Dalam pelajaran ini, kita akan melihat berbagai pertidaksamaan eksponensial dan belajar bagaimana menyelesaikannya berdasarkan metodologi untuk memecahkan pertidaksamaan eksponensial paling sederhana.
1. Definisi dan sifat-sifat fungsi eksponensial
Mari kita ingat kembali definisi dan sifat dasar dari fungsi eksponensial. Pada sifat-sifat inilah solusi dari semua persamaan dan pertidaksamaan eksponensial didasarkan.
Fungsi eksponensial- adalah fungsi dari bentuk, di mana basis derajat dan Di sini x adalah variabel independen, argumen; y - variabel dependen, fungsi.
Beras. 1. Grafik fungsi eksponensial
Grafik menunjukkan kenaikan dan penurunan eksponen, menggambarkan fungsi eksponensial ketika basis lebih besar dari satu dan kurang dari satu, tetapi lebih besar dari nol, masing-masing.
Kedua kurva melewati titik (0; 1)
Sifat fungsi eksponensial:
Domain: ;
Jarak nilai:;
Fungsinya monoton, karena meningkat, karena menurun.
Fungsi monoton mengambil masing-masing nilainya untuk nilai argumen tunggal.
Ketika, ketika argumen meningkat dari minus ke plus tak terhingga, fungsi meningkat dari nol, tidak inklusif, ke plus tak terhingga, yaitu, untuk nilai argumen yang diberikan, kami memiliki fungsi yang meningkat secara monoton (). Karena, sebaliknya, ketika argumen meningkat dari minus ke plus tak terhingga, fungsi menurun dari tak terhingga ke nol, tidak inklusif, yaitu, untuk nilai argumen yang diberikan, kami memiliki fungsi yang menurun secara monoton ().
2. Pertidaksamaan eksponensial paling sederhana, teknik penyelesaian, contoh
Berdasarkan hal di atas, kami menyajikan teknik untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial paling sederhana:
Metodologi untuk memecahkan ketidaksetaraan:
Menyamakan basis derajat;
Bandingkan indikator, pertahankan atau ubah ke tanda pertidaksamaan yang berlawanan.
Solusi dari pertidaksamaan eksponensial kompleks biasanya terdiri dari reduksi menjadi pertidaksamaan eksponensial yang paling sederhana.
Basis derajat lebih besar dari satu, yang berarti bahwa tanda pertidaksamaan tetap:
Kami mengubah sisi kanan sesuai dengan sifat-sifat derajat:
Basis derajat kurang dari satu, tanda pertidaksamaan harus dibalik:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kita akan menyelesaikan persamaan kuadrat yang sesuai:
Dengan teorema Vieta, kami menemukan akarnya:
Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas.
Dengan demikian, kami memiliki solusi untuk ketidaksetaraan:
Mudah ditebak bahwa ruas kanan dapat direpresentasikan sebagai pangkat dengan eksponen nol:
Basis derajat lebih besar dari satu, tanda pertidaksamaan tidak berubah, kita mendapatkan:
Mari kita ingat teknik untuk memecahkan ketidaksetaraan tersebut.
Pertimbangkan fungsi rasional pecahan:
Kami menemukan domain definisi:
Cari akar fungsi:
Fungsi memiliki akar tunggal, 
Kami memilih interval tanda konstan dan menentukan tanda-tanda fungsi pada setiap interval:
Beras. 2. Interval keteguhan
Jadi kami mendapat jawabannya.
Menjawab: 
3. Solusi pertidaksamaan eksponensial tipikal
Pertimbangkan ketidaksetaraan dengan indikator yang sama, tetapi basis yang berbeda.
Salah satu sifat dari fungsi eksponensial adalah ia mengambil nilai positif yang ketat untuk setiap nilai argumen, yang berarti dapat dibagi menjadi fungsi eksponensial. Mari kita bagi pertidaksamaan yang diberikan dengan ruas kanannya:
Basis derajat lebih besar dari satu, tanda pertidaksamaan tetap.
Mari kita ilustrasikan solusinya:
Gambar 6.3 menunjukkan grafik fungsi dan. Jelas, ketika argumen lebih besar dari nol, grafik fungsi terletak lebih tinggi, fungsi ini lebih besar. Ketika nilai argumen negatif, fungsinya turun, itu kurang. Ketika nilai argumennya sama, fungsinya sama, yang berarti bahwa titik ini juga merupakan solusi dari pertidaksamaan yang diberikan.
Beras. 3. Ilustrasi misalnya 4
Kami mengubah ketidaksetaraan yang diberikan sesuai dengan sifat-sifat derajat:
Berikut adalah istilah serupa:
Mari kita bagi kedua bagian tersebut menjadi:
Sekarang kita lanjutkan penyelesaiannya seperti contoh 4, bagi kedua bagian menjadi:
Basis derajat lebih besar dari satu, tanda pertidaksamaan tetap:
4. Solusi grafis dari pertidaksamaan eksponensial
Contoh 6 - Selesaikan pertidaksamaan secara grafis:
Perhatikan fungsi pada ruas kiri dan kanan dan buat grafik dari masing-masing fungsi tersebut.
Fungsinya adalah eksponensial, meningkat di seluruh domain definisinya, yaitu, untuk semua nilai nyata dari argumen.
Fungsinya linier, berkurang di seluruh domain definisinya, yaitu, untuk semua nilai argumen yang sebenarnya.
Jika fungsi-fungsi ini tumpang tindih, yaitu sistem memiliki solusi, maka solusi tersebut unik dan dapat dengan mudah ditebak. Untuk melakukan ini, kami mengulangi bilangan bulat ()
Sangat mudah untuk melihat bahwa akar dari sistem ini adalah:
Dengan demikian, grafik fungsi berpotongan di suatu titik dengan argumen yang sama dengan satu.
Sekarang kita perlu mendapatkan jawaban. Arti dari pertidaksamaan yang diberikan adalah bahwa eksponen harus lebih besar dari atau sama dengan fungsi linier, yaitu lebih tinggi atau bertepatan dengannya. Jawaban yang jelas adalah: (Gambar 6.4)
Beras. 4. Ilustrasi misalnya 6
Jadi, kami telah mempertimbangkan solusi dari berbagai pertidaksamaan eksponensial yang khas. Selanjutnya, kita beralih ke pertimbangan pertidaksamaan eksponensial yang lebih kompleks.
Bibliografi
Mordkovich A.G. Aljabar dan Prinsip Analisis Matematika. - M.: Mnemosyne. Muravina G. K., Muravina O. V. Aljabar dan prinsip-prinsip analisis matematika. - M.: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. dkk. Aljabar dan prinsip-prinsip analisis matematika. - M.: Pendidikan.
Matematika. md. Matematika-pengulangan. com. berbeda. kemsu. ru.
Pekerjaan rumah
1. Aljabar dan analisis awal, nilai 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;
2. Selesaikan pertidaksamaan:
3. Memecahkan ketidaksetaraan.
Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial adalah persamaan dan pertidaksamaan di mana yang tidak diketahui terkandung dalam eksponen.
Penyelesaian persamaan eksponensial sering direduksi menjadi penyelesaian persamaan a x = a b, di mana a > 0, dan 1, x tidak diketahui. Persamaan ini memiliki akar unik x = b, karena teorema berikut ini benar:
Dalil. Jika a > 0, a 1 dan a x 1 = a x 2, maka x 1 = x 2.
Mari kita buktikan pernyataan yang dipertimbangkan.
Misalkan persamaan x 1 = x 2 tidak berlaku, mis. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, maka fungsi eksponensial y = ax meningkat dan oleh karena itu pertidaksamaan a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >ax2. Dalam kedua kasus, kami memperoleh kontradiksi dengan kondisi a x 1 = a x 2.
Mari kita pertimbangkan beberapa tugas.
Selesaikan persamaan 4 2 x = 1.
Larutan.
Kami menulis persamaan dalam bentuk 2 2 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0, dari mana kita mendapatkan x + 2 = 0, yaitu x = -2.
Menjawab. x = -2.
Selesaikan persamaan 2 3x 3 x = 576.
Larutan.
Karena 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk 8 x 3 x = 24 2 atau dalam bentuk 24 x = 24 2.
Oleh karena itu kita mendapatkan x = 2.
Menjawab. x = 2.
Selesaikan persamaan 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25.
Larutan.
Mengambil faktor persekutuan 3 x - 2 dari kurung di sebelah kiri, kita mendapatkan 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 25 = 25,
dari mana 3 x - 2 = 1, mis. x - 2 = 0, x = 2.
Menjawab. x = 2.
Selesaikan persamaan 3x = 7x.
Larutan.
Karena 7 x 0, persamaan dapat ditulis dalam bentuk 3 x / 7 x = 1, dimana (3/7) x = 1, x = 0.
Menjawab. x = 0.
Selesaikan persamaan 9 x - 4 3 x - 45 = 0.
Larutan.
Dengan mengganti 3 x = a, persamaan ini direduksi menjadi persamaan kuadrat a 2 - 4a - 45 = 0.
Memecahkan persamaan ini, kita menemukan akarnya: a 1 = 9, dan 2 = -5, dari mana 3 x = 9, 3 x = -5.
Persamaan 3 x = 9 memiliki akar 2, dan persamaan 3 x = -5 tidak memiliki akar, karena fungsi eksponensial tidak dapat mengambil nilai negatif.
Menjawab. x = 2.
Memecahkan pertidaksamaan eksponensial sering direduksi menjadi menyelesaikan pertidaksamaan a x> a b atau a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Mari kita pertimbangkan beberapa tugas.
Selesaikan 3 x Pertidaksamaan< 81.
Larutan.
Kami menulis pertidaksamaan dalam bentuk 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, maka fungsi y = 3 x meningkat.
Oleh karena itu, untuk x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Jadi, untuk x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Menjawab. NS< 4.
Selesaikan pertidaksamaan 16 x +4 x - 2> 0.
Larutan.
Kami menyatakan 4 x = t, maka kami mendapatkan pertidaksamaan kuadrat t2 + t - 2> 0.
Pertidaksamaan ini berlaku untuk t< -2 и при t > 1.
Karena t = 4 x, kita mendapatkan dua pertidaksamaan 4 x< -2, 4 х > 1.
Pertidaksamaan pertama tidak memiliki solusi, karena 4 x > 0 untuk semua x R.
Kami menulis pertidaksamaan kedua dalam bentuk 4 x> 4 0, di mana x> 0.
Menjawab. x>0.
Selesaikan persamaan (1/3) x = x - 2/3 secara grafis.
Larutan.
1) Mari kita buat grafik fungsi y = (1/3) x dan y = x - 2/3.
2) Berdasarkan gambar kami, kami dapat menyimpulkan bahwa grafik dari fungsi yang dipertimbangkan berpotongan di sebuah titik dengan absis x 1. Verifikasi membuktikan bahwa
x = 1 - akar persamaan ini:
(1/3) 1 = 1/3 dan 1 - 2/3 = 1/3.
Dengan kata lain, kami menemukan salah satu akar persamaan. 
3) Temukan akar lain atau buktikan bahwa tidak ada akar. Fungsi (1/3) x menurun, dan fungsi y = x - 2/3 meningkat. Oleh karena itu, untuk x> 1, nilai fungsi pertama kurang dari 1/3, dan yang kedua, lebih dari 1/3; di x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 dan x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Menjawab. x = 1.
Perhatikan bahwa dari penyelesaian masalah ini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa pertidaksamaan (1/3) x> x - 2/3 berlaku untuk x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.
Banyak orang berpikir bahwa ketidaksetaraan eksponensial sangat kompleks dan tidak dapat dipahami. Dan belajar bagaimana menyelesaikannya hampir merupakan seni yang hebat, yang hanya dapat dipahami oleh Terpilih ...
Omong kosong lengkap! Ketimpangan teladan itu mudah. Dan mereka selalu diselesaikan dengan sederhana. Yah, hampir selalu. :)
Hari ini kita akan menganalisis topik ini di dalam dan di luar. Pelajaran ini akan sangat berguna bagi mereka yang baru mulai memahami bagian matematika sekolah ini. Mari kita mulai dengan masalah sederhana dan beralih ke pertanyaan yang lebih kompleks. Tidak akan ada nyaring hari ini, tetapi apa yang Anda baca sekarang akan cukup untuk menyelesaikan sebagian besar ketidaksetaraan dalam kontrol dan pekerjaan independen apa pun. Dan pada ujian ini juga.
Seperti biasa, mari kita mulai dengan definisi. Pertidaksamaan eksponensial adalah setiap pertidaksamaan yang memiliki fungsi eksponensial. Dengan kata lain, itu selalu dapat direduksi menjadi ketidaksetaraan bentuk
\ [((a) ^ (x)) \ gt b \]
Dimana peran $b$ bisa berupa angka biasa, atau mungkin sesuatu yang lebih sulit. Contohnya? Ya silahkan:
\ [\ begin (align) & ((2) ^ (x)) \ gt 4; \ quad ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \ segi empat ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \ quad ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))). \\\ akhir (sejajarkan) \]
Saya pikir artinya jelas: ada fungsi eksponensial $ ((a) ^ (x)) $, dibandingkan dengan sesuatu, dan kemudian diminta untuk menemukan $ x $. Dalam kasus klinis khususnya, alih-alih variabel $ x $, mereka dapat mendorong beberapa fungsi $ f \ kiri (x \ kanan) $ dan dengan demikian sedikit memperumit ketidaksetaraan. :)
Tentu saja, dalam beberapa kasus, ketidaksetaraan bisa terlihat lebih parah. Sebagai contoh:
\ [((9) ^ (x)) + 8 \ gt ((3) ^ (x + 2)) \]
Atau bahkan ini:
Secara umum, kompleksitas pertidaksamaan tersebut bisa sangat berbeda, tetapi pada akhirnya tetap direduksi menjadi konstruksi sederhana $ ((a) ^ (x)) \ gt b $. Dan entah bagaimana kita akan mengetahuinya dengan konstruksi seperti itu (terutama dalam kasus klinis, ketika tidak ada yang terlintas dalam pikiran, logaritma akan membantu kita). Karena itu, sekarang kami akan mengajari Anda cara menyelesaikan konstruksi sederhana seperti itu.
Memecahkan Pertidaksamaan Eksponensial Paling Sederhana
Mari kita pertimbangkan sesuatu yang cukup sederhana. Misalnya, ini:
\ [((2) ^ (x)) \ gt 4 \]
Jelas, angka di sebelah kanan dapat ditulis ulang sebagai kekuatan dua: $ 4 = ((2) ^ (2)) $. Dengan demikian, ketidaksetaraan asli dapat ditulis ulang dalam bentuk yang sangat nyaman:
\ [((2) ^ (x)) \ gt ((2) ^ (2)) \]
Dan sekarang tangan gatal untuk "mencoret" dua di pangkalan derajat untuk mendapatkan jawaban $ x \ gt 2 $. Tapi sebelum mencoret apa pun di sana, mari kita ingat kekuatan dua:
\ [((2) ^ (1)) = 2; \ quad ((2) ^ (2)) = 4; \ quad ((2) ^ (3)) = 8; \ quad ((2) ^ ( 4)) = 16; ... \]
Seperti yang Anda lihat, semakin besar angka dalam eksponen, semakin besar angka outputnya. "Terima kasih, Cap!" - salah satu siswa akan berseru. Apakah ada yang berbeda? Sayangnya, itu terjadi. Sebagai contoh:
\ [((\ kiri (\ frac (1) (2) \ kanan)) ^ (1)) = \ frac (1) (2); \ quad ((\ kiri (\ frac (1) (2) \ kanan)) ^ (2)) = \ frac (1) (4); \ quad ((\ left (\ frac (1) (2) \ kanan)) ^ (3)) = \ frac (1) (8 ); ... \]
Di sini juga, semuanya logis: semakin besar derajatnya, semakin sering angka 0,5 dikalikan dengan dirinya sendiri (yaitu dibagi dua). Dengan demikian, urutan angka yang dihasilkan berkurang, dan perbedaan antara urutan pertama dan kedua hanya ada di pangkalan:
- Jika basis derajat adalah $a \ gt 1 $, maka dengan bertambahnya pangkat $ n $, angka $ ((a) ^ (n)) $ juga akan bertambah;
- Sebaliknya, jika $ 0 \ lt a \ lt 1 $, maka dengan bertambahnya pangkat $ n $, jumlah $ ((a) ^ (n)) $ akan berkurang.
Meringkas fakta-fakta ini, kita mendapatkan pernyataan paling penting yang menjadi dasar seluruh solusi pertidaksamaan eksponensial:
Jika $ a \ gt 1 $, maka pertidaksamaan $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ sama dengan pertidaksamaan $ x \ gt n $. Jika $ 0 \ lt a \ lt 1 $, maka pertidaksamaan $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ sama dengan pertidaksamaan $ x \ lt n $.
Dengan kata lain, jika basis lebih besar dari satu, Anda dapat menghapusnya tanpa mengubah tanda pertidaksamaan. Dan jika basisnya kurang dari satu, maka itu juga dapat dihilangkan, tetapi dalam kasus ini, tanda pertidaksamaan juga harus diubah.
Harap dicatat: kami belum mempertimbangkan opsi $ a = 1 $ dan $ a \ le 0 $. Karena dalam kasus ini, ketidakpastian muncul. Katakanlah bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan seperti $ ((1) ^ (x)) \ gt 3 $? Satu sampai tingkat apa pun akan kembali memberikan satu - kita tidak akan pernah mendapatkan tiga atau lebih. Itu. tidak ada solusi.
Bahkan lebih menarik dengan alasan negatif. Pertimbangkan, misalnya, ketidaksetaraan ini:
\ [((\ kiri (-2 \ kanan)) ^ (x)) \ gt 4 \]
Sekilas, semuanya sederhana:
Benar? Tapi tidak! Cukup dengan mengganti $ x $ beberapa bilangan genap dan beberapa bilangan ganjil untuk memastikan bahwa penyelesaiannya salah. Lihatlah:
\ [\ begin (align) & x = 4 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (4)) = 16 \ gt 4; \\ & x = 5 \ Panah kanan ((\ kiri (-2 \ kanan)) ^ (5)) = - 32 \ lt 4; \\ & x = 6 \ Panah kanan ((\ kiri (-2 \ kanan)) ^ (6)) = 64 \ gt 4; \\ & x = 7 \ Panah kanan ((\ kiri (-2 \ kanan)) ^ (7)) = - 128 \ lt 4. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Seperti yang Anda lihat, tanda-tandanya bergantian. Tapi masih ada pecahan derajat dan timah lainnya. Bagaimana, misalnya, Anda memesan untuk membaca $ ((\ left (-2 \ right)) ^ (\ sqrt (7))) $ (dikurangi dua pangkat tujuh)? Mustahil!
Oleh karena itu, untuk kepastian, diasumsikan bahwa dalam semua pertidaksamaan eksponensial (dan juga persamaan) $ 1 \ ne a \ gt 0 $. Dan kemudian semuanya diselesaikan dengan sangat sederhana:
\ [((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) \ Panah kanan \ kiri [\ mulai (sejajarkan) & x \ gt n \ quad \ kiri (a \ gt 1 \ kanan), \\ & x \ lt n \ quad \ kiri (0 \ lt a \ lt 1 \ kanan). \\\ akhir (sejajarkan) \ kanan. \]
Secara umum, sekali lagi ingat aturan utama: jika basis dalam persamaan eksponensial lebih besar dari satu, Anda cukup menghapusnya; dan jika alasnya kurang dari satu, bisa juga dihilangkan, tetapi tanda pertidaksamaannya akan berubah.
Contoh solusi
Jadi, pertimbangkan beberapa pertidaksamaan eksponensial sederhana:
\ [\ begin (align) & ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \\ & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25). \\\ akhir (sejajarkan) \]
Tugas utama dalam semua kasus adalah sama: untuk mengurangi ketidaksetaraan ke bentuk paling sederhana $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. Inilah tepatnya yang akan kita lakukan sekarang dengan setiap pertidaksamaan, dan pada saat yang sama kita akan mengulangi sifat-sifat derajat dan fungsi eksponensial. Jadi ayo pergi!
\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \]
Apa yang bisa dilakukan di sini? Nah, di sebelah kiri kita sudah memiliki ekspresi yang mengungkapkan - tidak ada yang perlu diubah. Tapi di sebelah kanan ada semacam omong kosong: pecahan, dan bahkan akar di penyebutnya!
Namun, mari kita ingat aturan untuk bekerja dengan pecahan dan pangkat:
\ [\ begin (align) & \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((a) ^ (- n)); \\ & \ kuadrat [k] (a) = ((a) ^ (\ frac (1) (k))). \\\ akhir (sejajarkan) \]
Apa artinya? Pertama, kita dapat dengan mudah menghilangkan pecahan dengan mengubahnya menjadi pangkat dengan eksponen negatif. Dan kedua, karena penyebut memiliki akar, akan lebih baik untuk mengubahnya menjadi kekuatan juga - kali ini dengan eksponen pecahan.
Kami menerapkan tindakan ini secara berurutan ke sisi kanan ketidaksetaraan dan melihat apa yang terjadi:
\ [\ frac (1) (\ sqrt (2)) = ((\ left (\ sqrt (2) \ right)) ^ (- 1)) = (\ left (((2) ^ (\ frac ( 1) (3))) \ kanan)) ^ (- 1)) = ((2) ^ (\ frac (1) (3) \ cdot \ kiri (-1 \ kanan))) = ((2) ^ (- \ frac (1) (3))) \]
Jangan lupa bahwa ketika menaikkan derajat ke derajat, indikator derajat ini ditambahkan. Dan secara umum, ketika bekerja dengan persamaan dan ketidaksetaraan eksponensial, Anda harus mengetahui setidaknya aturan paling sederhana untuk bekerja dengan derajat:
\ [\ begin (align) & ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)) = ((a) ^ (x + y)); \\ & \ frac (((a) ^ (x))) (((a) ^ (y))) = ((a) ^ (x-y)); \\ & ((\ kiri (((a) ^ (x)) \ kanan)) ^ (y)) = ((a) ^ (x \ cdot y)). \\\ akhir (sejajarkan) \]
Sebenarnya, kami baru saja menerapkan aturan terakhir. Oleh karena itu, ketidaksetaraan asli kami akan ditulis ulang sebagai berikut:
\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ Panah kanan ((2) ^ (x-1)) \ le ((2) ^ (- \ frac (1) (3))) \]
Sekarang kita singkirkan keduanya di pangkalan. Karena 2 > 1, tanda pertidaksamaan tetap sama:
\ [\ begin (align) & x-1 \ le - \ frac (1) (3) \ Rightarrow x \ le 1- \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3); \\ & x \ di \ kiri (- \ infty; \ frac (2) (3) \ kanan]. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Itulah seluruh solusi! Kesulitan utama sama sekali bukan dalam fungsi eksponensial, tetapi dalam transformasi kompeten dari ekspresi asli: Anda harus dengan hati-hati dan secepat mungkin membawanya ke bentuk yang paling sederhana.
Perhatikan pertidaksamaan kedua:
\ [((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \]
baik baik. Di sini pecahan desimal menunggu kita. Seperti yang telah saya katakan berkali-kali, dalam ekspresi apa pun dengan kekuatan, Anda harus menyingkirkan pecahan desimal - seringkali ini adalah satu-satunya cara untuk melihat solusi yang cepat dan mudah. Jadi kita akan menyingkirkan:
\ [\ begin (align) & 0,1 = \ frac (1) (10); \ quad 0,01 = \ frac (1) (100) = ((\ left (\ frac (1) (10) \) \ kanan)) ^ (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \ Panah kanan ((\ kiri (\ frac (1) (10) \ kanan)) ^ (1-x)) \ lt ( (\ kiri (\ frac (1) (10) \ kanan)) ^ (2)). \\\ akhir (sejajarkan) \]
Kami memiliki lagi ketidaksetaraan paling sederhana, dan bahkan dengan basis 1/10, yaitu. kurang dari satu. Nah, kami menghapus pangkalan, sepanjang jalan mengubah tanda dari "kurang" menjadi "lebih", dan kami mendapatkan:
\ [\ mulai (sejajarkan) & 1-x \ gt 2; \\ & -x \ gt 2-1; \\ & -x \ gt 1; \\ & x \ lt -1. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Kami mendapat jawaban akhir: $ x \ di \ kiri (- \ infty; -1 \ kanan) $. Harap dicatat: jawabannya persis himpunan, dan tidak berarti konstruksi seperti $ x \ lt -1 $. Karena secara formal konstruksi seperti itu bukanlah himpunan sama sekali, melainkan suatu pertidaksamaan terhadap variabel $ x $. Ya, ini sangat sederhana, tetapi bukan itu jawabannya!
Catatan penting... Ketidaksetaraan ini dapat diselesaikan dengan cara lain - dengan mengurangi kedua bagian ke tingkat dengan basis lebih besar dari satu. Lihatlah:
\ [\ frac (1) (10) = ((10) ^ (- 1)) \ Panah kanan ((\ kiri (((10) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (1-x)) \ lt ((\ kiri (((10) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (2)) \ Panah kanan ((10) ^ (- 1 \ cdot \ kiri (1-x \ kanan))) \ lt ((10) ^ (- 1 \ cdot 2)) \]
Setelah transformasi seperti itu, kami kembali memperoleh pertidaksamaan eksponensial, tetapi dengan basis 10> 1. Ini berarti Anda cukup mencoret sepuluh - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah dalam kasus ini. Kita mendapatkan:
\ [\ begin (sejajarkan) & -1 \ cdot \ kiri (1-x \ kanan) \ lt -1 \ cdot 2; \\ & x-1 \ lt -2; \\ & x \ lt -2 + 1 = -1; \\ & x \ lt -1. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Seperti yang Anda lihat, jawabannya persis sama. Pada saat yang sama, kami menyelamatkan diri dari kebutuhan untuk mengubah tanda dan umumnya mengingat beberapa aturan di sana. :)
\ [((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16 \]
Namun, jangan terintimidasi oleh ini. Apapun indikatornya, teknologi untuk mengatasi ketimpangan itu sendiri tetap sama. Oleh karena itu, perhatikan terlebih dahulu bahwa 16 = 2 4. Mari kita tulis ulang ketidaksetaraan asli dengan mengingat fakta ini:
\ [\ begin (align) & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt ((2) ^ (4)); \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 14 \ lt 4; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Hore! Kami mendapatkan ketidaksetaraan kuadrat biasa! Tanda tidak berubah di mana pun, karena ada dua di pangkalan - angka yang lebih besar dari satu.
Fungsi nol pada garis bilangan
Kami menempatkan tanda-tanda fungsi $ f \ kiri (x \ kanan) = ((x) ^ (2)) - 7x + 10 $ - jelas grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, sehingga akan ada "plus " di samping. Kami tertarik pada wilayah di mana fungsinya kurang dari nol, yaitu. $ x \ di \ kiri (2; 5 \ kanan) $ - ini adalah jawaban untuk masalah awal.
Akhirnya, pertimbangkan ketidaksetaraan lain:
\ [(((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \]
Sekali lagi kita melihat fungsi eksponensial dengan pecahan desimal di basis. Kami menerjemahkan pecahan ini menjadi pecahan biasa:
\ [\ begin (align) & 0,2 = \ frac (2) (10) = \ frac (1) (5) = ((5) ^ (- 1)) \ Rightarrow \\ & \ Rightarrow ((0 , 2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) = ((\ kiri (((5) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (1 + ((x) ^ (2) ))) = ((5) ^ (- 1 \ cdot \ kiri (1 + ((x) ^ (2)) \ kanan))) \ akhir (sejajarkan) \]
Dalam hal ini, kami menggunakan pernyataan yang diberikan sebelumnya - kami mengurangi basis menjadi angka 5> 1 untuk menyederhanakan keputusan kami selanjutnya. Mari kita lakukan hal yang sama dengan sisi kanan:
\ [\ frac (1) (25) = ((\ kiri (\ frac (1) (5) \ kanan)) ^ (2)) = ((\ kiri (((5) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (2)) = ((5) ^ (- 1 \ cdot 2)) = ((5) ^ (- 2)) \]
Mari kita tulis ulang pertidaksamaan asli dengan mempertimbangkan kedua transformasi:
\ [(((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \ Panah kanan ((5) ^ (- 1 \ cdot \ kiri (1+ ((x) ^ (2)) \ kanan))) \ ge ((5) ^ (- 2)) \]
Basis di kedua sisi adalah sama dan melebihi satu. Tidak ada istilah lain di kanan dan kiri, jadi kami hanya "mencoret" lima dan mendapatkan ekspresi yang sangat sederhana:
\ [\ begin (align) & -1 \ cdot \ left (1 + ((x) ^ (2)) \ right) \ ge -2; \\ & -1 - ((x) ^ (2)) \ ge -2; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -2 + 1; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -1; \ quad \ kiri | \ cdot \ kiri (-1 \ kanan) \ kanan. \\ & ((x) ^ (2)) \ le 1. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Di sini Anda harus berhati-hati. Banyak siswa suka mengambil akar kuadrat dari kedua sisi pertidaksamaan dan menulis sesuatu seperti $ x \ le 1 \ Panah kanan x \ di \ kiri (- \ infty; -1 \ kanan] $. Ini tidak boleh dilakukan, karena akar kuadrat eksak adalah modulus, dan tidak berarti variabel aslinya:
\ [\ kuadrat (((x) ^ (2))) = \ kiri | x \ kanan | \]
Namun, bekerja dengan modul bukanlah pengalaman yang paling menyenangkan, bukan? Jadi kita tidak akan bekerja. Sebagai gantinya, kami hanya memindahkan semua suku ke kiri dan menyelesaikan pertidaksamaan biasa menggunakan metode interval:
$ \ mulai (sejajarkan) & ((x) ^ (2)) - 1 \ le 0; \\ & \ kiri (x-1 \ kanan) \ kiri (x + 1 \ kanan) \ le 0 \\ & ((x) _ (1)) = 1; \ quad ((x) _ (2)) = -1; \\\ akhir (sejajarkan) $
Tandai lagi poin yang diperoleh pada garis bilangan dan lihat tanda-tandanya:
Harap dicatat: titik-titik diisi Karena kami menyelesaikan pertidaksamaan tak tegas, semua titik pada grafik terisi. Oleh karena itu, jawabannya akan seperti ini: $ x \ in \ left [-1; 1 \ right] $ bukan interval, tetapi segmen.
Secara umum, saya ingin mencatat bahwa tidak ada yang rumit dalam pertidaksamaan eksponensial. Arti dari semua transformasi yang kami lakukan hari ini bermuara pada algoritma sederhana:
- Temukan basis di mana kita akan mengurangi semua derajat;
- Lakukan transformasi dengan cermat untuk mendapatkan pertidaksamaan bentuk $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. Tentu saja, alih-alih variabel $ x $ dan $ n $, mungkin ada fungsi yang jauh lebih kompleks, tetapi artinya tidak akan berubah dari ini;
- Coret dasar derajat. Dalam hal ini, tanda pertidaksamaan dapat berubah jika alasnya adalah $ a \ lt 1 $.
Faktanya, ini adalah algoritma universal untuk menyelesaikan semua ketidaksetaraan tersebut. Dan semua yang masih akan memberi tahu Anda tentang topik ini hanyalah teknik dan trik khusus untuk menyederhanakan dan mempercepat transformasi. Sekarang kita akan berbicara tentang salah satu teknik ini. :)
Metode rasionalisasi
Pertimbangkan satu kelompok ketidaksetaraan lagi:
\ [\ begin (align) & ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ teks ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)); \\ & ((\ kiri (2 \ sqrt (3) -3 \ kanan)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1; \\ & ((\ kiri (\ frac (1) (3) \ kanan)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ kiri (\ frac (1) (9) \ kanan)) ^ (16-x)); \\ & ((\ left (3-2 \ sqrt (2) \ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1. \\\ end (align) \]
Jadi apa yang istimewa dari mereka? Mereka ringan. Meskipun, berhenti! Apakah dinaikkan sampai tingkat tertentu? Apa omong kosong ini?
Bagaimana cara menaikkan angka $2 \ sqrt (3) -3 $ menjadi pangkat? Atau $3-2 \ sqrt (2) $? Penulis masalah jelas mabuk Hawthorn sebelum mulai bekerja. :)
Sebenarnya, tidak ada yang salah dengan tugas-tugas ini. Biarkan saya mengingatkan Anda: fungsi eksponensial adalah ekspresi dari bentuk $ ((a) ^ (x)) $, di mana basis $ a $ adalah bilangan positif apa pun, dengan pengecualian satu. Angka positif - kita sudah tahu ini. Angka $2 \ sqrt (3) -3 $ dan $3-2 \ sqrt (2) $ juga positif - Anda dapat dengan mudah melihat ini jika Anda membandingkannya dengan nol.
Ternyata semua ketidaksetaraan yang "menakutkan" ini tidak berbeda dengan yang sederhana yang dibahas di atas? Dan apakah mereka diselesaikan dengan cara yang sama? Ya itu betul. Namun, dengan menggunakan contoh mereka, saya ingin mempertimbangkan satu teknik yang menghemat banyak waktu untuk pekerjaan mandiri dan ujian. Ini akan fokus pada metode rasionalisasi. Jadi, perhatian:
Setiap pertidaksamaan eksponensial dalam bentuk $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ setara dengan pertidaksamaan $ \ kiri (xn \ kanan) \ cdot \ kiri (a-1 \ kanan) \ gt 0 $.
Itulah seluruh metode. :) Apakah Anda berpikir bahwa akan ada beberapa pertandingan berikutnya? Tidak ada yang seperti ini! Tetapi fakta sederhana ini, yang ditulis secara harfiah dalam satu baris, akan sangat menyederhanakan pekerjaan kita. Lihatlah:
\ [\ begin (matriks) ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \ ! \! \ teks ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\ \ Bawah \\ \ kiri (x + 7- \ kiri (((x) ^ (2)) -3x + 2 \ kanan) \ kanan) \ cdot \ kiri (\ teks () \! \! \ Pi \! \! \ Teks () -1 \ kanan) \ gt 0 \\\ end (matriks) \]
Tidak ada lagi fungsi indikatif! Dan Anda tidak perlu mengingat apakah tanda itu berubah atau tidak. Tetapi masalah baru muncul: apa yang harus dilakukan dengan pengganda sialan \ [\ left (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ right) \]? Kita tidak tahu berapa nilai pasti dari . Namun, kapten tampaknya mengisyaratkan kejelasan:
\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () \ kira-kira 3,14 ... \ gt 3 \ Rightarrow \ text () \! \! \ pi \! \! \ text ( ) - 1 \ gt 3-1 = 2 \]
Secara umum, nilai pasti tidak terlalu mengganggu kita - penting bagi kita untuk memahami bahwa bagaimanapun juga $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ gt 2 $, yaitu. ini adalah konstanta positif, dan kita dapat membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan itu:
\ [\ begin (align) & \ left (x + 7- \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ right) \ right) \ cdot \ left (\ text () \! \! \ pi \! \! \ teks () -1 \ kanan) \ gt 0 \\ & x + 7- \ kiri (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ kanan) \ gt 0; \\ & x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ gt 0; \ quad \ kiri | \ cdot \ kiri (-1 \ kanan) \ kanan. \\ & ((x) ^ (2)) - 4x-5 \ lt 0; \\ & \ kiri (x-5 \ kanan) \ kiri (x + 1 \ kanan) \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Seperti yang Anda lihat, pada saat tertentu saya harus membagi dengan minus satu, dan tanda pertidaksamaan berubah. Pada akhirnya, saya memperluas trinomial kuadrat sesuai dengan teorema Vieta - jelas bahwa akarnya sama dengan $ ((x) _ (1)) = 5 $ dan $ ((x) _ (2)) = - 1 $. Kemudian semuanya diselesaikan dengan metode interval klasik:
Menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval Semua poin tertusuk karena ketidaksetaraan asli ketat. Kami tertarik pada daerah dengan nilai negatif, jadi jawabannya adalah $ x \ di \ kiri (-1; 5 \ kanan) $. Itulah seluruh solusi. :)
Mari kita beralih ke tugas berikutnya:
\ [((\ kiri (2 \ persegi (3) -3 \ kanan)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 \]
Secara umum, semuanya sederhana di sini, karena ada satu di sebelah kanan. Dan kita ingat bahwa satu adalah bilangan apa saja hingga derajat nol. Bahkan jika angka ini adalah ekspresi irasional di kiri bawah:
\ [\ begin (align) & ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 = ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ kanan)) ^ (0)); \\ & ((\ kiri (2 \ persegi (3) -3 \ kanan)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt ((\ kiri (2 \ persegi (3) -3 \ kanan)) ^ (0)); \\\ akhir (sejajarkan) \]
Baiklah, mari kita rasionalkan:
\ [\ begin (align) & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -3-1 \ right) \ lt 0; \\ & \ kiri (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ kanan) \ cdot \ kiri (2 \ sqrt (3) -4 \ kanan) \ lt 0; \\ & \ kiri (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ kanan) \ cdot 2 \ kiri (\ sqrt (3) -2 \ kanan) \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \ ]
Tetap hanya berurusan dengan tanda-tanda. Faktor $2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) $ tidak mengandung variabel $ x $ - itu hanya konstanta, dan kita perlu mencari tahu tandanya. Untuk melakukannya, perhatikan hal berikut:
\ [\ begin (matriks) \ sqrt (3) \ lt \ sqrt (4) = 2 \\ \ Downarrow \\ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 2 \ cdot \ kiri (2 -2 \ kanan) = 0 \\\ akhir (matriks) \]
Ternyata faktor kedua bukan hanya konstanta, tetapi konstanta negatif! Dan ketika membaginya, tanda pertidaksamaan asli akan berubah menjadi sebaliknya:
\ [\ begin (align) & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 2x-0 \ gt 0; \\ & x \ kiri (x-2 \ kanan) \ gt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Sekarang semuanya menjadi sangat jelas. Akar-akar trinomial kuadrat di sebelah kanan adalah: $ ((x) _ (1)) = 0 $ dan $ ((x) _ (2)) = 2 $. Kami menandainya pada garis bilangan dan melihat tanda-tanda fungsi $ f \ kiri (x \ kanan) = x \ kiri (x-2 \ kanan) $:
Kasus di mana kita tertarik pada interval sisi Kami tertarik pada interval yang ditandai dengan tanda plus. Tetap hanya untuk menuliskan jawabannya:
Pindah ke contoh berikutnya:
\ [((\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ left (\ frac (1) (9) \ kanan)) ^ (16-x)) \]
Nah, semuanya cukup jelas di sini: di pangkalan ada kekuatan dengan nomor yang sama. Oleh karena itu, saya akan menuliskan semuanya secara singkat:
\ [\ begin (matriks) \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)); \ quad \ frac (1) (9) = \ frac (1) (((3) ^ ( 2))) = ((3) ^ (- 2)) \\ \ Panah bawah \\ ((\ kiri (((3) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (((x) ^ (2) ) + 2x)) \ gt ((\ kiri (((3) ^ (- 2)) \ kanan)) ^ (16-x)) \\\ akhir (matriks) \]
\ [\ begin (align) & ((3) ^ (- 1 \ cdot \ left (((x) ^ (2)) + 2x \ right))) \ gt ((3) ^ (- 2 \ cdot \ kiri (16-x \ kanan))); \\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2)) - 2x)) \ gt ((3) ^ (- 32 + 2x)); \\ & \ kiri (- ((x) ^ (2)) - 2x- \ kiri (-32 + 2x \ kanan) \ kanan) \ cdot \ kiri (3-1 \ kanan) \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \ gt 0; \ quad \ kiri | \ cdot \ kiri (-1 \ kanan) \ kanan. \\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \ lt 0; \\ & \ kiri (x + 8 \ kanan) \ kiri (x-4 \ kanan) \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Seperti yang Anda lihat, dalam proses transformasi, kami harus mengalikan dengan angka negatif, sehingga tanda pertidaksamaan berubah. Di bagian paling akhir, saya kembali menerapkan teorema Vieta untuk memfaktorkan trinomial persegi. Akibatnya, jawabannya adalah sebagai berikut: $ x \ di \ kiri (-8; 4 \ kanan) $ - mereka yang ingin dapat memverifikasi ini dengan menggambar garis bilangan, menandai titik dan menghitung tanda. Sementara itu, kita akan beralih ke pertidaksamaan terakhir dari "set" kita:
\ [((\ kiri (3-2 \ sqrt (2) \ kanan)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1 \]
Seperti yang Anda lihat, di pangkalan ada lagi bilangan irasional, dan di sebelah kanan ada lagi satu. Oleh karena itu, kami menulis ulang ketidaksetaraan eksponensial kami sebagai berikut:
\ [((\ left (3-2 \ sqrt (2) \ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt ((\ left (3-2 \ sqrt (2) \ kanan)) ^ (0)) \]
Kami menerapkan rasionalisasi:
\ [\ begin (align) & \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot \ left (3-2 \ sqrt (2) -1 \ right) \ lt 0; \\ & \ kiri (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ kanan) \ cdot \ kiri (2-2 \ sqrt (2) \ kanan) \ lt 0; \\ & \ kiri (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ kanan) \ cdot 2 \ kiri (1- \ sqrt (2) \ kanan) \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \ ]
Namun, cukup jelas bahwa $ 1- \ sqrt (2) \ lt 0 $, karena $ \ sqrt (2) \ kira-kira 1,4 ... \ gt 1 $. Oleh karena itu, faktor kedua sekali lagi merupakan konstanta negatif, yang dengannya kedua sisi pertidaksamaan dapat dibagi:
\ [\ begin (matrix) \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot 2 \ left (1- \ sqrt (2) \ right) \ lt 0 \\ \ Downarrow \ \\ akhir (matriks) \]
\ [\ begin (align) & 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ gt 0; \\ & 3x - ((x) ^ (2)) \ gt 0; \ quad \ kiri | \ cdot \ kiri (-1 \ kanan) \ kanan. \\ & ((x) ^ (2)) - 3x \ lt 0; \\ & x \ kiri (x-3 \ kanan) \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Pindah ke pangkalan lain
Masalah terpisah dalam memecahkan pertidaksamaan eksponensial adalah pencarian dasar yang "benar". Sayangnya, pada pandangan pertama suatu tugas tidak selalu jelas apa yang harus diambil sebagai dasar dan apa yang harus dilakukan dengan tingkat dasar ini.
Tapi jangan khawatir: tidak ada sihir atau teknologi "rahasia" di sini. Dalam matematika, keterampilan apa pun yang tidak dapat dialgoritme dapat dengan mudah dikembangkan melalui latihan. Tetapi untuk ini, Anda harus memecahkan masalah dengan tingkat kerumitan yang berbeda. Misalnya, ini adalah:
\ [\ begin (align) & ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))); \\ & ((\ kiri (\ frac (1) (3) \ kanan)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & ((\ kiri (0,16 \ kanan)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ kiri (6,25 \ kanan)) ^ (x)) \ ge 1; \\ & ((\ kiri (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ kanan)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Keras? Takut? Ini lebih mudah daripada ayam di aspal! Mari mencoba. Ketimpangan pertama:
\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))) \]
Yah, saya pikir semuanya jelas di sini dan landak:
Kami menulis ulang ketidaksetaraan asli, mengurangi semuanya menjadi basis "dua":
\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((2) ^ (\ frac (8) (x))) \ Panah kanan \ kiri (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ kanan) \ cdot \ kiri (2-1 \ kanan) \ lt 0 \]
Ya, ya, Anda benar: Saya baru saja menerapkan metode rasionalisasi yang dijelaskan di atas. Sekarang kita perlu bekerja dengan hati-hati: kita memiliki ketidaksetaraan fraksional-rasional (ini adalah satu dengan variabel dalam penyebut), oleh karena itu, sebelum menyamakan sesuatu menjadi nol, perlu untuk membawa semuanya ke penyebut yang sama dan menyingkirkan konstanta faktor.
\ [\ begin (sejajarkan) & \ kiri (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ kanan) \ cdot \ kiri (2-1 \ kanan) \ lt 0; \\ & \ kiri (\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ kanan) \ cdot 1 \ lt 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Sekarang kita menggunakan metode spasi standar. Pembilang nol: $x = \pm 4 $. Penyebut hilang hanya ketika $ x = 0 $. Secara total, ada tiga titik yang harus ditandai pada garis bilangan (semua titik tertusuk, karena tanda pertidaksamaan ketat). Kita mendapatkan:
Kasus yang lebih kompleks: tiga akar Seperti yang Anda duga, penetasan menandai interval di mana ekspresi di sebelah kiri mengambil nilai negatif. Oleh karena itu, dua interval akan masuk ke jawaban akhir sekaligus:
Ujung interval tidak termasuk dalam jawaban karena pertidaksamaan aslinya ketat. Tidak diperlukan pemeriksaan lebih lanjut pada jawaban ini. Dalam hal ini, pertidaksamaan eksponensial jauh lebih sederhana daripada pertidaksamaan logaritmik: tidak ada ODV, tidak ada batasan, dll.
Mari kita beralih ke tugas berikutnya:
\ [((\ kiri (\ frac (1) (3) \ kanan)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) \]
Di sini juga tidak ada masalah, karena kita telah mengetahui bahwa $ \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)) $, sehingga seluruh pertidaksamaan dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\ [\ begin (align) & ((\ left (((3) ^ (- 1)) \ right)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x )) \ Panah kanan ((3) ^ (- \ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & \ kiri (- \ frac (3) (x) - \ kiri (2 + x \ kanan) \ kanan) \ cdot \ kiri (3-1 \ kanan) \ ge 0; \\ & \ kiri (- \ frac (3) (x) -2-x \ kanan) \ cdot 2 \ ge 0; \ quad \ kiri | : \ kiri (-2 \ kanan) \ kanan. \\ & \ frac (3) (x) + 2 + x \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \ le 0. \\\ end (align) \]
Harap dicatat: di baris ketiga, saya memutuskan untuk tidak membuang waktu untuk hal-hal sepele dan segera membagi semuanya menjadi (−2). Lulus masuk ke braket pertama (sekarang ada plus di mana-mana), dan keduanya dibatalkan dengan pengganda konstan. Inilah tepatnya yang harus Anda lakukan ketika merancang perhitungan nyata untuk pekerjaan independen dan kontrol - Anda tidak perlu melukis setiap tindakan dan transformasi secara langsung.
Selanjutnya, metode spasi yang sudah dikenal ikut bermain. Numerator nol: tetapi sebenarnya tidak. Karena diskriminan akan negatif. Pada gilirannya, penyebut dinolkan hanya pada $ x = 0 $ - seperti terakhir kali. Nah, jelas bahwa di sebelah kanan $ x = 0 $ pecahan akan mengambil nilai positif, dan ke kiri - yang negatif. Karena kita tertarik pada nilai negatif, jawaban akhirnya adalah $ x \ di \ kiri (- \ infty; 0 \ kanan) $.
\ [((\ kiri (0,16 \ kanan)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ kiri (6,25 \ kanan)) ^ (x)) \ ge 1 \]
Tapi apa yang harus Anda lakukan dengan pecahan desimal dalam pertidaksamaan eksponensial? Itu benar: singkirkan mereka, terjemahkan menjadi yang biasa. Jadi kami akan menerjemahkan:
\ [\ begin (align) & 0.16 = \ frac (16) (100) = \ frac (4) (25) \ Rightarrow ((\ left (0,16 \ right)) ^ (1 + 2x)) = ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (1 + 2x)); \\ & 6,25 = \ frac (625) (100) = \ frac (25) (4) \ Panah kanan ((\ kiri (6,25 \ kanan)) ^ (x)) = ((\ kiri (\ frac (25) (4) \ kanan)) ^ (x)). \\\ akhir (sejajarkan) \]
Jadi apa yang kita dapatkan di dasar-dasar fungsi eksponensial? Dan kami mendapat dua angka yang saling terbalik:
\ [\ frac (25) (4) = ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (- 1)) \ Panah kanan ((\ kiri (\ frac (25) (4) \ kanan)) ^ (x)) = ((\ kiri (((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (x)) = ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (- x)) \]
Dengan demikian, pertidaksamaan asli dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\ [\ begin (align) & ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ left (\ frac (4) (25) \ right) ) ^ (- x)) \ ge 1; \\ & ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (1 + 2x + \ kiri (-x \ kanan))) \ ge ((\ kiri (\ frac (4) (25 ) \ kanan)) ^ (0)); \\ & ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (0) ). \\\ akhir (sejajarkan) \]
Tentu saja, ketika derajat dengan basis yang sama dikalikan, indikatornya bertambah, yang terjadi pada baris kedua. Selain itu, kami menyajikan satuan di sebelah kanan, juga dalam bentuk gelar dengan basis 4/25. Tetap hanya untuk melakukan rasionalisasi:
\ [((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (0)) \ Panah kanan \ kiri (x + 1-0 \ kanan) \ cdot \ kiri (\ frac (4) (25) -1 \ kanan) \ ge 0 \]
Perhatikan bahwa $ \ frac (4) (25) -1 = \ frac (4-25) (25) \ lt 0 $, mis. faktor kedua adalah konstanta negatif, dan ketika dibagi dengannya, tanda pertidaksamaan akan berubah:
\ [\ begin (align) & x + 1-0 \ le 0 \ Rightarrow x \ le -1; \\ & x \ di \ kiri (- \ infty; -1 \ kanan]. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Akhirnya, ketidaksetaraan terakhir dari "set" saat ini:
\ [((\ kiri (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ kanan)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81 \]
Pada prinsipnya, ide penyelesaiannya juga jelas di sini: semua fungsi eksponensial yang termasuk dalam pertidaksamaan harus direduksi menjadi basis "3". Tetapi untuk ini, Anda harus sedikit mengotak-atik akar dan derajat:
\ [\ begin (align) & \ frac (27) (\ sqrt (3)) = \ frac (((3) ^ (3))) (((3) ^ (\ frac (1) (3)) )) = ((3) ^ (3- \ frac (1) (3))) = ((3) ^ (\ frac (8) (3))); \\ & 9 = ((3) ^ (2)); \ quad 81 = ((3) ^ (4)). \\\ akhir (sejajarkan) \]
Dengan mempertimbangkan fakta-fakta ini, ketidaksetaraan asli dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\ [\ begin (align) & ((\ left (((3) ^ (\ frac (8) (3))) \ right)) ^ (- x)) \ lt ((\ left (((3)) ^ (2)) \ kanan)) ^ (4-2x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x + 4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (4-4x)). \\\ akhir (sejajarkan) \]
Perhatikan baris perhitungan ke-2 dan ke-3: sebelum melakukan apa pun dengan ketidaksetaraan, pastikan untuk membawanya ke bentuk yang kita bicarakan sejak awal pelajaran: $ ((a) ^ (x)) \ lt ((a) ^ (n)) $. Selama Anda memiliki beberapa faktor kiri, konstanta tambahan, dll. di kiri atau kanan Anda, tidak ada rasionalisasi dan "mencoret" alasan dapat dilakukan! Tugas yang tak terhitung jumlahnya telah salah karena kesalahpahaman fakta sederhana ini. Saya sendiri terus-menerus mengamati masalah ini di antara siswa saya ketika kami baru mulai menganalisis pertidaksamaan eksponensial dan logaritmik.
Tapi kembali ke masalah kita. Mari kita coba lakukan tanpa rasionalisasi kali ini. Ingat: basis derajat lebih besar dari satu, sehingga tiga kali lipat dapat dengan mudah dicoret - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah dalam kasus ini. Kita mendapatkan:
\ [\ begin (sejajarkan) & - \ frac (8x) (3) \ lt 4-4x; \\ & 4x- \ frac (8x) (3) \ lt 4; \\ & \ frac (4x) (3) \ lt 4; \\ & 4x \ lt 12; \\ & x \ lt 3. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Itu saja. Jawaban terakhir adalah $ x \ di \ kiri (- \ infty; 3 \ kanan) $.
Menyoroti ekspresi stabil dan mengganti variabel
Sebagai kesimpulan, saya mengusulkan untuk memecahkan empat pertidaksamaan eksponensial lagi, yang sudah cukup sulit bagi siswa yang tidak terlatih. Untuk mengatasinya, Anda perlu mengingat aturan untuk bekerja dengan gelar. Secara khusus, menghilangkan faktor umum dari tanda kurung.
Tetapi yang paling penting adalah belajar memahami apa sebenarnya yang bisa dikeluarkan dari kurung. Ekspresi seperti itu disebut stabil - dapat ditunjuk dengan variabel baru dan dengan demikian menghilangkan fungsi eksponensial. Jadi, mari kita lihat tugasnya:
\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6; \\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90; \\ & ((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500; \\ & ((\ kiri (0,5 \ kanan)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Mari kita mulai dengan baris pertama. Mari kita tulis pertidaksamaan ini secara terpisah:
\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6 \]
Perhatikan bahwa $ ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (x + 1 + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ cdot 5 $, jadi tangan kanan sisi dapat menulis ulang:
Perhatikan bahwa tidak ada fungsi eksponensial lain, kecuali $ ((5) ^ (x + 1)) $, dalam pertidaksamaan. Dan secara umum, variabel $ x $ tidak ditemukan di tempat lain, jadi kami memperkenalkan variabel baru: $ ((5) ^ (x + 1)) = t $. Kami mendapatkan konstruksi berikut:
\ [\ mulai (sejajarkan) & 5t + t \ ge 6; \\ & 6t \ ge 6; \\ & t \ ge 1. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Kami kembali ke variabel asli ($ t = ((5) ^ (x + 1)) $), dan pada saat yang sama ingat bahwa 1 = 5 0. Kita punya:
\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x + 1)) \ ge ((5) ^ (0)); \\ & x + 1 \ ge 0; \\ & x \ ge -1. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Itulah seluruh solusi! Jawaban: $ x \ di \ kiri [-1; + \ infty \ kanan) $. Kami lolos ke ketidaksetaraan kedua:
\ [((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90 \]
Semuanya sama di sini. Perhatikan bahwa $ ((3) ^ (x + 2)) = ((3) ^ (x)) \ cdot ((3) ^ (2)) = 9 \ cdot ((3) ^ (x)) $ . .. Kemudian sisi kiri dapat ditulis ulang:
\ [\ begin (align) & ((3) ^ (x)) + 9 \ cdot ((3) ^ (x)) \ ge 90; \ quad \ left | ((3) ^ (x)) = t \ kanan. \\ & t + 9t \ ge 90; \\ & 10t \ ge 90; \\ & t \ ge 9 \ Panah kanan ((3) ^ (x)) \ ge 9 \ Panah kanan ((3) ^ (x)) \ ge ((3) ^ (2)); \\ & x \ ge 2 \ Panah kanan x \ di \ kiri [2; + \ infty \ kanan). \\\ akhir (sejajarkan) \]
Ini kira-kira bagaimana Anda perlu membuat keputusan tentang kontrol nyata dan pekerjaan mandiri.
Nah, mari kita coba sesuatu yang lebih rumit. Misalnya, inilah ketidaksetaraan:
\ [((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500 \]
Apa masalahnya di sini? Pertama-tama, basis fungsi eksponensial di sebelah kiri berbeda: 5 dan 25. Namun, 25 = 5 2, sehingga suku pertama dapat diubah:
\ [\ mulai (sejajarkan) & ((25) ^ (x + 1,5)) = ((\ kiri (((5) ^ (2)) \ kanan)) ^ (x + 1,5)) = ((5) ^ (2x + 3)); \\ & ((5) ^ (2x + 3)) = ((5) ^ (2x + 2 + 1)) = ((5) ^ (2x + 2)) \ cdot 5. \\\ end (sejajarkan ) \]
Seperti yang Anda lihat, pada awalnya kami mengarahkan semuanya ke basis yang sama, dan kemudian kami perhatikan bahwa suku pertama dapat dengan mudah dikurangi menjadi yang kedua - cukup dengan memperluas indikator. Sekarang Anda dapat memasukkan variabel baru dengan aman: $ ((5) ^ (2x + 2)) = t $, dan seluruh pertidaksamaan akan ditulis ulang sebagai berikut:
\ [\ mulai (sejajarkan) & 5t-t \ ge 2500; \\ & 4t \ ge 2500; \\ & t \ ge 625 = ((5) ^ (4)); \\ & ((5) ^ (2x + 2)) \ ge ((5) ^ (4)); \\ & 2x + 2 \ ge 4; \\ & 2x \ ge 2; \\ & x \ ge 1. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Sekali lagi, tidak ada kesulitan! Jawaban terakhir adalah $ x \ di \ kiri [1; + \ infty \ kanan) $. Pindah ke ketidaksetaraan terakhir dalam pelajaran hari ini:
\ [((\ kiri (0,5 \ kanan)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768 \]
Hal pertama yang harus diperhatikan adalah tentu saja pecahan desimal di dasar derajat pertama. Hal ini diperlukan untuk menyingkirkannya, dan pada saat yang sama untuk membawa semua fungsi eksponensial ke basis yang sama - angka "2":
\ [\ begin (align) & 0.5 = \ frac (1) (2) = ((2) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ left (0.5 \ right)) ^ (- 4x- 8)) = ((\ kiri (((2) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (- 4x-8)) = ((2) ^ (4x + 8)); \\ & 16 = ((2) ^ (4)) \ Panah kanan ((16) ^ (x + 1,5)) = ((\ kiri (((2) ^ (4)) \ kanan)) ^ ( x + 1.5)) = ((2) ^ (4x + 6)); \\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \ gt 768. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Hebat, kami mengambil langkah pertama - semuanya mengarah ke fondasi yang sama. Sekarang kita perlu memilih ekspresi yang stabil. Perhatikan bahwa $ ((2) ^ (4x + 8)) = ((2) ^ (4x + 6 + 2)) = ((2) ^ (4x + 6)) \ cdot 4 $. Jika kita memasukkan variabel baru $ ((2) ^ (4x + 6)) = t $, maka pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\ [\ mulai (sejajarkan) & 4t-t \ gt 768; \\ & 3t \ gt 768; \\ & t \ gt 256 = ((2) ^ (8)); \\ & ((2) ^ (4x + 6)) \ gt ((2) ^ (8)); \\ & 4x + 6 \ gt 8; \\ & 4x \ gt 2; \\ & x \ gt \ frac (1) (2) = 0,5. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Secara alami, pertanyaan mungkin muncul: bagaimana kita menemukan bahwa 256 = 2 8? Sayangnya, di sini Anda hanya perlu mengetahui kekuatan dua (dan pada saat yang sama kekuatan tiga dan lima). Nah, atau bagi 256 dengan 2 (bisa dibagi, karena 256 adalah bilangan genap) sampai kita mendapatkan hasilnya. Ini akan terlihat seperti ini:
\ [\ begin (align) & 256 = 128 \ cdot 2 = \\ & = 64 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 32 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 16 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 8 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 4 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = ((2) ^ (8)). ) \]
Itu sama dengan tiga (angka 9, 27, 81 dan 243 adalah kekuatannya), dan dengan tujuh (angka 49 dan 343 juga bagus untuk diingat). Nah, lima besar ini juga punya gelar "cantik" yang perlu kamu ketahui:
\ [\ mulai (sejajarkan) & ((5) ^ (2)) = 25; \\ & ((5) ^ (3)) = 125; \\ & ((5) ^ (4)) = 625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\ akhir (sejajarkan) \]
Tentu saja, semua angka ini, jika diinginkan, dapat direkonstruksi dalam pikiran, hanya dengan mengalikannya satu sama lain secara berurutan. Namun, ketika Anda harus menyelesaikan beberapa pertidaksamaan eksponensial, dan setiap pertidaksamaan berikutnya lebih rumit dari yang sebelumnya, maka hal terakhir yang ingin Anda pikirkan adalah pangkat beberapa angka. Dan dalam pengertian ini, masalah ini lebih kompleks daripada ketidaksetaraan "klasik", yang diselesaikan dengan metode interval.
dan x = b adalah persamaan eksponensial paling sederhana. Di dalam dia Sebuah lebih besar dari nol dan tetapi tidak sama dengan satu.
Memecahkan persamaan eksponensial
Dari sifat-sifat fungsi eksponensial, kita tahu bahwa rentang nilainya terbatas pada bilangan real positif. Maka jika b = 0, persamaan tidak memiliki solusi. Situasi yang sama terjadi, dalam persamaan di mana b
Sekarang kita asumsikan bahwa b> 0. Jika dalam fungsi eksponensial basis Sebuah lebih besar dari satu, maka fungsi akan meningkat di seluruh domain definisi. Jika dalam fungsi eksponensial untuk basis tetapi kondisi berikut terpenuhi 0 Berdasarkan ini dan menerapkan teorema akar, kita memperoleh bahwa persamaan a x = b memiliki satu akar tunggal, untuk b> 0 dan positif Sebuah tidak sama dengan satu. Untuk menemukannya, Anda perlu merepresentasikan b dalam bentuk b = a c. Perhatikan contoh berikut: Selesaikan persamaan 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 25. Mari kita nyatakan 25 sebagai 5 2, kita mendapatkan: 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2. Atau apa yang setara: x 2 - 2 * x - 1 = 2. Kami memecahkan persamaan kuadrat yang dihasilkan dengan salah satu cara yang diketahui. Kami mendapatkan dua akar x = 3 dan x = -1. Jawaban: 3; -1. Selesaikan persamaan 4 x - 5 * 2 x + 4 = 0. Ganti t = 2 x dan dapatkan persamaan kuadrat berikut: t 2 - 5 * t + 4 = 0. Selesaikan persamaan 2 x = 1 dan 2 x = 4. Jawaban: 0; 2. Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial paling sederhana juga didasarkan pada sifat fungsi naik dan turun. Jika dalam fungsi eksponensial basis a lebih besar dari satu, maka fungsi tersebut akan meningkat di seluruh domain definisi. Jika dalam fungsi eksponensial untuk basis tetapi kondisi berikut terpenuhi: 0 Perhatikan sebuah contoh: selesaikan pertidaksamaan (0,5) (7 - 3 * x)< 4. Perhatikan bahwa 4 = (0,5) 2. Maka pertidaksamaan berbentuk (0,5) (7 - 3 * x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Kami mendapatkan: 7 - 3 * x> -2. Oleh karena itu: x<3. jawaban: x<3. Jika pada pertidaksamaan basisnya lebih dari satu, maka pada saat menghilangkan basis, tanda pertidaksamaan tidak perlu diubah.
Maka jelas bahwa dengan akan menjadi solusi untuk persamaan a x = a c.
Kami memecahkan persamaan ini dengan salah satu cara yang diketahui. Kami mendapatkan akar t1 = 1 t2 = 4Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial
Memuat ...