ფიბონაჩის მიმდევრობა და ოქროს თანაფარდობის პრინციპები. ოქროს თანაფარდობა და ფიბონაჩის მიმდევრობის რიცხვების კონუსები, რომლებიც გამოვლენილია ფიბონაჩის მიმდევრობაში

გამომცემლობასთან ერთად ვაქვეყნებთ ნაწყვეტს გამოყენებითი მათემატიკის პროფესორის ედუარდ შაინერმანის წიგნიდან, „სახელმძღვანელო მათემატიკაზე შეყვარებულთათვის“, რომელიც ეძღვნება მომხიბლავი მათემატიკის, თავსატეხების და სამყაროს არასტანდარტულ კითხვებს. რიცხვებისა და ციფრებისგან. თარგმანი ინგლისურიდან ალექსეი ოგნევის მიერ.

ამ თავში საუბარია ცნობილ ფიბონაჩის რიცხვებზე: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 და ა.შ. ამ სერიას ეწოდა ლეონარდო პიზასელი, უფრო ცნობილი როგორც ფიბონაჩი. ლეონარდო პიზაელი (1170–1250) - შუა საუკუნეების ევროპის ერთ-ერთი პირველი მთავარი მათემატიკოსი. ფიბონაჩის მეტსახელი ნიშნავს "ბონაჩის შვილს". ავტორია "აბაკუსის წიგნი", რომელიც ასახავს ათობითი რიცხვების სისტემას.

მოედნები და დომინოები

დავიწყოთ მოედნებისა და დომინოს განლაგებით. წარმოვიდგინოთ გრძელი ჰორიზონტალური ჩარჩო ზომით 1 × 10. ჩვენ გვინდა მთლიანად შევავსოთ ის 1 × 1 კვადრატებით და 1 × 2 დომინოებით, ერთი ხარვეზის დატოვების გარეშე. აი სურათი:

კითხვა: რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება?

მოხერხებულობისთვის, მოდით აღვნიშნოთ ვარიანტების რაოდენობა, როგორც F10. ყველა მათგანის გავლა და შემდეგ მათი დათვლა რთული სამუშაოა, სავსეა შეცდომებით. ბევრად უკეთესია პრობლემის გამარტივება. მოდი ნუ ვეძებთ F10-ს პირდაპირ, დავიწყოთ F1-ით. ეს არ შეიძლება იყოს ადვილი! ჩვენ უნდა შევავსოთ 1 × 1 ჩარჩო 1 × 1 კვადრატებით და 1 × 2 დომინოებით, დომინოები არ ჯდება, ამიტომ ერთადერთი გამოსავალი არის ერთი კვადრატის აღება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, F1 = 1.

ახლა მოდით შევხედოთ F2. ჩარჩოს ზომაა 1 × 2. შეგიძლიათ შეავსოთ ის ორი კვადრატით ან ერთი დომინით. ასე რომ, არსებობს ორი ვარიანტი და F2 = 2.

შემდეგი: რამდენი გზით შეგიძლიათ შეავსოთ 1 × 3 ჩარჩო? პირველი ვარიანტი: სამი კვადრატი. ორი სხვა ვარიანტი: ერთი დომინო (ორი არ ჯდება) და კვადრატი მარცხნივ ან მარჯვნივ. ასე რომ, F3 = 3. კიდევ ერთი ნაბიჯი: გადაიღეთ 1 × 4 ჩარჩო. ფიგურაში ნაჩვენებია შევსების ყველა ვარიანტი:

ჩვენ ვიპოვეთ ხუთი შესაძლებლობა, მაგრამ სად არის გარანტია, რომ არაფერი გამოგვრჩა? საკუთარი თავის გამოცდის საშუალება არსებობს. ჩარჩოს მარცხენა ბოლოში შეიძლება იყოს კვადრატი ან დომინო. ფიგურის ზედა რიგში არის ვარიანტები, როდესაც არის კვადრატი მარცხნივ, ქვედა რიგში - როდესაც არის დომინო მარცხნივ.

ვთქვათ, მარცხნივ არის კვადრატი. დარჩენილი ნაწილი უნდა შეივსოს კვადრატებით და დომინოებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა შეავსოთ ჩარჩო 1 × 3. ეს იძლევა 3 ვარიანტს, რადგან F3 = 3. თუ არის დომინო მარცხნივ, დარჩენილი ნაწილის ზომაა 1 × 2, და არსებობს ორი ვარიანტი. შეავსეთ იგი, რადგან F2 = 2.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს 3 + 2 = 5 ვარიანტი და დავრწმუნდით, რომ F4 = 5.

Ახლა შენ. დაფიქრდით ორიოდე წუთით და იპოვეთ 1×5 ჩარჩოს შევსების ყველა ვარიანტი.ბევრი არ არის. გამოსავალი არის თავის ბოლოს. შეგიძლიათ დაისვენოთ და იფიქროთ.

დავუბრუნდეთ ჩვენს მოედნებს. მინდა დავიჯერო, რომ თქვენ იპოვნეთ 8 ვარიანტი, რადგან არის განლაგების 5 გზა, მარცხნივ კვადრატით და კიდევ 3 გზა, დომინოს მარცხნივ. ამრიგად, F5 = 8.

შევაჯამოთ. FN-ით აღვნიშნავთ 1 × n ჩარჩოს კვადრატებითა და დომინოებით შევსების გზების რაოდენობას. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ F10. აი, რა ვიცით უკვე:

მოდით გადავიდეთ. რის ტოლია F6? თქვენ შეგიძლიათ დახაზოთ ყველა ვარიანტი, მაგრამ ეს მოსაწყენია. ჯობია კითხვა ორ ნაწილად გავყოთ. რამდენი გზით შეიძლება 1 × 6 ჩარჩოს შევსება, თუ მარცხნივ არის (ა) კვადრატი და (ბ) დომინო? კარგი ამბავი: ჩვენ უკვე ვიცით პასუხი! პირველ შემთხვევაში დაგვრჩება ხუთი კვადრატი და ვიცით, რომ F5 = 8. მეორე შემთხვევაში უნდა შეავსოთ ოთხი კვადრატი; ჩვენ ვიცით, რომ F4 = 5. ამრიგად, F5 + F4 = 13.

რის ტოლია F7? იგივე მოსაზრებებიდან გამომდინარე F7 =F6+F5=13+8=21. რაც შეეხება F8-ს? ცხადია, F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. და ასე შემდეგ. ჩვენ ვიპოვეთ შემდეგი კავშირი: Fn = Fn-1 + Fn-2.

კიდევ რამდენიმე ნაბიჯი და ჩვენ ვიპოვით საჭირო ნომერს F10. სწორი პასუხი მოცემულია თავის ბოლოს.

ფიბონაჩის რიცხვები

ფიბონაჩის რიცხვები არის თანმიმდევრობა:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

იგი აგებულია შემდეგი წესების მიხედვით:

- პირველი ორი რიცხვი არის 1 და 1;

- ყოველი შემდეგი რიცხვი მიიღება ორი წინა რიცხვის მიმატებით.

ჩვენ აღვნიშნავთ Fn მიმდევრობის n-ე ელემენტს ნულიდან დაწყებული: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, ... მომდევნო ელემენტს ვიანგარიშებთ ფორმულით: Fn = Fn -1 + Fn-2 .

როგორც ვხედავთ, კვადრატებისა და დომინოს დაწყობის პრობლემამ მიგვიყვანა რიცხვების ფიბონაჩის მიმდევრობამდე [ 1 ]კვადრატებისა და დომინოს ამოცანებში აღმოვაჩინეთ, რომ F1 = 1 და F2 = 2. მაგრამ ფიბონაჩის რიცხვები იწყება F0 = 1-ით. როგორ შეესაბამება ეს პრობლემის პირობებს? რამდენი გზა არსებობს 0 × 1 ჩარჩოს შევსებისთვის იმავე პირობებში? კვადრატის სიგრძე და დომინოს სიგრძე, ბოლოს და ბოლოს, ნულზე მეტია, ამიტომ მაცდურია იმის თქმა, რომ პასუხი არის ნული, მაგრამ ეს ასე არ არის. 0 × 1 ოთხკუთხედი უკვე შევსებულია, იქ ხარვეზები არ არის; ჩვენ არ გვჭირდება კვადრატი ან დომინო. ამრიგად, მოქმედების მხოლოდ ერთი გზა არსებობს: არ აიღოთ არც მოედანი და არც დომინო. Გესმის? ასეთ შემთხვევაში გილოცავ. მათემატიკური სული გაქვს!

ფიბონაჩის რიცხვების ჯამი

შევეცადოთ დავამატოთ ფიბონაჩის პირველი რამდენიმე რიცხვი. რა შეგვიძლია ვთქვათ ჯამზე F0 + F1 +… + Fn ნებისმიერი n-ისთვის? მოდით გავაკეთოთ გამოთვლები და ვნახოთ რა გამოვა. ყურადღება მიაქციეთ დამატებით შედეგებს ქვემოთ. ნიმუშს ხედავ? დაუთმეთ ერთი წუთით წინ გადასვლას; უკეთესი იქნება, თუ პასუხს თავად იპოვით, ვიდრე მზა გამოსავალი წაიკითხოთ.

მინდა დავიჯერო, რომ თქვენ ნახეთ, რომ შეჯამების შედეგები, თუ მათ ერთს დაუმატებთ, ასევე რიგდება ფიბონაჩის რიცხვების თანმიმდევრობით. მაგალითად, F0 რიცხვების F5-ს მიმატებით მივიღებთ: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. F0 რიცხვების დამატება F6-მდე მივიღებთ 33-ს. რომელია ნაკლები F8 = 34. შეგვიძლია დავწეროთ არაუარყოფითი მთელი რიცხვების ფორმულა n: F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. (*)

ალბათ საკმარისი იქნება თქვენთვის პირადად ნახოთ, რომ ფორმულა [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. მუშაობს ათეულ შემთხვევაში იმისთვის, რომ დაგაჯეროთ, რომ ეს სიმართლეა, მაგრამ მათემატიკოსებს სჭირთ მტკიცებულება. მოხარული ვართ წარმოგიდგინოთ ორი შესაძლო მტკიცებულება იმისა, რომ ეს მართალია ყველა არაუარყოფითი მთელი რიცხვისთვის n.

პირველს ეწოდება მტკიცება ინდუქციით, მეორეს ეწოდება კომბინატორული მტკიცებულება.

დამტკიცება ინდუქციით

ფორმულა [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.წარმოადგენს ფორმულების უსასრულო რაოდენობას დაშლილი სახით. დაამტკიცე რომ [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.მართალია n-ის კონკრეტული მნიშვნელობისთვის, ვთქვათ n = 6, არის მარტივი არითმეტიკული ამოცანა. საკმარისი იქნება F0-დან F6-მდე რიცხვების ჩაწერა და მათი დამატება: F0 +F2 +…+F6 =1+1+2+3+5+8+13=33.

ადვილი მისახვედრია, რომ F8 = 34, ასე რომ, ფორმულა მუშაობს. მოდით გადავიდეთ F7-ზე. ნუ დავკარგავთ დროს ყველა რიცხვის დამატებაში: ჩვენ უკვე ვიცით ჯამი F6-მდე. ამრიგად, (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54. როგორც ადრე, ყველაფერი ჯდება: F9 = 55.

თუ ახლა დავიწყებთ იმის შემოწმებას, მუშაობს თუ არა n = 8-ის ფორმულა, ჩვენი ძალა საბოლოოდ ამოიწურება. მაგრამ მოდით მაინც გადავხედოთ იმას, რაც უკვე ვიცით და რისი გარკვევა გვინდა:

F0 +F1 +…+F7 =F9.

F0 +F1 +…+F7 +F7 =?

გამოვიყენოთ წინა შედეგი: (F0 +F1 +…+F7)+F8 =(F9-1)+F8.

ჩვენ, რა თქმა უნდა, შეგვიძლია გამოვთვალოთ (F9-1) + F8 არითმეტიკულად. მაგრამ ეს კიდევ უფრო დაგვაღლებს. ამავე დროს, ჩვენ ვიცით, რომ F8 + F9 = F10. ამრიგად, ჩვენ არ გვჭირდება რაიმეს გამოთვლა ან ფიბონაჩის რიცხვების ცხრილის შესწავლა:

(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.

ჩვენ დავადასტურეთ, რომ ფორმულა მუშაობს n = 8-ზე იმის საფუძველზე, რაც ვიცოდით n = 7-ის შესახებ.

n = 9-ის შემთხვევაში, ჩვენ იგივენაირად ვეყრდნობით შედეგს n = 8-ისთვის (იხილეთ ეს თქვენთვის). რა თქმა უნდა, დადასტურებული ლოიალობის მქონე [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n-ისთვის შეგვიძლია დარწმუნებული ვიყოთ, რომ [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.მართალია n+1-ისთვისაც.

ჩვენ მზად ვართ მივცეთ სრული მტკიცებულება. როგორც უკვე ითქვა, [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.წარმოადგენს ფორმულების უსასრულო რაოდენობას n-ის ყველა მნიშვნელობისთვის ნულიდან უსასრულობამდე. ვნახოთ, როგორ მუშაობს მტკიცებულება.

ჯერ ვამტკიცებთ [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.უმარტივეს შემთხვევაში, n = 0-სთვის. ჩვენ უბრალოდ ვამოწმებთ, რომ F0 = F0+2 - 1. ვინაიდან F0 = 1 და F2 = 2, აშკარად 1 = 2 - 1 და F0 = F2-1.

გარდა ამისა, ჩვენთვის საკმარისია ვაჩვენოთ, რომ ფორმულის მართებულობა n-ის ერთი მნიშვნელობისთვის (ვთქვათ, n = k) ავტომატურად ნიშნავს, რომ ის სწორია n + 1-ისთვის (ჩვენს მაგალითში, n = k + 1). ჩვენ უბრალოდ უნდა ვაჩვენოთ, თუ როგორ მუშაობს ის "ავტომატურად". რა უნდა გავაკეთოთ?

ავიღოთ K რიცხვი. დავუშვათ, ჩვენ უკვე ვიცით, რომ F0+F1+…+Fk =Fk+2–1. ჩვენ ვეძებთ მნიშვნელობას F0 + F1 +… + Fk + Fk+1.

ჩვენ უკვე ვიცით ფიბონაჩის რიცხვების ჯამი Fk-მდე, ამიტომ მივიღებთ:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =(Fk+2–1)+Fk+1.

მარჯვენა მხარე უდრის Fk+2 - 1 + Fk+1 და ვიცით, თუ რას უდრის თანმიმდევრული ფიბონაჩის რიცხვების ჯამი:

Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) - 1 = Fk+3– 1

მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენს თანასწორობაში:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =Fk+3–1

ახლა აგიხსნით რა გავაკეთეთ. თუ ვიცით, რომ [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.მართალია, როდესაც ვაჯამებთ რიცხვებს Fk-მდე, მაშინ [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.უნდა იყოს ჭეშმარიტი, თუ დავამატებთ Fk+1.

მოდით შევაჯამოთ:

ფორმულა [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.მართალია n = 0-ისთვის.

თუ ფორმულა [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.მართალია n-სთვის, ასევე მართალია n + 1-ისთვის.

თამამად შეგვიძლია ვთქვათ, რომ [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.მართალია n-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. Მართალია [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n = 4987-ისთვის? ეს მართალია, თუ გამოთქმა მართალია n = 4986-ისთვის, რომელიც ეფუძნება გამოხატვის სიმართლეს n = 4985-ისთვის და ასე შემდეგ n = 0-მდე. ამიტომ, ფორმულა [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.მართალია ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის. მტკიცების ეს მეთოდი ცნობილია როგორც მათემატიკური ინდუქცია (ან დამტკიცება ინდუქციით). ჩვენ ვამოწმებთ საბაზისო საქმეს და ვაძლევთ შაბლონს, რომლითაც ყოველი მომდევნო შემთხვევა შეიძლება დადასტურდეს წინაზე დაყრდნობით.

კომბინაციური მტკიცებულება

მაგრამ აქ არის პირადობის სრულიად განსხვავებული მტკიცებულება [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. ძირითადი მიდგომა აქ არის ისარგებლოს იმით, რომ რიცხვი Fn არის 1 × n მართკუთხედის კვადრატებითა და დომინოებით მოხაზვის გზების რაოდენობა.

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ:

F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn+2- 1. (*)

იდეა მდგომარეობს იმაში, რომ განტოლების ორივე მხარე მივიჩნიოთ, როგორც გადახურვის პრობლემის გადაწყვეტა. თუ დავამტკიცებთ, რომ მარცხენა და მარჯვენა გვერდები ერთი და იგივე მართკუთხედის ამონახსნებია, ისინი ერთმანეთს დაემთხვევა. ამ ტექნიკას უწოდებენ კომბინატორულ მტკიცებულებას[ 2 ]სიტყვა "კომბინატორი" მომდინარეობს არსებითი სახელიდან "კომბინატორიკა", მათემატიკის ფილიალის სახელწოდება, რომლის საგანი ითვლის ვარიანტებს მართკუთხედის მოხაზვის მსგავსი ამოცანებში. სიტყვა "კომბინატორიკა", თავის მხრივ, მომდინარეობს სიტყვიდან "კომბინაცია"..

კომბინატორიკის რომელი კითხვისთვის არის განტოლება [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.იძლევა ორ სწორ პასუხს? ეს თავსატეხი მსგავსია Jeopardy-ზე ნაპოვნი თავსატეხების! [ 3 ]პოპულარული სატელევიზიო ვიქტორინა აშშ-ში. Jeopardy-ის მსგავსი! გამოქვეყნებულია სხვადასხვა ქვეყანაში; რუსეთში ეს არის "საკუთარი თამაში". - დაახლ. რედ., სადაც მონაწილეებმა უნდა ჩამოაყალიბონ კითხვა, წინასწარ იცოდნენ სწორი პასუხი.

მარჯვენა მხარე უფრო მარტივი ჩანს, ამიტომ დავიწყოთ იქიდან. პასუხი: Fn+2– 1. რა კითხვაა? თუ პასუხი იქნებოდა უბრალოდ Fn+2, ჩვენ მარტივად შეგვეძლო ჩამოვაყალიბოთ კითხვა: რამდენი გზით შეგვიძლია მივუდგეთ 1 × (n + 2) ოთხკუთხედს კვადრატებისა და დომინოს გამოყენებით? ეს არის თითქმის ის, რაც გჭირდებათ, მაგრამ პასუხი ერთით ნაკლებია. შევეცადოთ ნაზად შევცვალოთ კითხვა და შევამციროთ პასუხი. მოვაშოროთ ერთი მოპირკეთების ვარიანტი და დავთვალოთ დარჩენილი. სირთულე ის არის, რომ იპოვოთ ერთი ვარიანტი, რომელიც რადიკალურად განსხვავდება დანარჩენისგან. არის ასეთი რამე?

თითოეული მოპირკეთების მეთოდი მოიცავს კვადრატების ან დომინოს გამოყენებას. მხოლოდ კვადრატები ჩართულია ერთ ვარიანტში, სხვებში არის მინიმუმ ერთი დომინო. ავიღოთ ეს ახალი კითხვის საფუძვლად.

Კითხვა:რამდენი ვარიანტია 1 × (n + 2) მართკუთხა ჩარჩოს კვადრატებითა და დომინებით მოპირკეთება, მათ შორის მინიმუმ ერთი დომინო?

ახლა ჩვენ ვიპოვით ორ პასუხს ამ კითხვაზე. ვინაიდან ორივე სწორი იქნება, შეგვიძლია დარწმუნებით დავდოთ ტოლობის ნიშანი რიცხვებს შორის.

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ერთ-ერთი პასუხი. არსებობს Fn+2 სტილის ვარიანტები. მხოლოდ ერთი მათგანი მოიცავს ექსკლუზიურად კვადრატების გამოყენებას დომინოს გარეშე. ამრიგად, პასუხი #1 ჩვენს კითხვაზე არის: Fn+2– 1.

მეორე პასუხი უნდა იყოს - იმედი მაქვს - განტოლების მარცხენა მხარე [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. ვნახოთ, როგორ მუშაობს.

თქვენ უნდა დათვალოთ ჩარჩოს შევსების ვარიანტები, რომლებიც მოიცავს მინიმუმ ერთ დომინოს. მოდით ვიფიქროთ სად განთავსდება პირველი დომინო. არის n+2 პოზიციები და პირველი დომინო შეიძლება განთავსდეს 1-დან n+1-მდე პოზიციებზე.

განვიხილოთ შემთხვევა n = 4. ჩვენ ვეძებთ ვარიანტებს 1 × 6 ჩარჩოს შევსებისთვის, რომელიც მოიცავს მინიმუმ ერთ დომინოს. ჩვენ ვიცით პასუხი: F6 - 1 = 13 - 1 = 12, მაგრამ ის სხვაგვარად უნდა მივიღოთ.

პირველ დომინოს შეუძლია დაიკავოს შემდეგი პოზიციები:

პირველ სვეტში ნაჩვენებია შემთხვევა, როდესაც დომინო პირველ პოზიციაზეა, მეორე - როცა დომინო მეორეზეა და ა.შ.

რამდენი ვარიანტია თითოეულ სვეტში?

პირველი სვეტი შეიცავს ხუთ ვარიანტს. თუ დომინოს მარცხნივ ჩამოვყრით, მივიღებთ ზუსტად F4 = 5 ვარიანტს 1 × 4 ოთხკუთხედისთვის. მეორე სვეტს აქვს სამი ვარიანტი. მოდით, გადავაგდოთ დომინოები და მარცხენა კვადრატი. ჩვენ ვიღებთ F3 = 3 ვარიანტს 1 × 3 მართკუთხედისთვის. ანალოგიურად სხვა სვეტებისთვის. აი რა ვიპოვეთ:

ამრიგად, 1 × 6 მართკუთხა ჩარჩოს მოპირკეთების გზების რაოდენობა კვადრატებით და დომინოებით (მინიმუმ ერთი დომინოსთან ერთად) არის F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12.

დასკვნა: F0+F1+F2+F3+F4=12=F6–1.

განვიხილოთ ზოგადი შემთხვევა. გვეძლევა n + 2 სიგრძის ჩარჩო. რამდენი ვარიანტია მისი შევსებისთვის, რომ პირველი დომინო იყოს რომელიმე k პოზიციაზე? ამ შემთხვევაში პირველ k - 1 პოზიციებს იკავებს კვადრატები. ამრიგად, სულ k + 1 პოზიციებია დაკავებული [ 4 ]რიცხვმა k შეიძლება მიიღოს მნიშვნელობები 1-დან n + 1-მდე, მაგრამ არა მეტი, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში ბოლო დომინო გამოვა ჩარჩოდან.. დარჩენილი (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 შეიძლება შეივსოს ნებისმიერი გზით. ეს იძლევა Fn-k+1 ვარიანტებს. მოდით ავაშენოთ დიაგრამა:

თუ k იცვლება 1-დან n + 1-მდე, მნიშვნელობა n - k + 1 იცვლება 0-დან n-მდე. ამრიგად, ჩვენი ჩარჩოს შევსების ვარიანტების რაოდენობა მინიმუმ ერთი დომინოს გამოყენებით უდრის Fn + Fn-1 +… + F1 + F0.

თუ ტერმინებს საპირისპირო თანმიმდევრობით დავაყენებთ, მივიღებთ გამოხატვის (*) მარცხენა მხარეს. ამრიგად, ჩვენ ვიპოვეთ მეორე პასუხი დასმულ კითხვაზე: F0 +F1 +…+Fn.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ორი პასუხი კითხვაზე. ჩვენ მიერ მიღებული ორი ფორმულის გამოყენებით მიღებული მნიშვნელობები ემთხვევა და იდენტურობა [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.დადასტურებული.

ფიბონაჩის თანაფარდობა და ოქროს თანაფარდობა

ორი ზედიზედ ფიბონაჩის რიცხვის მიმატებით მიიღება შემდეგი ფიბონაჩის რიცხვი. ამ განყოფილებაში შევეხებით უფრო საინტერესო კითხვას: რა მოხდება, თუ ფიბონაჩის რიცხვს გავყოფთ მის წინა რიცხვზე სერიაში? გამოვთვალოთ შეფარდება Fk1. კ-ის მნიშვნელობების გაზრდისთვის.

ცხრილში შეგიძლიათ იხილოთ კოეფიციენტები F1/F0-დან F20/19-მდე.

რაც უფრო მაღალი ხდება ფიბონაჩის რიცხვები, მით უფრო უახლოვდება შეფარდება Fk+1/Fk მუდმივთან, დაახლოებით ტოლია 1.61803-ის. ეს რიცხვი - გაგიკვირდებათ - საკმაოდ ცნობილია და თუ საძიებო სისტემაში შეიყვანთ, ოქროს თანაფარდობის შესახებ ტონა გვერდი გამოვა. რა არის ეს? მიმდებარე ფიბონაჩის რიცხვების თანაფარდობა არ არის იგივე. თუმცა, თითქმის იგივეა, თუ რიცხვები საკმარისად დიდია. ვიპოვოთ 1.61803 რიცხვის ფორმულა და ამისთვის დროებით ვივარაუდოთ, რომ ყველა თანაფარდობა ერთნაირია. შემოვიღოთ x აღნიშვნა:

x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…

ეს ნიშნავს, რომ Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1 და ა.შ. ჩვენ შეგვიძლია გადავაფორმოთ:

Fk+2 =xFk+1=x2>Fk.

მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ Fk+2= Fk+1 + Fk. ამრიგად, x2>FkFk = xFk + Fk.

თუ ორივე მხარეს გავყოფთ Fk-ზე და გადავაწყობთ წევრებს, მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას: x2-x-1=0. მას აქვს ორი გამოსავალი:

თანაფარდობა დადებითი უნდა იყოს. ახლა კი ჩვენთვის ნაცნობი ნომერი გვაქვს. ჩვეულებრივ, ბერძნული ასო φ (phi) გამოიყენება ოქროს თანაფარდობის აღსანიშნავად:

ჩვენ უკვე შევამჩნიეთ, რომ მეზობელი ფიბონაჩის რიცხვების თანაფარდობა φ-ს უახლოვდება (მიდრეკილია). Ეს არის საოცარი. ეს გვაძლევს სხვა გზას გამოვთვალოთ ფიბონაჩის სავარაუდო რიცხვები. ფიბონაჩის რიცხვების თანმიმდევრობა არის სერია F0 F1, F2, F3, F4, F5... თუ ყველა თანაფარდობა Fk+1/Fk ერთნაირია, მივიღებთ ფორმულას:

Აქ თან- კიდევ ერთი მუდმივი. მოდით შევადაროთ Fn-ისა და φn-ის მომრგვალებული მნიშვნელობები სხვადასხვა n-სთვის:

n-ის დიდი მნიშვნელობებისთვის შეფარდება Fn/φn≈0.723607. ეს რიცხვი ზუსტად უდრის φ/root5-ს. Სხვა სიტყვებით,

გაითვალისწინეთ, რომ თუ დავამრგვალებთ უახლოეს მთელ რიცხვზე, მივიღებთ ზუსტად Fn.

თუ არ გსურთ შეწუხდეთ უახლოეს მთელ რიცხვზე დამრგვალება, ჟაკ ბინეს სახელობის ფორმულა [ 5 ]ჟაკ ბინე (1786–1856) - ფრანგი მათემატიკოსი, მექანიკოსი და ასტრონომი. ფიბონაჩის რიცხვების ფორმულა ბინეს სახელს ატარებს, თუმცა ის თითქმის ასი წლით ადრე იქნა მიღებული აბრაამ დე მოივრის მიერ (1667–1754). - დაახლ. შესახვევი, მოგცემთ ზუსტ მნიშვნელობას:

ჩარჩოს შევსება 1×5

ჩვენი ჩარჩო შეიძლება შეივსოს კვადრატებით და დომინოებით შემდეგი გზით:

არსებობს F4 = 5 ვარიანტი, როდესაც კვადრატი პირველია, და F3 = 3 ვარიანტი, როდესაც დომინო პირველი მოდის. საერთო ჯამში ეს იძლევა F5 = F4 + F3 = 8 ვარიანტს.

F10 მნიშვნელობა(პასუხი შემდეგ კითხვაზე სტილის შესახებ) არის 89.

სამყაროში ჯერ კიდევ ბევრი ამოუხსნელი საიდუმლოა, რომელთაგან ზოგიერთის ამოცნობა და აღწერა მეცნიერებმა უკვე შეძლეს. ფიბონაჩის რიცხვები და ოქროს თანაფარდობა ქმნიან ჩვენს ირგვლივ სამყაროს ამოხსნის საფუძველს, ადამიანის მიერ მისი ფორმისა და ოპტიმალური ვიზუალური აღქმის აგებას, რისი დახმარებითაც მას შეუძლია იგრძნოს სილამაზე და ჰარმონია.

ოქროს რადიო

ოქროს თანაფარდობის განზომილებების განსაზღვრის პრინციპი საფუძვლად უდევს მთელი სამყაროს და მისი ნაწილების სრულყოფილებას მის სტრუქტურასა და ფუნქციებში, მისი გამოვლინება ჩანს ბუნებაში, ხელოვნებაში და ტექნოლოგიაში. ოქროს პროპორციის დოქტრინა დაარსდა ძველი მეცნიერების მიერ რიცხვების ბუნების კვლევის შედეგად.

იგი დაფუძნებულია სეგმენტების დაყოფის პროპორციებისა და თანაფარდობების თეორიაზე, რომელიც შეიქმნა უძველესი ფილოსოფოსისა და მათემატიკოსის პითაგორას მიერ. მან დაამტკიცა, რომ სეგმენტის ორ ნაწილად გაყოფისას: X (პატარა) და Y (უფრო დიდი), უფრო დიდისა და პატარას თანაფარდობა ტოლი იქნება მათი ჯამის თანაფარდობის (მთელი სეგმენტი):

შედეგი არის განტოლება: x 2 - x - 1=0,რომელიც იხსნება როგორც x=(1±√5)/2.

თუ განვიხილავთ თანაფარდობას 1/x, მაშინ ის უდრის 1,618…

უძველესი მოაზროვნეების მიერ ოქროს თანაფარდობის გამოყენების მტკიცებულება მოცემულია ევკლიდეს წიგნში "ელემენტები", რომელიც დაწერილია ჯერ კიდევ III საუკუნეში. BC, რომელმაც გამოიყენა ეს წესი რეგულარული ხუთკუთხედების ასაგებად. პითაგორელთა შორის ეს ფიგურა წმინდად ითვლება, რადგან არის სიმეტრიულიც და ასიმეტრიულიც. პენტაგრამა სიმბოლოა სიცოცხლე და ჯანმრთელობა.

ფიბონაჩის რიცხვები

იტალიელი მათემატიკოსის ლეონარდო პიზაელის ცნობილი წიგნი Liber abaci, რომელიც მოგვიანებით გახდა ცნობილი როგორც ფიბონაჩი, გამოიცა 1202 წელს. მასში მეცნიერი პირველად მოჰყავს რიცხვების ნიმუში, რომლის სერიებში თითოეული რიცხვი არის ჯამი. 2 წინა ციფრი. ფიბონაჩის რიცხვების თანმიმდევრობა ასეთია:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 და ა.შ.

მეცნიერმა ასევე მოიყვანა რამდენიმე ნიმუში:

ნებისმიერი რიცხვი სერიიდან გაყოფილი შემდეგზე ტოლი იქნება 0,618-ისკენ მიდრეკილი მნიშვნელობის. უფრო მეტიც, პირველი ფიბონაჩის რიცხვები არ იძლევა ასეთ რიცხვს, მაგრამ რაც უფრო მივდივართ მიმდევრობის დასაწყისიდან, ეს თანაფარდობა უფრო და უფრო ზუსტი გახდება.
თუ სერიიდან რიცხვს წინაზე გაყოფთ, შედეგი 1,618-მდე იქნება.
ერთი რიცხვი გაყოფილი მეორეზე ერთზე აჩვენებს მნიშვნელობას 0,382-მდე.

ოქროს მონაკვეთის კავშირისა და ნიმუშების გამოყენება, ფიბონაჩის რიცხვი (0,618) გვხვდება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ ბუნებაში, ისტორიაში, არქიტექტურასა და მშენებლობაში და ბევრ სხვა მეცნიერებაში.

არქიმედეს სპირალი და ოქროს მართკუთხედი

ბუნებით ძალიან გავრცელებული სპირალები შეისწავლა არქიმედესმა, რომელმაც გამოიტანა მისი განტოლებაც კი. სპირალის ფორმა ეფუძნება ოქროს თანაფარდობის კანონებს. მისი გახსნისას მიიღება სიგრძე, რომელზედაც შესაძლებელია პროპორციების და ფიბონაჩის რიცხვების გამოყენება; ნაბიჯი თანაბრად იზრდება.

პარალელი ფიბონაჩის რიცხვებსა და ოქროს თანაფარდობას შორის ჩანს „ოქროს მართკუთხედის“ აგებით, რომლის გვერდები პროპორციულია 1,618:1. იგი აგებულია უფრო დიდი მართკუთხედიდან პატარაზე გადაადგილებით ისე, რომ გვერდების სიგრძე ტოლი იყოს სერიიდან გამოსულ რიცხვებთან. ის ასევე შეიძლება აშენდეს საპირისპირო მიზნით, დაწყებული კვადრატიდან "1". როდესაც ამ მართკუთხედის კუთხეები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული ხაზებით მათი გადაკვეთის ცენტრში, მიიღება ფიბონაჩის ან ლოგარითმული სპირალი.

ოქროს პროპორციების გამოყენების ისტორია

ეგვიპტის მრავალი უძველესი არქიტექტურული ძეგლი აშენდა ოქროს პროპორციებით: კეოპსის ცნობილი პირამიდები და ა.შ. ძველი საბერძნეთის არქიტექტორები ფართოდ იყენებდნენ მათ ისეთი არქიტექტურული ობიექტების მშენებლობაში, როგორიცაა ტაძრები, ამფითეატრები და სტადიონები. მაგალითად, ასეთი პროპორციები გამოიყენებოდა პართენონის უძველესი ტაძრის, (ათენი) და სხვა ობიექტების მშენებლობაში, რომლებიც გახდნენ უძველესი არქიტექტურის შედევრები, მათემატიკური ნიმუშების საფუძველზე ჰარმონიის დემონსტრირებაში.

მოგვიანებით საუკუნეებში ოქროს თანაფარდობისადმი ინტერესი შემცირდა და ნიმუშები დავიწყებას მიეცა, მაგრამ ის კვლავ განახლდა რენესანსში ფრანცისკანელი ბერის ლ. პაჩიოლი დი ბორგოს წიგნით „ღვთაებრივი პროპორცია“ (1509). იგი შეიცავდა ლეონარდო და ვინჩის ილუსტრაციებს, რომელმაც დააარსა ახალი სახელი "ოქროს თანაფარდობა". ოქროს თანაფარდობის 12 თვისება ასევე მეცნიერულად დადასტურდა და ავტორმა ისაუბრა იმაზე, თუ როგორ ვლინდება იგი ბუნებაში, ხელოვნებაში და უწოდა მას "სამყაროსა და ბუნების აგების პრინციპი".

ვიტრუვიანი კაცი ლეონარდო

ნახატზე, რომელიც ლეონარდო და ვინჩიმ გამოიყენა ვიტრუვიუსის წიგნის საილუსტრაციოდ 1492 წელს, ასახავს ადამიანის ფიგურას 2 პოზიციაზე, გვერდებზე გაშლილი ხელებით. ფიგურა ჩაწერილია წრეში და კვადრატში. ეს ნახატი ითვლება ადამიანის სხეულის კანონიკურ პროპორციებად (მამაკაცი), რომელიც აღწერილია ლეონარდოს მიერ რომაელი არქიტექტორის ვიტრუვიუსის ტრაქტატებში მათი შესწავლის საფუძველზე.

სხეულის ცენტრი, როგორც ხელებისა და ფეხების ბოლოდან თანაბარი დაშორებული წერტილი, არის ჭიპი, ხელების სიგრძე უდრის ადამიანის სიმაღლეს, მხრების მაქსიმალური სიგანე = სიმაღლის 1/8, მანძილი მკერდის ზემოდან თმამდე = 1/7, მკერდის ზემოდან თავის ზევით = 1/6 და ა.შ.

მას შემდეგ ნახატი გამოიყენებოდა როგორც სიმბოლო, რომელიც აჩვენებს ადამიანის სხეულის შინაგან სიმეტრიას.

ლეონარდომ გამოიყენა ტერმინი „ოქროს თანაფარდობა“ ადამიანის ფიგურაში პროპორციული ურთიერთობების აღსანიშნავად. მაგალითად, მანძილი წელიდან ფეხებამდე დაკავშირებულია იმავე მანძილთან ჭიპიდან თავის ზევით, ისევე, როგორც სიმაღლე პირველ სიგრძემდე (წელიდან ქვემოთ). ეს გაანგარიშება ხდება ოქროს პროპორციის გაანგარიშებისას სეგმენტების თანაფარდობის მსგავსად და მიდრეკილია 1,618-მდე.

ყველა ამ ჰარმონიულ პროპორციებს ხშირად იყენებენ მხატვრები ლამაზი და შთამბეჭდავი ნამუშევრების შესაქმნელად.

ოქროს კვეთის კვლევა მე-16-მე-19 საუკუნეებში

ოქროს თანაფარდობისა და ფიბონაჩის რიცხვების გამოყენებით, პროპორციების საკითხზე კვლევა საუკუნეების განმავლობაში მიმდინარეობდა. ლეონარდო და ვინჩის პარალელურად გერმანელი მხატვარი ალბრეხტ დიურერიც მუშაობდა ადამიანის სხეულის სწორი პროპორციების თეორიის შემუშავებაზე. ამ მიზნით მან სპეციალური კომპასიც კი შექმნა.

მე-16 საუკუნეში ფიბონაჩის რიცხვსა და ოქროს თანაფარდობას შორის კავშირის საკითხი მიეძღვნა ასტრონომ ი.კეპლერის მუშაობას, რომელმაც პირველად გამოიყენა ეს წესები ბოტანიკაში.

მე-19 საუკუნეში ოქროს თანაფარდობას ახალი „აღმოჩენა“ ელოდა. გერმანელი მეცნიერის პროფესორ ზეისიგის „ესთეტიკური გამოკვლევის“ გამოცემით. მან ეს პროპორციები აბსოლუტურებამდე აიყვანა და განაცხადა, რომ ისინი უნივერსალურია ყველა ბუნებრივი ფენომენისთვის. მან ჩაატარა კვლევები უამრავ ადამიანზე, უფრო სწორად, მათი სხეულის პროპორციებზე (დაახლოებით 2 ათასი), რომლის შედეგების საფუძველზე გაკეთდა დასკვნები სტატისტიკურად დადასტურებული შაბლონების შესახებ სხეულის სხვადასხვა ნაწილების შეფარდებაში: მხრების სიგრძე, წინამხრები, ხელები, თითები და ა.შ.

ასევე შეისწავლეს ხელოვნების საგნები (ვაზები, არქიტექტურული სტრუქტურები), მუსიკალური ტონები და ზომები ლექსების წერისას - ზეისიგმა ეს ყველაფერი აჩვენა სეგმენტებისა და რიცხვების სიგრძით და ასევე შემოიღო ტერმინი "მათემატიკური ესთეტიკა". შედეგების მიღების შემდეგ აღმოჩნდა, რომ ფიბონაჩის სერია იყო მიღებული.

ფიბონაჩის რიცხვი და ოქროს თანაფარდობა ბუნებაში

მცენარეთა და ცხოველთა სამყაროში შეიმჩნევა მორფოლოგიისკენ მიდრეკილება სიმეტრიის სახით, რაც შეინიშნება ზრდისა და მოძრაობის მიმართულებით. დაყოფა სიმეტრიულ ნაწილებად, რომლებშიც შეინიშნება ოქროს პროპორციები - ეს ნიმუში თანდაყოლილია ბევრ მცენარესა და ცხოველში.

ჩვენს ირგვლივ ბუნება შეიძლება აღწერილი იყოს ფიბონაჩის რიცხვების გამოყენებით, მაგალითად:

ნებისმიერი მცენარის ფოთლების ან ტოტების განლაგება, ისევე როგორც მანძილი, შეესაბამება მოცემული რიცხვების სერიას 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 და ასე შემდეგ;
მზესუმზირის თესლი (მასშტაბები გირჩებზე, ანანასის უჯრედები), დალაგებული ორ რიგად დახვეული სპირალის გასწვრივ სხვადასხვა მიმართულებით;
კუდის სიგრძისა და ხვლიკის მთელი სხეულის თანაფარდობა;
კვერცხის ფორმა, თუ ხაზს გაავლებთ მის ფართო ნაწილზე;
თითის ზომის თანაფარდობა ადამიანის ხელზე.

და, რა თქმა უნდა, ყველაზე საინტერესო ფორმებს მიეკუთვნება სპირალური ლოკოკინების ჭურვები, ნიმუშები ობობის ქსელებზე, ქარის მოძრაობა ქარიშხლის შიგნით, ორმაგი სპირალი დნმ-ში და გალაქტიკების სტრუქტურა - ეს ყველაფერი მოიცავს ფიბონაჩის მიმდევრობას.

ოქროს თანაფარდობის გამოყენება ხელოვნებაში

მკვლევარები, რომლებიც ეძებენ ხელოვნებაში ოქროს თანაფარდობის გამოყენების მაგალითებს, დეტალურად სწავლობენ სხვადასხვა არქიტექტურულ ობიექტს და ფერწერის ნამუშევრებს. აქ არის ცნობილი სკულპტურული ნამუშევრები, რომელთა შემქმნელები ოქროს პროპორციებს იცავდნენ - ოლიმპიელი ზევსის, აპოლონ ბელვედერის ქანდაკებები და

ლეონარდო და ვინჩის ერთ-ერთი ქმნილება "მონა ლიზას პორტრეტი" მრავალი წლის განმავლობაში მეცნიერთა კვლევის საგანია. მათ აღმოაჩინეს, რომ ნაწარმოების კომპოზიცია მთლიანად შედგება „ოქროს სამკუთხედებისგან“, რომლებიც გაერთიანებულია ჩვეულებრივ ხუთკუთხედ-ვარსკვლავად. და ვინჩის ყველა ნამუშევარი იმის მტკიცებულებაა, თუ რამდენად ღრმა იყო მისი ცოდნა ადამიანის სხეულის სტრუქტურასა და პროპორციებში, რისი წყალობითაც მან შეძლო მონა ლიზას წარმოუდგენლად იდუმალი ღიმილის დაფიქსირება.

ოქროს თანაფარდობა არქიტექტურაში

მაგალითად, მეცნიერებმა შეისწავლეს „ოქროს თანაფარდობის“ წესებით შექმნილი არქიტექტურული შედევრები: ეგვიპტური პირამიდები, პანთეონი, პართენონი, პარიზის ღვთისმშობლის ტაძარი, წმინდა ბასილის ტაძარი და ა.შ.

პართენონი - ერთ-ერთი ულამაზესი ნაგებობა ძველ საბერძნეთში (ძვ. წ. V ს.) - აქვს 8 სვეტი და 17 სხვადასხვა მხარეს, მისი სიმაღლის შეფარდება გვერდების სიგრძესთან არის 0,618. მის ფასადებზე გამონაზარდები დამზადებულია "ოქროს თანაფარდობის" მიხედვით (ფოტო ქვემოთ).

ერთ-ერთი მეცნიერი, რომელმაც მოიფიქრა და წარმატებით გამოიყენა არქიტექტურული ობიექტების პროპორციების მოდულური სისტემის გაუმჯობესება (ე.წ. „მოდულორი“) იყო ფრანგი არქიტექტორი ლე კორბუზიე. მოდულატორი ეფუძნება საზომ სისტემას, რომელიც დაკავშირებულია ადამიანის სხეულის ნაწილებად პირობით დაყოფასთან.

რუსი არქიტექტორი მ. კაზაკოვი, რომელმაც ააშენა რამდენიმე საცხოვრებელი კორპუსი მოსკოვში, ასევე სენატის შენობა კრემლში და გოლიცინის საავადმყოფო (ამჟამად ნ.ი. პიროგოვის სახელობის პირველი კლინიკური), იყო ერთ-ერთი არქიტექტორი, რომელმაც გამოიყენა კანონები დიზაინსა და დიზაინში. მშენებლობა ოქროს კვეთის შესახებ.

პროპორციების გამოყენება დიზაინში

ტანსაცმლის დიზაინში ყველა მოდის დიზაინერი ქმნის ახალ სურათებსა და მოდელებს ადამიანის სხეულის პროპორციებისა და ოქროს თანაფარდობის წესების გათვალისწინებით, თუმცა ბუნებით ყველა ადამიანს არ აქვს იდეალური პროპორციები.

ლანდშაფტის დიზაინის დაგეგმვისას და მცენარეების (ხეების და ბუჩქების), შადრევნების და მცირე არქიტექტურული ობიექტების დახმარებით სამგანზომილებიანი პარკის კომპოზიციების შექმნისას, ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას „ღვთაებრივი პროპორციების“ კანონები. პარკის კომპოზიცია ხომ ფოკუსირებული უნდა იყოს მნახველზე შთაბეჭდილების შექმნაზე, რომელიც თავისუფლად შეძლებს მასზე ნავიგაციას და კომპოზიციური ცენტრის პოვნას.

პარკის ყველა ელემენტი არის ისეთი პროპორციებით, რომ გეომეტრიული სტრუქტურის, ფარდობითი პოზიციის, განათებისა და სინათლის დახმარებით ქმნის ჰარმონიისა და სრულყოფილების შთაბეჭდილებას.

ოქროს თანაფარდობის გამოყენება კიბერნეტიკასა და ტექნოლოგიაში

ოქროს მონაკვეთის კანონები და ფიბონაჩის რიცხვები ასევე ჩნდება ენერგეტიკულ გადასვლებში, პროცესებში, რომლებიც მიმდინარეობს ელემენტარულ ნაწილაკებთან, რომლებიც ქმნიან ქიმიურ ნაერთებს, კოსმოსურ სისტემებში და დნმ-ის გენეტიკურ სტრუქტურაში.

მსგავსი პროცესები ხდება ადამიანის სხეულში, რაც ვლინდება მისი ცხოვრების ბიორიტმებში, ორგანოების მოქმედებაში, მაგალითად, ტვინი ან მხედველობა.

ოქროს პროპორციების ალგორითმები და ნიმუშები ფართოდ გამოიყენება თანამედროვე კიბერნეტიკასა და კომპიუტერულ მეცნიერებაში. ერთ-ერთი მარტივი ამოცანა, რომლის გადაჭრაც ახალბედა პროგრამისტებს ეძლევათ, არის ფორმულის დაწერა და ფიბონაჩის რიცხვების ჯამის განსაზღვრა პროგრამირების ენების გამოყენებით გარკვეულ რიცხვამდე.

ოქროს თანაფარდობის თეორიის თანამედროვე კვლევა

მე-20 საუკუნის შუა ხანებიდან მკვეთრად გაიზარდა ინტერესი ადამიანის ცხოვრებაზე ოქროს პროპორციების კანონების პრობლემებისა და გავლენისადმი და სხვადასხვა პროფესიის მრავალი მეცნიერის: მათემატიკოსების, ეთნიკური მკვლევარების, ბიოლოგების, ფილოსოფოსების, სამედიცინო მუშაკების, ეკონომისტების, მუსიკოსების, და ა.შ.

შეერთებულ შტატებში ჟურნალმა The Fibonacci Quarterly-მა გამოცემა დაიწყო 1970-იან წლებში, სადაც გამოქვეყნდა ნაშრომები ამ თემაზე. პრესაში ჩნდება ნამუშევრები, რომლებშიც ოქროს თანაფარდობის და ფიბონაჩის სერიების განზოგადებული წესები გამოიყენება ცოდნის სხვადასხვა სფეროში. მაგალითად, ინფორმაციის კოდირებისთვის, ქიმიური კვლევისთვის, ბიოლოგიური კვლევისთვის და ა.შ.

ეს ყველაფერი ადასტურებს ძველი და თანამედროვე მეცნიერების დასკვნებს, რომ ოქროს პროპორცია მრავალმხრივ არის დაკავშირებული მეცნიერების ფუნდამენტურ საკითხებთან და გამოიხატება ჩვენს გარშემო არსებული სამყაროს მრავალი ქმნილებისა და ფენომენის სიმეტრიაში.

ფიბონაჩის რიცხვები რიცხვითი მიმდევრობის ელემენტებია.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, რომელშიც ყოველი მომდევნო რიცხვი უდრის წინა ორი რიცხვის ჯამს. სახელი ეწოდა შუა საუკუნეების მათემატიკოსის ლეონარდო პიზას (ან ფიბონაჩის) პატივსაცემად, რომელიც ცხოვრობდა და მუშაობდა როგორც ვაჭარი და მათემატიკოსი იტალიის ქალაქ პიზაში. ის თავისი დროის ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი ევროპელი მეცნიერია. მის უდიდეს მიღწევებს შორის იყო არაბული ციფრების შემოღება, რომელმაც შეცვალა რომაული ციფრები. Fn =Fn-1 +Fn-2

მათემატიკური სერია ასიმპტომურად (ანუ უფრო და უფრო ნელა უახლოვდება) მიდრეკილია მუდმივი თანაფარდობისკენ. თუმცა, ეს დამოკიდებულება ირაციონალურია; მას აქვს ათწილადი მნიშვნელობების გაუთავებელი, არაპროგნოზირებადი თანმიმდევრობა მის შემდეგ. ვერასდროს შეიძლება ზუსტად გამოხატოს. თუ თითოეული რიცხვი, რომელიც არის სერიის ნაწილი, იყოფა მის წინამორბედზე (მაგალითად, 13-^8 ან 21 -IZ), მოქმედების შედეგი გამოიხატება თანაფარდობით, რომელიც მერყეობს ირაციონალური რიცხვის გარშემო 1.61803398875, ოდნავ მეტი ან ოდნავ. სერიის მეზობელ კოეფიციენტებზე ნაკლები. თანაფარდობა არასოდეს იქნება უსასრულოდ ზუსტი ბოლო ციფრამდე (თუნდაც ჩვენს დროში შექმნილი ყველაზე ძლიერი კომპიუტერების გამოყენებით). მოკლედ, ჩვენ გამოვიყენებთ 1.618-ს, როგორც ფიბონაჩის თანაფარდობას და ვთხოვთ მკითხველს იცოდეს ეს შეცდომა.

ფიბონაჩის რიცხვები ასევე მნიშვნელოვანია ევკლიდეს ალგორითმის ანალიზის დროს ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის დასადგენად. ფიბონაჩის რიცხვები მოდის პასკალის სამკუთხედის დიაგონალის ფორმულიდან (ბინომიური კოეფიციენტები).

ფიბონაჩის რიცხვები "ოქროს თანაფარდობასთან" დაკავშირებული აღმოჩნდა.

ოქროს თანაფარდობა ცნობილი იყო ძველ ეგვიპტეში და ბაბილონში, ინდოეთსა და ჩინეთში. რა არის "ოქროს თანაფარდობა"? პასუხი ჯერჯერობით უცნობია. ფიბონაჩის რიცხვები ნამდვილად შეესაბამება ჩვენს დროში პრაქტიკის თეორიას. მნიშვნელობის ზრდა მოხდა მე-20 საუკუნეში და გრძელდება დღემდე. ფიბონაჩის რიცხვების გამოყენებამ ეკონომიკასა და კომპიუტერულ მეცნიერებაში მიიპყრო ხალხის მასა მათი შესწავლისკენ.

ჩემი კვლევის მეთოდოლოგია შეადგენდა სპეციალიზებული ლიტერატურის შესწავლას და მიღებული ინფორმაციის შეჯამებას, ასევე საკუთარი კვლევის ჩატარებას და რიცხვების თვისებების და მათი გამოყენების ფარგლებს განსაზღვრას.

სამეცნიერო კვლევის დროს მან განსაზღვრა ფიბონაჩის რიცხვების ცნებები და მათი თვისებები. ასევე გავარკვიე საინტერესო ნიმუშები ცოცხალ ბუნებაში, უშუალოდ მზესუმზირის თესლების სტრუქტურაში.

მზესუმზირაზე თესლი სპირალურადაა განლაგებული, ხოლო მეორე მიმართულებით მიმავალი სპირალების რიცხვი განსხვავებულია - ისინი თანმიმდევრული ფიბონაჩის რიცხვებია.

ამ მზესუმზირას აქვს 34 და 55.

იგივე შეინიშნება ანანასის ნაყოფზე, სადაც 8 და 14 სპირალია.სიმინდის ფოთლები ფიბონაჩის რიცხვების უნიკალურ თვისებას უკავშირდება.

a/b ფორმის ფრაქციები, რომლებიც შეესაბამება მცენარის ღეროს ფეხების ფოთლების სპირალურ განლაგებას, ხშირად წარმოადგენს ფიბონაჩის თანმიმდევრული რიცხვების თანაფარდობას. თხილისთვის ეს თანაფარდობაა 2/3, მუხისთვის 3/5, ვერხვისთვის 5/8, ტირიფისთვის 8/13 და ა.შ.

მცენარის ღეროზე ფოთლების განლაგების დათვალიერებისას, შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ თითოეულ წყვილ ფოთლებს შორის (A და C), მესამე მდებარეობს ოქროს თანაფარდობის ადგილზე (B)

ფიბონაჩის რიცხვის კიდევ ერთი საინტერესო თვისება არის ის, რომ ნებისმიერი ორი განსხვავებული ფიბონაჩის რიცხვის ნამრავლი და კოეფიციენტი, გარდა ერთისა, არასოდეს არის ფიბონაჩის რიცხვი.

კვლევის შედეგად მივედი შემდეგ დასკვნამდე: ფიბონაჩის რიცხვები უნიკალური არითმეტიკული პროგრესიაა, რომელიც გაჩნდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მე-13 საუკუნეში. ეს პროგრესი არ კარგავს აქტუალობას, რაც დადასტურდა ჩემი კვლევის დროს. ფიბონაჩის რიცხვები ასევე გვხვდება პროგრამირებაში და ეკონომიკურ პროგნოზებში, ფერწერაში, არქიტექტურასა და მუსიკაში. ისეთი ცნობილი მხატვრების ნახატები, როგორებიც არიან ლეონარდო და ვინჩი, მიქელანჯელო, რაფაელი და ბოტიჩელი, მალავს ოქროს თანაფარდობის მაგიას. შიშკინმაც კი გამოიყენა ოქროს თანაფარდობა თავის ნახატში "Pine Grove".

ძნელი დასაჯერებელია, მაგრამ ოქროს თანაფარდობა ასევე გვხვდება ისეთი დიდი კომპოზიტორების მუსიკალურ ნაწარმოებებში, როგორიცაა მოცარტი, ბეთჰოვენი, შოპენი და ა.შ.

ფიბონაჩის რიცხვები ასევე გვხვდება არქიტექტურაში. მაგალითად, ოქროს თანაფარდობა გამოიყენეს პართენონისა და ღვთისმშობლის ტაძრის მშენებლობაში.

აღმოვაჩინე, რომ ფიბონაჩის ნომრები გამოიყენება ჩვენს მხარეშიც. მაგალითად, სახლის მორთვა, პედიმენტები.

ფიბონაჩის რიცხვები... ბუნებაში და ცხოვრებაში

ლეონარდო ფიბონაჩი შუა საუკუნეების ერთ-ერთი უდიდესი მათემატიკოსია. ფიბონაჩის ერთ-ერთ ნაშრომში „გამოთვლების წიგნში“ აღწერა ინდო-არაბული გამოთვლის სისტემა და მისი გამოყენების უპირატესობა რომაულთან შედარებით.

განმარტება
ფიბონაჩის რიცხვები ან ფიბონაჩის მიმდევრობა არის რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელსაც აქვს მრავალი თვისება. მაგალითად, ორი მიმდებარე რიცხვის ჯამი მიმდევრობაში იძლევა შემდეგის მნიშვნელობას (მაგალითად, 1+1=2; 2+3=5 და ა.შ.), რაც ადასტურებს ე.წ. ფიბონაჩის კოეფიციენტების არსებობას. , ე.ი. მუდმივი კოეფიციენტები.

ფიბონაჩის მიმდევრობა იწყება ასე: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

ფიბონაჩის რიცხვების სრული განმარტება

3.

ფიბონაჩის მიმდევრობის თვისებები

1. ყოველი რიცხვის შეფარდება მომდევნო რიცხვთან სულ უფრო და უფრო მიდრეკილია 0,618-მდე, როგორც სერიული ნომერი იზრდება. თითოეული რიცხვის შეფარდება წინა რიცხვთან მიდრეკილია 1,618-მდე (0,618-ის საპირისპირო). რიცხვს 0.618 ეწოდება (FI).

2. თითოეული რიცხვის შემდეგ რიცხვზე გაყოფისას რიცხვი ერთის შემდეგ არის 0,382; პირიქით – შესაბამისად 2.618.

3. კოეფიციენტების ამ გზით არჩევით მივიღებთ ფიბონაჩის კოეფიციენტების ძირითად კომპლექტს: ... 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.

კავშირი ფიბონაჩის მიმდევრობასა და "ოქროს თანაფარდობას" შორის

ფიბონაჩის თანმიმდევრობა ასიმპტომურად (უახლოვდება ნელა და ნელა) მიდრეკილია რაღაც მუდმივ ურთიერთობაზე. თუმცა, ეს თანაფარდობა ირაციონალურია, ანუ ის წარმოადგენს რიცხვს წილადის ნაწილებში ათობითი ციფრების უსასრულო, არაპროგნოზირებადი თანმიმდევრობით. მისი ზუსტად გამოხატვა შეუძლებელია.

თუ ფიბონაჩის მიმდევრობის რომელიმე წევრი იყოფა მის წინამორბედზე (მაგალითად, 13:8), შედეგი იქნება მნიშვნელობა, რომელიც მერყეობს ირაციონალური მნიშვნელობის გარშემო 1.61803398875... და ზოგჯერ აღემატება მას, ზოგჯერ არ აღწევს. მაგრამ მარადისობის დახარჯვის შემდეგაც კი, შეუძლებელია ზუსტად გაარკვიო თანაფარდობა ბოლო ათობითი ციფრამდე. მოკლედ წარმოგიდგენთ 1.618-ის სახით. ამ თანაფარდობისთვის სპეციალური სახელების მიცემა მანამდეც დაიწყო, სანამ ლუკა პაჩიოლი (შუა საუკუნეების მათემატიკოსი) მას ღვთაებრივ პროპორციას უწოდებდა. მის თანამედროვე სახელებს შორისაა ოქროს თანაფარდობა, ოქროს საშუალო და მბრუნავი კვადრატების თანაფარდობა. კეპლერმა ამ ურთიერთობას უწოდა ერთ-ერთი "გეომეტრიის საგანძური". ალგებრაში, ზოგადად მიღებულია, რომ აღინიშნება ბერძნული ასო ფი

წარმოვიდგინოთ ოქროს თანაფარდობა სეგმენტის მაგალითის გამოყენებით.

განვიხილოთ სეგმენტი A და B ბოლოებით. მოდით, წერტილი C გაყოს AB სეგმენტი ისე, რომ:

AC/CB = CB/AB ან

AB/CB = CB/AC.

თქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ ეს დაახლოებით ასე: A-–C--–B

ოქროს თანაფარდობა არის სეგმენტის ისეთი პროპორციული დაყოფა არათანაბარ ნაწილებად, რომელშიც მთელი სეგმენტი დაკავშირებულია უფრო დიდ ნაწილთან, როგორც თავად უფრო დიდი ნაწილი დაკავშირებულია პატარასთან; ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პატარა სეგმენტი არის უფრო დიდი, როგორც დიდი არის მთელი.

ოქროს პროპორციის სეგმენტები გამოიხატება როგორც უსასრულო ირაციონალური წილადი 0,618..., თუ AB ავიღეთ როგორც ერთი, AC = 0,382.. როგორც უკვე ვიცით, რიცხვები 0,618 და 0,382 არის ფიბონაჩის მიმდევრობის კოეფიციენტები.

ფიბონაჩის პროპორციები და ოქროს თანაფარდობა ბუნებასა და ისტორიაში

10.

მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ფიბონაჩის თითქოს შეახსენა კაცობრიობას მისი თანმიმდევრობა. იგი ცნობილი იყო ძველი ბერძნებისა და ეგვიპტელებისთვის. და მართლაც, მას შემდეგ ფიბონაჩის კოეფიციენტებით აღწერილი ნიმუშები ნაპოვნი იქნა ბუნებაში, არქიტექტურაში, სახვით ხელოვნებაში, მათემატიკაში, ფიზიკაში, ასტრონომიაში, ბიოლოგიაში და ბევრ სხვა სფეროში. გასაოცარია, რამდენი მუდმივი შეიძლება გამოითვალოს ფიბონაჩის მიმდევრობით და როგორ ჩნდება მისი ტერმინები კომბინაციების უზარმაზარ რაოდენობაში. თუმცა, გაზვიადებული არ არის იმის თქმა, რომ ეს არ არის მხოლოდ თამაში რიცხვებთან, არამედ ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკური გამოხატულება ბუნებრივი ფენომენების ოდესმე აღმოჩენილი.

11.

ქვემოთ მოყვანილი მაგალითები აჩვენებს ამ მათემატიკური მიმდევრობის რამდენიმე საინტერესო გამოყენებას.

12.

1. ნიჟარა ხვეულია სპირალურად. თუ გაშლით, გველის სიგრძეზე ოდნავ მოკლე სიგრძე მიიღებთ. პატარა ათი სანტიმეტრიან გარსს აქვს 35 სმ სიგრძის სპირალი, სპირალურად დახვეული ჭურვის ფორმამ არქიმედეს ყურადღება მიიპყრო. ფაქტია, რომ ჭურვის ხვეულების ზომების თანაფარდობა მუდმივია და ტოლია 1.618. არქიმედესმა შეისწავლა ჭურვების სპირალი და გამოიტანა სპირალის განტოლება. ამ განტოლების მიხედვით დახატულ სპირალს მისი სახელი ჰქვია. მისი ნაბიჯის ზრდა ყოველთვის ერთგვაროვანია. ამჟამად არქიმედეს სპირალი ფართოდ გამოიყენება ტექნოლოგიაში.

2. მცენარეები და ცხოველები. გოეთემ ასევე ხაზი გაუსვა ბუნების სპირალურობისკენ მიდრეკილებას. ხის ტოტებზე ფოთლების ხვეული და სპირალური განლაგება დიდი ხნის წინ შენიშნეს. სპირალი ჩანდა მზესუმზირის, ფიჭვის გირჩების, ანანასის, კაქტუსების და ა.შ. ბოტანიკოსებისა და მათემატიკოსების ერთობლივმა მუშაობამ ნათელი მოჰფინა ამ საოცარ ბუნებრივ მოვლენებს. აღმოჩნდა, რომ მზესუმზირის თესლისა და ფიჭვის გირჩების ტოტზე ფოთლების განლაგებისას ფიბონაჩის სერია ვლინდება და, შესაბამისად, ვლინდება ოქროს თანაფარდობის კანონი. ობობა თავის ქსელს სპირალისებურად ქსოვს. ქარიშხალი სპირალივით ტრიალებს. ირმის შეშინებული ნახირი სპირალურად იფანტება. დნმ-ის მოლეკულა გრეხილია ორმაგ სპირალში. გოეთემ სპირალს "სიცოცხლის მრუდი" უწოდა.

გზისპირა ბალახებს შორის იზრდება არაჩვეულებრივი მცენარე - ვარდკაჭაჭა. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ მას. ძირითადი ღეროდან ჩამოყალიბდა გასროლა. პირველი ფოთოლი სწორედ იქ იყო განთავსებული. გასროლა ძლიერად აფრქვევს სივრცეში, ჩერდება, ათავისუფლებს ფოთოლს, მაგრამ ამჯერად ის უფრო მოკლეა ვიდრე პირველი, ისევ აფრქვევს სივრცეში, მაგრამ ნაკლები ძალით, ათავისუფლებს კიდევ უფრო მცირე ზომის ფოთოლს და ისევ ამოდის. . თუ პირველი ემისია აღებულია 100 ერთეულით, მაშინ მეორე უდრის 62 ერთეულს, მესამე – 38, მეოთხე – 24 და ა.შ. ფურცლების სიგრძე ასევე ექვემდებარება ოქროს პროპორციას. ზრდისა და სივრცის დაპყრობისას მცენარე ინარჩუნებდა გარკვეულ პროპორციებს. მისი ზრდის იმპულსები თანდათან მცირდებოდა ოქროს თანაფარდობის პროპორციულად.

ხვლიკი ცოცხალია. ერთი შეხედვით, ხვლიკს აქვს ჩვენი თვალისთვის სასიამოვნო პროპორციები - მისი კუდის სიგრძე დაკავშირებულია დანარჩენი სხეულის სიგრძესთან, როგორც 62-დან 38-მდე.

როგორც მცენარეულ, ისე ცხოველურ სამყაროში, ბუნების ფორმირების ტენდენცია მუდმივად იშლება - სიმეტრია ზრდისა და მოძრაობის მიმართულებასთან დაკავშირებით. აქ ოქროს თანაფარდობა ჩნდება ზრდის მიმართულების პერპენდიკულარული ნაწილების პროპორციებში. ბუნებამ განახორციელა დაყოფა სიმეტრიულ ნაწილებად და ოქროს პროპორციებად. ნაწილები ავლენენ მთლიანის სტრუქტურის გამეორებას.

პიერ კიურიმ ამ საუკუნის დასაწყისში ჩამოაყალიბა მრავალი ღრმა იდეა სიმეტრიის შესახებ. ის ამტკიცებდა, რომ არ შეიძლება ნებისმიერი სხეულის სიმეტრიის განხილვა გარემოს სიმეტრიის გათვალისწინების გარეშე. ოქროს სიმეტრიის კანონები ვლინდება ელემენტარული ნაწილაკების ენერგეტიკულ გადასვლებში, ზოგიერთი ქიმიური ნაერთების სტრუქტურაში, პლანეტარული და კოსმოსური სისტემებში, ცოცხალი ორგანიზმების გენურ სტრუქტურებში. ეს შაბლონები, როგორც ზემოთ აღინიშნა, არსებობს ადამიანის ცალკეული ორგანოებისა და მთლიანად სხეულის სტრუქტურაში და ასევე ვლინდება თავის ტვინის ბიორიტმებსა და ფუნქციონირებაში და ვიზუალურ აღქმაში.

3. სივრცე. ასტრონომიის ისტორიიდან ცნობილია, რომ მე-18 საუკუნის გერმანელმა ასტრონომმა ი.ტიციუსმა ამ სერიის (ფიბონაჩის) დახმარებით აღმოაჩინა ნიმუში და წესრიგი მზის სისტემის პლანეტებს შორის მანძილებში.

თუმცა, ერთი შემთხვევა, რომელიც თითქოს ეწინააღმდეგებოდა კანონს: არ იყო პლანეტა მარსსა და იუპიტერს შორის. ცის ამ ნაწილზე ფოკუსირებულმა დაკვირვებამ გამოიწვია ასტეროიდების სარტყლის აღმოჩენა. ეს მოხდა მე-19 საუკუნის დასაწყისში ტიციუსის გარდაცვალების შემდეგ.

ფიბონაჩის სერია ფართოდ გამოიყენება: იგი გამოიყენება ცოცხალი არსებების არქიტექტონიკის, ადამიანის მიერ შექმნილი სტრუქტურებისა და გალაქტიკების სტრუქტურის წარმოსაჩენად. ეს ფაქტები რიცხვთა სერიის დამოუკიდებლობის მტკიცებულებაა მისი გამოვლინების პირობებისგან, რაც მისი უნივერსალურობის ერთ-ერთი ნიშანია.

4. პირამიდები. ბევრმა სცადა გიზაში პირამიდის საიდუმლოების ამოხსნა. სხვა ეგვიპტური პირამიდებისგან განსხვავებით, ეს არ არის სამარხი, არამედ რიცხვების კომბინაციების გადაუჭრელი თავსატეხი. პირამიდის არქიტექტორების მიერ მარადიული სიმბოლოს აგებისას გამოჩენილი გამომგონებლობა, უნარი, დრო და შრომა მიუთითებს იმ გზავნილის უკიდურეს მნიშვნელობაზე, რომელიც მათ სურდათ გადაეცათ მომავალი თაობებისთვის. მათი ეპოქა იყო წინასწარმეტყველური, პრეიეროგლიფური და სიმბოლოები აღმოჩენების ჩაწერის ერთადერთი საშუალება იყო. გიზას პირამიდის გეომეტრიულ-მათემატიკური საიდუმლოს გასაღები, რომელიც კაცობრიობისთვის ამდენი ხნის განმავლობაში საიდუმლო იყო, ფაქტობრივად ჰეროდოტეს გადაეცა ტაძრის ქურუმებმა, რომლებმაც აცნობეს, რომ პირამიდა აშენდა ისე, რომ ტერიტორია მისი თითოეული სახე სიმაღლის კვადრატის ტოლი იყო.

სამკუთხედის ფართობი

356 x 440 / 2 = 78320

მოედანზე ფართობი

280 x 280 = 78400

გიზაში პირამიდის ფუძის კიდის სიგრძეა 783,3 ფუტი (238,7 მ), პირამიდის სიმაღლე 484,4 ფუტი (147,6 მ). ფუძის კიდის სიგრძე გაყოფილი სიმაღლეზე მივყავართ შეფარდებას Ф=1,618. 484,4 ფუტის სიმაღლე შეესაბამება 5813 ინჩს (5-8-13) - ეს არის ფიბონაჩის მიმდევრობის რიცხვები. ეს საინტერესო დაკვირვებები ვარაუდობს, რომ პირამიდის დიზაინი ეფუძნება Ф=1,618 პროპორციას. ზოგიერთი თანამედროვე მეცნიერი მიდრეკილია იმის ინტერპრეტაციაზე, რომ ძველი ეგვიპტელები ააგეს ის ერთადერთი მიზნით, გადაეცათ ცოდნა, რომელიც მათ სურდათ შეენარჩუნებინათ მომავალი თაობებისთვის. გიზას პირამიდის ინტენსიურმა კვლევებმა აჩვენა, თუ რამდენად ფართო იყო იმ დროს მათემატიკისა და ასტროლოგიის ცოდნა. პირამიდის ყველა შიდა და გარე პროპორციებში, რიცხვი 1.618 თამაშობს ცენტრალურ როლს.

პირამიდები მექსიკაში. არა მხოლოდ ეგვიპტური პირამიდები აშენდა ოქროს თანაფარდობის სრულყოფილი პროპორციების შესაბამისად, იგივე ფენომენი აღმოაჩინეს მექსიკის პირამიდებში. ჩნდება აზრი, რომ ეგვიპტური და მექსიკის პირამიდები დაახლოებით ერთსა და იმავე დროს აღმართეს საერთო წარმოშობის ადამიანების მიერ.

ფიბონაჩის თანმიმდევრობა, რომელიც ცნობილი გახდა ფილმისა და წიგნის „და ვინჩის კოდის“ წყალობით, არის რიცხვების სერია, რომელიც მიღებულია იტალიელი მათემატიკოსის ლეონარდო პიზას მიერ, რომელიც უფრო ცნობილია მისი ფსევდონიმით ფიბონაჩის მიერ, მეცამეტე საუკუნეში. მეცნიერის მიმდევრებმა შენიშნეს, რომ ფორმულა, რომელსაც ექვემდებარება რიცხვების ეს სერია, აისახება ჩვენს გარშემო არსებულ სამყაროში და ეხმიანება სხვა მათემატიკურ აღმოჩენებს, რითაც გვიხსნის კარს სამყაროს საიდუმლოებამდე. ამ სტატიაში ჩვენ გეტყვით რა არის ფიბონაჩის თანმიმდევრობა, გადავხედოთ მაგალითებს, თუ როგორ არის ეს ნიმუში ნაჩვენები ბუნებაში და ასევე შევადაროთ მას სხვა მათემატიკურ თეორიებთან.

ცნების ფორმულირება და განმარტება

ფიბონაჩის სერია არის მათემატიკური მიმდევრობა, რომელშიც თითოეული ელემენტი უდრის წინა ორის ჯამს. მიმდევრობის გარკვეული წევრი ავღნიშნოთ როგორც x n. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ფორმულას, რომელიც მოქმედებს მთელი სერიისთვის: x n+2 = x n + x n+1. ამ შემთხვევაში, მიმდევრობის თანმიმდევრობა ასე გამოიყურება: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. შემდეგი რიცხვი იქნება 55, რადგან 21-ისა და 34-ის ჯამი არის 55. ასე შემდეგ იგივე პრინციპით.

მაგალითები გარემოში

თუ გადავხედავთ მცენარეს, კერძოდ, ფოთლების გვირგვინს, შევამჩნევთ, რომ ისინი სპირალურად ყვავის. მიმდებარე ფოთლებს შორის იქმნება კუთხეები, რომლებიც თავის მხრივ ქმნიან ფიბონაჩის სწორ მათემატიკურ მიმდევრობას. ამ მახასიათებლის წყალობით, ხეზე ამოსული თითოეული ცალკეული ფოთოლი იღებს მზის და სითბოს მაქსიმალურ რაოდენობას.

ფიბონაჩის მათემატიკური გამოცანა

ცნობილმა მათემატიკოსმა თავისი თეორია გამოცანის სახით წარმოადგინა. ასე ჟღერს. თქვენ შეგიძლიათ მოათავსოთ კურდღლის წყვილი შეზღუდულ სივრცეში, რათა გაიგოთ რამდენი წყვილი კურდღელი დაიბადება ერთ წელიწადში. ამ ცხოველების ბუნების გათვალისწინებით, ის ფაქტი, რომ ყოველთვიურად წყვილს შეუძლია შექმნას ახალი წყვილი და ისინი მზად არიან გამრავლებისთვის ორი თვის შემდეგ, მან საბოლოოდ მიიღო თავისი ცნობილი რიცხვების სერია: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - რომელიც აჩვენებს კურდღლების ახალი წყვილის რაოდენობას ყოველ თვეში.

ფიბონაჩის მიმდევრობა და პროპორციული ურთიერთობა

ამ სერიას აქვს რამდენიმე მათემატიკური ნიუანსი, რომელიც გასათვალისწინებელია. ნელა და ნელა უახლოვდება (ასიმპტომურად), ის მიდრეკილია გარკვეული პროპორციული ურთიერთობისკენ. მაგრამ ეს ირაციონალურია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის რიცხვი, რომელსაც აქვს ათობითი რიცხვების არაპროგნოზირებადი და უსასრულო მიმდევრობა წილადის ნაწილში. მაგალითად, სერიის ნებისმიერი ელემენტის თანაფარდობა მერყეობს 1.618 ფიგურის გარშემო, ზოგჯერ აღემატება მას, ზოგჯერ აღწევს მას. შემდეგი ანალოგიით უახლოვდება 0,618-ს. რომელიც უკუპროპორციულია 1.618 რიცხვისა. ელემენტებს თუ გავყოფთ ერთზე, მივიღებთ 2.618 და 0.382. როგორც უკვე მიხვდით, ისინი ასევე უკუპროპორციულია. მიღებულ რიცხვებს ფიბონაჩის კოეფიციენტები ეწოდება. ახლა ავხსნათ, რატომ გავაკეთეთ ეს გამოთვლები.

ოქროს რადიო

ჩვენ გარშემო არსებულ ყველა ობიექტს გარკვეული კრიტერიუმების მიხედვით განვასხვავებთ. ერთ-ერთი მათგანი ფორმაა. ზოგი უფრო მეტად გვხიბლავს, ზოგი ნაკლებად, ზოგი კი საერთოდ არ მოგვწონს. შენიშნა, რომ სიმეტრიული და პროპორციული ობიექტი ბევრად უფრო ადვილად აღიქვამს ადამიანს და იწვევს ჰარმონიისა და სილამაზის განცდას. სრული სურათი ყოველთვის მოიცავს სხვადასხვა ზომის ნაწილებს, რომლებიც გარკვეულ ურთიერთობაშია ერთმანეთთან. აქედან მოყვება პასუხი კითხვაზე, თუ რას ჰქვია ოქროს თანაფარდობა. ეს კონცეფცია ნიშნავს მთლიანსა და ნაწილებს შორის ურთიერთობის სრულყოფას ბუნებაში, მეცნიერებაში, ხელოვნებაში და ა.შ. მათემატიკური თვალსაზრისით განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი. ავიღოთ ნებისმიერი სიგრძის სეგმენტი და გავყოთ ორ ნაწილად ისე, რომ პატარა ნაწილი უფრო დიდთან იყოს დაკავშირებული, როგორც ჯამი (მთელი სეგმენტის სიგრძე) უფრო დიდს. მაშ ასე, ავიღოთ სეგმენტი თანღირებულებით ერთი. მისი ნაწილი ატოლი იქნება 0,618, მეორე ნაწილი ბთურმე 0,382-ის ტოლია. ამრიგად, ჩვენ ვიცავთ ოქროს თანაფარდობის პირობას. ხაზის სეგმენტის თანაფარდობა გრომ აუდრის 1.618. და ნაწილების მიმართება გდა ბ- 2.618. ჩვენ ვიღებთ ფიბონაჩის კოეფიციენტებს, რომლებიც უკვე ვიცით. ოქროს სამკუთხედი, ოქროს მართკუთხედი და ოქროს კუბოიდი აგებულია იმავე პრინციპით. ასევე აღსანიშნავია, რომ ადამიანის სხეულის ნაწილების პროპორციული თანაფარდობა ახლოსაა ოქროს თანაფარდობასთან.

არის თუ არა ყველაფრის საფუძველი ფიბონაჩის მიმდევრობა?

შევეცადოთ გავაერთიანოთ ოქროს განყოფილების თეორია და იტალიელი მათემატიკოსის ცნობილი სერია. დავიწყოთ პირველი ზომის ორი კვადრატით. შემდეგ ზემოდან დაამატეთ მეორე ზომის კიდევ ერთი კვადრატი. გვერდით დავხატოთ იგივე ფიგურა გვერდის სიგრძით, რომელიც უდრის წინა ორი მხარის ჯამს. ანალოგიურად, დახაზეთ კვადრატი ხუთი ზომის. და თქვენ შეგიძლიათ გააგრძელოთ ეს რეკლამა უსასრულოდ, სანამ არ მოგბეზრდებათ. მთავარია, რომ ყოველი მომდევნო კვადრატის გვერდის ზომა უდრის წინა ორის გვერდითა ზომის ჯამს. ჩვენ ვიღებთ მრავალკუთხედების სერიას, რომელთა გვერდის სიგრძეა ფიბონაჩის რიცხვები. ამ ფიგურებს ფიბონაჩის მართკუთხედები ეწოდება. მოდით გავავლოთ გლუვი ხაზი ჩვენი მრავალკუთხედების კუთხეებში და მივიღოთ... არქიმედეს სპირალი! მოცემული ფიგურის საფეხურის ზრდა, როგორც ცნობილია, ყოველთვის ერთგვაროვანია. თუ იყენებთ თქვენს ფანტაზიას, შედეგად მიღებული ნახატი შეიძლება ასოცირდებოდეს მოლუსკის ნაჭუჭთან. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფიბონაჩის მიმდევრობა არის გარემომცველ სამყაროში ელემენტების პროპორციული, ჰარმონიული ურთიერთობის საფუძველი.

მათემატიკური მიმდევრობა და სამყარო

თუ კარგად დააკვირდებით, არქიმედეს სპირალი (ზოგჯერ აშკარად, ზოგჯერ ფარულად) და, შესაბამისად, ფიბონაჩის პრინციპი შეიძლება გამოიკვლიოს ადამიანის გარშემო არსებულ ბევრ ნაცნობ ბუნებრივ ელემენტში. მაგალითად, მოლუსკის იგივე ნაჭუჭი, ჩვეულებრივი ბროკოლის ყვავილები, მზესუმზირის ყვავილი, წიწვოვანი მცენარის კონუსი და ა.შ. თუ უფრო შორს გავიხედავთ, დავინახავთ ფიბონაჩის მიმდევრობას უსასრულო გალაქტიკებში. ადამიანიც კი, ბუნებით შთაგონებული და მისი ფორმების მიღებით, ქმნის ობიექტებს, რომლებშიც ზემოაღნიშნული სერიების მიკვლევა შესაძლებელია. ახლა დროა გავიხსენოთ ოქროს თანაფარდობა. ფიბონაჩის შაბლონთან ერთად, ამ თეორიის პრინციპების მიკვლევა შესაძლებელია. არსებობს ვერსია, რომ ფიბონაჩის მიმდევრობა ბუნების ერთგვარი გამოცდაა ოქროს თანაფარდობის უფრო სრულყოფილ და ფუნდამენტურ ლოგარითმულ მიმდევრობასთან ადაპტაციისთვის, რომელიც თითქმის იდენტურია, მაგრამ დასაწყისი არ აქვს და უსასრულოა. ბუნების ნიმუში ისეთია, რომ მას უნდა ჰქონდეს თავისი მიმართვის წერტილი, საიდანაც უნდა დაიწყოს რაიმე ახლის შექმნა. ფიბონაჩის სერიის პირველი ელემენტების თანაფარდობა შორს არის ოქროს თანაფარდობის პრინციპებისგან. თუმცა, რაც უფრო გავაგრძელებთ, მით უფრო იშლება ეს შეუსაბამობა. თანმიმდევრობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი სამი ელემენტი, რომლებიც ერთმანეთის მიყოლებით მოდის. ოქროს მიმდევრობისთვის ორი საკმარისია. ვინაიდან ეს არის როგორც არითმეტიკული, ასევე გეომეტრიული პროგრესია.

დასკვნა

მიუხედავად ამისა, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, შეიძლება საკმაოდ ლოგიკური კითხვების დასმა: „საიდან გაჩნდა ეს რიცხვები? ვინ არის მთელი მსოფლიოს სტრუქტურის ავტორი, რომელიც ცდილობდა მისი იდეალური გახადა? იყო თუ არა ყველაფერი ისე, როგორც მას სურდა? თუ მაშ, რატომ მოხდა მარცხი? რა მოხდება შემდეგ?" როდესაც იპოვით პასუხს ერთ კითხვაზე, მიიღებთ შემდეგს. მოვაგვარე - კიდევ ორი ჩანს. მათი გადაჭრის შემდეგ, თქვენ მიიღებთ კიდევ სამს. მათთან გამკლავების შემდეგ, თქვენ მიიღებთ ხუთ გადაუჭრელს. მერე რვა, მერე ცამეტი, ოცდაერთი, ოცდათოთხმეტი, ორმოცდათხუთმეტი...