Ebben a leckében folytatjuk a függvények deriváltjainak tanulmányozását, és továbblépünk egy fejlettebb témára, nevezetesen a szorzatok és hányadosok származékaira. Ha megnézte az előző leckét, valószínűleg rájött, hogy csak a legegyszerűbb konstrukciókat vettük figyelembe, nevezetesen a hatványfüggvény deriváltját, az összeget és a különbséget. Különösen azt tanultuk meg, hogy egy összeg származéka egyenlő az összegükkel, a különbség deriváltja pedig egyenlő a különbségükkel. Sajnos a hányados és a szorzati származékok esetében a képletek sokkal bonyolultabbak lesznek. Kezdjük a függvények szorzatának derivált képletével.
Trigonometrikus függvények származékai
Kezdésként hadd tegyek egy kis lírai kitérőt. A helyzet az, hogy a szokásos hatványfüggvényen - $y=((x)^(n))$ - ebben a leckében más függvényekkel is találkozunk, nevezetesen: $y=\sin x$, valamint $ y=\ cos x$ és egyéb trigonometria - $y=tgx$ és természetesen $y=ctgx$.
Ha mindannyian tökéletesen ismerjük egy hatványfüggvény deriváltját, nevezetesen $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, akkor trigonometrikus függvények , külön meg kell említeni. Írjuk fel:
\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
De te nagyon jól ismered ezeket a képleteket, menjünk tovább.
Mi a termék származéka?
Először is a legfontosabb dolog: ha egy függvény két másik függvény szorzata, például $f\cdot g$, akkor ennek a konstrukciónak a deriváltja a következő kifejezéssel lesz egyenlő:
Amint láthatja, ez a képlet jelentősen eltér és összetettebb, mint a korábban vizsgált képletek. Például egy összeg deriváltját elemi módon számítjuk ki - $((\left(f+g \right))^(\prím ))=(f)"+(g)"$, vagy a deriváltja különbség, amit szintén elemi módon számítunk ki - $(( \left(f-g \right)))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.
Próbáljuk meg az első képlet alkalmazásával kiszámítani a feladatban megadott két függvény deriváltját. Kezdjük az első példával:
Nyilvánvalóan a következő konstrukció szorzatként, pontosabban szorzóként működik: $((x)^(3))$, ezt tekinthetjük $f$-nak, és $\left(x-5 \right) $-nak tekinthetjük $g$-nak. Ekkor a termékük pontosan két függvény szorzata lesz. Mi döntünk:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(() (x)^(3)) \jobbra))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) jobb))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].
Most pedig nézzük meg közelebbről mindegyik kifejezésünket. Látjuk, hogy az első és a második tag is tartalmazza a $x$ fokozatot: az első esetben $((x)^(2))$, a másodikban pedig $((x)^(3)) $. Vegyük ki a legkisebb fokozatot a zárójelből, és hagyjuk zárójelben:
\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(igazítás)\]
Ennyi, megtaláltuk a választ.
Térjünk vissza a problémáinkhoz, és próbáljuk meg megoldani:
Tehát írjuk át:
Ismét megjegyezzük, hogy két függvény szorzatáról beszélünk: $x$, amit $f$-al jelölhetünk, és $\left(\sqrt(x)-1 \right)$ $g$-val kell jelölni.
Így ismét két függvény szorzata áll előttünk. A $f\left(x \right)$ függvény deriváltjának megtalálásához ismét a képletünket használjuk. Kapunk:
\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x)) -1 \jobbra))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(igazítás)\]
A válasz megvan.
Miért faktorszármazékok?
Az imént több nagyon fontos matematikai tényt használtunk fel, amelyek önmagukban nem kapcsolódnak származékokhoz, de ismereteik nélkül ennek a témakörnek minden további tanulmányozása egyszerűen értelmetlen.
Először is, megoldva a legelső feladatot, és már megszabadultunk a származékok minden jelétől, valamiért elkezdtük ezt a kifejezést figyelembe venni.
Másodszor, a következő feladat megoldása során többször átmentünk a gyökérről a hatványra racionális kitevővel és vissza, miközben a 8-9. osztályos képletet használjuk, amit külön érdemes lenne megismételni.
Ami a faktorizációt illeti – miért van szükség ezekre a további erőfeszítésekre és átalakításokra? Valójában, ha a probléma egyszerűen azt mondja, hogy „keresse meg egy függvény deriváltját”, akkor ezekre a további lépésekre nincs szükség. Valós problémák esetén azonban, amelyek mindenféle vizsgán és teszten várnak rád, gyakran nem elég a származék megtalálása. Az a helyzet, hogy a derivált csak egy eszköz, amellyel megtudhatja például egy függvény növekedését vagy csökkenését, ehhez pedig meg kell oldania az egyenletet és faktoroznia kell. És itt lesz ez a technika nagyon megfelelő. És általában sokkal kényelmesebb és kellemesebb a jövőben faktorizált függvényekkel dolgozni, ha bármilyen átalakításra van szükség. Ezért az 1. szabály: ha a derivált faktorizálható, akkor ezt kell tennie. És azonnal a 2. szabály (lényegében ez a 8-9. osztályos anyag): ha a feladat gyökér n-edik fok, és a gyök egyértelműen nagyobb, mint kettő, akkor ez a gyök helyettesíthető egy racionális kitevővel rendelkező közönséges fokkal, és a kitevőben egy tört jelenik meg, ahol n― éppen ez a fok ― ennek a törtnek a nevezője lesz.
Természetesen, ha a gyökér alatt van valamilyen fokozat (esetünkben ez a fokozat k), akkor nem megy sehova, hanem egyszerűen ennek a fokozatnak a számlálójába kerül.
Most, hogy mindezt megértette, térjünk vissza a szorzat deriváltjaihoz, és számítsunk ki még néhány egyenletet.
Mielőtt azonban közvetlenül a számításokra térnék, szeretném emlékeztetni a következő mintákat:
\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Nézzük az első példát:
Ismét két függvény szorzata van: az első a $f$, a második a $g$. Hadd emlékeztessem a képletre:
\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]
Döntsük el:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \jobbra))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]
Térjünk át a második függvényre:
A $\left(3x-2 \right)$ a $f$ függvénye, a $\cos x$ pedig a $g$ függvénye. Összességében két függvény szorzatának deriváltja egyenlő lesz:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]
Írjuk le külön:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x) )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]
Ezt a kifejezést nem faktorizáljuk, mert ez még nem a végső válasz. Most a második részt kell megoldanunk. Írjuk ki:
\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]
Most térjünk vissza eredeti feladatunkhoz, és állítsunk össze mindent egyetlen szerkezetbe:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]
Ennyi, ez a végső válasz.
Térjünk át az utolsó példára - ez lesz a legbonyolultabb és a számítások szempontjából a legterjedelmesebb. Szóval egy példa:
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right)))^(\prime ) )\]
Minden részt külön-külön számolunk:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \jobbra))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Visszatérve az eredeti függvényhez, számítsuk ki annak deriváltját mint egészet:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(igazítás)\]
Valójában csak ennyit szerettem volna elmondani a származékos művekről. Mint látható, a képlet fő problémája nem a memorizálásban van, hanem abban, hogy meglehetősen nagy mennyiségű számítást igényel. De ez rendben van, mert most áttérünk a hányados deriváltra, ahol nagyon keményen kell dolgoznunk.
Mi a hányados deriváltja?
Tehát a hányados deriváltjának képlete. Talán ez a legbonyolultabb képlet a származékokkal foglalkozó iskolai kurzusban. Tegyük fel, hogy van egy $\frac(f)(g)$ alakú függvényünk, ahol $f$ és $g$ is olyan függvény, amelyből a prímet is eltávolíthatjuk. Ezután a következő képlet szerint számítják ki:
A számláló némileg a szorzat származékának képletére emlékeztet, de a tagok között van egy mínuszjel, és az eredeti nevező négyzete is hozzáadásra került a nevezőhöz. Lássuk, hogyan működik ez a gyakorlatban:
Próbáljuk meg megoldani:
\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \jobbra))^(\prime ))=\frac(((\left) (((x)^(2))-1 \jobb )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]
Azt javaslom, hogy írjon ki minden részt külön-külön, és írja le:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \jobbra))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ jobb))^(\prímszám ))-(1)"=2x \\& ((\bal(x+2 \jobb))^(\prím ))=(x)"+(2)"=1 \ \\vége(igazítás)\]
Írjuk át a kifejezésünket:
\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \jobbra)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2))) \\\end(igazítás)\]
Megtaláltuk a választ. Térjünk át a második függvényre:
Abból a tényből ítélve, hogy a számlálója egyszerűen egy, a számítások itt egy kicsit egyszerűbbek lesznek. Szóval, írjuk:
\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \jobbra))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \jobbra)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \jobbra))^(\prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \jobbra))^(2)))\]
Számítsuk ki a példa minden részét külön-külön:
\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \jobbra))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \jobbra))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(igazítás)\]
Írjuk át a kifejezésünket:
\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2)) )+4 \jobbra))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \jobbra))^(2)))\]
Megtaláltuk a választ. Ahogy az várható volt, a számítási mennyiség lényegesen kisebbnek bizonyult, mint az első függvénynél.
Mi a különbség a megnevezések között?
A figyelmes tanulóknak valószínűleg már felmerül a kérdés: miért jelöljük bizonyos esetekben a függvényt $f\left(x \right)$-ként, más esetekben pedig egyszerűen $y$-t? Valójában a matematika szempontjából nincs különbség - Önnek joga van mind az első, mind a második megjelölést használni, és nem jár szankció a vizsgákon vagy a teszteken. Akit még érdekel, annak elmagyarázom, miért írnak a tankönyvek és feladatok szerzői egyes esetekben $f\left(x \right)$, máskor (sokkal gyakrabban) pedig egyszerűen $y$-t. Az a helyzet, hogy egy függvény \ alakú írásával implicit módon utalunk a számításainkat olvasóknak arra, hogy kifejezetten a funkcionális függés algebrai értelmezéséről beszélünk. Vagyis van egy bizonyos $x$ változó, ennek a változónak a függőségét tekintjük és $f\left(x \right)$ jelöljük. Ugyanakkor egy ilyen megjelölés láttán az, aki elolvassa a számításait, például az ellenőr, tudat alatt arra számít, hogy a jövőben csak algebrai transzformációk várnak rá - grafikonok és geometria nélkül.
Másrészt a \ alakú jelölésekkel, azaz egy változót egyetlen betűvel jelölve azonnal világossá tesszük, hogy a jövőben a függvény geometriai értelmezése érdekel bennünket, azaz elsősorban a függvény geometriai értelmezése érdekel bennünket. mind a grafikonján. Ennek megfelelően, ha az olvasó szembesül a forma rögzítésével\, joga van grafikus számításokat, azaz grafikonokat, konstrukciókat stb. várni, de semmi esetre sem analitikus átalakítást.
Szeretném felhívni a figyelmet a feladatok tervezésének egy sajátosságára is, amelyet ma mérlegelünk. Sok diák úgy gondolja, hogy túl részletes számításokat adok, és sok közülük kihagyható vagy egyszerűen fejben megoldható. Pontosan egy ilyen részletes nyilvántartás azonban lehetővé teszi, hogy megszabaduljon a sértő hibáktól, és jelentősen növelje a helyesen megoldott problémák százalékos arányát, például a tesztekre vagy vizsgákra való önálló felkészülés esetén. Ezért, ha még mindig nem biztos a képességeiben, ha csak most kezdi tanulmányozni ezt a témát, ne rohanjon - írjon le minden lépést részletesen, írjon le minden tényezőt, minden ütést, és hamarosan megtanulja jobban megoldani az ilyen példákat. mint sok iskolai tanár. Remélem ez egyértelmű. Számoljunk még néhány példát.
Több érdekes feladat
Ezúttal, mint látjuk, a trigonometria jelen van a számított deriváltokban. Ezért hadd emlékeztessem önöket a következőkre:
\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(igazítás )\]
Természetesen nem nélkülözhetjük a hányados deriváltját, nevezetesen:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Tekintsük az első függvényt:
\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \jobbra))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \jobbra))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\vége(igazítás)\]
Találtunk tehát megoldást erre a kifejezésre.
Térjünk át a második példára:
Nyilvánvalóan a deriváltja bonyolultabb lesz, már csak azért is, mert a trigonometria jelen van ennek a függvénynek a számlálójában és nevezőjében is. Mi döntünk:
\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]
Vegye figyelembe, hogy van a termék származéka. Ebben az esetben egyenlő lesz:
\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \) jobb))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]
Térjünk vissza számításainkhoz. Leírjuk:
\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \jobbra))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos) )^(2))x) \\\end(igazítás)\]
Ez minden! Kiszámoltuk.
Hogyan lehet egy hányados deriváltját egy szorzat deriváltjának egyszerű képletére csökkenteni?
És itt szeretnék egy nagyon fontos megjegyzést tenni a trigonometrikus függvényekkel kapcsolatban. Az a helyzet, hogy eredeti konstrukciónk egy $\frac(\sin x)(\cos x)$ formájú kifejezést tartalmaz, amely egyszerűen helyettesíthető a $tgx$-val. Így a hányados deriváltját egy szorzat deriváltjának egyszerűbb képletére redukáljuk. Számítsuk ki újra ezt a példát, és hasonlítsuk össze az eredményeket.
Tehát most a következőket kell figyelembe vennünk:
\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Írjuk át az eredeti $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ függvényünket ennek figyelembevételével. Kapunk:
Számoljunk:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(igazítás) \]
Ha most összehasonlítjuk a kapott eredményt azzal, amit korábban, más módon történő számításnál kaptunk, akkor meggyőződünk arról, hogy ugyanazt a kifejezést kaptuk. Így akármelyik irányba is megyünk a derivált számításakor, ha mindent helyesen számolunk, akkor a válasz ugyanaz lesz.
Fontos árnyalatok a problémák megoldása során
Befejezésül még egy finomságot szeretnék elmondani a hányados deriváltjának kiszámításával kapcsolatban. Amit most elmondok, nem szerepelt a videolecke eredeti forgatókönyvében. Viszont a forgatás előtt pár órával az egyik tanítványommal tanultam, és éppen a hányados-derivatívák témáját vitattuk meg. És mint kiderült, sok diák nem érti ezt a pontot. Tegyük fel, hogy ki kell számítanunk a következő függvény eltávolítási löketét:
Elvileg első ránézésre nincs benne semmi természetfeletti. A számítási folyamat során azonban sok ostoba és sértő hibát követhetünk el, amiről most szeretnék beszélni.
Tehát kiszámítjuk ezt a deriváltot. Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy van a $3((x)^(2))$ kifejezésünk, ezért célszerű felidézni a következő képletet:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Ezen kívül van még a $\frac(48)(x)$ kifejezés - a hányados deriváltján keresztül fogunk vele foglalkozni, nevezetesen:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Szóval, döntsük el:
\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3(x)^(2)) \jobbra)) ^(\prime ))+10(0)"\]
Az első kifejezéssel nincs probléma, lásd:
\[((\left(3((x)^(2)) \jobbra))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \jobbra))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]
De az első taggal, a $\frac(48)(x)$, külön kell dolgozni. A helyzet az, hogy sok diák összekeveri a helyzetet, amikor meg kell találnia a $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$-t, és amikor meg kell találnia a $((\left (\frac (48)(x) \jobbra))^(\prime ))$. Ez azt jelenti, hogy összezavarodnak, amikor az állandó a nevezőben, és amikor a konstans a számlálóban van, ha a változó a számlálóban vagy a nevezőben van.
Kezdjük az első opcióval:
\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]
Másrészt, ha megpróbáljuk ugyanezt megtenni a második törttel, akkor a következőket kapjuk:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(igazítás)\]
Ugyanezt a példát azonban másképp is ki lehet számítani: abban a szakaszban, ahol átmentünk a hányados deriváltjára, a $\frac(1)(x)$-t tekinthetjük negatív kitevős hatványnak, azaz a következőt kapjuk :
\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-) 1)) \jobbra))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(igazítás)\]
És így, és így ugyanazt a választ kaptuk.
Így ismét két fontos tényről győződünk meg. Először is, ugyanaz a származék teljesen különböző módon számítható ki. Például a $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ egy hányados deriváltjának és egy hatványfüggvény deriváltjának is tekinthető. Sőt, ha minden számítást helyesen hajtanak végre, akkor a válasz mindig ugyanaz lesz. Másodszor, amikor változót és állandót is tartalmazó derivált számítunk, alapvetően fontos, hogy a változó hol található - a számlálóban vagy a nevezőben. Az első esetben, amikor a változó a számlálóban van, egy egyszerű lineáris függvényt kapunk, amely könnyen kiszámítható. Ha pedig a változó a nevezőben van, akkor a korábban megadott kísérő számításokkal összetettebb kifejezést kapunk.
Ezen a ponton a lecke befejezettnek tekinthető, így ha nem értesz semmit egy hányados vagy egy szorzat származékaival kapcsolatban, és általában, ha bármilyen kérdése van a témával kapcsolatban, ne habozzon - látogasson el a weboldalamra , írj, hívj, és mindenképp megpróbálom tudok segíteni.
A származékok önmagukban nem egy bonyolult téma, de nagyon kiterjedtek, és amit most tanulmányozunk, azt a jövőben felhasználni fogják az összetettebb problémák megoldása során. Éppen ezért jobb, ha a hányadosok vagy szorzatok deriváltjainak kiszámításával kapcsolatos minden félreértést azonnal, azonnal azonosítani kell. Nem akkor, ha a félreértés hatalmas hógolyója, hanem amikor egy kis teniszlabdáról van szó, amivel könnyű megbirkózni.
A matematikai fizikai feladatok vagy példák megoldása teljesen lehetetlen a derivált és a számítási módszerek ismerete nélkül. A derivált a matematikai elemzés egyik legfontosabb fogalma. Úgy döntöttünk, hogy a mai cikket ennek az alapvető témának szenteljük. Mi a derivált, mi a fizikai és geometriai jelentése, hogyan kell kiszámítani egy függvény deriváltját? Mindezek a kérdések összevonhatók egybe: hogyan lehet megérteni a származékot?
A származék geometriai és fizikai jelentése
Legyen függvény f(x) , meghatározott intervallumban (a, b) . Az x és x0 pont ehhez az intervallumhoz tartozik. Ha x változik, maga a függvény is megváltozik. Az érv megváltoztatása - az értékek különbsége x-x0 . Ez a különbség így van írva delta x és argumentumnövekménynek nevezzük. Egy függvény változása vagy növekménye a függvény értékeinek különbsége két ponton. A származék definíciója:
Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény adott pontban való növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik.
Különben így írható:
Mi értelme ilyen határt találni? És íme, mi ez:
egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő az OX tengely és a függvény grafikonjának érintője közötti szög érintőjével egy adott pontban.
A származék fizikai jelentése: az út időbeli deriváltja egyenlő az egyenes vonalú mozgás sebességével.
Valójában az iskolai idők óta mindenki tudja, hogy a sebesség egy adott út x=f(t) és az idő t . Átlagsebesség egy bizonyos időszak alatt:
Megtudni a mozgás sebességét egy adott pillanatban t0 ki kell számolni a határértéket:
Első szabály: állítson be egy állandót
A konstans kivehető a derivált előjelből. Ráadásul ezt meg is kell tenni. A matematikai példák megoldása során vegye ezt szabálynak - Ha le tud egyszerűsíteni egy kifejezést, mindenképpen egyszerűsítse .
Példa. Számítsuk ki a deriváltot:
Második szabály: a függvények összegének deriváltja
Két függvény összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak összegével. Ugyanez igaz a függvények különbségének deriváltjára is.
Nem bizonyítjuk ezt a tételt, inkább egy gyakorlati példát veszünk figyelembe.
Keresse meg a függvény deriváltját:
Harmadik szabály: a függvények szorzatának deriváltja
Két differenciálható függvény szorzatának deriváltja a következő képlettel számítható ki:
Példa: keresse meg egy függvény deriváltját:
Megoldás: 
Itt fontos szót ejteni az összetett függvények deriváltjainak kiszámításáról. Egy komplex függvény deriváltja egyenlő ennek a függvénynek a deriváltjának a szorzatával a köztes argumentumhoz és a köztes argumentum deriváltjának a független változóhoz képest.
A fenti példában a következő kifejezéssel találkozunk:
Ebben az esetben a köztes argumentum az ötödik hatvány nyolcszorosa. Egy ilyen kifejezés deriváltjának kiszámításához először kiszámítjuk a külső függvény deriváltját a köztes argumentumhoz képest, majd megszorozzuk magának a köztes argumentumnak a független változóhoz viszonyított deriváltjával.
Negyedik szabály: két függvény hányadosának deriváltja
Képlet két függvény hányadosának deriváltjának meghatározására:
Megpróbáltunk a nulláról beszélni a próbababák származékairól. Ez a téma nem olyan egyszerű, mint amilyennek látszik, ezért figyelem: a példákban gyakran vannak buktatók, ezért legyen óvatos a származékok kiszámításakor.
Ezzel és más témával kapcsolatos kérdéseivel fordulhat a diákszolgálathoz. Rövid időn belül segítünk megoldani a legnehezebb tesztet és megérteni a feladatokat, még akkor is, ha még soha nem végzett derivált számításokat.
Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
Személyes adatok gyűjtése és felhasználása
A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
- Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
- Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
- Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
- A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
- Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.
Információk közlése harmadik fél számára
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
- Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
- Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.
Személyes adatok védelme
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai jellegűeket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.
A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.
A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálásának problémáinak megoldása eredményeként a derivált az inkrementum és az argumentum növekmény arányának határaként definiálva, megjelent a derivált táblázat és a pontosan meghatározott differenciálási szabályok. . A származékok keresésének területén elsőként Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dolgozott.
Ezért napjainkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem kell kiszámítani a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának fent említett határát, hanem csak a táblázatot kell használni. származékai és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.
A származék megtalálásához, szükséged van egy kifejezésre a prímjel alá egyszerű függvényeket komponensekre bontaniés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók összefüggenek. Ezután az elemi függvények deriváltjait a derivált táblázatban, a szorzat, az összeg és a hányados származékainak képleteit pedig a differenciálás szabályaiban találjuk. A derivált táblázatot és a differenciálási szabályokat az első két példa után adjuk meg.
1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját
Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy egy függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.
A derivált táblázatból megtudjuk, hogy "x" deriváltja egyenlő eggyel, a szinusz deriváltja pedig koszinusszal. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:
2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját
Megoldás. Egy olyan összeg deriváltjaként differenciálunk, amelyben a második tag állandó tényezője van, ez kivehető a derivált előjeléből:
Ha továbbra is kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy valami honnan származik, azokat rendszerint tisztázzuk, miután megismerkedtünk a származékok táblázatával és a differenciálás legegyszerűbb szabályaival. Jelenleg rájuk megyünk.
Egyszerű függvények deriváltjainak táblázata
| 1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig egyenlő nullával. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség | |
| 2. A független változó származéka. Leggyakrabban "X". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos sokáig emlékezni | |
| 3. Végzettség származéka. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket hatványokká kell konvertálnia. | |
| 4. Változó deriváltja a -1 hatványra | |
| 5. A négyzetgyök származéka | |
| 6. A szinusz származéka | |
| 7. A koszinusz származéka |  |
| 8. Az érintő származéka |  |
| 9. A kotangens származéka |  |
| 10. Az arcszinus származéka |  |
| 11. Az ív koszinusz származéka |  |
| 12. Arktangens származéka |  |
| 13. Az ívkotangens származéka |  |
| 14. A természetes logaritmus deriváltja | |
| 15. Logaritmikus függvény deriváltja |  |
| 16. A kitevő származéka | |
| 17. Exponenciális függvény deriváltja |
A megkülönböztetés szabályai
| 1. Összeg vagy különbözet származéka |  |
| 2. A termék származéka |  |
| 2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel | |
| 3. A hányados származéka |  |
| 4. Komplex függvény deriváltja |  |
1. szabályHa a funkciók
egy ponton differenciálhatók, akkor a függvények ugyanazon a ponton differenciálhatók
és
azok. függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő e függvények deriváltjainak algebrai összegével.
Következmény. Ha két differenciálható függvény konstans taggal különbözik, akkor deriváltjaik egyenlőek, azaz
2. szabályHa a funkciók
egy ponton differenciálhatóak, akkor a termékük ugyanazon a ponton differenciálható
és
azok. Két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatának és a másik függvény szorzatának összegével.
Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:
Következmény 2. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők és az összes többi derivált szorzatának összegével.
Például három szorzóhoz:
3. szabály.Ha a funkciók
egy bizonyos ponton megkülönböztethető És , akkor ezen a ponton a hányadosuk is differenciálhatóu/v , és
azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező deriváltja szorzatának különbsége, a nevezője pedig a nevező négyzete. az egykori számláló.
Hol lehet keresni a dolgokat más oldalakon
Egy szorzat származékának és hányadosának valós problémákban való megtalálásakor mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, ezért a cikkben több példa is található ezekre a származékokra."A szorzat származéka és a függvények hányadosa".
Megjegyzés. Nem szabad összekeverni a konstanst (vagyis egy számot) összegben szereplő tagként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez egy tipikus hiba, amely a származékok tanulmányozásának kezdeti szakaszában fordul elő, de mivel az átlaghallgató több egy- és kétrészes példát old meg, ezt a hibát már nem követi el.
És ha egy termék vagy hányados megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, amiben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz egy állandó, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ezt az esetet a 10. példa tárgyalja).
Egy másik gyakori hiba, hogy egy összetett függvény deriváltját mechanikusan egy egyszerű függvény deriváltjaként oldják meg. Ezért komplex függvény deriváltja külön cikket szentelünk. De először megtanuljuk megtalálni az egyszerű függvények deriváltjait.
Útközben nem nélkülözheti a kifejezések átalakítását. Ehhez előfordulhat, hogy új ablakban kell megnyitnia a kézikönyvet. Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekÉs Műveletek törtekkel .
Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek származékaira, vagyis amikor a függvény így néz ki 
, majd kövesse a „Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka” című leckét.
Ha olyan feladatod van, mint pl 
, akkor felveszi az „Egyszerű trigonometrikus függvények származékai” leckét.
Példák lépésről lépésre - hogyan lehet megtalálni a származékot
3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját
Megoldás. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: a teljes kifejezés egy szorzatot reprezentál, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálási szabályt: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatainak összegével a másik függvény deriváltjával:
Ezután alkalmazzuk az összeg differenciálásának szabályát: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tagnak mínusz előjele van. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az „X” egy lesz, a mínusz 5 pedig nullává. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A következő derivált értékeket kapjuk:
A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkövetelt teljes függvény deriváltját:
4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját
Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja és a számláló szorzata és a számláló származéka közötti különbség. nevező, a nevező pedig az előbbi számláló négyzete. Kapunk:
A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el azt sem, hogy a szorzatot, amely az aktuális példában a számláló második tényezője, mínuszjellel vesszük:
Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol a gyökök és hatványok folytonos halmaza van, mint pl. 
, akkor üdv az órán "Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka" .
Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és más trigonometrikus függvények deriváltjairól, vagyis amikor a függvény így néz ki , akkor egy lecke neked "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .
5. példa Keresse meg egy függvény deriváltját
Megoldás. Ebben a függvényben egy szorzatot látunk, melynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltját a derivált táblázatban ismerkedtünk meg. A szorzat megkülönböztetésének szabályát és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét alkalmazva kapjuk:
6. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját
Megoldás. Ebben a függvényben egy olyan hányadost látunk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányadosok differenciálási szabályát, valamint a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét felhasználva kapjuk:
A számlálóban lévő tört eltávolításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt -val.
Betöltés...