რის ტოლია სინუს კოსინუსური ტანგენტური კოტანგენსი? რა არის სინუსი და კოსინუსი

სინუსი და კოსინუსი თავდაპირველად წარმოიშვა მართკუთხა სამკუთხედებში რაოდენობების გამოთვლის აუცილებლობის გამო. შენიშნა, რომ თუ მართკუთხა სამკუთხედში კუთხეების გრადუსის ზომა არ იცვლება, მაშინ ასპექტის თანაფარდობა, რაც არ უნდა შეიცვალოს ეს გვერდები სიგრძეში, ყოველთვის იგივე რჩება.

ასე შემოვიდა სინუსის და კოსინუსის ცნებები. მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე მხარის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, ხოლო კოსინუსი არის ჰიპოტენუზას მიმდებარე გვერდის თანაფარდობა.

კოსინუსების და სინუსების თეორემები

მაგრამ კოსინუსები და სინუსები შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მართკუთხა სამკუთხედებისთვის. ნებისმიერი სამკუთხედის ბლაგვი ან მახვილი კუთხის ან გვერდის მნიშვნელობის საპოვნელად საკმარისია გამოვიყენოთ კოსინუსებისა და სინუსების თეორემა.

კოსინუსების თეორემა საკმაოდ მარტივია: „სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამის გამოკლებით ორჯერ ამ გვერდების ნამრავლსა და მათ შორის კუთხის კოსინუსს“.

სინუსების თეორემის ორი ინტერპრეტაცია არსებობს: მცირე და გაფართოებული. არასრულწლოვნის მიხედვით: "სამკუთხედში კუთხეები მოპირდაპირე გვერდების პროპორციულია." ეს თეორემა ხშირად ფართოვდება სამკუთხედის შემოხაზული წრის თვისების გამო: „სამკუთხედში კუთხეები მოპირდაპირე გვერდების პროპორციულია და მათი თანაფარდობა უდრის შემოხაზული წრის დიამეტრს“.

წარმოებულები

წარმოებული არის მათემატიკური ინსტრუმენტი, რომელიც აჩვენებს რამდენად სწრაფად იცვლება ფუნქცია მისი არგუმენტის ცვლილებასთან შედარებით. წარმოებულები გამოიყენება გეომეტრიაში და რიგ ტექნიკურ დისციპლინაში.

პრობლემების გადაჭრისას, თქვენ უნდა იცოდეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების ტაბულური მნიშვნელობები: სინუსი და კოსინუსი. სინუსის წარმოებული არის კოსინუსი, ხოლო კოსინუსი არის სინუსი, მაგრამ მინუს ნიშნით.

გამოყენება მათემატიკაში

ამოხსნისას განსაკუთრებით ხშირად გამოიყენება სინუსები და კოსინუსები მართკუთხა სამკუთხედებიდა მათთან დაკავშირებული ამოცანები.

სინუსებისა და კოსინუსების მოხერხებულობა აისახება ტექნოლოგიაშიც. კუთხეების და გვერდების შეფასება ადვილი იყო კოსინუსებისა და სინუსების თეორემების გამოყენებით, რთული ფორმებისა და ობიექტების დაშლა „მარტივ“ სამკუთხედებად. ინჟინრები, რომლებიც ხშირად საქმიანობენ ასპექტის თანაფარდობების გამოთვლებით და ხარისხობრივი ზომებით, დიდ დროს და ძალისხმევას ხარჯავდნენ არატაბულური კუთხეების კოსინუსებისა და სინუსების გამოთვლაში.

შემდეგ ბრედისის ცხრილები მოვიდა სამაშველოში, რომელიც შეიცავს სხვადასხვა კუთხის სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ათასობით მნიშვნელობას. IN საბჭოთა დროზოგიერთი მასწავლებელი აიძულებდა თავის მოსწავლეებს დაემახსოვრებინათ ბრედისის ცხრილების გვერდები.

რადიანი არის რკალის კუთხის მნიშვნელობა, რომლის სიგრძე უდრის რადიუსს ან 57,295779513° გრადუსს.

ხარისხი (გეომეტრიაში) - წრის 1/360 ნაწილი ან მართი კუთხის 1/90 ნაწილი.

π = 3.141592653589793238462… (P-ის მიახლოებითი მნიშვნელობა).

კოსინუსების ცხრილი კუთხეებისთვის: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

კუთხე x (გრადულებში)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
კუთხე x (რადანებში)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

როგორ მოვძებნოთ სინუსი?

გეომეტრიის შესწავლა ხელს უწყობს აზროვნების განვითარებას. ეს საგანი აუცილებლად შედის სასკოლო ტრენინგში. ყოველდღიურ ცხოვრებაში, ამ საგნის ცოდნა შეიძლება სასარგებლო იყოს - მაგალითად, ბინის დაგეგმვისას.

ისტორიიდან

გეომეტრიის კურსი ასევე მოიცავს ტრიგონომეტრიას, რომელიც სწავლობს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს. ტრიგონომეტრიაში ვსწავლობთ კუთხეების სინუსებს, კოსინუსებს, ტანგენტებს და კოტანგენტებს.

მაგრამ ამ მომენტშიდავიწყოთ უმარტივესი რამით - სინუსით. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ პირველივე კონცეფცია - კუთხის სინუსი გეომეტრიაში. რა არის სინუსი და როგორ მოვძებნოთ იგი?

"სინუსური კუთხის" და სინუსოიდების კონცეფცია

კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე მხარის მნიშვნელობებისა და მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზას თანაფარდობა. ეს არის პირდაპირი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც იწერება როგორც "sin (x)", სადაც (x) არის სამკუთხედის კუთხე.

გრაფიკზე კუთხის სინუსი მითითებულია სინუსური ტალღით თავისი მახასიათებლებით. სინუსუსური ტალღა ჰგავს უწყვეტ ტალღოვან ხაზს, რომელიც დევს გარკვეულ საზღვრებში კოორდინატულ სიბრტყეზე. ფუნქცია კენტია, ამიტომ კოორდინატულ სიბრტყეზე სიმეტრიულია დაახლოებით 0-ზე (იგი გამოდის კოორდინატების საწყისიდან).

ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი მდგომარეობს დეკარტის კოორდინატთა სისტემაზე -1-დან +1-მდე დიაპაზონში. სინუსური კუთხის ფუნქციის პერიოდი არის 2 Pi. ეს ნიშნავს, რომ ყოველ 2 Pi-ზე ნიმუში მეორდება და სინუსური ტალღა გადის სრულ ციკლს.

სინუს ტალღის განტოლება

• sin x = a/c
• სადაც a არის სამკუთხედის კუთხის საპირისპირო ფეხი
• გ - მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა

კუთხის სინუსის თვისებები

1. sin(x) = - sin(x). ეს მახასიათებელი აჩვენებს, რომ ფუნქცია სიმეტრიულია და თუ მნიშვნელობები x და (-x) კოორდინატთა სისტემაზეა გამოსახული ორივე მიმართულებით, მაშინ ამ წერტილების ორდინატები საპირისპირო იქნება. ისინი ერთმანეთისგან თანაბარ მანძილზე იქნებიან.
2. ამ ფუნქციის კიდევ ერთი თვისებაა ის, რომ ფუნქციის გრაფიკი იზრდება სეგმენტზე [- P/2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], სადაც n არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი. სეგმენტზე შეინიშნება კუთხის სინუსის გრაფიკის შემცირება: [P/2 + 2Pn]; [3P/2 + 2Pn].
3. sin(x) > 0, როდესაც x არის დიაპაზონში (2Пn, П + 2Пn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

კუთხის სინუსების მნიშვნელობები განისაზღვრება სპეციალური ცხრილების გამოყენებით. ასეთი ცხრილები შეიქმნა რთული ფორმულებისა და განტოლებების გამოთვლის პროცესის გასაადვილებლად. მისი გამოყენება მარტივია და შეიცავს არა მხოლოდ sin(x) ფუნქციის მნიშვნელობებს, არამედ სხვა ფუნქციების მნიშვნელობებსაც.

უფრო მეტიც, ამ ფუნქციების სტანდარტული მნიშვნელობების ცხრილი შედის მეხსიერების სავალდებულო შესწავლაში, გამრავლების ცხრილის მსგავსად. ეს განსაკუთრებით ეხება ფიზიკური და მათემატიკური მიკერძოების მქონე კლასებს. ცხრილში შეგიძლიათ იხილოთ ტრიგონომეტრიაში გამოყენებული ძირითადი კუთხეების მნიშვნელობები: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 და 360 გრადუსი.

ასევე არსებობს ცხრილი, რომელიც განსაზღვრავს არასტანდარტული კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს. უპირატესობის მიღება სხვადასხვა მაგიდები, შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ ზოგიერთი კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი.

განტოლებები მზადდება ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით. ამ განტოლებების ამოხსნა მარტივია, თუ იცით მარტივი ტრიგონომეტრიული იდენტობებიდა ფუნქციების შემცირება, მაგალითად, როგორიცაა sin (P/2 + x) = cos (x) და სხვა. ასეთი შემცირებისთვის ცალკე ცხრილიც შედგენილია.

როგორ მოვძებნოთ კუთხის სინუსი

როდესაც ამოცანაა ვიპოვოთ კუთხის სინუსი, და მდგომარეობის მიხედვით გვაქვს მხოლოდ კუთხის კოსინუსი, ტანგენსი ან კოტანგენსი, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გამოვთვალოთ რა გვჭირდება ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

ამ განტოლებიდან შეგვიძლია ვიპოვოთ სინუსიც და კოსინუსიც, იმისდა მიხედვით თუ რომელი მნიშვნელობა უცნობია. ჩვენ ვიღებთ ტრიგონომეტრიულ განტოლებას ერთი უცნობით:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• საწოლი 2 x + 1 = 1 / ცოდვა 2 x

ამ განტოლებიდან შეგიძლიათ იპოვოთ სინუსის მნიშვნელობა კუთხის კოტანგენსის მნიშვნელობის ცოდნით. გასამარტივებლად, შეცვალეთ sin 2 x = y და თქვენ გაქვთ მარტივი განტოლება. მაგალითად, კოტანგენტის მნიშვნელობა არის 1, შემდეგ:

• 1 + 1 = 1/წ
• 2 = 1/წ
• 2უ = 1
• y = 1/2

ახლა ჩვენ ვასრულებთ მოთამაშის საპირისპირო შეცვლას:

• ცოდვა 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

ვინაიდან ჩვენ ავიღეთ კოტანგენტის მნიშვნელობა სტანდარტული კუთხისთვის (45 0), მიღებული მნიშვნელობები შეიძლება შემოწმდეს ცხრილში.

თუ თქვენ გაქვთ ტანგენტური მნიშვნელობა და გჭირდებათ სინუსის პოვნა, სხვა ტრიგონომეტრიული იდენტურობა დაგეხმარებათ:

• tg x * ctg x = 1

Აქედან გამომდინარეობს, რომ:

• cot x = 1 / tan x

იმისათვის, რომ იპოვოთ არასტანდარტული კუთხის სინუსი, მაგალითად, 240 0, თქვენ უნდა გამოიყენოთ კუთხის შემცირების ფორმულები. ვიცით, რომ π შეესაბამება 180 0-ს. ამრიგად, ჩვენ გამოვხატავთ ჩვენს თანასწორობას სტანდარტული კუთხეების გამოყენებით გაფართოებით.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ შემდეგი: ცოდვა (180 0 + 60 0). ტრიგონომეტრიაში არსებობს შემცირების ფორმულები, რომლებიც ამ შემთხვევაშიგამოდგება. ეს არის ფორმულა:

• sin (π + x) = - ცოდვა (x)

ამრიგად, 240 გრადუსიანი კუთხის სინუსი უდრის:

• ცოდვა (180 0 + 60 0) = - ცოდვა (60 0) = - √3/2

ჩვენს შემთხვევაში, x = 60 და P, შესაბამისად, 180 გრადუსი. ჩვენ ვიპოვეთ მნიშვნელობა (-√3/2) სტანდარტული კუთხეების ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილიდან.

ამ გზით შესაძლებელია არასტანდარტული კუთხეების გაფართოება, მაგალითად: 210 = 180 + 30.

ტრიგონომეტრიული იდენტობები- ეს არის ტოლობები, რომლებიც ამყარებენ ურთიერთობას ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის, რაც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ რომელიმე ამ ფუნქციიდან, იმ პირობით, რომ რომელიმე სხვა ცნობილია.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

ეს იდენტურობა ამბობს, რომ ერთი კუთხის სინუსის კვადრატისა და ერთი კუთხის კოსინუსის კვადრატის ჯამი უდრის ერთს, რაც პრაქტიკაში შესაძლებელს ხდის გამოთვალოს ერთი კუთხის სინუსი, როდესაც ცნობილია მისი კოსინუსი და პირიქით. .

ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაციისას ძალიან ხშირად გამოიყენება ეს იდენტურობა, რაც საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ერთი კუთხის კოსინუსის და სინუსის კვადრატების ჯამი ერთით და ასევე შეასრულოთ ჩანაცვლების ოპერაცია საპირისპირო მიზნით.

ტანგენტისა და კოტანგენსის პოვნა სინუსის და კოსინუსის გამოყენებით

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

ეს იდენტობები ჩამოყალიბებულია სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებებიდან. ბოლოს და ბოლოს, თუ დააკვირდებით, მაშინ განსაზღვრებით y ორდინატი არის სინუსი, ხოლო აბსცისა x არის კოსინუსი. მაშინ ტანგენსი თანაფარდობის ტოლი იქნება \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)და თანაფარდობა \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- იქნება კოტანგენსი.

დავამატოთ, რომ მხოლოდ ისეთ კუთხეებზე \ალფა, რომლებშიც მათში შემავალი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აზრიანია, იდენტობები შენარჩუნდება, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Მაგალითად: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)მოქმედებს იმ კუთხეებისთვის, რომლებიც განსხვავდება ერთმანეთისგან \frac(\pi)(2)+\pi z, ა ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-ს გარდა \alpha კუთხისთვის, z არის მთელი რიცხვი.

კავშირი ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

ეს იდენტურობა მოქმედებს მხოლოდ \alpha კუთხებისთვის, რომლებიც განსხვავდება \frac(\pi)(2) z. წინააღმდეგ შემთხვევაში, არც კოტანგენსი და არც ტანგენსი არ განისაზღვრება.

ზემოაღნიშნული პუნქტებიდან გამომდინარე, მივიღებთ იმას tg \alpha = \frac(y)(x), ა ctg \alpha=\frac(x)(y). Აქედან გამომდინარეობს, რომ tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. ამრიგად, ერთი და იგივე კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი, რომლითაც ისინი აზრიანია, ურთიერთშებრუნებული რიცხვებია.

კავშირი ტანგენტსა და კოსინუსს, კოტანგენტსა და სინუსს შორის

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- \ალფა კუთხის ტანგენსის კვადრატის ჯამი უდრის ამ კუთხის კოსინუსის შებრუნებულ კვადრატს. ეს იდენტიფიკაცია მოქმედებს ყველა \alpha-სთვის, გარდა \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1-ისა და კუთხის \ალფას კოტანგენსის კვადრატის ჯამი უდრის მოცემული კუთხის სინუსის შებრუნებულ კვადრატს. ეს იდენტიფიკაცია მოქმედებს ნებისმიერი \alpha-სთვის, რომელიც განსხვავდება \pi z.

მაგალითები პრობლემების გადაწყვეტით ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით

მაგალითი 1

იპოვეთ \sin \alpha და tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12და \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

გამოსავლის ჩვენება

გამოსავალი

ფუნქციები \sin \alpha და \cos \alpha დაკავშირებულია ფორმულით \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. ჩანაცვლება ამ ფორმულაში \cos \alpha = -\frac12, ვიღებთ:

\sin^(2)\ალფა + \მარცხნივ (-\frac12 \მარჯვნივ)^2 = 1

ამ განტოლებას აქვს 2 ამონახსნი:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

პირობით \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . მეორე კვარტალში სინუსი დადებითია, ასე რომ \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tan \alpha-ს საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

მაგალითი 2

იპოვეთ \cos \alpha და ctg \alpha თუ და \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

გამოსავლის ჩვენება

გამოსავალი

ჩანაცვლება ფორმულაში \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1მოცემული ნომერი \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), ვიღებთ \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. ამ განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

პირობით \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . მეორე მეოთხედში კოსინუსი უარყოფითია, ასე რომ \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ctg \alpha, ვიყენებთ ფორმულას ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). ჩვენ ვიცით შესაბამისი მნიშვნელობები.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

საცნობარო მონაცემები ტანგენსისთვის (tg x) და კოტანგენსისთვის (ctg x). გეომეტრიული განსაზღვრება, თვისებები, გრაფიკები, ფორმულები. ტანგენტებისა და კოტანგენტების ცხრილი, წარმოებულები, ინტეგრალები, სერიების გაფართოებები. გამონათქვამები რთული ცვლადების მეშვეობით. კავშირი ჰიპერბოლურ ფუნქციებთან.

გეომეტრიული განსაზღვრება

|BD| - წრის რკალის სიგრძე A წერტილში ცენტრით.
α არის რადიანებში გამოხატული კუთხე.

ტანგენტი ( tan α) არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, უდრის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის თანაფარდობას |BC| მიმდებარე ფეხის სიგრძემდე |AB| .

კოტანგენსი ( ctg α) არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, ტოლია მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობის |AB| მოპირდაპირე ფეხის სიგრძემდე |ძვ.წ.| .

ტანგენტი

სად ნ- მთლიანი.

დასავლურ ლიტერატურაში ტანგენტი შემდეგნაირად აღინიშნება:
.
;
;
.

ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი, y = tan x

კოტანგენსი

სად ნ- მთლიანი.

დასავლურ ლიტერატურაში კოტანგენტს აღნიშნავენ შემდეგნაირად:
.
ასევე მიღებულია შემდეგი აღნიშვნები:
;
;
.

კოტანგენსი ფუნქციის გრაფიკი, y = ctg x

ტანგენსის და კოტანგენსის თვისებები

პერიოდულობა

ფუნქციები y = tg xდა y = ctg xპერიოდულია π პერიოდით.

პარიტეტი

ტანგენსი და კოტანგენსი ფუნქციები უცნაურია.

განსაზღვრებისა და ღირებულებების სფეროები, მზარდი, კლებადი

ტანგენსი და კოტანგენსი ფუნქციები უწყვეტია მათი განმარტების სფეროში (იხ. უწყვეტობის მტკიცებულება). ტანგენტისა და კოტანგენსის ძირითადი თვისებები მოცემულია ცხრილში ( ნ- მთლიანი).

	y = tg x	y = ctg x
ფარგლები და უწყვეტობა
ღირებულებების დიაპაზონი	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
მზარდი		-
Დაღმავალი	-
უკიდურესობები	-	-
ნულები, y = 0
კვეთის წერტილები ორდინატთა ღერძით, x = 0	y = 0	-

ფორმულები

გამონათქვამები სინუსის და კოსინუსის გამოყენებით

; ;
; ;
;

ტანგენტებისა და კოტანგენტების ფორმულები ჯამიდან და სხვაობიდან

დანარჩენი ფორმულების მიღება მარტივია, მაგალითად

ტანგენტების პროდუქტი

ტანგენტების ჯამისა და სხვაობის ფორმულა

ამ ცხრილში მოცემულია ტანგენტებისა და კოტანგენტების მნიშვნელობები არგუმენტის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის.

გამოთქმები რთული რიცხვების გამოყენებით

გამოხატვები ჰიპერბოლური ფუნქციების საშუალებით

;
;

წარმოებულები

; .

.
n-ე რიგის წარმოებული ფუნქციის x ცვლადის მიმართ:
.
ტანგენტების ფორმულების გამოყვანა > > > ; კოტანგენტისთვის >>>

ინტეგრალები

სერიის გაფართოება

x-ის სიმძლავრეებში ტანგენსის გაფართოების მისაღებად, თქვენ უნდა აიღოთ გაფართოების რამდენიმე ტერმინი სიმძლავრის სერიაში ფუნქციებისთვის. ცოდვა xდა cos xდა გავყოთ ეს მრავალწევრები ერთმანეთზე, . ეს აწარმოებს შემდეგ ფორმულებს.

ზე.

ზე.
სად ბნ- ბერნულის ნომრები. ისინი განისაზღვრება ან განმეორებითი ურთიერთობით:
;
;
სად .
ან ლაპლასის ფორმულის მიხედვით:

ინვერსიული ფუნქციები

ტანგენტისა და კოტანგენსის შებრუნებული ფუნქციებია, შესაბამისად, არქტანგენსი და არკოტანგენსი.

არქტანგენტი, არქტგ

, სად ნ- მთლიანი.

Arccotangent, arcctg

, სად ნ- მთლიანი.

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.
G. Korn, მათემატიკის სახელმძღვანელო ამისთვის მეცნიერ მუშაკებსდა ინჟინრები, 2012 წ.

ჩვენ დავიწყებთ ტრიგონომეტრიის შესწავლას მართკუთხა სამკუთხედით. მოდით განვსაზღვროთ რა არის სინუსი და კოსინუსი, ასევე მახვილი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი. ეს არის ტრიგონომეტრიის საფუძვლები.

შეგახსენებთ რომ სწორი კუთხეარის 90 გრადუსის ტოლი კუთხე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნახევარი შემობრუნებული კუთხე.

მკვეთრი კუთხე- 90 გრადუსზე ნაკლები.

ბუნდოვანი კუთხე- 90 გრადუსზე მეტი. ასეთ კუთხთან მიმართებაში „ბუნდოვანი“ შეურაცხყოფა კი არა, მათემატიკური ტერმინია :-)

დავხატოთ მართკუთხა სამკუთხედი. მართი კუთხე ჩვეულებრივ აღინიშნება . გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ კუთხის მოპირდაპირე მხარე მითითებულია იგივე ასოებით, მხოლოდ მცირე. ამრიგად, A-ს მოპირდაპირე კუთხე აღინიშნება.

კუთხე მითითებულია შესაბამისი ბერძნული ასო.

ჰიპოტენუზამართკუთხა სამკუთხედის არის მარჯვენა კუთხის მოპირდაპირე მხარე.

ფეხები- მწვავე კუთხით მოპირდაპირე მხარეები.

კუთხის მოპირდაპირე ფეხს ეძახიან საწინააღმდეგო(კუთხის მიმართ). მეორე ფეხი, რომელიც დევს კუთხის ერთ-ერთ მხარეს, ე.წ მიმდებარე.

სინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

კოსინუსიმწვავე კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

ტანგენტიმახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელთან:

კიდევ ერთი (ექვივალენტური) განმარტება: მახვილი კუთხის ტანგენსი არის კუთხის სინუსის თანაფარდობა მის კოსინუსთან:

კოტანგენსიმახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს (ან, რაც იგივეა, კოსინუსისა და სინუსების თანაფარდობა):

გაითვალისწინეთ ქვემოთ მოცემული სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ძირითადი მიმართებები. ისინი გამოგვადგება პრობლემების გადაჭრისას.

მოდით დავამტკიცოთ ზოგიერთი მათგანი.

კარგი, ჩვენ მივეცით განმარტებები და ჩამოვწერეთ ფორმულები. მაგრამ რატომ გვჭირდება ისევ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი?

ჩვენ ეს ვიცით ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ტოლია.

ჩვენ ვიცით შორის ურთიერთობა პარტიებიმართკუთხა სამკუთხედი. ეს არის პითაგორას თეორემა: .

გამოდის, რომ სამკუთხედში ორი კუთხის ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე. მართკუთხა სამკუთხედის ორი გვერდის ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე. ეს ნიშნავს, რომ კუთხეებს აქვთ საკუთარი თანაფარდობა, ხოლო გვერდებს აქვთ საკუთარი. მაგრამ რა უნდა გააკეთოთ, თუ მართკუთხა სამკუთხედში იცით ერთი კუთხე (გარდა მართი კუთხისა) და ერთი გვერდი, მაგრამ უნდა იპოვოთ სხვა გვერდები?

ეს არის ის, რასაც წარსულში ადამიანები ხვდებოდნენ ტერიტორიისა და ვარსკვლავური ცის რუქების შედგენისას. ყოველივე ამის შემდეგ, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი სამკუთხედის ყველა მხარის პირდაპირ გაზომვა.

სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი - მათ ასევე უწოდებენ ტრიგონომეტრიული კუთხის ფუნქციები- მისცეს ურთიერთობები შორის პარტიებიდა კუთხეებისამკუთხედი. კუთხის ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია სპეციალური ცხრილების გამოყენებით. და იცოდეთ სამკუთხედის და მისი ერთ-ერთი კუთხის კუთხის სინუსები, კოსინუსები და ტანგენტები, შეგიძლიათ იპოვოთ დანარჩენი.

ჩვენ ასევე დავხატავთ ცხრილს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობების "კარგი" კუთხეებისთვის.

გთხოვთ, გაითვალისწინოთ ცხრილში ორი წითელი ტირე. შესაბამისი კუთხის მნიშვნელობებზე ტანგენსი და კოტანგენსი არ არსებობს.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე ტრიგონომეტრიის პრობლემას FIPI Task Bank-იდან.

1. სამკუთხედში კუთხე არის , . იპოვე .

პრობლემა მოგვარებულია ოთხ წამში.

Იმიტომ რომ , .

2. სამკუთხედში კუთხე არის , , . იპოვე .

მოდი ვიპოვოთ პითაგორას თეორემის გამოყენებით.

პრობლემა მოგვარებულია.

ხშირად პრობლემებში არის სამკუთხედები კუთხეებით და ან კუთხეებით და. დაიმახსოვრე მათთვის ძირითადი კოეფიციენტები ზეპირად!

სამკუთხედისთვის კუთხით და კუთხის მოპირდაპირე ფეხი ტოლია ჰიპოტენუზის ნახევარი.

სამკუთხედი კუთხეებით და არის ტოლფერდა. მასში ჰიპოტენუზა ჯერ უფრო დიდია ვიდრე ფეხი.

ჩვენ შევხედეთ ამოცანებს მართკუთხა სამკუთხედების ამოხსნისას - ანუ უცნობი გვერდების ან კუთხეების პოვნა. მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის! IN ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ვარიანტებიმათემატიკაში ბევრი პრობლემაა, სადაც ჩნდება სამკუთხედის გარე კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ან კოტანგენსი. მეტი ამის შესახებ შემდეგ სტატიაში.