მრავალწევრების გაყოფა "სვეტით" ("კუთხე"). მრავალწევრების გაყოფა კუთხით გამოთქმის დაყოფა გამოსახულებით ონლაინ

განცხადება

დარჩენილი არასრული პირადი.

კომენტარი

ნებისმიერი პოლინომებისთვის $A(x)$ და $B(x)$ ($B(x)$-ის ხარისხი 0-ზე მეტია), არის უნიკალური პოლინომები $Q(x)$ და $R(x)$-დან განცხადების პირობა.

1. $x^(4) + 3x^(3) +5$ $x^(2) + 1$-ზე პოლინომის $x^(4) + 3x^(3) +5$ გაყოფის დარჩენილი ნაწილი უდრის $3x + 4$:$x^(4) + 3x ^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
2. $x^(4) + 3x^(3) +5$$x^(4) + 1$-ზე პოლინომის $x^(4) + 3x^(3) +5$-ზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი უდრის $3x^(3) + 4$:$x^( 4) + 3x^(3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
3. $x^(4) + 3x^(3) +5$-ზე $x^(6) + 1$-ზე $x^(4) + 3x^(3) +5-ის ტოლია $x^(4) + 3x^(3) +5 მრავალწევრის გაყოფის დარჩენილი ნაწილი. $:$x^(4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

განცხადება

ნებისმიერი ორი პოლინომისთვის $A(x)$ და $B(x)$ (სადაც $B(x)$ მრავალწევრის ხარისხი არ არის ნულოვანი), არის გამოსახულება $A(x)$ მრავალწევრის სახით. სახით $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, სადაც $Q(x)$ და $R(x)$ არის პოლინომები და $R(x)$-ის ხარისხი $B(x).$-ის ხარისხზე ნაკლებია

მტკიცებულება

ჩვენ დავამტკიცებთ დებულებას $A(x).$ მრავალწევრის ხარისხის შესახებ ინდუქციით. მოდით აღვნიშნოთ $n$. თუ $n = 0$, დებულება მართალია: $A(x)$ შეიძლება დაიწეროს როგორც $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ ახლა, მოდით, განცხადება დადასტურდეს $n \ leq m$ ხარისხის მრავალწევრები. დავამტკიცოთ დებულება $k=n+1.$ ხარისხის მრავალწევრებისთვის

მოდით $B(x)$ მრავალწევრის ხარისხი $m$-ის ტოლი იყოს. განვიხილოთ სამი შემთხვევა: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ და დაამტკიცეთ განცხადება თითოეული მათგანისთვის.

1. $k< m$
   პოლინომი $A(x)$ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

   $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

   დამტკიცება დასრულებულია.

2. $k = m$
   დაე, მრავალწევრებს $A(x)$ და $B(x)$ ჰქონდეთ ფორმა

   $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \წერტილები + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(სად ) \: a_(n+1) \neq 0;$

   $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \წერტილები + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(სად ) \: b_(n+1) \neq 0.$

   წარმოვიდგინოთ $A(x)$ როგორც

   $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \დიდი(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\დიდი).$

   გაითვალისწინეთ, რომ $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ პოლინომის ხარისხი არ არის $n+1$-ზე მეტი, მაშინ ეს არის საჭირო წარმომადგენლობა და განცხადება არის ჭეშმარიტი.

3. $k > m$
   წარმოვიდგინოთ $A(x)$ მრავალწევრი ფორმაში

   $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \წერტილები + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (სად) \: a_(n+1) \neq 0.$

   განვიხილოთ პოლინომი $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \წერტილები + a_(1).$ მისთვის ინდუქციური ჰიპოთეზა არის დაკმაყოფილებულია, ამიტომ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც $A"(x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, სადაც $R"(x)$ პოლინომის ხარისხი $m-ზე ნაკლებია $, მაშინ $A(x) $-ის წარმოდგენა შეიძლება გადაიწეროს როგორც

   $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) $

   გაითვალისწინეთ, რომ $xR"(x)$ პოლინომის ხარისხი $m+1$-ზე ნაკლებია, ანუ $k$-ზე ნაკლები. მაშინ ინდუქციური ჰიპოთეზა მოქმედებს $xR"(x)$-ზე და შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც $ xR. "(x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, სადაც $R""(x)$ მრავალწევრის ხარისხი $m$-ზე ნაკლებია. მოდით გადავიწეროთ წარმოდგენა. $A(x)$-ად როგორ

   $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q"""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

   $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

   $R""(x) + a_(0)$ პოლინომის ხარისხი $m$-ზე ნაკლებია, ამიტომ დებულება მართალია.

განცხადება დადასტურდა.

ამ შემთხვევაში, პოლინომი $R(x)$ ეწოდება დარჩენილი$A(x)$-ზე $B(x)$-ზე გაყოფისგან და $Q(x)$-ზე - არასრული პირადი.

თუ დარჩენილი $R(x)$ არის ნულოვანი მრავალწევრი, მაშინ $A(x)$ იყოფა $B(x)$-ზე.

მოცემულია მტკიცებულება, რომ მრავალწევრებისგან შემდგარი არასწორი წილადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მრავალწევრისა და სათანადო წილადის ჯამად. დეტალურად არის გაანალიზებული მრავალწევრების კუთხით გაყოფისა და სვეტით გამრავლების მაგალითები.

შინაარსი

თეორემა

მოდით P k (x),Qn (x)- პოლინომები x ცვლადში k და n ხარისხით, შესაბამისად, k ≥ n-ით. შემდეგ მრავალწევრი P k (x)შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მხოლოდ შემდეგი ფორმით:
(1) პკ (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
სადაც S k-n (x)- k-n ხარისხის მრავალწევრი, U n- 1(x)- ხარისხის მრავალწევრი არაუმეტეს n-ზე 1 , ან ნულოვანი.

მტკიცებულება

მრავალწევრის განმარტებით:
;
;
;
,
სადაც p i, q i არის ცნობილი კოეფიციენტები, s i, u i უცნობი კოეფიციენტები.

შემოვიღოთ აღნიშვნა:
.
ჩავანაცვლოთ (1) :
;
(2) .
პირველი წევრი მარჯვენა მხარეს არის k ხარისხის მრავალწევრი. მეორე და მესამე წევრის ჯამი არის პოლინომი, რომელიც არ აღემატება k-ს. 1 . მოდით გავატოლოთ კოეფიციენტები x k-სთვის:
p k = s k-n q n.
აქედან გამომდინარე, s k-n = p k / q n.

გადავცვალოთ განტოლება (2) :
.
შემოვიღოთ აღნიშვნა: .
ვინაიდან s k-n = p k / q n, მაშინ x k-ის კოეფიციენტი ნულის ტოლია. მაშასადამე - ეს არის ხარისხის პოლინომი არაუმეტეს k-ზე - 1 , . შემდეგ წინა განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:
(3) .

ამ განტოლებას აქვს იგივე ფორმა, რაც განტოლებას (1) , მხოლოდ k-ის მნიშვნელობა გახდა 1 ნაკლები. ამ პროცედურის k-n-ჯერ გამეორებით, მივიღებთ განტოლებას:
,
საიდანაც ვადგენთ U n-ის მრავალწევრის კოეფიციენტებს 1(x).

ასე რომ, ჩვენ დავადგინეთ ყველა უცნობი კოეფიციენტი s i, ul. უფრო მეტიც, s k-n ≠ 0 . ლემა დადასტურებულია.

მრავალწევრების დაყოფა

განტოლების ორივე მხარის გაყოფა (1) Qn-ზე (x), ვიღებთ:
(4) .
ათობითი რიცხვების ანალოგიით S k-n (x)უწოდეს წილადის ან კოეფიციენტის მთელ ნაწილს, U n- 1(x)- განყოფილების დარჩენილი ნაწილი. მრავალწევრების წილადს, რომელშიც მრიცხველში მრავალწევრის ხარისხი ნაკლებია მნიშვნელში მრავალწევრის ხარისხზე, სათანადო წილადი ეწოდება. მრავალწევრების წილადს, რომელშიც მრიცხველში მრავალწევრის ხარისხი მეტია ან ტოლია მნიშვნელში არსებული მრავალწევრის ხარისხზე, არასწორი წილადი ეწოდება.

განტოლება (4) გვიჩვენებს, რომ მრავალწევრების ნებისმიერი არასწორი წილადი შეიძლება გამარტივდეს მისი მთელი რიცხვისა და სათანადო წილადის ჯამის სახით წარმოდგენით.

მათ ბირთვში, ათობითი მთელი რიცხვები არის პოლინომები, რომლებშიც ცვლადი რიცხვის ტოლია 10 . მაგალითად, აიღეთ ნომერი 265847. ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:
.
ანუ, ეს არის მეხუთე ხარისხის მრავალწევრი in 10 . რიცხვები 2, 6, 5, 8, 4, 7 არის რიცხვის 10-ის ხარისხებად გაფართოების კოეფიციენტები.

მაშასადამე, გაყოფის წესი (ზოგჯერ მას უწოდებენ გრძელ გაყოფას), რომელიც ვრცელდება რიცხვების გაყოფაზე, შეიძლება გამოყენებულ იქნას მრავალწევრებზე. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ მრავალწევრების გაყოფისას არ გჭირდებათ ცხრაზე მეტი რიცხვების გადაყვანა უმაღლეს ციფრებში. განვიხილოთ კუთხით მრავალწევრების გაყოფის პროცესი კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

მრავალწევრების კუთხით გაყოფის მაგალითი

.

აქ მრიცხველი შეიცავს მეოთხე ხარისხის მრავალწევრს. მნიშვნელი არის მეორე ხარისხის მრავალწევრი. Იმიტომ რომ 4 ≥ 2 , მაშინ წილადი არასწორია. ავირჩიოთ მთელი ნაწილი მრავალწევრების კუთხით (სვეტის) გამოყოფით:

აქ არის დაყოფის პროცესის დეტალური აღწერა. ჩვენ ვწერთ ორიგინალურ მრავალწევრებს მარცხენა და მარჯვენა სვეტებში. მნიშვნელის მრავალწევრის ქვეშ, მარჯვენა სვეტში, დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი (კუთხე). ამ ხაზის ქვემოთ, კუთხის ქვეშ, იქნება წილადის მთელი ნაწილი.

1.1 ვპოულობთ მთელი ნაწილის პირველ ტერმინს (კუთხის ქვეშ). ამისათვის მრიცხველის წამყვანი წევრი გავყოთ მნიშვნელის წინა წევრზე: .

1.2 გაამრავლე 2 x 2 x-ის მიერ 2 - 3 x + 5:
. ჩვენ ვწერთ შედეგს მარცხენა სვეტში:

1.3 ვიღებთ მარცხენა სვეტის მრავალწევრთა სხვაობას:

.

ასე რომ, მივიღეთ შუალედური შედეგი:
.

მარჯვენა მხარეს წილადი არასწორია, რადგან მრიცხველში პოლინომის ხარისხი ( 3 ) მეტია ან ტოლია მნიშვნელის მრავალწევრის ხარისხზე ( 2 ). ჩვენ ვიმეორებთ გამოთვლებს. მხოლოდ ახლა არის წილადის მრიცხველი მარცხენა სვეტის ბოლო სტრიქონში.
2.1 მრიცხველის წამყვანი წევრი გავყოთ მნიშვნელის წინა წევრზე: ;

2.2 გავამრავლოთ მნიშვნელზე: ;

2.3 და გამოვაკლოთ მარცხენა სვეტის ბოლო სტრიქონს: ;


შუალედური შედეგი:
.

ჩვენ კვლავ ვიმეორებთ გამოთვლებს, რადგან მარჯვენა მხარეს არის არასწორი ფრაქცია.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ:
.
მარჯვენა წილადის მრიცხველში მრავალწევრის ხარისხი ნაკლებია მნიშვნელში მრავალწევრის ხარისხზე, 1 < 2 . ამიტომ წილადი სწორია.

;
2 x 2 - 4 x + 1- ეს არის მთელი ნაწილი;
x- 8 - განყოფილების დარჩენილი ნაწილი.

მაგალითი 2

აირჩიეთ წილადის მთელი ნაწილი და იპოვეთ გაყოფის დარჩენილი ნაწილი:
.

ჩვენ ვასრულებთ იგივე მოქმედებებს, როგორც წინა მაგალითში:

აქ გაყოფის დარჩენილი ნაწილი არის ნული:
.

მრავალწევრების გამრავლება სვეტებზე

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაამრავლოთ პოლინომები სვეტში, ისევე როგორც მთელი რიცხვების გამრავლება. მოდით შევხედოთ კონკრეტულ მაგალითებს.

მრავალწევრების სვეტზე გამრავლების მაგალითი

იპოვეთ მრავალწევრების ნამრავლი:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
ჩვენ ვწერთ შედეგს სვეტში, გავათანაბრებთ x გრადუსებს.

3
;
;
;
.

გაითვალისწინეთ, რომ მხოლოდ კოეფიციენტების დაწერა შეიძლებოდა და x ცვლადის სიმძლავრეების გამოტოვება. შემდეგ მრავალწევრების სვეტით გამრავლება ასე გამოიყურება:

მაგალითი 2

იპოვეთ მრავალწევრების ნამრავლი სვეტში:
.

სვეტში პოლინომების გამრავლებისას მნიშვნელოვანია x ცვლადის ერთი და იგივე ხარისხების ჩაწერა ერთმანეთის ქვემოთ. თუ x-ის ზოგიერთი ხარისხები აკლია, მაშინ ისინი უნდა დაიწეროს ცალსახად, გამრავლებული ნულზე ან დატოვონ ცარიელი ადგილები.

ამ მაგალითში რამდენიმე გრადუსი აკლია. ამიტომ, ჩვენ ვწერთ მათ ცალსახად, გამრავლებული ნულზე:
.
მრავალწევრების გამრავლება სვეტში.

1 თავდაპირველ მრავალწევრებს ერთმანეთის ქვემოთ ვწერთ სვეტში და ვხაზავთ ხაზს.

2.1 გავამრავლოთ მეორე მრავალწევრის ყველაზე დაბალი წევრი პირველ მრავალწევრზე:
.
ჩვენ ვწერთ შედეგს სვეტში.

2.2 მეორე მრავალწევრის შემდეგი წევრი არის ნული. მაშასადამე, მისი ნამრავლი პირველი მრავალწევრებით ასევე ნულია. ნულოვანი ხაზი შეიძლება არ დაიწეროს.

2.3 გავამრავლოთ მეორე მრავალწევრის შემდეგი წევრი პირველ მრავალწევრზე:
.
ჩვენ ვწერთ შედეგს სვეტში, გავათანაბრებთ x გრადუსებს.

2.3 ჩვენ ვამრავლებთ მეორე მრავალწევრის მომდევნო (უმაღლეს) წევრს პირველ მრავალწევრზე:
.
ჩვენ ვწერთ შედეგს სვეტში, გავათანაბრებთ x გრადუსებს.

3 მას შემდეგ, რაც მეორე პოლინომის ყველა წევრი გამრავლდება პირველზე, დახაზეთ ხაზი და დაამატეთ x-ის იგივე ხარისხების მქონე პირები:
.

მონომის ზოგადი ხედი

f(x)=ax n, სად:

-ა- კოეფიციენტი, რომელიც შეიძლება მიეკუთვნებოდეს რომელიმე კომპლექტს N, Z, Q, R, C

-x- ცვლადი

-ნმაჩვენებელი, რომელიც ეკუთვნის სიმრავლეს ნ

ორი მონომი მსგავსია, თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ცვლადი და იგივე მაჩვენებელი.

მაგალითები: 3x2და -5x2; ½ x 4და 2√3x4

მონომების ჯამს, რომლებიც არ არიან ერთმანეთის მსგავსი, მრავალწევრი (ან მრავალწევრი) ეწოდება. ამ შემთხვევაში, მონომები მრავალწევრის ტერმინებია. მრავალწევრს, რომელიც შეიცავს ორ წევრს, ეწოდება ბინომი (ან ბინომი).
მაგალითი: p(x)=3x 2 -5; h(x)=5x-1
მრავალწევრს, რომელიც შეიცავს სამ წევრს, ეწოდება ტრინომი.

მრავალწევრის ზოგადი ხედი ერთი ცვლადით

სად:

• a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0- პოლინომიური კოეფიციენტები. ისინი შეიძლება იყოს ბუნებრივი, მთელი, რაციონალური, რეალური ან რთული რიცხვები.
• a n- ტერმინის კოეფიციენტი უდიდესი მაჩვენებლით (წამყვანი კოეფიციენტი)
• a 0- ტერმინის კოეფიციენტი უმცირესი მაჩვენებლით (თავისუფალი წევრი ან მუდმივი)
• ნ- მრავალწევრის ხარისხი

მაგალითი 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

• მესამე ხარისხის მრავალწევრი კოეფიციენტებით 5, -2, 7 და -1
• 5 - წამყვანი კოეფიციენტი
• -1 - თავისუფალი წევრი
• x- ცვლადი

მაგალითი 2
h(x)=-2√3x4 +½x-4

• მეოთხე ხარისხის მრავალწევრი კოეფიციენტებით -2√3.½და -4
• -2√3 - წამყვანი კოეფიციენტი
• -4 - თავისუფალი წევრი
• x- ცვლადი

მრავალწევრების დაყოფა

p(x)და q(x)- ორი მრავალწევრი:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

გაყოფის კოეფიციენტისა და ნაშთის პოვნა p(x) on q(x), თქვენ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი ალგორითმი:

1. ხარისხი p(x)უნდა იყოს მეტი ან ტოლი q(x).
2. ორივე მრავალწევრი უნდა ჩავწეროთ ხარისხის კლების მიმდევრობით. თუ შიგნით p(x)არ არსებობს ტერმინი რაიმე ხარისხით, მას უნდა დაემატოს კოეფიციენტი 0.
3. წამყვანი წევრი p(x)იყოფა წამყვანი ტერმინით q(x), და შედეგი იწერება გამყოფი ხაზის ქვეშ (მნიშვნელში).
4. გაამრავლეთ შედეგი ყველა პირობით q(x)და ჩაწერეთ შედეგი საპირისპირო ნიშნებით პირობების ქვეშ p(x)შესაბამისი ხარისხით.
5. დაამატეთ იგივე უფლებამოსილების მქონე ტერმინები ტერმინით.
6. დარჩენილ პირობებს ვანიჭებთ შედეგს p(x).
7. მიღებული მრავალწევრის წამყვანი წევრი გავყოთ მრავალწევრის პირველ წევრზე q(x)და გაიმეორეთ ნაბიჯები 3-6.
8. ეს პროცედურა მეორდება მანამ, სანამ ახლად მიღებულ მრავალწევრს არ ექნება ხარისხი ნაკლები q(x). ეს მრავალწევრი იქნება გაყოფის დარჩენილი ნაწილი.
9. გამყოფი ხაზის ქვემოთ დაწერილი მრავალწევრი არის გაყოფის (რაოდენობის) შედეგი.

მაგალითი 1
ნაბიჯი 1 და 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x 4 -2x 3 +2x 2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x 4 -2x 3 +2x 2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) პირადი

პასუხი: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1) (x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

მაგალითი 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) STOP

x 2 +3x+12 --> C(x) კოეფიციენტი

პასუხი: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

გაყოფა პირველი ხარისხის მრავალწევრზე

ეს დაყოფა შეიძლება განხორციელდეს ზემოაღნიშნული ალგორითმის გამოყენებით ან კიდევ უფრო სწრაფად ჰორნერის მეთოდის გამოყენებით.
თუ f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, მრავალწევრი შეიძლება გადაიწეროს როგორც f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- პირველი ხარისხის მრავალწევრი ⇒ q(x)=mx+n
მაშინ მრავალწევრს კოეფიციენტში ექნება ხარისხი n-1.

ჰორნერის მეთოდის მიხედვით $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 =x 0 .b 2 +a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
სად b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- კერძო. ნაშთი იქნება ნულოვანი ხარისხის პოლინომი, ვინაიდან ნაშთში მრავალწევრის ხარისხი გამყოფის ხარისხზე ნაკლები უნდა იყოს.
გაყოფა ნაშთით ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+rთუ $x_0=-\frac(n)(m)$
Გაითვალისწინე p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

მაგალითი 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b 3 =5
b 2 =3.5-2=13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 =3.43-6=123
r=3.123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

მაგალითი 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 =-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 =-2          b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b 2 =(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

მაგალითი 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b 2 =3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \მარჯვენა ისარი c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\მარჯვენა ისარი 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
დასკვნა
თუ გავყოფთ ერთზე მაღალი ხარისხის მრავალწევრზე, უნდა გამოვიყენოთ ალგორითმი კოეფიციენტისა და ნაშთის საპოვნელად. 1-9 .
თუ გავყოფთ პირველი ხარისხის მრავალწევრზე mx+n, შემდეგ კოეფიციენტისა და ნაშთის საპოვნელად უნდა გამოიყენოთ ჰორნერის მეთოდი $x_0=-\frac(n)(m)$-ით.
თუ ჩვენ მხოლოდ დაყოფის დარჩენილი ნაწილი გვაინტერესებს, საკმარისია ვიპოვოთ p(x 0).
მაგალითი 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5

დაე საჭირო იყოს

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1).

აქ მოცემულია ნამრავლი (2x 3 – 7x 2 + x + 1) და ერთი ფაქტორი (2x – 1), ჩვენ უნდა ვიპოვოთ სხვა ფაქტორი. ამ მაგალითში მაშინვე ცხადია (მაგრამ ზოგადად ამის დადგენა შეუძლებელია), რომ სხვა, საძიებო ფაქტორი, ანუ კოეფიციენტი, არის პოლინომი. ეს გასაგებია, რადგან ამ ნამრავლს აქვს 4 წევრი, ხოლო ამ მულტიპლიკატორს აქვს მხოლოდ 2. თუმცა, წინასწარ შეუძლებელია იმის თქმა, რამდენი წევრი აქვს საჭირო ფაქტორს: შეიძლება იყოს 2 წევრი, 3 წევრი და ა.შ. ნამრავლის ყოველთვის გამოდის ერთი ფაქტორის წამყვანი წევრის მეორის წინა წევრზე გამრავლებიდან (იხ. მრავალწევრის მრავალწევრზე გამრავლება) და რომ ასეთი ტერმინები არ შეიძლება არსებობდეს, დარწმუნებული ვართ, რომ 2x 3 (ამ ნამრავლის წამყვანი წევრი ) მიიღება 2x-ის (ამ მულტიპლიკატორის წამყვანი წევრის) გამრავლებით საჭირო კოეფიციენტის უცნობ წინა წევრზე. ამ უკანასკნელის საპოვნელად, თქვენ მოგიწევთ 2x 3-ის გაყოფა 2x-ზე - მივიღებთ x 2-ს. ეს არის კოეფიციენტის წამყვანი წევრი.

მაშინ გავიხსენოთ, რომ მრავალწევრის მრავალწევრზე გამრავლებისას, ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი უნდა გამრავლდეს მეორის თითოეულ წევრზე. მაშასადამე, ეს ნამრავლი (2x 3 – 7x 2 + x + 1) არის გამყოფის ნამრავლი (2x – 1) კოეფიციენტის ყველა წევრზე. მაგრამ ახლა შეგვიძლია ვიპოვოთ გამყოფის ნამრავლი კოეფიციენტის პირველ (უმაღლეს) წევრზე, ანუ (2x – 1) ∙ x 2 ; ვიღებთ 2x 3 - x 2. გამყოფის ნამრავლის ცოდნა კოეფიციენტის ყველა წევრზე (ეს = 2x 3 – 7x 2 + x + 1) და გამყოფის ნამრავლის ცოდნა კოეფიციენტის 1-ლ წევრზე (იგი = 2x 3 – x 2), გამოკლებით შეგვიძლია ვიპოვოთ გამყოფის ნამრავლი ყველა დანარჩენზე, გარდა 1-ლი, კერძოს წევრებისა. ვიღებთ

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) – (2x 3 – x 2) = 2x 3 – 7x 2 + x + 1 – 2x 3 + x 2 = –6x 2 + x + 1.

ამ დარჩენილი ნამრავლის წამყვანი წევრი (–6x 2) უნდა იყოს გამყოფის (2x) წინა წევრის ნამრავლი დანარჩენი ნაწილის (გარდა 1-ლი წევრისა) კოეფიციენტის. აქედან ვპოულობთ დანარჩენი კოეფიციენტის წინა წევრს. ჩვენ გვჭირდება –6x 2 ÷ 2x, ვიღებთ –3x. ეს არის სასურველი კოეფიციენტის მეორე წევრი. ჩვენ კვლავ შეგვიძლია ვიპოვოთ გამყოფის ნამრავლი (2x – 1) კოეფიციენტის მეორე, ახლად ნაპოვნი წევრზე, ანუ –3x-ზე.

ვიღებთ (2x – 1) ∙ (–3x) = –6x 2 + 3x. მთელ მოცემულ ნამრავლს, ჩვენ უკვე გამოვაკლეთ გამყოფის ნამრავლი კოეფიციენტის 1-ლ წევრზე და მივიღეთ ნაშთი –6x 2 + x + 1, რომელიც არის გამყოფის ნამრავლი დარჩენილი, გარდა 1-ის, წევრებზე. კოეფიციენტის. გამოვაკლოთ ახლად ნაპოვნი ნამრავლი –6x 2 + 3x, მივიღებთ ნაშთს, რომელიც არის გამყოფის ნამრავლი ყველა სხვაზე, გარდა 1-ლი და მე-2 ნაწილებისა:

–6x 2 + x + 1 – (–6x 2 + 3x) = –6x 2 + x + 1 + 6x 2 – 3x = –2x + 1.

ამ დარჩენილი ნამრავლის (–2x) წამყვანი წევრის გაყოფით გამყოფის (2x) წამყვან წევრზე, მივიღებთ დარჩენილი კოეფიციენტის პირველ წევრს, ან მის მესამე წევრს, (–2x) ÷ 2x = –1, - ეს არის კოეფიციენტის მე-3 წევრი.

მასზე გამყოფის გამრავლებით მივიღებთ

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

გამყოფის ამ ნამრავლის გამოკლება კოეფიციენტის მე-3 წევრით მთელი დარჩენილი ნამრავლისგან, ე.ი.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

ჩვენ დავინახავთ, რომ ჩვენს მაგალითში ნამრავლი იყოფა დარჩენილ, გარდა 1, მე-2 და მე-3 კოეფიციენტისა = 0, საიდანაც ვასკვნით, რომ კოეფიციენტს მეტი წევრი არ ჰყავს, ე.ი.

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1) = x 2 – 3x – 1.

წინადან ჩვენ ვხედავთ: 1) მოსახერხებელია დივიდენდისა და გამყოფის პირობების დალაგება კლებადობით, 2) აუცილებელია გამოთვლების შესრულების გარკვეული წესრიგის დამყარება. ასეთი მოსახერხებელი რიგი შეიძლება ჩაითვალოს არითმეტიკაში მრავალნიშნა რიცხვების გაყოფისას. ამის შემდეგ ჩვენ მოვაწყობთ ყველა წინა გამოთვლას შემდეგნაირად (მოკლე განმარტებები მოცემულია გვერდით):

ის გამოკლებები, რაც აქ საჭიროა, სრულდება ქვეტრაჰენდის ტერმინების ნიშნების შეცვლით და ეს ცვლადი ნიშნები იწერება ზევით.

კი, წერია

ეს ნიშნავს: სუბტრაჰენდი იყო 2x 3 – x 2, ხოლო ნიშნების შეცვლის შემდეგ მივიღეთ –2x 3 + x 2.

გამოთვლების მიღებული მოწყობის გამო, იმის გამო, რომ დივიდენდისა და გამყოფის პირობები დალაგებულია კლებადობით და იმის გამო, რომ ასო x-ის ძალები ორივე მრავალწევრში მიდის, ყოველ ჯერზე მცირდება 1-ით, ის აღმოჩნდა რომ მსგავსი ტერმინები იწერება ერთმანეთის ქვემოთ (მაგალითად: –7x 2 და +x 2), რატომ არის ადვილი მათი შემცირება. შეიძლება აღინიშნოს, რომ დივიდენდის ყველა პირობა არ არის საჭირო გაანგარიშების ყოველ მომენტში. მაგალითად, +1 ტერმინი არ არის საჭირო იმ მომენტში, როდესაც იქნა ნაპოვნი კოეფიციენტის მე-2 წევრი და გაანგარიშების ეს ნაწილი შეიძლება გამარტივდეს.

მეტი მაგალითები:

1. (2a 4 – 3ab 3 – b 4 – 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

მოდით დავალაგოთ ასოები a და დივიდენდი და გამყოფი კლებადობით:

(გაითვალისწინეთ, რომ აქ, დივიდენდში 3-იანი ტერმინის არარსებობის გამო, პირველ გამოკლებაში აღმოჩნდა, რომ ერთმანეთის ქვეშ არის ხელმოწერილი განსხვავებული ტერმინები –a 2 b 2 და –2a 3 b. რა თქმა უნდა, მათ არ შეუძლიათ. შემცირდეს ერთ ვადით და ორივე იწერება სტრიქონის ქვემოთ სტაჟის მიხედვით).

ორივე მაგალითში მეტი ყურადღება უნდა მიაქციოთ მსგავს ტერმინებს: 1) ხშირად ერთმანეთის ქვეშ არ იწერება მსგავსი ტერმინები და 2) ხანდახან (როგორც, მაგალითად, ბოლო მაგალითში, ტერმინები –4a n და –a n დროს. პირველი გამოკლება) მსგავსი ტერმინები გამოდის ერთმანეთის ქვეშ დაწერილი.

შესაძლებელია მრავალწევრების დაყოფა განსხვავებული თანმიმდევრობით, კერძოდ: ყოველ ჯერზე ეძებოთ ყველაზე დაბალი წევრი ან მთელი ან დარჩენილი კოეფიციენტი. ამ შემთხვევაში მოსახერხებელია ამ მრავალწევრების დალაგება ასოს აღმავალ ხარისხში. Მაგალითად:

ეს სტატია განიხილავს რაციონალურ წილადებს და მათ იზოლირებას მთელი რიცხვებით. ფრაქციები შეიძლება იყოს რეგულარული ან არასწორი. როდესაც წილადში მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლებია, ეს არის სწორი წილადი და პირიქით, არასწორი წილადი.

მოდით შევხედოთ სათანადო წილადების მაგალითებს: 1 2, 9 29, 8 17, არასწორი წილადები: 16 3, 21 20, 301 24.

ჩვენ გამოვთვლით წილადებს, რომლებსაც შეუძლიათ გაუქმება, ანუ 12 16 არის 3 4, 21 14 არის 3 2.

მთელი ნაწილის შერჩევისას ტარდება მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფის პროცესი. მაშინ ასეთი წილადი შეიძლება წარმოვიდგინოთ, როგორც მთელი და წილადი ნაწილების ჯამი, სადაც წილადი განიხილება გაყოფისა და მნიშვნელის ნარჩენების თანაფარდობად.

მაგალითი 1

იპოვეთ ნაშთი 27-ის 4-ზე გაყოფისას.

გამოსავალი

აუცილებელია სვეტით გაყოფა, შემდეგ მივიღებთ ამას

ასე რომ, 27 4 = მთელი ნაწილი + მიმდინარე მნიშვნელობა = 6 + 3 4

პასუხი:დარჩენილი 3.

მაგალითი 2

აირჩიეთ მთელი ნაწილები 331 12 და 41 57.

გამოსავალი

მნიშვნელს ვყოფთ მრიცხველზე კუთხის გამოყენებით:

ამიტომ გვაქვს, რომ 331 12 = 27 + 7 12.

მეორე წილადი სწორია, რაც ნიშნავს, რომ მთელი ნაწილი ნულის ტოლია.

პასუხი:მთელი ნაწილები 27 და 0.

განვიხილოთ მრავალწევრების კლასიფიკაცია, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადი-რაციონალური ფუნქცია. სწორად ითვლება, როცა მრიცხველის ხარისხი ნაკლებია მნიშვნელის ხარისხზე, წინააღმდეგ შემთხვევაში ითვლება არასწორად.

განმარტება 1

მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფახდება კუთხით გაყოფის პრინციპით და ფუნქცია წარმოდგენილია როგორც მთელი რიცხვის და წილადი ნაწილების ჯამი.

მრავალწევრის წრფივ ბინომად გასაყოფად გამოიყენება ჰორნერის სქემა.

მაგალითი 3

გაყავით x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 მონომზე 2 x 2.

გამოსავალი

გაყოფის თვისების გამოყენებით ვწერთ ამას

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2.

ხშირად ამ ტიპის ტრანსფორმაცია ხორციელდება ინტეგრალების აღებისას.

მაგალითი 4

გაყავით მრავალწევრი მრავალწევრზე: 2 x 3 + 3 x 3 + x-ზე.

გამოსავალი

გაყოფის ნიშანი შეიძლება დაიწეროს 2 x 3 + 3 x 3 + x ფორმის წილადად. ახლა თქვენ უნდა აირჩიოთ მთელი ნაწილი. ჩვენ ამას ვაკეთებთ სვეტის გაყოფის გამოყენებით. ჩვენ ამას მივიღებთ

ეს ნიშნავს, რომ მივიღებთ, რომ მთელ ნაწილს აქვს მნიშვნელობა - 2 x + 3, მაშინ მთელი გამოხატულება იწერება როგორც 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

მაგალითი 5

გაყავით და იპოვეთ დარჩენილი 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1-ზე.

გამოსავალი

მოდით დავაფიქსიროთ ფორმის წილადი 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1.

მრიცხველის ხარისხი აღემატება მნიშვნელს, რაც ნიშნავს, რომ გვაქვს არასწორი წილადი. სვეტის გაყოფის გამოყენებით აირჩიეთ მთელი ნაწილი. ჩვენ ამას მივიღებთ

ისევ გავყოთ და მივიღოთ:

აქედან გვაქვს, რომ ნაშთი უდრის - 65 x 2 + 10 x - 3, რაც შემდეგნაირად გამოიყურება:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1

არის შემთხვევები, როდესაც საჭიროა წილადის დამატებით გარდაქმნა, რათა დანარჩენების იდენტიფიცირება გაყოფისას. ეს ასე გამოიყურება:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

ეს ნიშნავს, რომ დარჩენილი ნაწილი 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3-ზე გაყოფისას იძლევა მნიშვნელობას - 3 x 2 + 6 x - 4. შედეგის სწრაფად მოსაძებნად გამოიყენება შემოკლებული გამრავლების ფორმულები.

მაგალითი 6

გაყავით 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3-ზე.

გამოსავალი

დავწეროთ გაყოფა წილადად. მივიღებთ, რომ 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3. გაითვალისწინეთ, რომ მრიცხველში გამოხატვის დამატება შესაძლებელია ჯამის ფორმულის კუბის გამოყენებით. ჩვენ ეს გვაქვს

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

მოცემული მრავალწევრი იყოფა ნაშთების გარეშე.

ამოხსნისთვის გამოიყენება ამოხსნის უფრო მოსახერხებელი მეთოდი და მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფა ყველაზე უნივერსალურად ითვლება და ამიტომ ხშირად გამოიყენება მთელი ნაწილის იზოლირებისას. საბოლოო ჩანაწერი უნდა შეიცავდეს გაყოფის შედეგად მიღებულ მრავალწევრს.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter