ანტიდერივატი. განუსაზღვრელი ინტეგრალი და მისი თვისებები გაკვეთილის გეგმა ალგებრაში (მე-11 კლასი) თემაზე. გაკვეთილის შეჯამება "ანტიწარმოებული და ინტეგრალი" გაკვეთილის ანტიწარმოებული და განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მე-11 კლასი ორლოვა ე.ვ.

"ანტიდერივატიული და განუსაზღვრელი ინტეგრალი"

სლაიდი 1

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო : ანტიდერივატივის ცნების ჩამოყალიბება და კონსოლიდაცია, სხვადასხვა დონის ანტიდერივატიული ფუნქციების პოვნა.

განმავითარებელი: მოსწავლეთა გონებრივი აქტივობის განვითარება ანალიზის, შედარების, განზოგადებისა და სისტემატიზაციის ოპერაციებზე დაყრდნობით.

საგანმანათლებლო: ჩამოაყალიბოს მოსწავლეთა იდეოლოგიური შეხედულებები, ჩაუნერგოს წარმატების განცდა მიღებულ შედეგებზე პასუხისმგებლობისგან.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის სწავლა.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, მულტიმედიური დაფა.

სწავლის მოსალოდნელი შედეგები:სტუდენტმა უნდა

წარმოებული განმარტება

ანტიდერივატი განსაზღვრულია ორაზროვნად.

იპოვნეთ ანტიდერივატიული ფუნქციები უმარტივეს შემთხვევებში

შეამოწმეთ არის თუ არა ფუნქცია ანტიწარმოებული მოცემულ დროის ინტერვალზე.

გაკვეთილების დროს

ორგანიზების დრო სლაიდი 2

საშინაო დავალების შემოწმება

თემის, გაკვეთილის მიზნის, მიზნებისა და სასწავლო აქტივობების მოტივაციის კომუნიკაცია.

დაფაზე:

წარმოებული - აწარმოებს ახალ ფუნქციას.

ანტიდერივატი - "პირველადი სურათი".

4. ცოდნის განახლება, ცოდნის სისტემატიზაცია შედარებით.

დიფერენციაცია - წარმოებულის პოვნა.

ინტეგრაცია - ფუნქციის აღდგენა მოცემული წარმოებულიდან.

ახალი სიმბოლოების გაცნობა:

5.ორალური ვარჯიშები:სლაიდი 3

ქულების ნაცვლად, დააყენეთ ფუნქცია, რომელიც აკმაყოფილებს თანასწორობას.

მოსწავლეები ატარებენ თვითტესტს.

მოსწავლეთა ცოდნის კორექტირება.

5. ახალი მასალის შესწავლა.

ა) საპასუხო მოქმედებები მათემატიკაში.

მასწავლებელი: მათემატიკაში არის 2 ურთიერთშებრუნებული ოპერაცია მათემატიკაში. მოდით შევხედოთ მას შედარებით. სლაიდი 4

ბ) ორმხრივი მოქმედებები ფიზიკაში.

მექანიკის განყოფილებაში განხილულია ორი ურთიერთშებრუნებული პრობლემა.

სიჩქარის პოვნა მატერიალური წერტილის მოძრაობის მოცემული განტოლების გამოყენებით (ფუნქციის წარმოებულის პოვნა) და მოძრაობის ტრაექტორიის განტოლების პოვნა ცნობილი სიჩქარის ფორმულის გამოყენებით.

გ) შემოღებულია ანტიწარმოებულისა და განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტება

სლაიდი 5, 6

მასწავლებელი: იმისათვის, რომ დავალება უფრო კონკრეტული გახდეს, უნდა გამოვასწოროთ საწყისი სიტუაცია.

დ) ანტიდერივატების ცხრილი სლაიდი 7

ამოცანები ანტიდერივატების პოვნის უნარის გასავითარებლად - ჯგუფურად მუშაობა სლაიდი 8

ამოცანები განავითაროს უნარი დაამტკიცოს, რომ ანტიდერივატი არის მოცემული ინტერვალის ფუნქციისთვის - წყვილი მუშაობა.

6. ფიზიკური ვარჯიშისლაიდი 9

7. ნასწავლის პირველადი გააზრება და გამოყენება.სლაიდი 10

8. საშინაო დავალების დადგენასლაიდი 11

9. გაკვეთილის შეჯამება.სლაიდი 12

ფრონტალური გამოკითხვისას მოსწავლეებთან ერთად ხდება გაკვეთილის შედეგების შეჯამება, ახალი მასალის ცნების გააზრება შეგნებულად, სმაილიკების სახით.

ყველაფერი მესმოდა, ყველაფერი მოვახერხე.

ნაწილი ვერ გავიგე, ყველაფერი ვერ მოვახერხე.

Კლასი: 11

პრეზენტაცია გაკვეთილისთვის

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდების გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შესაძლოა არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის ყველა მახასიათებელს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ გადმოწეროთ სრული ვერსია.

ალგებრის ტექნოლოგიური რუკა გაკვეთილი მე-11 კლასი.

"ადამიანს შეუძლია აღიაროს თავისი შესაძლებლობები მხოლოდ მათი გამოყენების მცდელობით."
სენეკა უმცროსი.

საათების რაოდენობა განყოფილებაში: 10 საათი.

თემის დაბლოკვა:ანტიწარმოებული და განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

გაკვეთილის წამყვანი თემა:ცოდნისა და ზოგადსაგანმანათლებლო უნარების ჩამოყალიბება სტანდარტული, მიახლოებითი და მრავალდონიანი ამოცანების სისტემის მეშვეობით.

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო: ჩამოაყალიბონ და გააერთიანონ ანტიდერივატივის ცნება, იპოვონ სხვადასხვა დონის ანტიდერივატიული ფუნქციები.
განმავითარებელი:მოსწავლეთა გონებრივი აქტივობის განვითარება ანალიზის, შედარების, განზოგადებისა და სისტემატიზაციის ოპერაციებზე დაყრდნობით.
საგანმანათლებლო:ჩამოაყალიბოს მოსწავლეთა იდეოლოგიური შეხედულებები, ჩაუნერგოს წარმატების განცდა მიღებულ შედეგებზე პასუხისმგებლობისგან.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის სწავლა.

სწავლების მეთოდები:ვერბალური, ვერბალური - ვიზუალური, პრობლემური, ევრისტიკული.

ტრენინგის ფორმები:ინდივიდუალური, წყვილი, ჯგუფური, მთელი კლასი.

განათლების საშუალებები:საინფორმაციო, კომპიუტერი, ეპიგრაფი, დარიგებები.

სწავლის მოსალოდნელი შედეგები:სტუდენტმა უნდა

წარმოებული განმარტება
ანტიდერივატი განსაზღვრულია ორაზროვნად.

იპოვნეთ ანტიდერივატიული ფუნქციები უმარტივეს შემთხვევებში
შეამოწმეთ არის თუ არა ფუნქცია ანტიწარმოებული მოცემულ დროის ინტერვალზე.

გაკვეთილის სტრუქტურა:

გაკვეთილის მიზნის დასახვა (2 წთ)
ახალი მასალების შესასწავლად მომზადება (3 წთ)
გაცნობა ახალ მასალაში (25 წთ)
ნასწავლის საწყისი გაგება და გამოყენება (10 წთ)
საშინაო დავალების დაყენება (2 წთ)
გაკვეთილის შეჯამება (3 წთ)
სამუშაო ადგილების დაჯავშნა.

გაკვეთილების დროს

1. მოხსენება თემის, გაკვეთილის მიზნის, მიზნებისა და სასწავლო აქტივობების მოტივაციის შესახებ.

დაფაზე:

***წარმოებული – „აწარმოებს“ ახალ ფუნქციას. ანტიდერივატი - პირველადი გამოსახულება.

2. ცოდნის განახლება, ცოდნის სისტემატიზაცია შედარებით.

დიფერენციაცია - წარმოებულის პოვნა.

ინტეგრაცია - ფუნქციის აღდგენა მოცემული წარმოებულიდან.

ახალი სიმბოლოების გაცნობა:

*ზეპირი სავარჯიშოები: წერტილების ნაცვლად დააყენეთ რაიმე ფუნქცია, რომელიც აკმაყოფილებს თანასწორობას.(იხ. პრეზენტაცია) - ინდივიდუალური სამუშაო.

(ამ დროს 1 მოსწავლე წერს დიფერენცირების ფორმულებს დაფაზე, 2 მოსწავლე წერს დიფერენცირების წესებს).

თვითტესტს ატარებენ მოსწავლეები.(ინდივიდუალური სამუშაო)
მოსწავლეთა ცოდნის კორექტირება.

3. ახალი მასალის შესწავლა.

ა) საპასუხო მოქმედებები მათემატიკაში.

მასწავლებელი: მათემატიკაში არის 2 ურთიერთშებრუნებული ოპერაცია მათემატიკაში. მოდით შევხედოთ მას შედარებით.

ბ) ორმხრივი მოქმედებები ფიზიკაში.

მექანიკის განყოფილებაში განხილულია ორი ურთიერთშებრუნებული პრობლემა. სიჩქარის პოვნა მატერიალური წერტილის მოძრაობის მოცემული განტოლების გამოყენებით (ფუნქციის წარმოებულის პოვნა) და მოძრაობის ტრაექტორიის განტოლების პოვნა ცნობილი სიჩქარის ფორმულის გამოყენებით.

მაგალითი 1 გვერდი 140 – მუშაობა სახელმძღვანელოსთან (ინდივიდუალური სამუშაო).

მოცემული ფუნქციის მიმართ წარმოებულის პოვნის პროცესს ეწოდება დიფერენციაცია, ხოლო შებრუნებულ ოპერაციას, ანუ ფუნქციის პოვნის პროცესს მოცემულ წარმოებულთან მიმართებაში – ინტეგრაცია.

გ) შემოღებულია ანტიდერივატივის განმარტება.

ამოცანები ანტიდერივატების პოვნის უნარის გასავითარებლად - ჯგუფურად მუშაობა. (იხილეთ პრეზენტაცია)

ამოცანები განავითაროს უნარი დაამტკიცოს, რომ ანტიდერივატი არის მოცემული ინტერვალის ფუნქციისთვის - წყვილი მუშაობა. (იხილეთ პრეზენტაცია)..

4. ნასწავლის პირველადი გააზრება და გამოყენება.

მაგალითები ამონახსნებით „იპოვე შეცდომა“ - ინდივიდუალური სამუშაო.(იხილეთ პრეზენტაცია)

*** შეასრულეთ ურთიერთდამოწმება.

დასკვნა: ამ ამოცანების შესრულებისას ადვილი შესამჩნევია, რომ ანტიდერივატი განსაზღვრულია ორაზროვნად.

5. საშინაო დავალების დადგენა

წაიკითხეთ განმარტებითი ტექსტი თავი 4 პუნქტი 20, დაიმახსოვრეთ 1. ანტიწარმოებულის განმარტება, ამოხსენით No20.1 -20.5 (გ, დ) - სავალდებულო დავალება ყველასთვის No 20.6 (ბ), 20.7 (გ, დ), 20.8 (ბ). ), 20.9 (ბ) - 4 მაგალითი ასარჩევად.

6. გაკვეთილის შეჯამება.

ყველაფერი მესმოდა, ყველაფერი მოვახერხე.

ნაწილობრივ ვერ გავიგე, ყველაფერი ვერ მოვახერხე.

7. დაჯავშნე ამოცანები.

მთელი კლასის მიერ ზემოთ შემოთავაზებული ამოცანების ადრეული შესრულების შემთხვევაში დაგეგმილია აგრეთვე No20.6(a), 20.7(a), 20.9(a) ამოცანების გამოყენება ყველაზე მომზადებული მოსწავლეების დასაქმებისა და განვითარების უზრუნველსაყოფად.

ლიტერატურა:

ა.გ. მორდკოვიჩი, პ.ვ. სემენოვი, ანალიზის ალგებრა, პროფილის დონე, ნაწილი 1, ნაწილი 2 პრობლემური წიგნი, მანველოვი S. G. "შემოქმედებითი გაკვეთილის განვითარების საფუძვლები".

გაკვეთილის თემა : ანტიდერივატი. განუსაზღვრელი ინტეგრალი და მისი თვისებები

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:

გააცნოს მოსწავლეებს ანტიწარმოებული და განუსაზღვრელი ინტეგრალის ცნებები, ანტიწარმოებულის ძირითადი თვისება და ანტიწარმოებული და განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის წესები.

საგანმანათლებლო:

დამოუკიდებელი საქმიანობის უნარების განვითარება,

გაააქტიურეთ გონებრივი აქტივობა და მათემატიკური მეტყველება.

საგანმანათლებლო:

შესრულებული სამუშაოს ხარისხსა და შედეგებზე პასუხისმგებლობის გრძნობის ჩამოყალიბება;

შექმენით პასუხისმგებლობა საბოლოო შედეგზე.

ტიპი გაკვეთილი : ახალი ცოდნის შეტყობინებები

განხორციელების მეთოდი : ვერბალური, ვიზუალური, დამოუკიდებელი სამუშაო.

უსაფრთხოება გაკვეთილი :

მულტიმედიური აღჭურვილობა და პროგრამული უზრუნველყოფა პრეზენტაციებისა და ვიდეოების ჩვენებისთვის;

სახელმძღვანელო: მარტივი ინტეგრალების ცხრილი (კონსოლიდაციის ეტაპზე).

გაკვეთილის სტრუქტურა.

1. ორგანიზაციული მომენტი (2 მინ.)

სასწავლო აქტივობების მოტივაცია. (5 მინ.)

ახალი მასალის პრეზენტაცია. (50 მინ.)

შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია. (25 მინ.)

გაკვეთილის შეჯამება. ანარეკლი. (6 მინ.)

საშინაო დავალების შეტყობინება. (2 მინ.)

გაკვეთილის მიმდინარეობა.

ორგანიზების დრო. (2 წუთი.)

სწავლების ტექნიკა

მასწავლებელი მიესალმება მოსწავლეებს და ამოწმებს დამსწრეებს აუდიტორიაში.

სტუდენტები ემზადებიან სამუშაოდ. უფროსი ავსებს ანგარიშს. დამსწრეები არიგებენ დარიგებებს.

სასწავლო აქტივობების მოტივაცია.( 5 წუთი.)

სწავლების ტექნიკა

დღევანდელი გაკვეთილის თემა„პირველადი.განუსაზღვრელი ინტეგრალი და მისი თვისებები“.(სლაიდი 1)

ამ თემაზე ცოდნას გამოვიყენებთ შემდეგ გაკვეთილებზე გარკვეული ინტეგრალების და სიბრტყე ფიგურების არეების პოვნისას. დიდი ყურადღება ეთმობა ინტეგრალურ გამოთვლებს უმაღლეს საგანმანათლებლო დაწესებულებებში უმაღლესი მათემატიკის განყოფილებებში გამოყენებითი ამოცანების გადაჭრისას.

ჩვენი დღევანდელი გაკვეთილი არის ახალი მასალის შესწავლა, ამიტომ ის იქნება თეორიული ხასიათის. გაკვეთილის მიზანია ინტეგრალური გამოთვლების შესახებ იდეების ჩამოყალიბება, მისი არსის გაგება და ანტიწარმოებულებისა და განუსაზღვრელი ინტეგრალების პოვნის უნარ-ჩვევების გამომუშავება.(სლაიდი 2)

მოსწავლეები წერენ გაკვეთილის თარიღს და თემას.

3. ახალი მასალის პრეზენტაცია (50 წთ)

სწავლების ტექნიკა

1. ჩვენ ახლახან გავაშუქეთ თემა "ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის წარმოებულები". Მაგალითად:

ფუნქციის წარმოებულივ (x)= X 9 , ჩვენ ეს ვიცითვ ′(x)= 9x 8 . ახლა ჩვენ გადავხედავთ ფუნქციის პოვნის მაგალითს, რომლის წარმოებული ცნობილია.

ვთქვათ წარმოებული არის მოცემულივ ′(x)= 6x 5 . წარმოებულის შესახებ ცოდნის გამოყენებით, შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ ეს არის ფუნქციის წარმოებულივ (x)= X 6 . ფუნქციას, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს მისი წარმოებულით, ეწოდება ანტიდერივატი.(მიეცით ანტიწარმოებულის განმარტება. (სლაიდი 3)

განმარტება 1 : ფუნქცია ფ ( x ) ეწოდება ფუნქციის ანტიწარმოებულს ვ ( x ) სეგმენტზე [ ა; ბ], თუ თანასწორობა დაკმაყოფილებულია ამ სეგმენტის ყველა წერტილში = ვ ( x )

მაგალითი 1 (სლაიდი 4): დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერისთვისxϵ(-∞;+∞) ფუნქციაფ ( x ) = x 5 -5x ვ (x)=5 X 4 -5.

დადასტურება: ანტიწარმოებულის განმარტების გამოყენებით ვპოულობთ ფუნქციის წარმოებულს

=(X 5 -5x)′=(x 5 )′-(5х)′=5 X 4 -5.

მაგალითი 2 (სლაიდი 5): მოდით დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერისთვისxϵ(-∞;+∞) ფუნქციაფ ( x )= არაარის ფუნქციის ანტიდერივატივ (x)= .

დაამტკიცეთ მოსწავლეებთან ერთად დაფაზე.

ჩვენ ვიცით, რომ წარმოებულის პოვნა ე.წდიფერენციაცია . გამოიძახება ფუნქციის პოვნა მისი წარმოებულიდანინტეგრაცია. (სლაიდი 6). ინტეგრაციის მიზანია მოცემული ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის პოვნა.

მაგალითად: (სლაიდი 7)

ანტიდერივატივის ძირითადი თვისება:

თეორემა: თუფ ( x ) - ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი ვ (X) X ინტერვალზე, მაშინ ამ ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლე განისაზღვრება ფორმულით გ ( x )= ფ ( x )+ C , სადაც C არის რეალური რიცხვი.

(სლაიდი 8) ანტიწარმოებულების ცხრილი

ანტიდერივატების პოვნის სამი წესი

წესი #1:თუ ფარსებობს ფუნქციის ანტიდერივატივ, ა გ- ანტიდერივატიგ, ეს ფ+ გ- არსებობს ანტიდერივატივ+ გ.

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g

წესი #2:თუ ფ- ანტიდერივატივ, ა კარის მუდმივი, შემდეგ ფუნქციაkF- ანტიდერივატიკფ.

(kF)’ = kF’ = კფ

წესი #3:თუ ფ- ანტიდერივატივ, ა კდა ბ– მუდმივები (), შემდეგ ფუნქცია

ანტიდერივატივ(kx+ ბ).

ინტეგრალის ცნების ისტორია მჭიდრო კავშირშია კვადრატების პოვნის პრობლემებთან. ძველი საბერძნეთისა და რომის მათემატიკოსები კონკრეტული სიბრტყის ფიგურის კვადრატის პრობლემებს უწოდებდნენ პრობლემებს, რომლებსაც ახლა ჩვენ ვახარისხებთ არეების გამოთვლის პრობლემებად. ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსთა მრავალი მნიშვნელოვანი მიღწევა ამ ამოცანების გადაჭრაში დაკავშირებულია ამოწურვის მეთოდის გამოყენებასთან, რომელიც შემოთავაზებულია. ევდოქსი კნიდოსელი. ამ მეთოდის გამოყენებით ევდოქსმა დაამტკიცა:

1. ორი წრის ფართობი დაკავშირებულია მათი დიამეტრის კვადრატებად.

2. კონუსის მოცულობა უდრის იმავე სიმაღლისა და ფუძის მქონე ცილინდრის მოცულობის 1/3-ს.

ევდოქსის მეთოდი გააუმჯობესა არქიმედესმა და დაამტკიცა შემდეგი:

1. წრის ფართობის ფორმულის გამოყვანა.

2. ბურთის მოცულობა ტოლია ცილინდრის მოცულობის 2/3-ის.

ყველა მიღწევა დაამტკიცეს დიდმა მათემატიკოსებმა ინტეგრალის გამოყენებით.

დავუბრუნდეთ თეორემა 1-ს და გამოვიტანოთ ახალი განმარტება.

განმარტება 2 : გამოხატულება ფ ( x ) + C , სად C - თვითნებური მუდმივი, რომელსაც ეწოდება განუსაზღვრელი ინტეგრალი და აღინიშნება სიმბოლოთი

განმარტებიდან გვაქვს:

(1)

ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალივ(x), ამგვარად წარმოადგენს ყველა ანტიდერივატიული ფუნქციის ერთობლიობასვ(x) .

ტოლობაში (1) ფუნქციავ(x) ეწოდება ინტეგრირებული ფუნქცია და გამოხატვა ვ(x) dx– ინტეგრანდ , ცვლადი x – ინტეგრაციის ცვლადი , ვადა C - ინტეგრაციის მუდმივი .

ინტეგრაცია არის დიფერენცირების საპირისპირო ოპერაცია. იმისათვის, რომ შევამოწმოთ ინტეგრაცია სწორად შესრულდა თუ არა, საკმარისია შედეგის დიფერენცირება და ინტეგრირებული ფუნქციის მიღება.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები.

ანტიდერივატივის განმარტებიდან გამომდინარე, მარტივია შემდეგის დამტკიცებაგანუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები

ზოგიერთი ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი უდრის ამ ფუნქციას პლუს თვითნებური მუდმივი

ორი ან მეტი ფუნქციის ალგებრული ჯამის განუსაზღვრელი ინტეგრალი მათი ინტეგრალების ალგებრული ჯამის ტოლია

მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან, ანუ თუა= კონსტ, ეს

სტუდენტები ჩაწერენ ლექციას სახელმძღვანელოების და მასწავლებლის განმარტებების გამოყენებით. ანტიწარმოებულებისა და ინტეგრალების თვისებების დადასტურებისას გამოიყენება დიფერენციაციის თემაზე ცოდნა.

4. მარტივი ინტეგრალების ცხრილი

1. ,( ნ -1) 2.

3. 4.

5. 6.

ამ ცხრილში მოცემულ ინტეგრალებს ჩვეულებრივ უწოდებენცხრილის . მოდით აღვნიშნოთ ფორმული 1-ის განსაკუთრებული შემთხვევა:

მოდით მივცეთ კიდევ ერთი აშკარა ფორმულა:

ალგებრის გაკვეთილი მე-12 კლასში.

გაკვეთილის თემა: „პირველადი. ინტეგრალური"

მიზნები:

საგანმანათლებლო

შეაჯამეთ და გააერთიანეთ მასალა ამ თემაზე: ანტიწარმოებულის განმარტება და თვისებები, ანტიწარმოებულების ცხრილი, ანტიწარმოებულების პოვნის წესები, ინტეგრალის კონცეფცია, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, ფიგურების ფართობების გამოთვლა. ცოდნისა და უნარების სისტემის ასიმილაციის დიაგნოსტიკა და მისი გამოყენება პრაქტიკული დავალებების შესასრულებლად სტანდარტულ დონეზე გადასვლით უფრო მაღალ დონეზე, ხელი შეუწყოს ანალიზის, შედარების და დასკვნების გამოტანის უნარის განვითარებას.

განმავითარებელი

შეასრულოს გაზრდილი სირთულის ამოცანები, განავითაროს ზოგადი სწავლის უნარები და ასწავლოს აზროვნება და კონტროლი და თვითკონტროლი

განათლება

სწავლისა და მათემატიკის მიმართ პოზიტიური დამოკიდებულების ჩამოყალიბება

გაკვეთილის ტიპი: ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია

მუშაობის ფორმები: ჯგუფური, ინდივიდუალური, დიფერენცირებული

აღჭურვილობა: ბარათები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის, დიფერენცირებული სამუშაოსთვის, თვითკონტროლის ფურცელი, პროექტორი.

გაკვეთილების დროს

ორგანიზების დრო

გაკვეთილის მიზნები და ამოცანები: მასალის შეჯამება და კონსოლიდაცია თემაზე „ანტიფორმა. ინტეგრალი“ - ანტიწარმოებულის განმარტება და თვისებები, ანტიწარმოებულების ცხრილი, ანტიწარმოებულების პოვნის წესები, ინტეგრალის კონცეფცია, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, ფიგურების ფართობების გამოთვლა. ცოდნისა და უნარების სისტემის ასიმილაციის დიაგნოსტიკა და მისი გამოყენება პრაქტიკული დავალებების შესასრულებლად სტანდარტულ დონეზე გადასვლით უფრო მაღალ დონეზე, ხელი შეუწყოს ანალიზის, შედარების და დასკვნების გამოტანის უნარის განვითარებას.

გაკვეთილს ჩავატარებთ თამაშის სახით.

წესები:

გაკვეთილი შედგება 6 ეტაპისგან. თითოეული ეტაპი ფასდება გარკვეული ქულების რაოდენობით. შეფასების ფურცელზე თქვენ აძლევთ ქულებს თქვენი მუშაობისთვის ყველა ეტაპზე.

ეტაპი 1. თეორიული. მათემატიკური კარნახი "Tic Tac Toe".

ეტაპი 2. პრაქტიკული. დამოუკიდებელი მუშაობა. იპოვეთ ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები.

ეტაპი 3. "ინტელექტი კარგია, მაგრამ 2 უკეთესია." იმუშავეთ რვეულებში და 2 მოსწავლე დაფაზე. იპოვეთ ფუნქციის ანტიდერივატი, რომლის გრაფიკი გადის A წერტილზე).

4.სცენა. "შეასწორე შეცდომები".

5. ეტაპი. „სიტყვის შედგენა“ ინტეგრალების გამოთვლა.

6. ეტაპი. "იჩქარეთ ნახვა." ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურების ფართობების გამოთვლა.

2. ქულების ფურცელი.

მათემატიკური

კარნახი

დამოუკიდებელი მუშაობა

სიტყვიერი პასუხი

შეასწორეთ შეცდომები

შეადგინე სიტყვა

იჩქარეთ სანახავად

9 ქულა

5+1 ქულა

1 ქულა

5 ქულა

20 ქულა

3 წთ.

5 წუთი.

6 წთ

2. ცოდნის განახლება:

ეტაპი. თეორიული. მათემატიკური კარნახი "Tic Tac Toe"

თუ განცხადება მართალია - X, თუ მცდარია - 0

ფუნქცია ფ(x) ეწოდება ანტიწარმოებულს მოცემულ ინტერვალზე, თუ ამ ინტერვალიდან ყველა x ტოლია

სიმძლავრის ფუნქციის ანტიდერივატივი ყოველთვის სიმძლავრის ფუნქციაა

რთული ფუნქციის ანტიდერივატი

ეს არის ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა

მოხრილი ტრაპეციის ფართობი

ფუნქციების ჯამის ანტიდერივატი = მოცემულ ინტერვალზე განხილული ანტიწარმოებულების ჯამი

ანტიდერივატიული ფუნქციების გრაფიკები მიიღება X ღერძის გასწვრივ პარალელური გადაყვანით C მუდმივამდე.

რიცხვისა და ფუნქციის ნამრავლი ტოლია ამ რიცხვისა და მოცემული ფუნქციის ანტიწარმოებულის ნამრავლისა.

ყველა ანტიდერივატივის კომპლექტს აქვს ფორმა

ზეპირი პასუხი - 1 ქულა

სულ 9 ქულა

3. კონსოლიდაცია და განზოგადება

2 ეტაპი . დამოუკიდებელი მუშაობა.

"მაგალითები უკეთ ასწავლიან, ვიდრე თეორია."

ისააკ ნიუტონი

იპოვეთ ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები:

1 ვარიანტი

ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები

ვარიანტი

ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები

Საკუთარი თავის გამოცდა.

სწორად შესრულებული დავალებისთვის

ვარიანტი 1 -5 ქულა,

2 ვარიანტისთვის +1 ქულა

1 ქულა დამატებით.

ეტაპი . "გონება კარგია და - 2 უკეთესია."

იმუშავეთ ორი მოსწავლის დაფის ფლაპებზე და ყველა დანარჩენი რვეულებში.

ვარჯიში

ვარიანტი 1. იპოვეთ ფუნქციის ანტიწარმოებული, რომლის გრაფიკი გადის A(3;2) წერტილში.

ვარიანტი 2. იპოვეთ ფუნქციის ანტიწარმოებული, რომლის გრაფიკი გადის საწყისზე.

თანატოლთა მიმოხილვა.

სწორი ამოხსნისთვის -5 ქულა.

ეტაპი . დაიჯერეთ თუ არა, შეამოწმეთ თუ გინდათ.

დავალება: შეასწორეთ შეცდომები, თუ ისინი დაშვებულია.

იპოვნეთ სავარჯიშოები შეცდომებით:

სცენა . შეადგინე სიტყვა.

შეაფასეთ ინტეგრალები

ვარიანტი 1.

ვარიანტი.

პასუხი: ბრავო

Საკუთარი თავის გამოცდა. სწორად შესრულებული ამოცანისთვის - 5 ქულა.

ეტაპი. "იჩქარეთ ნახვა."

Გაანგარიშება ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურების არეები.

დავალება: ააგეთ ფიგურა და გამოთვალეთ მისი ფართობი.

2 ქულა

4 ქულა

6 ქულა

შეამოწმეთ ინდივიდუალურად მასწავლებელთან.

ყველა სწორად შესრულებული ამოცანისთვის - 20 ქულა

შეჯამება:

გაკვეთილი მოიცავს ძირითად საკითხებს

ღია გაკვეთილი თემაზე

« ანიმიდური და განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები“.

2 საათი.

მე-11 კლასი მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით

პრობლემის პრეზენტაცია.

პრობლემაზე დაფუძნებული სწავლის ტექნოლოგიები.

ანიმიდური და განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები.

გაკვეთილის მიზანი:

გონებრივი აქტივობის გააქტიურება;

კვლევის მეთოდების ათვისების ხელშეწყობა

- უზრუნველყოს ცოდნის უფრო გრძელვადიანი ათვისება.

გაკვეთილის მიზნები:

ანტიდერივატივის ცნების გაცნობა;
დაამტკიცოს თეორემა მოცემული ფუნქციისთვის ანტიწარმოებულთა სიმრავლის შესახებ (ანტიწარმოებულის განმარტების გამოყენებით);
გააცნოს განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტება;
დაამტკიცოს განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები;
განუვითარდებათ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებების გამოყენების უნარ-ჩვევები.

წინასწარი სამუშაოები:

გაიმეორეთ დიფერენცირების წესები და ფორმულები
დიფერენციალური კონცეფცია.

გაკვეთილების დროს
შემოთავაზებულია პრობლემების გადაჭრა. დაფაზე იწერება დავალებების პირობები.

მოსწავლეები აძლევენ პასუხებს 1, 2 ამოცანების ამოხსნაზე.

(დიფერენციალური გამოყენებით პრობლემების გადაჭრის გამოცდილების განახლება

ციტატა).

1. სხეულის მოძრაობის კანონი S(t), იპოვეთ მისი მყისიერი

სიჩქარე ნებისმიერ დროს.

- V(t) = S(t).
2. იმის ცოდნა, რომ გადინებული ელექტროენერგიის რაოდენობა

გამტარის მეშვეობით გამოიხატება ფორმულით q (t) = 3t - 2 ტ,

გამოიყვანეთ ფორმულა დენის სიძლიერის გამოსათვლელად ნებისმიერ შემთხვევაში

დროის მომენტი ტ.

- I (t) = 6t - 2.

3. მოძრავი სხეულის სიჩქარის ცოდნა დროის ყოველ მომენტში,

მე, იპოვე მისი მოძრაობის კანონი.

იმის ცოდნა, რომ დირიჟორზე გამავალი დენის სიძლიერე ნებისმიერში

ბრძოლის დრო I (t) = 6t – 2, გამოიტანეთ ფორმულა

გავლილი ელექტროენერგიის რაოდენობის განსაზღვრა

დირიჟორის მეშვეობით.
მასწავლებელი: შესაძლებელია თუ არა 3 და 4 ამოცანების ამოხსნა გამოყენებით

საშუალება გვაქვს?

(პრობლემური სიტუაციის შექმნა).
სტუდენტების ვარაუდები:
- ამ პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებელია ოპერაციის დანერგვა,

დიფერენციაციის ინვერსია.

დიფერენციაციის ოპერაცია ადარებს მოცემულს

ფუნქცია F (x) მისი წარმოებული.

F(x) = f(x).

მასწავლებელი: რა არის დიფერენცირების ამოცანა?

სტუდენტების დასკვნა:

მოცემული f (x) ფუნქციის საფუძველზე იპოვეთ ასეთი ფუნქცია

F (x) რომლის წარმოებული არის f (x), ე.ი.
f (x) = F(x) .

ამ ოპერაციას უფრო ზუსტად ინტეგრაცია ჰქვია

განუსაზღვრელი ინტეგრაცია.

მათემატიკის ფილიალს, რომელიც შეისწავლის ფუნქციების ინტეგრირების მოქმედების თვისებებს და მის გამოყენებას ფიზიკასა და გეომეტრიაში ამოცანების ამოხსნაში, ეწოდება ინტეგრალური გამოთვლა.
ინტეგრალური კალკულუსი არის მათემატიკური ანალიზის ფილიალი, დიფერენციალურ გამოთვლებთან ერთად ის ქმნის მათემატიკური ანალიზის აპარატის საფუძველს.

ინტეგრალური გაანგარიშება წარმოიშვა ბუნებისმეტყველებისა და მათემატიკის დიდი რაოდენობის ამოცანების განხილვის შედეგად. მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანი არის მოცემულ დროში გავლილი მანძილის განსაზღვრის ფიზიკური პრობლემა ცნობილი, მაგრამ შესაძლოა ცვლადი მოძრაობის სიჩქარის გამოყენებით და ბევრად უფრო უძველესი დავალება - გეომეტრიული ფიგურების ფართობისა და მოცულობის გამოთვლა.

რა არის ამ საპირისპირო ოპერაციის გაურკვევლობა, ჯერ კიდევ გასარკვევია.
მოდით შემოგთავაზოთ განმარტება. (მოკლედ სიმბოლურად იწერება

Მაგიდაზე).

განმარტება 1. ფუნქცია F (x) განსაზღვრულია რაღაც ინტერვალზე

ke X ეწოდება ანტიწარმოებულს მოცემული ფუნქციისთვის

ერთსა და იმავე ინტერვალზე, თუ ყველა x X

თანასწორობა მოქმედებს

F(x) = f (x) ან d F(x) = f (x) dx .
Მაგალითად. (x) = 2x, ამ ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ფუნქცია

x არის ანტიწარმოებული მთელ რიცხვთა ღერძზე

2x ფუნქციისთვის.

ანტიდერივატის განმარტების გამოყენებით შეასრულეთ სავარჯიშო

No2 (1,3,6). შეამოწმეთ, რომ ფუნქცია F არის ანტიდერივატი

noi ფუნქციისთვის f if

1) F (x) =

2 cos 2x, f(x) = x

- 4 ცოდვა 2x.

2) F (x) = tan x - cos 5x, f(x) =
+ 5 ცოდვა 5x.

3) F (x) = x sin x +
, f (x) = 4x sinx + x cosx +
.

მოსწავლეები მაგალითების ამოხსნას წერენ დაფაზე და კომენტარს აკეთებენ.

გააფუჭებს თქვენს ქმედებებს.

არის თუ არა ფუნქცია x ერთადერთი ანტიწარმოებული

ფუნქციისთვის 2x?

მოსწავლეები აძლევენ მაგალითებს

x + 3; x - 92 და ა.შ. ,

მოსწავლეები აკეთებენ საკუთარ დასკვნებს:
ნებისმიერ ფუნქციას აქვს უსასრულოდ ბევრი ანტიდერივატი.
x + C ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია, სადაც C არის გარკვეული რიცხვი,

არის x ფუნქციის ანტიდერივატი.

ანტიდერივატიული თეორემა იწერება რვეულში კარნახით.

მასწავლებლები.

თეორემა. თუ f ფუნქციას აქვს ანტიწარმოებული ინტერვალზე

რიცხვითი F, მაშინ ნებისმიერი C რიცხვისთვის არის ასევე ფუნქცია F + C

არის f-ის ანტიწარმოებული. სხვა პროტოტიპები

F ფუნქცია X-ზე არ არის.

მტკიცებულებას ახორციელებენ მოსწავლეები მასწავლებლის ხელმძღვანელობით.
ა) იმიტომ F არის ანტიწარმოებული f-სთვის X ინტერვალზე, მაშინ

F (x) = f (x) ყველა x X-ისთვის.

მაშინ x X-ისთვის ნებისმიერი C გვაქვს:

(F(x) + C) = f(x). ეს ნიშნავს, რომ F (x) + C ასევე არის

f-ის ანტიდერივატი X-ზე.

ბ) დავამტკიცოთ, რომ სხვა ანტიწარმოებულების f ფუნქცია X-ზე

არ აქვს.

დავუშვათ, რომ Φ არის ასევე ანტიწარმოებული f-სთვის X-ზე.

მაშინ Ф(x) = f(x) და შესაბამისად ყველა x X გვაქვს:

F (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, შესაბამისად

Ф - F მუდმივია X-ზე. მოდით, Ф (x) – F (x) = C, მაშინ

Ф (x) = F (x) + C, რაც ნიშნავს ნებისმიერ ანტიწარმოებულს

F ფუნქციას X-ზე აქვს ფორმა F + C.

მასწავლებელი: რა არის ყველა პროტოტიპის პოვნა?

nykh ამ ფუნქციისთვის?

მოსწავლეები აყალიბებენ დასკვნას:

ყველა ანტიდერივატივის პოვნის პრობლემა მოგვარებულია

რომელიმეს აღმოჩენით: თუ ასეთი პრიმიტიული

აღმოჩენილია განსხვავებული, შემდეგ მისგან მიიღება ნებისმიერი სხვა

მუდმივის დამატებით.

მასწავლებელი აყალიბებს განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტებას.
განმარტება 2. f ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლე

ამის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ეწოდება

ფუნქციები.
Დანიშნულება.
; - წაიკითხეთ ინტეგრალი.
= F (x) + C, სადაც F არის ერთ-ერთი ანტიდერივატი

f, C გადის სიმრავლეს

რეალური რიცხვები.

f - ინტეგრანდული ფუნქცია;

f (x)dx - ინტეგრანდ;

x არის ინტეგრაციის ცვლადი;

C არის ინტეგრაციის მუდმივი.
მოსწავლეები სახელმძღვანელოსგან დამოუკიდებლად სწავლობენ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებებს და წერენ რვეულებში.

მოსწავლეები წერენ ამონახსნებს რვეულებში, მუშაობენ დაფაზე