მე-11 კლასი ორლოვა ე.ვ.
"ანტიდერივატიული და განუსაზღვრელი ინტეგრალი"
სლაიდი 1
გაკვეთილის მიზნები:
საგანმანათლებლო : ანტიდერივატივის ცნების ჩამოყალიბება და კონსოლიდაცია, სხვადასხვა დონის ანტიდერივატიული ფუნქციების პოვნა.
განმავითარებელი: მოსწავლეთა გონებრივი აქტივობის განვითარება ანალიზის, შედარების, განზოგადებისა და სისტემატიზაციის ოპერაციებზე დაყრდნობით.
საგანმანათლებლო: ჩამოაყალიბოს მოსწავლეთა იდეოლოგიური შეხედულებები, ჩაუნერგოს წარმატების განცდა მიღებულ შედეგებზე პასუხისმგებლობისგან.
გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის სწავლა.
აღჭურვილობა:კომპიუტერი, მულტიმედიური დაფა.
სწავლის მოსალოდნელი შედეგები:სტუდენტმა უნდა
წარმოებული განმარტება
ანტიდერივატი განსაზღვრულია ორაზროვნად.
იპოვნეთ ანტიდერივატიული ფუნქციები უმარტივეს შემთხვევებში
შეამოწმეთ არის თუ არა ფუნქცია ანტიწარმოებული მოცემულ დროის ინტერვალზე.
გაკვეთილების დროს
ორგანიზების დრო სლაიდი 2
საშინაო დავალების შემოწმება
თემის, გაკვეთილის მიზნის, მიზნებისა და სასწავლო აქტივობების მოტივაციის კომუნიკაცია.
დაფაზე:
წარმოებული - აწარმოებს ახალ ფუნქციას.
ანტიდერივატი - "პირველადი სურათი".
4. ცოდნის განახლება, ცოდნის სისტემატიზაცია შედარებით.
დიფერენციაცია - წარმოებულის პოვნა.
ინტეგრაცია - ფუნქციის აღდგენა მოცემული წარმოებულიდან.
ახალი სიმბოლოების გაცნობა:
5.ორალური ვარჯიშები:სლაიდი 3
ქულების ნაცვლად, დააყენეთ ფუნქცია, რომელიც აკმაყოფილებს თანასწორობას.
მოსწავლეები ატარებენ თვითტესტს.
მოსწავლეთა ცოდნის კორექტირება.
5. ახალი მასალის შესწავლა.
ა) საპასუხო მოქმედებები მათემატიკაში.
მასწავლებელი: მათემატიკაში არის 2 ურთიერთშებრუნებული ოპერაცია მათემატიკაში. მოდით შევხედოთ მას შედარებით. სლაიდი 4
ბ) ორმხრივი მოქმედებები ფიზიკაში.
მექანიკის განყოფილებაში განხილულია ორი ურთიერთშებრუნებული პრობლემა.
სიჩქარის პოვნა მატერიალური წერტილის მოძრაობის მოცემული განტოლების გამოყენებით (ფუნქციის წარმოებულის პოვნა) და მოძრაობის ტრაექტორიის განტოლების პოვნა ცნობილი სიჩქარის ფორმულის გამოყენებით.
გ) შემოღებულია ანტიწარმოებულისა და განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტება
სლაიდი 5, 6
მასწავლებელი: იმისათვის, რომ დავალება უფრო კონკრეტული გახდეს, უნდა გამოვასწოროთ საწყისი სიტუაცია.
დ) ანტიდერივატების ცხრილი სლაიდი 7
ამოცანები ანტიდერივატების პოვნის უნარის გასავითარებლად - ჯგუფურად მუშაობა სლაიდი 8
ამოცანები განავითაროს უნარი დაამტკიცოს, რომ ანტიდერივატი არის მოცემული ინტერვალის ფუნქციისთვის - წყვილი მუშაობა.
6. ფიზიკური ვარჯიშისლაიდი 9
7. ნასწავლის პირველადი გააზრება და გამოყენება.სლაიდი 10
8. საშინაო დავალების დადგენასლაიდი 11
9. გაკვეთილის შეჯამება.სლაიდი 12
ფრონტალური გამოკითხვისას მოსწავლეებთან ერთად ხდება გაკვეთილის შედეგების შეჯამება, ახალი მასალის ცნების გააზრება შეგნებულად, სმაილიკების სახით.
ყველაფერი მესმოდა, ყველაფერი მოვახერხე.
ნაწილი ვერ გავიგე, ყველაფერი ვერ მოვახერხე.
გაკვეთილის თემა: „ანტიდერივატიული და ინტეგრალური“ მე-11 კლასი (გამეორება)
გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი შეფასებისა და ცოდნის გასწორების შესახებ; გამეორება, განზოგადება, ცოდნის, უნარების ჩამოყალიბება.
გაკვეთილის დევიზი : არ არის სირცხვილი, რომ არ იცოდე, სირცხვილია არ ისწავლო.
გაკვეთილის მიზნები:
- საგანმანათლებლო: გაიმეორეთ თეორიული მასალა; განივითარონ ანტიწარმოებულების პოვნის, მრუდი ტრაპეციის ინტეგრალების და ფართობების გამოთვლის უნარები.
- საგანმანათლებლო: განუვითარდებათ დამოუკიდებელი აზროვნების უნარები, ინტელექტუალური უნარები (ანალიზი, სინთეზი, შედარება, შედარება), ყურადღება, მეხსიერება.
- საგანმანათლებლო: მოსწავლეთა მათემატიკური კულტურის აღზრდა, შესწავლილი მასალისადმი ინტერესის გაზრდა, UNT-ისთვის მომზადება.
გაკვეთილის მონახაზი გეგმა.
ᲛᲔ. ორგანიზების დრო
II. მოსწავლეთა საბაზისო ცოდნის განახლება.
1. კლასთან ზეპირი მუშაობა, რათა გაიმეოროთ განმარტებები და თვისებები:
1. რას ჰქვია მრუდე ტრაპეცია?
2. რა არის f(x)=x2 ფუნქციის ანტიწარმოებული?
3. რა არის ფუნქციის მუდმივობის ნიშანი?
4. რას ეწოდება ანტიწარმოებული F(x) xI-ზე f(x) ფუნქციისთვის?
5. რა არის f(x)=sinx ფუნქციის ანტიწარმოებული?
6. მართალია დებულება: „ფუნქციების ჯამის ანტიწარმოებული ტოლია მათი ანტიწარმოებულების ჯამისა“?
7. რა არის ანტიწარმოებულის ძირითადი თვისება?
8. რა არის f(x)= ფუნქციის ანტიწარმოებული.
9. მართალია თუ არა დებულება: „ფუნქციების ნამრავლის ანტიწარმოებული ტოლია მათი ნამრავლის
პროტოტიპები"?
10. რას ჰქვია განუსაზღვრელი ინტეგრალი?
11.რას ჰქვია განსაზღვრული ინტეგრალი?
12.დაასახელეთ განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენების რამდენიმე მაგალითი გეომეტრიასა და ფიზიკაში.
პასუხები
1. y=f(x), y=0, x=a, x=b ფუნქციების გრაფიკებით შემოსაზღვრულ ფიგურას მრუდი ტრაპეცია ეწოდება.
2. F(x)=x3/3+C.
3. თუ F`(x0)=0 რომელიმე ინტერვალზე, მაშინ ფუნქცია F(x) მუდმივია ამ ინტერვალზე.
4. F(x) ფუნქციას ეწოდება ანტიწარმოებული f(x) ფუნქციისთვის მოცემულ ინტერვალზე, თუ ყველა x ამ ინტერვალიდან F`(x)=f(x).
5. F(x)= - cosx+C.
6. დიახ, ასეა. ეს არის ანტიდერივატების ერთ-ერთი თვისება.
7. მოცემულ ინტერვალზე f ფუნქციის ნებისმიერი ანტიწარმოებული შეიძლება ჩაიწეროს ფორმით
F(x)+C, სადაც F(x) არის ერთ-ერთი ანტიდერივატი f(x) ფუნქციისთვის მოცემულ ინტერვალზე და C არის
თვითნებური მუდმივი.
9. არა, ეს ასე არ არის. პრიმიტივების ასეთი თვისება არ არსებობს.
10. თუ ფუნქციას y=f(x) აქვს ანტიწარმოებული y=F(x) მოცემულ ინტერვალზე, მაშინ ყველა ანტიწარმოებულის y=F(x)+C-ს ეწოდება y=f ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი. (x).
11. განსხვავება ანტიდერივატიული ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის წერტილებში b და a ფუნქციისთვის y = f (x) ინტერვალზე [a; ბ ] ეწოდება f(x) ფუნქციის განსაზღვრულ ინტეგრალს ინტერვალზე [ა ; ბ ] .
12.. მრუდი ტრაპეციის ფართობის, სხეულების მოცულობების გამოთვლა და სხეულის სიჩქარის გამოთვლა დროის გარკვეულ მონაკვეთში.
ინტეგრალის გამოყენება. (დამატებით ჩაწერეთ რვეულებში)
რაოდენობები
წარმოებული გამოთვლა
ინტეგრალის გამოთვლა
s – მოძრაობა,
A - აჩქარება
A(t) =
Სამუშაო,
F - ძალა,
N - სიმძლავრე
F(x) = A"(x)
N(t) = A"(t)
მ - თხელი ღეროს მასა,
ხაზოვანი სიმკვრივე
(x) = m"(x)
q – ელექტრული მუხტი,
I - მიმდინარე ძალა
I(t) = q(t)
Q - სითბოს რაოდენობა
C - სითბოს მოცულობა
c(t) = Q"(t)
ანტიდერივატების გამოთვლის წესები
- თუ F არის f-ის ანტიდერივატი, ხოლო G არის ანტიწარმოებული g-სთვის, მაშინ F+G არის f+g-ის ანტიწარმოებული.
თუ F არის f-ის ანტიდერივატი და k არის მუდმივი, მაშინ kF არის kf-ის ანტიწარმოებული.
თუ F(x) არის f(x)-ის ანტიწარმოებული, ak, b არის მუდმივები, ხოლო k0, ანუ არის f(kx+b) ანტიწარმოებული.
^4) - ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა.
5) ფიგურის ფართობი S, რომელიც შემოსაზღვრულია სწორი ხაზებით x-a,x=b და უწყვეტი ფუნქციების გრაფიკები ინტერვალზე და ისეთი, რომ ყველა x გამოითვლება ფორმულით.
6) სხეულების მოცულობები, რომლებიც წარმოიქმნება მრუდი ტრაპეციის ბრუნვით, რომელიც შემოსაზღვრულია მრუდით y = f(x), Ox ღერძი და ორი სწორი ხაზი x = a და x = b Ox და Oy ღერძების გარშემო, შესაბამისად გამოითვლება ფორმულები:
იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:(ზეპირად)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
პასუხები:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
III პრობლემების გადაჭრა კლასში
1. გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი: (რვეულებში ერთი მოსწავლე დაფაზე)
ამოცანების დახატვა გადაწყვეტილებებით:
№ 1. იპოვეთ მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია y= x3, y=0, x=-3, x=1 წრფეებით.
გამოსავალი.
-∫ x3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) | + (x4 /4) | = (-3)4 /4 + 1/4 = 82/4 = 20,5
№3. გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია y=x3+1, y=0, x=0 წრფეებით
№ 5.გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოზღუდულია ხაზებით y = 4 -x2, y = 0,
გამოსავალი. პირველ რიგში, მოდით დავხატოთ გრაფიკი ინტეგრაციის საზღვრების დასადგენად. ფიგურა შედგება ორი იდენტური ნაწილისგან. ჩვენ ვიანგარიშებთ ნაწილის ფართობს y-ღერძის მარჯვნივ და ვაორმაგებთ მას.
№ 4.გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია y=1+2sin x, y=0, x=0, x=n/2 წრფეებით
F(x) = x - 2cosx; S = F(n/2) - F(0) = n/2 -2cos n/2 - (0 - 2cos0) = n/2 + 2
გამოთვალეთ მოსახვევი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია თქვენთვის ცნობილი ხაზების გრაფიკებით.
3. გამოთვალეთ დაჩრდილული ფიგურების ფართობები ნახაზებიდან (დამოუკიდებელი მუშაობა წყვილებში)
დავალება: გამოთვალეთ დაჩრდილული ფიგურის ფართობი
დავალება: გამოთვალეთ დაჩრდილული ფიგურის ფართობი
III გაკვეთილის შეჯამება.
ა) რეფლექსია: -რა დასკვნები გამოიტანეთ თქვენთვის გაკვეთილიდან?
ყველას აქვს რაიმე დამოუკიდებლად სამუშაო?
თქვენთვის სასარგებლო იყო გაკვეთილი?
ბ) მოსწავლის მუშაობის ანალიზი
გ) სახლში: გაიმეორეთ ყველა ანტიდერივატიული ფორმულის თვისებები, ფორმულები მრუდი ტრაპეციის ფართობის საპოვნელად, რევოლუციის სხეულების მოცულობა. No136 (შინიბეკოვი)
ღია გაკვეთილი თემაზე
« ანიმიდური და განუსაზღვრელი ინტეგრალი.
განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები“.
2 საათი.
მე-11 კლასი მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით
პრობლემის პრეზენტაცია.
პრობლემაზე დაფუძნებული სწავლის ტექნოლოგიები.
ანიმიდური და განუსაზღვრელი ინტეგრალი.
განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები.
გაკვეთილის მიზანი:
გონებრივი აქტივობის გააქტიურება;
კვლევის მეთოდების ათვისების ხელშეწყობა
- უზრუნველყოს ცოდნის უფრო გრძელვადიანი ათვისება.
გაკვეთილის მიზნები:
ანტიდერივატივის ცნების გაცნობა;
დაამტკიცოს თეორემა მოცემული ფუნქციისთვის ანტიწარმოებულთა სიმრავლის შესახებ (ანტიწარმოებულის განმარტების გამოყენებით);
გააცნოს განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტება;
დაამტკიცოს განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები;
განუვითარდებათ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებების გამოყენების უნარ-ჩვევები.
წინასწარი სამუშაოები:
გაიმეორეთ დიფერენცირების წესები და ფორმულები
დიფერენციალური კონცეფცია.
შემოთავაზებულია პრობლემების გადაჭრა. დაფაზე იწერება დავალებების პირობები.
მოსწავლეები აძლევენ პასუხებს 1, 2 ამოცანების ამოხსნაზე.
(დიფერენციალური გამოყენებით პრობლემების გადაჭრის გამოცდილების განახლება
ციტატა).
1. სხეულის მოძრაობის კანონი S(t), იპოვეთ მისი მყისიერი
სიჩქარე ნებისმიერ დროს.
- V(t) = S(t).
2. იმის ცოდნა, რომ გადინებული ელექტროენერგიის რაოდენობა
გამტარის მეშვეობით გამოიხატება ფორმულით q (t) = 3t 
- 2 ტ,
გამოიყვანეთ ფორმულა დენის სიძლიერის გამოსათვლელად ნებისმიერ შემთხვევაში
დროის მომენტი ტ.
- I (t) = 6t - 2.
3. მოძრავი სხეულის სიჩქარის ცოდნა დროის ყოველ მომენტში,
მე, იპოვე მისი მოძრაობის კანონი.
იმის ცოდნა, რომ დირიჟორზე გამავალი დენის სიძლიერე ნებისმიერში
გავლილი ელექტროენერგიის რაოდენობის განსაზღვრა
დირიჟორის მეშვეობით.
მასწავლებელი: შესაძლებელია თუ არა 3 და 4 ამოცანების ამოხსნა გამოყენებით
საშუალება გვაქვს?
(პრობლემური სიტუაციის შექმნა).
სტუდენტების ვარაუდები:
- ამ პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებელია ოპერაციის დანერგვა,
დიფერენციაციის ინვერსია.
დიფერენციაციის ოპერაცია ადარებს მოცემულს
ფუნქცია F (x) მისი წარმოებული.
F(x) = f(x).
მასწავლებელი: რა არის დიფერენცირების ამოცანა?
სტუდენტების დასკვნა:
მოცემული f (x) ფუნქციის საფუძველზე იპოვეთ ასეთი ფუნქცია
F (x) რომლის წარმოებული არის f (x), ე.ი.
f (x) = F(x) .
ამ ოპერაციას უფრო ზუსტად ინტეგრაცია ჰქვია
განუსაზღვრელი ინტეგრაცია.
მათემატიკის ფილიალს, რომელიც შეისწავლის ფუნქციების ინტეგრირების მოქმედების თვისებებს და მის გამოყენებას ფიზიკასა და გეომეტრიაში ამოცანების ამოხსნაში, ეწოდება ინტეგრალური გამოთვლა.
ინტეგრალური კალკულუსი არის მათემატიკური ანალიზის ფილიალი, დიფერენციალურ გამოთვლებთან ერთად ის ქმნის მათემატიკური ანალიზის აპარატის საფუძველს.
ინტეგრალური გაანგარიშება წარმოიშვა ბუნებისმეტყველებისა და მათემატიკის დიდი რაოდენობის ამოცანების განხილვის შედეგად. მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანი არის მოცემულ დროში გავლილი მანძილის განსაზღვრის ფიზიკური პრობლემა ცნობილი, მაგრამ შესაძლოა ცვლადი მოძრაობის სიჩქარის გამოყენებით და ბევრად უფრო უძველესი დავალება - გეომეტრიული ფიგურების ფართობისა და მოცულობის გამოთვლა.
რა არის ამ საპირისპირო ოპერაციის გაურკვევლობა, ჯერ კიდევ გასარკვევია.
მოდით შემოგთავაზოთ განმარტება. (მოკლედ სიმბოლურად იწერება
Მაგიდაზე).
განმარტება 1. ფუნქცია F (x) განსაზღვრულია რაღაც ინტერვალზე
ke X ეწოდება ანტიწარმოებულს მოცემული ფუნქციისთვის
ერთსა და იმავე ინტერვალზე, თუ ყველა x 
X
თანასწორობა მოქმედებს
F(x) = f (x) ან d F(x) = f (x) dx .
Მაგალითად. (x) = 2x, ამ ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ფუნქცია
x არის ანტიწარმოებული მთელ რიცხვთა ღერძზე
2x ფუნქციისთვის.
ანტიდერივატის განმარტების გამოყენებით შეასრულეთ სავარჯიშო
No2 (1,3,6). შეამოწმეთ, რომ ფუნქცია F არის ანტიდერივატი
noi ფუნქციისთვის f if
1) F (x) =
2 cos 2x, f(x) = x 
- 4 ცოდვა 2x. 2) F (x) = tan 
x - cos 5x, f(x) = 
+ 5 ცოდვა 5x.
3) F (x) = x 
sin x + 
, f (x) = 4x sinx + x cosx + 
.
მოსწავლეები მაგალითების ამოხსნას წერენ დაფაზე და კომენტარს აკეთებენ.
გააფუჭებს თქვენს ქმედებებს.
არის თუ არა ფუნქცია x ერთადერთი ანტიწარმოებული
ფუნქციისთვის 2x?
მოსწავლეები აძლევენ მაგალითებს
x + 3; x - 92 და ა.შ. ,
მოსწავლეები აკეთებენ საკუთარ დასკვნებს:
ნებისმიერ ფუნქციას აქვს უსასრულოდ ბევრი ანტიდერივატი.
x + C ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია, სადაც C არის გარკვეული რიცხვი,
არის x ფუნქციის ანტიდერივატი.
ანტიდერივატიული თეორემა იწერება რვეულში კარნახით.
მასწავლებლები.
თეორემა. თუ f ფუნქციას აქვს ანტიწარმოებული ინტერვალზე
რიცხვითი F, მაშინ ნებისმიერი C რიცხვისთვის არის ასევე ფუნქცია F + C
არის f-ის ანტიწარმოებული. სხვა პროტოტიპები
F ფუნქცია X-ზე არ არის.
მტკიცებულებას ახორციელებენ მოსწავლეები მასწავლებლის ხელმძღვანელობით.
ა) იმიტომ F არის ანტიწარმოებული f-სთვის X ინტერვალზე, მაშინ
F (x) = f (x) ყველა x X-ისთვის.
მაშინ x X-ისთვის ნებისმიერი C გვაქვს:
(F(x) + C) = f(x). ეს ნიშნავს, რომ F (x) + C ასევე არის
f-ის ანტიდერივატი X-ზე.
ბ) დავამტკიცოთ, რომ სხვა ანტიწარმოებულების f ფუნქცია X-ზე
არ აქვს.
დავუშვათ, რომ Φ არის ასევე ანტიწარმოებული f-სთვის X-ზე.
მაშინ Ф(x) = f(x) და შესაბამისად ყველა x X გვაქვს:
F (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, შესაბამისად
Ф - F მუდმივია X-ზე. მოდით, Ф (x) – F (x) = C, მაშინ
Ф (x) = F (x) + C, რაც ნიშნავს ნებისმიერ ანტიწარმოებულს
F ფუნქციას X-ზე აქვს ფორმა F + C.
მასწავლებელი: რა არის ყველა პროტოტიპის პოვნა?
nykh ამ ფუნქციისთვის?
მოსწავლეები აყალიბებენ დასკვნას:
ყველა ანტიდერივატივის პოვნის პრობლემა მოგვარებულია
რომელიმეს აღმოჩენით: თუ ასეთი პრიმიტიული
აღმოჩენილია განსხვავებული, შემდეგ მისგან მიიღება ნებისმიერი სხვა
მუდმივის დამატებით.
მასწავლებელი აყალიბებს განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტებას.
განმარტება 2. f ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლე
ამის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ეწოდება
ფუნქციები.
Დანიშნულება. 
; 
- წაიკითხეთ ინტეგრალი.
= F (x) + C, სადაც F არის ერთ-ერთი ანტიდერივატი
f, C გადის სიმრავლეს
რეალური რიცხვები.
f - ინტეგრანდული ფუნქცია;
f (x)dx - ინტეგრანდ;
x არის ინტეგრაციის ცვლადი;
C არის ინტეგრაციის მუდმივი.
მოსწავლეები სახელმძღვანელოსგან დამოუკიდებლად სწავლობენ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებებს და წერენ რვეულებში.
.
მოსწავლეები წერენ ამონახსნებს რვეულებში, მუშაობენ დაფაზე
1. ახლახან განვიხილეთ თემა „ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის წარმოებულები“. Მაგალითად:
ფუნქციის წარმოებული f(x)=x 9, ჩვენ ვიცით, რომ f′(x)=9x 8. ახლა ჩვენ გადავხედავთ ფუნქციის პოვნის მაგალითს, რომლის წარმოებული ცნობილია.
ვთქვათ წარმოებული არის მოცემული f′(x)=6x5 . წარმოებულის შესახებ ცოდნის გამოყენებით, შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ ეს არის ფუნქციის წარმოებული f(x)=x 6 . ფუნქციას, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს მისი წარმოებულით, ეწოდება ანტიდერივატი.(მიეცით ანტიწარმოებულის განმარტება. (სლაიდი 3)
განმარტება 1: F(x) ფუნქციას ეწოდება f(x) ფუნქციის ანტიდერივატივი ინტერვალზე, თუ თანასწორობა დაკმაყოფილებულია ამ სეგმენტის ყველა წერტილში= f(x)
მაგალითი 1 (სლაიდი 4): დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერისთვის xϵ(-∞;+∞) ფუნქცია F(x)=x 5 -5x არის ფუნქციის ანტიდერივატი f(x)=5x 4 -5.
დადასტურება: ანტიწარმოებულის განმარტების გამოყენებით ვპოულობთ ფუნქციის წარმოებულს
=( x 5 -5x)′=(x 5 )′-(5x)′=5x 4 -5.
მაგალითი 2 (სლაიდი 5): მოდით დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერისთვის xϵ(-∞;+∞) ფუნქცია F(x)= არ არის ფუნქციის ანტიდერივატი f(x)= .
დაამტკიცეთ მოსწავლეებთან ერთად დაფაზე.
ჩვენ ვიცით, რომ წარმოებულის პოვნა ე.წდიფერენციაცია. გამოიძახება ფუნქციის პოვნა მისი წარმოებულიდანინტეგრაცია. (სლაიდი 6). ინტეგრაციის მიზანია მოცემული ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის პოვნა.
მაგალითად: (სლაიდი 7)
ანტიდერივატივის ძირითადი თვისება:
თეორემა: თუ F(x) არის ერთ-ერთი ანტიდერივატი f(x) ფუნქციისთვის X ინტერვალზე, მაშინ ამ ფუნქციის ყველა ანტიწარმოებულის სიმრავლე განისაზღვრება ფორმულით G(x)=F(x)+C, სადაც C არის რეალური რიცხვი.
(სლაიდი 8) ანტიწარმოებულების ცხრილი
ანტიდერივატების პოვნის სამი წესი
წესი #1: თუ F არის ანტიწარმოებული f ფუნქციისთვის, ხოლო G არის ანტიწარმოებული g-სთვის, მაშინ F+G არის f+g-ის ანტიწარმოებული.
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g
წესი #2: თუ F არის f-ის ანტიწარმოებული და k მუდმივი, მაშინ kF ფუნქცია არის kf-ის ანტიდერივატი.
(kF)' = kF' = kf
წესი #3: თუ F არის f-ის ანტიწარმოებული, ხოლო k და b მუდმივებია (), შემდეგ ფუნქცია
ანტიწარმოებული f(kx+b).
ინტეგრალის ცნების ისტორია მჭიდრო კავშირშია კვადრატების პოვნის პრობლემებთან. ძველი საბერძნეთისა და რომის მათემატიკოსები კონკრეტული სიბრტყის ფიგურის კვადრატის პრობლემებს უწოდებდნენ პრობლემებს, რომლებსაც ახლა ჩვენ ვახარისხებთ არეების გამოთვლის პრობლემებად. ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსთა მრავალი მნიშვნელოვანი მიღწევა ამ ამოცანების გადაჭრაში დაკავშირებულია ამოწურვის მეთოდის გამოყენებასთან, რომელიც შემოთავაზებულია. ევდოქსი კნიდოსელი. ამ მეთოდის გამოყენებით ევდოქსმა დაამტკიცა:
1. ორი წრის ფართობი დაკავშირებულია მათი დიამეტრის კვადრატებად.
2. კონუსის მოცულობა უდრის იმავე სიმაღლისა და ფუძის მქონე ცილინდრის მოცულობის 1/3-ს.
ევდოქსის მეთოდი გააუმჯობესა არქიმედესმა და დაამტკიცა შემდეგი:
1. წრის ფართობის ფორმულის გამოყვანა.
2. ბურთის მოცულობა ტოლია ცილინდრის მოცულობის 2/3-ის.
ყველა მიღწევა დაამტკიცეს დიდმა მათემატიკოსებმა ინტეგრალის გამოყენებით.
თემა: ანტიწარმოებული და განუსაზღვრელი ინტეგრალი.
სამიზნე: მოსწავლეები შეამოწმებენ და გააერთიანებენ ცოდნასა და უნარებს თემაზე „ანტიდერივატიული და განუსაზღვრელი ინტეგრალი“.
Დავალებები:
საგანმანათლებლო : ვისწავლოთ ანტიწარმოებულებისა და განუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოთვლა თვისებებისა და ფორმულების გამოყენებით;
განმავითარებელი : განუვითარდება კრიტიკული აზროვნება, შეძლებს მათემატიკური სიტუაციების დაკვირვებას და გაანალიზებას;
საგანმანათლებლო : მოსწავლეები სწავლობენ სხვისი აზრის პატივისცემას და ჯგუფში მუშაობის უნარს.
Მოსალოდნელი შედეგი:
ისინი გააღრმავებენ და სისტემატიზაციას გაუწევენ თეორიულ ცოდნას, განუვითარდებათ შემეცნებითი ინტერესი, აზროვნება, მეტყველება და შემოქმედებითობა.
ტიპი : განმტკიცების გაკვეთილი
ფორმა: ფრონტალური, ინდივიდუალური, წყვილი, ჯგუფური.
სწავლების მეთოდები : ნაწილობრივ ძიებაზე დაფუძნებული, პრაქტიკული.
შემეცნების მეთოდები : ანალიზი, ლოგიკური, შედარება.
აღჭურვილობა: სახელმძღვანელო, ცხრილები.
სტუდენტის შეფასება: ურთიერთპატივისცემა და თვითშეფასება, ბავშვების დაკვირვება
გაკვეთილის დრო.
გაკვეთილების დროს.
დარეკეთ.
მიზნის დაყენება:
მე და შენ ვიცით როგორ ავაშენოთ კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი, ვიცით როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები და კვადრატული უტოლობა, ასევე ამოხსნათ წრფივი უტოლობების სისტემები.
როგორ ფიქრობთ, რა იქნება დღევანდელი გაკვეთილის თემა?
კარგი განწყობის შექმნა კლასში. (2-3 წთ)
განწყობის დახატვა:ადამიანის განწყობა პირველ რიგში აისახება მისი საქმიანობის პროდუქტებში: ნახატები, მოთხრობები, განცხადებები და ა.შ. „ჩემი განწყობა“:ვატმენის ქაღალდის საერთო ფურცელზე, ფანქრების გამოყენებით, თითოეული ბავშვი ხატავს თავის განწყობას ზოლის, ღრუბლის ან ლაქის სახით (წუთში).
შემდეგ ფოთლებს წრეში ახვევენ. ყველას ამოცანაა განსაზღვროს სხვისი განწყობა და შეავსოს იგი, დაასრულოს იგი. ეს გრძელდება მანამ, სანამ ფოთლები მფლობელებს დაუბრუნდებიან.
ამის შემდეგ განიხილება მიღებული ნახაზი.
მეII. მოსწავლეთა ფრონტალური გამოკითხვა: „ფაქტი თუ აზრი“ 17 წთ
1. ჩამოაყალიბეთ ანტიწარმოებულის განმარტება.
2. რომელი ფუნქციაფუნქციის ანტიდერივატია
3. დაამტკიცეთ, რომ ფუნქციაარის ფუნქციის ანტიდერივატიინტერვალზე (0;∞).
4. ჩამოაყალიბეთ ანტიწარმოებულის ძირითადი თვისება. როგორ არის ეს თვისება გეომეტრიულად ინტერპრეტირებული?
5. ფუნქციისთვის
იპოვეთ ანტიწარმოებული, რომლის გრაფიკი გადის წერტილში. (პასუხი:ფ(
x) =
tgx
+ 2.)
6. ჩამოაყალიბეთ ანტიწარმოებულის პოვნის წესები.
7. ჩამოთვალეთ თეორემა მრუდი ტრაპეციის ფართობზე.
8. ჩამოწერეთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა.
9. როგორია ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა?
10. მიეცით ინტეგრალის გამოყენების მაგალითები.
11. გამოხმაურება: „პლუს-მინუს-საინტერესო“
IV. ინდივიდუალურ-წყვილებში მუშაობა ურთიერთშემოწმებით: 10 წთ
ამოხსენით No5,6,7
ვ. პრაქტიკული სამუშაო: რვეულში ამოხსნა. 10 წთ
ამოხსენით No8-10
VI. გაკვეთილის შეჯამება. ქულების მიცემა (OdO, OO). 2 წუთი
VII. საშინაო დავალება: გვ 1 No 11,12 1 წთ
VIII. რეფლექსია: 2 წთ
გაკვეთილი:
მიზიდავდა...
საინტერესო ჩანდა...
აღელვებული...
დამაფიქრა...
დამაფიქრა...
რამ მოახდინა თქვენზე ყველაზე დიდი შთაბეჭდილება?
გამოგადგებათ ამ გაკვეთილზე მიღებული ცოდნა შემდგომ ცხოვრებაში?
რა ახალი ისწავლეთ გაკვეთილზე?
როგორ ფიქრობთ, რა უნდა გახსოვდეთ?
10. კიდევ რაზეა საჭირო მუშაობა
მე-11 კლასში ჩავატარე გაკვეთილი თემაზე„ანტიწარმოებული და განუსაზღვრელი ინტეგრალი“, ეს არის თემის გამყარების გაკვეთილი.
გაკვეთილზე გადასაჭრელი პრობლემები:
შეისწავლიან ანტიწარმოებული და განუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოთვლას თვისებებისა და ფორმულების გამოყენებით; განუვითარდება კრიტიკული აზროვნება, შეძლებს მათემატიკური სიტუაციების დაკვირვებას და გაანალიზებას; მოსწავლეები სწავლობენ სხვისი აზრის პატივისცემას და ჯგუფში მუშაობის უნარს.
გაკვეთილის შემდეგ ველოდი შემდეგ შედეგს:
მოსწავლეები გაიღრმავებენ და მოახდენენ თეორიული ცოდნის სისტემატიზაციას, განუვითარდებათ შემეცნებითი ინტერესი, აზროვნება, მეტყველება და კრეატიულობა.
შექმენით პირობები პრაქტიკული და შემოქმედებითი აზროვნების განვითარებისთვის. აკადემიური სამუშაოსადმი პასუხისმგებელი დამოკიდებულების ჩამოყალიბება, მოსწავლეებს შორის პატივისცემის გრძნობის გაღვივება ჯგუფური სწავლის გზით მათი შესაძლებლობების მაქსიმალურად გაზრდის მიზნით.
ჩემს გაკვეთილზე ვიყენებდი ფრონტალურ, ინდივიდუალურ, წყვილებში და ჯგუფურ მუშაობას.
ეს გაკვეთილი დავგეგმე, რათა მოსწავლეებთან განმემტკიცებინა ანტიწარმოებული და განუსაზღვრელი ინტეგრალის ცნება.
ვფიქრობ, კარგი იყო გაკვეთილის დასაწყისში პლაკატის „დახატვა განწყობის“ შექმნა.ადამიანის განწყობა, უპირველეს ყოვლისა, აისახება მისი საქმიანობის პროდუქტებში: ნახატები, მოთხრობები, განცხადებები და ა.შ. „ჩემი განწყობა“: როდესაცვატმენის ქაღალდის საერთო ფურცელზე, ფანქრების გამოყენებით, თითოეული ბავშვი ხატავს თავის განწყობას (წუთში).
შემდეგ ვატმენის ქაღალდი ტრიალდება წრეში. ყველას ამოცანაა განსაზღვროს სხვისი განწყობა და შეავსოს იგი, დაასრულოს იგი. ეს გრძელდება მანამ, სანამ სურათი Whatman-ის ქაღალდზე არ დაუბრუნდება თავის მფლობელს.ამის შემდეგ განიხილება მიღებული ნახაზი. თითოეულმა ბავშვმა შეძლო საკუთარი განწყობის ასახვა და გაკვეთილზე მუშაობა.
გაკვეთილის შემდეგ ეტაპზე, „ფაქტი ან აზრი“ მეთოდის გამოყენებით, მოსწავლეები ცდილობდნენ დაემტკიცებინათ, რომ ამ თემაზე ყველა ცნება ფაქტია, მაგრამ არა მათი პირადი აზრი. ამ თემაზე მაგალითების ამოხსნისას უზრუნველყოფილია აღქმა, გააზრება და დამახსოვრება. ყალიბდება ამ თემაზე წამყვანი ცოდნის ინტეგრირებული სისტემები.
ცოდნის მონიტორინგისა და თვითშემოწმებისას ვლინდება ცოდნის დაუფლების ხარისხი და დონე, ასევე მოქმედების მეთოდები და უზრუნველყოფილია მათი კორექტირება.
გაკვეთილის სტრუქტურაში ჩავრთე ნაწილობრივი საძიებო დავალება. ბიჭებმა პრობლემები დამოუკიდებლად მოაგვარეს. ჯგუფში გადავამოწმეთ თავი. მივიღეთ ინდივიდუალური კონსულტაცია. მუდმივად ვეძებ ბავშვებთან მუშაობის ახალ ტექნიკას და მეთოდებს. იდეალურ შემთხვევაში, ვისურვებდი, რომ თითოეულმა ბავშვმა დაგეგმოს საკუთარი აქტივობები გაკვეთილზე და მის შემდეგ, უპასუხოს კითხვებს: მინდა თუ არა გარკვეულ სიმაღლეებს მივაღწიო, მჭირდება თუ არა მაღალი დონის განათლება. ამ გაკვეთილის მაგალითის გამოყენებით შევეცადე მეჩვენებინა, რომ ბავშვს თავად შეუძლია განსაზღვროს გაკვეთილის თემაც და მიმდინარეობაც.რომ თავად შეძლოს თავისი და მასწავლებლის აქტივობების მორგება ისე, რომ გაკვეთილი და დამატებითი გაკვეთილები მის მოთხოვნილებებს აკმაყოფილებდეს.
ამა თუ იმ ტიპის დავალების არჩევისას გავითვალისწინე გაკვეთილის მიზანი, სასწავლო მასალის შინაარსი და სირთულეები, გაკვეთილის ტიპი, სწავლების მეთოდები და მეთოდები, მოსწავლეთა ასაკი და ფსიქოლოგიური მახასიათებლები.
ტრადიციული სწავლების სისტემაში, როდესაც მასწავლებელი წარმოაჩენს მზა ცოდნას და მოსწავლეები პასიურად ითვისებენ მას, რეფლექსიის საკითხი, როგორც წესი, არ ჩნდება.
მიმაჩნია, რომ ნამუშევარი განსაკუთრებით კარგად გამოვიდა რეფლექსიის „რა ვისწავლე გაკვეთილზე...“ შედგენისას. ამ ამოცანამ განსაკუთრებული ინტერესი გამოიწვია და დაეხმარაგაიგეთ, როგორ უკეთესად მოაწყოთ ეს სამუშაო მომდევნო გაკვეთილზე.
ვფიქრობ, თვითშეფასება და ურთიერთშეფასება არ გამოვიდა, მოსწავლეებმა გადაჭარბებულად შეაფასეს საკუთარი თავი და მეგობრები.
გაკვეთილის გაანალიზებისას მივხვდი, რომ მოსწავლეებმა კარგად ესმოდათ ფორმულების მნიშვნელობა და მათი გამოყენება ამოცანების გადაჭრაში და ისწავლეს სხვადასხვა სტრატეგიის გამოყენება გაკვეთილის სხვადასხვა ეტაპზე.
მსურს შემდეგი გაკვეთილი ჩავატარო „ექვსი ქუდის“ სტრატეგიით და ჩავატარო „პეპელა“ რეფლექსია, რომელიც ყველას საშუალებას მისცემსგამოხატეთ თქვენი აზრი, დაწერეთ.
Ჩატვირთვა...