वर्ग और विभिन्न आंकड़ों की मात्रा। क्यूबिक मीटर में वॉल्यूम कैसे खोजें

किसी भी ज्यामितीय शरीर को सतह और मात्रा (v) के एक क्षेत्र (ओं) द्वारा विशेषता दी जा सकती है। क्षेत्र और मात्रा बिल्कुल वही नहीं है। ऑब्जेक्ट में अपेक्षाकृत छोटा वी और ग्रेटर एस हो सकता है, उदाहरण के लिए, मानव मस्तिष्क को इतना व्यवस्थित किया जाता है। सरल ज्यामितीय आंकड़ों के लिए इन संकेतकों की गणना करना बहुत आसान है।

ALPPIPED: परिभाषा, प्रकार और गुण

समानांतर एक चतुर्भुज प्रिज्म है, जिसके आधार पर समांतरोग्राम स्थित है। आकृति की मात्रा को खोजने के लिए सूत्र द्वारा क्या आवश्यक हो सकता है? इसी तरह के आकार में किताबें, पैकेजिंग बक्से और रोजमर्रा की जिंदगी से कई और चीजें हैं। आवासीय और कार्यालय के घरों में कमरे आमतौर पर आयताकार समानांतर होते हैं। वेंटिलेशन, एयर कंडीशनर और कमरे में हीटिंग तत्वों की संख्या के निर्धारण को स्थापित करने के लिए कमरे की मात्रा की गणना करना आवश्यक है।

6 चेहरे की आकृति - समांतरोग्राम और 12 पसलियों, दो मनमाने ढंग से चयनित चेहरे मैदानों को बुलाते हैं। समानांतर कई प्रकार हो सकते हैं। आस-पास के पसलियों के बीच कोनों के कारण अंतर होता है। विभिन्न बहुभुज के वी-एस खोजने के लिए सूत्र थोड़ा अलग हैं।

यदि ज्यामितीय आकार के 6 चेहरे आयताकार हैं, तो इसे आयताकार भी कहा जाता है। घन समानांतर के एक विशेष मामला है, जिसमें सभी 6 चेहरे बराबर वर्ग हैं। इस मामले में, वी खोजने के लिए, आपको केवल एक हाथ की लंबाई खोजने और इसे तीसरी डिग्री में बनाने की आवश्यकता है।

समस्याओं को हल करने के लिए, आपको न केवल तैयार किए गए सूत्रों, बल्कि आकृति के गुणों के ज्ञान की आवश्यकता होगी। आयताकार प्रिज्म के मुख्य गुणों की सूची समझने के लिए छोटी और बहुत ही सरल है:

आकार के विपरीत चेहरे बराबर और समानांतर होते हैं। इसका मतलब है कि पसलियां लंबाई और झुकाव के कोण के विपरीत स्थित हैं।
प्रत्यक्ष समानांतर के सभी पक्षों के चेहरे आयताकार हैं।
ज्यामितीय आकार के चार मुख्य विकर्ण एक बिंदु में छेड़छाड़ करते हैं, और वे आधे में होंगे।
समानांतर के विकर्ण का वर्ग आकृति के आंकड़े के वर्गों के बराबर है (पाइथगोर प्रमेय से निम्नानुसार)।

पाइथागोरस प्रमेय यह बताता है कि आयताकार त्रिभुज की लागत पर बनाए गए वर्गों के वर्गों का योग त्रिभुज के क्षेत्र के बराबर है, जो एक ही त्रिभुज के हाइपोटनेनस पर बनाया गया है।

अंतिम संपत्ति का सबूत नीचे दी गई छवि में अलग किया जा सकता है। कार्य को हल करने का कोर्स सरल है और विस्तृत स्पष्टीकरण की आवश्यकता नहीं है।

आयताकार समानांतर के वॉल्यूम फॉर्मूला

ज्यामितीय आकार के सभी प्रकार के लिए सूत्र एक है: वी \u003d एस * एच, जहां वी- वांछित मात्रा है, एस समानांतरपिपिपेड का आधार क्षेत्र है, एच ऊंचाई है, विपरीत वर्टेक्स से कम और लंबवत है आधार। आयताकार एच में आकृति के एक तरफ के साथ मेल खाता है, इसलिए आयताकार प्रिज्म की मात्रा को खोजने के लिए, तीन आयामों को गुणा करना आवश्यक है।

वॉल्यूम को सीएम 3 में एक्सप्रेस करने के लिए स्वीकार किया जाता है। सभी तीन मूल्यों को जानना, बी और सी आंकड़े की मात्रा को ढूंढना मुश्किल नहीं है। उपयोग में सबसे आम कार्य प्रकार लंबन की मात्रा या विकर्ण की खोज है। आयताकार की मात्रा के सूत्र के बिना ईजीई के कई सामान्य कार्यों को हल करने के लिए - यह असंभव है। किसी कार्य और उसके समाधान के निष्पादन का एक उदाहरण नीचे दिए गए आंकड़े में दिखाया गया है।

नोट 1।। आयताकार प्रिज्म का सतह क्षेत्र पाया जा सकता है यदि आकृति के तीन चेहरों के 2 रकम से गुणा किया गया है: आधार (एबी) और दो आसन्न पक्ष चेहरे (बीसी + एसी)।

नोट 2।। पक्ष के चेहरे के सतह क्षेत्र को समानांतर की ऊंचाई तक आधार के परिधि को गुणा करना आसान है।

समानांतर एबी \u003d ए 1 बी 1 की पहली संपत्ति के आधार पर, और बी 1 डी 1 \u003d बीडी चेहरा। पाइथागोरी प्रमेय के परिणामों के मुताबिक, आयताकार त्रिभुज में सभी कोणों का योग 180 डिग्री है, और कैटैट, जो 30 डिग्री के कोण के खिलाफ बहती है, हाइपोटेन्यूज के बराबर है। एक त्रिभुज के लिए ज्ञान के ज्ञान को लागू करना, आप आसानी से एबी और विज्ञापन की लंबाई पा सकते हैं। फिर मैं प्राप्त मूल्यों को चालू करता हूं और समांतरपाल की मात्रा की गणना करता हूं।

समानांतर की मात्रा को खोजने के लिए फॉर्मूला समानांतर

इच्छुक समानांतर की मात्रा को खोजने के लिए, आकृति के आधार को ऊंचाई तक गुणा करना आवश्यक है, इस आधार पर विपरीत कोने से कम किया गया है।

इस प्रकार, वांछित वी को एच के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है - एक क्षेत्र के आधार के साथ चादरों की संख्या, इसलिए डेक की मात्रा सभी कार्डों के वी-आरएस से बना है।

समस्याओं को हल करने के उदाहरण

एकीकृत परीक्षा के कार्य एक निश्चित समय के दौरान पूरा किए जाने चाहिए। एक नियम के रूप में विशिष्ट कार्यों में बड़ी संख्या में गणना और जटिल अंश शामिल नहीं होते हैं। अक्सर स्कूलबॉय सुझाव देता है कि अनियमित ज्यामितीय आकार की मात्रा कैसे प्राप्त करें। ऐसे मामलों में, एक साधारण नियम को याद किया जाना चाहिए कि कुल मात्रा वी-ओपी घटकों की मात्रा के बराबर है।

जैसा कि ऊपर की छवि में उदाहरण से देखा जा सकता है, ऐसे कार्यों को हल करने में कुछ भी मुश्किल नहीं है। अधिक जटिल वर्गों के कार्यों में पाइथागोरियन प्रमेय और इसके परिणामों के साथ-साथ आकृति के विकर्ण के लंबाई सूत्र शामिल हैं। परीक्षणों के कार्यों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, यह सामान्य कार्यों के नमूने के साथ पहले से ही पर्याप्त होगा।

मीटर में सभी आवश्यक दूरी को मापें। संबंधित सूत्रों के अनुसार कई त्रि-आयामी आंकड़ों की मात्रा की गणना करना आसान है। हालांकि, सूत्रों में प्रतिस्थापित सभी मान मीटर में मापा जाना चाहिए। इस प्रकार, सूत्र में मूल्यों को प्रतिस्थापित करने से पहले, सुनिश्चित करें कि वे सभी मीटर में मापे गए हैं, या आपने माप की अन्य इकाइयों को मीटर में परिवर्तित कर दिया है।

1 मिमी \u003d 0.001 मीटर
1 सेमी \u003d 0.01 मीटर
1 किमी \u003d 1000 मीटर

आयताकार आंकड़ों की मात्रा की गणना करने के लिए (आयताकार समानांतर, घन), सूत्र का उपयोग करें: वॉल्यूम \u003d एल × डब्ल्यू × एच (ऊंचाई से गुणा करने के लिए एक चौड़ाई गुणा करें)। इस सूत्र को किनारे पर आकृति के चेहरे के सतह क्षेत्र के एक उत्पाद के रूप में देखा जा सकता है, इस चेहरे के लंबवत।

उदाहरण के लिए, हम कमरे की मात्रा की गणना 4 मीटर, 3 मीटर चौड़ी और 2.5 मीटर की ऊंचाई के साथ की गणना करते हैं। इसके लिए, लंबाई को गुणा करें चौड़ाई और ऊंचाई है:
- 4 × 3 × 2.5
- \u003d 12 × 2.5
- \u003d 30. इस कमरे की मात्रा बराबर है 30 मीटर 3।.
क्यूब एक थोक आकृति है, जिसमें सभी पार्टियां बराबर होती हैं। इस प्रकार, घन की मात्रा की गणना के लिए सूत्र फॉर्म में लिखा जा सकता है: वॉल्यूम \u003d एल 3 (या डब्ल्यू 3, या एच 3)।

एक सिलेंडर के रूप में आकार के दायरे की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें: पी × आर 2 × एच। सिलेंडर वॉल्यूम की गणना गोल आधार के क्षेत्र के गुणा को सिलेंडर की ऊंचाई (या लंबाई) तक कम कर दी जाती है। गोल मैदान क्षेत्र का पता लगाएं, सर्कल (आर) के त्रिज्या के वर्ग पर संख्या पीआई (3.14) गुणा करें (त्रिज्या इस सर्कल पर झूठ बोलने वाले किसी भी बिंदु पर सर्कल के केंद्र से दूरी है)। फिर परिणामस्वरूप परिणाम सिलेंडर (एच) की ऊंचाई पर गुणा करें, और आपको सिलेंडर की मात्रा मिल जाएगी। सभी मान मीटर में मापा जाता है।

उदाहरण के लिए, हम 1.5 मीटर के व्यास और 10 मीटर की गहराई के साथ कुएं की मात्रा की गणना करते हैं। एक त्रिज्या प्राप्त करने के लिए व्यास को 2 पर विभाजित करें: 1.5 / 2 \u003d 0.75 मीटर।
- (3.14) × 0,75 2 × 10
- \u003d (3,14) × 0,5625 × 10
- \u003d 17.66। कुएं की मात्रा बराबर है 17.66 मीटर 3।.

गेंद की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करें: 4/3 x पी × आर 3। यही है, आपको गेंद के केवल त्रिज्या (आर) जानने की जरूरत है।

उदाहरण के लिए, हम 10 मीटर के व्यास के साथ गुब्बारे के आकार की गणना करते हैं। एक त्रिज्या प्राप्त करने के लिए व्यास को 2 में विभाजित करें: 10/2 \u003d 5 मीटर।
- 4/3 x pi × (5) 3
- \u003d 4/3 x (3,14) × 125
- \u003d 4,189 × 125
- \u003d 523.6। गुब्बारा की मात्रा बराबर है 523.6 मीटर 3।.

शंकु के रूप में आंकड़ों की मात्रा की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें: 1/3 एच। पी × आर 2 × एच। शंकु की मात्रा सिलेंडर मात्रा का 1/3 है, जिसमें एक ही ऊंचाई और त्रिज्या है।

उदाहरण के लिए, हम 3 सेमी की त्रिज्या और 15 सेमी की ऊंचाई के साथ आइसक्रीम शंकु की मात्रा की गणना करते हैं। मीटर में कनवर्ट करना, हम क्रमशः 0.03 मीटर और 0.15 मीटर प्राप्त करते हैं।
- 1/3 x (3.14) × 0.03 2 × 0.15
- \u003d 1/3 x (3.14) × 0.0009 × 0.15
- \u003d 1/3 × 0.0004239
- \u003d 0.000141। आइसक्रीम शंकु की मात्रा बराबर है 0.000141 मीटर 3।.

गलत आकार के आंकड़ों के दायरे की गणना करने के लिए, कई सूत्रों का उपयोग करें। ऐसा करने के लिए, आकृति को सही रूप के कई आंकड़ों में विभाजित करने का प्रयास करें। फिर प्रत्येक ऐसे आकार की मात्रा पाएं और प्राप्त परिणामों को फोल्ड करें।

उदाहरण के लिए, हम छोटे granaries की मात्रा की गणना करते हैं। भंडार में 12 मीटर की ऊंचाई और 1.5 मीटर की त्रिज्या के साथ एक बेलनाकार शरीर होता है। भंडारण में 1 मीटर ऊंचा की एक शंकु छत भी होती है। छत के आकार की गणना और मामले की मात्रा को अलग करने के लिए, हम कुल पा सकते हैं Granaries की मात्रा:
- पीआई × आर 2 × एच + 1/3 एक्स पीआई × आर 2 × एच
- (3.14) × 1.5 2 × 12 + 1/3 x (3,14) × 1.5 2 × 1
- \u003d (3.14) × 2.25 × 12 + 1/3 x (3,14) × 2.25 × 1
- \u003d (3.14) × 27 + 1/3 x (3,14) × 2,25
- = 84,822 + 2,356
- \u003d 87,178। Granaries की मात्रा बराबर है 87.178 मीटर 3।.

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और प्राचीन मिस्र के लोगों ने हमारे तरीकों के समान विभिन्न आंकड़ों के वर्गों की गणना के तरीकों का उपयोग किया।

उनकी किताबों में "शुरुआत" प्रसिद्ध प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिडा ने कई ज्यामितीय आकारों के क्षेत्रों की गणना करने के लिए पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में तरीकों का वर्णन किया। रूस में पहली पांडुलिपियों, जिसमें ज्यामितीय जानकारी है, $ XVI $ शताब्दी में लिखी गई थी। वे विभिन्न रूपों के आंकड़ों के वर्गों को खोजने के नियमों का वर्णन करते हैं।

आज, आधुनिक तरीकों की मदद से, आप बड़ी सटीकता के साथ किसी भी आंकड़े का एक क्षेत्र पा सकते हैं।

सबसे सरल आंकड़ों में से एक पर विचार करें - एक आयताकार - और इसके क्षेत्र को खोजने का सूत्र।

आयताकार के वर्ग का सूत्र

आंकड़े पर विचार करें (चित्र 1), जिसमें $ 1 $ सेमी की पार्टियों के साथ $ 8 $ वर्ग शामिल हैं। $ 1 $ सेमी के किनारे एक वर्ग के क्षेत्र को सेंटीमीटर वर्ग कहा जाता है और $ 1 रिकॉर्ड किया जाता है सेमी ^ $ 2।

इस आंकड़े का क्षेत्र (चित्र 1) $ 8 \\ cm ^ $ 2 होगा।

आंकड़े का क्षेत्र, जिसे $ 1 \\ cm $ (उदाहरण के लिए, $ पी $) के साथ कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, $ पी $) $ पी \\ cm ^ 2 $ के बराबर होगा।

दूसरे शब्दों में, आकृति का आंकड़ा इतना $ सेमी ^ $ 2 होगा, $ 1 \\ cm $ के साथ कितने वर्ग इस आंकड़े को तोड़ दिया जा सकता है।

एक आयताकार (चित्र 2) पर विचार करें, जिसमें $ 3 $ स्ट्रिप्स होते हैं, जिनमें से प्रत्येक $ 1 \\ cm $ के साथ $ 5 $ वर्गों से टूट जाता है। पूरे आयताकार में $ 5 \\ cdot 3 \u003d 15 $ ऐसे वर्ग होते हैं, और इसका क्षेत्र $ 15 \\ cm ^ $ 2 है।

चित्र 1।

चित्र 2।

आंकड़े का वर्ग $ $ $ पत्र को चिह्नित करने के लिए प्रथागत है।

आयताकार के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको इसे चौड़ाई तक गुणा करने की आवश्यकता है।

यदि आप $ $ a की लंबाई पत्र निर्दिष्ट करते हैं, और पत्र $ b $ चौड़ाई है, तो आयताकार क्षेत्र का सूत्र देखेंगे:

परिभाषा 1।

आंकड़े कहते हैं बराबरी का यदि आप उन्हें किसी अन्य आंकड़े पर एक को एम्बेड करते हैं। समान आकार के बराबर क्षेत्र और समान परिधि होती है।

आकृति क्षेत्र को इसके हिस्सों की मात्रा के रूप में पाया जा सकता है।

उदाहरण 1।

उदाहरण के लिए, चित्रा $ 3 $ में, $ एबीसीडी $ आयताकार $ केएलएमएन $ लाइन के दो हिस्सों में बांटा गया है। एक भाग का क्षेत्र $ 12 \\ cm ^ 2 $ है, और दूसरा $ 9 \\ cm ^ $ 2 है। फिर आयताकार $ एबीसीडी $ का क्षेत्र $ 12 \\ cm ^ 2 + 9 \\ cm ^ 2 \u003d 21 \\ cm ^ 2 $ होगा। सूत्र द्वारा एक आयताकार क्षेत्र खोजें:

जैसा कि हम देखते हैं, दोनों तरीकों से पाया गया क्षेत्र बराबर है।

चित्र तीन।

चित्रा 4।

कट $ एसी $ एक आयताकार को दो बराबर त्रिकोणों में विभाजित करता है: $ एबीसी $ और $ एडीसी $। इसका मतलब है कि प्रत्येक त्रिकोण का क्षेत्र पूरे आयत के आधे क्षेत्र के बराबर है।

परिभाषा 2।

समान पार्टियों के साथ आयत कहा जाता है वर्ग.

यदि आप $ $ A $ के वर्ग के पक्ष को नामित करते हैं, तो वर्ग क्षेत्र सूत्र में होगा:

इसलिए संख्या $ A $ के वर्ग का नाम।

उदाहरण 2।

उदाहरण के लिए, यदि वर्ग के किनारे $ 5 $ सेमी हैं, तो इसका क्षेत्र:

संस्करणों

प्राचीन सभ्यताओं के दिनों के दौरान व्यापार और निर्माण के विकास के साथ, वॉल्यूम खोजने की आवश्यकता थी। गणित में, ज्यामिति का एक वर्ग है, जो स्थानिक आंकड़ों के अध्ययन में लगी हुई है, जिसे स्टीरियोमीटर कहा जाता है। गणित की एक अलग दिशा में इसके बारे में उल्लेख पहले से ही $ IV $ सेंचुरी ईसा पूर्व में मिले हैं।

प्राचीन गणितज्ञों ने साधारण आंकड़ों की मात्रा की गणना के लिए एक विधि को विस्थापित किया - घन और समानांतर। उन समय की सभी संरचनाएं इतनी रूप थीं। लेकिन भविष्य में, अधिक जटिल रूपों के आंकड़ों की मात्रा की गणना करने के तरीके पाए गए।

आयताकार parallelelepipeda की मात्रा

यदि आप मोल्ड को गीली रेत से भरते हैं और फिर फ्लिप करते हैं, तो हमें एक थोक आकृति मिलती है जो मात्रा द्वारा विशेषता है। यदि आप इस तरह के आंकड़े एक ही मोल्ड के साथ कुछ हद तक बनाते हैं, तो आंकड़े जिनमें समान मात्रा होती है। यदि पानी के मोल्ड से भरा हुआ है, तो पानी की मात्रा और रेत के आकार की मात्रा भी बराबर होगी।

चित्रा 5।

दो जहाजों की मात्रा की तुलना करें एक पानी से भरा जा सकता है और इसे दूसरे पोत में बहता जा सकता है। यदि दूसरा जहाज पूरी तरह से भरा हुआ है, तो जहाजों के बराबर मात्रा होती है। यदि पहले पानी में एक ही समय में रहेगा, तो पहले पोत की मात्रा दूसरी मात्रा से अधिक है। यदि, पहले पोत से पानी बहने पर, दूसरे जहाज को पूरी तरह से भरना संभव नहीं है, जिसका अर्थ है कि पहले जहाज की मात्रा दूसरे की मात्रा से कम है।

वॉल्यूम को निम्नलिखित इकाइयों का उपयोग करके मापा जाता है:

$ mm ^ $ 3 - मिलीमीटर क्यूबिक,

$ सेमी ^ $ 3 - घन सेंटीमीटर,

$ DM ^ 3 $ - घन decimeter,

$ m ^ $ 3 - घन मीटर,

$ km ^ $ 3 - किलोमीटर घन।