ინსტრუქციები

ჩვენ განვსაზღვრავთ მრუდის ტანგენსის კუთხურ კოეფიციენტს M წერტილში.
y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის გამომსახველი მრუდი უწყვეტია M წერტილის გარკვეულ სამეზობლოში (თავად M წერტილის ჩათვლით).

თუ მნიშვნელობა f‘(x0) არ არსებობს, მაშინ ან არ არის ტანგენსი, ან გადის ვერტიკალურად. ამის გათვალისწინებით x0 წერტილში ფუნქციის წარმოებულის არსებობა განპირობებულია ფუნქციის გრაფიკზე (x0, f(x0)) არავერტიკალური ტანგენტის არსებობით. ამ შემთხვევაში ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტი ტოლი იქნება f"(x0). ამრიგად, წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა ირკვევა - ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტის გამოთვლა.

იპოვეთ ტანგენტის წერტილის აბსცისის მნიშვნელობა, რომელიც აღინიშნება ასო "a"-ით. თუ იგი ემთხვევა მოცემულ ტანგენტს, მაშინ "a" იქნება მისი x-კოორდინატი. განსაზღვრეთ ღირებულება ფუნქციებივ(ა) განტოლებაში ჩანაცვლებით ფუნქციებიაბსცისის ღირებულება.

განსაზღვრეთ განტოლების პირველი წარმოებული ფუნქციები f'(x) და ჩაანაცვლეთ მასში "a" წერტილის მნიშვნელობა.

აიღეთ ზოგადი ტანგენტის განტოლება, რომელიც განისაზღვრება როგორც y = f(a) = f (a)(x – a) და ჩაანაცვლეთ მასში a, f(a), f"(a) ნაპოვნი მნიშვნელობები. შედეგად, გრაფიკის გამოსავალი მოიძებნება და ტანგენსი.

ამოიღეთ პრობლემა სხვაგვარად, თუ მოცემული ტანგენტური წერტილი არ ემთხვევა ტანგენს წერტილს. ამ შემთხვევაში აუცილებელია ტანგენტის განტოლებაში რიცხვების ნაცვლად "a" ჩანაცვლება. ამის შემდეგ „x“ და „y“ ასოების ნაცვლად ჩაანაცვლეთ მოცემული წერტილის კოორდინატების მნიშვნელობა. ამოხსენით მიღებული განტოლება, რომელშიც "a" არის უცნობი. შეაერთეთ მიღებული მნიშვნელობა ტანგენტის განტოლებაში.

დაწერეთ ტანგენტის განტოლება ასო "a"-ით, თუ პრობლემის ფორმულირება განსაზღვრავს განტოლებას ფუნქციებიდა პარალელური წრფის განტოლება სასურველ ტანგენსთან მიმართებაში. ამის შემდეგ ჩვენ გვჭირდება წარმოებული ფუნქციები, კოორდინატამდე „ა“ წერტილში. ჩაანაცვლეთ შესაბამისი მნიშვნელობა ტანგენტის განტოლებაში და ამოხსენით ფუნქცია.

ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის განტოლება

პ. რომანოვი, თ. რომანოვა,
მაგნიტოგორსკი,
ჩელიაბინსკის რეგიონი

ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის განტოლება

სტატია გამოქვეყნდა ITAKA+ სასტუმრო კომპლექსის მხარდაჭერით. გემთმშენებელთა ქალაქში სევეროდვინსკში ყოფნისას დროებითი საცხოვრებლის პოვნის პრობლემა არ შეგექმნებათ. , სასტუმრო კომპლექს „ITHAKA+“-ის ვებგვერდზე http://itakaplus.ru, შეგიძლიათ მარტივად და სწრაფად იქირაოთ ბინა ქალაქში, ნებისმიერი პერიოდისთვის, დღიური გადახდით.

ჩართულია თანამედროვე სცენაგანათლების განვითარება, მისი ერთ-ერთი მთავარი ამოცანაა შემოქმედებითად მოაზროვნე პიროვნების ჩამოყალიბება. მოსწავლეებში შემოქმედებითი უნარის განვითარება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი სისტემატურად არიან ჩართულნი კვლევითი საქმიანობის საფუძვლებში. სტუდენტებისთვის მათი შემოქმედებითი ძალების, შესაძლებლობებისა და ნიჭის გამოყენების საფუძველი არის სრულფასოვანი ცოდნისა და უნარების ჩამოყალიბება. ამ მხრივ არცთუ მცირე მნიშვნელობა აქვს სასკოლო მათემატიკის კურსის თითოეული თემისთვის საბაზისო ცოდნისა და უნარ-ჩვევების სისტემის ჩამოყალიბების პრობლემას. ამავდროულად, სრულფასოვანი უნარები უნდა იყოს დიდაქტიკური მიზანი არა ცალკეული ამოცანების, არამედ მათი საგულდაგულოდ გააზრებული სისტემისა. ფართო გაგებით, სისტემა გაგებულია, როგორც ურთიერთდაკავშირებული ურთიერთქმედების ელემენტების ერთობლიობა, რომლებსაც აქვთ მთლიანობა და სტაბილური სტრუქტურა.

მოდით განვიხილოთ ტექნიკა, რომლითაც მოსწავლეებს ვასწავლით, როგორ დაწერონ განტოლება ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსისთვის. არსებითად, ტანგენტის განტოლების პოვნის ყველა პრობლემა მოდის ხაზების სიმრავლიდან (შეკვრა, ოჯახი) არჩევის აუცილებლობაზე, რომლებიც აკმაყოფილებს გარკვეულ მოთხოვნას - ისინი ტანგენტები არიან გარკვეული ფუნქციის გრაფიკზე. ამ შემთხვევაში, ხაზების ნაკრები, საიდანაც ხდება შერჩევა, შეიძლება განისაზღვროს ორი გზით:

ა) წერტილი, რომელიც მდებარეობს xOy სიბრტყეზე (ხაზების ცენტრალური ფანქარი);
ბ) კუთხური კოეფიციენტი (სწორი ხაზების პარალელური სხივი).

ამასთან დაკავშირებით, თემის „ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტი“ შესწავლისას სისტემის ელემენტების იზოლირების მიზნით, ჩვენ გამოვყავით ორი სახის პრობლემა:

1) ამოცანები ტანგენტზე მოცემული წერტილით, რომლითაც იგი გადის;
2) ამოცანები მისი დახრილობით მოცემულ ტანგენტზე.

ტანგენტის ამოცანების ამოხსნის ტრენინგი ჩატარდა ა.გ.-ს მიერ შემოთავაზებული ალგორითმის გამოყენებით. მორდკოვიჩი. მისი ფუნდამენტური განსხვავება უკვე ცნობილისგან არის ის, რომ ტანგენტის წერტილის აბსციზა აღინიშნება ასო a (ნაცვლად x0) და ამიტომ ტანგენტის განტოლება იღებს ფორმას.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(შეადარეთ y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). ეს მეთოდოლოგიური ტექნიკა, ჩვენი აზრით, საშუალებას აძლევს სტუდენტებს სწრაფად და მარტივად გაიგონ, სად არის ჩაწერილი მიმდინარე წერტილის კოორდინატები. ზოგადი ტანგენტის განტოლება და სად არის შეხების წერტილები.

y = f(x) ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განტოლების შედგენის ალგორითმი

1. აღნიშნეთ ტანგენტის წერტილის აბსციზა ასო a.
2. იპოვეთ f(a).
3. იპოვეთ f "(x) და f "(a).
4. ნაპოვნი რიცხვები a, f(a), f "(a) ჩაანაცვლეთ ზოგადი ტანგენტის განტოლებაში y = f(a) = f "(a)(x – a).

ეს ალგორითმი შეიძლება შედგენილი იყოს სტუდენტების მიერ ოპერაციების დამოუკიდებელი იდენტიფიკაციისა და მათი განხორციელების თანმიმდევრობის საფუძველზე.

პრაქტიკამ აჩვენა, რომ ალგორითმის გამოყენებით თითოეული ძირითადი პრობლემის თანმიმდევრული გადაწყვეტა საშუალებას გაძლევთ განავითაროთ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განტოლების ეტაპობრივად დაწერის უნარი, ხოლო ალგორითმის საფეხურები ემსახურება მოქმედებების საცნობარო წერტილებს. . ეს მიდგომა შეესაბამება P.Ya-ს მიერ შემუშავებულ გონებრივი მოქმედებების თანდათანობითი ფორმირების თეორიას. გალპერინი და ნ.ფ. ტალიზინა.

პირველი ტიპის ამოცანებში გამოვლინდა ორი ძირითადი ამოცანა:

ტანგენსი გადის მრუდეზე მდებარე წერტილში (პრობლემა 1);
ტანგენსი გადის წერტილში, რომელიც არ არის მრუდეზე (პრობლემა 2).

დავალება 1. დაწერეთ განტოლება ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსისთვის M(3; – 2) წერტილში.

გამოსავალი. წერტილი M(3; – 2) არის ტანგენტური წერტილი, ვინაიდან

1. a = 3 – ტანგენტის წერტილის აბსციზა.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – ტანგენტის განტოლება.

ამოცანა 2. დაწერეთ y = – x 2 – 4x + 2 ფუნქციის გრაფიკის ყველა ტანგენტის განტოლება, რომელიც გადის M(– 3; 6) წერტილში.

გამოსავალი. წერტილი M(– 3; 6) არ არის ტანგენტური წერტილი, რადგან f(– 3) 6 (ნახ. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f “(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – ტანგენტის განტოლება.

ტანგენსი გადის M(– 3; 6) წერტილში, შესაბამისად, მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ ტანგენტის განტოლებას.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

თუ a = – 4, მაშინ ტანგენტის განტოლება არის y = 4x + 18.

თუ a = – 2, მაშინ ტანგენტის განტოლებას აქვს ფორმა y = 6.

მეორე ტიპში, ძირითადი ამოცანები იქნება შემდეგი:

ტანგენსი პარალელურია რომელიმე წრფისა (პრობლემა 3);
ტანგენსი გადის მოცემულ წრფეზე გარკვეული კუთხით (პრობლემა 4).

ამოცანა 3. y = x 3 – 3x 2 + 3 ფუნქციის გრაფიკის ყველა ტანგენტების განტოლება დაწერეთ y = 9x + 1 წრფის პარალელურად.

გამოსავალი.

1. ა – ტანგენტის წერტილის აბსციზა.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

მაგრამ, მეორე მხრივ, f "(a) = 9 (პარალელიზმის პირობა). ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება 3a 2 – 6a = 9. მისი ფესვებია a = – 1, a = 3 (ნახ. 3. ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – ტანგენტის განტოლება;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – ტანგენტის განტოლება.

ამოცანა 4. დაწერეთ y = 0,5x 2 – 3x + 1 ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის განტოლება, რომელიც გადადის 45° კუთხით y = 0 სწორ ხაზზე (სურ. 4).

გამოსავალი. პირობიდან f "(a) = tan 45° ვპოულობთ a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – ტანგენტის წერტილის აბსციზა.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – ტანგენტის განტოლება.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ ნებისმიერი სხვა პრობლემის გადაწყვეტა ერთი ან რამდენიმე ძირითადი პრობლემის გადაჭრაზე მოდის. განვიხილოთ შემდეგი ორი პრობლემა, როგორც მაგალითი.

1. ჩაწერეთ პარაბოლის ტანგენტების განტოლებები y = 2x 2 – 5x – 2, თუ ტანგენტები იკვეთება მართი კუთხით და ერთ-ერთი მათგანი ეხება პარაბოლას აბსცისით 3 წერტილში (სურ. 5).

გამოსავალი. მას შემდეგ, რაც მოცემულია ტანგენტის წერტილის აბსციზა, ამონახსნის პირველი ნაწილი მცირდება მთავარ ამოცანამდე 1.

1. a = 3 – მართი კუთხის ერთ-ერთი გვერდის მიზიდულობის წერტილის აბსციზა.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f" (3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – პირველი ტანგენტის განტოლება.

დაე ა – პირველი ტანგენტის დახრის კუთხე. ვინაიდან ტანგენტები პერპენდიკულარულია, მაშინ არის მეორე ტანგენტის დახრის კუთხე. პირველი ტანგენტის y = 7x – 20 განტოლებიდან გვაქვს tg a = 7. ვიპოვოთ

ეს ნიშნავს, რომ მეორე ტანგენტის დახრილობა უდრის.

შემდგომი გამოსავალი მოდის მე-3 მთავარ ამოცანაზე.

მოდით B(c; f(c)) იყოს მეორე წრფის ტანგენციის წერტილი, მაშინ

1. – ტანგენციის მეორე წერტილის აბსციზა.
2.
3.
4.
– მეორე ტანგენტის განტოლება.

Შენიშვნა. ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტის პოვნა უფრო მარტივად შეიძლება, თუ მოსწავლეებმა იციან პერპენდიკულარული წრფეების კოეფიციენტების თანაფარდობა k 1 k 2 = – 1.

2. დაწერეთ ფუნქციების გრაფიკებზე ყველა საერთო ტანგენტების განტოლება

გამოსავალი. ამოცანა მოდის საერთო ტანგენტების ტანგენტების წერტილების აბსცისის პოვნაზე, ანუ ძირითადი ამოცანის 1-ის ზოგადი ფორმით გადაჭრაზე, განტოლებათა სისტემის შედგენაზე და შემდეგ მის ამოხსნაზე (სურ. 6).

1. ვთქვათ a იყოს y = x 2 + x + 1 ფუნქციის გრაფიკზე მდებარე ტანგენსი წერტილის აბსციზა.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f"(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. მოდით c იყოს ფუნქციის გრაფიკზე მდებარე ტანგენსი წერტილის აბსცისა
2.
3. f "(c) = c.
4.

ვინაიდან ტანგენტები ზოგადია, მაშინ

ასე რომ, y = x + 1 და y = – 3x – 3 არის საერთო ტანგენტები.

განხილული ამოცანების მთავარი მიზანია მოამზადოს სტუდენტები დამოუკიდებლად ამოიცნონ ძირითადი პრობლემის ტიპი უფრო რთული პრობლემების გადაჭრისას, რომლებიც საჭიროებენ გარკვეულ კვლევით უნარებს (გაანალიზების, შედარების, განზოგადების, ჰიპოთეზის წამოყენების უნარი და ა.შ.). ასეთი ამოცანები მოიცავს ნებისმიერ ამოცანას, რომელშიც ძირითადი ამოცანა შედის კომპონენტად. მაგალითის სახით განვიხილოთ მისი ტანგენტების ოჯახიდან ფუნქციის პოვნის ამოცანა (შებრუნებული ამოცანა 1).

3. რომელი b და c წრფეებია y = x და y = – 2x tangent y = x 2 + bx + c ფუნქციის გრაფიკზე?

გამოსავალი.

დავუშვათ t იყოს y = x სწორი წრფის მიზიდულობის წერტილის აბსცისა y = x 2 + bx + c პარაბოლით; p არის y = – 2x სწორი წრფის მიზიდულობის წერტილის აბსცისა y = x 2 + bx + c პარაბოლით. მაშინ ტანგენტური განტოლება y = x მიიღებს y = (2t + b)x + c – t 2 ფორმას, ხოლო ტანგენტური განტოლება y = – 2x მიიღებს y = (2p + b)x + c – p 2 ფორმას. .

შევადგინოთ და ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა

პასუხი:

დამოუკიდებლად გადასაჭრელი პრობლემები

1. დაწერეთ y = 2x 2 – 4x + 3 ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენტების განტოლებები გრაფიკის y = x + 3 წრფესთან გადაკვეთის წერტილებში.

პასუხი: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. a-ს რომელ მნიშვნელობებზე გადის M(2; 3) წერტილში y = x 2 ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსი გრაფიკის წერტილში x 0 = 1 აბსცისით?

პასუხი: a = 0.5.

3. p-ის რა მნიშვნელობებისთვის ეხება სწორი ხაზი y = px – 5 მრუდს y = 3x 2 – 4x – 2?

პასუხი: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. იპოვეთ y = 3x – x 3 ფუნქციის გრაფიკის ყველა საერთო წერტილი და ამ გრაფიკზე დახატული ტანგენსი P(0; 16) წერტილის მეშვეობით.

პასუხი: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. იპოვეთ უმოკლესი მანძილი პარაბოლას y = x 2 + 6x + 10 და სწორ ხაზს შორის

პასუხი:

6. მრუდზე y = x 2 – x + 1 იპოვეთ წერტილი, სადაც გრაფიკის ტანგენსი არის y – 3x + 1 = 0 სწორი ხაზის პარალელურად.

პასუხი: M(2; 3).

7. დაწერეთ y = x 2 + 2x ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის განტოლება - | 4x |, რომელიც ეხება მას ორ წერტილში. გააკეთე ნახატი.

პასუხი: y = 2x – 4.

8. დაამტკიცეთ, რომ y = 2x – 1 წრფე არ კვეთს მრუდს y = x 4 + 3x 2 + 2x. იპოვეთ მანძილი მათ უახლოეს წერტილებს შორის.

პასუხი:

9. პარაბოლაზე y = x 2, ორი წერტილი აღებულია აბსცისებით x 1 = 1, x 2 = 3. ამ წერტილებში იხსნება სეკანტი. პარაბოლას რომელ წერტილში იქნება მასზე ტანგენსი სეკანტის პარალელურად? დაწერეთ სეკანტური და ტანგენტური განტოლებები.

პასუხი: y = 4x – 3 – სეკანტური განტოლება; y = 4x – 4 – ტანგენტის განტოლება.

10. იპოვე კუთხე q y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტებს შორის, დახატული 0 და 1 აბსცისებით წერტილებზე.

პასუხი: q = 45°.

11. რა წერტილებში აყალიბებს ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი Ox ღერძთან 135°-იან კუთხეს?

პასუხი: A(0; – 1), B(4; 3).

12. A(1; 8) წერტილში მრუდისკენ დახატულია ტანგენსი. იპოვეთ ტანგენტის სეგმენტის სიგრძე კოორდინატთა ღერძებს შორის.

პასუხი:

13. დაწერეთ y = x 2 – x + 1 და y = 2x 2 – x + 0,5 ფუნქციების გრაფიკებზე ყველა საერთო ტანგენტების განტოლება.

პასუხი: y = – 3x და y = x.

14. იპოვეთ მანძილი ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტებს შორის x ღერძის პარალელურად.

პასუხი:

15. დაადგინეთ, რა კუთხით კვეთს პარაბოლა y = x 2 + 2x – 8 x ღერძს.

პასუხი: q 1 = არქტანი 6, q 2 = არქტანი (– 6).

16. ფუნქციის გრაფიკი იპოვეთ ყველა წერტილი, რომელთაგან თითოეულზე ტანგენსი ამ გრაფიკზე კვეთს კოორდინატების პოზიტიურ ნახევრად ღერძებს და წყვეტს მათ თანაბარ სეგმენტებს.

პასუხი: A(– 3; 11).

17. წრფე y = 2x + 7 და პარაბოლა y = x 2 – 1 იკვეთება M და N წერტილებზე. იპოვეთ პარაბოლაზე ტანგენსი წრფეების გადაკვეთის K წერტილი M და N წერტილებზე.

პასუხი: K(1; – 9).

18. b-ის რა მნიშვნელობებისთვის არის წრფე y = 9x + b tangent y = x 3 ფუნქციის გრაფიკზე – 3x + 15?

პასუხი: – 1; 31.

19. k-ის რომელი მნიშვნელობებისთვის აქვს y = kx – 10 სწორ წრფეს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი y = 2x 2 + 3x – 2 ფუნქციის გრაფიკთან? k-ის ნაპოვნი მნიშვნელობებისთვის განსაზღვრეთ წერტილის კოორდინატები.

პასუხი: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B (2; 12).

20. b-ის რომელ მნიშვნელობებზე გადის M(1; 8) წერტილში y = bx 3 – 2x 2 – 4 ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსი x 0 = 2 აბსცისის წერტილში?

პასუხი: b = – 3.

21. პარაბოლა, რომელსაც აქვს წვერო Ox ღერძზე, ეხება წრფეს, რომელიც გადის A(1; 2) და B(2; 4) წერტილებზე B წერტილში. იპოვეთ პარაბოლის განტოლება.

პასუხი:

22. k კოეფიციენტის რა სიდიდეზე ეხება პარაბოლა y = x 2 + kx + 1 Ox ღერძს?

პასუხი: k = d 2.

23. იპოვეთ კუთხეები სწორ წრფეს y = x + 2 და მრუდს y = 2x 2 + 4x – 3 შორის.

29. იპოვეთ მანძილი ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტებსა და Ox ღერძის დადებითი მიმართულების გენერატორებს შორის 45° კუთხით.

პასუხი:

30. იპოვეთ y = x 2 + ax + b ფორმის ყველა პარაბოლის წვეროების ლოკუსი y = 4x – 1 წრფეზე.

პასუხი: სწორი ხაზი y = 4x + 3.

ლიტერატურა

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: 3600 პრობლემა სკოლის მოსწავლეებისა და უნივერსიტეტებში ჩასვლისთვის. – მ., ბუსტარდი, 1999 წ.
2. Mordkovich A. სემინარი მეოთხე ახალგაზრდა მასწავლებლებისთვის. თემა: წარმოებული აპლიკაციები. – მ., „მათემატიკა“, No21/94.
3. გონებრივი მოქმედებების თანდათანობითი ათვისების თეორიაზე დამყარებული ცოდნისა და უნარების ჩამოყალიბება. / რედ. P.Ya. გალპერინა, ნ.ფ. ტალიზინა. – მ., მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი, 1968 წ.

ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ ყველა სახის პრობლემას

გავიხსენოთ წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა: თუ ტანგენსი დახატულია ფუნქციის გრაფიკზე წერტილში, მაშინ ტანგენსის დახრის კოეფიციენტი ( ტანგენტის ტოლიკუთხე ტანგენტსა და ღერძის დადებით მიმართულებას შორის) უდრის ფუნქციის წარმოებულს წერტილში.

ავიღოთ თვითნებური წერტილი ტანგენტზე კოორდინატებით:

და განიხილეთ მართკუთხა სამკუთხედი:

ამ სამკუთხედში

აქედან

ეს არის წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის განტოლება.

ტანგენტის განტოლების დასაწერად ჩვენ მხოლოდ უნდა ვიცოდეთ ფუნქციის განტოლება და წერტილი, რომელზეც ტანგენსი არის დახატული. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ და.

არსებობს ტანგენტის განტოლების ამოცანების სამი ძირითადი ტიპი.

1. მოცემულია კონტაქტის წერტილი

2. მოცემულია ტანგენტის დახრის კოეფიციენტი, ანუ ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში.

3. მოცემულია იმ წერტილის კოორდინატები, რომლითაც ტანგენსი იხაზება, მაგრამ რომელიც არ არის ტანგენციის წერტილი.

მოდით შევხედოთ დავალების თითოეულ ტიპს.

1 . ჩაწერეთ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება წერტილში .

ბ) იპოვეთ წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში. ჯერ ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული

მოდით შევცვალოთ ნაპოვნი მნიშვნელობები ტანგენტის განტოლებაში:

გავხსნათ განტოლების მარჯვენა მხარეს ფრჩხილები. ჩვენ ვიღებთ:

პასუხი: .

2. იპოვნეთ იმ წერტილების აბსცისა, რომლებზეც ფუნქციები ტანგენსია გრაფიკზე x ღერძის პარალელურად.

თუ ტანგენსი x-ღერძის პარალელურია, ამიტომ ღერძის ტანგენტსა და დადებით მიმართულებას შორის კუთხე არის ნული, შესაბამისად ტანგენსი კუთხის ტანგენსი ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა შეხების წერტილებში არის ნული.

ა) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული .

ბ) გავატოლოთ წარმოებული ნულთან და ვიპოვოთ მნიშვნელობები, რომლებშიც ტანგენსი ღერძის პარალელურია:

თითოეული ფაქტორის ნულთან გათანაბრებით, მივიღებთ:

პასუხი: 0;3;5

3. დაწერეთ განტოლებები ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტებისთვის , პარალელურად სწორი .

ტანგენსი წრფის პარალელურია. ამ ხაზის დახრილობა არის -1. ვინაიდან ტანგენსი ამ წრფის პარალელურია, შესაბამისად, ტანგენსის დახრილობაც არის -1. ანუ ჩვენ ვიცით ტანგენსის დახრილობადა, ამით, წარმოებული მნიშვნელობა ტანგენციის წერტილში.

ეს არის მეორე ტიპის პრობლემა ტანგენტის განტოლების საპოვნელად.

ასე რომ, ჩვენ მოცემულია წარმოებულის ფუნქცია და მნიშვნელობა ტანგენციის წერტილში.

ა) იპოვეთ წერტილები, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული უდრის -1-ს.

პირველ რიგში, ვიპოვოთ წარმოებული განტოლება.

წარმოებული გავუტოლოთ რიცხვს -1.

ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში.

(პირობით)

ბ) იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება წერტილში.

ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში.

(პირობით).

მოდით ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობები ტანგენტის განტოლებაში:

პასუხი:

4 . დაწერეთ მრუდის ტანგენსის განტოლება , წერტილის გავლით

ჯერ შევამოწმოთ წერტილი არის თუ არა ტანგენტური წერტილი. თუ წერტილი არის ტანგენტური წერტილი, მაშინ ის ეკუთვნის ფუნქციის გრაფიკს და მისი კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს ფუნქციის განტოლებას. წერტილის კოორდინატები ჩავანაცვლოთ ფუნქციის განტოლებაში.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} უარყოფითი რიცხვი, ტოლობა არ არის ჭეშმარიტი და წერტილი არ ეკუთვნის ფუნქციის გრაფიკს და არ არის კონტაქტის წერტილი.

ეს არის ბოლო ტიპის ამოცანები ტანგენტის განტოლების საპოვნელად. Პირველი რამ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ტანგენტის წერტილის აბსცისა.

მოდი ვიპოვოთ ღირებულება.

დაე იყოს კონტაქტის წერტილი. წერტილი ეკუთვნის ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტს. თუ ამ წერტილის კოორდინატებს შევცვლით ტანგენტის განტოლებაში, მივიღებთ სწორ ტოლობას:

ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის .

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში.

ჯერ ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული. ეს .

წარმოებული წერტილის ტოლია .

მოდით ჩავანაცვლოთ გამონათქვამები და ტანგენტის განტოლებაში. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება.

შეამცირეთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 2-ით:

განტოლების მარჯვენა მხარე მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელთან. ჩვენ ვიღებთ:

მოდით გავამარტივოთ წილადის მრიცხველი და გავამრავლოთ ორივე მხარე - ეს გამოხატულება მკაცრად მეტია ნულზე.

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას

მოდი მოვაგვაროთ. ამისთვის ორივე ნაწილის კვადრატში გავავლოთ და გადავიდეთ სისტემაზე.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 )))()">!}

მოდით ამოხსნათ პირველი განტოლება.

გადავწყვიტოთ კვადრატული განტოლება, ვიღებთ

მეორე ფესვი არ აკმაყოფილებს პირობას title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

დავწეროთ წერტილის მრუდის ტანგენსის განტოლება. ამისათვის შეცვალეთ მნიშვნელობა განტოლებაში - უკვე ჩავწერეთ.

პასუხი:
.

განვიხილოთ შემდეგი ფიგურა:

იგი ასახავს გარკვეულ ფუნქციას y = f(x), რომელიც დიფერენცირებადია a წერტილში. M წერტილი კოორდინატებით (a; f(a)) აღინიშნება. სეკანტური MR იხსნება გრაფიკის P(a + ∆x; f(a + ∆x)) თვითნებური წერტილის მეშვეობით.

თუ ახლა წერტილი P გადაინაცვლებს გრაფიკის გასწვრივ M წერტილამდე, მაშინ სწორი ხაზი MR შემობრუნდება M წერტილის გარშემო. ამ შემთხვევაში, ∆x მიისწრაფვის ნულისკენ. აქედან შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის განმარტება.

ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტი

ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის სეკანტის შემზღუდველი პოზიცია, რადგან არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის. უნდა გვესმოდეს, რომ f ფუნქციის წარმოებულის არსებობა x0 წერტილში ნიშნავს, რომ გრაფიკის ამ წერტილში არის ტანგენსიმას.

ამ შემთხვევაში, ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტი ტოლი იქნება ამ ფუნქციის წარმოებულის ამ წერტილში f’(x0). ეს არის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. x0 წერტილში დიფერენცირებადი f ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის გარკვეული სწორი ხაზი, რომელიც გადის წერტილში (x0;f(x0)) და აქვს კუთხური კოეფიციენტი f’(x0).

ტანგენტის განტოლება

შევეცადოთ მივიღოთ ტანგენსის განტოლება რომელიმე f ფუნქციის გრაფიკზე A(x0; f(x0)) წერტილში. სწორი ხაზის განტოლება k დახრილობით აქვს შემდეგი ხედი:

ვინაიდან ჩვენი დახრის კოეფიციენტი წარმოებულის ტოლია f'(x0), მაშინ განტოლება მიიღებს შემდეგ ფორმას: y = f'(x0)*x + b.

ახლა გამოვთვალოთ b-ის მნიშვნელობა. ამისთვის ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ფუნქცია გადის A წერტილში.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, აქედან გამოვხატავთ b და ვიღებთ b = f(x0) - f’(x0)*x0.

ჩვენ ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობას ტანგენტის განტოლებაში:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი: იპოვეთ ტანგენსის განტოლება ფუნქციის გრაფიკზე f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 x = 2 წერტილში.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. მიღებული მნიშვნელობები ჩაანაცვლეთ ტანგენტის ფორმულაში, მივიღებთ: y = 1 + 4*(x - 2). ფრჩხილების გახსნით და მსგავსი ტერმინების მოყვანით ვიღებთ: y = 4*x - 7.

პასუხი: y = 4*x - 7.

ტანგენტის განტოლების შედგენის ზოგადი სქემა y = f(x) ფუნქციის გრაფიკზე:

1. განვსაზღვროთ x0.

2. გამოთვალეთ f(x0).

3. გამოთვალეთ f'(x)

ტანგენსი არის სწორი ხაზი , რომელიც ეხება ფუნქციის გრაფიკს ერთ წერტილში და რომლის ყველა წერტილი უმოკლეს მანძილზეა ფუნქციის გრაფიკიდან. მაშასადამე, ტანგენსი გადადის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტს გარკვეული კუთხით და რამდენიმე ტანგენსი სხვადასხვა კუთხით ვერ გაივლის ტანგენციის წერტილს. ტანგენტური განტოლებები და ნორმალური განტოლებები ფუნქციის გრაფიკზე აგებულია წარმოებულის გამოყენებით.

ტანგენტის განტოლება მიღებულია ხაზის განტოლებიდან .

გამოვიყვანოთ ტანგენსის განტოლება, შემდეგ კი ნორმალურის განტოლება ფუნქციის გრაფიკზე.

წ = kx + ბ .

მასში კ- კუთხოვანი კოეფიციენტი.

აქედან ვიღებთ შემდეგ ჩანაწერს:

წ - წ 0 = კ(x - x 0 ) .

წარმოებული ღირებულება ვ "(x 0 ) ფუნქციები წ = ვ(x) წერტილში x0 ფერდობის ტოლი კ= ტგ φ წერტილის გავლით დახატული ფუნქციის ტანგენსი მ0 (x 0 , წ 0 ) , სად წ0 = ვ(x 0 ) . Ეს არის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა .

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ კ on ვ "(x 0 ) და მიიღეთ შემდეგი ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის განტოლება :

წ - წ 0 = ვ "(x 0 )(x - x 0 ) .

ამოცანებში, რომლებიც დაკავშირებულია ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განტოლების შედგენით (და ჩვენ მათზე მალე გადავალთ), საჭიროა ზემოთ მოყვანილი ფორმულიდან მიღებული განტოლების შემცირება. სწორი ხაზის განტოლება ზოგადი ფორმით. ამისათვის თქვენ უნდა გადაიტანოთ ყველა ასო და რიცხვი მარცხენა მხარეგანტოლება და დატოვეთ ნული მარჯვენა მხარეს.

ახლა რაც შეეხება ნორმალურ განტოლებას. ნორმალური - ეს არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის ტანგენსზე პერპენდიკულარული ფუნქციის გრაფიკის მიზიდულობის წერტილში. ნორმალური განტოლება :

(x - x 0 ) + ვ "(x 0 )(წ - წ 0 ) = 0

გასათბობად, თქვენ გთხოვენ, თავად მოაგვაროთ პირველი მაგალითი, შემდეგ კი გადახედოთ გამოსავალს. არსებობს ყველა საფუძველი ვიმედოვნებთ, რომ ეს ამოცანა არ იქნება "ცივი შხაპი" ჩვენი მკითხველისთვის.

მაგალითი 0.შექმენით ტანგენტური განტოლება და ნორმალური განტოლება ფუნქციის გრაფიკისთვის წერტილში მ (1, 1) .

მაგალითი 1.დაწერეთ ტანგენტური განტოლება და ნორმალური განტოლება ფუნქციის გრაფიკისთვის , თუ აბსციზა ტანგენტია .

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

ახლა ჩვენ გვაქვს ყველაფერი, რაც უნდა შეიცვალოს თეორიულ დახმარებაში მოცემულ ჩანაწერში ტანგენტის განტოლების მისაღებად. ვიღებთ

ამ მაგალითში ჩვენ გაგვიმართლა: დახრილობა აღმოჩნდა ნული, ამიტომ ჩვენ ცალკე ვამცირებთ განტოლებას იერიარ იყო საჭირო. ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევქმნათ ნორმალური განტოლება:

ქვემოთ მოყვანილ სურათზე: ფუნქციის გრაფიკი შინდისფერ ფერში, ტანგენტი მწვანე ფერინარინჯისფერი ნორმალური.

შემდეგი მაგალითი ასევე არ არის რთული: ფუნქცია, როგორც წინაში, ასევე არის მრავალწევრი, მაგრამ დახრილობა არ იქნება ნულის ტოლი, ამიტომ დაემატება კიდევ ერთი ნაბიჯი - განტოლების ზოგად ფორმამდე მიყვანა.

მაგალითი 2.

გამოსავალი. ვიპოვოთ ტანგენტის წერტილის ორდინატი:

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის მნიშვნელობა ტანგენციის წერტილში, ანუ ტანგენსის დახრილობა:

ჩვენ ვცვლით ყველა მიღებულ მონაცემს "ცარიელ ფორმულაში" და ვიღებთ ტანგენტის განტოლებას:

განტოლებას მივიღებთ მის ზოგად ფორმაში (ჩვენ ვაგროვებთ ყველა ასოს და რიცხვს, გარდა ნულის მარცხენა მხარეს, და ვტოვებთ ნულს მარჯვნივ):

ჩვენ ვადგენთ ნორმალურ განტოლებას:

მაგალითი 3.დაწერეთ ტანგენსის განტოლება და ნორმალურის განტოლება ფუნქციის გრაფიკზე, თუ აბსციზა არის ტანგენციის წერტილი.

გამოსავალი. ვიპოვოთ ტანგენტის წერტილის ორდინატი:

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

ჩვენ ვპოულობთ ტანგენტის განტოლებას:

განტოლების ზოგად ფორმამდე მიყვანამდე საჭიროა ოდნავ „დავავარცხნოთ“: ვამრავლოთ ტერმინი 4-ზე. ჩვენ ამას ვაკეთებთ და განტოლებას მივყავართ ზოგად ფორმამდე:

ჩვენ ვადგენთ ნორმალურ განტოლებას:

მაგალითი 4.დაწერეთ ტანგენსის განტოლება და ნორმალურის განტოლება ფუნქციის გრაფიკზე, თუ აბსციზა არის ტანგენციის წერტილი.

გამოსავალი. ვიპოვოთ ტანგენტის წერტილის ორდინატი:

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

ჩვენ ვიღებთ ტანგენტის განტოლებას:

განტოლებას მივყავართ ზოგად ფორმამდე:

ჩვენ ვადგენთ ნორმალურ განტოლებას:

ჩვეულებრივი შეცდომა ტანგენტისა და ნორმალური განტოლებების წერისას არის არ შეამჩნიოთ, რომ მაგალითში მოცემული ფუნქცია რთულია და გამოვთვალოთ მისი წარმოებული, როგორც მარტივი ფუნქციის წარმოებული. შემდეგი მაგალითები უკვე არის რთული ფუნქციები(შესაბამისი გაკვეთილი გაიხსნება ახალ ფანჯარაში).

მაგალითი 5.დაწერეთ ტანგენსის განტოლება და ნორმალურის განტოლება ფუნქციის გრაფიკზე, თუ აბსციზა არის ტანგენციის წერტილი.

გამოსავალი. ვიპოვოთ ტანგენტის წერტილის ორდინატი:

ყურადღება! ეს ფუნქცია რთულია, რადგან ტანგენტის არგუმენტი (2 x) თავისთავად ფუნქციაა. ამრიგად, ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის წარმოებულს, როგორც რთული ფუნქციის წარმოებულს.