ बी 2 , जो दो भावों के योग के वर्ग के लिए सूत्र का दाहिना भाग है:

(ए+बी) 2 = एक 2 + 2अब+ बी 2

दो भावों के अंतर का वर्ग

दो भावों के अंतर के वर्ग का सूत्र इस प्रकार है:

(ए-बी) 2 = एक 2 − 2अब + बी 2

दो व्यंजकों के अंतर का वर्ग पहली व्यंजक के वर्ग के बराबर होता है जो पहली व्यंजक के गुणनफल का दुगुना और दूसरा जोड़ दूसरी व्यंजक के वर्ग के बराबर होता है।

दो व्यंजकों के अंतर के वर्ग का सूत्र उसी प्रकार निकाला जाता है जैसे दो व्यंजकों के योग के वर्ग का सूत्र। अभिव्यक्ति ( ए-बी) 2 दो बहुपदों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक बराबर है ( ए-बी)

(ए-बी) 2 = (ए-बी)(ए-बी)

यदि आप इस गुणन को करते हैं, तो आपको एक बहुपद प्राप्त होता है एक 2 − 2अब + बी 2

(ए-बी) 2 = (ए-बी)(ए-बी) = एक 2 − अब− अब+ बी 2 = एक 2 − 2अब + बी 2

उदाहरण 1. अभिव्यक्ति बदलें (7 एक्स- 5) 2 एक बहुपद में।

आइए दो भावों के अंतर के वर्ग के सूत्र का उपयोग करें:

(ए-बी) 2 = एक 2 − 2अब + बी 2

(7एक्स− 5) 2 = (7एक्स) 2 - 2 × 7 एक्स × 5 + 5 2 = 49एक्स 2 − 70एक्स + 25

माध्यम, (7एक्स− 5) 2 = 49एक्स 2 + 70एक्स + 25.

आइए अंतर वर्ग सूत्र का उपयोग किए बिना इस उदाहरण को हल करने का प्रयास करें। हमें वही परिणाम मिलना चाहिए:

(7एक्स− 5) 2 = (7एक्स− 5) (7एक्स− 5) = 49एक्स 2 − 35एक्स − 35एक्स + 25 = 49एक्स 2 − 70एक्स+ 25.

दो भावों के अंतर के वर्ग के सूत्र का एक ज्यामितीय अर्थ भी होता है। यदि एक भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल एकके बराबर है एक 2 , तो उस वर्ग का क्षेत्रफल जिसकी भुजा को घटा दिया जाता है बी, के बराबर होगा ( ए-बी) 2

निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:

कल्पना कीजिए कि इस आकृति में दिखाए गए वर्ग की भुजा को से कम कर दिया गया है बी. एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं। यदि एक पक्ष को से कम किया जाता है बी, तो अन्य पक्ष भी कम हो जाएंगे बी

परिणाम एक नया वर्ग है, जो पिछले वाले से छोटा है। इसे चित्र में पीले रंग में हाइलाइट किया गया है। इसका पक्ष है एक− बीपुराने पक्ष के बाद से एकसे कम हुआ बी. इस वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप वर्ग के मूल क्षेत्रफल का उपयोग कर सकते हैं एक 2 पुराने वर्ग के पक्षों को कम करने की प्रक्रिया में प्राप्त आयतों के क्षेत्रों को घटाएं। आइए इन आयतों को दिखाते हैं:

तब हम निम्नलिखित व्यंजक लिख सकते हैं: पुराना क्षेत्र एक 2 घटा क्षेत्र अबऋण क्षेत्र ( ए-बी)बी

एक 2 − अब − (ए-बी)बी

व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें ( ए-बी)बी

एक 2 − अब - अबू + बी 2

यहाँ समान शब्द हैं:

एक 2 − 2अब + बी 2

परिणाम एक अभिव्यक्ति है एक 2 − 2अब + बी 2 , जो दो भावों के अंतर के वर्ग के लिए सूत्र का दाहिना पक्ष है:

(ए-बी) 2 = एक 2 − 2अब + बी 2

योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के सूत्रों को आम तौर पर कहा जाता है संक्षिप्त गुणन सूत्र. ये सूत्र आपको बहुपदों को गुणा करने की प्रक्रिया को काफी सरल और तेज करने की अनुमति देते हैं।

पहले हमने कहा था कि एक बहुपद के सदस्य को अलग से देखते हुए, उसके सामने स्थित चिन्ह के साथ उस पर विचार करना चाहिए।

लेकिन संक्षिप्त गुणन सूत्रों को लागू करते समय, मूल बहुपद के चिन्ह को इस पद का चिन्ह नहीं माना जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक (5 .) एक्स − 2आप) 2 , और हम सूत्र का उपयोग करना चाहते हैं (ए-बी) 2 = एक 2 − 2अब + बी 2 , तो इसके बजाय बी 2 . को स्थानापन्न करने की आवश्यकता है आप, नहीं -2 आप. यह सूत्रों के साथ काम करने की एक विशेषता है जिसे भुलाया नहीं जाना चाहिए।

(5एक्स − 2आप) 2
एक = 5एक्स
बी = 2आप
(5एक्स − 2आप) 2 = (5एक्स) 2 - 2 × 5 एक्स×2 आप + (2आप) 2 = 25एक्स 2 − 20xy + 4आप 2

यदि हम -2 . को प्रतिस्थापित करते हैं आप, तो इसका अर्थ यह होगा कि मूल व्यंजक के कोष्ठकों में अंतर को योग से बदल दिया गया है:

(5एक्स − 2आप) 2 = (5एक्स + (−2आप)) 2

और इस मामले में अंतर के वर्ग के सूत्र को लागू करना आवश्यक नहीं है, लेकिन योग के वर्ग का सूत्र:

(5एक्स + (−2आप) 2
एक = 5एक्स
बी = −2आप
(5एक्स + (−2आप)) 2 = (5एक्स) 2 + 2 × 5 एक्स× (−2 आप) + (−2आप) 2 = 25एक्स 2 − 20xy + 4आप 2

एक अपवाद प्रपत्र के भाव हो सकते हैं (एक्स− (−आप)) 2 . इस मामले में, सूत्र का उपयोग कर (ए-बी) 2 = एक 2 − 2अब + बी 2 के बजाय बीप्रतिस्थापित किया जाना चाहिए (- आप)

(एक्स− (−आप)) 2 = एक्स 2 - 2 × एक्स× (− आप) + (−आप) 2 = एक्स 2 + 2xy + आप 2

लेकिन रूप के वर्ग भाव एक्स − (−आप) , घटाव को जोड़ से बदलना अधिक सुविधाजनक होगा एक्स+वाई. तब मूल व्यंजक रूप लेगा ( एक्स +आप) 2 और योग के वर्ग के सूत्र का उपयोग करना संभव होगा, न कि अंतर का:

(एक्स +आप) 2 = एक्स 2 + 2xy + आप 2

योग घन और अंतर घन

दो भावों के योग के घन और दो भावों के अंतर के घन के सूत्र इस प्रकार हैं:

(एक + बी) 3 = एक 3 + 3एक 2 बी + 3अब 2 + बी 3

(ए-बी) 3 = एक 3 − 3एक 2 बी + 3अब 2 − बी 3

दो भावों के योग के घन का सूत्र इस प्रकार पढ़ा जा सकता है:

दो व्यंजकों के योग का घन पहली व्यंजक के घन के बराबर है और पहली व्यंजक के वर्ग के तीन गुणा दूसरे व्यंजक के गुणनफल के तीन गुणा, दूसरे व्यंजक के वर्ग के गुणनफल के गुणनफल से दूसरे व्यंजक के घन के बराबर है अभिव्यक्ति।

और दो भावों के अंतर के घन का सूत्र इस प्रकार पढ़ा जा सकता है:

दो भावों के अंतर का घन पहली अभिव्यक्ति के घन के बराबर है, पहली अभिव्यक्ति के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना और दूसरा जोड़ पहली अभिव्यक्ति के गुणनफल का तीन गुना और दूसरे का वर्ग घटा घन दूसरी अभिव्यक्ति का।

समस्याओं को हल करते समय, इन सूत्रों को दिल से जानना वांछनीय है। अगर आपको याद नहीं है, तो चिंता न करें! आप इन्हें खुद ही निकाल सकते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि कैसे।

आइए योग का घन सूत्र स्वयं प्राप्त करें:

(ए+बी) 3

अभिव्यक्ति ( ए+बी) 3 तीन बहुपदों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक बराबर है ( एक+ बी)

(ए+बी) 3 = (एक+ बी)(एक+ बी)(एक+ बी)

लेकिन अभिव्यक्ति ( ए+बी) 3 को के रूप में भी लिखा जा सकता है (एक+ बी)(एक+ बी) 2

(ए+बी) 3 = (एक+ बी)(एक+ बी) 2

इस मामले में, कारक ( एक+ बी) 2 दो भावों के योग का वर्ग है। योग का यह वर्ग व्यंजक के बराबर है एक 2 + 2अब + बी 2 .

फिर ( ए+बी) 3 को के रूप में लिखा जा सकता है (एक+ बी)(एक 2 + 2अब + बी 2) .

(ए+बी) 3 = (एक+ बी)(एक 2 + 2अब + बी 2)

और यह एक बहुपद का एक बहुपद से गुणा है। आइए इसे निष्पादित करें:

(ए+बी) 3 = (एक+ बी)(एक 2 + 2अब + बी 2) = एक 3 + 2एक 2 बी + अब 2 + एक 2 बी + 2अब 2 + बी 3 = एक 3 + 3एक 2 बी + 3अब 2 + बी 3

इसी तरह, आप दो भावों के अंतर के घन के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

(ए-बी) 3 = (एक- बी)(एक 2 − 2अब + बी 2) = एक 3 − 2एक 2 बी + अब 2 − एक 2 बी + 2अब 2 − बी 3 = एक 3 − 3एक 2 बी+ 3अब 2 − बी 3

उदाहरण 1. अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें ( एक्स+ 1) 3 एक बहुपद में।

(एक + बी) 3 = एक 3 + 3एक 2 बी + 3अब 2 + बी 3

(एक्स+ 1) 3 = एक्स 3+3× एक्स 2×1 + 3× एक्स× 1 2 + 1 3 = एक्स 3 + 3एक्स 2 + 3एक्स + 1

आइए दो भावों के योग के घन सूत्र का उपयोग किए बिना इस उदाहरण को हल करने का प्रयास करें

(एक्स+ 1) 3 = (एक्स+ 1)(एक्स+ 1)(एक्स+ 1) = (एक्स+ 1)(एक्स 2 + 2एक्स + 1) = एक्स 3 + 2एक्स 2 + एक्स + एक्स 2 + 2एक्स + 1 = एक्स 3 + 3एक्स 2 + 3एक्स + 1

उदाहरण 2. अभिव्यक्ति परिवर्तित करें (6एक 2 + 3बी 3) 3 एक बहुपद में।

आइए दो भावों के योग के लिए घन सूत्र का उपयोग करें:

(एक + बी) 3 = एक 3 + 3एक 2 बी + 3अब 2 + बी 3

(6एक 2 + 3बी 3) 3 = (6एक 2) 3 + 3 × (6 .) एक 2) 2×3 बी 3+3×6 एक 2 × (3बी 3) 2 + (3बी 3) 3 = 216एक 6+3×36 एक 4×3 बी 3+3×6 एक 2×9 बी 6 + 27बी 9

उदाहरण 3. अभिव्यक्ति परिवर्तित करें ( एन 2 - 3) 3 एक बहुपद में।

(ए-बी) = एक 3 − 3एक 2 बी + 3अब 2 − बी 3

(एन 2 − 3) 3 = (एन 2) 3 - 3 × ( एन 2) 2×3 + 3× एन 2 × 3 2 - 3 3 = एन 6 − 9एन 4 + 27एन 2 − 27

उदाहरण 4. अभिव्यक्ति परिवर्तित करें (2एक्स 2 − एक्स 3) 3 एक बहुपद में।

आइए दो भावों के अंतर के घन सूत्र का उपयोग करें:

(ए-बी) = एक 3 − 3एक 2 बी + 3अब 2 − बी 3

(2एक्स 2 − एक्स 3) 3 = (2एक्स 2) 3 - 3 × (2 .) एक्स 2) 2× एक्स 3+3×2 एक्स 2×( एक्स 3) 2 − (एक्स 3) 3 =
8एक्स 6 - 3 × 4 एक्स 4× एक्स 3+3×2 एक्स 2× एक्स 6 − एक्स 9 =
8एक्स 6 − 12एक्स 7 + 6एक्स 8 − एक्स 9

दो भावों के अंतर को उनके योग से गुणा करना

ऐसी समस्याएं हैं जिनमें दो अभिव्यक्तियों के अंतर को उनके योग से गुणा करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए:

(ए-बी)(ए+बी)

इस व्यंजक में, दो व्यंजकों का अंतर एकतथा बीसमान दो भावों के योग से गुणा किया जाता है। आइए यह गुणा करें:

(ए-बी)(ए+बी) = एक 2 + अब − अब − बी 2 = एक 2 − बी 2

यही अभिव्यक्ति है (ए-बी)(ए+बी) बराबरी एक 2 − बी 2

(ए-बी)(ए+बी) = एक 2 − बी 2

हम देखते हैं कि दो व्यंजकों के अंतर को उनके योग से गुणा करने पर हमें इन व्यंजकों के वर्गों का अंतर प्राप्त होता है।

दो भावों के अंतर और उनके योग का गुणनफल इन भावों के वर्गों के अंतर के बराबर होता है।

हो रहा (ए-बी)(ए+बी) किसी के लिए बढ़ाया जा सकता है एकतथा बी. सीधे शब्दों में कहें, यदि किसी समस्या को हल करते समय दो भावों के अंतर को उनके योग से गुणा करना आवश्यक है, तो इस गुणन को इन भावों के वर्गों के अंतर से बदला जा सकता है।

उदाहरण 1. गुणन करें (2एक्स − 5)(2एक्स + 5)

इस उदाहरण में, व्यंजक अंतर 2 . है एक्सऔर 5 को इन्हीं भावों के योग से गुणा किया जाता है। फिर सूत्र के अनुसार (ए-बी)(ए+बी) = एक 2 − बी 2 अपने पास:

(2एक्स − 5)(2एक्स + 5) = (2एक्स) 2 − 5 2

हम दाईं ओर की गणना करते हैं, हमें 4 . मिलता है एक्स 2 − 25

(2एक्स − 5)(2एक्स + 5) = (2एक्स) 2 − 5 2 = 4एक्स 2 − 25

आइए इस उदाहरण को सूत्र का उपयोग किए बिना हल करने का प्रयास करें (ए-बी)(ए+बी) = एक 2 − बी 2 . हमें वही परिणाम मिलेगा 4 एक्स 2 − 25

(2एक्स − 5)(2एक्स + 5) = 4एक्स 2 − 10एक्स + 10एक्स − 25 = 4एक्स 2 − 25

उदाहरण 2. गुणन करें (4एक्स − 5आप)(4एक्स + 5आप)

(ए-बी)(ए+बी) = एक 2 − बी 2

(4एक्स − 5आप)(4एक्स + 5आप) = (4एक्स) 2 − (5आप) 2 = 16एक्स 2 − 25आप 2

उदाहरण 3. गुणन करें (2एक+ 3बी)(2एक− 3बी)

आइए दो व्यंजकों के अंतर को उनके योग से गुणा करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

(ए-बी)(ए+बी) = एक 2 − बी 2

(2ए + 3बी)(2एक- 3बी) = (2एक) 2 − (3बी) 2 = 4एक 2 − 9बी 2

इस उदाहरण में, पदों का योग 2 . है एकऔर 3 बीइन शर्तों के अंतर से पहले स्थित है। और सूत्र में (ए-बी)(ए+बी) = एक 2 − बी 2 अंतर पहले स्थित है।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कारकों को कैसे व्यवस्थित किया जाता है ( ए-बी) में ( ए+बी) सूत्र में। उन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है (ए-बी)(ए+बी) , तथा (ए+बी)(ए-बी) . परिणाम अभी भी होगा एक 2 − बी 2 , चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है।

तो इस उदाहरण में, गुणनखंड (2 .) ए + 3बी) और 2 एक- 3बी) के रूप में लिखा जा सकता है (2ए + 3बी)(2एक- 3बी) , तथा (2एक- 3बी)(2ए + 3बी) . परिणाम अभी भी 4 होगा। एक 2 − 9बी 2 .

उदाहरण 3. गुणन करें (7 + 3एक्स)(3एक्स − 7)

आइए दो व्यंजकों के अंतर को उनके योग से गुणा करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

(ए-बी)(ए+बी) = एक 2 − बी 2

(7 + 3एक्स)(3एक्स − 7) = (3एक्स) 2 − 7 2 = 9एक्स 2 − 49

उदाहरण 4. गुणन करें (एक्स 2 − आप 3)(एक्स 2 + आप 3)

(ए-बी)(ए+बी) = एक 2 − बी 2

(एक्स 2 − आप 3)(एक्स 2 + आप 3) = (एक्स 2) 2 − (आप 3) 2 = एक्स 4 − आप 6

उदाहरण 5. गुणन करें (−5एक्स− 3आप)(5एक्स− 3आप)

व्यंजक में (−5 एक्स− 3आप) हम −1 निकालते हैं, फिर मूल व्यंजक निम्नलिखित रूप लेगा:

(−5एक्स− 3आप)(5एक्स− 3आप) = −1(5एक्स + 3आप)(5एक्स − 3आप)

काम (5एक्स + 3आप)(5एक्स − 3आप) वर्गों के अंतर से बदलें:

(−5एक्स− 3आप)(5एक्स− 3आप) = −1(5एक्स + 3आप)(5एक्स − 3आप) = −1((5एक्स) 2 − (3आप) 2)

वर्गों का अंतर कोष्ठकों में संलग्न किया गया था। यदि ऐसा नहीं किया जाता है, तो यह पता चलेगा कि -1 को केवल (5 .) से गुणा किया जाता है एक्स) 2. और इससे एक त्रुटि होगी और मूल अभिव्यक्ति का मान बदल जाएगा।

(−5एक्स− 3आप)(5एक्स− 3आप) = −1(5एक्स + 3आप)(5एक्स − 3आप) = −1((5एक्स) 2 − (3आप) 2) = −1(25एक्स 2 − 9एक्स 2)

अब −1 को कोष्ठक में दिए गए व्यंजक से गुणा करें और अंतिम परिणाम प्राप्त करें:

(−5एक्स− 3आप)(5एक्स− 3आप) = −1(5एक्स + 3आप)(5एक्स − 3आप) = −1((5एक्स) 2 − (3आप) 2) =
−1(25एक्स 2 − 9आप 2) = −25एक्स 2 + 9आप 2

दो व्यंजकों के अंतर को उनके योग के अधूरे वर्ग से गुणा करना

ऐसी समस्याएं हैं जिनमें दो व्यंजकों के अंतर को उनके योग के अधूरे वर्ग से गुणा करना आवश्यक है। यह टुकड़ा इस तरह दिखता है:

(ए-बी)(एक 2 + अब + बी 2)

पहला बहुपद ( ए-बी) दो भावों का अंतर है, और दूसरा बहुपद (एक 2 + अब + बी 2) इन दो भावों के योग का अपूर्ण वर्ग है।

योग का अपूर्ण वर्ग रूप का बहुपद है एक 2 + अब + बी 2 . यह योग के सामान्य वर्ग के समान है एक 2 + 2अब + बी 2

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2 व्यंजकों के योग का एक अपूर्ण वर्ग है 2 एक्सऔर 3 आप .

दरअसल, अभिव्यक्ति का पहला शब्द 4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2 , अर्थात् 4 एक्स 2 व्यंजक का वर्ग है 2 एक्स, चूंकि (2 एक्स) 2 = 4एक्स 2. व्यंजक का तीसरा पद 4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2 , अर्थात् 9 आप 2 3 . का वर्ग है आप, चूंकि (3 आप) 2 = 9आप 2. मध्य डिक 6 xy, व्यंजक 2 . का गुणनफल है एक्सऔर 3 वाई

तो चलिए अंतर को गुणा करते हैं ( ए-बी) योग के अपूर्ण वर्ग द्वारा एक 2 + अब + बी 2

(ए-बी)(एक 2 + अब + बी 2) = एक(एक 2 + एबी + बी 2) − बी(एक 2 + अब + बी 2) =
एक 3 + एक 2 बी + अब 2 − एक 2 बी − अब 2 − बी 3 = एक 3 − बी 3

यही अभिव्यक्ति है (ए-बी)(एक 2 + अब + बी 2) बराबरी एक 3 − बी 3

(ए-बी)(एक 2 + अब + बी 2) = एक 3 − बी 3

इस सर्वसमिका को दो व्यंजकों के अंतर को उनके योग के अधूरे वर्ग से गुणा करने का सूत्र कहते हैं। इस सूत्र को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है:

दो व्यंजकों के अंतर और उनके योग के अपूर्ण वर्ग का गुणनफल इन व्यंजकों के घनों के अंतर के बराबर होता है।

उदाहरण 1. गुणन करें (2एक्स − 3आप)(4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2)

पहला बहुपद (2 .) एक्स − 3आप) दो भावों का अंतर है 2 एक्सऔर 3 आप. दूसरा बहुपद 4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2 दो भावों के योग का अपूर्ण वर्ग है 2 एक्सऔर 3 आप. यह हमें लंबी गणना किए बिना सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देता है (ए-बी)(एक 2 + अब + बी 2) = एक 3 − बी 3 . हमारे मामले में, गुणा (2एक्स − 3आप)(4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2) 2 . के घनों के अंतर से बदला जा सकता है एक्सऔर 3 आप

(2एक्स − 3आप)(4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2) = (2एक्स) 3 − (3आप) 3 = 8एक्स 3 − 27आप 3

(ए-बी)(एक 2 + अब+ बी 2) = एक 3 − बी 3 . हमें वही परिणाम मिलता है, लेकिन समाधान लंबा हो जाता है:

(2एक्स − 3आप)(4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2) = 2एक्स(4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2) − 3आप(4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2) =
8एक्स 3 + 12एक्स 2 आप + 18xy 2 − 12एक्स 2 आप − 18xy 2 − 27आप 3 = 8एक्स 3 − 27आप 3

उदाहरण 2. गुणन करें (3 − एक्स)(9 + 3एक्स + एक्स 2)

पहला बहुपद (3 − एक्स) दो व्यंजकों का अंतर है, और दूसरा बहुपद इन दो व्यंजकों के योग का अधूरा वर्ग है। यह हमें सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देता है (ए-बी)(एक 2 + अब + बी 2) = एक 3 − बी 3

(3 − एक्स)(9 + 3एक्स + एक्स 2) = 3 3 − एक्स 3 = 27 − एक्स 3

दो व्यंजकों के योग को उनके अंतर के अधूरे वर्ग से गुणा करना

ऐसी समस्याएं हैं जिनमें दो अभिव्यक्तियों के योग को उनके अंतर के अपूर्ण वर्ग से गुणा करना आवश्यक है। यह टुकड़ा इस तरह दिखता है:

(ए+बी)(एक 2 − अब + बी 2)

पहला बहुपद ( ए+बी (एक 2 − अब + बी 2) इन दो भावों के अंतर का अधूरा वर्ग है।

अंतर का अधूरा वर्ग प्रपत्र का बहुपद है एक 2 − अब + बी 2 . यह सामान्य चुकता अंतर के समान है एक 2 − 2अब + बी 2 सिवाय इसके कि इसमें पहले और दूसरे भाव का गुणनफल दोगुना नहीं है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2 व्यंजकों के अंतर का एक अपूर्ण वर्ग है 2 एक्सऔर 3 वाई।

(2एक्स) 2 − 2एक्स× 3 आप + (3आप) 2 = 4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2

आइए मूल उदाहरण पर वापस जाएं। आइए योग को गुणा करें ए+बीअंतर के अधूरे वर्ग से एक 2 − अब + बी 2

(ए+बी)(एक 2 − अब + बी 2) = एक(एक 2 - एबी + बी 2) + बी(एक 2 − अब + बी 2) =
एक 3 − एक 2 बी + अब 2 + एक 2 बी − अब 2 + बी 3 = एक 3 + बी 3

यही अभिव्यक्ति है (ए+बी)(एक 2 − अब + बी 2) बराबरी एक 3 + बी 3

(ए+बी)(एक 2 − अब + बी 2) = एक 3 + बी 3

इस सर्वसमिका को दो व्यंजकों के योग को उनके अंतर के अधूरे वर्ग से गुणा करने का सूत्र कहते हैं। इस सूत्र को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है:

दो व्यंजकों के योग और उनके अंतर के अपूर्ण वर्ग का गुणनफल इन व्यंजकों के घनों के योग के बराबर होता है।

उदाहरण 1. गुणन करें (2एक्स + 3आप)(4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2)

पहला बहुपद (2 .) एक्स + 3आप) दो भावों का योग है 2 एक्सऔर 3 आप, और दूसरा बहुपद 4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2 इन भावों के अंतर का अधूरा वर्ग है। यह हमें लंबी गणना किए बिना सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देता है (ए+बी)(एक 2 − अब + बी 2) = एक 3 + बी 3 . हमारे मामले में, गुणा (2एक्स + 3आप)(4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2) घनों के योग से प्रतिस्थापित किया जा सकता है 2 एक्सऔर 3 आप

(2एक्स + 3आप)(4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2) = (2एक्स) 3 + (3आप) 3 = 8एक्स 3 + 27आप 3

आइए सूत्र का उपयोग किए बिना उसी उदाहरण को हल करने का प्रयास करें (ए+बी)(एक 2 − अब+ बी 2) = एक 3 + बी 3 . हमें वही परिणाम मिलता है, लेकिन समाधान लंबा हो जाता है:

(2एक्स + 3आप)(4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2) = 2एक्स(4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2) + 3आप(4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2) =
8एक्स 3 − 12एक्स 2 आप + 18xy 2 + 12एक्स 2 आप − 18xy 2 + 27आप 3 = 8एक्स 3 + 27आप 3

उदाहरण 2. गुणन करें (2एक्स+ आप)(4एक्स 2 − 2xy + आप 2)

पहला बहुपद (2 .) एक्स+ आप) दो व्यंजकों का योग है, और दूसरा बहुपद (4एक्स 2 − 2xy + आप 2) इन भावों के अंतर का एक अधूरा वर्ग है। यह हमें सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देता है (ए+बी)(एक 2 − अब+ बी 2) = एक 3 + बी 3

(2एक्स+ आप)(4एक्स 2 − 2xy + आप 2) = (2एक्स) 3 + आप 3 = 8एक्स 3 + आप 3

आइए सूत्र का उपयोग किए बिना उसी उदाहरण को हल करने का प्रयास करें (ए+बी)(एक 2 − अब+ बी 2) = एक 3 + बी 3 . हमें वही परिणाम मिलता है, लेकिन समाधान लंबा हो जाता है:

(2एक्स+ आप)(4एक्स 2 − 2xy + आप 2) = 2एक्स(4एक्स 2 − 2xy + आप 2) + आप(4एक्स 2 − 2xy + आप 2) =
8एक्स 3 − 4एक्स 2 आप + 2xy 2 + 4एक्स 2 आप − 2xy 2 + आप 3 = 8एक्स 3 + आप 3

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बीजीय बहुपदों को सरल बनाने के लिए, संक्षिप्त गुणन सूत्र. उनमें से बहुत सारे नहीं हैं और उन्हें याद रखना आसान है, लेकिन आपको उन्हें याद रखना होगा। सूत्रों में प्रयुक्त अंकन कोई भी रूप (संख्या या बहुपद) ले सकता है।

पहला संक्षिप्त गुणन सूत्र कहलाता है वर्गों का अंतर. यह इस तथ्य में निहित है कि एक संख्या के वर्ग से दूसरी संख्या के वर्ग को इन संख्याओं के बीच के अंतर के साथ-साथ उनके उत्पाद के बराबर घटाया जाता है।

ए 2 - बी 2 \u003d (ए - बी) (ए + बी)

आइए स्पष्टता के लिए विश्लेषण करें:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

के बारे में दूसरा सूत्र वर्गों का योग. ऐसा लगता है, दो मानों के वर्ग का योग पहले मान के वर्ग के बराबर है, पहले मान का दोहरा गुणन दूसरे से गुणा किया जाता है, दूसरे मान का वर्ग उनमें जोड़ा जाता है।

(ए + बी) 2 = ए 2 + 2एबी + बी 2

इस सूत्र के लिए धन्यवाद, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के उपयोग के बिना, बड़ी संख्या के वर्ग की गणना करना बहुत आसान हो जाता है।

तो उदाहरण के लिए: 112 का वर्ग होगा
1) शुरुआत में, हम 112 का विश्लेषण उन संख्याओं में करेंगे जिनके वर्ग हमें परिचित हैं
112 = 100 + 12
2) हम प्राप्त वर्ग को कोष्ठक में दर्ज करते हैं
112 2 = (100+12) 2
3) सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

तीसरा सूत्र है अंतर चुकता. जो कहता है कि एक दूसरे के वर्ग से घटाए गए दो मान इस तथ्य के बराबर हैं कि, पहले मान के वर्ग से, हम पहले मान के दोहरे गुणनफल को दूसरे से गुणा करते हैं, उनमें दूसरे मान का वर्ग जोड़ते हैं .

(ए + बी) 2 \u003d ए 2 - 2ab + बी 2

जहां (ए - बी) 2 बराबर (बी - ए) 2 बराबर है। इसे सिद्ध करने के लिए, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

चौथा संक्षिप्त गुणन सूत्र कहलाता है योग घन. जो लगता है: घन में मान के दो पद 1 मान के घन के बराबर हैं, 1 मान वर्ग के ट्रिपल उत्पाद को 2 मान से गुणा किया जाता है, उनमें 1 मान के ट्रिपल उत्पाद को वर्ग से गुणा किया जाता है 2 मान का, साथ ही दूसरा मान घन।

(ए + बी) 3 \u003d ए 3 + 3ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3

पांचवां, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, कहा जाता है अंतर घन. जो मूल्यों के बीच अंतर पाता है, जैसा कि क्यूब में पहले पदनाम से हम पहले पदनाम के ट्रिपल उत्पाद को दूसरे से गुणा करते हैं, पहले पदनाम के ट्रिपल उत्पाद को दूसरे पदनाम के वर्ग से गुणा करके उनमें जोड़ा जाता है , घन में दूसरा पद घटाकर।

(ए-बी) 3 \u003d ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3

छठा कहा जाता है घनों का योग. घनों का योग अंतर के अधूरे वर्ग से गुणा किए गए दो पदों के गुणनफल के बराबर होता है, क्योंकि बीच में कोई दोगुना मान नहीं होता है।

ए 3 + बी 3 \u003d (ए + बी) (ए 2 -एबी + बी 2)

दूसरे तरीके से, आप कह सकते हैं कि घनों के योग को दो कोष्ठकों में गुणनफल कहा जा सकता है।

सातवें और अंतिम को कहा जाता है घनों का अंतर(इसे डिफरेंशियल क्यूब फॉर्मूला से भ्रमित करना आसान है, लेकिन ये अलग चीजें हैं)। घनों का अंतर दो राशियों के अंतर के योग के अधूरे वर्ग से गुणा के गुणनफल के बराबर होता है, क्योंकि बीच में कोई दोगुना मूल्य नहीं होता है।

ए 3 - बी 3 \u003d (ए-बी) (ए 2 + एबी + बी 2)

और इसलिए संक्षिप्त गुणन के लिए केवल 7 सूत्र हैं, वे एक दूसरे के समान हैं और याद रखने में आसान हैं, केवल एक चीज संकेतों में भ्रमित नहीं होना है। उन्हें उल्टे क्रम में उपयोग करने के लिए भी डिज़ाइन किया गया है और पाठ्यपुस्तकों में ऐसे कुछ कार्य एकत्र किए गए हैं। सावधान रहें और आप सफल होंगे।

यदि आपके पास सूत्रों के बारे में कोई प्रश्न हैं, तो उन्हें टिप्पणियों में लिखना सुनिश्चित करें। हमें आपको जवाब देने में खुशी होगी!

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