ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვაგრძელებთ ფუნქციების წარმოებულების შესწავლას და გადავდივართ უფრო მოწინავე თემაზე, კერძოდ, პროდუქციის წარმოებულებსა და კოეფიციენტებზე. თუ წინა გაკვეთილს უყურეთ, ალბათ მიხვდით, რომ განვიხილეთ მხოლოდ უმარტივესი კონსტრუქციები, კერძოდ, სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული, ჯამი და განსხვავება. კერძოდ, გავიგეთ, რომ ჯამის წარმოებული უდრის მათ ჯამს, ხოლო სხვაობის წარმოებული ტოლია, შესაბამისად, მათი სხვაობის. სამწუხაროდ, კოეფიციენტისა და პროდუქტის წარმოებულების შემთხვევაში, ფორმულები ბევრად უფრო რთული იქნება. ჩვენ დავიწყებთ ფუნქციების პროდუქტის წარმოებულის ფორმულით.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები
დასაწყისისთვის, ნება მომეცით მცირე ლირიკულ გადახვევას გავაკეთებ. ფაქტია, რომ გარდა სტანდარტული სიმძლავრის ფუნქციისა - $y=((x)^(n))$, ამ გაკვეთილზე სხვა ფუნქციებსაც შევხვდებით, კერძოდ, $y=\sin x$, ასევე $. y=\ cos x$ და სხვა ტრიგონომეტრია - $y=tgx$ და, რა თქმა უნდა, $y=ctgx$.
თუ ჩვენ ყველამ კარგად ვიცით სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული, კერძოდ $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, მაშინ რაც შეეხება ცალკე უნდა აღინიშნოს ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. მოდით ჩამოვწეროთ:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((\ მარცხნივ(\sinx \მარჯვნივ))^(\prime ))=\cosx \\& ((\ მარცხნივ(\cos x \მარჯვნივ))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\ მარცხნივ(tgx \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos)^(2))x) \\& ((\ მარცხნივ( ctgx \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos)^(2))x) \\\ბოლო(გასწორება)\]
მაგრამ თქვენ კარგად იცით ეს ფორმულები, მოდით გადავიდეთ.
რა არის პროდუქტის წარმოებული?
პირველი, ყველაზე მნიშვნელოვანი: თუ ფუნქცია არის ორი სხვა ფუნქციის ნამრავლი, მაგალითად, $f\cdot g$, მაშინ ამ კონსტრუქციის წარმოებული იქნება შემდეგი გამოხატვის ტოლი:
როგორც ხედავთ, ეს ფორმულა მნიშვნელოვნად განსხვავდება და უფრო რთული, ვიდრე ფორმულები, რომლებიც ადრე განვიხილეთ. მაგალითად, ჯამის წარმოებული გამოითვლება ელემენტარული გზით - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, ან წარმოებული. განსხვავება, რომელიც ასევე გამოითვლება ელემენტარული გზით - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.
შევეცადოთ გამოვიყენოთ პირველი ფორმულა იმ ორი ფუნქციის წარმოებულების გამოსათვლელად, რომლებიც მოცემულია ამოცანაში. დავიწყოთ პირველი მაგალითით:
ცხადია, შემდეგი კონსტრუქცია მოქმედებს როგორც პროდუქტი, უფრო ზუსტად, როგორც მულტიპლიკატორი: $((x)^(3))$, ჩვენ შეგვიძლია მივიჩნიოთ $f$-ად და $\left(x-5 \მარჯვნივ) $ შეგვიძლია მივიჩნიოთ $g$-ად. მაშინ მათი პროდუქტი იქნება ზუსტად ორი ფუნქციის პროდუქტი. Ჩვენ ვწყვეტთ:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((\ მარცხნივ(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ))^(\prime ))=((\მარცხნივ(( (x)^(3)) \მარჯვნივ))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \მარჯვნივ)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ მარჯვნივ))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \მარჯვნივ)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \ბოლო(გასწორება)\].
ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ თითოეულ ჩვენს ტერმინს. ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე პირველი და მეორე წევრი შეიცავს $x$ ხარისხს: პირველ შემთხვევაში ეს არის $((x)^(2))$, ხოლო მეორეში არის $((x)^(3)) $. ავიღოთ ყველაზე პატარა ხარისხი ფრჩხილებიდან და დავტოვოთ ფრჩხილებში:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \მარჯვნივ)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \მარჯვნივ)+x \მარჯვნივ)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \მარჯვნივ)=( (x)^(2))(4x-15)\\\ბოლო(გასწორება)\]
ესე იგი, პასუხი ვიპოვეთ.
დავუბრუნდეთ ჩვენს პრობლემებს და შევეცადოთ გადავჭრათ:
მაშ ასე, გადავიწეროთ:
კვლავ აღვნიშნავთ, რომ საუბარია ორი ფუნქციის ნამრავლის ნამრავლზე: $x$, რომელიც შეიძლება აღვნიშნოთ $f$-ით და $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, რომელიც შეიძლება აღინიშნება $g$-ით.
ამრიგად, ჩვენ კვლავ გვაქვს ორი ფუნქციის პროდუქტი. $f\left(x \right)$ ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად კვლავ გამოვიყენებთ ჩვენს ფორმულას. ჩვენ ვიღებთ:
\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \მარჯვნივ))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \მარჯვნივ)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\ბოლო(გასწორება)\]
პასუხი ნაპოვნია.
რატომ ფაქტორი წარმოებულები?
ჩვენ ახლახან გამოვიყენეთ რამდენიმე ძალიან მნიშვნელოვანი მათემატიკური ფაქტი, რომლებიც თავისთავად არ არის დაკავშირებული წარმოებულებთან, მაგრამ მათი ცოდნის გარეშე ამ თემის შემდგომ შესწავლას უბრალოდ აზრი არ აქვს.
პირველ რიგში, პირველივე პრობლემის გადაჭრა და წარმოებულების ყველა ნიშნის მოშორების შემდეგ, რატომღაც ჩვენ დავიწყეთ ამ გამონათქვამის ფაქტორირება.
მეორეც, შემდეგი ამოცანის ამოხსნისას, 8-9 კლასის ფორმულით რამდენჯერმე გადავედით ძირიდან ძლიერებაზე რაციონალური მაჩვენებლით და უკან, 8-9 კლასის ფორმულით, რომლის გამეორება ღირდა ცალკე.
რაც შეეხება ფაქტორიზაციას - რატომ არის საჭირო მთელი ეს დამატებითი ძალისხმევა და ტრანსფორმაცია? სინამდვილეში, თუ პრობლემა უბრალოდ ამბობს: „იპოვე ფუნქციის წარმოებული“, მაშინ ეს დამატებითი ნაბიჯები არ არის საჭირო. თუმცა, რეალურ პრობლემებში, რომლებიც გელოდებათ ყველა სახის გამოცდასა და ტესტში, უბრალოდ წარმოებულის პოვნა ხშირად არ არის საკმარისი. ფაქტია, რომ წარმოებული არის მხოლოდ ინსტრუმენტი, რომლითაც შეგიძლიათ გაიგოთ, მაგალითად, ფუნქციის გაზრდა ან შემცირება და ამისთვის თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება და ფაქტორები. და სწორედ აქ იქნება ეს ტექნიკა ძალიან შესაბამისი. და ზოგადად, ბევრად უფრო მოსახერხებელი და სასიამოვნოა მომავალში ფაქტორიზებული ფუნქციით მუშაობა, თუ რაიმე ტრანსფორმაციაა საჭირო. მაშასადამე, წესი No1: თუ წარმოებული შეიძლება იყოს ფაქტორიზებული, ეს არის ის, რაც უნდა გააკეთოთ. და დაუყოვნებლივ წესი No2 (არსებითად, ეს არის მე-8-9 კლასის მასალა): თუ პრობლემა შეიცავს ფესვს ნ-ე ხარისხი და ფესვი აშკარად ორზე მეტია, მაშინ ეს ფესვი შეიძლება შეიცვალოს ჩვეულებრივი ხარისხით რაციონალური მაჩვენებლით და წილადი გამოჩნდება მაჩვენებელში, სადაც ნ- სწორედ ეს ხარისხი - იქნება ამ წილადის მნიშვნელში.
რა თქმა უნდა, თუ ფესვის ქვეშ არის გარკვეული ხარისხი (ჩვენს შემთხვევაში ეს არის ხარისხი კ), მაშინ ის არსად მიდის, მაგრამ უბრალოდ მთავრდება ამ ხარისხის მრიცხველში.
ახლა, როცა ეს ყველაფერი გესმით, მოდით დავუბრუნდეთ პროდუქტის წარმოებულებს და გამოვთვალოთ კიდევ რამდენიმე განტოლება.
მაგრამ სანამ პირდაპირ გამოთვლებზე გადავიდოდეთ, მინდა შეგახსენოთ შემდეგი ნიმუშები:
\[\ დასაწყისი (გასწორება)& ((\ მარცხნივ(\sin x \მარჯვნივ))^(\prime ))=\cos x \\& ((\ მარცხენა (\cos x \მარჯვნივ))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos)^(2))x) \\& ((\left(ctgx \მარჯვნივ))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\ბოლო(გასწორება)\]
განვიხილოთ პირველი მაგალითი:
ჩვენ კვლავ გვაქვს ორი ფუნქციის პროდუქტი: პირველი არის $f$, მეორე არის $g$. შეგახსენებთ ფორმულას:
\[((\left(f\cdot g \მარჯვნივ))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]
გადავწყვიტოთ:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& (y)"=((\ მარცხნივ(((x)^(4)) \მარჯვნივ))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\ მარცხენა (\sin x \მარჯვნივ))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \მარჯვნივ) \\\ბოლო(გასწორება)\]
გადავიდეთ მეორე ფუნქციაზე:
ისევ $\left(3x-2 \right)$ არის $f$-ის ფუნქცია, $\cos x$ არის $g$-ის ფუნქცია. საერთო ჯამში, ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული იქნება ტოლი:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& (y)"=((\ მარცხნივ(3x-2 \მარჯვნივ))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \მარჯვნივ)\cdot ((\ მარცხენა (\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \მარჯვნივ)\cdot \sin x \\\ბოლო(გასწორება)\]
\[(y)"=((\ მარცხნივ(((x)^(2))\cdot \cos x \მარჯვნივ))^(\prime ))+((\ მარცხენა (4x\sin x \მარჯვნივ)) ^ (\prime ))\]
ცალკე დავწეროთ:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((\ მარცხნივ(((x)^(2))\cdot \cos x \მარჯვნივ))^(\prime ))=\მარცხნივ(((x)^(2)) \მარჯვნივ)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\ მარცხნივ(\cos x \მარჯვნივ))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end (გასწორება)\]
ჩვენ არ ვაქცევთ ამ გამოთქმის ფაქტორიზაციას, რადგან ეს ჯერ არ არის საბოლოო პასუხი. ახლა მეორე ნაწილი უნდა მოვაგვაროთ. მოდით დავწეროთ:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((\ მარცხნივ(4x\cdot \sin x \მარჯვნივ))^(\prime ))=((\ მარცხნივ(4x \მარჯვნივ))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\ მარცხნივ(\sin x \მარჯვნივ))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\ბოლო (გასწორება)\]
ახლა დავუბრუნდეთ ჩვენს თავდაპირველ ამოცანას და ყველაფერი ერთად გავაერთიანოთ ერთ სტრუქტურაში:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\ბოლო (გასწორება)\]
ესე იგი, ეს არის საბოლოო პასუხი.
მოდით გადავიდეთ ბოლო მაგალითზე - ეს იქნება ყველაზე რთული და ყველაზე მოცულობითი გამოთვლების თვალსაზრისით. ასე რომ, მაგალითი:
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \მარჯვნივ))^(\prime) )\]
თითოეულ ნაწილს ცალკე ვითვლით:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((\ მარცხნივ(((x)^(2))\cdot tgx \მარჯვნივ))^(\prime ))=((\ მარცხნივ((x)^(2)) \მარჯვნივ))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \მარჯვნივ))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\ბოლო(გასწორება)\]
\[\ დასაწყისი (გასწორება)& ((\ მარცხნივ(2x\cdot ctgx \მარჯვნივ))^(\prime ))=((\ მარცხნივ(2x \მარჯვნივ))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \მარჯვნივ))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)((\sin )^(2))x) \\\ბოლო(გასწორება)\]
თავდაპირველ ფუნქციას რომ დავუბრუნდეთ, გამოვთვალოთ მისი წარმოებული მთლიანობაში:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac((x)^(2)))(((\cos)^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)((\sin )^(2))x) \\\ბოლო(გასწორება)\]
ეს, ფაქტობრივად, არის ყველაფერი, რისი თქმაც მინდოდა წარმოებული სამუშაოების შესახებ. როგორც ხედავთ, ფორმულის მთავარი პრობლემა არ არის მისი დამახსოვრება, არამედ ის, რომ იგი მოიცავს საკმაოდ დიდ გამოთვლებს. მაგრამ ეს არაუშავს, რადგან ახლა ჩვენ გადავდივართ კოეფიციენტულ წარმოებულზე, სადაც ძალიან ბევრი უნდა ვიმუშაოთ.
რა არის კოეფიციენტის წარმოებული?
ასე რომ, კოეფიციენტის წარმოებულის ფორმულა. ეს არის ალბათ ყველაზე რთული ფორმულა სასკოლო კურსში წარმოებულების შესახებ. ვთქვათ, გვაქვს $\frac(f)(g)$-ის ფორმის ფუნქცია, სადაც $f$ და $g$ ასევე ფუნქციებია, საიდანაც შეგვიძლია ასევე ამოიღოთ ძირითადი. შემდეგ ის გამოითვლება შემდეგი ფორმულის მიხედვით:
მრიცხველი გარკვეულწილად გვახსენებს პროდუქტის წარმოებულის ფორმულას, მაგრამ ტერმინებს შორის არის მინუს ნიშანი და მნიშვნელს ასევე დაემატა საწყისი მნიშვნელის კვადრატი. ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს პრაქტიკაში:
შევეცადოთ გადაჭრას:
\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac(((\მარცხნივ (((x)^(2))-1 \მარჯვნივ))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \მარჯვნივ)-\left(((x)^(2))-1 \მარჯვნივ )\cdot ((\ მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))^(\prime )))((\ მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))^(2)))\]
მე ვთავაზობ ცალ-ცალკე დაწერო თითოეული ნაწილი და ჩაწერო:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((\ მარცხნივ(((x)^(2))-1 \მარჯვნივ))^(\prime ))=((\ მარცხნივ((x)^(2)) \ მარჯვნივ))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\ მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\ბოლო (გასწორება)\]
მოდით გადავიწეროთ ჩვენი გამოთქმა:
\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \მარჯვნივ)\cdot 1) (((\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))^(2))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ ))^(2))) \\\ბოლო(გასწორება)\]
ჩვენ ვიპოვეთ პასუხი. გადავიდეთ მეორე ფუნქციაზე:
ვიმსჯელებთ იმით, რომ მისი მრიცხველი უბრალოდ ერთია, აქ გამოთვლები ცოტა უფრო მარტივი იქნება. მაშ ასე, დავწეროთ:
\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \მარჯვნივ)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \მარჯვნივ))^(\prime )))(( (\ მარცხნივ(((x)^(2))+4 \მარჯვნივ))^(2)))\]
მოდით გამოვთვალოთ მაგალითის თითოეული ნაწილი ცალკე:
\[\ დასაწყისი (გასწორება)& (1)"=0 \\& ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+4 \მარჯვნივ))^(\prime ))=((\მარცხნივ(( (x)^(2)) \მარჯვნივ))^(\prime ))+(4)"=2x \\\ბოლო(გასწორება)\]
მოდით გადავიწეროთ ჩვენი გამოთქმა:
\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \მარჯვნივ)-1\cdot 2x)(((\ მარცხენა((x)^(2) )+4 \მარჯვნივ))^(2)))=-\frac(2x)(((\მარცხნივ(((x)^(2))+4 \მარჯვნივ))^(2)))\]
ჩვენ ვიპოვეთ პასუხი. როგორც მოსალოდნელი იყო, გამოთვლების რაოდენობა საგრძნობლად ნაკლები აღმოჩნდა, ვიდრე პირველი ფუნქციისთვის.
რა განსხვავებაა აღნიშვნებს შორის?
ყურადღებიან სტუდენტებს ალბათ უკვე აქვთ შეკითხვა: რატომ აღვნიშნავთ ზოგიერთ შემთხვევაში ფუნქციას $f\left(x \right)$-ად, ხოლო სხვა შემთხვევაში უბრალოდ ვწერთ $y$? სინამდვილეში, მათემატიკის თვალსაზრისით, აბსოლუტურად არანაირი განსხვავება არ არის - თქვენ გაქვთ უფლება გამოიყენოთ როგორც პირველი აღნიშვნა, ასევე მეორე, და არ იქნება ჯარიმები გამოცდებსა და ტესტებში. ვისაც მაინც აინტერესებს, აგიხსნით, რატომ წერენ სახელმძღვანელოების და პრობლემების ავტორები ზოგ შემთხვევაში $f\left(x \right)$, ხოლო ზოგ შემთხვევაში (ბევრად ხშირად) - უბრალოდ $y$. ფაქტია, რომ ფუნქციის \ ფორმაში ჩაწერით, მათ, ვინც ჩვენს გამოთვლებს კითხულობს, ჩვენ მინიშნებას ვაძლევთ, რომ კონკრეტულად ვსაუბრობთ ფუნქციური დამოკიდებულების ალგებრულ ინტერპრეტაციაზე. ანუ არის გარკვეული ცვლადი $x$, განვიხილავთ ამ ცვლადზე დამოკიდებულებას და აღვნიშნავთ მას $f\left(x \right)$. ამავდროულად, ასეთი აღნიშვნის ნახვის შემდეგ, ვინც კითხულობს თქვენს გამოთვლებს, მაგალითად, ინსპექტორი, ქვეცნობიერად მოელის, რომ მომავალში მას მხოლოდ ალგებრული გარდაქმნები ელოდება - არც გრაფიკები და არც გეომეტრია.
მეორეს მხრივ, \ ფორმის აღნიშვნების გამოყენებით, ანუ ცვლადის აღნიშვნა ერთი ასოთი, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვხსნით, რომ მომავალში ჩვენ დაინტერესებული ვართ ფუნქციის გეომეტრიული ინტერპრეტაციით, ანუ გვაინტერესებს, პირველ რიგში, ყველა, მის გრაფიკში. შესაბამისად, ფორმის ჩანაწერის წინაშე, მკითხველს უფლება აქვს მოელოდეს გრაფიკულ გამოთვლებს, ანუ გრაფიკებს, კონსტრუქციებს და ა.შ., მაგრამ არავითარ შემთხვევაში, ანალიტიკურ გარდაქმნებს.
ასევე მინდა თქვენი ყურადღება გავამახვილო იმ ამოცანების დიზაინის ერთ მახასიათებელზე, რომელსაც დღეს განვიხილავთ. ბევრი სტუდენტი ფიქრობს, რომ მე ვაძლევ ზედმეტად დეტალურ გამოთვლებს და ბევრი მათგანი შეიძლება გამოტოვოთ ან უბრალოდ ამოხსნათ მათ თავში. თუმცა, ეს არის ზუსტად ასეთი დეტალური ჩანაწერი, რომელიც საშუალებას მოგცემთ გათავისუფლდეთ შეურაცხმყოფელი შეცდომებისგან და მნიშვნელოვნად გაზარდოთ სწორად მოგვარებული პრობლემების პროცენტი, მაგალითად, ტესტებისა თუ გამოცდებისთვის თვითმომზადების შემთხვევაში. ამიტომ, თუ ჯერ კიდევ არ ხართ დარწმუნებული თქვენს შესაძლებლობებში, თუ ახლახან იწყებთ ამ თემის შესწავლას, არ იჩქაროთ - აღწერეთ ყოველი ნაბიჯი დეტალურად, ჩაწერეთ ყველა ფაქტორი, ყოველი ინსულტი და ძალიან მალე ისწავლით ასეთი მაგალითების უკეთ ამოხსნას. ვიდრე ბევრი სკოლის მასწავლებელი. იმედი მაქვს, რომ ეს გასაგებია. დავთვალოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითი.
რამდენიმე საინტერესო დავალება
ამჯერად, როგორც ვხედავთ, გამოთვლილ წარმოებულებში არის ტრიგონომეტრია. ამიტომ, შეგახსენებთ შემდეგს:
\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end (გასწორება )\]
რა თქმა უნდა, ჩვენ ვერ გავაკეთებთ კოეფიციენტის წარმოებულის გარეშე, კერძოდ:
\[((\left(\frac(f)(g) \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
განვიხილოთ პირველი ფუნქცია:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& (ვ)"=((\ მარცხნივ(\frac(\sin x)(x) \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \მარჯვნივ))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \მარჯვნივ))(((x)^(2))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)((x)^(2))=\frac(x\cos x-\sin x)((x)^(2))) \\\ბოლო (გასწორება)\]
ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ გამოსავალი ამ გამოთქმისთვის.
გადავიდეთ მეორე მაგალითზე:
ცხადია, მისი წარმოებული იქნება უფრო რთული, თუნდაც მხოლოდ იმიტომ, რომ ტრიგონომეტრია არის ამ ფუნქციის მრიცხველშიც და მნიშვნელშიც. Ჩვენ ვწყვეტთ:
\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \მარჯვნივ ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))((\ left (\cos x \right)) ^(2)))\]
გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ გვაქვს პროდუქტის წარმოებული. ამ შემთხვევაში ტოლი იქნება:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((\ მარცხნივ(x\cdot \sin x \მარჯვნივ))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\ მარცხნივ(\sin x \ მარჯვნივ))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end (გასწორება)\]
დავუბრუნდეთ ჩვენს გამოთვლებს. ჩვენ ვწერთ:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& (y)"=\frac(\ მარცხენა (\sin x+x\cos x \მარჯვნივ)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \მარცხნივ(-\sin x \მარჯვნივ) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos)^(2)x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos)^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \მარჯვნივ))((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\ბოლო(გასწორება)\]
Სულ ეს არის! მათემატიკა გავაკეთეთ.
როგორ შევიყვანოთ კოეფიციენტის წარმოებული პროდუქტის წარმოებულის მარტივ ფორმულამდე?
და აქ მინდა გავაკეთო ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი შენიშვნა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან დაკავშირებით. ფაქტია, რომ ჩვენი ორიგინალური კონსტრუქცია შეიცავს $\frac(\sin x)(\cos x)$ ფორმის გამოხატულებას, რომელიც მარტივად შეიძლება შეიცვალოს უბრალოდ $tgx$-ით. ამრიგად, ჩვენ ვამცირებთ კოეფიციენტის წარმოებულს პროდუქტის წარმოებულის უფრო მარტივ ფორმულამდე. მოდით კიდევ ერთხელ გამოვთვალოთ ეს მაგალითი და შევადაროთ შედეგები.
ასე რომ, ახლა ჩვენ უნდა გავითვალისწინოთ შემდეგი:
\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
მოდით გადავიწეროთ ჩვენი ორიგინალური ფუნქცია $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ ამ ფაქტის გათვალისწინებით. ჩვენ ვიღებთ:
დავთვალოთ:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& (y)"=((\ მარცხნივ(x\cdot tgx \მარჯვნივ))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\ მარცხნივ(tgx \მარჯვნივ) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)((\cos)^(2))x) \\\ბოლო(გასწორება) \]
ახლა, თუ სხვაგვარად შევადარებთ მიღებულ შედეგს, რაც ადრე მივიღეთ გაანგარიშებისას, მაშინ დავრწმუნდებით, რომ იგივე გამოთქმა მივიღეთ. ამრიგად, წარმოებულის გამოთვლისას რა გზითაც არ უნდა წავიდეთ, თუ ყველაფერი სწორად არის გათვლილი, მაშინ პასუხი იგივე იქნება.
მნიშვნელოვანი ნიუანსი პრობლემების გადაჭრისას
დასასრულს, მინდა გითხრათ კიდევ ერთი დახვეწილობა, რომელიც დაკავშირებულია კოეფიციენტის წარმოებულის გამოთვლასთან. ის, რასაც ახლა გეტყვით, არ იყო ვიდეოგაკვეთილის ორიგინალურ სცენარში. არადა, გადაღებამდე ორი საათით ადრე, ჩემს ერთ-ერთ სტუდენტთან ერთად ვსწავლობდი და მხოლოდ კოეფიციენტების წარმოებულების თემაზე ვმსჯელობდით. და, როგორც გაირკვა, ბევრ სტუდენტს არ ესმის ეს წერტილი. ასე რომ, ვთქვათ, უნდა გამოვთვალოთ შემდეგი ფუნქციის ამოღების ინსულტი:
პრინციპში, ერთი შეხედვით მასში არაფერია ზებუნებრივი. თუმცა, გამოთვლის პროცესში შეიძლება ბევრი სულელური და შეურაცხმყოფელი შეცდომა დავუშვათ, რაზეც ახლა მინდა ვისაუბრო.
ასე რომ, ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ წარმოებულს. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ გვაქვს ტერმინი $3((x)^(2))$, ამიტომ მიზანშეწონილია გავიხსენოთ შემდეგი ფორმულა:
\[((\ left(((x)^(n)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
გარდა ამისა, ჩვენ გვაქვს ტერმინი $\frac(48)(x)$ - ჩვენ მას განვიხილავთ კოეფიციენტის წარმოებულის მეშვეობით, კერძოდ:
\[((\left(\frac(f)(g) \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
მაშ ასე, გადავწყვიტოთ:
\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \მარჯვნივ))^(\prime ))+((\ left(3((x)^(2)) \მარჯვნივ)) ^(\prime ))+10(0)"\]
პირველ ტერმინთან დაკავშირებით პრობლემები არ არის, იხილეთ:
\[((\left(3((x)^(2)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=3\cdot ((\ left(((x)^(2)) \მარჯვნივ))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]
მაგრამ პირველი ტერმინით, $\frac(48)(x)$, თქვენ უნდა იმუშაოთ ცალკე. ფაქტია, რომ ბევრი სტუდენტი აბნევს სიტუაციას, როცა უნდა იპოვონ $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ და როცა უნდა იპოვონ $((\left) (\frac (48)(x) \მარჯვნივ))^(\prime ))$. ანუ იბნევიან, როცა მუდმივია მნიშვნელში და როცა მუდმივი მრიცხველშია, შესაბამისად, როცა ცვლადი მრიცხველშია ან მნიშვნელში.
დავიწყოთ პირველი ვარიანტით:
\[((\left(\frac(x)(48) \მარჯვნივ))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]
მეორე მხრივ, თუ იგივეს გაკეთებას შევეცდებით მეორე წილადით, მივიღებთ შემდეგს:
\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((\ მარცხნივ(\frac(48)(x) \მარჯვნივ))^(\prime ))=((\ მარცხნივ(48\cdot \frac(1)(x) \მარჯვნივ ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \მარჯვნივ))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\ბოლო(გასწორება)\]
თუმცა, იგივე მაგალითი შეიძლება სხვაგვარად გამოვთვალოთ: იმ ეტაპზე, როდესაც გადავედით კოეფიციენტის წარმოებულზე, შეგვიძლია მივიჩნიოთ $\frac(1)(x)$, როგორც ძალა უარყოფითი მაჩვენებლით, ანუ მივიღებთ შემდეგს. :
\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left((x)^(- 1)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\ბოლო(გასწორება)\]
ასე და ასე მივიღეთ იგივე პასუხი.
ამრიგად, ჩვენ კიდევ ერთხელ დავრწმუნდით ორ მნიშვნელოვან ფაქტში. პირველ რიგში, ერთი და იგივე წარმოებული შეიძლება გამოითვალოს სრულიად განსხვავებული გზით. მაგალითად, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ შეიძლება ჩაითვალოს როგორც კოეფიციენტის წარმოებულად, ასევე სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულად. უფრო მეტიც, თუ ყველა გაანგარიშება შესრულებულია სწორად, მაშინ პასუხი ყოველთვის იგივე იქნება. მეორეც, წარმოებულების გამოთვლისას, რომლებიც შეიცავს როგორც ცვლადს, ასევე მუდმივობას, ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანია სად მდებარეობს ცვლადი - მრიცხველში თუ მნიშვნელში. პირველ შემთხვევაში, როდესაც ცვლადი მრიცხველშია, ვიღებთ მარტივ წრფივ ფუნქციას, რომლის გამოთვლაც შესაძლებელია. და თუ ცვლადი მნიშვნელშია, მაშინ უფრო რთულ გამოხატულებას ვიღებთ ადრე მოცემული თანმხლები გამოთვლებით.
ამ ეტაპზე გაკვეთილი შეიძლება ჩაითვალოს დასრულებულად, ასე რომ, თუ არაფერი გესმით კოეფიციენტის ან პროდუქტის წარმოებულების შესახებ და ზოგადად, თუ გაქვთ შეკითხვები ამ თემაზე, არ მოგერიდოთ - გადადით ჩემს საიტზე დაწერე, დარეკე და აუცილებლად ვეცდები დაგეხმარო.
თავად წარმოებულები არ არის რთული თემა, მაგრამ ისინი ძალიან ვრცელია და რასაც ახლა ვსწავლობთ, მომავალში გამოყენებული იქნება უფრო რთული პრობლემების გადაჭრისას. ამიტომ ჯობია ახლავე გამოავლინოთ ყველა გაუგებრობა, რომელიც დაკავშირებულია კოეფიციენტის ან პროდუქტის წარმოებულების გამოთვლასთან. არა მაშინ, როდესაც ისინი გაუგებრობის უზარმაზარი თოვლის ბურთია, არამედ მაშინ, როდესაც ისინი ჩოგბურთის პატარა ბურთია, რომლებთან გამკლავებაც ადვილია.
მათემატიკაში ფიზიკური ამოცანების ან მაგალითების ამოხსნა სრულიად შეუძლებელია წარმოებულის და მისი გამოთვლის მეთოდების ცოდნის გარეშე. წარმოებული მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა. გადავწყვიტეთ დღევანდელი სტატია ამ ფუნდამენტურ თემას მივუძღვნათ. რა არის წარმოებული, როგორია მისი ფიზიკური და გეომეტრიული მნიშვნელობა, როგორ გამოვთვალოთ ფუნქციის წარმოებული? ყველა ეს კითხვა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში: როგორ გავიგოთ წარმოებული?
წარმოებულის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა
დაე, იყოს ფუნქცია f(x) , მითითებულია გარკვეულ ინტერვალში (ა, ბ) . წერტილები x და x0 ეკუთვნის ამ ინტერვალს. როდესაც x იცვლება, თავად ფუნქცია იცვლება. არგუმენტის შეცვლა - განსხვავება მის მნიშვნელობებში x-x0 . ეს განსხვავება იწერება როგორც დელტა x და ეწოდება არგუმენტის ზრდა. ფუნქციის ცვლილება ან ზრდა არის განსხვავება ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის ორ წერტილში. წარმოებულის განმარტება:
ფუნქციის წარმოებული არის მოცემულ წერტილში ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის.
წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება ასე დაიწეროს:
რა აზრი აქვს ასეთი ლიმიტის პოვნას? და აი რა არის:
წერტილის ფუნქციის წარმოებული ტოლია OX ღერძს შორის კუთხის ტანგენტსა და მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტს.
წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა: გზის წარმოებული დროის მიმართ უდრის მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარეს.
მართლაც, სკოლის დროიდან ყველამ იცის, რომ სიჩქარე განსაკუთრებული გზაა x=f(t) და დრო ტ . საშუალო სიჩქარე გარკვეული პერიოდის განმავლობაში:
დროის მომენტში მოძრაობის სიჩქარის გასარკვევად t0 თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლიმიტი:
წესი პირველი: დააყენეთ მუდმივი
მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებული ნიშნიდან. უფრო მეტიც, ეს უნდა გაკეთდეს. მათემატიკაში მაგალითების ამოხსნისას აიღეთ როგორც წესი - თუ შეგიძლიათ გამოხატვის გამარტივება, დარწმუნდით, რომ გაამარტივეთ იგი .
მაგალითი. გამოვთვალოთ წარმოებული:
წესი მეორე: ფუნქციების ჯამის წარმოებული
ორი ფუნქციის ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს. იგივე ეხება ფუნქციების განსხვავების წარმოებულს.
ჩვენ არ მივცემთ ამ თეორემის მტკიცებულებას, არამედ განვიხილავთ პრაქტიკულ მაგალითს.
იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:
წესი მესამე: ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული
ორი დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული გამოითვლება ფორმულით:
მაგალითი: იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:
გამოსავალი: 
აქ მნიშვნელოვანია რთული ფუნქციების წარმოებულების გამოთვლაზე საუბარი. რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლის შუალედური არგუმენტის მიმართ და შუალედური არგუმენტის წარმოებული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ.
ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ვხვდებით გამოთქმას:
ამ შემთხვევაში, შუალედური არგუმენტი არის 8x მეხუთე ხარისხზე. ასეთი გამონათქვამის წარმოებულის გამოსათვლელად, ჯერ ვიანგარიშებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში, შემდეგ კი ვამრავლებთ თავად შუალედური არგუმენტის წარმოებულზე დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში.
წესი მეოთხე: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული
ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებულის განსაზღვრის ფორმულა:
ჩვენ შევეცადეთ ვისაუბროთ დუმების წარმოებულებზე ნულიდან. ეს თემა არც ისე მარტივია, როგორც ჩანს, ამიტომ გაფრთხილდით: მაგალითებში ხშირად არის ხარვეზები, ამიტომ ფრთხილად იყავით წარმოებულების გამოთვლაში.
ამ და სხვა თემებზე ნებისმიერი შეკითხვის შემთხვევაში შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ სტუდენტურ სამსახურს. მოკლე დროში ჩვენ დაგეხმარებით ურთულესი ტესტის ამოხსნაში და ამოცანების გაგებაში, მაშინაც კი, თუ აქამდე არასოდეს გაგიკეთებიათ წარმოებული გამოთვლები.
თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.
პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება
პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.
თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.
ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.
რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:
- საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.
როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:
- ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებებით, აქციებით და სხვა ღონისძიებებით და მომავალი ღონისძიებებით.
- დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
- ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
- თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.
ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის
ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.
გამონაკლისები:
- საჭიროების შემთხვევაში - კანონის შესაბამისად, სასამართლო პროცედურების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან რუსეთის ფედერაციის სამთავრობო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - თქვენი პირადი ინფორმაციის გამჟღავნება. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
- რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.
პირადი ინფორმაციის დაცვა
ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.
თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე
თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.
წარმოებულის პოვნის ოპერაციას დიფერენციაცია ეწოდება.
უმარტივესი (და არც თუ ისე მარტივი) ფუნქციების წარმოებულების პოვნის ამოცანების გადაჭრის შედეგად წარმოებულის, როგორც არგუმენტის ნამატის შეფარდების შეფარდების ზღვრად განსაზღვრით, გამოჩნდა წარმოებულების ცხრილი და დიფერენცირების ზუსტად განსაზღვრული წესები. . პირველები, ვინც მუშაობდნენ წარმოებულების პოვნის სფეროში, იყვნენ ისააკ ნიუტონი (1643-1727) და გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცი (1646-1716).
ამიტომ, ჩვენს დროში, რომელიმე ფუნქციის წარმოებულის მოსაძებნად, არ არის საჭირო ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზემოაღნიშნული ლიმიტის გამოთვლა არგუმენტის ზრდასთან, არამედ საჭიროა მხოლოდ ცხრილის გამოყენება. წარმოებულები და დიფერენცირების წესები. შემდეგი ალგორითმი შესაფერისია წარმოებულის მოსაძებნად.
წარმოებულის საპოვნელად, თქვენ გჭირდებათ გამოხატვა ძირითადი ნიშნის ქვეშ მარტივი ფუნქციების დაყოფა კომპონენტებადდა განსაზღვრეთ რა ქმედებები (პროდუქტი, ჯამი, კოეფიციენტი)ეს ფუნქციები დაკავშირებულია. შემდეგი, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულებს ვხვდებით წარმოებულთა ცხრილში, ხოლო ნამრავლის წარმოებულების ფორმულებს, ჯამისა და კოეფიციენტის - დიფერენციაციის წესებში. წარმოებული ცხრილი და დიფერენციაციის წესები მოცემულია პირველი ორი მაგალითის შემდეგ.
მაგალითი 1.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
გამოსავალი. დიფერენციაციის წესებიდან ვხვდებით, რომ ფუნქციების ჯამის წარმოებული არის ფუნქციათა წარმოებულების ჯამი, ე.ი.
წარმოებულთა ცხრილიდან ვიგებთ, რომ „x“-ის წარმოებული უდრის ერთს, ხოლო სინუსის წარმოებული კოსინუსის. ჩვენ ამ მნიშვნელობებს ვანაცვლებთ წარმოებულთა ჯამს და ვპოულობთ წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის მდგომარეობით:
მაგალითი 2.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
გამოსავალი. ჩვენ განვასხვავებთ, როგორც იმ ჯამის წარმოებულს, რომელშიც მეორე წევრს აქვს მუდმივი კოეფიციენტი; ის შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:
თუ ჯერ კიდევ ჩნდება კითხვები იმის შესახებ, თუ საიდან მოდის რაღაც, ისინი ჩვეულებრივ ირკვევა მას შემდეგ, რაც გაეცანით წარმოებულთა ცხრილს და დიფერენციაციის უმარტივეს წესებს. ჩვენ ახლა მათზე გადავდივართ.
მარტივი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი
| 1. მუდმივის (რიცხვის) წარმოებული. ნებისმიერი რიცხვი (1, 2, 5, 200...), რომელიც არის ფუნქციის გამოხატულებაში. ყოველთვის ნულის ტოლია. ეს ძალიან მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ, რადგან ეს ძალიან ხშირად არის საჭირო | |
| 2. დამოუკიდებელი ცვლადის წარმოებული. ყველაზე ხშირად "X". ყოველთვის ერთის ტოლია. ეს ასევე მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს დიდი ხნის განმავლობაში | |
| 3. ხარისხის წარმოებული. პრობლემების გადაჭრისას, თქვენ უნდა გადააქციოთ არაკვადრატული ფესვები ძალად. | |
| 4. ცვლადის წარმოებული ძალა -1 | |
| 5. კვადრატული ფესვის წარმოებული | |
| 6. სინუსის წარმოებული | |
| 7. კოსინუსის წარმოებული |  |
| 8. ტანგენსის წარმოებული |  |
| 9. კოტანგენტის წარმოებული |  |
| 10. არქსინის წარმოებული |  |
| 11. არკოზინის წარმოებული |  |
| 12. არქტანგენტის წარმოებული |  |
| 13. რკალის კოტანგენტის წარმოებული |  |
| 14. ნატურალური ლოგარითმის წარმოებული | |
| 15. ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული |  |
| 16. მაჩვენებლის წარმოებული | |
| 17. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული |
დიფერენცირების წესები
| 1. ჯამის ან სხვაობის წარმოებული |  |
| 2. პროდუქტის წარმოებული |  |
| 2ა. გამოხატვის წარმოებული გამრავლებული მუდმივ კოეფიციენტზე | |
| 3. კოეფიციენტის წარმოებული |  |
| 4. რთული ფუნქციის წარმოებული |  |
წესი 1.თუ ფუნქციები
რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, შემდეგ ფუნქციები ერთსა და იმავე წერტილში დიფერენცირებადია
და
იმათ. ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრული ჯამის.
შედეგი. თუ ორი დიფერენცირებადი ფუნქცია განსხვავდება მუდმივი წევრით, მაშინ მათი წარმოებულები ტოლია, ე.ი.
წესი 2.თუ ფუნქციები
რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, მაშინ მათი პროდუქტი ერთსა და იმავე წერტილში დიფერენცირებადია
და
იმათ. ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული ტოლია თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლისა და მეორის წარმოებულის ჯამს.
დასკვნა 1. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:
დასკვნა 2. რამდენიმე დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ფაქტორისა და ყველა სხვა წარმოებულის ნამრავლების ჯამს.
მაგალითად, სამი მულტიპლიკატორისთვის:
წესი 3.თუ ფუნქციები
რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია და , მაშინ ამ დროს მათი კოეფიციენტიც დიფერენცირებადიაu/v და
იმათ. ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელის პროდუქტებსა და მრიცხველის წარმოებულსა და მნიშვნელის წარმოებულს შორის, ხოლო მნიშვნელი არის კვადრატი. ყოფილი მრიცხველი.
სად უნდა მოძებნოთ რამე სხვა გვერდებზე
რეალურ ამოცანებში პროდუქტის წარმოებულისა და კოეფიციენტის პოვნისას, ყოველთვის საჭიროა რამდენიმე დიფერენციაციის წესის ერთდროულად გამოყენება, ამიტომ ამ წარმოებულებზე მეტი მაგალითია სტატიაში."პროდუქტის წარმოებული და ფუნქციების კოეფიციენტი".
კომენტარი.არ უნდა აურიოთ მუდმივი (ანუ რიცხვი), როგორც ჯამის ტერმინი და როგორც მუდმივი ფაქტორი! ტერმინის შემთხვევაში მისი წარმოებული ნულის ტოლია, ხოლო მუდმივი ფაქტორის შემთხვევაში იგი ამოღებულია წარმოებულების ნიშნიდან. ეს არის ტიპიური შეცდომა, რომელიც ხდება წარმოებულების შესწავლის საწყის ეტაპზე, მაგრამ რადგან საშუალო სტუდენტი ხსნის რამდენიმე ერთ და ორნაწილიან მაგალითს, ის აღარ უშვებს ამ შეცდომას.
და თუ პროდუქტის ან კოეფიციენტის დიფერენცირებისას გაქვთ ტერმინი u"ვ, რომელშიც u- რიცხვი, მაგალითად, 2 ან 5, ანუ მუდმივი, მაშინ ამ რიცხვის წარმოებული იქნება ნულის ტოლი და, შესაბამისად, მთელი წევრი იქნება ნულის ტოლი (ეს შემთხვევა განიხილება მაგალითში 10).
კიდევ ერთი გავრცელებული შეცდომა არის რთული ფუნქციის წარმოებულის, როგორც მარტივი ფუნქციის წარმოებულის მექანიკური ამოხსნა. Ამიტომაც რთული ფუნქციის წარმოებულიცალკე სტატია ეთმობა. მაგრამ ჯერ ჩვენ ვისწავლით მარტივი ფუნქციების წარმოებულების პოვნას.
გზად, გამონათქვამების გარდაქმნის გარეშე არ შეგიძლია. ამისათვის შეიძლება დაგჭირდეთ სახელმძღვანელოს გახსნა ახალ ფანჯრებში. მოქმედებები ძალებითა და ფესვებითდა მოქმედებები წილადებთან .
თუ თქვენ ეძებთ ამონახსნებს წილადებისა და ფესვების წარმოებულების შესახებ, ანუ, როდესაც ფუნქცია გამოიყურება 
, შემდეგ მიჰყევით გაკვეთილს წილადების ჯამების წარმოებული ხარისხებითა და ფესვებით.
თუ თქვენ გაქვთ ისეთი დავალება, როგორიცაა 
, შემდეგ გაივლით გაკვეთილს „მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები“.
ნაბიჯ-ნაბიჯ მაგალითები - როგორ მოვძებნოთ წარმოებული
მაგალითი 3.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
გამოსავალი. ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის გამოხატვის ნაწილებს: მთელი გამოხატულება წარმოადგენს პროდუქტს, ხოლო მისი ფაქტორები არის ჯამები, რომელთაგან ერთ-ერთი ტერმინი შეიცავს მუდმივ ფაქტორს. ჩვენ ვიყენებთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესს: ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლების ჯამს მეორის წარმოებულის მიხედვით:
შემდეგ ვიყენებთ ჯამის დიფერენციაციის წესს: ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრულ ჯამს. ჩვენს შემთხვევაში, თითოეულ ჯამში მეორე წევრს აქვს მინუს ნიშანი. თითოეულ ჯამში ჩვენ ვხედავთ როგორც დამოუკიდებელ ცვლადს, რომლის წარმოებული უდრის ერთს, ასევე მუდმივ (რიცხვს), რომლის წარმოებულიც ნულის ტოლია. ასე რომ, "X" იქცევა ერთად, ხოლო მინუს 5 იქცევა ნულში. მეორე გამონათქვამში "x" მრავლდება 2-ზე, ამიტომ ორს ვამრავლებთ იმავე ერთეულზე, როგორც "x"-ის წარმოებული. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ წარმოებულ მნიშვნელობებს:
ჩვენ ვცვლით ნაპოვნ წარმოებულებს პროდუქციის ჯამში და ვიღებთ მთელი ფუნქციის წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის პირობით:
მაგალითი 4.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
გამოსავალი. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კოეფიციენტის წარმოებული. ჩვენ ვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენცირების ფორმულას: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელისა და მრიცხველის წარმოებულსა და მრიცხველის წარმოებულს შორის. მნიშვნელი, ხოლო მნიშვნელი არის ყოფილი მრიცხველის კვადრატი. ჩვენ ვიღებთ:
ჩვენ უკვე ვიპოვეთ მრიცხველის ფაქტორების წარმოებული მაგალითში 2. ასევე არ დაგვავიწყდეს, რომ ნამრავლი, რომელიც არის მრიცხველის მეორე ფაქტორი მიმდინარე მაგალითში, აღებულია მინუს ნიშნით:
თუ თქვენ ეძებთ ამოცანების გადაწყვეტას, რომლებშიც უნდა იპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, სადაც არის ფესვებისა და ძალების უწყვეტი გროვა, როგორიცაა, მაგალითად, 
, მაშინ კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება კლასში "წილადი წილადებისა და ფესვების ჯამების წარმოებული" .
თუ საჭიროა მეტი გაიგოთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების შესახებ, ანუ როცა ფუნქცია გამოიყურება , მაშინ გაკვეთილი თქვენთვის "მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები" .
მაგალითი 5.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
გამოსავალი. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ პროდუქტს, რომლის ერთ-ერთი ფაქტორია დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი, რომლის წარმოებულსაც გავეცანით წარმოებულთა ცხრილში. პროდუქტის დიფერენცირების წესისა და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ტაბულური მნიშვნელობის გამოყენებით ვიღებთ:
მაგალითი 6.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
გამოსავალი. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ კოეფიციენტს, რომლის დივიდენდი არის დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი. კოეფიციენტების დიფერენცირების წესის გამოყენებით, რომელიც გავიმეორეთ და გამოვიყენეთ მაგალით 4-ში და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ცხრილის მნიშვნელობის გამოყენებით, ვიღებთ:
მრიცხველში წილადის მოსაშორებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ.
Ჩატვირთვა...