ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი. გამყოფები და ჯერადები

განვიხილოთ სამი გზა უმცირესი საერთო ჯერადის მოსაძებნად.

მოძიება ფაქტორიზაციით

პირველი მეთოდი არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა მოცემული რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით.

ვთქვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რიცხვების LCM: 99, 30 და 28. ამისათვის მოდით, თითოეული ეს რიცხვი გავამრავლოთ მარტივ ფაქტორებად:

იმისათვის, რომ სასურველი რიცხვი გაიყოს 99-ზე, 30-ზე და 28-ზე, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მასში შევიდეს ამ გამყოფების ყველა მარტივი ფაქტორი. ამისათვის ჩვენ უნდა ავიყვანოთ ამ რიცხვების ყველა ძირითადი ფაქტორი მაქსიმალურ სიმძლავრემდე და გავამრავლოთ ისინი:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

ამრიგად, LCM (99, 30, 28) = 13,860. 13,860-ზე ნაკლები სხვა რიცხვი არ იყოფა 99-ზე, 30-ზე ან 28-ზე.

მოცემული რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად, თქვენ შეადარეთ ისინი მათ პირველ ფაქტორებად, შემდეგ აიღეთ თითოეული მარტივი ფაქტორი უდიდესი მაჩვენებლით, რომელშიც ის ჩანს და გაამრავლეთ ეს ფაქტორები ერთად.

ვინაიდან შედარებით მარტივ რიცხვებს არ აქვთ საერთო მარტივი ფაქტორები, მათი უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ამ რიცხვების ნამრავლს. მაგალითად, სამი რიცხვი: 20, 49 და 33 შედარებით მარტივია. Ამიტომაც

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

იგივე უნდა გაკეთდეს სხვადასხვა მარტივი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნისას. მაგალითად, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

მოძიება შერჩევით

მეორე მეთოდი არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა შერჩევით.

მაგალითი 1. როდესაც მოცემული რიცხვებიდან უდიდესი იყოფა სხვა მოცემულ რიცხვზე, მაშინ ამ რიცხვების LCM უდრის მათგან უდიდეს. მაგალითად, მოცემულია ოთხი რიცხვი: 60, 30, 10 და 6. თითოეული მათგანი იყოფა 60-ზე, ამიტომ:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

სხვა შემთხვევებში, უმცირესი საერთო ჯერადი მოსაძებნად, გამოიყენება შემდეგი პროცედურა:

1. განსაზღვრეთ ყველაზე დიდი რიცხვი მოცემული რიცხვებიდან.
2. შემდეგი, ჩვენ ვპოულობთ რიცხვებს, რომლებიც მრავლდებიან უდიდესი რიცხვის გამრავლებით მთელი რიცხვებიზრდის მიმდევრობით და ამოწმებს, იყო თუ არა დარჩენილი რიცხვები მიღებულ ნამრავლზე.

მაგალითი 2. მოცემულია სამი რიცხვი 24, 3 და 18. ჩვენ განვსაზღვრავთ მათგან ყველაზე დიდს - ეს არის რიცხვი 24. შემდეგ, ვპოულობთ რიცხვებს, რომლებიც მრავლდებიან 24-ზე, ვამოწმებთ, იყო თუ არა თითოეული მათგანი 18-ზე და 3-ზე:

24 · 1 = 24 - იყოფა 3-ზე, მაგრამ არ იყოფა 18-ზე.

24 · 2 = 48 - იყოფა 3-ზე, მაგრამ არ იყოფა 18-ზე.

24 · 3 = 72 - იყოფა 3-ზე და 18-ზე.

ამრიგად, LCM (24, 3, 18) = 72.

პოვნა LCM-ის თანმიმდევრული მოძიებით

მესამე მეთოდი არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა LCM-ის თანმიმდევრული პოვნის გზით.

ორი მოცემული რიცხვის LCM ტოლია ამ რიცხვების ნამრავლის გაყოფილი მათ უდიდეს საერთო გამყოფზე.

მაგალითი 1. იპოვეთ ორი მოცემული რიცხვის LCM: 12 და 8. განსაზღვრეთ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი: GCD (12, 8) = 4. გაამრავლეთ ეს რიცხვები:

ჩვენ ვყოფთ პროდუქტს მათი gcd-ით:

ამრიგად, LCM (12, 8) = 24.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად გამოიყენეთ შემდეგი პროცედურა:

1. პირველ რიგში, იპოვნეთ ამ რიცხვებიდან ნებისმიერი ორის LCM.
2. შემდეგ, ნაპოვნი უმცირესი საერთო ჯერადი და მესამე მოცემული რიცხვის LCM.
3. შემდეგ, მიღებული უმცირესი საერთო ჯერადი და მეოთხე რიცხვის LCM და ა.შ.
4. ამრიგად, LCM-ის ძებნა გრძელდება მანამ, სანამ არის ნომრები.

მაგალითი 2. იპოვეთ LCM სამი მონაცემინომრები: 12, 8 და 9. წინა მაგალითში უკვე ვიპოვეთ 12 და 8 რიცხვების LCM (ეს არის რიცხვი 24). რჩება 24 რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი და მესამე მოცემული რიცხვის - 9-ის პოვნა. დაადგინეთ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი: GCD (24, 9) = 3. გაამრავლეთ LCM რიცხვით 9:

ჩვენ ვყოფთ პროდუქტს მათი gcd-ით:

ამრიგად, LCM (12, 8, 9) = 72.

ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა მოცემული ნომერიუკვალოდ. რიცხვთა ჯგუფის უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა ჯგუფში თითოეულ რიცხვზე ნაშთის დატოვების გარეშე. უმცირესი საერთო ჯერადი რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა იპოვოთ მოცემული რიცხვების მარტივი ფაქტორები. LCM ასევე შეიძლება გამოითვალოს მრავალი სხვა მეთოდის გამოყენებით, რომლებიც გამოიყენება ორი ან მეტი რიცხვის ჯგუფებზე.

ნაბიჯები

მრავალჯერადი სერია

შეხედე ამ ციფრებს.აქ აღწერილი მეთოდი საუკეთესოდ გამოიყენება, როდესაც მოცემულია ორი რიცხვი, რომელთაგან თითოეული 10-ზე ნაკლებია. თუ უფრო დიდი რიცხვებია მოცემული, გამოიყენეთ სხვა მეთოდი.

• მაგალითად, იპოვეთ 5-ისა და 8-ის უმცირესი საერთო ჯერადი. ეს არის მცირე რიცხვები, ამიტომ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს მეთოდი.

1. ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა მოცემულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. გამრავლების ცხრილში შეგიძლიათ იხილოთ მრავალჯერადი.

   • მაგალითად, 5-ის ჯერადი რიცხვებია: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. ჩამოწერეთ რიცხვების სერია, რომელიც არის პირველი რიცხვის ჯერადი.გააკეთეთ ეს პირველი რიცხვის ჯერადების ქვეშ, რათა შევადაროთ რიცხვების ორი ნაკრები.

   • მაგალითად, რიცხვები, რომლებიც 8-ის ჯერადი არიან: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 და 64.

3. იპოვეთ უმცირესი რიცხვი, რომელიც არის მრავლობითის ორივე სიმრავლეში.შეიძლება დაგჭირდეთ მრავლობითი გრძელი სერიების დაწერა, რომ იპოვოთ მთლიანი რაოდენობა. უმცირესი რიცხვი, რომელიც გვხვდება მრავლობითთა ორივე სიმრავლეში, არის უმცირესი საერთო ჯერადი.

   • Მაგალითად, ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელიც იმყოფება 5-ისა და 8-ის ჯერადების სერიაში, არის რიცხვი 40. ამიტომ, 40 არის 5-ისა და 8-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

   ძირითადი ფაქტორიზაცია

   1. შეხედე ამ ციფრებს.აქ აღწერილი მეთოდი საუკეთესოდ გამოიყენება, როდესაც მოცემულია ორი რიცხვი, რომელთაგან თითოეული 10-ზე მეტია. თუ მოცემულია უფრო მცირე რიცხვები, გამოიყენეთ სხვა მეთოდი.

      • მაგალითად, იპოვეთ 20 და 84 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი. თითოეული რიცხვი 10-ზე მეტია, ამიტომ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს მეთოდი.

   2. პირველი რიცხვი გადაანაწილეთ მარტივ ფაქტორებად.ანუ, თქვენ უნდა იპოვოთ ისეთი მარტივი რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას მიიღება მოცემული რიცხვი. როგორც კი იპოვით პირველ ფაქტორებს, ჩაწერეთ ისინი ტოლებად.

      • Მაგალითად, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2))\ჯერ 10=20)და 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ჯერ (\mathbf (5) )=10). ამრიგად, რიცხვი 20-ის მარტივი ფაქტორებია რიცხვები 2, 2 და 5. ჩაწერეთ ისინი გამოსახულებად: .

   3. მეორე რიცხვი გადაიტანეთ მარტივ ფაქტორებად.გააკეთეთ ეს ისევე, როგორც დაამატე პირველი რიცხვი, ანუ იპოვეთ ისეთი მარტივი რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას მიიღებენ მოცემულ რიცხვს.

      • Მაგალითად, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ჯერ 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\ჯერ 6=42)და 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\ჯერ (\mathbf (2) )=6). ამრიგად, 84 რიცხვის მარტივი ფაქტორებია რიცხვები 2, 7, 3 და 2. დაწერეთ ისინი გამოსახულებად: .

   4. ჩაწერეთ ორივე რიცხვისთვის საერთო ფაქტორები.დაწერეთ ისეთი ფაქტორები, როგორიცაა გამრავლების ოპერაცია. როდესაც წერთ თითოეულ ფაქტორს, გადახაზეთ იგი ორივე გამონათქვამში (გამონათქვამები, რომლებიც აღწერს რიცხვების ფაქტორიზაციებს მარტივ ფაქტორებად).

      • მაგალითად, ორივე რიცხვს აქვს საერთო კოეფიციენტი 2, ასე რომ ჩაწერეთ 2 × (\displaystyle 2\ჯერ)და გადახაზეთ 2 ორივე გამონათქვამში.
      • ორივე რიცხვს საერთო აქვს 2-ის კიდევ ერთი ფაქტორი, ასე რომ დაწერეთ 2 × 2 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 2)და გადახაზეთ მეორე 2 ორივე გამონათქვამში.

   5. დაამატეთ დარჩენილი ფაქტორები გამრავლების ოპერაციას.ეს არის ფაქტორები, რომლებიც არ არის გადახაზული ორივე გამონათქვამში, ანუ ფაქტორები, რომლებიც არ არის საერთო ორივე რიცხვისთვის.

      • მაგალითად, გამონათქვამში 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ჯერ 2\ჯერ 5)ორივე ორი (2) გადახაზულია, რადგან ისინი საერთო ფაქტორებია. ფაქტორი 5 არ არის გადახაზული, ასე რომ ჩაწერეთ გამრავლების ოპერაცია ასე: 2 × 2 × 5 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 2\ჯერ 5)
      • გამოხატვისას 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\ჯერ 7\ჯერ 3\ჯერ 2)ორივე ორი (2) ასევე გადახაზულია. 7 და 3 ფაქტორები არ არის გადახაზული, ასე რომ დაწერეთ გამრავლების ოპერაცია ასე: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 2\ჯერ 5\ჯერ 7\ჯერ 3).

   6. გამოთვალეთ უმცირესი საერთო ჯერადი.ამისათვის გაამრავლეთ რიცხვები წერილობითი გამრავლების ოპერაციაში.

      • Მაგალითად, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 2\ჯერ 5\ჯერ 7\ჯერ 3=420). ასე რომ, 20-ისა და 84-ის უმცირესი საერთო ჯერადი არის 420.

   საერთო ფაქტორების პოვნა

   1. დახაზეთ ბადე, როგორც ტიკ-ტაკ-ტოს თამაშისთვის.ასეთი ბადე შედგება ორი პარალელური ხაზისგან, რომლებიც კვეთენ (მართი კუთხით) კიდევ ორ პარალელურ წრფეს. ეს მოგცემთ სამ მწკრივს და სამ სვეტს (ბადე ძალიან ჰგავს # ხატულას). ჩაწერეთ პირველი რიცხვი პირველ სტრიქონში და მეორე სვეტში. ჩაწერეთ მეორე რიცხვი პირველ რიგში და მესამე სვეტში.

      • მაგალითად, იპოვეთ 18 და 30 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი. პირველ რიგში და მეორე სვეტში ჩაწერეთ რიცხვი 18, პირველ რიგში და მესამე სვეტში ჩაწერეთ რიცხვი 30.

   2. იპოვეთ ორივე რიცხვისთვის საერთო გამყოფი.ჩაწერეთ ის პირველ რიგში და პირველ სვეტში. უმჯობესია მოძებნოთ ძირითადი ფაქტორები, მაგრამ ეს არ არის მოთხოვნა.

      • მაგალითად, 18 და 30 ლუწი რიცხვებია, ამიტომ მათი საერთო კოეფიციენტია 2. ასე რომ ჩაწერეთ 2 პირველ რიგში და პირველ სვეტში.

   3. თითოეული რიცხვი გაყავით პირველ გამყოფზე.თითოეული კოეფიციენტი ჩაწერეთ შესაბამისი რიცხვის ქვეშ. კოეფიციენტი არის ორი რიცხვის გაყოფის შედეგი.

      • Მაგალითად, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9)ასე რომ დაწერეთ 9 18-ზე.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15)ასე რომ, ჩაწერეთ 15 30-მდე.

   4. იპოვნეთ საერთო გამყოფი ორივე კოეფიციენტისთვის.თუ ასეთი გამყოფი არ არის, გამოტოვეთ შემდეგი ორი ნაბიჯი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩაწერეთ გამყოფი მეორე რიგში და პირველ სვეტში.

      • მაგალითად, 9 და 15 იყოფა 3-ზე, ამიტომ ჩაწერეთ 3 მეორე რიგში და პირველ სვეტში.

   5. თითოეული კოეფიციენტი გაყავით მის მეორე გამყოფზე.თითოეული გაყოფის შედეგი ჩაწერეთ შესაბამისი კოეფიციენტის ქვეშ.

      • Მაგალითად, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)ასე რომ დაწერეთ 3 9-ის ქვეშ.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5)ასე რომ დაწერეთ 5 15-ზე.

   6. საჭიროების შემთხვევაში, დაამატეთ დამატებითი უჯრედები ქსელში.გაიმეორეთ აღწერილი ნაბიჯები, სანამ კოეფიციენტებს არ ექნებათ საერთო გამყოფი.

   7. შემოხაზეთ რიცხვები ბადის პირველ სვეტში და ბოლო მწკრივში.შემდეგ ჩაწერეთ არჩეული რიცხვები გამრავლების მოქმედების სახით.

      • მაგალითად, რიცხვები 2 და 3 არის პირველ სვეტში, ხოლო 3 და 5 რიცხვები ბოლო რიგში, ასე რომ ჩაწერეთ გამრავლების ოპერაცია ასე: 2 × 3 × 3 × 5 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 3\ჯერ 3\ჯერ 5).

   8. იპოვეთ რიცხვების გამრავლების შედეგი.ეს გამოთვლის ორი მოცემული რიცხვის უმცირეს საერთო ჯერადს.

      • Მაგალითად, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 3\ჯერ 3\ჯერ 5=90). ასე რომ, 18-ისა და 30-ის უმცირესი საერთო ჯერადი არის 90.

   ევკლიდეს ალგორითმი

   1. გახსოვდეთ გაყოფის ოპერაციასთან დაკავშირებული ტერმინოლოგია.დივიდენდი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა. გამყოფი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა. კოეფიციენტი არის ორი რიცხვის გაყოფის შედეგი. ნაშთი არის დარჩენილი რიცხვი, როდესაც ორი რიცხვი იყოფა.

      • მაგალითად, გამონათქვამში 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 არის დივიდენდი
        6 არის გამყოფი
        2 არის კოეფიციენტი
        3 არის დარჩენილი.

უდიდესი საერთო გამყოფი

განმარტება 2

თუ ნატურალური რიცხვი a იყოფა ნატურალურ რიცხვზე $b$, მაშინ $b$-ს ეწოდება $a$-ის გამყოფი, ხოლო $a$-ს ეწოდება $b$-ის ჯერადი.

დაე, $a$ და $b$ იყოს ნატურალური რიცხვები. რიცხვს $c$ ეწოდება $a$ და $b$-ის საერთო გამყოფი.

$a$ და $b$ რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლე სასრულია, რადგან არცერთი ეს გამყოფი არ შეიძლება იყოს $a$-ზე მეტი. ეს ნიშნავს, რომ ამ გამყოფებს შორის არის ყველაზე დიდი, რომელსაც ეწოდება $a$ და $b$ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი და აღინიშნება შემდეგი აღნიშვნით:

$GCD \(a;b)\ ან \D\(a;b)$

ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად დაგჭირდებათ:

1. იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

მაგალითი 1

იპოვეთ რიცხვების gcd $121$ და $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

აირჩიეთ რიცხვები, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

$GCD=2\cdot 11=22$

მაგალითი 2

იპოვეთ მონომილების gcd $63$ და $81$.

ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის:

მოდით გავამრავლოთ რიცხვები მარტივ ფაქტორებად

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ჩვენ ვირჩევთ ნომრებს, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ვიპოვოთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

$GCD=3\cdot 3=9$

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ორი რიცხვის gcd სხვა გზით, რიცხვების გამყოფების სიმრავლის გამოყენებით.

მაგალითი 3

იპოვეთ რიცხვების gcd $48$ და $60$.

გამოსავალი:

ვიპოვოთ $48$ რიცხვის გამყოფთა სიმრავლე: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

ახლა ვიპოვოთ რიცხვის გამყოფების სიმრავლე $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

ვიპოვოთ ამ სიმრავლეთა კვეთა: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ეს ნაკრები განსაზღვრავს $48$ და $60 რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლეს. $. ამ ნაკრების ყველაზე დიდი ელემენტი იქნება რიცხვი $12$. ეს ნიშნავს, რომ $48$ და $60$ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი არის $12$.

NPL-ის განმარტება

განმარტება 3

ნატურალური რიცხვების საერთო ჯერადი$a$ და $b$ არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის $a$ და $b$-ის ჯერადი.

რიცხვების საერთო ჯერადები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა თავდაპირველ რიცხვებზე ნაშთების გარეშე. მაგალითად, რიცხვებისთვის $25$ და $50$, საერთო ჯერადები იქნება რიცხვები $50,100,150,200$ და ა.შ.

უმცირეს საერთო ჯერადს დაერქმევა უმცირესი საერთო ჯერადი და აღინიშნა LCM$(a;b)$ ან K$(a;b).$

ორი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად საჭიროა:

1. ფაქტორების რიცხვი მარტივ ფაქტორებად
2. ჩამოწერეთ პირველი რიცხვის შემადგენელი ფაქტორები და დაუმატეთ მათ ფაქტორები, რომლებიც მეორეს ნაწილია და არ არის პირველის ნაწილი.

მაგალითი 4

იპოვეთ რიცხვების LCM $99$ და $77$.

ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის

ფაქტორების რიცხვი მარტივ ფაქტორებად

$99=3\cdot 3\cdot 11$

დაწერეთ პირველში შემავალი ფაქტორები

დაამატეთ მათ მამრავლები, რომლებიც მეორეს ნაწილია და არა პირველის ნაწილი

იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

რიცხვების გამყოფთა სიების შედგენა ხშირად ძალიან შრომატევადი ამოცანაა. არსებობს გზა, რომ იპოვოთ GCD, რომელსაც ეწოდება ევკლიდური ალგორითმი.

განცხადებები, რომლებზეც დაფუძნებულია ევკლიდური ალგორითმი:

თუ $a$ და $b$ ნატურალური რიცხვებია და $a\vdots b$, მაშინ $D(a;b)=b$

თუ $a$ და $b$ ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$-ის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია თანმიმდევრულად შევამციროთ განსახილველი რიცხვები, სანამ არ მივაღწევთ რიცხვების წყვილს ისე, რომ ერთი მათგანი იყოფა მეორეზე. მაშინ ამ რიცხვებიდან უფრო მცირე იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი $a$ და $b$ რიცხვებისთვის.

GCD-ისა და LCM-ის თვისებები

1. $a$-ისა და $b$-ის ნებისმიერი საერთო ჯერადი იყოფა K$(a;b)$-ზე
2. თუ $a\vdots b$, მაშინ К$(a;b)=a$

თუ K$(a;b)=k$ და $m$ ნატურალური რიცხვია, მაშინ K$(am;bm)=km$

თუ $d$ არის $a$-ისა და $b$-ის საერთო გამყოფი, მაშინ K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

თუ $a\vdots c$ და $b\vdots c$, მაშინ $\frac(ab)(c)$ არის $a$ და $b$-ის საერთო ჯერადი.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის $a$ და $b$ ტოლობა მოქმედებს

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ და $b$ რიცხვების ნებისმიერი საერთო გამყოფი არის $D(a;b)$ რიცხვის გამყოფი.

მათემატიკური გამონათქვამები და ამოცანები დიდ დამატებით ცოდნას მოითხოვს. NOC არის ერთ-ერთი მთავარი, განსაკუთრებით ხშირად გამოიყენება თემის შესწავლა უმაღლეს სკოლაში და არ არის განსაკუთრებით რთული მასალის გაგება, ძნელი არ იქნება ძლიერებისა და გამრავლების ცხრილების მცოდნე ადამიანს ამოცნობა. საჭირო ნომრებიდა აღმოაჩინეთ შედეგი.

განმარტება

საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება მთლიანად დაიყოს ორ რიცხვად ერთდროულად (a და b). ყველაზე ხშირად, ეს რიცხვი მიიღება ორიგინალური რიცხვების a და b გამრავლებით. რიცხვი უნდა გაიყოს ორივე რიცხვზე ერთდროულად, გადახრების გარეშე.

NOC არის აღნიშვნის მოკლე სახელი, რომელიც შეგროვებულია პირველი ასოებიდან.

ნომრის მიღების გზები

რიცხვების გამრავლების მეთოდი ყოველთვის არ არის შესაფერისი LCM-ის საპოვნელად; ის ბევრად უფრო შეეფერება მარტივ ერთნიშნა ან ორნიშნა რიცხვებს. ჩვეულებრივია ფაქტორებად დაყოფა; რაც უფრო დიდია რიცხვი, მით მეტი ფაქტორი იქნება.

მაგალითი #1

უმარტივესი მაგალითისთვის, სკოლები ჩვეულებრივ იყენებენ მარტივ, ერთნიშნა ან ორნიშნა რიცხვებს. მაგალითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ შემდეგი ამოცანა, იპოვოთ 7 და 3 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი, ამოხსნა საკმაოდ მარტივია, უბრალოდ გაამრავლეთ ისინი. შედეგად, არის რიცხვი 21, უბრალოდ არ არის უფრო მცირე რიცხვი.

მაგალითი No2

დავალების მეორე ვერსია გაცილებით რთულია. მოცემულია ნომრები 300 და 1260, LOC-ის პოვნა სავალდებულოა. პრობლემის გადასაჭრელად, გათვალისწინებულია შემდეგი მოქმედებები:

პირველი და მეორე რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. პირველი ეტაპი დასრულებულია.

მეორე ეტაპი გულისხმობს უკვე მიღებულ მონაცემებთან მუშაობას. თითოეული მიღებული რიცხვი უნდა მონაწილეობდეს საბოლოო შედეგის გამოთვლაში. თითოეულ მულტიპლიკატორზე, ყველაზე მეტი დიდი რიცხვიმოვლენებს. LCM არის ზოგადი რიცხვი, ამიტომ რიცხვების ფაქტორები უნდა განმეორდეს მასში, თითოეულში, თუნდაც ის, რაც ერთ ეგზემპლარშია. ორივე საწყისი რიცხვი შეიცავს ციფრებს 2, 3 და 5, in სხვადასხვა ხარისხით 7 არის მხოლოდ ერთ შემთხვევაში.

საბოლოო შედეგის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა აიღოთ განტოლებაში წარმოდგენილი ხარისხებიდან ყველაზე დიდი თითოეული რიცხვი. რჩება მხოლოდ გამრავლება და პასუხის მიღება, თან სწორი შევსებადავალება ორ ეტაპად ჯდება ახსნის გარეშე:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

ეს არის მთელი პრობლემა, თუ თქვენ ცდილობთ გამოთვალოთ საჭირო რიცხვი გამრავლებით, მაშინ პასუხი ნამდვილად არ იქნება სწორი, რადგან 300 * 1260 = 378,000.

გამოცდა:

6300 / 300 = 21 - სწორი;

6300 / 1260 = 5 - სწორია.

მიღებული შედეგის სისწორე განისაზღვრება შემოწმებით - LCM-ის გაყოფა ორივე თავდაპირველ რიცხვზე, თუ რიცხვი ორივე შემთხვევაში მთელი რიცხვია, მაშინ პასუხი სწორია.

რას ნიშნავს NOC მათემატიკაში?

მოგეხსენებათ, მათემატიკაში არც ერთი უსარგებლო ფუნქცია არ არის, არც ეს არის გამონაკლისი. ამ რიცხვის ყველაზე გავრცელებული მიზანია წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირება. რასაც ჩვეულებრივ სწავლობენ მე-5-6 კლასებში უმაღლესი სკოლა. ის ასევე არის საერთო გამყოფი ყველა ჯერადისთვის, თუ ასეთი პირობებია პრობლემაში. ასეთ გამოთქმას შეუძლია არა მხოლოდ ორი რიცხვის, არამედ გაცილებით დიდი რიცხვის - სამი, ხუთი და ა.შ. Როგორ მეტი რიცხვი- იმათ მეტი მოქმედებაამოცანაში, მაგრამ ეს არ ზრდის სირთულეს.

მაგალითად, 250, 600 და 1500 რიცხვების გათვალისწინებით, თქვენ უნდა იპოვოთ მათი საერთო LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ეს მაგალითი დეტალურად აღწერს ფაქტორიზაციას, შემცირების გარეშე.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

გამოთქმის შედგენისთვის აუცილებელია ყველა ფაქტორის აღნიშვნა, ამ შემთხვევაში მოცემულია 2, 5, 3 - ყველა ამ რიცხვისთვის აუცილებელია მაქსიმალური ხარისხის განსაზღვრა.

ყურადღება: ყველა ფაქტორი უნდა იყოს მიყვანილი სრულ გამარტივებამდე, თუ ეს შესაძლებელია, დაიშალა ერთნიშნა რიცხვამდე.

გამოცდა:

1) 3000 / 250 = 12 - სწორი;

2) 3000 / 600 = 5 - მართალია;

3) 3000 / 1500 = 2 - სწორი.

ეს მეთოდი არ საჭიროებს რაიმე ხრიკს ან გენიალური დონის უნარებს, ყველაფერი მარტივი და გასაგებია.

სხვა გზა

მათემატიკაში ბევრი რამ არის დაკავშირებული, ბევრი რამის ამოხსნა შესაძლებელია ორი ან მეტი გზით, იგივე ეხება უმცირეს საერთო ჯერადის, LCM-ს პოვნას. შემდეგი მეთოდის გამოყენება შესაძლებელია მარტივი ორნიშნა და ერთნიშნა რიცხვების შემთხვევაში. შედგენილია ცხრილი, რომელშიც მულტიპლიკატორი შეყვანილია ვერტიკალურად, მულტიპლიკატორი ჰორიზონტალურად და ნამრავლი მითითებულია სვეტის გადამკვეთ უჯრედებში. შეგიძლიათ ცხრილის ასახვა წრფის გამოყენებით, აიღოთ რიცხვი და ჩაწეროთ ამ რიცხვის გამრავლების შედეგები მთელი რიცხვებით, 1-დან უსასრულობამდე, ზოგჯერ საკმარისია 3-5 ქულა, მეორე და შემდგომი რიცხვები გადიან იგივე გამოთვლით პროცესს. ყველაფერი ხდება მანამ, სანამ საერთო ჯერადი არ მოიძებნება.

30, 35, 42 ნომრების გათვალისწინებით, თქვენ უნდა იპოვოთ LCM, რომელიც აკავშირებს ყველა რიცხვს:

1) 30-ის ნამრავლები: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 და ა.შ.

2) 35-ის ნამრავლები: 70, 105, 140, 175, 210, 245 და ა.შ.

3) 42-ის მრავლობითი: 84, 126, 168, 210, 252 და ა.შ.

შესამჩნევია, რომ ყველა რიცხვი საკმაოდ განსხვავებულია, მათ შორის ერთადერთი საერთო რიცხვია 210, ასე რომ, ეს იქნება NOC. ამ გამოთვლაში ჩართულ პროცესებს შორის ასევე არის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი, რომელიც გამოითვლება მსგავსი პრინციპების მიხედვით და ხშირად გვხვდება მეზობელ პრობლემებში. განსხვავება მცირეა, მაგრამ საკმაოდ მნიშვნელოვანი, LCM გულისხმობს რიცხვის გამოთვლას, რომელიც იყოფა ყველა მოცემულ საწყის მნიშვნელობაზე, ხოლო GCD მოიცავს გამოთვლას უმაღლესი ღირებულებარომლითაც იყოფა თავდაპირველი რიცხვები.

მე-5 კლასში ისწავლება თემა „მრავალჯერები“. საშუალო სკოლა. მისი მიზანია წერილობითი და ზეპირი მათემატიკური გამოთვლის უნარების გაუმჯობესება. ამ გაკვეთილზე შემოღებულია ახალი ცნებები - „მრავალრიცხოვანი რიცხვები“ და „გამყოფები“, პრაქტიკულია გამყოფებისა და ნატურალური რიცხვის ჯერადების პოვნის ტექნიკა და LCM სხვადასხვა გზით პოვნის უნარი.

ეს თემა ძალიან მნიშვნელოვანია. მისი ცოდნა შეიძლება გამოყენებულ იქნას წილადებით მაგალითების ამოხსნისას. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ საერთო მნიშვნელი უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) გამოთვლით.

A-ს ჯერადი არის მთელი რიცხვი, რომელიც იყოფა A-ზე ნაშთის გარეშე.

ყველა ნატურალურ რიცხვს აქვს მისი მამრავლების უსასრულო რაოდენობა. ის თავისთავად ყველაზე პატარად ითვლება. მრავლობითი არ შეიძლება იყოს თავად რიცხვზე ნაკლები.

თქვენ უნდა დაამტკიცოთ, რომ რიცხვი 125 არის 5-ის ჯერადი. ამისათვის თქვენ უნდა გაყოთ პირველი რიცხვი მეორეზე. თუ 125 იყოფა ხუთზე ნაშთის გარეშე, მაშინ პასუხი არის დიახ.

ეს მეთოდი გამოიყენება მცირე რაოდენობით.

LOC-ის გამოთვლისას განსაკუთრებული შემთხვევებია.

1. თუ თქვენ უნდა იპოვოთ 2 რიცხვის საერთო ჯერადი (მაგალითად, 80 და 20), სადაც ერთი მათგანი (80) იყოფა მეორეზე (20), მაშინ ეს რიცხვი (80) არის ამ რიცხვების უმცირესი ჯერადი. ორი ნომერი.

LCM(80, 20) = 80.

2. თუ ორს არ აქვს საერთო გამყოფი, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მათი LCM არის ამ ორი რიცხვის ნამრავლი.

LCM(6, 7) = 42.

მოდით შევხედოთ ბოლო მაგალითს. 6 და 7 42-ის მიმართ არის გამყოფები. ისინი ყოფენ რიცხვის ნამრავლს ნაშთის გარეშე.

ამ მაგალითში 6 და 7 არის დაწყვილებული ფაქტორები. მათი ნამრავლი უდრის ყველაზე მრავალჯერადი რიცხვს (42).

რიცხვს უბრალო ეწოდება, თუ ის იყოფა მხოლოდ თავისთავად ან 1-ზე (3:1=3; 3:3=1). დანარჩენს კომპოზიტს უწოდებენ.

კიდევ ერთი მაგალითი მოიცავს იმის დადგენას, არის თუ არა 9 42-ის გამყოფი.

42:9=4 (დარჩენილი 6)

პასუხი: 9 არ არის 42-ის გამყოფი, რადგან პასუხს აქვს ნაშთი.

გამყოფი იმით განსხვავდება მრავალჯერადისაგან, რომ გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც იყოფა ნატურალური რიცხვები და თავად მრავლობითი იყოფა ამ რიცხვზე.

რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ადა ბ, გამრავლებული მათ უმცირეს ჯერადზე, მისცემს თავად რიცხვების ნამრავლს ადა ბ.

კერძოდ: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

საერთო ჯერადი მეტისთვის რთული რიცხვებინაპოვნია შემდეგი გზით.

მაგალითად, იპოვეთ LCM 168, 180, 3024-ისთვის.

ჩვენ ვანაწილებთ ამ რიცხვებს მარტივ ფაქტორებად და ვწერთ მათ, როგორც ძლიერების ნამრავლს:

168=2³x3¹x7¹

24х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.