განვიხილოთ სამი გზა უმცირესი საერთო ჯერადის მოსაძებნად.
მოძიება ფაქტორიზაციით
პირველი მეთოდი არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა მოცემული რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით.
ვთქვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რიცხვების LCM: 99, 30 და 28. ამისათვის მოდით, თითოეული ეს რიცხვი გავამრავლოთ მარტივ ფაქტორებად:
იმისათვის, რომ სასურველი რიცხვი გაიყოს 99-ზე, 30-ზე და 28-ზე, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მასში შევიდეს ამ გამყოფების ყველა ძირითადი ფაქტორი. ამისათვის ჩვენ უნდა ავიყვანოთ ამ რიცხვების ყველა ძირითადი ფაქტორი მაქსიმალურ სიმძლავრემდე და გავამრავლოთ ისინი:
2 2 3 2 5 7 11 = 13,860
ამრიგად, LCM (99, 30, 28) = 13,860. 13,860-ზე ნაკლები სხვა რიცხვი არ იყოფა 99-ზე, 30-ზე ან 28-ზე.
მოცემული რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად, თქვენ შეადარეთ ისინი მათ პირველ ფაქტორებად, შემდეგ აიღეთ თითოეული მარტივი ფაქტორი უდიდესი მაჩვენებლით, რომელშიც ის ჩანს და გაამრავლეთ ეს ფაქტორები ერთად.
ვინაიდან შედარებით მარტივ რიცხვებს არ აქვთ საერთო მარტივი ფაქტორები, მათი უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ამ რიცხვების ნამრავლს. მაგალითად, სამი რიცხვი: 20, 49 და 33 შედარებით მარტივია. Ამიტომაც
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
იგივე უნდა გაკეთდეს სხვადასხვა მარტივი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნისას. მაგალითად, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
მოძიება შერჩევით
მეორე მეთოდი არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა შერჩევით.
მაგალითი 1. როდესაც მოცემული რიცხვებიდან უდიდესი იყოფა სხვა მოცემულ რიცხვზე, მაშინ ამ რიცხვების LCM უდრის მათგან უდიდეს. მაგალითად, მოცემულია ოთხი რიცხვი: 60, 30, 10 და 6. თითოეული მათგანი იყოფა 60-ზე, ამიტომ:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
სხვა შემთხვევებში, უმცირესი საერთო ჯერადი მოსაძებნად, გამოიყენება შემდეგი პროცედურა:
- განსაზღვრეთ ყველაზე დიდი რიცხვი მოცემული რიცხვებიდან.
- შემდეგ ვპოულობთ რიცხვებს, რომლებიც მრავლობითია ყველაზე დიდი რაოდენობა, გავამრავლოთ იგი ნატურალურ რიცხვებზე გაზრდის თანმიმდევრობით და შევამოწმოთ არის თუ არა მიღებული ნამრავლი დანარჩენ მოცემულ რიცხვებზე.
მაგალითი 2. მოცემულია სამი რიცხვი 24, 3 და 18. ჩვენ განვსაზღვრავთ მათგან ყველაზე დიდს - ეს არის რიცხვი 24. შემდეგ, ვპოულობთ რიცხვებს, რომლებიც 24-ის ჯერადი არიან, ვამოწმებთ, იყო თუ არა თითოეული მათგანი 18-ზე და 3-ზე:
24 · 1 = 24 - იყოფა 3-ზე, მაგრამ არ იყოფა 18-ზე.
24 · 2 = 48 - იყოფა 3-ზე, მაგრამ არ იყოფა 18-ზე.
24 · 3 = 72 - იყოფა 3-ზე და 18-ზე.
ამრიგად, LCM (24, 3, 18) = 72.
პოვნა LCM-ის თანმიმდევრული მოძიებით
მესამე მეთოდი არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა LCM-ის თანმიმდევრული პოვნის გზით.
ორი მოცემული რიცხვის LCM ტოლია ამ რიცხვების ნამრავლის გაყოფილი მათ უდიდეს საერთო გამყოფზე.
მაგალითი 1. იპოვეთ ორი მოცემული რიცხვის LCM: 12 და 8. განსაზღვრეთ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი: GCD (12, 8) = 4. გაამრავლეთ ეს რიცხვები:
ჩვენ ვყოფთ პროდუქტს მათი gcd-ით:
ამრიგად, LCM (12, 8) = 24.
სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად გამოიყენეთ შემდეგი პროცედურა:
- პირველ რიგში, იპოვნეთ ამ რიცხვებიდან ნებისმიერი ორის LCM.
- შემდეგ ნაპოვნი უმცირესი საერთო ჯერადი და მესამეს LCM მოცემული ნომერი.
- შემდეგ, მიღებული უმცირესი საერთო ჯერადი და მეოთხე რიცხვის LCM და ა.შ.
- ამრიგად, LCM-ის ძებნა გრძელდება მანამ, სანამ არის ნომრები.
მაგალითი 2. იპოვეთ LCM სამი მონაცემინომრები: 12, 8 და 9. წინა მაგალითში უკვე ვიპოვეთ 12 და 8 რიცხვების LCM (ეს არის რიცხვი 24). რჩება 24 რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი და მესამე მოცემული რიცხვის - 9-ის პოვნა. დაადგინეთ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი: GCD (24, 9) = 3. გაამრავლეთ LCM რიცხვით 9:
ჩვენ ვყოფთ პროდუქტს მათი gcd-ით:
ამრიგად, LCM (12, 8, 9) = 72.
უდიდესი საერთო გამყოფი
განმარტება 2
თუ ბუნებრივი რიცხვი a იყოფა ნატურალურ რიცხვზე $b$, შემდეგ $b$-ს ეწოდება $a$-ის გამყოფი, ხოლო $a$ რიცხვს ეწოდება $b$-ის ჯერადი.
დაე, $a$ და $b$ იყოს ნატურალური რიცხვები. რიცხვს $c$ ეწოდება $a$ და $b$-ის საერთო გამყოფი.
$a$ და $b$ რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლე სასრულია, რადგან არცერთი ეს გამყოფი არ შეიძლება იყოს $a$-ზე მეტი. ეს ნიშნავს, რომ ამ გამყოფებს შორის არის ყველაზე დიდი, რომელსაც ეწოდება $a$ და $b$ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი და აღინიშნება შემდეგი აღნიშვნით:
$GCD \(a;b)\ ან \D\(a;b)$
ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად დაგჭირდებათ:
- იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.
მაგალითი 1
იპოვეთ რიცხვების gcd $121$ და $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
აირჩიეთ რიცხვები, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.
$GCD=2\cdot 11=22$
მაგალითი 2
იპოვეთ მონომილების gcd $63$ და $81$.
ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის:
მოდით გავამრავლოთ რიცხვები მარტივ ფაქტორებად
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
ჩვენ ვირჩევთ ნომრებს, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
ვიპოვოთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.
$GCD=3\cdot 3=9$
თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ორი რიცხვის gcd სხვა გზით, რიცხვების გამყოფების სიმრავლის გამოყენებით.
მაგალითი 3
იპოვეთ რიცხვების gcd $48$ და $60$.
გამოსავალი:
ვიპოვოთ $48$ რიცხვის გამყოფთა სიმრავლე: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
ახლა ვიპოვოთ რიცხვის გამყოფების სიმრავლე $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
ვიპოვოთ ამ სიმრავლეთა კვეთა: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ეს ნაკრები განსაზღვრავს $48$ და $60 რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლეს. $. ამ ნაკრების ყველაზე დიდი ელემენტი იქნება რიცხვი $12$. ეს ნიშნავს, რომ $48$ და $60$ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი არის $12$.
NPL-ის განმარტება
განმარტება 3
ნატურალური რიცხვების საერთო ჯერადი$a$ და $b$ არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის $a$ და $b$-ის ჯერადი.
რიცხვების საერთო ჯერადები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა თავდაპირველ რიცხვებზე ნაშთების გარეშე. მაგალითად, რიცხვებისთვის $25$ და $50$, საერთო ჯერადები იქნება რიცხვები $50,100,150,200$ და ა.შ.
უმცირეს საერთო ჯერადს დაერქმევა უმცირესი საერთო ჯერადი და აღინიშნა LCM$(a;b)$ ან K$(a;b).$
ორი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად საჭიროა:
- ფაქტორების რიცხვი მარტივ ფაქტორებად
- ჩამოწერეთ პირველი რიცხვის შემადგენელი ფაქტორები და დაუმატეთ მათ ფაქტორები, რომლებიც მეორეს ნაწილია და არ არის პირველის ნაწილი.
მაგალითი 4
იპოვეთ რიცხვების LCM $99$ და $77$.
ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის
ფაქტორების რიცხვი მარტივ ფაქტორებად
$99=3\cdot 3\cdot 11$
დაწერეთ პირველში შემავალი ფაქტორები
დაამატეთ მათ მამრავლები, რომლებიც მეორეს ნაწილია და არა პირველის ნაწილი
იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
რიცხვების გამყოფთა სიების შედგენა ხშირად ძალიან შრომატევადი ამოცანაა. არსებობს გზა, რომ იპოვოთ GCD, რომელსაც ეწოდება ევკლიდური ალგორითმი.
განცხადებები, რომლებზეც დაფუძნებულია ევკლიდური ალგორითმი:
თუ $a$ და $b$ ნატურალური რიცხვებია და $a\vdots b$, მაშინ $D(a;b)=b$
თუ $a$ და $b$ ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ $b
$D(a;b)= D(a-b;b)$-ის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია თანმიმდევრულად შევამციროთ განსახილველი რიცხვები, სანამ არ მივაღწევთ რიცხვების წყვილს ისე, რომ ერთი მათგანი იყოფა მეორეზე. მაშინ ამ რიცხვებიდან უფრო მცირე იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი $a$ და $b$ რიცხვებისთვის.
GCD-ისა და LCM-ის თვისებები
- $a$-ისა და $b$-ის ნებისმიერი საერთო ჯერადი იყოფა K$(a;b)$-ზე
- თუ $a\vdots b$, მაშინ К$(a;b)=a$
თუ K$(a;b)=k$ და $m$ ნატურალური რიცხვია, მაშინ K$(am;bm)=km$
თუ $d$ არის $a$-ისა და $b$-ის საერთო გამყოფი, მაშინ K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
თუ $a\vdots c$ და $b\vdots c$, მაშინ $\frac(ab)(c)$ არის $a$ და $b$-ის საერთო ჯერადი.
ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის $a$ და $b$ ტოლობა მოქმედებს
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
$a$ და $b$ რიცხვების ნებისმიერი საერთო გამყოფი არის $D(a;b)$ რიცხვის გამყოფი.
მეორე ნომერი: b=
ათასის გამყოფისივრცის გამყოფის გარეშე "'
შედეგი:
უდიდესი საერთო გამყოფი gcd( ა,ბ)=6
LCM-ის უმცირესი საერთო ჯერადი( ა,ბ)=468
ყველაზე დიდი ნატურალური რიცხვი, რომელიც ნაშთის გარეშე შეიძლება გაიყოს a და b რიცხვებზე, ეწოდება ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი(GCD) ამ რიცხვებიდან. აღინიშნება gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ან hcf(a,b).
უმცირესი საერთო ჯერადიორი a და b რიცხვის LCM არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა a-ზე და b-ზე ნაშთის გარეშე. აღინიშნება LCM(a,b) ან lcm(a,b).
მთელი რიცხვები a და b ეწოდება ორმხრივად მთავარი, თუ მათ არ აქვთ საერთო გამყოფები გარდა +1 და −1.
უდიდესი საერთო გამყოფი
მიეცით ორი დადებითი რიცხვი ა 1 და ა 2 1). საჭიროა ამ რიცხვების საერთო გამყოფის პოვნა, ე.ი. იპოვნეთ ასეთი რიცხვი λ , რომელიც ყოფს რიცხვებს ა 1 და ა 2 ერთდროულად. მოდით აღვწეროთ ალგორითმი.
1) ამ სტატიაში სიტყვა რიცხვი გაგებული იქნება, როგორც მთელი რიცხვი.
დაე ა 1 ≥ ა 2 და ნება
სად მ 1 , ა 3 არის რამდენიმე მთელი რიცხვი, ა 3 <ა 2 (დაყოფის დარჩენილი ნაწილი ა 1 თითო ა 2 ნაკლები უნდა იყოს ა 2).
მოდი ვიჩვენოთ, რომ λ ყოფს ა 1 და ა 2 მაშინ λ ყოფს მ 1 ა 2 და λ ყოფს ა 1 −მ 1 ა 2 =ა 3 (სტატიის მე-2 დებულება „ რიცხვთა გაყოფა. გაყოფის ტესტი“). აქედან გამომდინარეობს, რომ ყველა საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2 არის საერთო გამყოფი ა 2 და ა 3. საპირისპიროა ასევე თუ λ საერთო გამყოფი ა 2 და ა 3 მაშინ მ 1 ა 2 და ა 1 =მ 1 ა 2 +ა 3 ასევე იყოფა λ . ამიტომ საერთო გამყოფი ა 2 და ა 3 ასევე არის საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2. იმიტომ რომ ა 3 <ა 2 ≤ა 1, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ რიცხვების საერთო გამყოფის პოვნის პრობლემის გადაწყვეტა ა 1 და ა 2 დაყვანილია რიცხვების საერთო გამყოფის პოვნის მარტივ ამოცანამდე ა 2 და ა 3 .
თუ ა 3 ≠0, მაშინ შეგვიძლია გავყოთ ა 2-ზე ა 3. მერე
,
სად მ 1 და ა 4 არის რამდენიმე მთელი რიცხვი, ( ა 4 დარჩენილი გაყოფიდან ა 2-ზე ა 3 (ა 4 <ა 3)). მსგავსი მსჯელობით მივდივართ დასკვნამდე, რომ რიცხვების საერთო გამყოფები ა 3 და ა 4 ემთხვევა რიცხვების საერთო გამყოფებს ა 2 და ა 3 და ასევე საერთო გამყოფებით ა 1 და ა 2. იმიტომ რომ ა 1 , ა 2 , ა 3 , ა 4, ... არის რიცხვები, რომლებიც მუდმივად კლებულობენ და რადგან მათ შორის არის სასრული რიცხვების რაოდენობა ა 2 და 0, შემდეგ რაღაც საფეხურზე ნ, დაყოფის დარჩენილი ნაწილი ა n-ზე ა n+1 ტოლი იქნება ნულის ( ა n+2 =0).
.
ყველა საერთო გამყოფი λ ნომრები ა 1 და ა 2 ასევე არის რიცხვების გამყოფი ა 2 და ა 3 , ა 3 და ა 4 , .... ა n და ა n+1 . საპირისპირო ასევე მართალია, რიცხვების საერთო გამყოფები ა n და ა n+1 ასევე რიცხვების გამყოფია ა n−1 და ა n, ...., ა 2 და ა 3 , ა 1 და ა 2. მაგრამ რიცხვების საერთო გამყოფი ა n და ა n+1 არის რიცხვი ა n+1, რადგან ა n და ა n+1 იყოფა ა n+1 (გახსოვდეთ ა n+2 =0). აქედან გამომდინარე ა n+1 ასევე არის რიცხვების გამყოფი ა 1 და ა 2 .
გაითვალისწინეთ, რომ ნომერი ა n+1 რიცხვების უდიდესი გამყოფია ა n და ა n+1, რადგან უდიდესი გამყოფი ა n+1 არის თავად ა n+1 . თუ ა n+1 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მთელი რიცხვების ნამრავლი, მაშინ ეს რიცხვები ასევე არის რიცხვების საერთო გამყოფები ა 1 და ა 2. ნომერი ა n+1 ეწოდება ყველაზე დიდი საერთო გამყოფინომრები ა 1 და ა 2 .
ნომრები ა 1 და ა 2 შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი რიცხვები. თუ რომელიმე რიცხვი ნულის ტოლია, მაშინ ამ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი უდრის მეორე რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას. ნულოვანი რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი განუსაზღვრელია.
ზემოთ მოყვანილი ალგორითმი ე.წ ევკლიდეს ალგორითმიიპოვონ ორი მთელი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი.
ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნის მაგალითი
იპოვეთ ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი 630 და 434.
- ნაბიჯი 1. რიცხვი 630 გაყავით 434-ზე. დარჩენილი არის 196.
- ნაბიჯი 2. რიცხვი 434 გაყავით 196-ზე. დარჩენილი არის 42.
- ნაბიჯი 3. რიცხვი 196 გაყავით 42-ზე. დარჩენილი არის 28.
- ნაბიჯი 4. რიცხვი 42 გაყავით 28-ზე. დარჩენილი არის 14.
- ნაბიჯი 5. რიცხვი 28 გაყავით 14-ზე. დარჩენილი არის 0.
მე-5 საფეხურზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი არის 0. მაშასადამე, 630 და 434 რიცხვების ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის 14. გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები 2 და 7 ასევე 630 და 434 რიცხვების გამყოფია.
კოპრიმი რიცხვები
განმარტება 1. მოდით რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2 უდრის ერთს. შემდეგ ამ ნომრებს ეძახიან თანაპრიმა რიცხვები, რომელსაც არ აქვს საერთო გამყოფი.
თეორემა 1. თუ ა 1 და ა 2 თანაპირდაპირი რიცხვი და λ ზოგიერთი რიცხვი, შემდეგ რიცხვების ნებისმიერი საერთო გამყოფი λa 1 და ა 2 ასევე არის რიცხვების საერთო გამყოფი λ და ა 2 .
მტკიცებულება. განვიხილოთ ევკლიდეს ალგორითმი რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად ა 1 და ა 2 (იხ. ზემოთ).
.
თეორემის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2 და ამიტომ ა n და ა n+1 არის 1. ანუ ა n+1 =1.
მოდით გავამრავლოთ ყველა ეს თანასწორობა λ , მაშინ
.
მოდით საერთო გამყოფი ა 1 λ და ა 2 კი δ . მერე δ შედის როგორც მულტიპლიკატორი ა 1 λ , მ 1 ა 2 λ და ში ა 1 λ -მ 1 ა 2 λ =ა 3 λ (იხ. „რიცხვების გაყოფა“, დებულება 2). Უფრო δ შედის როგორც მულტიპლიკატორი ა 2 λ და მ 2 ა 3 λ და, შესაბამისად, არის ფაქტორი ა 2 λ -მ 2 ა 3 λ =ა 4 λ .
ამგვარად მსჯელობით, ჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ δ შედის როგორც მულტიპლიკატორი ა n−1 λ და მ n−1 ან λ და, შესაბამისად, შიგნით ა n−1 λ −მ n−1 ან λ =ა n+1 λ . იმიტომ რომ ა n+1 =1, მაშინ δ შედის როგორც მულტიპლიკატორი λ . ამიტომ რიცხვი δ არის რიცხვების საერთო გამყოფი λ და ა 2 .
განვიხილოთ თეორემა 1-ის განსაკუთრებული შემთხვევები.
შედეგი 1. დაე ადა გმარტივი რიცხვები შედარებითია ბ. შემდეგ მათი პროდუქტი აწარის მარტივი რიცხვი მიმართ ბ.
მართლა. თეორემა 1-დან აწდა ბაქვთ იგივე საერთო გამყოფები, რაც გდა ბ. მაგრამ ნომრები გდა ბშედარებით მარტივი, ე.ი. აქვს ერთი საერთო გამყოფი 1. მაშინ აწდა ბასევე აქვთ ერთი საერთო გამყოფი 1. ამიტომ აწდა ბორმხრივ მარტივი.
შედეგი 2. დაე ადა ბთანაპრიმი რიცხვები და მოდით ბყოფს აკ. მერე ბყოფს და კ.
მართლა. დამტკიცების პირობიდან აკდა ბაქვს საერთო გამყოფი ბ. თეორემა 1-ის ძალით, ბუნდა იყოს საერთო გამყოფი ბდა კ. აქედან გამომდინარე ბყოფს კ.
დასკვნა 1 შეიძლება განზოგადდეს.
შედეგი 3. 1. მოდით ნომრები ა 1 , ა 2 , ა 3 , ..., ა m რიცხვთან შედარებით მარტივია ბ. მერე ა 1 ა 2 , ა 1 ა 2 · ა 3 , ..., ა 1 ა 2 ა 3 ··· ა m, ამ რიცხვების ნამრავლი რიცხვთან შედარებით მარტივია ბ.
2. მივიღოთ რიცხვების ორი მწკრივი
ისეთი, რომ პირველი რიგის ყველა რიცხვი არის პირველი მეორე სერიის ყველა რიცხვის შეფარდებაში. შემდეგ პროდუქტი
თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვები, რომლებიც იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე.
თუ რიცხვი იყოფა ა 1, მაშინ მას აქვს ფორმა სა 1 სადაც სრაღაც ნომერი. თუ ქარის რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2, მაშინ
სად ს 1 არის გარკვეული მთელი რიცხვი. მერე
არის რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადები ა 1 და ა 2 .
ა 1 და ა 2 შედარებით მარტივია, მაშინ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ა 1 და ა 2:
ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.
ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ რიცხვების ნებისმიერი ჯერადი ა 1 , ა 2 , ა 3 უნდა იყოს რიცხვების ჯერადი ε და ა 3 და უკან. მოდით რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ε და ა 3 კი ε 1 . შემდეგი, რიცხვების მრავლობითი ა 1 , ა 2 , ა 3 , ა 4 უნდა იყოს რიცხვების ჯერადი ε 1 და ა 4 . მოდით რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ε 1 და ა 4 დიახ ε 2. ამრიგად, ჩვენ გავარკვიეთ, რომ რიცხვების ყველა ჯერადი ა 1 , ა 2 , ა 3 ,...,ა m ემთხვევა გარკვეული რიცხვის ჯერადებს ε n, რომელსაც ეწოდება მოცემული რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.
განსაკუთრებულ შემთხვევაში, როცა ნომრები ა 1 , ა 2 , ა 3 ,...,ა m არის შედარებით მარტივი, მაშინ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ა 1 , ა 2, როგორც ზემოთ არის ნაჩვენები, აქვს ფორმა (3). შემდეგი, მას შემდეგ ა 3 მარტივი რიცხვებთან მიმართებაში ა 1 , ა 2 მაშინ ა 3 ძირითადი რიცხვი ა 1 · ა 2 (დასკვნა 1). ნიშნავს რიცხვთა უმცირეს საერთო ჯერადს ა 1 ,ა 2 ,ა 3 არის რიცხვი ა 1 · ა 2 · ა 3. ანალოგიურად მსჯელობისას მივდივართ შემდეგ განცხადებებამდე.
განცხადება 1. თანაპირდაპირი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ა 1 , ა 2 , ა 3 ,...,ა m უდრის მათ ნამრავლს ა 1 · ა 2 · ა 3 ··· ამ.
განცხადება 2. ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ თანაპირ რიცხვზე ა 1 , ა 2 , ა 3 ,...,ა m ასევე იყოფა მათ ნამრავლზე ა 1 · ა 2 · ა 3 ··· ამ.
მაგრამ ბევრი ნატურალური რიცხვი ასევე იყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვებზე.
Მაგალითად:
რიცხვი 12 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე;
რიცხვი 36 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე, 18-ზე, 36-ზე.
რიცხვები, რომლებითაც რიცხვი იყოფა მთელზე (12-ისთვის ეს არის 1, 2, 3, 4, 6 და 12) ეწოდება რიცხვების გამყოფები. ნატურალური რიცხვის გამყოფი ა- არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც ყოფს მოცემულ რიცხვს აუკვალოდ. ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც აქვს ორზე მეტი გამყოფი, ეწოდება კომპოზიტური .
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ 12 და 36 რიცხვებს აქვთ საერთო ფაქტორები. ეს რიცხვებია: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ამ რიცხვების უდიდესი გამყოფი არის 12. ამ ორი რიცხვის საერთო გამყოფი ადა ბ- ეს ის რიცხვია, რომლითაც ორივე მოცემული რიცხვი იყოფა ნაშთების გარეშე ადა ბ.
საერთო ჯერადებირამდენიმე რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე. Მაგალითად 9, 18 და 45 რიცხვებს აქვთ 180-ის საერთო ჯერადი. მაგრამ 90 და 360 ასევე მათი საერთო ჯერადებია. ყველა საერთო ჯერადს შორის ყოველთვის არის უმცირესი, ამ შემთხვევაში ის არის 90. ამ რიცხვს უწოდებენ ყველაზე პატარასაერთო მრავალჯერადი (CMM).
LCM ყოველთვის არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც უფრო დიდი უნდა იყოს იმ რიცხვებზე, რომლებისთვისაც ის არის განსაზღვრული.
უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). Თვისებები.
კომუტატიულობა:
ასოციაციურობა:
კერძოდ, თუ და არის ერთობლივი რიცხვები, მაშინ:
ორი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი მდა ნარის ყველა სხვა საერთო ჯერადის გამყოფი მდა ნ. უფრო მეტიც, საერთო ჯერადების ნაკრები მ, ნემთხვევა LCM-ის ჯერადების სიმრავლეს( მ, ნ).
ასიმპტოტიკა შეიძლება გამოიხატოს ზოგიერთი რიცხვის თეორიული ფუნქციით.
Ისე, ჩებიშევის ფუნქცია. და:
ეს გამომდინარეობს ლანდაუს ფუნქციის განსაზღვრებიდან და თვისებებიდან g(n).
რაც გამომდინარეობს მარტივი რიცხვების განაწილების კანონიდან.
უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) პოვნა.
NOC( ა, ბ) შეიძლება გამოითვალოს რამდენიმე გზით:
1. თუ ცნობილია უდიდესი საერთო გამყოფი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მისი კავშირი LCM-თან:
2. ცნობილი იყოს ორივე რიცხვის კანონიკური დაშლა მარტივ ფაქტორებად:
სად p 1,...,p k- სხვადასხვა მარტივი რიცხვები და d 1,...,d kდა e 1,...,e k- არაუარყოფითი მთელი რიცხვები (ისინი შეიძლება იყოს ნულები, თუ შესაბამისი მარტივი არ არის გაფართოებაში).
შემდეგ NOC ( ა,ბ) გამოითვლება ფორმულით:
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, LCM დაშლა შეიცავს ყველა მარტივ ფაქტორს, რომელიც შედის რიცხვების მინიმუმ ერთ დაშლაში. ა, ბ, და აღებულია ამ მულტიპლიკატორის ორი მაჩვენებლიდან ყველაზე დიდი.
მაგალითი:
რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის გამოთვლა შეიძლება შემცირდეს ორი რიცხვის LCM-ის რამდენიმე თანმიმდევრულ გამოთვლებამდე:
წესი.რიცხვების სერიის LCM-ის საპოვნელად დაგჭირდებათ:
- რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად;
- გადაიტანეთ უდიდესი დაშლა (მოცემული ყველაზე დიდი რაოდენობის ფაქტორების ნამრავლი) სასურველი პროდუქტის ფაქტორებზე და შემდეგ დაამატეთ ფაქტორები სხვა რიცხვების დაშლისგან, რომლებიც არ ჩანს პირველ რიცხვში ან არ ჩანს მასში. ნაკლებჯერ;
— მარტივი ფაქტორების შედეგად მიღებული ნამრავლი იქნება მოცემული რიცხვების LCM.
ნებისმიერ ორ ან მეტ ნატურალურ რიცხვს აქვს საკუთარი LCM. თუ რიცხვები არ არის ერთმანეთის ჯერადი ან არ აქვთ ერთი და იგივე ფაქტორები გაფართოებაში, მაშინ მათი LCM ტოლია ამ რიცხვების ნამრავლის.
რიცხვი 28 (2, 2, 7) პირველ ფაქტორებს ემატება 3-ის კოეფიციენტი (21 რიცხვი), შედეგად მიღებული ნამრავლი (84) იქნება უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა 21-ზე და 28-ზე.
უდიდესი რიცხვის 30-ის პირველ ფაქტორებს ავსებს 25 რიცხვის მე-5 კოეფიციენტი, შედეგად მიღებული ნამრავლი 150 მეტია უდიდეს რიცხვზე 30 და იყოფა ყველა მოცემულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. ეს არის უმცირესი შესაძლო ნამრავლი (150, 250, 300...), რომელიც არის ყველა მოცემული რიცხვის ჯერადი.
რიცხვები 2,3,11,37 არის მარტივი რიცხვები, ამიტომ მათი LCM უდრის მოცემული რიცხვების ნამრავლს.
წესი. მარტივი რიცხვების LCM-ის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ყველა ეს რიცხვი ერთად.
კიდევ ერთი ვარიანტი:
რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) მოსაძებნად გჭირდებათ:
1) წარმოადგინეთ თითოეული რიცხვი, როგორც მისი მარტივი ფაქტორების ნამრავლი, მაგალითად:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) ჩამოწერეთ ყველა ძირითადი ფაქტორის ძალა:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) ჩამოწერეთ თითოეული ამ რიცხვის ყველა მარტივი გამყოფი (გამრავლება);
4) აირჩიეთ თითოეული მათგანის უდიდესი ხარისხი, რომელიც გვხვდება ამ რიცხვების ყველა გაფართოებაში;
5) გაამრავლეთ ეს ძალა.
მაგალითი. იპოვეთ რიცხვების LCM: 168, 180 და 3024.
გამოსავალი. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
ჩვენ ვწერთ ყველა პირველ გამყოფთა უდიდეს ძალებს და ვამრავლებთ მათ:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
საერთო ჯერადები
მარტივად რომ ვთქვათ, ნებისმიერი მთელი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ მოცემულ რიცხვზე არის საერთო მრავლობითიმოცემული მთელი რიცხვები.
შეგიძლიათ იპოვოთ ორი ან მეტი მთელი რიცხვის საერთო ჯერადი.
მაგალითი 1
გამოთვალეთ ორი რიცხვის საერთო ჯერადი: $2$ და $5$.
გამოსავალი.
განსაზღვრებით, $2$ და $5$-ის საერთო ჯერადი არის $10$, რადგან ეს არის $2$ რიცხვისა და რიცხვის $5$-ის ჯერადი:
$2$ და $5$ რიცხვების საერთო ჯერადები ასევე იქნება ნომრები $–10, 20, –20, 30, –30$ და ა.შ., რადგან ყველა მათგანი დაყოფილია რიცხვებად $2$ და $5$.
შენიშვნა 1
ნულოვანი არის ნებისმიერი რიცხვის არა-ნულოვანი მთელი რიცხვის საერთო ჯერადი.
გაყოფის თვისებების მიხედვით, თუ გარკვეული რიცხვი არის რამდენიმე რიცხვის საერთო ჯერადი, მაშინ ნიშნის საპირისპირო რიცხვიც იქნება მოცემული რიცხვების საერთო ჯერადი. ეს ჩანს განხილული მაგალითიდან.
მოცემული მთელი რიცხვებისთვის ყოველთვის შეგიძლიათ იპოვოთ მათი საერთო ჯერადი.
მაგალითი 2
გამოთვალეთ $111$ და $55$-ის საერთო ჯერადი.
გამოსავალი.
გავამრავლოთ მოცემული რიცხვები: $111\div 55=6105$. ადვილია იმის შემოწმება, რომ რიცხვი $6105$ იყოფა რიცხვზე $111$ და რიცხვზე $55$:
$6105\div 111=$55;
$6105\div 55=$111.
ამრიგად, $6105$ არის $111$ და $55$-ის საერთო ჯერადი.
უპასუხე: $111$ და $55$-ის საერთო ჯერადი არის $6105$.
მაგრამ, როგორც უკვე ვნახეთ წინა მაგალითიდან, ეს საერთო ჯერადი არ არის ერთი. სხვა საერთო ჯერადები იქნება $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ და ა.შ. ამრიგად, მივედით შემდეგ დასკვნამდე:
შენიშვნა 2
მთელი რიცხვების ნებისმიერ სიმრავლეს აქვს საერთო ჯერადების უსასრულო რაოდენობა.
პრაქტიკაში, ისინი შემოიფარგლება მხოლოდ დადებითი მთელი რიცხვების (ბუნებრივი) რიცხვების საერთო ჯერადების მოძიებით, რადგან მოცემული რიცხვის ჯერადების სიმრავლეები და მისი საპირისპირო ემთხვევა.
უმცირესი საერთო მრავლობითის განსაზღვრა
მოცემული რიცხვების ყველა ჯერადიდან ყველაზე ხშირად გამოიყენება ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი (LCM).
განმარტება 2
მოცემული მთელი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის უმცირესი საერთო ჯერადიეს ნომრები.
მაგალითი 3
გამოთვალეთ რიცხვების LCM $4$ და $7$.
გამოსავალი.
იმიტომ რომ ამ რიცხვებს არ აქვთ საერთო გამყოფები, მაშინ $LCM(4,7)=28$.
უპასუხე: $NOK (4,7)=28$.
NOC-ის პოვნა GCD-ის საშუალებით
იმიტომ რომ არსებობს კავშირი LCM-სა და GCD-ს შორის, მისი დახმარებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ ორი დადებითი მთელი რიცხვის LCM:
შენიშვნა 3
მაგალითი 4
გამოთვალეთ რიცხვების LCM $232$ და $84$.
გამოსავალი.
მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა, რომ ვიპოვოთ LCM GCD-ის მეშვეობით:
$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$
მოდით ვიპოვოთ 232$ და 84$$ რიცხვების GCD ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით:
$232=84\cdot 2+64$,
$84=64\cdot 1+20$,
$64=20\cdot 3+4$,
იმათ. $GCD(232, 84)=4$.
ვიპოვოთ $LCC (232, 84)$:
$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$
უპასუხე: $NOK (232.84) = $4872.
მაგალითი 5
გამოთვალეთ $LCD(23, 46)$.
გამოსავალი.
იმიტომ რომ $46$ იყოფა $23$-ზე, შემდეგ $gcd (23, 46)=23$. მოდი ვიპოვოთ LOC:
$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$
უპასუხე: $NOK (23.46)=46$.
ამრიგად, შეიძლება ჩამოყალიბდეს წესი:
შენიშვნა 4
Ჩატვირთვა...