როგორ მოვძებნოთ LCM (უმცირესი საერთო ჯერადი). როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი

ქვემოთ წარმოდგენილი მასალა არის თეორიის ლოგიკური გაგრძელება სტატიიდან სათაურით LCM - ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი, განმარტება, მაგალითები, კავშირი LCM-სა და GCD-ს შორის. აქ ჩვენ ვისაუბრებთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა (LCM), და Განსაკუთრებული ყურადღებამოდით, ყურადღება გავამახვილოთ მაგალითების ამოხსნაზე. პირველი, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოითვლება ორი რიცხვის LCM ამ რიცხვების GCD-ის გამოყენებით. შემდეგი, ჩვენ შევხედავთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნას რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით. ამის შემდეგ, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნაზე და ასევე ყურადღებას გავამახვილებთ უარყოფითი რიცხვების LCM-ის გამოთვლაზე.

გვერდის ნავიგაცია.

უმცირესი საერთო მრავალჯერადი (LCM) გამოთვლა GCD-ის საშუალებით

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის ერთ-ერთი გზა ემყარება LCM-სა და GCD-ს შორის ურთიერთობას. LCM-სა და GCD-ს შორის არსებული კავშირი საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ ორი დადებითი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი ცნობილი უდიდესის მეშვეობით. საერთო გამყოფი. შესაბამისი ფორმულა არის LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . მოდით შევხედოთ LCM-ის პოვნის მაგალითებს მოცემული ფორმულის გამოყენებით.

მაგალითი.

იპოვეთ ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 126 და 70.

გამოსავალი.

ამ მაგალითში a=126, b=70. მოდით გამოვიყენოთ კავშირი LCM-სა და GCD-ს შორის, გამოხატული ფორმულით LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). ანუ ჯერ უნდა ვიპოვოთ 70 და 126 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი, რის შემდეგაც შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ რიცხვების LCM წერილობითი ფორმულით.

ვიპოვოთ GCD(126, 70) ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, შესაბამისად, GCD(126, 70)=14.

ახლა ჩვენ ვიპოვით საჭირო უმცირეს საერთო ჯერადს: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

პასუხი:

LCM(126, 70)=630.

მაგალითი.

რის ტოლია LCM(68, 34)?

გამოსავალი.

იმიტომ რომ 68 იყოფა 34-ზე, შემდეგ GCD(68, 34)=34. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ უმცირეს საერთო ჯერადს: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

პასუხი:

LCM(68, 34)=68 .

გაითვალისწინეთ, რომ წინა მაგალითი შეესაბამება შემდეგ წესს LCM-ის პოვნისთვის დადებითი მთელი რიცხვებისთვის a და b: თუ რიცხვი a იყოფა b-ზე, მაშინ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის a.

LCM-ის პოვნა რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის კიდევ ერთი გზა ეფუძნება რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გადაქცევას. თუ შეადგენთ ნამრავლს მოცემული რიცხვების ყველა მარტივი ფაქტორებიდან და შემდეგ ამ ნამრავლიდან გამორიცხავთ ყველა საერთო მარტივ ფაქტორს, რომელიც არსებობს მოცემული რიცხვების დაშლაში, მაშინ მიღებული ნამრავლი ტოლი იქნება მოცემული რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს. .

LCM-ის პოვნის დადგენილი წესი თანასწორობიდან გამომდინარეობს LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). მართლაც, a და b რიცხვების ნამრავლი ტოლია a და b რიცხვების გაფართოებაში მონაწილე ყველა ფაქტორის ნამრავლის. თავის მხრივ, GCD(a, b) უდრის ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლს, რომლებიც ერთდროულად გვხვდება a და b რიცხვების გაფართოებებში (როგორც აღწერილია GCD-ის პოვნაში რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გაფართოების გამოყენებით).

მოვიყვანოთ მაგალითი. გავიგოთ, რომ 75=3·5·5 და 210=2·3·5·7. შევადგინოთ ნამრავლი ამ გაფართოების ყველა ფაქტორიდან: 2·3·3·5·5·5·7 . ახლა ამ პროდუქტიდან ჩვენ გამოვრიცხავთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც არსებობს როგორც 75-ის, ასევე 210-ის გაფართოებაში (ეს ფაქტორები არის 3 და 5), შემდეგ პროდუქტი მიიღებს 2·3·5·5·7 ფორმას. . ამ ნამრავლის მნიშვნელობა უდრის 75-ისა და 210-ის უმცირეს საერთო ჯერადს, ანუ NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

მაგალითი.

441 და 700 რიცხვები გადაიტანეთ მარტივ ფაქტორებად და იპოვეთ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

გამოსავალი.

მოდით გავამრავლოთ რიცხვები 441 და 700 მარტივ ფაქტორებად:

ვიღებთ 441=3·3·7·7 და 700=2·2·5·5·7.

ახლა შევქმნათ პროდუქტი ამ რიცხვების გაფართოებაში მონაწილე ყველა ფაქტორიდან: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. მოდით ამ პროდუქტიდან გამოვრიცხოთ ყველა ფაქტორი, რომელიც ერთდროულად არის ორივე გაფართოებაში (არსებობს მხოლოდ ერთი ასეთი ფაქტორი - ეს არის რიცხვი 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. ამრიგად, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

პასუხი:

NOC(441, 700)= 44 100 .

LCM-ის პოვნის წესი რიცხვების მარტივ ფაქტორებად ფაქტორიზაციის გამოყენებით შეიძლება ჩამოყალიბდეს ოდნავ განსხვავებულად. თუ b რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებულ ფაქტორებს დაემატება a რიცხვის გაფართოების ფაქტორები, მაშინ მიღებული ნამრავლის მნიშვნელობა უდრის a და b რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს..

მაგალითად, ავიღოთ იგივე რიცხვები 75 და 210, მათი დაშლა მარტივ ფაქტორებად ასეთია: 75=3·5·5 და 210=2·3·5·7. 3, 5 და 5 ფაქტორებს 75 რიცხვის გაფართოებიდან ვუმატებთ გამოტოვებულ 2 და 7 ფაქტორებს 210 რიცხვის გაფართოებიდან, ვიღებთ ნამრავლს 2·3·5·5·7, რომლის მნიშვნელობა არის ტოლია LCM(75, 210).

მაგალითი.

იპოვეთ 84-ისა და 648-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

გამოსავალი.

ჩვენ ჯერ ვიღებთ 84 და 648 რიცხვების დაშლას მარტივ ფაქტორებად. ისინი ჰგავს 84=2·2·3·7 და 648=2·2·2·3·3·3·3. 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს 84 რიცხვის გაფართოებიდან ვუმატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 2, 3, 3 და 3 648 რიცხვის გაფართოებიდან, ვიღებთ ნამრავლს 2 2 2 3 3 3 3 7, რომელიც უდრის 4 536-ს. ამრიგად, 84-ისა და 648-ის სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი არის 4536.

პასუხი:

LCM(84, 648)=4,536.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნა

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი შეიძლება მოიძებნოს ორი რიცხვის LCM-ის თანმიმდევრული ძიებით. გავიხსენოთ შესაბამისი თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM.

თეორემა.

დაე, დადებითი მთელი რიცხვები a 1 , a 2 , …, a k იყოს მოცემული, ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი m k გვხვდება m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2, a) თანმიმდევრული გამოთვლით. 3) , … , m k = LCM(m k−1, a k) .

განვიხილოთ ამ თეორემის გამოყენება ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი.

იპოვეთ ოთხი რიცხვის LCM 140, 9, 54 და 250.

გამოსავალი.

ამ მაგალითში a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

ჯერ ვიპოვით m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). ამისათვის ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით განვსაზღვრავთ GCD(140, 9), გვაქვს 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, შესაბამისად, GCD(140, 9)=1, საიდანაც GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. ანუ m 2 =1 260.

ახლა ჩვენ ვიპოვით m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). გამოვთვალოთ ის GCD(1 260, 54) მეშვეობით, რომელსაც ასევე განვსაზღვრავთ ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 1 260=54·23+18, 54=18·3. შემდეგ gcd(1,260, 54)=18, საიდანაც gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. ანუ m 3 =3 780.

რჩება მხოლოდ პოვნა m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ GCD(3,780, 250) ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. ამიტომ, GCM(3,780, 250)=10, საიდანაც GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. ანუ მ 4 =94500.

ასე რომ, თავდაპირველი ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი არის 94500.

პასუხი:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

ხშირ შემთხვევაში მოსახერხებელია სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა მოცემული რიცხვების მარტივი ფაქტორიზაციების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა დაიცვან შემდეგი წესი. რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი ტოლია ნამრავლის, რომელიც შედგება შემდეგნაირად: მეორე რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებული ფაქტორები ემატება პირველი რიცხვის გაფართოების ყველა ფაქტორს, გამოტოვებული ფაქტორები გაფართოებიდან. მესამე რიცხვს ემატება მიღებული ფაქტორები და ა.შ.

მოდით შევხედოთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითს მარტივი ფაქტორიზაციის გამოყენებით.

მაგალითი.

იპოვეთ ხუთი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 84, 6, 48, 7, 143.

გამოსავალი.

ჯერ ვიღებთ ამ რიცხვების დაშლას მარტივ ფაქტორებად: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 მარტივი რიცხვია, ემთხვევა. თავის პირველ ფაქტორებად დაშლით) და 143=11·13.

ამ რიცხვების LCM-ის მოსაძებნად, პირველი ნომრის 84-ის ფაქტორებს (ისინი არის 2, 2, 3 და 7), თქვენ უნდა დაამატოთ დაკარგული ფაქტორები მეორე რიცხვ 6-ის გაფართოებიდან. რიცხვი 6-ის დაშლა არ შეიცავს გამოტოვებულ ფაქტორებს, რადგან 2 და 3 უკვე წარმოდგენილია პირველი რიცხვის 84-ის დაშლაში. შემდეგი, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს ვამატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 2 და 2 მესამე რიცხვის 48 გაფართოებიდან, ვიღებთ 2, 2, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორების ერთობლიობას. შემდეგ ეტაპზე ამ კომპლექტში მულტიპლიკატორების დამატება არ იქნება საჭირო, რადგან მასში უკვე არის 7. და ბოლოს, 2, 2, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს ვუმატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 11 და 13 143 რიცხვის გაფართოებიდან. ვიღებთ ნამრავლს 2·2·2·2·3·7·11·13, რომელიც უდრის 48048-ს.

როგორ მოვძებნოთ უმცირესი საერთო ჯერადი?

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ თითოეული იმ ორი რიცხვის თითოეული კოეფიციენტი, რომლისთვისაც ვიპოვით უმცირეს საერთო ჯერადს, შემდეგ კი ერთმანეთზე გავამრავლოთ ის ფაქტორები, რომლებიც ემთხვევა პირველ და მეორე რიცხვს. პროდუქტის შედეგი იქნება საჭირო მრავალჯერადი.

მაგალითად, გვაქვს რიცხვები 3 და 5 და უნდა ვიპოვოთ LCM (უმცირესი საერთო ჯერადი). Ჩვენ საჭიროა გამრავლებადა სამი და ხუთი ყველა რიცხვისთვის 1 2 3-დან დაწყებული ...და ასე შემდეგ მანამ, სანამ ორივე ადგილას ერთსა და იმავე რიცხვს დავინახავთ.

გაამრავლეთ სამი და მიიღეთ: 3, 6, 9, 12, 15

გაამრავლეთ ხუთზე და მიიღეთ: 5, 10, 15

ძირითადი ფაქტორიზაციის მეთოდი არის ყველაზე კლასიკური მეთოდი რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) მოსაძებნად. ეს მეთოდი ნათლად და მარტივად არის ნაჩვენები შემდეგ ვიდეოში:

შეკრება, გამრავლება, გაყოფა, საერთო მნიშვნელამდე შემცირება და სხვა არითმეტიკული მოქმედებები ძალიან საინტერესო აქტივობაა; განსაკუთრებით მომხიბვლელია მაგალითები, რომლებიც იკავებს მთელ ფურცელს.

ასე რომ, იპოვეთ ორი რიცხვის საერთო ჯერადი, რომელიც იქნება უმცირესი რიცხვი, რომლითაც იყოფა ეს ორი რიცხვი. მინდა აღვნიშნო, რომ არ არის აუცილებელი მომავალში მიმართოთ ფორმულებს, რომ იპოვოთ ის, რასაც ეძებთ, თუ შეგიძლიათ დათვალოთ თქვენს თავში (და ამის გაწვრთნა შესაძლებელია), მაშინ თავად რიცხვები გამოჩნდება თქვენს თავში და შემდეგ ფრაქციები თხილივით იბზარება.

დასაწყისისთვის, მოდით ვისწავლოთ, რომ თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ ორი რიცხვი ერთმანეთზე და შემდეგ შეამციროთ ეს მაჩვენებელი და მონაცვლეობით გავყოთ ამ ორ რიცხვზე, ასე რომ, ჩვენ ვიპოვით უმცირეს ჯერადს.

მაგალითად, ორი რიცხვი 15 და 6. გაამრავლეთ და მიიღეთ 90. ეს აშკარად უფრო დიდი რიცხვია. უფრო მეტიც, 15 იყოფა 3-ზე და 6 იყოფა 3-ზე, რაც იმას ნიშნავს, რომ ჩვენ ასევე ვყოფთ 90-ს 3-ზე. ვიღებთ 30-ს. ვცდილობთ 30 გავყოთ 15 უდრის 2-ს. და 30 გავყოთ 6 უდრის 5-ს. ვინაიდან 2 არის ზღვარი, გამოდის გამოთვალეთ, რომ რიცხვების უმცირესი ჯერადი არის 15 და 6 იქნება 30.

უფრო დიდი რიცხვებით ცოტა უფრო რთული იქნება. მაგრამ თუ იცით რომელი რიცხვები იძლევა ნულის ნაშთს გაყოფისას ან გამრავლებისას, მაშინ, პრინციპში, დიდი სირთულეები არ არის.

• როგორ მოვძებნოთ NOC

  აქ არის ვიდეო, რომელიც მოგცემთ ორ გზას, რათა იპოვოთ უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). შემოთავაზებული მეთოდებიდან პირველის გამოყენებით ვარჯიშის შემდეგ, უკეთ გაიგებთ რა არის უმცირესი საერთო ჯერადი.

მე წარმოგიდგენთ სხვა გზას უმცირესი საერთო ჯერადის მოსაძებნად. მოდით შევხედოთ მას ნათელი მაგალითით.

თქვენ უნდა იპოვოთ ერთდროულად სამი რიცხვის LCM: 16, 20 და 28.

• ჩვენ წარმოვადგენთ თითოეულ რიცხვს, როგორც მისი მარტივი ფაქტორების ნამრავლს:
• ჩვენ ვწერთ ყველა ძირითადი ფაქტორის ძალას:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• ჩვენ ვირჩევთ ყველა მარტივ გამყოფს (გამრავლებას) უდიდესი სიმძლავრის მქონე, ვამრავლებთ და ვპოულობთ LCM-ს:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

ამრიგად, გამოთვლის შედეგი იყო რიცხვი 560. ეს არის უმცირესი საერთო ჯერადი, ანუ ის იყოფა სამი რიცხვიდან თითოეულზე ნაშთების გარეშე.

უმცირესი საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება დაიყოს რამდენიმე მოცემულ რიცხვად ნაშთის დატოვების გარეშე. ასეთი ფიგურის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა აიღოთ თითოეული რიცხვი და დაშალოთ იგი მარტივ ფაქტორებად. ის რიცხვები, რომლებიც ემთხვევა, ამოღებულია. ტოვებს ყველას სათითაოდ, რიგრიგობით გაამრავლებს მათ შორის და მიიღეთ სასურველი - ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი.

NOC, ან უმცირესი საერთო ჯერადი, არის ორი ან მეტი რიცხვის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ მოცემულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე.

აქ არის მაგალითი იმისა, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ 30-ისა და 42-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

• პირველი ნაბიჯი არის ამ რიცხვების ფაქტორები პირველ ფაქტორებად.

30-ისთვის არის 2 x 3 x 5.

42-ისთვის ეს არის 2 x 3 x 7. ვინაიდან 2 და 3 არის 30 რიცხვის გაფართოებაში, ჩვენ მათ გადავხაზავთ.

• ჩვენ ვწერთ ფაქტორებს, რომლებიც შედის 30 რიცხვის გაფართოებაში. ეს არის 2 x 3 x 5.
• ახლა უნდა გავამრავლოთ ისინი გამოტოვებულ კოეფიციენტზე, რომელიც გვაქვს 42-ის გაფართოებისას, რაც არის 7. მივიღებთ 2 x 3 x 5 x 7.
• ვპოულობთ რას უდრის 2 x 3 x 5 x 7 და მივიღებთ 210-ს.

შედეგად ვხვდებით, რომ 30 და 42 რიცხვების LCM არის 210.

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა, თქვენ უნდა შეასრულოთ რამდენიმე მარტივი ნაბიჯი თანმიმდევრობით. მოდით შევხედოთ ამას ორი რიცხვის მაგალითის გამოყენებით: 8 და 12

1. ორივე რიცხვს ვანაწილებთ მარტივ ფაქტორებად: 8=2*2*2 და 12=3*2*2
2. ჩვენ ვამცირებთ ერთ-ერთი რიცხვის იგივე ფაქტორებს. ჩვენს შემთხვევაში, 2 * 2 ემთხვევა, მოდით შევამციროთ ისინი 12 რიცხვისთვის, შემდეგ 12-ს დარჩება ერთი ფაქტორი: 3.
3. იპოვეთ ყველა დარჩენილი ფაქტორის ნამრავლი: 2*2*2*3=24

შემოწმებისას დავრწმუნდებით, რომ 24 იყოფა როგორც 8-ზე, ასევე 12-ზე და ეს არის ყველაზე პატარა ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე. Ჩვენ აქ ვართ იპოვა უმცირესი საერთო ჯერადი.

შევეცდები ავხსნა 6 და 8 რიცხვების მაგალითის გამოყენებით. უმცირესი საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება დაიყოს ამ რიცხვებზე (ჩვენს შემთხვევაში 6 და 8) და ნაშთი არ იქნება.

ასე რომ, ჯერ ვიწყებთ 6-ის გამრავლებას 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე და ა.შ. და 8-ზე 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე და ა.შ.

უდიდესი საერთო გამყოფი

განმარტება 2

თუ ნატურალური რიცხვი a იყოფა ნატურალურ რიცხვზე $b$, მაშინ $b$-ს ეწოდება $a$-ის გამყოფი, ხოლო $a$-ს ეწოდება $b$-ის ჯერადი.

დაე, $a$ და $b$ იყოს ნატურალური რიცხვები. რიცხვს $c$ ეწოდება $a$ და $b$-ის საერთო გამყოფი.

$a$ და $b$ რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლე სასრულია, რადგან არცერთი ეს გამყოფი არ შეიძლება იყოს $a$-ზე მეტი. ეს ნიშნავს, რომ ამ გამყოფებს შორის არის ყველაზე დიდი, რომელსაც ეწოდება $a$ და $b$ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი და აღინიშნება შემდეგი აღნიშვნებით:

$GCD \(a;b)\ ან \D\(a;b)$

ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად დაგჭირდებათ:

1. იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

მაგალითი 1

იპოვეთ რიცხვების gcd $121$ და $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

აირჩიეთ რიცხვები, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

$GCD=2\cdot 11=22$

მაგალითი 2

იპოვეთ მონომილების gcd $63$ და $81$.

ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის:

მოდით გავამრავლოთ რიცხვები მარტივ ფაქტორებად

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ჩვენ ვირჩევთ ნომრებს, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ვიპოვოთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

$GCD=3\cdot 3=9$

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ორი რიცხვის gcd სხვა გზით, რიცხვების გამყოფების სიმრავლის გამოყენებით.

მაგალითი 3

იპოვეთ რიცხვების gcd $48$ და $60$.

გამოსავალი:

ვიპოვოთ $48$ რიცხვის გამყოფთა სიმრავლე: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

ახლა ვიპოვოთ რიცხვის გამყოფების სიმრავლე $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

ვიპოვოთ ამ სიმრავლეთა კვეთა: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ეს ნაკრები განსაზღვრავს $48$ და $60 რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლეს. $. ამ ნაკრების ყველაზე დიდი ელემენტი იქნება რიცხვი $12$. ეს ნიშნავს, რომ $48$ და $60$ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი არის $12$.

NPL-ის განმარტება

განმარტება 3

საერთო ჯერადები ნატურალური რიცხვები $a$ და $b$ არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის $a$ და $b$-ის ჯერადი.

რიცხვების საერთო ჯერადები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა თავდაპირველ რიცხვებზე ნაშთების გარეშე. მაგალითად, რიცხვებისთვის $25$ და $50$, საერთო ჯერადები იქნება რიცხვები $50,100,150,200$ და ა.შ.

უმცირეს საერთო ჯერადს დაერქმევა უმცირესი საერთო ჯერადი და აღინიშნა LCM$(a;b)$ ან K$(a;b).$

ორი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად საჭიროა:

1. ფაქტორების რიცხვი მარტივ ფაქტორებად
2. ჩამოწერეთ პირველი რიცხვის შემადგენელი ფაქტორები და დაუმატეთ მათ ფაქტორები, რომლებიც მეორეს ნაწილია და არ არის პირველის ნაწილი.

მაგალითი 4

იპოვეთ რიცხვების LCM $99$ და $77$.

ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის

ფაქტორების რიცხვი მარტივ ფაქტორებად

$99=3\cdot 3\cdot 11$

დაწერეთ პირველში შემავალი ფაქტორები

დაამატეთ მათ მამრავლები, რომლებიც მეორეს ნაწილია და არა პირველის ნაწილი

იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

რიცხვების გამყოფთა სიების შედგენა ხშირად ძალიან შრომატევადი ამოცანაა. არსებობს გზა, რომ იპოვოთ GCD, რომელსაც ეწოდება ევკლიდური ალგორითმი.

განცხადებები, რომლებზეც დაფუძნებულია ევკლიდური ალგორითმი:

თუ $a$ და $b$ ნატურალური რიცხვებია და $a\vdots b$, მაშინ $D(a;b)=b$

თუ $a$ და $b$ ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$-ის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია თანმიმდევრულად შევამციროთ განსახილველი რიცხვები, სანამ არ მივაღწევთ რიცხვების წყვილს ისე, რომ ერთი მათგანი იყოფა მეორეზე. მაშინ ამ რიცხვებიდან უფრო მცირე იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი $a$ და $b$ რიცხვებისთვის.

GCD-ისა და LCM-ის თვისებები

1. $a$-ისა და $b$-ის ნებისმიერი საერთო ჯერადი იყოფა K$(a;b)$-ზე
2. თუ $a\vdots b$, მაშინ К$(a;b)=a$

თუ K$(a;b)=k$ და $m$ ნატურალური რიცხვია, მაშინ K$(am;bm)=km$

თუ $d$ არის $a$-ისა და $b$-ის საერთო გამყოფი, მაშინ K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

თუ $a\vdots c$ და $b\vdots c$, მაშინ $\frac(ab)(c)$ არის $a$ და $b$-ის საერთო ჯერადი.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის $a$ და $b$ ტოლობა მოქმედებს

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ და $b$ რიცხვების ნებისმიერი საერთო გამყოფი არის $D(a;b)$ რიცხვის გამყოფი.

მაგრამ ბევრი ნატურალური რიცხვი ასევე იყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვებზე.

Მაგალითად:

რიცხვი 12 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე;

რიცხვი 36 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე, 18-ზე, 36-ზე.

რიცხვები, რომლებითაც რიცხვი იყოფა მთელზე (12-ისთვის ეს არის 1, 2, 3, 4, 6 და 12) ეწოდება რიცხვების გამყოფები. ნატურალური რიცხვის გამყოფი ა- არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც ყოფს მოცემული ნომერი აუკვალოდ. ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც აქვს ორზე მეტი გამყოფი, ეწოდება კომპოზიტური .

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ 12 და 36 რიცხვებს აქვთ საერთო ფაქტორები. ეს რიცხვებია: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ამ რიცხვების უდიდესი გამყოფი არის 12. ამ ორი რიცხვის საერთო გამყოფი ადა ბ- ეს ის რიცხვია, რომლითაც ორივე მოცემული რიცხვი იყოფა ნაშთების გარეშე ადა ბ.

საერთო ჯერადებირამდენიმე რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე. Მაგალითად 9, 18 და 45 რიცხვებს აქვთ 180-ის საერთო ჯერადი. მაგრამ 90 და 360 ასევე მათი საერთო ჯერადებია. ყველა საერთო ჯერადს შორის ყოველთვის არის უმცირესი, in ამ შემთხვევაშიეს არის 90. ამ რიცხვს ეძახიან ყველაზე პატარასაერთო მრავალჯერადი (CMM).

LCM ყოველთვის არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც უფრო დიდი უნდა იყოს იმ რიცხვებზე, რომლებისთვისაც ის არის განსაზღვრული.

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). Თვისებები.

კომუტატიულობა:

ასოციაციურობა:

კერძოდ, თუ და არის ერთობლივი რიცხვები, მაშინ:

ორი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი მდა ნარის ყველა სხვა საერთო ჯერადის გამყოფი მდა ნ. უფრო მეტიც, საერთო ჯერადების ნაკრები მ, ნემთხვევა LCM-ის ჯერადების სიმრავლეს( მ, ნ).

ასიმპტოტიკა შეიძლება გამოიხატოს ზოგიერთი რიცხვის თეორიული ფუნქციით.

Ისე, ჩებიშევის ფუნქცია. და:

ეს გამომდინარეობს ლანდაუს ფუნქციის განსაზღვრებიდან და თვისებებიდან g(n).

რაც გამომდინარეობს მარტივი რიცხვების განაწილების კანონიდან.

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) პოვნა.

NOC( ა, ბ) შეიძლება გამოითვალოს რამდენიმე გზით:

1. თუ ცნობილია უდიდესი საერთო გამყოფი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მისი კავშირი LCM-თან:

2. ცნობილი იყოს ორივე რიცხვის კანონიკური დაშლა მარტივ ფაქტორებად:

სად p 1,...,p k- სხვადასხვა მარტივი რიცხვები და d 1,...,d kდა e 1,...,e k- არაუარყოფითი მთელი რიცხვები (ისინი შეიძლება იყოს ნულები, თუ შესაბამისი მარტივი არ არის გაფართოებაში).

შემდეგ NOC ( ა,ბ) გამოითვლება ფორმულით:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, LCM დაშლა შეიცავს ყველა მარტივ ფაქტორს, რომელიც შედის რიცხვების მინიმუმ ერთ დაშლაში. ა, ბ, და აღებულია ამ მულტიპლიკატორის ორი მაჩვენებლიდან ყველაზე დიდი.

მაგალითი:

რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის გამოთვლა შეიძლება შემცირდეს ორი რიცხვის LCM-ის რამდენიმე თანმიმდევრულ გამოთვლებამდე:

წესი.რიცხვების სერიის LCM-ის საპოვნელად დაგჭირდებათ:

- რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად;

- გადაიტანეთ უდიდესი გაფართოება (სასურველი პროდუქტის ფაქტორების პროდუქტი) სასურველი პროდუქტის ფაქტორებში დიდი რიცხვიმოცემულებიდან), შემდეგ კი დაამატეთ სხვა რიცხვების გაფართოების ფაქტორები, რომლებიც არ ჩანს პირველ რიცხვში ან ჩნდება მასში ნაკლებჯერ;

— მარტივი ფაქტორების შედეგად მიღებული ნამრავლი იქნება მოცემული რიცხვების LCM.

ნებისმიერ ორ ან მეტ ნატურალურ რიცხვს აქვს საკუთარი LCM. თუ რიცხვები არ არის ერთმანეთის ჯერადი ან არ აქვთ ერთი და იგივე ფაქტორები გაფართოებაში, მაშინ მათი LCM ტოლია ამ რიცხვების ნამრავლის.

28 რიცხვის პირველ ფაქტორებს (2, 2, 7) ემატება კოეფიციენტი 3 (რიცხვი 21), შედეგად მიღებული ნამრავლი (84) იქნება ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელიც იყოფა 21-ზე და 28-ზე.

ძირითადი ფაქტორები მეტი 30 დაემატა 25 რიცხვის 5 კოეფიციენტს, შედეგად მიღებული ნამრავლი 150 მეტია უდიდეს რიცხვზე 30 და იყოფა ყველა მოცემულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. ეს მინიმუმ პროდუქტიშესაძლოდან (150, 250, 300...), რომელსაც ყველა მოცემული რიცხვი მრავლობითია.

რიცხვები 2,3,11,37 არის მარტივი რიცხვები, ამიტომ მათი LCM უდრის მოცემული რიცხვების ნამრავლს.

წესი. მარტივი რიცხვების LCM-ის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ყველა ეს რიცხვი ერთად.

კიდევ ერთი ვარიანტი:

რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) მოსაძებნად გჭირდებათ:

1) წარმოადგინეთ თითოეული რიცხვი, როგორც მისი მარტივი ფაქტორების ნამრავლი, მაგალითად:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) ჩამოწერეთ ყველა ძირითადი ფაქტორის ძალა:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) ჩამოწერეთ თითოეული ამ რიცხვის ყველა მარტივი გამყოფი (გამრავლება);

4) აირჩიეთ თითოეული მათგანის უდიდესი ხარისხი, რომელიც გვხვდება ამ რიცხვების ყველა გაფართოებაში;

5) გაამრავლეთ ეს ძალა.

მაგალითი. იპოვეთ რიცხვების LCM: 168, 180 და 3024.

გამოსავალი. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

ჩვენ ვწერთ ყველა პირველ გამყოფთა უდიდეს ძალებს და ვამრავლებთ მათ:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ LCM, ჯერ უნდა დაადგინოთ ტერმინი "მრავალჯერადი".

A-ის ჯერადი არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა A-ზე ნაშთების გარეშე.ამგვარად, რიცხვები, რომლებიც 5-ის ჯერადები არიან, შეიძლება ჩაითვალოს 15, 20, 25 და ა.შ.

შეიძლება არსებობდეს კონკრეტული რიცხვის გამყოფები შეზღუდული რაოდენობით, მაგრამ არის უსასრულო რაოდენობის ჯერადი.

ნატურალური რიცხვების საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა მათზე ნაშთის დატოვების გარეშე.

როგორ მოვძებნოთ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი

რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) (ორი, სამი ან მეტი) არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა ყველა ამ რიცხვზე.

LOC-ის მოსაძებნად შეგიძლიათ გამოიყენოთ რამდენიმე მეთოდი.

მცირე რიცხვებისთვის მოსახერხებელია ამ რიცხვების ყველა ჯერადი ჩაწერა სტრიქონზე, სანამ მათ შორის რაიმე საერთოს არ იპოვით. აღნიშვნაში მითითებულია მრავლობითი დიდი ასო TO.

მაგალითად, 4-ის ჯერადი შეიძლება ჩაიწეროს ასე:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

ამრიგად, ხედავთ, რომ 4 და 6 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის რიცხვი 24. ეს აღნიშვნა კეთდება შემდეგნაირად:

LCM(4, 6) = 24

თუ რიცხვები დიდია, იპოვეთ სამი ან მეტი რიცხვის საერთო ჯერადი, მაშინ უმჯობესია გამოიყენოთ LCM-ის გამოთვლის სხვა მეთოდი.

დავალების შესასრულებლად, მოცემული რიცხვები უნდა გადაანაწილოთ მარტივ ფაქტორებად.

ჯერ უნდა ჩაწეროთ ყველაზე დიდი რიცხვის დაშლა ხაზზე, მის ქვემოთ კი - დანარჩენი.

თითოეული რიცხვის დაშლა შეიძლება შეიცავდეს ფაქტორების განსხვავებულ რაოდენობას.

მაგალითად, 50 და 20 რიცხვები გავამრავლოთ მარტივ ფაქტორებად.

უფრო მცირე რიცხვის გაფართოებისას უნდა მონიშნოთ ის ფაქტორები, რომლებიც აკლია პირველი უდიდესი რიცხვის გაფართოებას და შემდეგ დაამატეთ ისინი. წარმოდგენილ მაგალითში ორი აკლია.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ 20-ისა და 50-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

ამრიგად, დიდი რიცხვის უბრალო ფაქტორების ნამრავლი და მეორე რიცხვის ფაქტორების ნამრავლი, რომლებიც არ შედიოდნენ დიდი რიცხვის გაფართოებაში, იქნება უმცირესი საერთო ჯერადი.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა დაასახელოთ ისინი ყველა მარტივ ფაქტორებად, როგორც წინა შემთხვევაში.

მაგალითად, შეგიძლიათ იპოვოთ 16, 24, 36 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

ამრიგად, თექვსმეტის გაფართოებიდან მხოლოდ ორი ორი არ იყო ჩართული უფრო დიდი რიცხვის ფაქტორიზაციაში (ერთი არის ოცდაოთხი-ის გაფართოებაში).

ამრიგად, ისინი უნდა დაემატოს უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებას.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

არის უმცირესი საერთო ჯერადის განსაზღვრის განსაკუთრებული შემთხვევები. ასე რომ, თუ რომელიმე რიცხვი ნაშთის გარეშე შეიძლება გაიყოს მეორეზე, მაშინ ამ რიცხვებიდან უფრო დიდი იქნება უმცირესი საერთო ჯერადი.

მაგალითად, თორმეტისა და ოცდაოთხის LCM არის ოცდაოთხი.

თუ საჭიროა ვიპოვოთ თანაპირდაპირი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი, რომლებსაც არ აქვთ იდენტური გამყოფები, მაშინ მათი LCM ტოლი იქნება მათი ნამრავლის.

მაგალითად, LCM (10, 11) = 110.