გაყოფის უნარების გამოყენება ამარტივებს გამოთვლებს და პროპორციულად ზრდის მათი შესრულების სიჩქარეს. მოდით დეტალურად გავაანალიზოთ მთავარი მახასიათებელი გაყოფის მახასიათებლები.
გასაყოფადობის ყველაზე მარტივი კრიტერიუმი ერთეულები: ყველა რიცხვი იყოფა ერთზე. ის ისეთივე ელემენტარულია და გაყოფის ნიშნებით ორი, ხუთი, ათი. ლუწი რიცხვი შეიძლება გაიყოს ორზე, ან ერთზე ბოლო ციფრით 0, ხუთზე - რიცხვი ბოლო ციფრით 5 ან 0. მხოლოდ ის რიცხვები, რომლებსაც ბოლო ციფრი 0 აქვს, გაიყოფა ათზე. 100 - მხოლოდ ის რიცხვები, რომელთა ბოლო ორი ციფრი არის ნული, ჩართული 1000 - მხოლოდ სამი საბოლოო ნულის მქონე.
Მაგალითად:
რიცხვი 79516 შეიძლება გაიყოს 2-ზე, რადგან ის მთავრდება 6-ით, ლუწი რიცხვით; 9651 არ იყოფა 2-ზე, რადგან 1 კენტი ციფრია; 1790 იყოფა 2-ზე, რადგან ბოლო ციფრი არის ნული. 3470 გაიყოფა 5-ზე (ბოლო ციფრი არის 0); 1054 არ იყოფა 5-ზე (ბოლო 4). 7800 გაიყოფა 10-ზე და 100-ზე; 542000 იყოფა 10, 100, 1000-ზე.
ნაკლებად ცნობილი, მაგრამ ძალიან მარტივი გამოსაყენებელი მახასიათებელი გაყოფის მახასიათებლებიზე 3 და 9 , 4 , 6 და 8, 25 . ასევე არსებობს გაყოფის დამახასიათებელი ნიშნები 7, 11, 13, 17, 19 და ასე შემდეგ, მაგრამ ისინი პრაქტიკაში გაცილებით იშვიათად გამოიყენება.
3-ზე და 9-ზე გაყოფის დამახასიათებელი თვისება.
Ზე სამიდა/ან ჩართულია ცხრანარჩენის გარეშე დაიყოფა ის რიცხვები, რომლებისთვისაც ციფრების დამატების შედეგი არის სამი ან/და ცხრის ჯერადი.
Მაგალითად:
რიცხვი 156321, მიმატების შედეგი 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 გაიყოფა 3-ზე და გაიყოფა 9-ზე, შესაბამისად, თავად რიცხვი შეიძლება გაიყოს 3-ზე და 9-ზე. რიცხვი 79123 არ იქნება იყოფა 3-ზე ან 9-ზე, ამიტომ მისი ციფრების ჯამი (22) არ იყოფა ამ რიცხვებზე.
დამახასიათებელი თვისება გაყოფა 4, 8, 16 და ასე შემდეგ.
რიცხვი ნაშთის გარეშე შეიძლება გაიყოს ოთხი, თუ მისი ბოლო ორი ციფრი არის ნულები ან არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება გაიყოს 4-ზე. ყველა სხვა შემთხვევაში ნაშთის გარეშე გაყოფა შეუძლებელია.
Მაგალითად:
რიცხვი 75300 იყოფა 4-ზე, რადგან ბოლო ორი ციფრი არის ნულები; 48834 არ იყოფა 4-ზე, რადგან ბოლო ორი ციფრი იძლევა 34-ს, რომელიც არ იყოფა 4-ზე; 35908 იყოფა 4-ზე, რადგან 08-ის ბოლო ორი ციფრი იძლევა რიცხვს 8, რომელიც იყოფა 4-ზე.
მსგავსი პრინციპი გამოიყენება გაყოფადობის კრიტერიუმზე რვა. რიცხვი იყოფა რვაზე, თუ მისი ბოლო სამი ციფრი არის ნულები ან ქმნიან რიცხვს, რომელიც იყოფა 8-ზე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, გაყოფისგან მიღებული კოეფიციენტი არ იქნება მთელი რიცხვი.
იგივე თვისებები გაყოფისთვის 16, 32, 64 და ა.შ., მაგრამ ისინი არ გამოიყენება ყოველდღიურ გამოთვლებში.
6-ზე გაყოფის დამახასიათებელი თვისება.
რიცხვი იყოფა ექვსი, თუ ის იყოფა ორზეც და სამზეც, ყველა სხვა ვარიანტით ნაშთის გარეშე გაყოფა შეუძლებელია.
Მაგალითად:
126 იყოფა 6-ზე, რადგან იგი იყოფა 2-ზე (ბოლო ლუწი რიცხვი არის 6) და 3 (ციფრების ჯამი 1 + 2 + 6 = 9 იყოფა სამზე)
7-ზე გაყოფის დამახასიათებელი თვისება.
რიცხვი იყოფა შვიდითუ მისი ორმაგი ბოლო რიცხვისა და "ბოლო ციფრის გარეშე დარჩენილი რიცხვის" სხვაობა იყოფა შვიდზე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა შვიდზე.
Მაგალითად:
რიცხვი არის 296492. აიღეთ ბოლო ციფრი "2", გააორმაგეთ, გამოვა 4. გამოაკლეთ 29649 - 4 = 29645. პრობლემურია იმის გარკვევა, იყო თუ არა ის 7-ზე, ამიტომ ისევ გავაანალიზეთ. შემდეგ ბოლო ციფრს "5"-ს ვაორმაგებთ, გამოდის 10. ვაკლებთ 2964 - 10 = 2954. შედეგი იგივეა, არ არის გასაგები, იყოფა თუ არა 7-ზე, ამიტომ ვაგრძელებთ ანალიზს. ვაანალიზებთ ბოლო ციფრით „4“, ორმაგად, გამოდის 8. გამოვაკლებთ 295 - 8 = 287. ვადარებთ ორას ოთხმოცდაშვიდს - არ იყოფა 7-ზე, ამასთან დაკავშირებით ვაგრძელებთ ძიებას. ანალოგიით, ბოლო ციფრი "7", გაორმაგებული, გამოდის 14. გამოვაკლოთ 28 - 14 \u003d 14. რიცხვი 14 იყოფა 7-ზე, ამიტომ თავდაპირველი რიცხვი იყოფა 7-ზე.
11-ზე გაყოფის დამახასიათებელი თვისება.
Ზე თერთმეტიიყოფა მხოლოდ ის რიცხვები, რომლებისთვისაც კენტ ადგილებზე მოთავსებული ციფრების მიმატების შედეგი ან ტოლია ლუწ ადგილებზე მოთავსებული ციფრების ჯამის, ან განსხვავდება თერთმეტზე გაყოფილი რიცხვით.
Მაგალითად:
რიცხვი 103785 იყოფა 11-ზე, რადგან კენტ ადგილებზე მყოფი ციფრების ჯამი 1 + 3 + 8 = 12 უდრის ლუწი ადგილების ციფრების ჯამს, 0 + 7 + 5 = 12. რიცხვი 9 163 627 არის იყოფა 11-ზე, ვინაიდან კენტ ადგილებზე ციფრების ჯამი არის 9 + 6 + 6 + 7 = 28, ხოლო ლუწი ადგილების რიცხვების ჯამი არის 1 + 3 + 2 = 6; 28 და 6 რიცხვებს შორის სხვაობა არის 22 და ეს რიცხვი იყოფა 11-ზე. რიცხვი 461025 არ იყოფა 11-ზე, რადგან რიცხვები 4 + 1 + 2 = 7 და 6 + 0 + 5 = 11 არ არის ტოლი. ერთმანეთი და მათი სხვაობა 11 - 7 = 4 არ იყოფა 11-ზე.
25-ზე გაყოფის დამახასიათებელი თვისება.
Ზე ოცდახუთიდაყოფს რიცხვებს, რომელთა ორი ბოლო ციფრი არის ნულები ან შეადგენს რიცხვს, რომელიც შეიძლება გაიყოს ოცდახუთზე (ანუ რიცხვები, რომლებიც მთავრდება 00, 25, 50 ან 75-ით). სხვა შემთხვევაში, რიცხვი არ შეიძლება დაიყოს მთლიანად 25-ზე.
Მაგალითად:
9450 იყოფა 25-ზე (მთავრდება 50-ზე); 5085 არ იყოფა 25-ზე.
ნატურალური რიცხვების გაყოფის გასამარტივებლად გამოყვანილია პირველი ათეულის და 11, 25 რიცხვებზე გაყოფის წესები, რომლებიც გაერთიანებულია განყოფილებაში. ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები. ქვემოთ მოცემულია წესები, რომლითაც რიცხვის ანალიზი სხვა ნატურალურ რიცხვზე გაყოფის გარეშე გასცემს პასუხს კითხვაზე, არის თუ არა ნატურალური რიცხვი 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 და რიცხვების ჯერადი. ცოტა ერთეული?
ნატურალურ რიცხვებს, რომლებსაც პირველ ციფრში აქვთ 2,4,6,8,0 რიცხვები (დაბოლოება) ლუწი ეწოდება.
რიცხვების 2-ზე გაყოფის ნიშანი
ყველა ლუწი ნატურალური რიცხვი იყოფა 2-ზე, მაგალითად: 172, 94,67 838, 1670.
რიცხვების 3-ზე გაყოფის ნიშანი
ყველა ნატურალური რიცხვი იყოფა 3-ზე, რომლის ციფრების ჯამი არის 3-ის ჯერადი. მაგალითად:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
რიცხვების 4-ზე გაყოფის ნიშანი
ყველა ნატურალური რიცხვი იყოფა 4-ზე, რომლის ბოლო ორი ციფრი არის ნულები ან 4-ის ჯერადი. მაგალითად:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
რიცხვების 5-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვების 6-ზე გაყოფის ნიშანი
ის ნატურალური რიცხვები, რომლებიც ერთდროულად იყოფა 2-ზე და 3-ზე, იყოფა 6-ზე (ყველა ლუწი რიცხვი, რომელიც იყოფა 3-ზე). მაგალითად: 126 (b - ლუწი, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
რიცხვების 9-ზე გაყოფის ნიშანი
ეს ნატურალური რიცხვები იყოფა 9-ზე, რომლის ციფრების ჯამი არის 9-ის ჯერადი. მაგალითად:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
რიცხვების 10-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვების 11-ზე გაყოფის ნიშანი
მხოლოდ ის ნატურალური რიცხვები იყოფა 11-ზე, რომლებშიც ლუწი ადგილების მქონე ციფრების ჯამი უდრის კენტი ადგილების ციფრთა ჯამს, ან სხვაობას კენტი ადგილების ციფრთა ჯამს და ლუწი ადგილების ციფრთა ჯამს შორის. არის 11-ის ჯერადი. მაგალითად:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 და 0 + 7 + 7 = 14);
9,163,627 (9 + 6 + b + 7 = 28 და 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
რიცხვების 25-ზე გაყოფის ნიშანი
ეს ნატურალური რიცხვები იყოფა 25-ზე, რომლის ბოლო ორი ციფრი არის ნული ან არის 25-ის ნამრავლი. მაგალითად:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
რიცხვების გაყოფის ნიშანი ბიტის ერთეულზე
ეს ნატურალური რიცხვები იყოფა ბიტის ერთეულებად, რომლებშიც ნულების რიცხვი მეტია ან ტოლია ბიტის ერთეულის ნულების რაოდენობაზე. მაგალითად: 12000 იყოფა 10-ზე, 100-ზე და 1000-ზე.
გაყოფის ნიშნების შესახებ სტატიების სერია გრძელდება სამზე გაყოფის ნიშანი. ამ სტატიაში ჯერ მოცემულია 3-ზე გაყოფის კრიტერიუმის ფორმულირება და მოცემულია ამ კრიტერიუმის გამოყენების მაგალითები მოცემული რიცხვებიდან რომელი იყოფა 3-ზე და რომელი არა. გარდა ამისა, მოცემულია სამზე გაყოფის ტესტის დადასტურება. ასევე განიხილება 3-ზე გაყოფის დადგენის მიდგომები, რომლებიც მოცემულია ზოგიერთი გამოხატვის მნიშვნელობად.
გვერდის ნავიგაცია.
3-ზე გაყოფის ნიშანი, მაგალითები
დავიწყოთ იმით 3-ზე გაყოფის ტესტის ფორმულირება: მთელი რიცხვი იყოფა 3-ზე, თუ მისი ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე, თუ მისი ციფრების ჯამი არ იყოფა 3-ზე, მაშინ თავად რიცხვი არ იყოფა 3-ზე.
ზემოაღნიშნული ფორმულირებიდან ირკვევა, რომ 3-ზე გაყოფის ნიშანი არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნატურალური რიცხვების შეკრების შესაძლებლობის გარეშე. ასევე, 3-ზე გაყოფის ნიშნის წარმატებით გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ, რომ ყველა ერთნიშნა ნატურალური რიცხვიდან რიცხვები 3, 6 და 9 იყოფა 3-ზე, ხოლო რიცხვები 1, 2, 4, 5, 7 და 8 არ იყოფა 3-ზე.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ უმარტივესი 3-ზე გაყოფის ტესტის გამოყენების მაგალითები. გავარკვიოთ, იყოფა თუ არა რიცხვი 3-ზე? 42. ამისათვის გამოვთვალოთ რიცხვის ციფრების ჯამი?42 უდრის 4+2=6. ვინაიდან 6 იყოფა 3-ზე, მაშინ, 3-ზე გაყოფის ნიშნის მიხედვით, შეიძლება ითქვას, რომ რიცხვი?42 ასევე იყოფა 3-ზე. მაგრამ დადებითი მთელი რიცხვი 71 არ იყოფა 3-ზე, რადგან მისი ციფრების ჯამი არის 7+1=8, ხოლო 8 არ იყოფა 3-ზე.
0 იყოფა 3-ზე? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად 3-ზე გაყოფის ტესტი არ არის საჭირო, აქ უნდა გავიხსენოთ გაყოფის შესაბამისი თვისება, რომელიც ამბობს, რომ ნული იყოფა ნებისმიერ მთელ რიცხვზე. ანუ 0 იყოფა 3-ზე.
ზოგიერთ შემთხვევაში, იმის საჩვენებლად, რომ მოცემულ რიცხვს აქვს ან არ აქვს 3-ზე გაყოფის უნარი, ზედიზედ რამდენჯერმე უნდა იქნას გამოყენებული 3-ზე გაყოფის ტესტი. ავიღოთ მაგალითი.
აჩვენეთ, რომ რიცხვი 907444812 იყოფა 3-ზე.
907444812-ის ციფრების ჯამი არის 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. იმის გასარკვევად, იყოფა თუ არა 39 3-ზე, ვიანგარიშებთ მის რიცხვთა ჯამს: 3+9=12. და იმის გასარკვევად, იყოფა თუ არა 12 3-ზე, ვპოულობთ 12 რიცხვის ციფრების ჯამს, გვაქვს 1+2=3. ვინაიდან მივიღეთ რიცხვი 3, რომელიც იყოფა 3-ზე, მაშინ 3-ზე გაყოფის ნიშნის გამო რიცხვი 12 იყოფა 3-ზე. ამრიგად, 39 იყოფა 3-ზე, რადგან მისი ციფრების ჯამი არის 12, ხოლო 12 იყოფა 3-ზე. საბოლოოდ, 907333812 იყოფა 3-ზე, რადგან მისი ციფრების ჯამი არის 39 და 39 იყოფა 3-ზე.
მასალის კონსოლიდაციისთვის ჩვენ გავაანალიზებთ სხვა მაგალითის ამოხსნას.
რიცხვი იყოფა 3-ზე 543 205?
გამოვთვალოთ ამ რიცხვის ციფრთა ჯამი: 5+4+3+2+0+5=19 . თავის მხრივ, 19 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 1+9=10, ხოლო 10 რიცხვის ციფრთა ჯამი არის 1+0=1. ვინაიდან მივიღეთ რიცხვი 1, რომელიც არ იყოფა 3-ზე, სამზე გაყოფის კრიტერიუმიდან გამომდინარეობს, რომ 10 არ იყოფა 3-ზე. მაშასადამე, 19 არ იყოფა 3-ზე, რადგან მისი ციფრების ჯამი არის 10, ხოლო 10 არ იყოფა 3-ზე. მაშასადამე, თავდაპირველი რიცხვი?543205 არ იყოფა 3-ზე, ვინაიდან მისი ციფრების ჯამი 19-ის ტოლი არ იყოფა 3-ზე.
აღსანიშნავია, რომ მოცემული რიცხვის 3-ზე პირდაპირი გაყოფა ასევე გვაძლევს დასკვნის საშუალებას მოცემული რიცხვი იყოფა 3-ზე თუ არა. ამით გვინდა ვთქვათ, რომ გაყოფა არ უნდა იყოს უგულებელყოფილი სამზე გაყოფის ნიშნის სასარგებლოდ. ბოლო მაგალითში 543 205 3-ზე რომ გავყოთ სვეტზე, დავრწმუნდებით, რომ 543 205 არ იყოფა 3-ზე, საიდანაც შეგვიძლია ვთქვათ, რომ 543 205 არც იყოფა 3-ზე.
3-ზე გაყოფის ტესტის დადასტურება
რიცხვის a შემდეგი წარმოდგენა დაგვეხმარება სამზე გაყოფის ნიშნის დამტკიცებაში. ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი a შეგვიძლია დავშალოთ ციფრებად, რის შემდეგაც გამრავლების წესი 10, 100, 1000 და ასე შემდეგ გვაძლევს საშუალებას მივიღოთ a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ ფორმა. a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , სადაც a n , a n?1 , …, a 0 არის ციფრები მარცხნიდან მარჯვნივ რიცხვში a . სიცხადისთვის მოვიყვანთ ასეთი წარმოდგენის მაგალითს: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .
ახლა დავწეროთ საკმაოდ აშკარა ტოლობები: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 და ა.შ.
ჩანაცვლება განტოლებაში a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 ნაცვლად 10 , 100 , 1 000 და ასე შემდეგ გამოსახულებები 3 3+1 , 33 3 +1, 999+1=333 3+1 და ასე შემდეგ, მივიღებთ
.
ნატურალური რიცხვების შეკრების თვისებები და ნატურალური რიცხვების გამრავლების თვისებები იძლევა შედეგად მიღებული ტოლობის გადაწერის საშუალებას შემდეგნაირად:
გამოხატულება 
არის a-ს ციფრების ჯამი. მოდით, მოკლედ და მოხერხებულობისთვის აღვნიშნოთ ასო A-ით, ანუ ვეთანხმებით. შემდეგ ვიღებთ გამოსახულებას ფორმის a რიცხვისა, რომელსაც გამოვიყენებთ სამზე გაყოფის ტესტის დასამტკიცებლად.
ასევე, სამზე გაყოფის ტესტის დასამტკიცებლად, ჩვენ გვჭირდება გაყოფის შემდეგი თვისებები:
- რომ a მთელი რიცხვი იყოფა მთელ b-ზე, აუცილებელია და საკმარისია, რომ a რიცხვის მოდული იყოფა b რიცხვის მოდულზე;
- თუ ტოლობაში a=s+t ყველა წევრი, გარდა ერთისა, იყოფა რომელიმე მთელ რიცხვზე b, მაშინ ეს ერთი წევრიც იყოფა b-ზე.
ახლა ჩვენ სრულად ვართ მზად და შეგვიძლია განვახორციელოთ სამზე გაყოფის დადასტურება, მოხერხებულობისთვის ამ მახასიათებელს ვაყალიბებთ 3-ზე გაყოფის აუცილებელ და საკმარის პირობად.
იმისთვის, რომ a მთელი რიცხვი იყოფა 3-ზე, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე.
a=0-სთვის თეორემა აშკარაა.
თუ a განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ a-ს მოდული ნატურალური რიცხვია, მაშინ შესაძლებელია წარმოდგენა, სადაც არის a-ს ციფრების ჯამი.
ვინაიდან მთელი რიცხვების ჯამი და ნამრავლი არის მთელი რიცხვი, მაშინ არის მთელი რიცხვი, მაშინ გაყოფის განმარტებით, ნამრავლი იყოფა 3-ზე ნებისმიერი a 0, a 1,…, a n-ისთვის.
თუ a რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე, ანუ A იყოფა 3-ზე, მაშინ, თეორემამდე მითითებული გაყოფის თვისების გამო, იგი იყოფა 3-ზე, შესაბამისად, a იყოფა 3-ზე. ეს ადასტურებს საკმარისობას.
თუ a იყოფა 3-ზე, მაშინ ის ასევე იყოფა 3-ზე, მაშინ, გაყოფის იგივე თვისების გამო, რიცხვი A იყოფა 3-ზე, ანუ a რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე. ეს ადასტურებს აუცილებლობას.
3-ზე გაყოფის სხვა შემთხვევები
ზოგჯერ მთელი რიცხვები მითითებულია არა ცალსახად, არამედ როგორც რაიმე გამოხატვის მნიშვნელობა ცვლადის მოცემული მნიშვნელობისთვის. მაგალითად, გამოხატვის მნიშვნელობა ზოგიერთი ბუნებრივი n-სთვის არის ნატურალური რიცხვი. ცხადია, რომ რიცხვების ამ მინიჭებით, 3-ზე პირდაპირი გაყოფა არ დაეხმარება მათი 3-ზე გაყოფის დადგენას და 3-ზე გაყოფის ნიშანი ყოველთვის ვერ იქნება გამოყენებული. ახლა განვიხილავთ რამდენიმე მიდგომას ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად.
ამ მიდგომების არსი მდგომარეობს იმაში, რომ ორიგინალური გამოხატულება წარმოიდგინოს, როგორც რამდენიმე ფაქტორის პროდუქტი, და თუ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც იყოფა 3-ზე, მაშინ, გაყოფადობის შესაბამისი თვისების გამო, შესაძლებელი იქნება დასკვნა, რომ მთელი პროდუქტი იყოფა 3-ზე.
ზოგჯერ ეს მიდგომა შეიძლება განხორციელდეს ნიუტონის ბინომის გამოყენებით. განვიხილოთ გადაწყვეტის მაგალითი.
იყო თუ არა გამოხატვის მნიშვნელობა 3-ზე ნებისმიერი ბუნებრივი n-ისთვის?
თანასწორობა აშკარაა. გამოვიყენოთ ნიუტონის ბინომიალური ფორმულა: 
ბოლო გამონათქვამში შეგვიძლია ფრჩხილებიდან 3 ავიღოთ და მივიღებთ. შედეგად მიღებული ნამრავლი იყოფა 3-ზე, რადგან ის შეიცავს 3 კოეფიციენტს, ხოლო ფრჩხილებში გამოსახულების მნიშვნელობა ბუნებრივი n-სთვის არის ნატურალური რიცხვი. აქედან გამომდინარე, იყოფა 3-ზე ნებისმიერი ბუნებრივი n-ისთვის.
ხშირ შემთხვევაში სამზე გაყოფა შეიძლება დადასტურდეს მათემატიკური ინდუქციის მეთოდით. მოდით გავაანალიზოთ მისი გამოყენება მაგალითის ამოხსნისას.
დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის გამოხატვის მნიშვნელობა იყოფა 3-ზე.
დასამტკიცებლად ვიყენებთ მათემატიკური ინდუქციის მეთოდს.
n=1-ისთვის, გამოხატვის მნიშვნელობა არის , და 6 იყოფა 3-ზე.
დავუშვათ, გამოხატვის მნიშვნელობა იყოფა 3-ზე, როდესაც n=k , ანუ იყოფა 3-ზე.
იმის გათვალისწინებით, რომ ის იყოფა 3-ზე, ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ n=k+1 გამოხატვის მნიშვნელობა იყოფა 3-ზე, ანუ ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ 
იყოფა 3-ზე.
მოდით გავაკეთოთ რამდენიმე ტრანსფორმაცია: 
გამოხატულება იყოფა 3-ზე და გამოხატულებაზე 
იყოფა 3-ზე, ამიტომ მათი ჯამი იყოფა 3-ზე.
ასე რომ, მათემატიკური ინდუქციის მეთოდმა დაამტკიცა გაყოფა 3-ზე ნებისმიერი ბუნებრივი n-ისთვის.
ვაჩვენოთ კიდევ ერთი მიდგომა სამზე გაყოფის მტკიცებულებაზე. თუ ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ n=3 m, n=3 m+1 და n=3 m+2, სადაც m არის თვითნებური მთელი რიცხვი, ზოგიერთი გამოხატვის მნიშვნელობა (n ცვლადით) იყოფა 3-ზე, მაშინ ეს დაამტკიცებს. გამოხატვის გაყოფა 3-ზე ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის n. გაითვალისწინეთ ეს მიდგომა წინა მაგალითის ამოხსნისას.
აჩვენე რა იყოფა 3-ზე ნებისმიერი ბუნებრივი n-ისთვის.
n=3 მ-ისთვის გვაქვს. შედეგად მიღებული ნამრავლი იყოფა 3-ზე, რადგან ის შეიცავს 3-ზე გაყოფილ კოეფიციენტს 3-ზე.
შედეგად მიღებული პროდუქტი ასევე იყოფა 3-ზე.
და ეს პროდუქტი იყოფა 3-ზე.
აქედან გამომდინარე, იყოფა 3-ზე ნებისმიერი ბუნებრივი n-ისთვის.
დასასრულს წარმოგიდგენთ კიდევ ერთი მაგალითის ამოხსნას.
იყო თუ არა გამოხატვის მნიშვნელობა 3-ზე 
ზოგიერთი ბუნებრივი ნ.
n=1-ისთვის გვაქვს. შედეგად მიღებული რიცხვის ციფრების ჯამი არის 3, ამიტომ სამზე გაყოფის ნიშანი გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ ეს რიცხვი იყოფა 3-ზე.
n=2-ისთვის გვაქვს. ციფრებისა და ამ რიცხვის ჯამი არის 3, ამიტომ იგი იყოფა 3-ზე.
გასაგებია, რომ ნებისმიერი სხვა ბუნებრივი n-სთვის გვექნება რიცხვები, რომელთა რიცხვების ჯამი არის 3, შესაბამისად, ეს რიცხვები იყოფა 3-ზე.
Ამგვარად, რადგან ნებისმიერი ბუნებრივი n იყოფა 3-ზე.
www.cleverstudents.ru
მათემატიკა, მე-6 კლასი, სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო ორგანიზაციების სტუდენტებისთვის, ზუბარევა ი.ი., მორდკოვიჩ ა.გ., 2014 წ.
მათემატიკა, მე-6 კლასი, სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო ორგანიზაციების სტუდენტებისთვის, ზუბარევა ი.ი., მორდკოვიჩ ა.გ., 2014 წ.
სახელმძღვანელოში თეორიული მასალა წარმოდგენილია ისე, რომ მასწავლებელს შეუძლია გამოიყენოს პრობლემაზე დაფუძნებული მიდგომა სწავლებისას. სანოტო სისტემის დახმარებით გამოირჩევა სირთულის ოთხი დონის სავარჯიშოები. თითოეულ აბზაცში საკონტროლო ამოცანები ჩამოყალიბებულია იმის მიხედვით, თუ რა უნდა იცოდნენ და შეძლონ მოსწავლეებმა მათემატიკური განათლების სტანდარტის დონის მისაღწევად. სახელმძღვანელოს ბოლოს არის საშინაო ტესტები და პასუხები. ფერადი ილუსტრაციები (ნახატები და დიაგრამები) უზრუნველყოფს საგანმანათლებლო მასალის მაღალ სიცხადეს.
შეესაბამება შპს GEF-ის მოთხოვნებს.
Დავალებები.
4. დახაზეთ სამკუთხედი ABC და მონიშნეთ O წერტილი მის გარეთ (როგორც სურათზე 11). ააგეთ ABC სამკუთხედის სიმეტრიული ფიგურა O წერტილის მიმართ.
5. დახაზეთ KMN სამკუთხედი და ააგეთ ამ სამკუთხედის სიმეტრიული ფიგურა:
ა) მისი წვეროები - წერტილები M;
ბ) წერტილები O - MN გვერდის შუა წერტილები.
6. ააგეთ ფიგურა, რომელიც სიმეტრიულია:
ა) OM სხივი O წერტილის მიმართ; ჩამოწერეთ რომელი წერტილია სიმეტრიული O წერტილის მიმართ;
ბ) სხივი OM თვითნებური A წერტილის მიმართ, რომელიც არ ეკუთვნის ამ სხივს;
გ) სწორი ხაზი AB O წერტილის მიმართ, რომელიც არ მიეკუთვნება ამ წრფეს;
დ) AB წრფე ამ წრფის კუთვნილ O წერტილის მიმართ; ჩამოწერეთ რომელი წერტილი არის სიმეტრიული O წერტილისთვის.
თითოეულ შემთხვევაში აღწერეთ ცენტრალურად სიმეტრიული ფიგურების შედარებითი პოზიცია.
Სარჩევი
თავი I. დადებითი და უარყოფითი რიცხვები. კოორდინატები
§ 1. ბრუნვა და ცენტრალური სიმეტრია
§ 2. დადებითი და უარყოფითი რიცხვები. საკოორდინაციო ხაზი
§ 3. რიცხვის მოდული. საპირისპირო ნომრები
§ 4. რიცხვთა შედარება
§ 5. წრფეთა პარალელიზმი
§ 6. "+", "-" ნიშნების შემცველი რიცხვითი გამონათქვამები.
§ 7. ალგებრული ჯამი და მისი თვისებები
§ 8. ორი რიცხვის ალგებრული ჯამის მნიშვნელობის გამოთვლის წესი
§ 9. მანძილი კოორდინატთა წრფის წერტილებს შორის
§ 10. ღერძული სიმეტრია
§ 11. რიცხვითი ხარვეზები
§ 12. დადებითი და უარყოფითი რიცხვების გამრავლება და გაყოფა
§ 13. კოორდინატები
§ 14. საკოორდინაციო სიბრტყე
§ 15. ჩვეულებრივი წილადების გამრავლება და გაყოფა
§ 16. კომბინატორული ამოცანების გამრავლების წესი
თავი II. პირდაპირი გამონათქვამების გადაქცევა
§ 17. სამაგრის გაფართოება
§ 18. გამოთქმების გამარტივება
§ 19. განტოლებათა ამოხსნა
§ 20. განტოლებების შედგენის ამოცანების ამოხსნა
§ 21. წილადებზე ორი ძირითადი ამოცანა
§ 22. წრე. გარშემოწერილობა
§ 23. წრე. წრის ფართობი
§ 24. ბურთი. სფერო
თავი III. ნატურალური რიცხვების გაყოფა
§ 25. გამყოფები და ჯერადები
§ 26. ნაწარმოების გაყოფა
§ 27. რიცხვთა ჯამისა და სხვაობის გაყოფა
§ 28. 2, 5, 10, 4 და 25-ზე გაყოფის ნიშნები
§ 29. 3-ზე და 9-ზე გაყოფის ნიშნები
§ 30. მარტივი რიცხვები. რიცხვის დაშლა პირველ ფაქტორებად
§ 31. უდიდესი საერთო გამყოფი
§ 32. ერთპიროვნული რიცხვები. პროდუქტის მიხედვით გაყოფის ნიშანი. უმცირესი საერთო ჯერადი
თავი IV. მათემატიკა ჩვენს ირგვლივ
§ 33. ორი რიცხვის შეფარდება
§ 34. დიაგრამები
§ 35. რაოდენობათა პროპორციულობა
§ 36. ამოცანების ამოხსნა პროპორციების გამოყენებით
§ 37. სხვადასხვა ამოცანები
§ 38. "ალბათობის" ცნების პირველი გაცნობა.
§ 39. ალბათობის გაანგარიშების პირველი გაცნობა
სახლის ტესტები
თემები პროექტის აქტივობებისთვის
პასუხები
უფასოდ ჩამოტვირთეთ ელექტრონული წიგნი მოსახერხებელ ფორმატში და წაიკითხეთ:
Მათემატიკა
საცნობარო მასალა მათემატიკის შესახებ 1-6 კლასებისთვის.
Ძვირფასო მშობლებო!თუ ეძებთ მათემატიკის დამრიგებელს თქვენი შვილისთვის, მაშინ ეს რეკლამა თქვენთვისაა. მე გთავაზობთ სკაიპის სწავლებას: მომზადება OGE-სთვის, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა, ცოდნის ხარვეზების აღმოფხვრა. თქვენი სარგებელი ნათელია:
1) თქვენი შვილი სახლშია და შეგიძლიათ მშვიდად იყოთ მისთვის;
2) მეცადინეობები ტარდება ბავშვისთვის ხელსაყრელ დროს და შეგიძლიათ ამ გაკვეთილებზე დასწრებაც კი. ჩვეულ სასკოლო დაფაზე მარტივად და გარკვევით ავხსნი.
3) შეგიძლიათ თავად მოიფიქროთ სკაიპის კლასების სხვა მნიშვნელოვანი უპირატესობები!
მომწერე: ან სასწრაფოდ დამამატე სკაიპში და ყველაფერზე შევთანხმდებით. ფასები ხელმისაწვდომია.
P.S. გაკვეთილები ტარდება 2-4 მოსწავლის ჯგუფში.
პატივისცემით, ტატიანა იაკოვლევნა ანდრიუშჩენკო არის ამ საიტის ავტორი.
Ძვირფასო მეგობრებო!
მოხარული ვარ, რომ შემოგთავაზოთ უფასო მათემატიკის საცნობარო მასალების ჩამოტვირთვა მე-5 კლასი. ჩამოტვირთეთ აქ!
Ძვირფასო მეგობრებო!
საიდუმლო არ არის, რომ ზოგიერთ ბავშვს უჭირს გამრავლება და ხანგრძლივი გაყოფა. ყველაზე ხშირად ეს გამოწვეულია გამრავლების ცხრილის არასაკმარისი ცოდნით. მე გთავაზობთ გამრავლების ცხრილის სწავლას ლოტოს დახმარებით. იხილეთ მეტი აქ. ჩამოტვირთეთ ლოტო აქ.
Ძვირფასო მეგობრებო!მალე თქვენ შეხვდებით (ან უკვე წააწყდით) გადაწყვეტილების მიღების აუცილებლობას ინტერესის ამოცანები. ასეთი პრობლემების მოგვარება მე-5 კლასში იწყება და სრულდება. მაგრამ ისინი არ ასრულებენ პრობლემების გადაჭრას პროცენტულად! ეს ამოცანები გვხვდება როგორც საკონტროლოში, ასევე გამოცდებში: როგორც გადასატანი, ასევე OGE და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა. Რა უნდა ვქნა? ჩვენ უნდა ვისწავლოთ როგორ გადავჭრათ ეს პრობლემები. ამაში ჩემი წიგნი როგორ მოვაგვაროთ პრობლემები პროცენტებით დაგეხმარებათ. დეტალები აქ!
რიცხვების დამატება.
- a+b=c, სადაც a და b არის ტერმინები, c არის ჯამი.
- უცნობი წევრის საპოვნელად, გამოაკლეთ ცნობილი წევრი ჯამს.
რიცხვების გამოკლება.
- a-b=c, სადაც a არის minuend, b არის ქვეტრაჰენდი, c არის განსხვავება.
- უცნობი მინიუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ ქვეტრაჰენდი.
- უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ განსხვავება მინუენდისგან.
რიცხვების გამრავლება.
- a b=c, სადაც a და b არის ფაქტორები, c არის პროდუქტი.
- უცნობი ფაქტორის საპოვნელად საჭიროა პროდუქტის გაყოფა ცნობილ ფაქტორზე.
რიცხვთა დაყოფა.
- a:b=c, სადაც a არის დივიდენდი, b არის გამყოფი, c არის კოეფიციენტი.
- უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, გამყოფი უნდა გაამრავლოთ კოეფიციენტზე.
- უცნობი გამყოფის საპოვნელად, დივიდენდი უნდა გაყოთ კოეფიციენტზე.
დამატების კანონები.
- a+b=b+a(გადაადგილება: ჯამი არ იცვლება ტერმინების გადალაგებიდან).
- (a+b)+c=a+(b+c)(კომბინატიული: ორი წევრის ჯამს მესამე რიცხვის დასამატებლად შეგიძლიათ პირველ რიცხვს დაუმატოთ მეორე და მესამე რიცხვი).
დამატების ცხრილი.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
გამრავლების კანონები.
- a b=b a(გადაადგილება: ფაქტორების პერმუტაცია არ ცვლის პროდუქტს).
- (ა ბ) c=a (ბ გ)(კომბინატიული: ორი რიცხვის ნამრავლის გასამრავლებლად მესამე რიცხვზე, შეგიძლიათ გაამრავლოთ პირველი რიცხვი მეორე და მესამეს ნამრავლზე).
- (a+b) c=a c+b გ(გამრავლების კანონი შეკრების მიმართ: ორი რიცხვის ჯამის გასამრავლებლად მესამე რიცხვზე, შეგიძლიათ თითოეული წევრი გაამრავლოთ ამ რიცხვზე და დაამატოთ შედეგები).
- (a-b) c=a c-b გ(გამრავლების გამანაწილებელი კანონი გამოკლებასთან მიმართებაში: იმისათვის, რომ გავამრავლოთ ორი რიცხვის სხვაობა მესამე რიცხვზე, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ამ შემცირებულ და გამოკლებულ რიცხვზე ცალ-ცალკე და გამოაკლოთ მეორე პირველ შედეგს).
გამრავლების ცხრილი.
2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.
2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.
2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.
2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.
2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.
2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.
2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.
2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.
2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.
2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.
გამყოფები და ჯერადები.
- გამყოფიბუნებრივი რიცხვი ადაასახელეთ ნატურალური რიცხვი, რომლითაც აგაყოფილი ნარჩენების გარეშე. (ნომრები 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 არის 24 რიცხვის გამყოფი, რადგან 24 იყოფა თითოეულ მათგანზე ნაშთების გარეშე) 1-ნებისმიერი ნატურალური რიცხვის გამყოფი. ნებისმიერი რიცხვის უდიდესი გამყოფი არის თავად რიცხვი.
- მრავალჯერადიბუნებრივი რიცხვი ბარის ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა ნაშთის გარეშე ბ. (ნომრები 24, 48, 72, ... არის 24 რიცხვის ჯერადი, რადგან ისინი იყოფა 24-ზე ნაშთის გარეშე). ნებისმიერი რიცხვის უმცირესი ჯერადი არის თავად რიცხვი.
ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები.
- ობიექტების დათვლისას გამოყენებულ რიცხვებს (1, 2, 3, 4, ...) ნატურალურ რიცხვებს უწოდებენ. ნატურალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ასოებით ნ.
- ნომრები 0, 2, 4, 6, 8 დაურეკა თუნდაცნომრები. რიცხვებს, რომლებიც მთავრდება ლუწი რიცხვებით, ლუწი რიცხვები ეწოდება.
- ნომრები 1, 3, 5, 7, 9 დაურეკა კენტინომრები. რიცხვებს, რომლებიც ბოლო რიცხვებით მთავრდება, კენტი რიცხვები ეწოდება.
- 2 რიცხვზე გაყოფის ნიშანი. ყველა ნატურალური რიცხვი, რომელიც მთავრდება ლუწი ციფრით, იყოფა 2-ზე.
- 5 რიცხვზე გაყოფის ნიშანი. ყველა ნატურალური რიცხვი, რომელიც მთავრდება 0-ით ან 5-ით, იყოფა 5-ზე.
- 10 რიცხვზე გაყოფის ნიშანი. ყველა ნატურალური რიცხვი, რომელიც მთავრდება 0-ზე, იყოფა 10-ზე.
- 3 რიცხვზე გაყოფის ნიშანი. თუ რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 3-ზე.
- 9 რიცხვზე გაყოფის ნიშანი. თუ რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 9-ზე.
- მე-4 რიცხვზე გაყოფის ნიშანი. თუ მოცემული რიცხვის ბოლო ორი ციფრისგან შემდგარი რიცხვი იყოფა 4-ზე, მაშინ თავად მოცემული რიცხვი იყოფა 4-ზე.
- 11 რიცხვზე გაყოფის ნიშანი.თუ სხვაობა კენტ ადგილებზე ციფრთა ჯამს და ლუწ ადგილებზე ციფრთა ჯამს შორის იყოფა 11-ზე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 11-ზე.
- მარტივი რიცხვი არის რიცხვი, რომელსაც აქვს მხოლოდ ორი გამყოფი: ერთი და თავად რიცხვი.
- კომპოზიტური რიცხვი არის რიცხვი, რომელსაც აქვს ორზე მეტი გამყოფი.
- რიცხვი 1 არც მარტივი და არც შედგენილი რიცხვია.
- კომპოზიციური რიცხვის მხოლოდ მარტივი რიცხვების ნამრავლის სახით დაწერას უწოდებენ კომპოზიტური რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაყოფას. ნებისმიერი კომპოზიტური რიცხვი შეიძლება ცალსახად იყოს წარმოდგენილი, როგორც მარტივი ფაქტორების ნამრავლი.
- მოცემული ნატურალური რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი არის უდიდესი ნატურალური რიცხვი, რომლითაც თითოეული ეს რიცხვი იყოფა.
- ამ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი უდრის საერთო მარტივი ფაქტორების ნამრავლს ამ რიცხვების გაფართოებაში. მაგალითი. GCD(24, 42)=2 3=6, ვინაიდან 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, მათი საერთო მარტივი ფაქტორები არის 2 და 3.
- თუ ბუნებრივ რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - ერთი, მაშინ ამ რიცხვებს კოპირი ეწოდება.
- მოცემული ნატურალური რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის თითოეული მოცემული რიცხვის ჯერადი. მაგალითი. LCM(24, 42)=168. ეს არის ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელიც იყოფა 24-ზე და 42-ზე.
- რამდენიმე მოცემული ნატურალური რიცხვის LCM-ის საპოვნელად საჭიროა: 1) თითოეული მოცემული რიცხვის დაშლა მარტივ ფაქტორებად; 2) ჩამოწერეთ რიცხვებიდან ყველაზე დიდის გაფართოება და გაამრავლეთ იგი სხვა რიცხვების გაფართოებებიდან გამოტოვებულ ფაქტორებზე.
- ორი თანმხლები რიცხვის უმცირესი ჯერადი უდრის ამ რიცხვების ნამრავლს.
ბ- წილადის მნიშვნელი, გვიჩვენებს რამდენი ტოლი ნაწილი იყოფა;
ა-წილადის მრიცხველი გვიჩვენებს რამდენი ასეთი ნაწილი იყო აღებული. წილადი ზოლი ნიშნავს გაყოფის ნიშანს.
ხანდახან ჰორიზონტალური წილადი ხაზის მაგივრად სვამენ ხაზს და ჩვეულებრივ წილადს ასე წერენ: ა/ბ.
- ზე სათანადო წილადიმრიცხველი ნაკლებია მნიშვნელზე.
- ზე არასწორი ფრაქციამრიცხველი მნიშვნელზე მეტია ან მნიშვნელის ტოლია.
თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება ან იყოფა იმავე ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ მიიღება მისი ტოლი წილადი.
წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფას ერთის გარდა საერთო გამყოფზე ეწოდება წილადის შემცირება.
- რიცხვს, რომელიც შედგება მთელი და წილადი ნაწილისაგან, შერეული რიცხვი ეწოდება.
- არასწორი წილადის შერეულ რიცხვად წარმოსადგენად საჭიროა წილადის მრიცხველი გავყოთ მნიშვნელზე, შემდეგ არასრული კოეფიციენტი იქნება შერეული რიცხვის მთელი რიცხვი, დარჩენილი ნაწილი იქნება წილადი ნაწილის მრიცხველი. , და მნიშვნელი იგივე დარჩება.
- შერეული რიცხვის არასწორ წილადად წარმოსადგენად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ შერეული რიცხვის მთელი ნაწილი მნიშვნელზე, დაამატეთ წილადი ნაწილის მრიცხველი შედეგს და ჩაწეროთ არასწორი წილადის მრიცხველში და დატოვოთ მნიშვნელი. იგივე.
- რეი ოჰწარმოშობით წერტილში ო, რომელზედაც ერთჯერადი ჭრადა მიმართულება, დაურეკა კოორდინატთა სხივი.
- კოორდინატთა სხივის წერტილის შესაბამისი რიცხვი ეწოდება კოორდინაციაეს წერტილი. Მაგალითად , A(3). წაიკითხეთ: წერტილი A კოორდინატით 3.
- ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი ( NOZ) ამ შეუქცევადი წილადებიდან არის უმცირესი საერთო ჯერადი ( NOC) ამ წილადების მნიშვნელები.
- წილადების უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე მისასვლელად თქვენ უნდა: 1) იპოვოთ ამ წილადების მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი, ეს იქნება უმცირესი საერთო მნიშვნელი. 2) ვიპოვოთ დამატებითი კოეფიციენტი თითოეული წილადისთვის, რისთვისაც ახალ მნიშვნელს ვყოფთ თითოეული წილადის მნიშვნელზე. 3) გავამრავლოთ თითოეული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მის დამატებით კოეფიციენტზე.
- ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე ორი წილადიდან უფრო დიდი მრიცხველის მქონე უფრო დიდია, ხოლო პატარა მრიცხველის მქონე - პატარა.
- ერთი და იგივე მრიცხველის მქონე ორი წილადიდან პატარა მნიშვნელის მქონე უფრო დიდია, ხოლო დიდი მნიშვნელის მქონე - პატარა.
- წილადების სხვადასხვა მრიცხველის და სხვადასხვა მნიშვნელის შესადარებლად, თქვენ უნდა შეამციროთ წილადები ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე და შემდეგ შეადაროთ წილადები იგივე მნიშვნელებით.
მოქმედებები ჩვეულებრივ წილადებზე.
- ერთიდაიგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ მნიშვნელი იგივე.
- თუ საჭიროა სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატება, მაშინ ჯერ შეამცირეთ წილადები ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე და შემდეგ დაამატეთ წილადები იგივე მნიშვნელებით.
- ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლებისთვის, მეორე წილადის მრიცხველს აკლდება პირველი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იგივე რჩება.
- თუ საჭიროა სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება, მაშინ ისინი ჯერ მიიყვანება საერთო მნიშვნელთან და შემდეგ აკლდება ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადები.
- შერეული რიცხვების შეკრების ან გამოკლების მოქმედებების შესრულებისას ეს მოქმედებები ცალ-ცალკე სრულდება მთელი და წილადი ნაწილებისთვის, შემდეგ კი შედეგი იწერება შერეული რიცხვის სახით.
- ორი ჩვეულებრივი წილადის ნამრავლი ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი უდრის მრიცხველთა ნამრავლს, ხოლო მნიშვნელი არის მოცემული წილადების მნიშვნელების ნამრავლი.
- ჩვეულებრივი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე, ხოლო მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.
- ორ რიცხვს, რომლის ნამრავლი ერთის ტოლია, ორმხრივი რიცხვები ეწოდება.
- შერეული რიცხვების გამრავლებისას ისინი ჯერ არასწორ წილადებად გარდაიქმნება.
- რიცხვის წილადის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ რიცხვი ამ წილადზე.
- საერთო წილადის საერთო წილადზე გასაყოფად, დივიდენდი უნდა გაამრავლოთ გამყოფის ორმხრივად.
- შერეული რიცხვების გაყოფისას ისინი პირველად გარდაიქმნება არასწორ წილადებად.
- ჩვეულებრივი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ წილადის მნიშვნელი ამ ნატურალურ რიცხვზე და მრიცხველი იგივე დატოვოთ. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
- რიცხვის მის წილადზე საპოვნელად, ამ წილადზე უნდა გაყოთ მისი შესაბამისი რიცხვი.
- ათობითი წილადი არის რიცხვი, რომელიც იწერება ათობითი სისტემაში და აქვს ერთზე ნაკლები ციფრები. (3.25; 0.1457 და ა.შ.)
- ათობითი წერტილის შემდეგ ათწილადებს უწოდებენ ათწილადებს.
- ათობითი წილადი არ შეიცვლება, თუ ათწილადის ბოლოს ნულები დაემატება ან გაუქმდება.
ათობითი წილადების დასამატებლად საჭიროა: 1) გაათანაბროთ ათწილადების რაოდენობა ამ წილადებში; 2) ჩაწერეთ ისინი ერთი მეორის ქვეშ ისე, რომ მძიმით ჩაიწეროს მძიმით; 3) შეასრულეთ შეკრება მძიმის უგულებელყოფით და შეჯამებულ წილადებში მძიმის ქვეშ ჩადეთ მძიმით.
ათობითი წილადების გამოკლების შესასრულებლად საჭიროა: 1) გაათანაბროს ათწილადების რაოდენობა მინუენდსა და ქვეტრაჰენდში; 2) მოაწერე გამოკლებულს შემცირების ქვეშ ისე, რომ მძიმით იყოს მძიმის ქვეშ; 3) შეასრულეთ გამოკლება მძიმის უგულებელყოფით და შედეგად ჩადეთ მძიმე მძიმით მინუენდისა და ქვეტრაჰენდის ქვეშ.
- ათწილადი წილადის ბუნებრივ რიცხვზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ იგი ამ რიცხვზე, მძიმის უგულებელყოფით და შედეგად ნამრავლში გამოყოთ იმდენი ციფრი მარჯვნივ, რამდენიც იყო მოცემულ წილადში ათწილადის შემდეგ.
- ერთი ათობითი წილადის მეორეზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა შეასრულოთ გამრავლება, უგულებელყოთ მძიმეები და შედეგად გამოყავით იმდენივე ციფრი მძიმით მარჯვნივ, რამდენიც იყო მძიმების შემდეგ ორივე ფაქტორში ერთად.
- ათწილადის გასამრავლებლად 10, 100, 1000 და ა.შ., თქვენ უნდა გადაიტანოთ ათობითი წერტილი მარჯვნივ 1, 2, 3 და ა.შ. ციფრით.
- ათწილადის გამრავლება 0.1-ზე; 0,01; 0.001 და ა.შ., საჭიროა მძიმის გადატანა მარცხნივ 1, 2, 3 და ა.შ. ციფრით.
- ათწილადი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასაყოფად საჭიროა წილადის გაყოფა ამ რიცხვზე, რადგან ნატურალური რიცხვები იყოფა და ჩასვეს კერძო მძიმით, როცა მთელი ნაწილის გაყოფა დასრულდება.
- ათწილადის გასაყოფად 10, 100, 1000 და ა.შ., საჭიროა მძიმის გადატანა მარცხნივ 1, 2, 3 და ა.შ. ციფრით.
- რიცხვის ათწილადზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გადაიტანოთ მძიმეები დივიდენდში და გამყოფოთ იმდენივე ციფრი მარჯვნივ, რამდენიც არის გამყოფის ათწილადის შემდეგ, შემდეგ კი გაყოთ ნატურალურ რიცხვზე.
- ათწილადის გაყოფა 0.1-ზე; 0,01; 0.001 და ა.შ., საჭიროა მძიმის გადატანა მარჯვნივ 1, 2, 3 და ა.შ. ციფრით. (ათწილადის გაყოფა 0.1-ზე; 0.01; 0.001 და ა.შ. იგივეა რაც ამ ათწილადის გამრავლება 10-ზე, 100-ზე, 1000-ზე და ა.შ.)
რიცხვის გარკვეულ ციფრზე დასამრგვალებლად, ხაზს ვუსვამთ ამ ციფრის ციფრს, შემდეგ ხაზგასმულის უკან ყველა ციფრს ვცვლით ნულებით, ხოლო თუ ისინი ათწილადის შემდეგ არიან, ვხსნით. თუ პირველი ნულით ჩანაცვლებული ან გაუქმებული ციფრი არის 0, 1, 2, 3 ან 4, მაშინ ხაზგასმული ციფრი უცვლელი რჩება. თუ პირველი ციფრი, რომელიც ჩანაცვლებულია ნულით ან გაუქმებულია არის 5, 6, 7, 8 ან 9, მაშინ ხაზგასმული ციფრი იზრდება 1-ით.
რამდენიმე რიცხვის საშუალო არითმეტიკული.
რამდენიმე რიცხვის საშუალო არითმეტიკული არის ამ რიცხვების ჯამის წევრთა რაოდენობაზე გაყოფის კოეფიციენტი.
რიცხვების სერიის დიაპაზონი.
მონაცემთა სერიის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს შორის განსხვავებას ეწოდება რიცხვების სერიის დიაპაზონი.
ნომრის სერიის მოდა.
რიცხვს, რომელიც სერიის მოცემულ რიცხვებს შორის ყველაზე დიდი სიხშირით გვხვდება, რიცხვთა სერიის რეჟიმი ეწოდება.
- მეასედს ეწოდება პროცენტი. შეიძინეთ წიგნი, რომელიც ასწავლის „როგორ გადავჭრათ პროცენტული პრობლემები“.
- პროცენტების წილადის ან ნატურალური რიცხვის სახით გამოსახატავად, თქვენ უნდა გაყოთ პროცენტი 100%-ზე. (4%=0.04; 32%=0.32).
- რიცხვის პროცენტულად გამოსახატავად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ იგი 100%-ზე. (0.65=0.65 100%=65%; 1.5=1.5 100%=150%).
- რიცხვის პროცენტის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოხატოთ პროცენტი ჩვეულებრივი ან ათობითი წილადის სახით და მიღებული წილადი გაამრავლოთ მოცემულ რიცხვზე.
- რიცხვის პროცენტის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოვხატოთ პროცენტი ჩვეულებრივი ან ათობითი წილადით და მოცემული რიცხვი გავყოთ ამ წილადზე.
- პირველი რიცხვის მეორისგან პროცენტის საპოვნელად, პირველი რიცხვი უნდა გაყოთ მეორეზე და გაამრავლოთ შედეგი 100%-ზე.
- ორი რიცხვის კოეფიციენტს ამ რიცხვების შეფარდება ეწოდება. ა:ბან ა/ბარის a და b რიცხვების თანაფარდობა, უფრო მეტიც, a არის წინა წევრი, b არის შემდეგი წევრი.
- თუ ამ მიმართების ტერმინები გადალაგებულია, მაშინ მიღებულ მიმართებას ამ მიმართების შებრუნებული ეწოდება. ბ/ა და ა/ბ მიმართებები ურთიერთშებრუნებულია.
- თანაფარდობა არ შეიცვლება, თუ თანაფარდობის ორივე წევრი გამრავლდება ან იყოფა იმავე არანულოვან რიცხვზე.
- ორი თანაფარდობის ტოლობას პროპორცია ეწოდება.
- a:b=c:d. ეს არის პროპორცია. წაიკითხეთ: აასე ვრცელდება ბ, როგორ გეხება დ. რიცხვებს a და d ეწოდება პროპორციის უკიდურეს წევრებს, ხოლო b და c რიცხვებს პროპორციის შუა წევრები.
- პროპორციის უკიდურესი წევრთა ნამრავლი უდრის მისი შუა წევრთა ნამრავლს. პროპორციისთვის a:b=c:dან a/b=c/dძირითადი ქონება ასე იწერება: a d=b გ.
- პროპორციის უცნობი უკიდურესი წევრის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროპორციის საშუალო წევრთა ნამრავლი ცნობილ უკიდურეს წევრზე.
- პროპორციის უცნობი შუა წევრის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროპორციის უკიდურესი წევრების ნამრავლი ცნობილ შუა წევრზე. პროპორციული ამოცანები.
მიეცით ღირებულება წდამოკიდებულია ზომაზე X. თუ გაზრდით Xრამდენჯერმე ზომით ზეიზრდება იგივე ფაქტორით, შემდეგ ასეთი მნიშვნელობები Xდა ზეპირდაპირპროპორციულს უწოდებენ.
თუ ორი რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია, მაშინ პირველი რაოდენობის ორი თვითნებური მნიშვნელობის თანაფარდობა უდრის მეორე სიდიდის ორი შესაბამისი მნიშვნელობის თანაფარდობას.
რუკაზე სეგმენტის სიგრძის თანაფარდობას მიწაზე შესაბამისი მანძილის სიგრძესთან რუკის მასშტაბი ეწოდება.
მიეცით ღირებულება ზედამოკიდებულია ზომაზე X. თუ გაზრდით Xრამდენჯერმე ზომით ზემცირდება იგივე ფაქტორით, შემდეგ ასეთი მნიშვნელობები Xდა ზეუკუპროპორციულს უწოდებენ.
თუ ორი რაოდენობა უკუპროპორციულია, მაშინ ერთი რაოდენობის ორი თვითნებურად მიღებული მნიშვნელობის თანაფარდობა უდრის მეორე რაოდენობის შესაბამისი მნიშვნელობების შებრუნებულ თანაფარდობას.
- ნაკრები არის ზოგიერთი ობიექტის ან რიცხვის ერთობლიობა, რომელიც შედგენილია ზოგიერთი ზოგადი თვისებების ან კანონების მიხედვით (ბევრი ასო გვერდზე, ბევრი რეგულარული წილადი მნიშვნელით 5, ბევრი ვარსკვლავი ცაში და ა.შ.).
- კომპლექტები შედგება ელემენტებისაგან და არის სასრული ან უსასრულო. სიმრავლეს, რომელიც არ შეიცავს ელემენტს, ეწოდება ცარიელი ნაკრები და აღინიშნება ოჰ
- Ბევრი ATკომპლექტის ქვესიმრავლე ეწოდება მაგრამთუ ნაკრების ყველა ელემენტი ATნაკრების ელემენტებია მაგრამ.
- გადაკვეთის დაყენება მაგრამდა ATარის ნაკრები, რომლის ელემენტები მიეკუთვნება სიმრავლეს მაგრამდა ბევრი AT.
- კომპლექტების გაერთიანება მაგრამდა ATარის სიმრავლე, რომლის ელემენტებიც მიეკუთვნება მოცემულ კომპლექტებიდან ერთს მაინც მაგრამდა AT.
ნომრების ნაკრები.
- ნ- ნატურალური რიცხვების ნაკრები: 1, 2, 3, 4,…
- ზ- მთელი რიცხვების ნაკრები: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- ქარის რაციონალური რიცხვების სიმრავლე, რომელიც წარმოდგენილია წილადის სახით მ/ნ, სად მ- მთლიანი, ნ- ბუნებრივი (-2; 3/5; v9; v25 და ა.შ.)
- კოორდინატთა ხაზი არის სწორი ხაზი, რომელზეც მოცემულია დადებითი მიმართულება, საცნობარო წერტილი (O წერტილი) და ერთეული სეგმენტი.
- კოორდინატთა ხაზის თითოეულ წერტილს შეესაბამება გარკვეული რიცხვი, რომელსაც ამ წერტილის კოორდინატი ეწოდება. Მაგალითად, A(5). წაიკითხეთ: წერტილი A კოორდინატით ხუთი. AT 3). წაიკითხეთ: წერტილი B კოორდინატის გამოკლებით სამი.
- a რიცხვის მოდული (ჩაწერეთ |ა|) ეწოდება მანძილი საწყისიდან მოცემული რიცხვის შესაბამის წერტილამდე ა. ნებისმიერი რიცხვის მოდულის მნიშვნელობა არ არის უარყოფითი. |3|=3; |-3|=3, რადგან მანძილი საწყისიდან -3 რიცხვამდე და 3 რიცხვამდე უდრის სამ ერთეულ სეგმენტს. |0|=0 .
- რიცხვის მოდულის განმარტებით: |a|=a, თუ ა?0და |ა|=-ა, თუ ბ.
- თუ a და b რიცხვების შედარებისას განსხვავება ა-ბმაშინ არის უარყოფითი რიცხვი a , მაშინ მათ უწოდებენ მკაცრ უთანასწორობას.
- თუ უტოლობები იწერება ნიშნებში? ან ?, მაშინ მათ უწოდებენ არამკაცრ უტოლობას.
რიცხვითი უტოლობების თვისებები.
გ) 
x?a ფორმის უტოლობა. პასუხი:
გაყოფის ნიშანი
გაყოფის ნიშანი- წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შედარებით სწრაფად განსაზღვროთ არის თუ არა რიცხვი წინასწარ განსაზღვრული რიცხვის ჯერადი, რეალური გაყოფის გარეშე. როგორც წესი, ის ემყარება პოზიციურ რიცხვთა სისტემაში (ჩვეულებრივ, ათობითი სისტემაში) რიცხვის აღნიშვნიდან ციფრების ნაწილის მოქმედებებს.
არსებობს რამდენიმე მარტივი წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ რიცხვის მცირე გამყოფები ათობითი რიცხვების სისტემაში:
2-ზე გაყოფის ნიშანი
3-ზე გაყოფის ნიშანი
გაყოფა 4 ნიშნით
5-ზე გაყოფის ნიშანი
6-ზე გაყოფის ნიშანი
7-ზე გაყოფის ნიშანი
8-ზე გაყოფის ნიშანი
9-ზე გაყოფის ნიშანი
10-ზე გაყოფის ნიშანი
11-ზე გაყოფის ნიშანი
12-ზე გაყოფის ნიშანი
13-ზე გაყოფის ნიშანი
14-ზე გაყოფის ნიშანი
15-ზე გაყოფის ნიშანი
17-ზე გაყოფის ნიშანი
19-ზე გაყოფის ნიშანი
23-ზე გაყოფის ნიშანი
25-ზე გაყოფის ნიშანი
99-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვს ვყოფთ 2 ციფრიან ჯგუფებად მარჯვნიდან მარცხნივ (ყველაზე მარცხენა ჯგუფს შეიძლება ჰქონდეს ერთი ციფრი) და ვპოულობთ ამ ჯგუფების ჯამს, მივიჩნევთ ორნიშნა რიცხვებად. ეს ჯამი იყოფა 99-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ თავად რიცხვი იყოფა 99-ზე.
101-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვს ვყოფთ 2 ციფრიან ჯგუფებად მარჯვნიდან მარცხნივ (ყველაზე მარცხენა ჯგუფს შეიძლება ჰქონდეს ერთი ციფრი) და ვპოულობთ ამ ჯგუფების ჯამს ცვლადი ნიშნებით, მივიჩნევთ ორნიშნა რიცხვებად. ეს ჯამი იყოფა 101-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ თავად რიცხვი იყოფა 101-ზე. მაგალითად, 590547 იყოფა 101-ზე, ვინაიდან 59-05+47=101 იყოფა 101-ზე).
2-ზე გაყოფის ნიშანი ნ
რიცხვი იყოფა ორის n-ე ხარისხზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ბოლო n ციფრით ჩამოყალიბებული რიცხვი იყოფა იმავე ხარისხზე.
5-ზე გაყოფის ნიშანი ნ
რიცხვი იყოფა 5-ის n ხარისხზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ბოლო n ციფრით ჩამოყალიბებული რიცხვი იყოფა იმავე ხარისხზე.
10-ზე გაყოფის ნიშანი ნ − 1
მოდით, რიცხვი გავყოთ n-ციფრიან ჯგუფებად მარჯვნიდან მარცხნივ (ყველაზე მარცხენა ჯგუფი შეიძლება შეიცავდეს 1-დან n ციფრამდე) და ვიპოვოთ ამ ჯგუფების ჯამი, ჩავთვალოთ ისინი n-ნიშნა რიცხვებად. ეს თანხა იყოფა 10-ზე ნ− 1 თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავად რიცხვი იყოფა 10-ზე ნ − 1 .
10-ზე გაყოფის ნიშანი ნ
რიცხვი იყოფა ათის n-ე ხარისხზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ბოლო n ციფრია
Ჩატვირთვა...