irracionális szám- Ezt valós szám, ami nem racionális, vagyis nem ábrázolható törtként, ahol egész számok, . Egy irracionális szám végtelen, nem ismétlődő tizedesjegyként ábrázolható.
Az irracionális számok halmazát általában nagy latin betűvel jelölik, félkövéren, árnyékolás nélkül. Így: , azaz. az irracionális számok halmaza valós és racionális számok halmazainak különbsége.
Pontosabban az irracionális számok létezéséről Az egységnyi hosszúságú szegmenssel összemérhetetlen szegmenseket már az ókori matematikusok is ismerték: ismerték például az átló és a négyzet oldalának összemérhetetlenségét, ami egyenértékű a szám irracionalitásával.
Tulajdonságok
- Bármilyen valós szám felírható végtelen tizedes törtként, míg az irracionális számok és csak ezek nem periodikus végtelen tizedes törtként.
- Az irracionális számok Dedekind-vágásokat határoznak meg azon racionális számok halmazában, amelyeknek nincs legnagyobb számuk az alsó osztályban, és nincs legkisebb számuk a felső osztályban.
- Minden valódi transzcendentális szám irracionális.
- Minden irracionális szám algebrai vagy transzcendentális.
- Az irracionális számok halmaza mindenütt sűrű a valós egyenesen: bármely két szám között van irracionális szám.
- Az irracionális számok halmazának sorrendje izomorf a valós transzcendentális számok halmazának sorrendjével.
- Az irracionális számok halmaza megszámlálhatatlan, a második kategória halmaza.
Példák
| Irracionális számok - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Irracionálisak a következők:
Irracionalitás-bizonyító példák
2 gyöke
Tételezzük fel az ellenkezőjét: racionális, azaz irreducibilis törtként van ábrázolva, ahol egy egész szám, és egy természetes szám. Nézzük négyzetre a feltételezett egyenlőséget:
.Ebből az következik, hogy még, tehát páros és . Hadd hol az egész. Azután
Ezért még, ezért páros és . Ezt kaptuk és párosak, ami ellentmond a tört redukálhatatlanságának. Ezért az eredeti feltevés téves volt, és irracionális szám.
A 3-as szám bináris logaritmusa
Tegyük fel az ellenkezőjét: racionális, azaz törtként ábrázolva, ahol és egész számok. óta, és pozitívnak vehető. Azután
De ez egyértelmű, furcsa. Ellentmondást kapunk.
e
Sztori
Az irracionális számok fogalmát az indiai matematikusok implicit módon átvették a Kr. e. 7. században, amikor Manawa (i.e. 750 körül - ie 690 körül) megállapította, hogy egyes természetes számok, például 2 és 61 négyzetgyöke nem fejezhető ki egyértelműen.
Az irracionális számok létezésének első bizonyítékát általában Metapontoszi Hippasusnak (Kr. e. 500 körül), egy püthagoreusnak tulajdonítják, aki egy pentagram oldalainak hosszának tanulmányozásával találta meg ezt a bizonyítékot. A pitagoreusok idejében azt hitték, hogy egyetlen hosszegység létezik, amely kellően kicsi és oszthatatlan, ami annyi, hogy bármely szegmensben egész szám szerepel. Hippasus azonban azzal érvelt, hogy nincs egyetlen hosszúsági egység, mivel a létezésének feltételezése ellentmondáshoz vezet. Megmutatta, hogy ha egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója egész számú egységnyi szakaszt tartalmaz, akkor ennek a számnak egyszerre párosnak és páratlannak kell lennie. A bizonyíték így nézett ki:
- Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogó hosszának és lábának hosszának aránya a következőképpen fejezhető ki: a:b, ahol aés b a lehető legkisebbnek választottuk.
- A Pitagorasz-tétel szerint: a² = 2 b².
- Mint a² egyenletes, a párosnak kell lennie (mivel a páratlan szám négyzete páratlan lenne).
- Amennyiben a:b nem csökkenthető b furcsanak kell lennie.
- Mint a páros, jelölje a = 2y.
- Azután a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y² tehát b akkor egyenletes b még.
- Ez azonban bebizonyosodott b páratlan. Ellentmondás.
A görög matematikusok ezt az arányt összemérhetetlen mennyiségeknek nevezték alogos(kifejezhetetlen), de a legendák szerint Hippasust nem fizették meg kellő tiszteletben. Van egy legenda, amely szerint Hippasus tengeri utazása során fedezte fel, és más pitagoreusok kidobták a vízbe, "mert létrehozta az univerzum egy elemét, amely tagadja azt a tant, hogy az univerzumban lévő összes entitást egész számokra és azok arányaira lehetne redukálni. " Hippasus felfedezése komoly problémát jelentett a pitagorasz matematika számára, megsemmisítve azt a mögöttes feltételezést, hogy a számok és a geometriai objektumok egyek és elválaszthatatlanok.
Az irracionális számokat ősidők óta ismerték az emberek. Néhány évszázaddal korszakunk előtt az indiai matematikus, Manava rájött, hogy egyes számok (például 2) négyzetgyöke nem fejezhető ki egyértelműen.
Ez a cikk egyfajta bevezető lecke az „Irracionális számok” témában. Adjunk definíciót és példákat az irracionális számokra magyarázattal, valamint azt is, hogyan állapítható meg, hogy egy adott szám irracionális-e.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Irracionális számok. Meghatározás
Már maga az "irracionális számok" elnevezés is definíciót sugall számunkra. Az irracionális szám olyan valós szám, amely nem racionális. Más szóval, egy ilyen szám nem ábrázolható m n törtként, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám.
Meghatározás. Irracionális számok
Az irracionális számok azok a számok, amelyek tizedes jelöléssel végtelen, nem ismétlődő tizedes törtek.
Egy irracionális szám végtelen, nem periódusos törtként ábrázolható. Az irracionális számok halmazát $I$ jelöli, és ez egyenlő: $I=R / Q$ .
például. Az irracionális számok a következők:
Műveletek irracionális számokkal
Az irracionális számok halmazán négy alapvető aritmetikai művelet vezethető be: összeadás, kivonás, szorzás és osztás; de az irracionális számok halmaza a felsorolt műveletek egyikére sem rendelkezik lezárási tulajdonsággal. Például két irracionális szám összege lehet racionális szám.
például. Keresse meg két irracionális szám összegét: $0,1010010001 \ldots$ és $0,0101101110 \ldots$ . E számok közül az elsőt egyesek sorozata alkotja, amelyeket rendre egy nulla, két nulla, három nulla stb. választ el, a másodikat pedig egy nullák sorozata, amelyek között egy egy, kettő egy, három egy stb. kerülnek:
$0.1010010001 $$ \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Így két adott irracionális szám összege a $\frac(1)(9)$ szám, ami racionális.
Példa
Gyakorlat. Bizonyítsuk be, hogy a $\sqrt(3)$ szám irracionális.
Bizonyíték. Az ellentmondásos bizonyítási módszert fogjuk alkalmazni. Tegyük fel, hogy a $\sqrt(3)$ egy racionális szám, azaz a $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ törtként ábrázolható, ahol $m$ és $n$ másodprím természetes számok.
Az egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emeljük, megkapjuk
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \balra nyíl 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
A 3$\cdot n^(2)$ szám osztható 3-mal. Ezért $m^(2)$ és így $m$ osztható 3-mal. Ha $m=3 \cdot k$, akkor a $3 \cdot egyenlőség n^ (2)=m^(2)$ így írható fel
$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
Az utolsó egyenlőségből következik, hogy $n^(2)$ és $n$ osztható 3-mal, így a $\frac(m)(n)$ tört 3-mal csökkenthető. De feltételezzük, hogy a $\ tört frac(m)( n)$ irreducibilis. Az így kapott ellentmondás azt bizonyítja, hogy a $\sqrt(3)$ szám nem ábrázolható törtként $\frac(m)(n)$, ezért irracionális.
Q.E.D.
Minden racionális szám közönséges törtként ábrázolható. Ez vonatkozik az egész számokra (például 12, -6, 0), a végső tizedes törtekre (például 0,5; -3,8921), valamint a végtelen időszakos tizedes törtekre (például 0,11(23); -3 , (87) )).
azonban végtelen nem ismétlődő tizedesjegyek nem ábrázolható közönséges törtként. Ilyenek irracionális számok(azaz irracionális). Ilyen szám például a π, amely megközelítőleg 3,14. Azt azonban nem lehet meghatározni, hogy pontosan mivel egyenlő, mivel a 4-es szám után végtelen sora van további számoknak, amelyekben nem lehet megkülönböztetni az ismétlődő periódusokat. Ugyanakkor, bár a π számot nem lehet pontosan kifejezni, sajátos geometriai jelentése van. A π szám bármely kör hosszának és átmérőjének hosszának aránya. Így az irracionális számok léteznek a természetben, akárcsak a racionális számok.
Az irracionális számok másik példája a pozitív számok négyzetgyöke. Egyes számokból gyökök kinyerése racionális értékeket ad, másokból irracionális értékeket. Például √4 = 2, azaz a 4 gyöke racionális szám. De √2, √5, √7 és még sokan mások irracionális számokat eredményeznek, vagyis csak közelítéssel, bizonyos tizedesjegyre kerekítve kinyerhetők. Ebben az esetben a tört nem periodikus. Vagyis nem lehet pontosan és határozottan megmondani, hogy mi ezeknek a számoknak a gyökere.
Tehát √5 egy 2 és 3 közötti szám, mivel √4 = 2, és √9 = 3. Arra is következtethetünk, hogy √5 közelebb van 2-hez, mint 3-hoz, mivel √4 közelebb van √5-höz, mint √9 √5. Valóban, √5 ≈ 2,23 vagy √5 ≈ 2,24.
Az irracionális számokat más számításoknál is megkapjuk (és nem csak a gyökök kinyerésekor), ezek negatívak.
Az irracionális számokkal kapcsolatban azt mondhatjuk, hogy akármelyik egységszegmenssel mérjük az ilyen számmal kifejezett hosszt, nem tudjuk biztosan mérni.
Az aritmetikai műveletekben az irracionális számok is részt vehetnek a racionális számok mellett. Ugyanakkor számos törvényszerűség van. Például, ha egy aritmetikai műveletben csak racionális számok vesznek részt, akkor az eredmény mindig racionális szám. Ha csak irracionálisak vesznek részt a műveletben, akkor nem lehet egyértelműen megmondani, hogy racionális vagy irracionális szám fog kiderülni.
Például, ha megszoroz két irracionális számot √2 * √2, akkor 2-t kap – ez egy racionális szám. Másrészt, √2 * √3 = √6 irracionális szám.
Ha egy aritmetikai művelet egy racionális és egy irracionális számot tartalmaz, akkor irracionális eredményt kapunk. Például 1 + 3,14... = 4,14... ; √17-4.
Miért irracionális szám a √17 - 4? Képzeld el, hogy kapsz egy x racionális számot. Ekkor √17 = x + 4. De x + 4 racionális szám, mivel azt feltételeztük, hogy x racionális. A 4-es szám is racionális, tehát x + 4 racionális. Egy racionális szám azonban nem lehet egyenlő az irracionális √17-tel. Ezért az a feltevés, hogy √17 - 4 racionális eredményt ad, téves. Egy aritmetikai művelet eredménye irracionális lesz.
Van azonban kivétel ez alól a szabály alól. Ha egy irracionális számot megszorozunk 0-val, akkor 0 racionális számot kapunk.
Irracionális szám definíciója
Az irracionális számok azok a számok, amelyek decimális jelöléssel végtelen nem periodikus tizedes törtek.
Így például a természetes számok négyzetgyökének felvételével kapott számok irracionálisak, és nem természetes számok négyzetei. De nem minden irracionális számot kapunk négyzetgyök kinyerésével, mert az osztással kapott "pi" szám is irracionális, és nem valószínű, hogy megkapja, ha egy természetes számból próbálja kivonni a négyzetgyököt.
Irracionális számok tulajdonságai
A végtelen tizedes törtekkel írt számokkal ellentétben csak az irracionális számokat írjuk nem periodikus végtelen tizedes törtben.
Két nemnegatív irracionális szám összege végül racionális szám lehet.
Az irracionális számok olyan Dedekind-szakaszokat határoznak meg a racionális számok halmazában, amelyek alsó osztályában nincs legnagyobb szám, a felsőben pedig nincs kisebb.
Bármely valódi transzcendentális szám irracionális.
Minden irracionális szám algebrai vagy transzcendentális.
Az irracionális számok halmaza a vonalon sűrűn össze van rakva, és bármelyik két szám között van egy irracionális szám.
Az irracionális számok halmaza végtelen, megszámlálhatatlan és a 2. kategória halmaza.
Ha bármilyen aritmetikai műveletet végzünk racionális számokon, kivéve a 0-val való osztást, az eredménye racionális szám lesz.
Ha racionális számot adunk egy irracionális számhoz, az eredmény mindig irracionális szám lesz.
Irracionális számok összeadásakor racionális számot kaphatunk.
Az irracionális számok halmaza nem páros.
A számok nem irracionálisak
Néha meglehetősen nehéz megválaszolni azt a kérdést, hogy egy szám irracionális-e, különösen olyan esetekben, amikor a szám tizedes tört vagy numerikus kifejezés, gyök vagy logaritmus formájában van.
Ezért nem lesz felesleges tudni, hogy mely számok nem irracionálisak. Ha követjük az irracionális számok definícióját, akkor már tudjuk, hogy a racionális számok nem lehetnek irracionálisak.
Az irracionális számok nem:
Először is minden természetes szám;
Másodszor, egész számok;
Harmadszor: közönséges törtek;
Negyedszer, különböző vegyes számok;
Ötödször, ezek végtelen periodikus tizedes törtek.
A fentieken kívül a racionális számok bármely kombinációja, amelyet számtani műveletek előjelei hajtanak végre, például +, -, , :, nem lehet irracionális szám, mivel ebben az esetben két racionális szám eredménye is racionális szám legyen.
Most nézzük meg, hogy melyik szám irracionális:
Tudsz arról, hogy létezik egy rajongói klub, ahol ennek a titokzatos matematikai jelenségnek a rajongói egyre több információt keresnek Piről, és próbálják megfejteni a rejtélyét? Bárki, aki fejből tud bizonyos számú Pi-számot a tizedesvessző után, tagja lehet ennek a klubnak;
Tudtad, hogy Németországban az UNESCO védelme alatt áll a Castadel Monte palota, melynek arányainak köszönhetően ki lehet számítani a Pi-t. Frigyes király egy egész palotát szentelt ennek a számnak.
Kiderült, hogy megpróbálták felhasználni a Pi számot a Bábel-torony építésekor. De nagy sajnálatunkra ez a projekt összeomlásához vezetett, mivel akkoriban a Pi értékének pontos kiszámítását nem vizsgálták kellőképpen.
Kate Bush énekesnő új korongján felvett egy "Pi" című dalt, amelyben a híres 3, 141 számsorozat százhuszonnégy száma hangzott el ... ..
Betöltés...