როგორ ვიპოვოთ პარალელოგრამის ფართობი ცნობილია. პარალელოგრამის პერიმეტრი და ფართობი

ისევე, როგორც ევკლიდეს გეომეტრიაში, წერტილი და სწორი ხაზი სიბრტყეების თეორიის ძირითადი ელემენტებია, პარალელოგრამი არის ამოზნექილი ოთხკუთხედების ერთ-ერთი მთავარი ფიგურა. მისგან, ბურთის ძაფების მსგავსად, მიედინება "მართკუთხედის", "კვადრატის", "რომბის" და სხვა გეომეტრიული სიდიდის ცნებები.

კონტაქტში

პარალელოგრამის განმარტება

ამოზნექილი ოთხკუთხედი,სეგმენტებისგან შემდგარი, რომელთა თითოეული წყვილი პარალელურია, გეომეტრიაში ცნობილია როგორც პარალელოგრამი.

როგორ გამოიყურება კლასიკური პარალელოგრამი, გამოსახულია ოთხკუთხედი ABCD. გვერდებს უწოდებენ ფუძეებს (AB, BC, CD და AD), ნებისმიერი წვეროდან ამ წვეროს მოპირდაპირე მხარეს გამოყვანილ პერპენდიკულარს სიმაღლე (BE და BF), AC და BD წრფეებს - დიაგონალები.

ყურადღება!კვადრატი, რომბი და მართკუთხედი პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევებია.

მხარეები და კუთხეები: ურთიერთობის მახასიათებლები

ძირითადი თვისებები, ზოგადად, წინასწარ განსაზღვრული თავად აღნიშვნით, ისინი დასტურდება თეორემით. ეს მახასიათებლები შემდეგია:

1. საპირისპირო მხარეები იდენტურია წყვილებში.
2. ერთმანეთის მოპირდაპირე კუთხეები წყვილებში ტოლია.

დადასტურება: განვიხილოთ ∆ABC და ∆ADC, რომლებიც მიიღება ABCD ოთხკუთხედის AC სწორ ხაზთან გაყოფით. ∠BCA=∠CAD და ∠BAC=∠ACD, ვინაიდან AC მათთვის საერთოა (ვერტიკალური კუთხეები BC||AD და AB||CD, შესაბამისად). აქედან გამომდინარეობს: ∆ABC = ∆ADC (სამკუთხედების ტოლობის მეორე ნიშანი).

AB და BC სეგმენტები ∆ABC-ში წყვილებში შეესაბამება CD და AD წრფეებს ∆ADC-ში, რაც ნიშნავს, რომ ისინი იდენტურია: AB = CD, BC = AD. ამრიგად, ∠B შეესაბამება ∠D-ს და ისინი ტოლია. ვინაიდან ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, რომლებიც ასევე წყვილში იდენტურია, მაშინ ∠A = ∠C. ქონება დადასტურებულია.

ფიგურის დიაგონალების მახასიათებლები

მთავარი თვისებაპარალელოგრამის ამ წრფეებიდან: გადაკვეთის წერტილი მათ შუაზე ყოფს.

დადასტურება: ე.ი. იყოს ABCD ფიგურის AC და BD დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. ისინი ქმნიან ორ თანაზომიერ სამკუთხედს - ∆ABE და ∆CDE.

AB=CD რადგან ისინი საპირისპიროა. სტრიქონებისა და სეკანტის მიხედვით, ∠ABE = ∠CDE და ∠BAE = ∠DCE.

თანასწორობის მეორე კრიტერიუმით, ∆ABE = ∆CDE. ეს ნიშნავს, რომ ელემენტები ∆ABE და ∆CDE: AE = CE, BE = DE და ამავე დროს ისინი არიან AC და BD პროპორციული ნაწილები. ქონება დადასტურებულია.

მიმდებარე კუთხეების მახასიათებლები

მიმდებარე გვერდებს აქვთ 180°-ის ტოლი კუთხეების ჯამი, ვინაიდან ისინი დევს პარალელური ხაზებისა და განივი ხაზების ერთ მხარეს. ოთხკუთხედი ABCD-სთვის:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

ბისექტრის თვისებები:

1. ერთ მხარეს დაშვებული, პერპენდიკულარულია;
2. მოპირდაპირე წვეროებს აქვთ პარალელური ბისექტრები;
3. ბისექტრის დახაზვით მიღებული სამკუთხედი ტოლფერდა იქნება.

პარალელოგრამის დამახასიათებელი ნიშნების განსაზღვრა თეორემის გამოყენებით

ამ ფიგურის მახასიათებლები გამომდინარეობს მისი მთავარი თეორემიდან, რომელიც ამტკიცებს შემდეგს: ოთხკუთხედი ითვლება პარალელოგრამადიმ შემთხვევაში, თუ მისი დიაგონალები იკვეთება და ეს წერტილი ყოფს მათ თანაბარ სეგმენტებად.

დადასტურება: ABCD ოთხკუთხედის AC და BD წრფეები იკვეთება ე.ი. ვინაიდან ∠AED = ∠BEC და AE+CE=AC BE+DE=BD, მაშინ ∆AED = ∆BEC (სამკუთხედების ტოლობის პირველი კრიტერიუმით). ანუ ∠EAD = ∠ECB. ისინი ასევე არის AC სექციური ჯვრის შიდა კუთხეები AD და BC ხაზებისთვის. ამრიგად, პარალელიზმის განმარტებით - AD || ძვ.წ. ასევე მიღებულია BC და CD ხაზების მსგავსი თვისება. თეორემა დადასტურდა.

ფიგურის ფართობის გამოთვლა

ამ ფიგურის ფართობი ნაპოვნია რამდენიმე მეთოდითერთ-ერთი უმარტივესი: სიმაღლისა და ფუძის გამრავლება, რომელზეც ის არის დახატული.

დადასტურება: დახაზეთ BE და CF პერპენდიკულარები B და C წვეროებიდან. ∆ABE და ∆DCF ტოლია, რადგან AB = CD და BE = CF. ABCD ზომით უდრის EBCF მართკუთხედს, რადგან ისინი შედგება თანაბარი ფიგურებისგან: S ABE და S EBCD, ასევე S DCF და S EBCD. აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ გეომეტრიული ფიგურის ფართობი იგივეა, რაც მართკუთხედის ფართობი:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

დადგენისთვის ზოგადი ფორმულაპარალელოგრამის ფართობი აღინიშნება სიმაღლით, როგორც hbდა მხარე - ბ. შესაბამისად:

ტერიტორიის პოვნის სხვა გზები

ფართობის გამოთვლები პარალელოგრამის გვერდებისა და კუთხის მეშვეობით, რომელსაც ისინი ქმნიან, მეორე ცნობილი მეთოდია.

,

სპრ-მა - ფართობი;

a და b არის მისი მხარეები

α არის კუთხე a და b სეგმენტებს შორის.

ეს მეთოდი პრაქტიკულად ეფუძნება პირველს, მაგრამ იმ შემთხვევაში, თუ ის უცნობია. ყოველთვის წყვეტს მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის პარამეტრებია ტრიგონომეტრიული იდენტობები, ანუ . ურთიერთობის გარდაქმნით, ვიღებთ. პირველი მეთოდის განტოლებაში ჩვენ ვცვლით სიმაღლეს ამ ნამრავლით და ვიღებთ ამ ფორმულის მართებულობის დადასტურებას.

პარალელოგრამისა და კუთხის დიაგონალების მეშვეობით,რომელსაც ისინი ქმნიან გადაკვეთისას, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ტერიტორია.

დადასტურება: AC და BD იკვეთება ოთხი სამკუთხედის შესაქმნელად: ABE, BEC, CDE და AED. მათი ჯამი უდრის ამ ოთხკუთხედის ფართობს.

თითოეული ამ Δ-ის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს გამოსახულებით, სადაც a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. მას შემდეგ, რაც , მაშინ გამოთვლებში იგი გამოიყენება ერთი მნიშვნელობასინუსი ანუ . ვინაიდან AE+CE=AC= d 1 და BE+DE=BD= d 2, ფართობის ფორმულა მცირდება:

.

გამოყენება ვექტორულ ალგებრაში

ამ ოთხკუთხედის შემადგენელი ნაწილების მახასიათებლებმა იპოვეს გამოყენება ვექტორულ ალგებრაში, კერძოდ, ორი ვექტორის დამატებაში. პარალელოგრამის წესი ამბობს, რომ თუ მოცემულია ვექტორებიდაარაარიან კოლინარული, მაშინ მათი ჯამი ტოლი იქნება ამ ფიგურის დიაგონალის, რომლის ფუძეები შეესაბამება ამ ვექტორებს.

დადასტურება: თვითნებურად არჩეული დასაწყისიდან - ე.ი. - ვექტორების აგება და . შემდეგი, ჩვენ ვაშენებთ პარალელოგრამს OASV, სადაც OA და OB სეგმენტები გვერდებია. ამრიგად, OS დევს ვექტორზე ან ჯამზე.

პარალელოგრამის პარამეტრების გამოთვლის ფორმულები

პირადობა მოცემულია შემდეგ პირობებში:

1. a და b, α - გვერდები და მათ შორის კუთხე;
2. d 1 და d 2, γ - დიაგონალები და მათი გადაკვეთის წერტილში;
3. h a და h b - სიმაღლეები დაშვებულია a და b გვერდებზე;

Პარამეტრი	ფორმულა
მხარეების პოვნა
დიაგონალების და მათ შორის კუთხის კოსინუსის გასწვრივ
დიაგონალების და გვერდების გასწვრივ
სიმაღლისა და საპირისპირო წვეროს მეშვეობით
დიაგონალების სიგრძის პოვნა
გვერდებზე და მათ შორის მწვერვალის ზომას

პარალელოგრამი არის ოთხკუთხა ფიგურა, რომლის მოპირდაპირე გვერდები პარალელურია და წყვილებში ტოლია. მისი საპირისპირო კუთხეები ასევე ტოლია და პარალელოგრამის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი მათ შუაზე ყოფს, რაც არის ფიგურის სიმეტრიის ცენტრი. პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევებია: გეომეტრიული ფიგურებიროგორც კვადრატი, მართკუთხედი და რომბი. პარალელოგრამის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს სხვადასხვა გზები, იმის მიხედვით, თუ რა თავდაპირველ მონაცემებს ახლავს პრობლემის განცხადება.

პარალელოგრამის მთავარი მახასიათებელი, რომელიც ძალიან ხშირად გამოიყენება მისი ფართობის პოვნისას, არის მისი სიმაღლე. პარალელოგრამის სიმაღლეს ჩვეულებრივ უწოდებენ პერპენდიკულარს, რომელიც შედგენილია მოპირდაპირე მხარის თვითნებური წერტილიდან სწორ სეგმენტამდე, რომელიც ქმნის ამ მხარეს.

1. უმარტივეს შემთხვევაში, პარალელოგრამის ფართობი განისაზღვრება, როგორც მისი ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლი.
   

   S = DC ∙ სთ

   
   

   სადაც S არის პარალელოგრამის ფართობი;
   a - ბაზა;
   h არის მოცემულ ფუძემდე მიყვანილი სიმაღლე.

   ეს ფორმულა ძალიან ადვილი გასაგები და დასამახსოვრებელია, თუ გადახედავთ შემდეგ ფიგურას.

   

   როგორც ამ სურათიდან ხედავთ, თუ პარალელოგრამის მარცხნივ წარმოსახვით სამკუთხედს მოვწყვეტთ და მარჯვნივ მივამაგრებთ, შედეგი იქნება მართკუთხედი. მოგეხსენებათ, მართკუთხედის ფართობი იპოვება მისი სიგრძის სიმაღლეზე გამრავლებით. მხოლოდ პარალელოგრამის შემთხვევაში იქნება სიგრძე ფუძე, ხოლო მართკუთხედის სიმაღლე იქნება პარალელოგრამის სიმაღლე მოცემულ მხარეს დაშვებული.

2. პარალელოგრამის ფართობის პოვნა ასევე შესაძლებელია ორი მიმდებარე ფუძის სიგრძისა და მათ შორის კუთხის სინუსის გამრავლებით:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   სადაც AD, AB არის მიმდებარე ფუძეები, რომლებიც ქმნიან გადაკვეთის წერტილს და კუთხეს a ერთმანეთს შორის;
   α არის კუთხე AD და AB ფუძეებს შორის.

   

3. თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ პარალელოგრამის ფართობი პარალელოგრამის დიაგონალების სიგრძის ნამრავლის ნახევრად გაყოფით მათ შორის კუთხის სინუსზე.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   სადაც AC, BD არის პარალელოგრამის დიაგონალები;
   β არის კუთხე დიაგონალებს შორის.

   

4. ასევე არსებობს პარალელოგრამის ფართობის პოვნის ფორმულა მასში ჩაწერილი წრის რადიუსში. ასე წერია:

პარალელოგრამიარის ოთხკუთხედი, რომლის გვერდები პარალელურია წყვილებში.

ამ ფიგურაში მოპირდაპირე მხარეები და კუთხეები ერთმანეთის ტოლია. პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში და ყოფს მას. პარალელოგრამის ფართობის ფორმულები საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მნიშვნელობა გვერდების, სიმაღლისა და დიაგონალების გამოყენებით. პარალელოგრამი ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს განსაკუთრებულ შემთხვევებში. ისინი განიხილება მართკუთხედი, კვადრატი და რომბი.
პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ პარალელოგრამის ფართობის გაანგარიშების მაგალითს სიმაღლისა და იმ მხარის მიხედვით, რომლითაც ის დაბლაა.

ეს შემთხვევა კლასიკურად ითვლება და არ საჭიროებს დამატებით გამოძიებას. უმჯობესია განიხილოს ფართობის გამოთვლის ფორმულა ორი გვერდით და მათ შორის კუთხე. იგივე მეთოდი გამოიყენება გამოთვლებში. თუ მოცემულია გვერდები და მათ შორის კუთხე, მაშინ ფართობი გამოითვლება შემდეგნაირად:

ვთქვათ, მოცემულია პარალელოგრამი გვერდებით a = 4 სმ, b = 6 სმ. მათ შორის კუთხე არის α = 30°. მოდი ვიპოვოთ ტერიტორია:

პარალელოგრამის ფართობი დიაგონალების გავლით

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა დიაგონალების გამოყენებით საშუალებას გაძლევთ სწრაფად იპოვოთ მნიშვნელობა.
გამოთვლებისთვის დაგჭირდებათ დიაგონალებს შორის მდებარე კუთხის ზომა.

განვიხილოთ პარალელოგრამის ფართობის გამოთვლის მაგალითი დიაგონალების გამოყენებით. მიეცეს პარალელოგრამი დიაგონალებით D = 7 სმ, d = 5 სმ. მათ შორის კუთხე არის α = 30°. მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ფორმულაში:

დიაგონალის მეშვეობით პარალელოგრამის ფართობის გამოთვლის მაგალითმა შესანიშნავი შედეგი მოგვცა - 8.75.

იცოდეთ პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა დიაგონალზე, შეგიძლიათ ამოხსნათ ნაკრები საინტერესო ამოცანები. მოდით შევხედოთ ერთ-ერთ მათგანს.

ამოცანა:მოცემულია პარალელოგრამი 92 კვადრატული მეტრი ფართობით. იხილეთ წერტილი F მდებარეობს მისი მხარის შუა ძვ.წ. მოდით ვიპოვოთ ტრაპეციის ADFB ფართობი, რომელიც ჩვენს პარალელოგრამაში იქნება. ჯერ დავხატოთ ყველაფერი რაც მივიღეთ პირობების მიხედვით.
გადავიდეთ გამოსავალზე:

ჩვენი პირობების მიხედვით ah =92 და შესაბამისად ჩვენი ტრაპეციის ფართობი ტოლი იქნება

პარალელოგრამი ეწოდება ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე გვერდები ერთმანეთის პარალელურია. ამ თემაზე სკოლაში მთავარი ამოცანებია პარალელოგრამის ფართობის, მისი პერიმეტრის, სიმაღლისა და დიაგონალების გამოთვლა. მათი გაანგარიშების მითითებული მნიშვნელობები და ფორმულები მოცემულია ქვემოთ.

პარალელოგრამის თვისებები

პარალელოგრამის მოპირდაპირე მხარეები, ისევე როგორც მოპირდაპირე კუთხეები, ერთმანეთის ტოლია:
AB = CD, BC = AD,

პარალელოგრამის დიაგონალები გადაკვეთის წერტილში იყოფა ორ თანაბარ ნაწილად:

AO=OC, OB=OD.

ნებისმიერი მხარის მიმდებარე კუთხეები (მიმდებარე კუთხეები) ემატება 180 გრადუსს.

პარალელოგრამის თითოეული დიაგონალი ყოფს მას თანაბარი ფართობისა და გეომეტრიული განზომილებების ორ სამკუთხედად.

კიდევ ერთი შესანიშნავი თვისება, რომელიც ხშირად გამოიყენება ამოცანების ამოხსნისას, არის ის, რომ პარალელოგრამში დიაგონალების კვადრატების ჯამი უდრის ყველა მხარის კვადრატების ჯამს:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

პარალელოგრამების ძირითადი მახასიათებლები:

1. ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილად პარალელურია, არის პარალელოგრამი.
2. თანაბარი მოპირდაპირე გვერდების მქონე ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.
3. ტოლი და პარალელური მოპირდაპირე გვერდების მქონე ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.
4. თუ გადაკვეთის წერტილში ოთხკუთხედის დიაგონალები იყოფა შუაზე, მაშინ ის პარალელოგრამია.
5. ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე კუთხეები წყვილებში ტოლია, პარალელოგრამია

პარალელოგრამის ბისექტრები

საპირისპირო კუთხეების ბისექტრები პარალელოგრამში შეიძლება იყოს პარალელური ან დამთხვევა.

მიმდებარე კუთხეების ბისექტრები (ერთ მხარეს მიმდებარედ) იკვეთება მართი კუთხით (პერპენდიკულარული).

პარალელოგრამის სიმაღლე

პარალელოგრამის სიმაღლე- ეს არის ფუძის პერპენდიკულარული კუთხიდან დახატული სეგმენტი. აქედან გამომდინარეობს, რომ თითოეული კუთხიდან ორი სიმაღლის დახატვა შეიძლება.

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა

პარალელოგრამის ფართობიუდრის გვერდის ნამრავლს და მისკენ მიზიდულ სიმაღლეს. ფართობის ფორმულა ასეთია

მეორე ფორმულა არანაკლებ პოპულარულია გამოთვლებში და განისაზღვრება შემდეგნაირად: პარალელოგრამის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს.

ზემოაღნიშნული ფორმულებიდან გამომდინარე, თქვენ გეცოდინებათ როგორ გამოვთვალოთ პარალელოგრამის ფართობი.

პარალელოგრამის პერიმეტრი

პარალელოგრამის პერიმეტრის გამოთვლის ფორმულა არის

ანუ პერიმეტრი ტოლია გვერდების ჯამის ორჯერ. პარალელოგრამებთან დაკავშირებული პრობლემები განხილული იქნება მიმდებარე მასალებში, მაგრამ ახლა შეისწავლეთ ფორმულები. პარალელოგრამის გვერდებისა და დიაგონალების გამოთვლასთან დაკავშირებული პრობლემების უმეტესობა საკმაოდ მარტივია და ემყარება სინუსების თეორემისა და პითაგორას თეორემის ცოდნას.

ვიდეოკურსი „მიიღე A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რაც აუცილებელია წარმატებისთვის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარებამათემატიკაში 60-65 ქულაზე. მთლიანად ყველა პრობლემა 1-13 პროფილის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდამათემატიკა. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში ძირითადი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩასაბარებლად. თუ გსურთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, პირველი ნაწილი 30 წუთში და უშეცდომოდ უნდა მოაგვაროთ!

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი, რაც გჭირდებათ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის 1 ნაწილის (პირველი 12 ამოცანის) და მე-13 ამოცანის (ტრიგონომეტრია) გადასაჭრელად. და ეს ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე 70 ქულაზე მეტია და მათ გარეშე არც 100-ქულიანი და არც ჰუმანიტარული სტუდენტი არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გზებიერთიანი სახელმწიფო გამოცდის გადაწყვეტილებები, ხარვეზები და საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI Task Bank-ის პირველი ნაწილის ყველა მიმდინარე დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება 2018 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის დავალება. სიტყვის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი ალგორითმები პრობლემების გადასაჭრელად. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. რთული გადაწყვეტილებები, სასარგებლო მოტყუების ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან ამოცანამდე 13. გაგება ჩაკეტვის ნაცვლად. ვიზუალური ახსნა რთული ცნებები. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის საფუძველი.