jegyzet. Ez egy geometriai problémákkal foglalkozó lecke része (parallelogramma rész). Ha olyan geometriai feladatot kell megoldanod, ami nincs itt, írj róla a fórumba. A visszakeresés műveletének jelzésére négyzetgyök feladatok megoldásában a √ vagy sqrt() szimbólumot használjuk, zárójelben a gyök kifejezéssel.
Elméleti anyag
Magyarázatok a paralelogramma területének meghatározására szolgáló képletekhez:
- A paralelogramma területe egyenlő az egyik oldala hosszának és az oldal magasságának szorzatával
- A paralelogramma területe egyenlő a két szomszédos oldal és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával
- A paralelogramma területe egyenlő az átlói és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével
Problémák a paralelogramma területének megtalálásával kapcsolatban
Feladat.Egy paralelogrammában a rövidebb magasság és a rövidebb oldal 9 cm, a gyöke pedig 82. A nagyobb átló 15 cm. Határozza meg a paralelogramma területét.
Megoldás.
Jelöljük a B pontból a nagyobb AD bázisba süllyesztett ABCD paralelogramma kisebb magasságát BK-ként.
Keressük meg a láb értékét derékszögű háromszög Az ABK-t egy kisebb magasság, egy kisebb oldal és egy nagyobb alap egy része alkotja. A Pitagorasz-tétel szerint:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82-81
AK = 1
Hosszabbítsuk meg a BC paralelogramma felső alapját, és engedjük le rá az AN magasságot az alsó alapjától. AN = BK, mint az ANBK téglalap oldalai. Határozzuk meg a kapott ANC derékszögű háromszög NC lábát.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225-81
NC 2 = √144
NC=12
Most keressük meg az ABCD paralelogramma nagyobb BC bázisát.
BC = NC - NB
Vegyük tehát figyelembe, hogy a téglalap oldalaiként NB = AK
Kr.e. = 12 - 1 = 11
A paralelogramma területe megegyezik az alap és az alap magasságának szorzatával.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Válasz: 99 cm 2 .
Feladat
Az ABCD paralelogrammán a BO merőleges az AC átlóra esik. Keresse meg a paralelogramma területét, ha AO=8, OC=6 és BO=4.
Megoldás.
Dobjunk egy másik merőleges DK-t az AC átlóra.
Ennek megfelelően az AOB és DKC, COB és AKD háromszögek páronként egyenlőek. Az egyik oldal a paralelogramma ellentétes oldala, az egyik szög egyenes, mivel merőleges az átlóra, a fennmaradó szögek egyike pedig a paralelogramma és a metsző párhuzamos oldalainak belső keresztje. átlós.
Így a paralelogramma területe megegyezik a jelzett háromszögek területével. Azaz
Párhuzamos = 2S AOB + 2S BOC
A derékszögű háromszög területe egyenlő a lábak szorzatának felével. Ahol
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Válasz: 56 cm 2 .
A „Get an A” videótanfolyam tartalmazza az összes sikeres témát letette az egységes államvizsgát matematikából 60-65 pontért. Teljesen minden probléma 1-13 Profil egységes államvizsga matematika. Matematika egységes államvizsga alapvizsga letételére is alkalmas. Ha 90-100 ponttal szeretnél letenni az egységes államvizsgát, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!
Egységes államvizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. évfolyam, valamint pedagógusok számára. Minden, ami az egységes államvizsga 1. részének matematikából (az első 12 feladat) és a 13. feladat (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az egységes államvizsgán, és ezek nélkül sem egy 100 pontos, sem egy bölcsész nem megy.
Minden szükséges elmélet. Gyors módszerek az egységes államvizsga megoldásai, buktatói és titkai. A FIPI Feladatbank 1. részének minden aktuális feladatát elemezték. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az Egységes Államvizsga 2018 követelményeinek.
A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.
Több száz egységes államvizsga-feladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető algoritmusok a problémák megoldására. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, az egységes államvizsga-feladatok minden típusának elemzése. Sztereometria. Trükkös megoldások, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből a feladatig 13. Megértés a zsúfoltság helyett. Vizuális magyarázat összetett fogalmak. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Az egységes államvizsga 2. részében szereplő összetett problémák megoldásának alapja.
A témával kapcsolatos problémák megoldása során, kivéve alapvető tulajdonságait paralelogrammaés a megfelelő képleteket, megjegyezheti és alkalmazhatja a következőket:
- A paralelogramma belső szögének felezője egyenlő szárú háromszöget vág le belőle
- A paralelogramma egyik oldalával szomszédos belső szögfelezők egymásra merőlegesek
- A paralelogramma ellentétes belső sarkaiból érkező felezők párhuzamosak egymással, vagy ugyanazon az egyenesen fekszenek
- Egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalai négyzetösszegével
- A paralelogramma területe egyenlő az átlók és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével
Tekintsük azokat a problémákat, amelyekben ezeket a tulajdonságokat használják.
1. feladat.
Az ABCD paralelogramma C szögfelezője az M pontban metszi az AD oldalt és az AB oldal folytatását az A ponton túl az E pontban. Határozzuk meg a paralelogramma kerületét, ha AE = 4, DM = 3!
Megoldás.
1. A CMD háromszög egyenlő szárú. (1. ingatlan). Ezért CD = MD = 3 cm.
2. Az EAM háromszög egyenlő szárú.
Ezért AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. ABCD kerület = 20 cm.
Válasz. 20 cm.
2. feladat.
Az ABCD konvex négyszögbe átlókat rajzolunk. Ismeretes, hogy az ABD, ACD, BCD háromszögek területe egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy ez a négyszög paralelogramma.
Megoldás.
1. Legyen BE az ABD háromszög magassága, CF az ACD háromszög magassága. Mivel a feladat feltételei szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös AD alapjuk van, akkor ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. BE = CF.
2. BE, CF merőlegesek AD-re. A B és C pont az AD egyeneshez képest ugyanazon az oldalon található. BE = CF. Ezért a BC egyenes || HIRDETÉS. (*)
3. Legyen AL az ACD háromszög magassága, BK a BCD háromszög magassága. Mivel a feladat feltételei szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös CD alapjuk van, akkor ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. AL = BK.
4. AL és BK merőlegesek a CD-re. A B és A pont a CD egyeneshez képest ugyanazon az oldalon található. AL = BK. Ezért az AB egyenes || CD (**)
5. A (*), (**) feltételekből az következik, hogy az ABCD paralelogramma.
Válasz. Igazolt. Az ABCD egy paralelogramma.
3. feladat.
Az ABCD paralelogramma BC és CD oldalain M és H pontok vannak jelölve úgy, hogy a BM és HD szakaszok az O pontban metszik egymást;<ВМD = 95 о,
Megoldás.
1. DOM háromszögben<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Derékszögű háromszögben DHC Akkor<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 De CD = AB. Ekkor AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Válasz: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = 4. feladat. A 4√6 hosszúságú paralelogramma egyik átlója 60°-os szöget zár be az alappal, a második átló pedig 45°-os szöget zár be ugyanazzal az alappal. Keresse meg a második átlót. Megoldás.
1. AO = 2√6. 2. Alkalmazzuk a szinusztételt az AOD háromszögre. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Válasz: 12.
5. feladat. Az 5√2 és 7√2 oldalú paralelogramma esetében az átlók közötti kisebb szög egyenlő a paralelogramma kisebb szögével. Határozza meg az átlók hosszának összegét! Megoldás.
Legyen d 1, d 2 a paralelogramma átlói, és az átlók és a paralelogramma kisebbik szöge közötti szög egyenlő φ-vel. 1. Számoljunk két különbözőt S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Az 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f egyenlőséget kapjuk, ill. 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2; 2. A paralelogramma oldalai és átlói közötti összefüggést felhasználva felírjuk az egyenlőséget (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Hozzunk létre egy rendszert: (d 1 2 + d 2 2 = 296, A rendszer második egyenletét szorozzuk meg 2-vel, és adjuk hozzá az elsőhöz. Azt kapjuk, hogy (d 1 + d 2) 2 = 576. Innen Id 1 + d 2 I = 24. Mivel d 1, d 2 a paralelogramma átlóinak hossza, akkor d 1 + d 2 = 24. Válasz: 24.
6. feladat. A paralelogramma oldalai 4 és 6. Az átlók hegyesszöge 45 fok. Keresse meg a paralelogramma területét. Megoldás.
1. Az AOB háromszögből a koszinusztétel segítségével felírjuk a paralelogramma oldala és az átlók közötti összefüggést. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Hasonlóképpen írjuk fel az AOD háromszög relációját. Ezt vegyük figyelembe<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. A d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 egyenletet kapjuk. 3. Van egy rendszerünk A második egyenletből az elsőt kivonva 2d 1 · d 2 √2 = 80 ill. d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Jegyzet: Ebben és az előző feladatban nem kell teljesen megoldani a rendszert, arra számítva, hogy ebben a feladatban az átlók szorzatára van szükség a terület kiszámításához. Válasz: 10. 7. feladat. A paralelogramma területe 96, oldalai 8 és 15. Határozzuk meg a kisebb átló négyzetét! Megoldás.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Végezzünk helyettesítést a képletben. 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Ezért sin ВAD = 4/5. 2. Keressük meg a cos VAD-ot. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. A feladat feltételei szerint megtaláljuk a kisebb átló hosszát. A ВD átló kisebb lesz, ha a ВАD szög hegyes. Akkor cos VAD = 3/5. 3. Az ABD háromszögből a koszinusztétel segítségével megtaláljuk a BD átló négyzetét. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145. Válasz: 145.
Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell megoldani egy geometriai problémát? weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges. Egy geometriai alakzat területe- egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely az alakzat méretét mutatja (a felület egy része, amelyet az ábra zárt körvonala korlátoz). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki. a b sin α ahol S a trapéz területe, A paralelogramma olyan négyszög alakú alakzat, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak és páronként egyenlőek. Ellentétes szögei is egyenlőek, és a paralelogramma átlóinak metszéspontja kettéosztja őket, az ábra szimmetriaközéppontja. A paralelogramma speciális esetei olyan geometriai formák, mint a négyzet, a téglalap és a rombusz. A paralelogramma területe többféleképpen megkereshető, attól függően, hogy milyen kiindulási adatokat használunk a probléma megfogalmazásához. S = DC ∙ h ahol S a paralelogramma területe; Ez a képlet nagyon könnyen érthető és megjegyezhető, ha megnézi a következő ábrát. Amint ezen a képen látható, ha a paralelogrammától balra levágunk egy képzeletbeli háromszöget, és jobbra rögzítjük, akkor egy téglalap lesz az eredmény. Mint tudják, a téglalap területét úgy határozzuk meg, hogy megszorozzuk a hosszát a magasságával. Csak paralelogramma esetén a hossza lesz az alap, a téglalap magassága pedig az adott oldalra süllyesztett paralelogramma magassága. S = AD∙AB∙sinα ahol AD, AB szomszédos bázisok, amelyek metszéspontot és a szöget alkotnak egymás között; S = ½∙AC∙BD∙sinβ ahol AC, BD a paralelogramma átlói;
(
(Mivel derékszögű háromszögben a 30°-os szöggel szemben fekvő láb egyenlő a befogó felével).
módon a területét.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!
Háromszög terület képletek
Egy háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a szorzatával
Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.
- a háromszög oldalainak hossza,
- a háromszög magassága,
- az oldalak közötti szög és
- a beírt kör sugara,
R - a körülírt kör sugara, Négyzetterület képletek
Négyzet alakú terület egyenlő az oldala hosszának négyzetével.
Négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével. S= 1
2
2
- a négyzet oldalának hossza,
- a négyzet átlójának hossza.Téglalap terület képlete
Egy téglalap területe egyenlő két szomszédos oldala hosszának szorzatával
ahol S a téglalap területe,
- a téglalap oldalainak hossza. Párhuzamos terület képletek
Egy paralelogramma területe
Egy paralelogramma területe egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a köztük lévő szög szinuszával.
- a paralelogramma oldalainak hossza,
- a paralelogramma magasságának hossza,
- a paralelogramma oldalai közötti szög.A rombusz területének képletei
Rombusz területe egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
Rombusz területe egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
Rombusz területe egyenlő az átlói hosszának a felével.
- a rombusz oldalának hossza,
- a rombusz magasságának hossza,
- a rombusz oldalai közötti szög,
1, 2 - átlók hossza.Trapézfelület képletek
- a trapéz alapjainak hossza,
- a trapéz oldalainak hossza,
A paralelogramma legfontosabb jellemzője, amelyet nagyon gyakran használnak a terület megtalálásakor, a magassága. A paralelogramma magasságát általában merőlegesnek nevezik, amely a szemközti oldal tetszőleges pontjából az azt az oldalt alkotó egyenes szakaszra húzott.
a - alap;
h az adott alaphoz húzott magasság.
α az AD és AB alapok közötti szög.
β az átlók közötti szög.
Betöltés...