ტრიგონომეტრიაში ბევრი ფორმულის გამოყვანა უფრო ადვილია, ვიდრე დასამახსოვრებელი. ორმაგი კუთხის კოსინუსი მშვენიერი ფორმულაა! ეს საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ფორმულები გრადუსების შემცირებისთვის და ფორმულები ნახევარი კუთხისთვის.
ასე რომ, ჩვენ გვჭირდება ორმაგი კუთხის კოსინუსი და ტრიგონომეტრიული ერთეული:
ისინი მსგავსნიც კი არიან: ორმაგი კუთხის კოსინუსების ფორმულაში ეს არის სხვაობა კოსინუსისა და სინუსის კვადრატებს შორის, ხოლო ტრიგონომეტრიულ ერთეულში მათი ჯამი. თუ გამოვხატავთ კოსინუსს ტრიგონომეტრიული ერთეულიდან:
და ჩავანაცვლოთ ორმაგი კუთხის კოსინუსში, მივიღებთ:
ეს არის კიდევ ერთი ორკუთხა კოსინუსის ფორმულა:
ეს ფორმულა არის გასაღები შემცირების ფორმულის მისაღებად:
ასე რომ, სინუსის ხარისხის შემცირების ფორმულა არის:
თუ მასში ალფა კუთხე ჩანაცვლებულია ნახევარი კუთხით ალფა ნახევარში, ხოლო ორმაგი კუთხე ორი ალფა ჩანაცვლებულია ალფა კუთხით, მაშინ ვიღებთ ნახევარკუთხის ფორმულას სინუსისთვის:
ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვხატოთ სინუსი ტრიგონომეტრიული ერთეულიდან:
მოდით ჩავანაცვლოთ ეს გამოხატულება ორმაგი კუთხის კოსინუს ფორმულაში:
ჩვენ მივიღეთ კიდევ ერთი ფორმულა ორმაგი კუთხის კოსინუსისთვის:
ეს ფორმულა არის გასაღები კოსინუსის სიმძლავრის შემცირების ფორმულისა და კოსინუსისთვის ნახევარკუთხის შესამცირებლად.
ამრიგად, კოსინუსის ხარისხის შემცირების ფორმულა არის:
თუ α/2-ით შევცვლით, ხოლო 2α-ს α-ით, მივიღებთ კოსინუსის ნახევარ არგუმენტის ფორმულას:
ვინაიდან ტანგენტი არის სინუსისა და კოსინუსის თანაფარდობა, ტანგენტის ფორმულა არის:
კოტანგენსი არის კოსინუსის შეფარდება სინუსთან. ამრიგად, კოტანგენტის ფორმულა არის:
რა თქმა უნდა, ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივების პროცესში აზრი არ აქვს ნახევარი კუთხის ფორმულის გამოყვანას ან ყოველ ჯერზე ხარისხის შემცირებას. ბევრად უფრო ადვილია ფურცლის დაყენება ფორმულებით. და გამარტივება უფრო სწრაფად გადავა და ვიზუალური მეხსიერება ჩართავს დამახსოვრებას.
მაგრამ მაინც ღირს ამ ფორმულების რამდენჯერმე გამოყვანა. მაშინ სრულიად დარწმუნებული იქნები, რომ გამოცდის დროს, როცა შეუძლებელია ჩეთ ფურცლის გამოყენება, საჭიროების შემთხვევაში ადვილად მიიღებ მათ.
სინუსური მნიშვნელობები მოცემულია ინტერვალში [-1; 1], ე.ი. -1 ≤ sin α ≤ 1. ამიტომ, თუ |a| > 1, მაშინ განტოლებას sin x = a არ აქვს ფესვები. მაგალითად, განტოლებას sin x = 2 არ აქვს ფესვები.
მოდით შევხედოთ რამდენიმე პრობლემას.
ამოხსენით განტოლება sin x = 1/2.
გამოსავალი.
გაითვალისწინეთ, რომ sin x არის წერტილის ორდინატი ერთეულ წრეზე, რომელიც მიიღება წერტილის P (1; 0) x კუთხით საწყისის გარშემო ბრუნვით.
½-ის ტოლი ორდინატი არის M 1 და M 2 წრის ორ წერტილში.
ვინაიდან 1/2 = sin π/6, მაშინ M 1 წერტილი მიიღება P წერტილიდან (1; 0) x 1 = π/6 კუთხით ბრუნვით, ასევე x = π/6 + 2πk კუთხით, სადაც k. = +/-1, +/-2,…
წერტილი M 2 მიიღება P წერტილიდან (1; 0) x 2 = 5π/6 კუთხით ბრუნვის შედეგად, ასევე x = 5π/6 + 2πk კუთხით, სადაც k = +/-1, + /-2, ... , ე.ი. კუთხეებით x = π – π/6 + 2πk, სადაც k = +/-1, +/-2, ….
ასე რომ, განტოლების ყველა ფესვი sin x = 1/2 შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით x = π/6 + 2πk, x = π – π/6 + 2πk, სადაც k € Z.
ეს ფორმულები შეიძლება გაერთიანდეს ერთში: x = (-1) n π/6 + πn, სადაც n € Z (1).
მართლაც, თუ n არის ლუწი რიცხვი, ე.ი. n = 2k, მაშინ (1) ფორმულიდან ვიღებთ x = π/6 + 2πk და თუ n კენტი რიცხვია, ე.ი. n = 2k + 1, შემდეგ ფორმულიდან (1) ვიღებთ x = π – π/6 + 2πk.
უპასუხე. x = (-1) n π/6 + πn, სადაც n € Z.
ამოხსენით განტოლება sin x = -1/2.
გამოსავალი.
ორდინატს -1/2 აქვს M 1 და M 2 ერთეული წრის ორი წერტილი, სადაც x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. შესაბამისად, განტოლების ყველა ფესვი sin x = -1/2 შეიძლება მოიძებნოს x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k € Z ფორმულების გამოყენებით.
ჩვენ შეგვიძლია გავაერთიანოთ ეს ფორმულები ერთში: x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z (2).
მართლაც, თუ n = 2k, მაშინ ფორმულის გამოყენებით (2) ვიღებთ x = -π/6 + 2πk და თუ n = 2k – 1, მაშინ ფორმულის გამოყენებით (2) ვპოულობთ x = -5π/6 + 2πk.
უპასუხე. x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z.
ამრიგად, თითოეულ განტოლებას sin x = 1/2 და sin x = -1/2 აქვს ფესვების უსასრულო რაოდენობა.
სეგმენტზე -π/2 ≤ x ≤ π/2, თითოეულ ამ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი:
x 1 = π/6 არის განტოლების ფესვი sin x = 1/2 და x 1 = -π/6 არის განტოლების ფესვი sin x = -1/2.
რიცხვს π/6 ეწოდება 1/2 რიცხვის რკალი და იწერება: arcsin 1/2 = π/6; რიცხვს -π/6 ეწოდება -1/2 რიცხვის რკალი და იწერება: arcsin (-1/2) = -π/6.
ზოგადად, განტოლებას sin x = a, სადაც -1 ≤ a ≤ 1, აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი სეგმენტზე -π/2 ≤ x ≤ π/2. თუ a ≥ 0, მაშინ ფესვი შედის ინტერვალში; თუ< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
ამრიგად, რიცხვის რკალი a € [–1; 1] ასეთ რიცხვს ეწოდება € [–π/2; π/2], რომლის სინუსი ტოლია a.
аrcsin а = α, თუ sin α = а და -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
მაგალითად, аrcsin √2/2 = π/4, ვინაიდან sin π/4 = √2/2 და – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
аrcsin (-√3/2) = -π/3, ვინაიდან sin (-π/3) = -√3/2 და – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
ისევე, როგორც ეს გაკეთდა 1 და 2 ამოცანების ამოხსნისას, შეიძლება აჩვენოს, რომ განტოლების ფესვები sin x = a, სადაც |a| ≤ 1, გამოხატული ფორმულით
x = (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4).
ჩვენ ასევე შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი € [-1; 1] ფორმულა аrcsin (-а) = -аrcsin а მოქმედებს.
ფორმულიდან (4) გამომდინარეობს, რომ განტოლების ფესვები
sin x = a = 0-სთვის, a = 1, a = -1 შეგიძლიათ იპოვოთ მარტივი ფორმულების გამოყენებით:
sin x = 0 x = πn, n € Z (5)
sin x = 1 x = π/2 + 2πn, n € Z (6)
sin x = -1 x = -π/2 + 2πn, n € Z (7)
ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.
|BD| - წრის რკალის სიგრძე A წერტილში ცენტრით.
α არის რადიანებში გამოხატული კუთხე.
ტანგენტი ( tan α) არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, უდრის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის თანაფარდობას |BC| მიმდებარე ფეხის სიგრძემდე |AB| .
კოტანგენსი ( ctg α) არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, ტოლია მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობის |AB| მოპირდაპირე ფეხის სიგრძემდე |ძვ.წ.| .
ტანგენტი
სად ნ- მთლიანი.
დასავლურ ლიტერატურაში ტანგენტი შემდეგნაირად აღინიშნება:
.
;
;
.
ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი, y = tan x
კოტანგენსი
სად ნ- მთლიანი.
დასავლურ ლიტერატურაში კოტანგენტს აღნიშნავენ შემდეგნაირად:
.
ასევე მიღებულია შემდეგი აღნიშვნები:
;
;
.
კოტანგენსი ფუნქციის გრაფიკი, y = ctg x
ტანგენსის და კოტანგენსის თვისებები
პერიოდულობა
ფუნქციები y = tg xდა y = ctg xპერიოდულია π პერიოდით.
პარიტეტი
ტანგენსი და კოტანგენსი ფუნქციები უცნაურია.
განსაზღვრებისა და ღირებულებების სფეროები, მზარდი, კლებადი
ტანგენსი და კოტანგენსი ფუნქციები უწყვეტია მათი განმარტების სფეროში (იხ. უწყვეტობის მტკიცებულება). ტანგენტისა და კოტანგენსის ძირითადი თვისებები მოცემულია ცხრილში ( ნ- მთლიანი).
| y = tg x | y = ctg x | |
| ფარგლები და უწყვეტობა | ||
| ღირებულებების დიაპაზონი | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| მზარდი | - | |
| Დაღმავალი | - | |
| უკიდურესობები | - | - |
| ნულები, y = 0 | ||
| კვეთის წერტილები ორდინატთა ღერძით, x = 0 | y = 0 | - |
ფორმულები
გამონათქვამები სინუსის და კოსინუსის გამოყენებით
;
;
;
;
;
ტანგენტებისა და კოტანგენტების ფორმულები ჯამიდან და სხვაობიდან
დანარჩენი ფორმულების მიღება მარტივია, მაგალითად
ტანგენტების პროდუქტი
ტანგენტების ჯამისა და სხვაობის ფორმულა
ამ ცხრილში მოცემულია ტანგენტებისა და კოტანგენტების მნიშვნელობები არგუმენტის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის. 
გამოთქმები რთული რიცხვების გამოყენებით
გამოხატვები ჰიპერბოლური ფუნქციების საშუალებით
;
;
წარმოებულები
; .
.
n-ე რიგის წარმოებული ფუნქციის x ცვლადის მიმართ:
.
ტანგენტების ფორმულების გამოყვანა > > > ; კოტანგენტისთვის >>>
ინტეგრალები
სერიის გაფართოება
x-ის სიმძლავრეებში ტანგენსის გაფართოების მისაღებად, თქვენ უნდა აიღოთ გაფართოების რამდენიმე ტერმინი სიმძლავრის სერიაში ფუნქციებისთვის. ცოდვა xდა cos xდა გავყოთ ეს მრავალწევრები ერთმანეთზე, . ეს აწარმოებს შემდეგ ფორმულებს.
ზე.
ზე.
სად ბნ- ბერნულის ნომრები. ისინი განისაზღვრება ან განმეორებითი ურთიერთობით:
;
;
სად .
ან ლაპლასის ფორმულის მიხედვით: 
ინვერსიული ფუნქციები
ტანგენტისა და კოტანგენსის შებრუნებული ფუნქციებია, შესაბამისად, არქტანგენსი და არკოტანგენსი.
არქტანგენტი, არქტგ
, სად ნ- მთლიანი.
Arccotangent, arcctg
, სად ნ- მთლიანი.
ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.
G. Korn, მათემატიკის სახელმძღვანელო მეცნიერთა და ინჟინრებისთვის, 2012 წ.
უმარტივესი ტრიგონომეტრიული იდენტობები
კუთხის ალფას სინუსის გაყოფის კოეფიციენტი იმავე კუთხის კოსინუსზე უდრის ამ კუთხის ტანგენტს (ფორმულა 1). აგრეთვე უმარტივესი ტრიგონომეტრიული იდენტობების გარდაქმნის სისწორის მტკიცებულება.
ალფა კუთხის კოსინუსის გაყოფის კოეფიციენტი იმავე კუთხის სინუსზე უდრის იმავე კუთხის კოტანგენტს (ფორმულა 2)
კუთხის სეკანტი ტოლია ერთის გაყოფილი იმავე კუთხის კოსინუსზე (ფორმულა 3)
ერთი და იგივე კუთხის სინუსის და კოსინუსის კვადრატების ჯამი უდრის ერთს (ფორმულა 4). აგრეთვე კოსინუსისა და სინუსების კვადრატების ჯამის დადასტურება.
ერთის ჯამი და კუთხის ტანგენსი უდრის ერთის შეფარდებას ამ კუთხის კოსინუსის კვადრატთან (ფორმულა 5)
ერთს პლუს კუთხის კოტანგენსი ტოლია ერთის გაყოფის ამ კუთხის სინუს კვადრატზე (ფორმულა 6)
ერთი და იგივე კუთხის ტანგენსის და კოტანგენსის ნამრავლი უდრის ერთს (ფორმულა 7).
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების უარყოფითი კუთხის გადაქცევა (ლუწი და კენტი)
იმისათვის, რომ თავი დააღწიოთ კუთხის ხარისხის საზომის უარყოფით მნიშვნელობას სინუსის, კოსინუსის ან ტანგენტის გაანგარიშებისას, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ტრიგონომეტრიული გარდაქმნები (იდენტობები) ლუწი ან კენტი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პრინციპებზე დაყრდნობით.
Როგორც ვნახეთ, კოსინუსიდა სეკანტი არის ფუნქციაც კი, სინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი უცნაური ფუნქციებია.
უარყოფითი კუთხის სინუსი უდრის იგივე დადებითი კუთხის სინუსის უარყოფით მნიშვნელობას (მინუს სინუს ალფა).
კოსინუსი მინუს ალფა მისცემს იგივე მნიშვნელობას, რასაც ალფა კუთხის კოსინუსი.
ტანგენტი მინუს ალფა უდრის მინუს ტანგენტს ალფას.
ორმაგი კუთხეების შემცირების ფორმულები (სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და ორმაგი კუთხეების კოტანგენსი)
თუ საჭიროა კუთხის გაყოფა ნახევრად, ან პირიქით, გადაადგილება ორმაგი კუთხიდან ერთ კუთხეზე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ტრიგონომეტრიული იდენტობები:
ორმაგი კუთხის კონვერტაცია (ორმაგი კუთხის სინუსი, ორმაგი კუთხის კოსინუსი და ორმაგი კუთხის ტანგენსი) ერთჯერადად ხდება შემდეგი წესების მიხედვით:
ორმაგი კუთხის სინუსიტოლია ერთი კუთხის სინუსისა და კოსინუსის ნამრავლის ორჯერ
ორმაგი კუთხის კოსინუსიუდრის განსხვავებას ერთი კუთხის კოსინუსის კვადრატსა და ამ კუთხის სინუსის კვადრატს შორის
ორმაგი კუთხის კოსინუსიუდრის ერთი კუთხის კოსინუსის კვადრატის ორჯერ მინუს ერთი
ორმაგი კუთხის კოსინუსიუდრის ერთ მინუს ორმაგი სინუსის კვადრატში ერთ კუთხეს
ორმაგი კუთხის ტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი ორჯერ აღემატება ერთი კუთხის ტანგენტს, ხოლო მნიშვნელი უდრის ერთს გამოკლებული ერთი კუთხის ტანგენტის კვადრატში.
ორმაგი კუთხის კოტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის ერთი კუთხის კოტანგენსის კვადრატი მინუს ერთი, ხოლო მნიშვნელი ტოლია ერთი კუთხის კოტანგენსის ორჯერ.
უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ფორმულები
ქვემოთ მოცემული კონვერტაციის ფორმულები შეიძლება გამოგადგეთ, როდესაც გჭირდებათ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტის (sin α, cos α, tan α) გაყოფა ორზე და გამოსახულების შემცირება კუთხის ნახევარზე. α-ს მნიშვნელობიდან ვიღებთ α/2.ამ ფორმულებს ე.წ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ფორმულები. მათი ღირებულება მდგომარეობს იმაში, რომ მათი დახმარებით ტრიგონომეტრიული გამოხატულება მცირდება ნახევარი კუთხის ტანგენტის გამოხატვამდე, მიუხედავად იმისა, თუ რა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (sin cos tan ctg) იყო თავდაპირველად გამოხატულებაში. ამის შემდეგ, განტოლება ნახევარი კუთხის ტანგენტით გაცილებით ადვილი ამოსახსნელია.
ტრიგონომეტრიული იდენტობები ნახევარკუთხის გარდაქმნებისთვის
ქვემოთ მოცემულია ფორმულები ნახევარი კუთხის მთელ მნიშვნელობაზე ტრიგონომეტრიული გარდაქმნისთვის.α/2 ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობა მცირდება α ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობამდე.
კუთხეების დამატების ტრიგონომეტრიული ფორმულები
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
კუთხეების ჯამის ტანგენსი და კოტანგენსიალფა და ბეტა შეიძლება გარდაიქმნას ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კონვერტაციისთვის შემდეგი წესების გამოყენებით:
კუთხეების ჯამის ტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის პირველი კუთხის ტანგენსის და მეორე კუთხის ტანგენსის ჯამი, ხოლო მნიშვნელი არის ერთი გამოკლებული პირველი კუთხის ტანგენტისა და მეორე კუთხის ტანგენსის ნამრავლი.
კუთხის სხვაობის ტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი უდრის შემცირებული კუთხის ტანგენტსა და გამოკლებულ კუთხის ტანგენტს შორის სხვაობას, ხოლო მნიშვნელი არის ერთი პლუს ამ კუთხეების ტანგენტების ნამრავლი.
კუთხეების ჯამის კოტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი უდრის ამ კუთხეების კოტანგენსების ნამრავლს პლუს ერთი, ხოლო მნიშვნელი უდრის სხვაობას მეორე კუთხის კოტანგენსსა და პირველი კუთხის კოტანგენსს შორის.
კუთხის სხვაობის კოტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის ამ კუთხეების კოტანგენსების ნამრავლი მინუს ერთი, ხოლო მნიშვნელი უდრის ამ კუთხეების კოტანგენსების ჯამს.
ეს ტრიგონომეტრიული იდენტობები მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც საჭიროა გამოთვალოთ, მაგალითად, 105 გრადუსიანი ტანგენსი (tg 105). თუ წარმოგიდგენიათ, როგორც tg (45 + 60), მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კუთხეების ჯამის ტანგენტის მოცემული იდენტური გარდაქმნები და შემდეგ უბრალოდ ჩაანაცვლოთ ტანგენსი 45 და ტანგენსი 60 გრადუსიანი ცხრილის მნიშვნელობები.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის ან სხვაობის გარდაქმნის ფორმულები
გამონათქვამები, რომლებიც წარმოადგენენ sin α + sin β ფორმის ჯამს, შეიძლება გარდაიქმნას შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:
სამკუთხა ფორმულები - sin3α cos3α tan3α გარდაქმნა sinα cosα tanα
ზოგჯერ საჭიროა კუთხის სამმაგი მნიშვნელობის გარდაქმნა ისე, რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტი 3α-ის ნაცვლად გახდეს α კუთხე.ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სამმაგი კუთხის ტრანსფორმაციის ფორმულები (იდენტობები):
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პროდუქტების გარდაქმნის ფორმულები
თუ საჭიროა სხვადასხვა კუთხის სინუსების, სხვადასხვა კუთხის კოსინუსების, ან თუნდაც სინუსისა და კოსინუსის ნამრავლის გარდაქმნა, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ტრიგონომეტრიული იდენტობები:
ამ შემთხვევაში, სხვადასხვა კუთხის სინუსის, კოსინუსის ან ტანგენტის ფუნქციების ნამრავლი გარდაიქმნება ჯამად ან განსხვავებად.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცირების ფორმულები
თქვენ უნდა გამოიყენოთ შემცირების ცხრილი შემდეგნაირად. ხაზში ვირჩევთ ჩვენთვის საინტერესო ფუნქციას. სვეტში არის კუთხე. მაგალითად, კუთხის (α+90) სინუსი პირველი მწკრივისა და პირველი სვეტის გადაკვეთაზე, აღმოვაჩენთ, რომ sin (α+90) = cos α.
Ჩატვირთვა...