Hogyan oldjunk meg köbegyenleteket. Köbös egyenletek megoldása Meghatározási terület, értékkészlet

Egy köbös egyenletben a legmagasabb kitevő 3, egy ilyen egyenletnek 3 gyöke (megoldása) van, és így néz ki. Egyes köbegyenleteket nem olyan egyszerű megoldani, de a megfelelő módszer alkalmazásával (jó elméleti felkészültséggel) a legbonyolultabb köbegyenletnek is megtalálhatja a gyökereit - ehhez használja a másodfokú egyenlet megoldására szolgáló képletet, keressen egész szám gyököket vagy számítsa ki a diszkriminánst.

Lépések

Hogyan lehet megoldani egy köbös egyenletet szabad tag nélkül

Nézze meg, van-e metszéspont egy köbös egyenletben d (\displaystyle d) . A köbös egyenletnek megvan a formája a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0). Ahhoz, hogy egy egyenletet köbösnek tekintsünk, elegendő, ha csak a tag x 3 (\displaystyle x^(3))(vagyis lehet, hogy egyáltalán nincs más tag).

Vegye ki a zárójelekből x (\displaystyle x) . Mivel az egyenletben nincs szabad tag, az egyenlet minden tagja tartalmaz egy változót x (\displaystyle x). Ez azt jelenti, hogy egy x (\displaystyle x) zárójelbe tehető az egyenlet egyszerűsítése érdekében. Így az egyenlet a következőképpen lesz felírva: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

Tényezősítse (két binomiális szorzatával) a másodfokú egyenletet (ha lehetséges). Az alak sok másodfokú egyenlete a x 2 + b x + c = 0 (\displaystyle ax^(2)+bx+c=0) faktorizálható. Ilyen egyenletet kapunk, ha x (\displaystyle x) zárójelekhez. Példánkban:

Másodfokú egyenlet megoldása speciális képlet segítségével. Tegye ezt, ha a másodfokú egyenlet nem faktorozható. Az egyenlet két gyökerének, az együtthatók értékének megtalálásához a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) dugja be a képletbe.

• Példánkban helyettesítse be az együtthatók értékeit a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) a képletbe: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2))^(2)) )-4(3)(14))))(2(3))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
• Első gyökér: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
• Második gyökér: 2 − 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))

1. Használja a nullát és a másodfokú egyenlet gyökereit a köbegyenlet megoldásaként. A másodfokú egyenleteknek két gyöke van, míg a köbegyenleteknek három. Már talált két megoldást - ezek a másodfokú egyenlet gyökerei. Ha az "x"-et zárójelbe teszed, a harmadik megoldás a .

   Hogyan keressünk egész szám gyököket szorzókkal

   1. Győződjön meg arról, hogy a köbös egyenletnek van metszéspontja d (\displaystyle d) . Ha a forma egyenletében a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0) legyen ingyenes tagja d (\displaystyle d)(ami nem egyenlő nullával), nem fog működni, ha „x”-t zárójelbe teszünk. Ebben az esetben használja az ebben a részben leírt módszert.

      Írja ki az együttható szorzót a (\displaystyle a) és ingyenes tagja d (\displaystyle d) . Vagyis keresse meg a mikor szám tényezőit x 3 (\displaystyle x^(3))és az egyenlőségjel előtti számokat. Emlékezzünk vissza, hogy egy szám tényezői azok a számok, amelyeket összeszorozva megkapjuk azt a számot.

      Osszuk el az egyes szorzót a (\displaystyle a) minden szorzónál d (\displaystyle d) . Az eredmény sok tört és több egész szám lesz; egy köbegyenlet gyöke az egész számok egyike, vagy az egyik egész szám negatív értéke.

      • Példánkban osszuk el a tényezőket a (\displaystyle a) (1 és 2 ) tényezők alapján d (\displaystyle d) (1 , 2 , 3 és 6 ). Fogsz kapni: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2)és . Most adja hozzá a kapott törtek és számok negatív értékeit ehhez a listához: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))és − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). A köbös egyenlet egész gyökei néhány szám ebből a listából.

   2. Illessze be az egész számokat a köbös egyenletbe. Ha ezt az egyenlőséget betartjuk, akkor a behelyettesített szám az egyenlet gyöke. Például csatlakoztassa az egyenlethez 1 (\displaystyle 1):

      Használja a polinomok elosztásának módszerét Horner séma hogy gyorsan megtaláljuk az egyenlet gyökereit. Tegye ezt, ha nem szeretne számokat kézzel beilleszteni az egyenletbe. Horner sémájában az egész számokat elosztjuk az egyenlet együtthatóinak értékeivel a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c)és d (\displaystyle d). Ha a számok egyenletesen oszthatók (azaz a maradék ), akkor az egész szám az egyenlet gyöke.

Szám e egy fontos matematikai állandó, amely a természetes logaritmus alapja. Szám e hozzávetőlegesen egyenlő 2,71828-cal, határértékkel (1 + 1/n)n nál nél n a végtelenbe hajló.

Az exponenciális függvény értékének meghatározásához írja be az x értékét volt

Számok kiszámítása betűvel E használja az exponenciális egész számmá konverziós kalkulátort

Hiba bejelentése

‘; setTimeout(function() ( $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').css(('display ':'inline-block')); $("#boxadno").remove(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').click(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit: first').css(('display':'none')); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first: submit:first').parent().prepend("); ), 32000); ) Segített ez a számológép?
Oszd meg ezt a kalkulátort barátaival a fórumon vagy online.

Ezáltal te Segítség Minket fejlesztésében új számológépekés a régiek finomítása.

Algebra kalkulátor számítás

Az e szám egy fontos matematikai állandó, amely a természetes logaritmus alapjául szolgál.

A 0,3 x teljesítmény és az x teljesítmény 3-mal való szorzata ugyanaz

Az e szám hozzávetőlegesen 2,71828, határértéke (1 + 1/n)n, ha n a végtelenbe megy.

Ezt a számot Euler-számnak vagy Napier-számnak is nevezik.

Exponenciális – egy exponenciális függvény, f (x) = exp (x) = ex, ahol e az Euler-szám.

Írja be az x értékét az ex exponenciális függvény értékének meghatározásához

Az exponenciális függvény értékének kiszámítása a hálózatban.

Ha az Euler-szám (e) nullára emelkedik, a válasz 1.

Ha egynél nagyobb szintre emel, a válasz nagyobb lesz, mint az eredeti. Ha a sebesség nagyobb, mint nulla, de kisebb, mint 1 (pl. 0,5), akkor a válasz nagyobb, mint 1, de kisebb, mint az eredeti (E jel). Amikor a kitevő negatív hatványra nő, akkor az 1-et el kell osztani az e számmal egy adott hatványhoz, de plusz előjellel.

Definíciók

kiállító Ez egy y (x) = e x exponenciális függvény, amelynek deriváltja megegyezik magával a függvénnyel.

A jelzőt vagy a jelzés jelzi.

e szám

A kitevő alapja e.

Ez egy irracionális szám. Ez kb ugyanaz
e ≈ 2,718281828459045 …

Az e szám a sorozathatáron kívül van definiálva. Ez az úgynevezett másik kivételes határ:
.

Az e szám sorozatként is ábrázolható:
.

Kiállítói diagram

A grafikon a fokozatot mutatja e színpadon x.
y(x) = pl
A grafikonon látható, hogy monoton exponenciálisan növekszik.

képlet

Az alapképletek ugyanazok, mint az e alapszintű exponenciális függvénynél.

Exponenciális függvények kifejezése tetszőleges a bázissal a kitevő értelmében:
.

az "Exponenciális függvény" >>> szakaszt is

magánértékek

Legyen y (x) = e x.

5 az x hatványhoz, és egyenlő 0-val

Exponenciális tulajdonságok

A kitevő egy fokos alapú exponenciális függvény tulajdonságaival rendelkezik e> először

Definíciómező, értékkészlet

x esetén az y (x) = e x indexet határozzuk meg.
A térfogata:
— ∞ < x + ∞.
A jelentése:
0 < Y < + ∞.

Szélsőségek, növekedés, csökkenés

A kitevő monoton növekvő függvény, ezért nincs szélsősége.

Főbb tulajdonságait a táblázat mutatja.

Inverz függvény

A reciprok a természetes logaritmus.
;
.

A mutatók származékai

derivált e színpadon x Ez e színpadon x :
.
Származtatott N-rendű:
.
Képletek végrehajtása >>>

integrál

a "Határozatlan integrálok táblázata" >>> részt is

Komplex szobák

A komplex számokkal végzett műveletek végrehajtása a Euler képlet:
,
hol van a képzeletbeli egység:
.

Kifejezések hiperbolikus függvényekkel

Kifejezések trigonometrikus függvényekkel

Power Series kiterjesztés

Mikor egyenlő x nullával?

Normál vagy online számológép

Rendszeres kalkulátor

A Standard számológép olyan egyszerű számolóműveleteket kínál, mint az összeadás, kivonás, szorzás és osztás.

Használhat egy gyors matematikai számológépet

A Tudományos számológép lehetővé teszi bonyolultabb műveletek elvégzését, valamint olyan számológépet is, mint a szinusz, koszinusz, inverz szinusz, inverz koszinusz, amely érinti, érintő, kitevő, kitevő, logaritmus, kamat, valamint üzleti tevékenység a webmemória-számítógépben.

Közvetlenül a billentyűzetről tud belépni, először kattintson a számológéppel a területre.

Egyszerű műveleteket hajt végre számokkal, valamint bonyolultabbakat is, mint pl
matematikai számológép online.
0 + 1 = 2.
Itt van két számológép:

1. Először a szokásos módon számoljon
2. Egy másik mérnöknek számít

A szabályok a szerveren számolt számológépre vonatkoznak

A kifejezések és függvények bevitelének szabályai

Miért van szükségem erre az online számológépre?

Online számológép – miben különbözik a hagyományos számológéptől?

Először is, a szabványos számológép nem alkalmas szállításra, másodszor, most már szinte mindenhol megtalálható az internet, ez nem jelenti azt, hogy problémák vannak, látogasson el weboldalunkra, és használja a webkalkulátort.
Online számológép – miben különbözik a java számológéptől és más operációs rendszerekhez készült számológépektől?

Ismét a mobilitás. Ha másik számítógépet használ, nem kell újratelepítenie
Tehát használja ezt az oldalt!

A kifejezések függvényekből állhatnak (ábécé sorrendben):

abszolút (x) Abszolút érték x
(modul x vagy | x |) arccos(x) Funkció - Arcoxin from xarccosh(x) Az arkozin hiperbolikus xarcsin(x) Külön fia xarcsinh(x) HyperX hiperbolikus xarctg(x) A függvény az arc tangense xarctgh(x) Az arktangens hiperbolikus xee szám - körülbelül 2,7 exp(x) Funkció - jelző x(mint e^x) log(x) vagy ln(x) természetes logaritmus x
(Igen log7(x), Be kell írni a log(x) / log(7) parancsot (vagy pl log10(x)= log(x) / log(10)) pi A "Pi" szám, ami körülbelül 3,14 bűn(x) Funkció - Szinusz xcos(x) Funkció - Kúp xsinh(x) Funkció - Szinusz hiperbolikus xkészpénz(x) Funkció - koszinusz-hiperbolikus xnégyzet (x) A függvény négyzetgyöke xsqr(x) vagy x^2 Funkció - négyzet xtg(x) Funkció – Érintő innen xtgh(x) A függvény hiperbolikus érintője xcbrt(x) A függvény egy kockagyökér xtalaj (x) Kerekítés funkció x az alsó oldalon (talajpélda (4.5) == 4,0) szimbólum (x) Funkció - szimbólum xerf(x) Hibafüggvény (Laplace vagy valószínűségi integrál)

A következő műveletek használhatók kifejezésekben:

Valós számokírja be az űrlapba 7,5 , nem 7,5 2*x- szorzás 3/x- elválasztás x^3— hatványozás x + 7- Kívül, x - 6- visszaszámlálás

PDF letöltése

Az exponenciális egyenletek a forma egyenletei

x - ismeretlen kitevő,

aés b- néhány szám.

Példák exponenciális egyenletekre:

És az egyenletek:

többé nem lesz reprezentatív.

Vegyünk példákat az exponenciális egyenletek megoldására:

1. példa
Keresse meg az egyenlet gyökerét:

A fokokat ugyanarra az alapra redukáljuk, hogy a fok tulajdonságát valós kitevővel használjuk

Ezután lehetséges lesz eltávolítani a fokozat alapját, és továbblépni a mutatók egyenlőségéhez.

Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát:

Alakítsuk át az egyenlet jobb oldalát:

A fokozat tulajdonság használata

Válasz: 4.5.

2. példa
Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Oszd el az egyenlet mindkét oldalát!

Fordított csere:

Válasz: x=0.

Oldja meg az egyenletet, és keresse meg a gyököket az adott intervallumon:

Az összes kifejezést ugyanarra az alapra hozzuk:

Csere:

Az egyenlet gyökereit a szabad tag többszöröseinek kiválasztásával keressük:

- alkalmas, mert

érvényesül az egyenlőség.
- alkalmas, mert

Hogyan döntsünk? e^(x-3) = 0 e x-3 hatványához

érvényesül az egyenlőség.
- alkalmas, mert érvényesül az egyenlőség.
- nem alkalmas, mert az egyenlőség nem teljesül.

Fordított csere:

Egy szám 1 lesz, ha kitevője 0

Nem alkalmas, mert

A jobb oldal egyenlő 1-gyel, mert

Innen:

Oldja meg az egyenletet:

Csere: akkor

Fordított csere:

1 egyenlet:

ha a számok alapjai egyenlőek, akkor a kitevőik egyenlőek lesznek, akkor

2 egyenlet:

Mindkét rész logaritmusa a 2. alaphoz:

A kitevő a kifejezés elé kerül, mert

A bal oldal 2x mert

Innen:

Oldja meg az egyenletet:

Alakítsuk át a bal oldalt:

A fokozatokat megszorozzuk a képlet szerint:

Egyszerűsítsünk: a képlet szerint:

Tegyük formába:

Csere:

Alakítsuk át a törtet nem megfelelővé:

a2 - nem alkalmas, mert

Fordított csere:

Térjünk a lényegre:

Ha egy

Válasz: x=20.

Oldja meg az egyenletet:

O.D.Z.

A bal oldalt alakítsuk át a képlet szerint:

Csere:

Kiszámoljuk a diszkrimináns gyökerét:

a2-nem illik, mert

nem vesz fel negatív értékeket

Térjünk a lényegre:

Ha egy

Négyzetre emeljük mindkét oldalt:

A cikk szerkesztői: Gavrilina Anna Viktorovna, Ageeva Lyubov Aleksandrovna

Vissza a témákhoz

Az "Intuitív útmutató az exponenciális függvényekhez és e-hez" című nagy cikk fordítása

Az e szám mindig is izgatott – nem betűként, hanem matematikai állandóként.

Mit jelent valójában az e?

Különféle matematikai könyvek és még az én szeretett Wikipédiám is teljesen ostoba tudományos zsargonban írják le ezt a fenséges állandót:

Az e matematikai állandó a természetes logaritmus alapja.

Ha érdekli, mi a természetes logaritmus, a következő definíciót találja:

A természetes logaritmus, korábban hiperbolikus logaritmusként ismert, egy e bázisú logaritmus, ahol e egy irracionális állandó, megközelítőleg 2,718281828459.

A meghatározások természetesen helyesek.

De nagyon nehéz megérteni őket. Természetesen a Wikipédia nem okolható ezért: általában a matematikai magyarázatok szárazak és formálisak, a tudomány legteljesebb szintjére összeállítottak. Emiatt a kezdőknek nehéz elsajátítani a témát (és valaha mindenki kezdő volt).

Túl vagyok rajta! Ma megosztom a rendkívül intellektuális gondolataimat erről mi az e számés miért olyan menő! Tedd félre vastag, félelmetes matematikai könyveidet!

Az e szám nem csak egy szám

Ha e-t úgy írjuk le, mint "egy konstans, amely megközelítőleg egyenlő 2,71828-cal..." olyan, mintha pi-t neveznénk "egy irracionális számnak, amely megközelítőleg egyenlő 3,1415-tel...".

Kétségtelenül az, de a lényeg még mindig elkerül minket.

A pi szám egy kör kerületének és átmérőjének aránya, minden körre azonos.. Ez egy alapvető arány, amely minden körre jellemző, és ezért részt vesz a körök, gömbök, hengerek stb. kerületének, területének, térfogatának és felületének kiszámításában.

A Pi azt mutatja, hogy minden kör összefügg, nem beszélve a körökből származó trigonometrikus függvényekről (szinusz, koszinusz, érintő).

Az e szám az összes folyamatosan növekvő folyamat alapvető növekedési aránya. Az e szám lehetővé teszi, hogy vegyünk egy egyszerű növekedési ütemet (ahol a különbség csak az év végén látható), és kiszámítsa ennek a mutatónak az összetevőit, a normál növekedést, amelyben minden nanoszekundumban (vagy még gyorsabban) minden nő egy kicsit. több.

Az e szám exponenciális és állandó növekedési rendszerekben is részt vesz: népesség, radioaktív bomlás, kamatszámítás és sok-sok más.

Még a nem egyenletesen növekvő lépcsős rendszerek is közelíthetők az e számmal.

Ahogyan bármely szám felfogható az 1 (az alapegység) „skálázott” változataként, úgy minden kört az egységkör (sugár 1) „skálázott” változatának tekinthetünk.

Adott egy egyenlet: e x \u003d 0 hatványához. Mi x egyenlő?

És bármilyen növekedési faktor tekinthető az e ("egyetlen" növekedési faktor) "skálázott" változatának.

Tehát az e szám nem véletlenszerűen vett szám. Az e szám azt az elképzelést testesíti meg, hogy minden folyamatosan növekvő rendszer ugyanannak a mérőszámnak a skálázott változata.

Az exponenciális növekedés fogalma

Kezdjük azzal, hogy egy adott idő alatt megduplázódó alaprendszert nézzünk meg.

Például:

• A baktériumok 24 óránként osztódnak és „duplázódnak”.
• Kétszer annyi tésztát kapunk, ha ketté törjük
• Pénze minden évben megduplázódik, ha 100%-os nyereséget kap (szerencsés!)

És valahogy így néz ki:

A kettővel való osztás vagy a duplázás nagyon egyszerű folyamat. Természetesen megháromszorozhatjuk vagy négyszerezhetjük, de magyarázatként kényelmesebb a duplázás.

Matematikailag, ha van x felosztásunk, akkor 2^x-szer több jót kapunk, mint az elején.

Ha csak 1 partíció készül, 2^1-szer többet kapunk. Ha 4 partíció van, akkor 2^4=16 részt kapunk. Az általános képlet így néz ki:

Más szóval, a duplázódás 100%-os növekedést jelent.

Ezt a képletet átírhatjuk így:

növekedés = (1+100%)x

Ez ugyanaz az egyenlőség, csak a "2"-t osztottuk fel összetevőire, ami lényegében ez a szám: a kezdőérték (1) plusz 100%. Okos, igaz?

Természetesen a 100% helyett bármilyen más számot (50%, 25%, 200%) helyettesíthetünk, és megkapjuk ennek az új aránynak a növekedési képletét.

Az idősor x periódusára vonatkozó általános képlet így fog kinézni:

növekedés = (1+növekedés)x

Ez egyszerűen azt jelenti, hogy a megtérülési rátát (1 + növekedés) "x"-szer használjuk egymás után.

Nézzük meg közelebbről

Képletünk feltételezi, hogy a növekedés diszkrét lépésekben megy végbe. A baktériumaink várnak és várnak, aztán bam!, és az utolsó pillanatban megduplázódik a számuk. A betétből származó kamatnyereségünk varázsütésre pontosan 1 év múlva jelenik meg.

A fent leírt képlet alapján a profit lépésenként nő. Hirtelen zöld pöttyök jelennek meg.

De a világ nem mindig ilyen.

Ha ráközelítünk, láthatjuk, hogy baktériumbarátaink folyamatosan osztoznak:

A zöld kölyök nem a semmiből jön: lassan kinő a kék szülőből. 1 idő (esetünkben 24 óra) elteltével a zöld barát már teljesen beérett. Az érettség után az állomány teljes értékű kék ​​tagjává válik, és maga is képes új zöld sejteket létrehozni.

Ez az információ megváltoztatja valahogy az egyenletünket?

A baktériumok esetében a félig kialakult zöld sejtek még mindig nem tudnak mit kezdeni, amíg fel nem nőnek és teljesen el nem válnak kék szüleiktől. Tehát az egyenlet helyes.

A következő cikkben a pénzed exponenciális növekedésére fogunk példát nézni.

Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")

Mit "négyzet egyenlőtlenség"? Nem kérdés!) Ha veszed Bármi másodfokú egyenletet, és változtassa meg az előjelet benne "=" (egyenlő) bármely egyenlőtlenségi ikonnal ( > ≥ < ≤ ≠ ), másodfokú egyenlőtlenséget kapunk. Például:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Hát értitek...)

Tudatosan összekapcsoltam itt az egyenleteket és az egyenlőtlenségeket. A tény az, hogy a megoldás első lépése Bármi négyzetes egyenlőtlenség - oldja meg azt az egyenletet, amelyből ez az egyenlőtlenség keletkezik. Emiatt - a másodfokú egyenletek megoldásának képtelensége automatikusan az egyenlőtlenségek teljes kudarcához vezet. Világos a tipp?) Ha van, nézze meg, hogyan lehet másodfokú egyenleteket megoldani. Ott minden részletezve van. És ebben a leckében az egyenlőtlenségekkel fogunk foglalkozni.

A megoldásra kész egyenlőtlenség a következőképpen alakul: bal - négyzetes trinomikus ax 2 +bx+c, jobb oldalon - nulla. Az egyenlőtlenség jele bármi lehet. Az első két példa itt található készen állnak a döntésre. A harmadik példát még elő kell készíteni.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatja a példák megoldását, és megtudhatja a szintet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.