ირაციონალური რეალური რიცხვები. ირაციონალური რიცხვები - ცოდნის ჰიპერმარკეტი. ეს რიცხვი ირაციონალურია?

ძველმა მათემატიკოსებმა უკვე იცოდნენ ერთეულის სიგრძის სეგმენტის შესახებ: მათ იცოდნენ, მაგალითად, დიაგონალისა და კვადრატის გვერდის შეუსაბამობა, რაც რიცხვის ირაციონალურობის ტოლფასია.

ირაციონალურია:

ირაციონალურობის დადასტურების მაგალითები

2-ის ფესვი

დავუშვათ პირიქით: რაციონალურია, ანუ წარმოდგენილია შეუქცევადი წილადის სახით, სადაც და არის მთელი რიცხვები. მოდით კვადრატში გამოვყოთ სავარაუდო თანასწორობა:

აქედან გამომდინარეობს, რომ ლუწია და . დაე იყოს იქ, სადაც მთელია. მერე

მაშასადამე, კი ნიშნავს კიდეც და . ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ და არიან ლუწი, რაც ეწინააღმდეგება წილადის შეუქცევადობას. ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველი ვარაუდი არასწორი იყო და ეს არის ირაციონალური რიცხვი.

რიცხვი 3-ის ორობითი ლოგარითმი

დავუშვათ პირიქით: რაციონალურია, ანუ წარმოდგენილია წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები. მას შემდეგ, რაც , და შეიძლება არჩეული იყოს დადებითი. მერე

მაგრამ ლუწი და კენტი. ჩვენ ვიღებთ წინააღმდეგობას.

ე

ამბავი

ირაციონალური რიცხვების კონცეფცია ინდოელმა მათემატიკოსებმა მიიღეს ძვ. .

ირაციონალური რიცხვების არსებობის პირველი მტკიცებულება, როგორც წესი, მიეკუთვნება მეტაპონტოს ჰიპასუსს (დაახლოებით ძვ. წ. 500 წ.), პითაგორაელს, რომელმაც ეს მტკიცებულება პენტაგრამის გვერდების სიგრძის შესწავლით იპოვა. პითაგორაელების დროს ითვლებოდა, რომ არსებობდა სიგრძის ერთი ერთეული, საკმარისად მცირე და განუყოფელი, რომელიც ნებისმიერ სეგმენტში შევიდა მთელი რიცხვით. თუმცა, ჰიპასუსი ამტკიცებდა, რომ არ არსებობს სიგრძის ერთი ერთეული, რადგან მისი არსებობის ვარაუდი იწვევს წინააღმდეგობას. მან აჩვენა, რომ თუ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა შეიცავს ერთეულების სეგმენტების მთელ რიცხვს, მაშინ ეს რიცხვი უნდა იყოს ლუწიც და კენტიც. მტკიცებულება ასე გამოიყურებოდა:

ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის სიგრძესთან შეიძლება გამოისახოს როგორც ა:ბ, სად ადა ბარჩეულია, როგორც ყველაზე პატარა.
პითაგორას თეორემის მიხედვით: ა² = 2 ბ².
იმიტომ რომ ა- თუნდაც, აუნდა იყოს ლუწი (რადგან კენტი რიცხვის კვადრატი კენტი იქნება).
Იმიტომ რომ ა:ბშეუმცირებელი ბუნდა იყოს უცნაური.
იმიტომ რომ აკი, აღვნიშნავთ ა = 2წ.
მერე ა² = 4 წ² = 2 ბ².
ბ² = 2 წ², შესაბამისად ბ- მაშინაც ბთუნდაც.
თუმცა დადასტურდა რომ ბუცნაური. წინააღმდეგობა.

ბერძენმა მათემატიკოსებმა შეუდარებელი რაოდენობების ამ თანაფარდობას უწოდეს ალოგოსი(უთქმელად), მაგრამ ლეგენდების მიხედვით ისინი ჰიპასს სათანადო პატივს არ სცემდნენ. არსებობს ლეგენდა, რომ ჰიპასუსმა ეს აღმოჩენა საზღვაო მოგზაურობის დროს გააკეთა და სხვა პითაგორაელებმა გადააგდეს ზღვაზე "სამყაროს ელემენტის შექმნის გამო, რომელიც უარყოფს დოქტრინას, რომ სამყაროს ყველა არსება შეიძლება დაიყვანოს მთელ რიცხვებად და მათ თანაფარდობამდე". ჰიპასუსის აღმოჩენამ სერიოზული პრობლემა შეუქმნა პითაგორას მათემატიკას და გაანადგურა ძირითადი ვარაუდი, რომ რიცხვები და გეომეტრიული ობიექტები ერთიანი და განუყოფელი იყო.

იხილეთ ასევე

შენიშვნები

რიცხვითი სისტემები
დათვლა კომპლექტი	მთელი რიცხვები ()

მთელი რიცხვები

ნატურალური რიცხვების განმარტება არის დადებითი მთელი რიცხვები. ბუნებრივი რიცხვები გამოიყენება ობიექტების დასათვლელად და მრავალი სხვა მიზნებისთვის. ეს არის ნომრები:

ეს არის რიცხვების ბუნებრივი სერია.
ნული ნატურალური რიცხვია? არა, ნული არ არის ნატურალური რიცხვი.
რამდენი ნატურალური რიცხვია? ნატურალური რიცხვების უსასრულო რაოდენობაა.
რა არის ყველაზე პატარა ნატურალური რიცხვი? ერთი არის უმცირესი ბუნებრივი რიცხვი.
რა არის ყველაზე დიდი ბუნებრივი რიცხვი? მისი დაკონკრეტება შეუძლებელია, რადგან ნატურალური რიცხვების უსასრულო რაოდენობაა.

ნატურალური რიცხვების ჯამი ნატურალური რიცხვია. ასე რომ, ნატურალური რიცხვების a და b დამატება:

ნატურალური რიცხვების ნამრავლი არის ნატურალური რიცხვი. მაშ ასე, a და b ნატურალური რიცხვების ნამრავლი:

c ყოველთვის ნატურალური რიცხვია.

ნატურალური რიცხვების სხვაობა ყოველთვის არ არის ნატურალური რიცხვი. თუ მინუენდი მეტია ქვეტრაჰენდზე, მაშინ ნატურალური რიცხვების სხვაობა ნატურალური რიცხვია, წინააღმდეგ შემთხვევაში არა.

ნატურალური რიცხვების კოეფიციენტი ყოველთვის არ არის ნატურალური რიცხვი. თუ ნატურალური რიცხვებისთვის a და b

სადაც c არის ნატურალური რიცხვი, ეს ნიშნავს, რომ a იყოფა b-ზე. ამ მაგალითში a არის დივიდენდი, b არის გამყოფი, c არის კოეფიციენტი.

ნატურალური რიცხვის გამყოფი არის ნატურალური რიცხვი, რომლითაც პირველი რიცხვი იყოფა მთელზე.

ყოველი ნატურალური რიცხვი იყოფა ერთზე და საკუთარ თავზე.

მარტივი ნატურალური რიცხვები იყოფა მხოლოდ ერთზე და საკუთარ თავზე. აქ ვგულისხმობთ მთლიანად გაყოფილს. მაგალითი, ნომრები 2; 3; 5; 7 იყოფა მხოლოდ ერთზე და საკუთარ თავზე. ეს არის მარტივი ბუნებრივი რიცხვები.

ერთი არ ითვლება მარტივ რიცხვად.

რიცხვებს, რომლებიც ერთზე მეტია და რომლებიც არ არიან მარტივი, კომპოზიციურ რიცხვებს უწოდებენ. კომპოზიციური რიცხვების მაგალითები:

ერთი არ ითვლება შედგენილ რიცხვად.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე შედგება ერთი, მარტივი და შედგენილი რიცხვებისაგან.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ლათინური ასო N-ით.

ნატურალური რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების თვისებები:

დამატების კომუტაციური თვისება

დამატების ასოციაციური თვისება

(a + b) + c = a + (b + c);

გამრავლების კომუტაციური თვისება

გამრავლების ასოციაციური თვისება

(ab) c = a (bc);

გამრავლების გამანაწილებელი თვისება

A (b + c) = ab + ac;

Მთელი რიცხვები

მთელი რიცხვები არის ნატურალური რიცხვები, ნული და ნატურალური რიცხვების საპირისპირო.

ნატურალური რიცხვების საპირისპიროა უარყოფითი მთელი რიცხვები, მაგალითად:

1; -2; -3; -4;...

მთელი რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ლათინური ასოთი Z.

Რაციონალური რიცხვი

რაციონალური რიცხვები არის მთელი რიცხვები და წილადები.

ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პერიოდული წილადის სახით. მაგალითები:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

მაგალითებიდან ირკვევა, რომ ნებისმიერი მთელი რიცხვი არის პერიოდული წილადი ნულოვანი პერიოდით.

ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად m/n, სადაც m არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. წარმოვიდგინოთ რიცხვი 3,(6) წინა მაგალითიდან ასეთ წილადად.

ირაციონალურია:

ირაციონალურობის დადასტურების მაგალითები

2-ის ფესვი

აქედან გამომდინარეობს, რომ ლუწია და . დაე იყოს იქ, სადაც მთელია. მერე

რიცხვი 3-ის ორობითი ლოგარითმი

მაგრამ ლუწი და კენტი. ჩვენ ვიღებთ წინააღმდეგობას.

ე

ამბავი

ირაციონალური რიცხვების კონცეფცია ინდოელმა მათემატიკოსებმა მიიღეს ძვ. .

ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის სიგრძესთან შეიძლება გამოისახოს როგორც ა:ბ, სად ადა ბარჩეულია, როგორც ყველაზე პატარა.
პითაგორას თეორემის მიხედვით: ა² = 2 ბ².
იმიტომ რომ ა- თუნდაც, აუნდა იყოს ლუწი (რადგან კენტი რიცხვის კვადრატი კენტი იქნება).
Იმიტომ რომ ა:ბშეუმცირებელი ბუნდა იყოს უცნაური.
იმიტომ რომ აკი, აღვნიშნავთ ა = 2წ.
მერე ა² = 4 წ² = 2 ბ².
ბ² = 2 წ², შესაბამისად ბ- მაშინაც ბთუნდაც.
თუმცა დადასტურდა რომ ბუცნაური. წინააღმდეგობა.

იხილეთ ასევე

შენიშვნები

რიცხვითი სისტემები
დათვლა კომპლექტი	მთელი რიცხვები ()

რიცხვების, განსაკუთრებით ნატურალური რიცხვების გაგება ერთ-ერთი უძველესი მათემატიკური „უნარია“. ბევრმა ცივილიზაციამ, თუნდაც თანამედროვეებმა, ციფრებს მიაწერეს გარკვეული მისტიური თვისებები ბუნების აღწერისას მათი უზარმაზარი მნიშვნელობის გამო. მიუხედავად იმისა, რომ თანამედროვე მეცნიერება და მათემატიკა არ ადასტურებს ამ "ჯადოსნურ" თვისებებს, რიცხვების თეორიის მნიშვნელობა უდაოა.

ისტორიულად, ჯერ გამოჩნდა სხვადასხვა ნატურალური რიცხვები, შემდეგ საკმაოდ სწრაფად დაემატა წილადები და დადებითი ირაციონალური რიცხვები. ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის ამ ქვესიმრავლეების შემდეგ შემოიღეს ნულოვანი და უარყოფითი რიცხვები. ბოლო ნაკრები, კომპლექსური რიცხვების ნაკრები, მხოლოდ თანამედროვე მეცნიერების განვითარებით გამოჩნდა.

თანამედროვე მათემატიკაში რიცხვები არ არის შემოტანილი ისტორიული თანმიმდევრობით, თუმცა საკმაოდ ახლოსაა მასთან.

ნატურალური რიცხვები $\mathbb(N)$

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე ხშირად აღინიშნება როგორც $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, და ხშირად ივსება ნულით $\mathbb(N)_0$-ის აღსანიშნავად.

$\mathbb(N)$ განსაზღვრავს შეკრების (+) და გამრავლების ($\cdot$) ოპერაციებს შემდეგი თვისებებით ნებისმიერი $a,b,c\in \mathbb(N)$-ისთვის:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ ნაკრები $\mathbb(N)$ დახურულია შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციებში.
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ კომუტატიურობა
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ასოციაციურობა
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$-ის განაწილება
5. $a\cdot 1=a$ არის გამრავლების ნეიტრალური ელემენტი

ვინაიდან სიმრავლე $\mathbb(N)$ შეიცავს ნეიტრალურ ელემენტს გასამრავლებლად, მაგრამ არა შეკრებისთვის, ამ სიმრავლისთვის ნულის დამატება უზრუნველყოფს, რომ იგი შეიცავს ნეიტრალურ ელემენტს მიმატებისთვის.

ამ ორი ოპერაციის გარდა, "ნაკლები" ურთიერთობები ($

1. $a b$ ტრიქოტომია
2. თუ $a\leq b$ და $b\leq a$, მაშინ $a=b$ ანტისიმეტრია
3. თუ $a\leq b$ და $b\leq c$, მაშინ $a\leq c$ არის გარდამავალი
4. თუ $a\leq b$ მაშინ $a+c\leq b+c$
5. თუ $a\leq b$ მაშინ $a\cdot c\leq b\cdot c$

მთელი რიცხვები $\mathbb(Z)$

მთელი რიცხვების მაგალითები:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

$a+x=b$ განტოლების ამოხსნა, სადაც $a$ და $b$ ცნობილი ნატურალური რიცხვებია, ხოლო $x$ უცნობი ნატურალური რიცხვი, საჭიროებს ახალი ოპერაციის - გამოკლების(-) დანერგვას. თუ არსებობს ბუნებრივი რიცხვი $x$, რომელიც აკმაყოფილებს ამ განტოლებას, მაშინ $x=b-a$. თუმცა, ამ კონკრეტულ განტოლებას სულაც არ აქვს ამონახსნი $\mathbb(N)$ სიმრავლეზე, ამიტომ პრაქტიკული მოსაზრებები მოითხოვს ნატურალური რიცხვების სიმრავლის გაფართოებას ასეთი განტოლების ამონახსნებისთვის. ეს იწვევს მთელი რიცხვების სიმრავლის შემოღებას: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

ვინაიდან $\mathbb(N)\ქვეკომპლექტი \mathbb(Z)$, ლოგიკურია ვივარაუდოთ, რომ ადრე შემოღებული ოპერაციები $+$ და $\cdot$ და ურთიერთობები $1. $0+a=a+0=a$ დასამატებლად არის ნეიტრალური ელემენტი
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ არის საპირისპირო რიცხვი $-a$ $a$-ისთვის

საკუთრება 5.:
5. თუ $0\leq a$ და $0\leq b$, მაშინ $0\leq a\cdot b$

ნაკრები $\mathbb(Z)$ ასევე დახურულია გამოკლების მოქმედებით, ანუ $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

რაციონალური რიცხვები $\mathbb(Q)$

რაციონალური რიცხვების მაგალითები:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

ახლა განვიხილოთ $a\cdot x=b$ ფორმის განტოლებები, სადაც $a$ და $b$ არის ცნობილი მთელი რიცხვები, ხოლო $x$ უცნობია. გამოსავალი რომ იყოს შესაძლებელი, აუცილებელია გაყოფის ოპერაციის შემოღება ($:$) და ამონახსნის ფორმას იღებს $x=b:a$, ანუ $x=\frac(b)(a)$ . ისევ ჩნდება პრობლემა, რომ $x$ ყოველთვის არ ეკუთვნის $\mathbb(Z)$-ს, ამიტომ მთელი რიცხვების ნაკრები უნდა გაფართოვდეს. ეს წარმოგიდგენთ $\mathbb(Q)$ რაციონალური რიცხვების სიმრავლეს $\frac(p)(q)$ ელემენტებით, სადაც $p\in \mathbb(Z)$ და $q\in \mathbb(N)$. სიმრავლე $\mathbb(Z)$ არის ქვესიმრავლე, რომელშიც თითოეული ელემენტი $q=1$, შესაბამისად $\mathbb(Z)\ქვეკომპლექტი \mathbb(Q)$ და შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციები ვრცელდება ამ სიმრავლის მიხედვით. შემდეგი წესები, რომლებიც ინარჩუნებენ ყველა ზემოთ ჩამოთვლილ თვისებას $\mathbb(Q)$-ზე:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

განყოფილება წარმოდგენილია შემდეგნაირად:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

$\mathbb(Q)$ სიმრავლეში $a\cdot x=b$ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი თითოეული $a\neq 0$-ისთვის (ნულზე გაყოფა განუსაზღვრელია). ეს ნიშნავს, რომ არსებობს შებრუნებული ელემენტი $\frac(1)(a)$ ან $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\არსებობს \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (ა)\cdot a=a)$

$\mathbb(Q)$ ნაკრების თანმიმდევრობა შეიძლება გაფართოვდეს შემდეგნაირად:
$\frac(p_1)(q_1)

$\mathbb(Q)$ სიმრავლეს აქვს ერთი მნიშვნელოვანი თვისება: ნებისმიერ ორ რაციონალურ რიცხვს შორის არის უსასრულოდ ბევრი სხვა რაციონალური რიცხვი, შესაბამისად, არ არსებობს ორი მიმდებარე რაციონალური რიცხვი, განსხვავებით ნატურალური რიცხვებისა და მთელი რიცხვებისგან.

ირაციონალური რიცხვები $\mathbb(I)$

ირაციონალური რიცხვების მაგალითები:
$\sqrt(2) \დაახლოებით 1.41422135...$
$\pi\დაახლოებით 3.1415926535...$

ვინაიდან ნებისმიერ ორ რაციონალურ რიცხვს შორის არის უსასრულოდ ბევრი სხვა რაციონალური რიცხვი, ადვილია შეცდომით დავასკვნათ, რომ რაციონალური რიცხვების სიმრავლე იმდენად მკვრივია, რომ არ არის საჭირო მისი შემდგომი გაფართოება. პითაგორამაც კი დაუშვა თავის დროზე ასეთი შეცდომა. თუმცა, მისმა თანამედროვეებმა უკვე უარყვეს ეს დასკვნა $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) განტოლების ამონახსნების შესწავლისას რაციონალური რიცხვების სიმრავლეზე. ასეთი განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა შემოვიტანოთ კვადრატული ფესვის ცნება და შემდეგ ამ განტოლების ამონახსნის ფორმა $x=\sqrt(2)$ იქნება. განტოლებას, როგორიცაა $x^2=a$, სადაც $a$ არის ცნობილი რაციონალური რიცხვი და $x$ უცნობია, ყოველთვის არ აქვს ამონახსნები რაციონალური რიცხვების სიმრავლეზე და კვლავ ჩნდება საჭიროება გაფართოების. კომპლექტი. წარმოიქმნება ირაციონალური რიცხვების ნაკრები და რიცხვები, როგორიცაა $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... ეკუთვნის ამ სიმრავლეს.

რეალური რიცხვები $\mathbb(R)$

რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების სიმრავლეების გაერთიანება არის ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე. ვინაიდან $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, კვლავ ლოგიკურია ვივარაუდოთ, რომ შემოღებული არითმეტიკული ოპერაციები და ურთიერთობები ინარჩუნებენ თავის თვისებებს ახალ სიმრავლეში. ამის ფორმალური დადასტურება ძალზე რთულია, ამიტომ არითმეტიკული მოქმედებების ზემოაღნიშნული თვისებები და მიმართებები რეალური რიცხვების სიმრავლეზე შემოყვანილია აქსიომების სახით. ალგებრაში ასეთ ობიექტს ველი ეწოდება, ამიტომ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს უწოდებენ მოწესრიგებულ ველს.

იმისათვის, რომ რეალური რიცხვების სიმრავლის განმარტება იყოს სრული, საჭიროა შემოვიტანოთ დამატებითი აქსიომა, რომელიც განასხვავებს $\mathbb(Q)$ და $\mathbb(R)$ სიმრავლეს. დავუშვათ, რომ $S$ არის რეალური რიცხვების სიმრავლის არა ცარიელი ქვესიმრავლე. ელემენტს $b\in \mathbb(R)$ ეწოდება $S$ სიმრავლის ზედა ზღვარი, თუ $\forall x\in S$ შეიცავს $x\leq b$. შემდეგ ჩვენ ვამბობთ, რომ ნაკრები $S$ შემოიფარგლება ზემოთ. $S$ სიმრავლის უმცირეს ზედა ზღვარს ეწოდება supremum და აღინიშნება $\sup S$. ანალოგიურად არის შემოტანილი ქვედა ზღვარის ცნებები, ქვემოთ შემოსაზღვრული ნაკრები და infinum $\inf S$. ახლა დაკარგული აქსიომა ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:

ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის ნებისმიერ არაცარიელ და ზემოშეზღუდულ ქვესიმრავლეს აქვს უმაღლესი.
ასევე შეიძლება დადასტურდეს, რომ ზემოაღნიშნული გზით განსაზღვრული რეალური რიცხვების ველი უნიკალურია.

რთული რიცხვები$\mathbb(C)$

რთული რიცხვების მაგალითები:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ სადაც $i = \sqrt(-1)$ ან $i^2 = -1$

რთული რიცხვების სიმრავლე წარმოადგენს ნამდვილ რიცხვთა ყველა მოწესრიგებულ წყვილს, ანუ $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, რომლებზედაც მოქმედებები შეკრება და გამრავლება განისაზღვრება შემდეგნაირად:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

რთული რიცხვების ჩაწერის რამდენიმე ფორმა არსებობს, რომელთაგან ყველაზე გავრცელებულია $z=a+ib$, სადაც $(a,b)$ არის რეალური რიცხვების წყვილი და რიცხვი $i=(0,1)$. წარმოსახვითი ერთეული ეწოდება.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ $i^2=-1$. $\mathbb(R)$ სიმრავლის $\mathbb(C)$ სიმრავლეზე გაფართოება საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ უარყოფითი რიცხვების კვადრატული ფესვი, რაც იყო რთული რიცხვების სიმრავლის შემოღების მიზეზი. ასევე ადვილია იმის ჩვენება, რომ $\mathbb(C)$ სიმრავლის ქვესიმრავლე, რომელიც მოცემულია $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$-ით, აკმაყოფილებს რეალური რიცხვების ყველა აქსიომას, შესაბამისად $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, ან $R\subset\mathbb(C)$.

$\mathbb(C)$ სიმრავლის ალგებრულ სტრუქტურას შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციებთან მიმართებაში აქვს შემდეგი თვისებები:
1. შეკრებისა და გამრავლების ურთიერთშენაცვლება
2. შეკრებისა და გამრავლების ასოციაციურობა
3. $0+i0$ - ნეიტრალური ელემენტი დამატებით
4. $1+i0$ - ნეიტრალური ელემენტი გამრავლებისთვის
5. გამრავლება შეკრების მიმართ გამანაწილებელია
6. არსებობს ერთი შებრუნებული როგორც შეკრება, ასევე გამრავლება.

ირაციონალური რიცხვი- ეს ნამდვილი რიცხვი, რომელიც არ არის რაციონალური, ანუ არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც არის მთელი რიცხვები, . ირაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადის სახით.

ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით თამამ სტილში დაჩრდილვის გარეშე. ამრიგად: ე.ი. ბევრი ირაციონალური რიცხვია განსხვავება ნამდვილ და რაციონალურ რიცხვებს შორის.

ირაციონალური რიცხვების არსებობის შესახებ, უფრო ზუსტად ერთეულის სიგრძის სეგმენტთან შეუდარებელი სეგმენტები უკვე ცნობილი იყო ძველი მათემატიკოსებისთვის: მათ იცოდნენ, მაგალითად, დიაგონალისა და კვადრატის გვერდის შეუსაბამობა, რაც რიცხვის ირაციონალურობის ტოლფასია.

Თვისებები

ნებისმიერი რეალური რიცხვი შეიძლება დაიწეროს როგორც უსასრულო ათობითი წილადი, ხოლო ირაციონალური რიცხვები და მხოლოდ ისინი იწერება არაპერიოდული უსასრულო ათობითი წილადების სახით.
ირაციონალური რიცხვები განსაზღვრავენ დედეკინდის ჭრებს რაციონალურ რიცხვებში, რომლებსაც არ აქვთ ყველაზე დიდი რიცხვი ქვედა კლასში და არ აქვთ უმცირესი რიცხვი ზედა კლასში.
ყოველი რეალური ტრანსცენდენტული რიცხვი ირაციონალურია.
ყველა ირაციონალური რიცხვი ან ალგებრულია ან ტრანსცენდენტური.
ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე რიცხვითი წრფეზე ყველგან მკვრივია: ნებისმიერ ორ რიცხვს შორის არის ირაციონალური რიცხვი.
ირაციონალური რიცხვების სიმრავლის რიგი იზომორფულია უძრავი ტრანსცენდენტული რიცხვების სიმრავლესთან მიმართებაში.
ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე უთვალავია და წარმოადგენს მეორე კატეგორიის სიმრავლეს.

მაგალითები

ირაციონალური რიცხვები
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

ირაციონალურია:

ირაციონალურობის დადასტურების მაგალითები

2-ის ფესვი

დავუშვათ პირიქით: რაციონალურია, ანუ წარმოდგენილია შეუქცევადი წილადის სახით, სადაც არის მთელი რიცხვი და ნატურალური რიცხვია. მოდით კვადრატში გამოვყოთ სავარაუდო თანასწორობა:

აქედან გამომდინარეობს, რომ ლუწია და . დაე იყოს იქ, სადაც მთელია. მერე

რიცხვი 3-ის ორობითი ლოგარითმი

მაგრამ ლუწი და კენტი. ჩვენ ვიღებთ წინააღმდეგობას.

ე

ამბავი

ირაციონალური რიცხვების კონცეფცია ინდოელმა მათემატიკოსებმა მიიღეს ძვ. .

ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის სიგრძესთან შეიძლება გამოისახოს როგორც ა:ბ, სად ადა ბარჩეულია, როგორც ყველაზე პატარა.
პითაგორას თეორემის მიხედვით: ა² = 2 ბ².
იმიტომ რომ ა- თუნდაც, აუნდა იყოს ლუწი (რადგან კენტი რიცხვის კვადრატი კენტი იქნება).
Იმიტომ რომ ა:ბშეუმცირებელი ბუნდა იყოს უცნაური.
იმიტომ რომ აკი, აღვნიშნავთ ა = 2წ.
მერე ა² = 4 წ² = 2 ბ².
ბ² = 2 წ², შესაბამისად ბ- მაშინაც ბთუნდაც.
თუმცა დადასტურდა რომ ბუცნაური. წინააღმდეგობა.