როგორ გამოვთვალოთ რიცხვის ფესვი ხელით. კვლევითი ნაშრომი თემაზე: "დიდი რიცხვების კვადრატული ფესვების ამოღება კალკულატორის გარეშე"

მათემატიკისა და ფიზიკის კურსიდან სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრისას, მოსწავლეებსა და სტუდენტებს ხშირად აწყდებიან მეორე, მესამე ან მე-n ხარისხის ფესვების ამოღების აუცილებლობა. რა თქმა უნდა, საუკუნეში საინფორმაციო ტექნოლოგიებიამ პრობლემის გადაჭრა კალკულატორის გამოყენებით რთული არ იქნება. თუმცა, წარმოიქმნება სიტუაციები, როდესაც შეუძლებელია ელექტრონული ასისტენტის გამოყენება.

მაგალითად, ბევრი გამოცდა არ გაძლევს ელექტრონიკის მოტანის საშუალებას. გარდა ამისა, შეიძლება ხელთ არ გქონდეთ კალკულატორი. ასეთ შემთხვევებში სასარგებლოა რადიკალების ხელით გაანგარიშების რამდენიმე მეთოდის ცოდნა მაინც.

ფესვების გამოთვლის ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი გზაა სპეციალური მაგიდის გამოყენებით. რა არის და როგორ გამოვიყენოთ სწორად?

ცხრილის გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი 10-დან 99-მდე. ცხრილის რიგები შეიცავს ათეულების მნიშვნელობებს, ხოლო სვეტები შეიცავს ერთეულების მნიშვნელობებს. მწკრივისა და სვეტის გადაკვეთაზე არსებული უჯრედი შეიცავს ორნიშნა რიცხვის კვადრატს. 63-ის კვადრატის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იპოვოთ მწკრივი 6-ის მნიშვნელობით და სვეტი 3-ის მნიშვნელობით. კვეთაზე ვიპოვით უჯრედს 3969 ნომრით.

ვინაიდან ფესვის ამოღება არის კვადრატის შებრუნებული ოპერაცია, ამ მოქმედების შესასრულებლად თქვენ უნდა გააკეთოთ საპირისპირო: ჯერ იპოვეთ უჯრედი იმ რიცხვით, რომლის რადიკალიც გსურთ გამოთვალოთ, შემდეგ გამოიყენეთ სვეტისა და მწკრივის მნიშვნელობები პასუხის დასადგენად. . მაგალითად, განიხილეთ გაანგარიშება კვადრატული ფესვი 169.

ამ რიცხვის მქონე უჯრედს ვპოულობთ ცხრილში, ჰორიზონტალურად ვადგენთ ათეულებს - 1, ვერტიკალურად ვპოულობთ ერთეულებს - 3. პასუხი: √169 = 13.

ანალოგიურად, შეგიძლიათ გამოთვალოთ კუბური და n-ე ფესვები შესაბამისი ცხრილების გამოყენებით.

მეთოდის უპირატესობა არის მისი სიმარტივე და დამატებითი გამოთვლების არარსებობა. ნაკლოვანებები აშკარაა: მეთოდის გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ რიცხვების შეზღუდული დიაპაზონისთვის (რაოდენობა, რომლისთვისაც არის ნაპოვნი ფესვი, უნდა იყოს 100-დან 9801-მდე). გარდა ამისა, არ იმუშავებს, თუ მოცემული ნომერი არ არის ცხრილში.

ძირითადი ფაქტორიზაცია

თუ კვადრატების ცხრილი ხელთ არ გაქვთ ან მისი დახმარებით ფესვის პოვნა შეუძლებელი აღმოჩნდა, შეგიძლიათ სცადოთ ფესვის ქვეშ მყოფი რიცხვი მარტივ ფაქტორებად გადაანაწილეთ. ძირითადი ფაქტორები არის ის, რაც შეიძლება მთლიანად (ნარჩენის გარეშე) იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე ან ერთზე. მაგალითები შეიძლება იყოს 2, 3, 5, 7, 11, 13 და ა.შ.

მოდით შევხედოთ ფესვის გამოთვლას √576-ის გამოყენებით. მოდით დავყოთ ის მთავარ ფაქტორებად. ვიღებთ შემდეგი შედეგი: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². ფესვების ძირითადი თვისების გამოყენებით √a² = a, მოვიშორებთ ფესვებს და კვადრატებს და შემდეგ გამოვთვლით პასუხს: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

რა უნდა გააკეთოს, თუ რომელიმე მულტიპლიკატორს არ აქვს საკუთარი წყვილი? მაგალითად, განვიხილოთ √54-ის გაანგარიშება. ფაქტორიზაციის შემდეგ მივიღებთ შედეგს შემდეგი ფორმა: √54 = √(2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. მოუხსნელი ნაწილი შეიძლება დარჩეს ფესვის ქვეშ. გეომეტრიისა და ალგებრის ამოცანების უმეტესობისთვის ეს პასუხი ჩაითვლება საბოლოო პასუხად. მაგრამ თუ საჭიროა სავარაუდო მნიშვნელობების გამოთვლა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მეთოდები, რომლებიც ქვემოთ იქნება განხილული.

ჰერონის მეთოდი

რა უნდა გააკეთოთ, როდესაც მინიმუმ დაახლოებით უნდა იცოდეთ რის ტოლია ამოღებული ფესვი (თუ შეუძლებელია მთელი რიცხვის მიღება)? სწრაფი და ლამაზი ზუსტი შედეგიიძლევა ჰერონის მეთოდის გამოყენებას. მისი არსი არის სავარაუდო ფორმულის გამოყენება:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

სადაც R არის რიცხვი, რომლის ფესვის გამოთვლაა საჭირო, a არის უახლოესი რიცხვი, რომლის ფესვის მნიშვნელობა ცნობილია.

მოდით შევხედოთ როგორ მუშაობს მეთოდი პრაქტიკაში და შევაფასოთ რამდენად ზუსტია იგი. გამოვთვალოთ რის ტოლია √111. 111-თან ყველაზე ახლოს რიცხვი, რომლის ფესვი ცნობილია, არის 121. ამრიგად, R = 111, a = 121. ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობები ფორმულაში:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

ახლა მოდით შევამოწმოთ მეთოდის სიზუსტე:

10,55² = 111,3025.

მეთოდის შეცდომა იყო დაახლოებით 0.3. თუ მეთოდის სიზუსტე უნდა გაუმჯობესდეს, შეგიძლიათ გაიმეოროთ ადრე აღწერილი ნაბიჯები:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

მოდით შევამოწმოთ გაანგარიშების სიზუსტე:

10.536² = 111.0073.

ფორმულის ხელახალი გამოყენების შემდეგ შეცდომა სრულიად უმნიშვნელო გახდა.

ფესვის გამოთვლა გრძელი გაყოფით

კვადრატული ფესვის მნიშვნელობის პოვნის ეს მეთოდი ცოტა უფრო რთულია, ვიდრე წინა. თუმცა, ეს არის ყველაზე ზუსტი გაანგარიშების სხვა მეთოდებს შორის კალკულატორის გარეშე.

ვთქვათ, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ კვადრატული ფესვი ზუსტად 4 ათწილადამდე. გავაანალიზოთ გამოთვლის ალგორითმი თვითნებური ნომრის 1308.1912 მაგალითის გამოყენებით.

1. ქაღალდის ფურცელი გაყავით 2 ნაწილად ვერტიკალური ხაზით და შემდეგ დახაზეთ სხვა ხაზი მისგან მარჯვნივ, ზედა კიდის ოდნავ ქვემოთ. დავწეროთ რიცხვი მარცხენა მხარეს, დავყოთ 2 ციფრიან ჯგუფებად, გადავიდეთ მარჯვნივ და მარცხენა მხარემძიმიდან. პირველივე ციფრი მარცხნივ შეიძლება იყოს წყვილის გარეშე. თუ ნიშანი აკლია რიცხვის მარჯვენა მხარეს, მაშინ უნდა დაამატოთ 0. ჩვენს შემთხვევაში შედეგი იქნება 13 08.19 12.
2. მოდით ავირჩიოთ საუკეთესო დიდი რიცხვი, რომლის კვადრატი იქნება პირველი ჯგუფის ციფრების ნაკლები ან ტოლი. ჩვენს შემთხვევაში ეს არის 3. დავწეროთ ის ზედა მარჯვნივ; 3 არის შედეგის პირველი ციფრი. ქვედა მარჯვენა მხარეს მივუთითებთ 3×3 = 9; ეს საჭირო იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. სვეტის 13-ს გამოვაკლებთ 9-ს, ვიღებთ ნაშთს 4-ს.
3. მივაკუთვნოთ რიცხვების შემდეგი წყვილი ნაშთ 4-ს; ვიღებთ 408.
4. ზევით მარჯვნივ მდებარე რიცხვი გაამრავლე 2-ზე და ჩაწერე ქვედა მარჯვნივ, დაუმატე _ x _ =. ვიღებთ 6_ x _ =.
5. ტირეების ნაცვლად, თქვენ უნდა შეცვალოთ იგივე რიცხვი, 408-ზე ნაკლები ან ტოლი. ვიღებთ 66 × 6 = 396. ჩვენ ვწერთ 6-ს ზემოდან მარჯვნივ, რადგან ეს არის შედეგის მეორე ციფრი. გამოვაკლოთ 396 408-ს, მივიღებთ 12-ს.
6. გავიმეოროთ ნაბიჯები 3-6. ვინაიდან ქვემოთ გადატანილი ციფრები არის რიცხვის წილადი ნაწილი, აუცილებელია 6-ის შემდეგ ზევით ათწილადის განთავსება. მოდით ჩავწეროთ ორმაგი შედეგი ტირეებით: 72_ x _ =. შესაფერისი რიცხვი იქნება 1: 721×1 = 721. მოდით ჩავწეროთ როგორც პასუხი. გამოვაკლოთ 1219 - 721 = 498.
7. წინა აბზაცში მოცემული მოქმედებების თანმიმდევრობა კიდევ სამჯერ შევასრულოთ ათწილადების საჭირო რაოდენობის მისაღებად. თუ არ არის საკმარისი სიმბოლო შემდგომი გამოთვლებისთვის, თქვენ უნდა დაამატოთ ორი ნული მარცხნივ მიმდინარე რიცხვს.

შედეგად ვიღებთ პასუხს: √1308.1912 ≈ 36.1689. თუ მოქმედებას შეამოწმებთ კალკულატორის გამოყენებით, შეგიძლიათ დარწმუნდეთ, რომ ყველა ნიშანი სწორად იყო იდენტიფიცირებული.

ბიტური კვადრატული ფესვის გაანგარიშება

მეთოდს აქვს მაღალი სიზუსტით . გარდა ამისა, ის საკმაოდ გასაგებია და არ საჭიროებს ფორმულების დამახსოვრებას ან მოქმედებების რთულ ალგორითმს, რადგან მეთოდის არსი სწორი შედეგის შერჩევაა.

გამოვყოთ 781 რიცხვის ფესვი. დეტალურად განვიხილოთ მოქმედებების თანმიმდევრობა.

1. მოდით გავარკვიოთ კვადრატული ფესვის მნიშვნელობის რომელი ციფრი იქნება ყველაზე მნიშვნელოვანი. ამისთვის კვადრატში ავიყვანოთ 0, 10, 100, 1000 და ა.შ. და გავარკვიოთ, რომელ მათ შორის მდებარეობს რადიკალური რიცხვი. ჩვენ ვიღებთ 10²-ს< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. ავირჩიოთ ათეულების მნიშვნელობა. ამისათვის ჩვენ რიგრიგობით ავწევთ ხარისხზე 10, 20, ..., 90, სანამ არ მივიღებთ 781-ზე მეტ რიცხვს. ჩვენი შემთხვევისთვის მივიღებთ 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. შედეგის მნიშვნელობა n იქნება 20-ის ფარგლებში< n <30.
3. წინა ნაბიჯის მსგავსად, არჩეულია ერთეულის ციფრის მნიშვნელობა. 21,22, ..., 29 სათითაოდ გამოვყოთ კვადრატი: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 24. ვიღებთ = 782.< n < 28.
4. ყოველი მომდევნო ციფრი (მეათე, მეასედი და ა.შ.) გამოითვლება ისევე, როგორც ზემოთ ნაჩვენები. გამოთვლები ტარდება საჭირო სიზუსტის მიღწევამდე.

კალკულატორების წინ მოსწავლეებმა და მასწავლებლებმა ხელით გამოთვალეს კვადრატული ფესვები. რიცხვის კვადრატული ფესვის ხელით გამოსათვლელად რამდენიმე გზა არსებობს. ზოგი მათგანი მხოლოდ სავარაუდო გადაწყვეტას გვთავაზობს, ზოგი კი ზუსტ პასუხს იძლევა.

ნაბიჯები

ძირითადი ფაქტორიზაცია

რადიკალური რიცხვის ფაქტორებად აქცევენ კვადრატულ რიცხვებს.რადიკალური რიცხვიდან გამომდინარე მიიღებთ სავარაუდო ან ზუსტ პასუხს. კვადრატული რიცხვები არის რიცხვები, საიდანაც შეიძლება აიღოთ მთელი კვადრატული ფესვი. ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას იძლევა თავდაპირველ რიცხვს. მაგალითად, 8 რიცხვის ფაქტორები არის 2 და 4, ვინაიდან 2 x 4 = 8, რიცხვები 25, 36, 49 არის კვადრატული რიცხვები, ვინაიდან √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. კვადრატული ფაქტორები არის ფაქტორები, რომლებიც კვადრატული რიცხვებია. პირველ რიგში, შეეცადეთ რადიკალური რიცხვი კვადრატულ ფაქტორებად გადაანაწილოთ.

• მაგალითად, გამოთვალეთ 400-ის კვადრატული ფესვი (ხელით). ჯერ სცადეთ 400-ის ფაქტორინგი კვადრატულ ფაქტორებად. 400 არის 100-ის ჯერადი, ანუ იყოფა 25-ზე - ეს არის კვადრატული რიცხვი. 400-ის 25-ზე გაყოფა მოგცემთ 16. რიცხვი 16 ასევე კვადრატული რიცხვია. ამრიგად, 400 შეიძლება დარეგულირდეს 25 და 16 კვადრატულ ფაქტორებში, ანუ 25 x 16 = 400.
• ეს შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: √400 = √(25 x 16).

1. ზოგიერთი წევრის ნამრავლის კვადრატული ფესვი უდრის თითოეული წევრის კვადრატული ფესვების ნამრავლს, ანუ √(a x b) = √a x √b. გამოიყენეთ ეს წესი, რომ აიღოთ თითოეული კვადრატული ფაქტორის კვადრატული ფესვი და გაამრავლოთ შედეგები პასუხის საპოვნელად.

   • ჩვენს მაგალითში აიღეთ 25-ისა და 16-ის ფესვი.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. თუ რადიკალური რიცხვი არ გაერთიანდება ორ კვადრატულ ფაქტორად (და ეს ხდება უმეტეს შემთხვევაში), თქვენ ვერ იპოვით ზუსტ პასუხს მთელი რიცხვის სახით. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ პრობლემა რადიკალური რიცხვის კვადრატულ ფაქტორად და ჩვეულებრივ კოეფიციენტად დაშლით (რიცხვი, საიდანაც მთელი კვადრატული ფესვის აღება შეუძლებელია). შემდეგ თქვენ აიღებთ კვადრატული ფაქტორის კვადრატულ ფესვს და აიღებთ საერთო ფაქტორის ფესვს.

   • მაგალითად, გამოთვალეთ რიცხვის კვადრატული ფესვი 147. რიცხვი 147 არ შეიძლება გამრავლდეს ორ კვადრატულ ფაქტორად, მაგრამ შეიძლება გამრავლდეს შემდეგ ფაქტორებად: 49 და 3. ამოხსენით ამოცანა შემდეგნაირად:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. საჭიროების შემთხვევაში შეაფასეთ ფესვის ღირებულება.ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეაფასოთ ფესვის მნიშვნელობა (იპოვეთ სავარაუდო მნიშვნელობა) მისი შედარებით კვადრატული რიცხვების ფესვების მნიშვნელობებთან, რომლებიც ყველაზე ახლოს არიან (რიცხვის ხაზის ორივე მხარეს) რადიკალურ რიცხვთან. თქვენ მიიღებთ ძირის მნიშვნელობას ათწილადის სახით, რომელიც უნდა გამრავლდეს ძირის ნიშნის უკან არსებულ რიცხვზე.

   • დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. რადიკალური რიცხვია 3. მასთან ყველაზე ახლოს კვადრატული რიცხვები იქნება რიცხვები 1 (√1 = 1) და 4 (√4 = 2). ამრიგად, √3-ის მნიშვნელობა მდებარეობს 1-სა და 2-ს შორის. ვინაიდან √3-ის მნიშვნელობა ალბათ უფრო ახლოს არის 2-თან, ვიდრე 1-თან, ჩვენი შეფასებაა: √3 = 1.7. ჩვენ ვამრავლებთ ამ მნიშვნელობას ძირის ნიშნის რიცხვზე: 7 x 1.7 = 11.9. თუ მათემატიკას გააკეთებთ კალკულატორზე, მიიღებთ 12.13, რაც საკმაოდ ახლოსაა ჩვენს პასუხთან.
     • ეს მეთოდი ასევე მუშაობს დიდი რაოდენობით. მაგალითად, განიხილეთ √35. რადიკალური რიცხვია 35. მასთან უახლოესი კვადრატული რიცხვები იქნება რიცხვები 25 (√25 = 5) და 36 (√36 = 6). ამრიგად, √35-ის მნიშვნელობა მდებარეობს 5-სა და 6-ს შორის. ვინაიდან √35-ის მნიშვნელობა ბევრად უფრო ახლოს არის 6-თან, ვიდრე 5-თან (რადგან 35 არის მხოლოდ 1-ით ნაკლები 36-ზე), შეგვიძლია ვთქვათ, რომ √35 ოდნავ ნაკლებია 6-ზე. კალკულატორის შემოწმება გვაძლევს პასუხს 5.92 - ჩვენ მართალი ვიყავით.

4. კიდევ ერთი გზაა რადიკალური რიცხვის ფაქტორებად გადაყვანა პირველ ფაქტორებად.მარტივი ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე. ჩაწერეთ პირველი ფაქტორები სერიებში და იპოვეთ იდენტური ფაქტორების წყვილი. ასეთი ფაქტორების ამოღება შესაძლებელია ძირეული ნიშნიდან.

   • მაგალითად, გამოვთვალოთ 45-ის კვადრატული ფესვი. რადიკალურ რიცხვს ვანაწილებთ მარტივ ფაქტორებად: 45 = 9 x 5 და 9 = 3 x 3. ამრიგად, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 შეიძლება ამოღებულ იქნას ძირის ნიშნად: √45 = 3√5. ახლა შეგვიძლია შევაფასოთ √5.
   • ვნახოთ კიდევ ერთი მაგალითი: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). თქვენ მიიღეთ 2-ის სამი მამრავლი; აიღეთ რამდენიმე მათგანი და გადაიტანეთ ისინი ძირეული ნიშნის მიღმა.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. ახლა შეგიძლიათ შეაფასოთ √2 და √11 და იპოვოთ სავარაუდო პასუხი.

   კვადრატული ფესვის ხელით გამოთვლა

   გრძელი გაყოფის გამოყენება

   1. ეს მეთოდი მოიცავს ხანგრძლივი დაყოფის მსგავს პროცესს და იძლევა ზუსტ პასუხს.ჯერ დახაზეთ ვერტიკალური ხაზი, რომელიც ყოფს ფურცელს ორ ნაწილად, შემდეგ კი მარჯვნივ და ოდნავ ქვემოთ ფურცლის ზედა კიდეზე, დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი ვერტიკალურ ხაზამდე. ახლა დაყავით რადიკალური რიცხვი რიცხვების წყვილებად, დაწყებული წილადი ნაწილით ათობითი წერტილის შემდეგ. ასე რომ, ნომერი 79520789182.47897 იწერება როგორც "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • მაგალითად, გამოვთვალოთ 780.14 რიცხვის კვადრატული ფესვი. დახაზეთ ორი ხაზი (როგორც სურათზეა ნაჩვენები) და ჩაწერეთ მოცემული რიცხვი ფორმაში „7 80, 14“ ზედა მარცხენა მხარეს. ნორმალურია, რომ მარცხნიდან პირველი ციფრი დაუწყვილებელი ციფრია. თქვენ დაწერთ პასუხს (ამ რიცხვის ფესვს) ზედა მარჯვნივ.

   2. რიცხვების პირველი წყვილისთვის (ან ერთი რიცხვი) მარცხნიდან, იპოვეთ უდიდესი მთელი რიცხვი n, რომლის კვადრატი ნაკლებია ან ტოლია მოცემული რიცხვების (ან ერთი რიცხვის) წყვილზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იპოვეთ კვადრატული რიცხვი, რომელიც ყველაზე ახლოსაა, მაგრამ უფრო მცირეა, ვიდრე მარცხნიდან რიცხვების პირველ წყვილთან (ან ერთ რიცხვთან) და აიღეთ ამ კვადრატული რიცხვის კვადრატული ფესვი; თქვენ მიიღებთ რიცხვს n. დაწერეთ n, რომელიც იპოვეთ ზედა მარჯვნივ, და ჩაწერეთ n-ის კვადრატი ქვედა მარჯვენა კუთხეში.

      • ჩვენს შემთხვევაში, მარცხნივ პირველი რიცხვი იქნება 7. შემდეგი, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. გამოაკლეთ n რიცხვის კვადრატი, რომელიც ახლახან იპოვნეთ მარცხნივ მდებარე რიცხვების პირველ წყვილს (ან ერთ რიცხვს).ჩაწერეთ გამოთვლის შედეგი ქვეტრასენდის ქვეშ (n რიცხვის კვადრატი).

      • ჩვენს მაგალითში გამოვაკლოთ 4 7-ს და მივიღოთ 3.

   4. ამოიღეთ რიცხვების მეორე წყვილი და ჩაწერეთ წინა საფეხურზე მიღებული მნიშვნელობის გვერდით.შემდეგ გააორმაგეთ რიცხვი ზედა მარჯვენა კუთხეში და ჩაწერეთ შედეგი ქვედა მარჯვნივ „_×_="-ის დამატებით.

      • ჩვენს მაგალითში რიცხვების მეორე წყვილი არის "80". ჩაწერეთ "80" 3-ის შემდეგ. შემდეგ, გაორმაგებული რიცხვი ზედა მარჯვნივ იძლევა 4-ს. ჩაწერეთ "4_×_=" ქვედა მარჯვენა მხარეს.

   5. შეავსეთ ცარიელი ადგილები მარჯვნივ.

      • ჩვენს შემთხვევაში, თუ ტირეების ნაცვლად დავსვამთ რიცხვს 8, მაშინ 48 x 8 = 384, რაც მეტია 380-ზე. ამიტომ, 8 არის ძალიან დიდი რიცხვი, მაგრამ 7 იქნება. ტირეების ნაცვლად დაწერეთ 7 და მიიღეთ: 47 x 7 = 329. ჩაწერეთ 7 ზედა მარჯვნივ - ეს არის მეორე ციფრი 780.14 რიცხვის სასურველ კვადრატულ ფესვში.

   6. გამოვაკლოთ მიღებული რიცხვი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვს.ჩაწერეთ წინა საფეხურის შედეგი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვის ქვეშ, იპოვეთ განსხვავება და ჩაწერეთ ქვეტრაჰენდის ქვეშ.

      • ჩვენს მაგალითში გამოვაკლოთ 329 380-ს, რაც უდრის 51-ს.

   7. გაიმეორეთ ნაბიჯი 4.თუ გადატანილი რიცხვების წყვილი არის თავდაპირველი რიცხვის წილადი ნაწილი, მაშინ ჩადეთ გამყოფი (მძიმით) მთელ და წილად ნაწილებს შორის საჭირო კვადრატულ ფესვში ზედა მარჯვენა კუთხეში. მარცხნივ ჩამოწიეთ რიცხვების შემდეგი წყვილი. გააორმაგეთ რიცხვი ზედა მარჯვენა კუთხეში და ჩაწერეთ შედეგი ქვედა მარჯვნივ "_×_="-ის დამატებით.

      • ჩვენს მაგალითში, რიცხვების შემდეგი წყვილი, რომელიც უნდა მოიხსნას, იქნება 780.14 რიცხვის წილადი ნაწილი, ამიტომ მოათავსეთ მთელი და წილადი ნაწილების გამყოფი სასურველ კვადრატულ ფესვში ზედა მარჯვნივ. ამოიღეთ 14 და ჩაწერეთ ქვედა მარცხენა ნაწილში. ორმაგი რიცხვი ზედა მარჯვნივ (27) არის 54, ასე რომ ჩაწერეთ "54_×_=" ქვედა მარჯვენა მხარეს.

   8. გაიმეორეთ ნაბიჯები 5 და 6.იპოვეთ ყველაზე დიდი რიცხვი ტირეების ადგილას მარჯვნივ (ტირეების ნაცვლად თქვენ უნდა შეცვალოთ იგივე რიცხვი) ისე, რომ გამრავლების შედეგი იყოს მარცხნივ მიმდინარე რიცხვზე ნაკლები ან ტოლი.

      • ჩვენს მაგალითში, 549 x 9 = 4941, რაც ნაკლებია მარცხნივ არსებულ რიცხვზე (5114). ჩაწერეთ 9 ზევით მარჯვნივ და გამოაკელით გამრავლების შედეგი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვს: 5114 - 4941 = 173.

   9. თუ კვადრატული ფესვისთვის მეტი ათობითი ადგილების პოვნა გჭირდებათ, ჩაწერეთ რამდენიმე ნული მიმდინარე რიცხვის მარცხნივ და გაიმეორეთ ნაბიჯები 4, 5 და 6. გაიმეორეთ ნაბიჯები, სანამ არ მიიღებთ პასუხის სიზუსტეს (ათწილადების რაოდენობას) საჭიროება.

   პროცესის გაგება

   ამ მეთოდის დასაუფლებლად, წარმოიდგინეთ რიცხვი, რომლის კვადრატული ფესვი უნდა იპოვოთ, როგორც კვადრატის S ფართობი. ამ შემთხვევაში, თქვენ მოძებნით ასეთი კვადრატის L გვერდის სიგრძეს. ჩვენ ვიანგარიშებთ L-ის მნიშვნელობას ისე, რომ L² = S.

   პასუხის თითოეულ რიცხვზე მიეცით ასო. A-ით ავღნიშნოთ L მნიშვნელობის პირველი ციფრი (სასურველი კვადრატული ფესვი). B იქნება მეორე ციფრი, C მესამე და ასე შემდეგ.

   მიუთითეთ ასო პირველი ციფრის თითოეული წყვილისთვის. S-ით ავღნიშნოთ S-ის მნიშვნელობის პირველი წყვილი ციფრები, S b-ით მეორე წყვილი და ა.შ.

   გაიგეთ კავშირი ამ მეთოდსა და ხანგრძლივ დაყოფას შორის.ისევე, როგორც გაყოფისას, სადაც ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ იმ რიცხვის შემდეგი ციფრი, რომელსაც ყოველ ჯერზე ვყოფთ, კვადრატული ფესვის გამოთვლისას, ჩვენ ვმუშაობთ წყვილი ციფრების მიხედვით (იმისათვის, რომ მივიღოთ შემდეგი ციფრი კვადრატული ფესვის მნიშვნელობაში. ).

   1. განვიხილოთ S რიცხვის Sa-ს პირველი წყვილი (ჩვენს მაგალითში Sa = 7) და იპოვეთ მისი კვადრატული ფესვი.ამ შემთხვევაში, სასურველი კვადრატული ფესვის მნიშვნელობის პირველი ციფრი A იქნება ციფრი, რომლის კვადრატი ნაკლებია ან ტოლია S a-ზე (ანუ ჩვენ ვეძებთ A-ს ისე, რომ უტოლობა A² ≤ Sa.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • ვთქვათ, უნდა გავყოთ 88962 7-ზე; აქ პირველი ნაბიჯი მსგავსი იქნება: განვიხილავთ გამყოფი რიცხვის 88962 (8) პირველ ციფრს და ვირჩევთ უდიდეს რიცხვს, რომელიც 7-ზე გამრავლებისას იძლევა 8-ზე ნაკლები ან ტოლი მნიშვნელობას. ანუ, ჩვენ ვეძებთ. რიცხვი d, რომლისთვისაც უტოლობა მართალია: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. გონებრივად წარმოიდგინეთ კვადრატი, რომლის ფართობიც უნდა გამოთვალოთ.თქვენ ეძებთ L-ს, ანუ კვადრატის გვერდის სიგრძეს, რომლის ფართობი უდრის S. A, B, C არის რიცხვები L რიცხვში. შეგიძლიათ სხვაგვარად დაწეროთ: 10A + B = L (ამისთვის ორნიშნა რიცხვი) ან 100A + 10B + C = L (სამნიშნა რიცხვისთვის) და ა.შ.

      • დაე (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². გახსოვდეთ, რომ 10A+B არის რიცხვი, რომელშიც B ციფრი დგას ერთეულებზე, ხოლო A ციფრი ათეულებზე. მაგალითად, თუ A=1 და B=2, მაშინ 10A+B უდრის რიცხვს 12-ს. (10A+B)²არის მთელი მოედნის ფართობი, 100A²- დიდი შიდა მოედნის ფართობი, B²- პატარა შიდა მოედნის ფართობი, 10A×B- ორი მართკუთხედიდან თითოეულის ფართობი. აღწერილი ფიგურების ფართობების დამატებით, თქვენ იპოვით ორიგინალური კვადრატის ფართობს.

რა არის კვადრატული ფესვი?

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ეს კონცეფცია ძალიან მარტივია. ბუნებრივია, მე ვიტყოდი. მათემატიკოსები ცდილობენ იპოვონ რეაქცია ყოველ მოქმედებაზე. არის შეკრება - არის გამოკლებაც. არის გამრავლება - არის გაყოფაც. არის კვადრატი... ასეც არის კვადრატული ფესვის აღება!Სულ ეს არის. ეს ქმედება ( კვადრატული ფესვი) მათემატიკაში მითითებულია ეს ხატი:

თავად ხატს მშვენიერი სიტყვა ჰქვია " რადიკალური".

როგორ ამოიღოთ ფესვი?ჯობია შეხედო მაგალითები.

რა არის 9-ის კვადრატული ფესვი? რა რიცხვი კვადრატში მოგვცემს 9-ს? 3 კვადრატში გვაძლევს 9-ს! ესენი:

მაგრამ რა არის ნულის კვადრატული ფესვი? Არაა პრობლემა! რა რიცხვის კვადრატში გამოდის ნული? დიახ, ის იძლევა ნულს! ნიშნავს:

Გავიგე, რა არის კვადრატული ფესვი?შემდეგ განვიხილავთ მაგალითები:

პასუხები (არეულად): 6; 1; 4; 9; 5.

გადაწყვიტა? მართლა, რამდენად ადვილია ეს?!

მაგრამ... რას აკეთებს ადამიანი, როცა ხედავს რაღაც ამოცანის ფესვებს?

ადამიანი იწყებს სევდას... მას არ სჯერა თავისი ფესვების უბრალოებისა და სიმსუბუქის. მიუხედავად იმისა, რომ მან, როგორც ჩანს, იცის რა არის კვადრატული ფესვი...

ეს იმიტომ ხდება, რომ ადამიანმა ფესვების შესწავლისას უგულებელყო რამდენიმე მნიშვნელოვანი პუნქტი. მერე ეს მოდები სასტიკ შურს იძიებენ ტესტებზე და გამოცდებზე...

წერტილი ერთი. ფესვები ნახვით უნდა ამოიცნო!

რა არის 49-ის კვადრატული ფესვი? შვიდი? უფლება! საიდან იცოდი რომ შვიდი იყო? კვადრატში შვიდი და მიიღეთ 49? უფლება! გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ამოიღეთ ფესვი 49-დან საპირისპირო ოპერაცია უნდა გაგვეკეთებინა - კვადრატი 7! და დარწმუნდით, რომ არ გამოგრჩეთ. ან შეიძლება გამოგრჩეთ...

ეს არის სირთულე ფესვის მოპოვება. მოედანითქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ნომერი უპრობლემოდ. გაამრავლეთ რიცხვი თავისთავად სვეტით - ეს ყველაფერია. მაგრამ ამისთვის ფესვის მოპოვებაარ არსებობს ასეთი მარტივი და უშეცდომოდ უსაფრთხო ტექნოლოგია. Ჩვენ უნდა აღებაუპასუხეთ და შეამოწმეთ სწორია თუ არა კვადრატში.

ეს რთული შემოქმედებითი პროცესი - პასუხის არჩევა - მნიშვნელოვნად გამარტივდება, თუ თქვენ გახსოვდესპოპულარული რიცხვების კვადრატები. გამრავლების ცხრილის მსგავსად. თუ, ვთქვათ, 4-ის 6-ზე გამრავლება გჭირდებათ, ოთხს 6-ჯერ არ შეკრებთ, არა? მაშინვე ჩნდება პასუხი 24. თუმცა, ყველა ვერ ხვდება, დიახ...

ფესვებთან თავისუფლად და წარმატებით მუშაობისთვის საკმარისია იცოდეთ რიცხვების კვადრატები 1-დან 20-მდე. მეტიც. იქდა უკან.იმათ. თქვენ უნდა შეძლოთ ადვილად წარმოთქვათ ორივე, ვთქვათ, 11 კვადრატი და 121-ის კვადრატული ფესვი. ამ დამახსოვრების მისაღწევად ორი გზა არსებობს. პირველი არის კვადრატების ცხრილის სწავლა. ეს დიდი დახმარება იქნება მაგალითების ამოხსნაში. მეორე არის მეტი მაგალითის ამოხსნა. ეს დიდად დაგეხმარებათ დაიმახსოვროთ კვადრატების ცხრილი.

და არა კალკულატორები! მხოლოდ ტესტირების მიზნით. თორემ გამოცდაზე უმოწყალოდ შეანელებ...

Ისე, რა არის კვადრატული ფესვიᲓა როგორ ფესვების ამოღება- ვფიქრობ, გასაგებია. ახლა მოდით გავარკვიოთ, რისგან შეგვიძლია მათი ამოღება.

წერტილი ორი. ფესვი, არ გიცნობ!

რა რიცხვებიდან შეიძლება კვადრატული ფესვების აღება? დიახ, თითქმის ნებისმიერი მათგანი. უფრო ადვილია იმის გაგება, თუ რისგან არის აკრძალულიაამოიღეთ ისინი.

შევეცადოთ გამოვთვალოთ ეს ფესვი:

ამისათვის უნდა ავირჩიოთ რიცხვი, რომელიც კვადრატში მოგვცემს -4-ს. ჩვენ ვირჩევთ.

რა, არ ჯდება? 2 2 იძლევა +4. (-2) 2 ისევ +4-ს იძლევა! ესე იგი... არ არსებობს რიცხვები, რომლებიც კვადრატში გამოგვიყვანს უარყოფით რიცხვს! მიუხედავად იმისა, რომ მე ვიცი ეს ნომრები. მაგრამ არ გეტყვი). წადი კოლეჯში და შენ თვითონ მიხვდები.

იგივე ამბავი მოხდება ნებისმიერ უარყოფით რიცხვთან. აქედან დასკვნა:

გამონათქვამი, რომელშიც კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ არის უარყოფითი რიცხვი - აზრი არ აქვს! ეს აკრძალული ოპერაციაა. ის ისეთივე აკრძალულია, როგორც ნულზე გაყოფა. დაიმახსოვრე ეს ფაქტი მტკიცედ!ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ:

თქვენ არ შეგიძლიათ კვადრატული ფესვების ამოღება უარყოფითი რიცხვებიდან!

მაგრამ ყველა დანარჩენიდან, ეს შესაძლებელია. მაგალითად, სავსებით შესაძლებელია გამოთვლა

ერთი შეხედვით, ეს ძალიან რთულია. წილადების შერჩევა და მათი კვადრატი... არ ინერვიულოთ. როდესაც გავიგებთ ფესვების თვისებებს, ასეთი მაგალითები დაიყვანება კვადრატების იმავე ცხრილში. ცხოვრება უფრო ადვილი გახდება!

კარგი, წილადები. მაგრამ ჩვენ მაინც ვხვდებით გამონათქვამებს, როგორიცაა:

Ყველაფერი კარგადაა. Ერთი და იგივე. ორის კვადრატული ფესვი არის ის რიცხვი, რომელიც კვადრატში გვაძლევს ორს. მხოლოდ ეს რიცხვია სრულიად არათანაბარი... აი:

საინტერესო ის არის, რომ ეს წილადი არასოდეს მთავრდება... ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ. კვადრატულ ფესვებში ეს ყველაზე გავრცელებულია. სხვათა შორის, სწორედ ამიტომ ეძახიან ფესვებით გამოთქმებს ირაციონალური. გასაგებია, რომ ასეთი უსასრულო წილადის მუდმივად წერა მოუხერხებელია. ამიტომ, უსასრულო წილადის ნაცვლად, ისინი ასე ტოვებენ:

თუ მაგალითის ამოხსნისას მიიღებთ რაღაცას, რომლის ამოღებაც შეუძლებელია, მაგალითად:

შემდეგ ასე დავტოვებთ. ეს იქნება პასუხი.

თქვენ ნათლად უნდა გესმოდეთ რას ნიშნავს ხატები

რა თქმა უნდა, თუ რიცხვის ფესვი აღებულია გლუვი, თქვენ უნდა გააკეთოთ ეს. დავალების პასუხი ფორმაშია, მაგალითად

საკმაოდ სრული პასუხია.

და, რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა იცოდეთ სავარაუდო მნიშვნელობები მეხსიერებიდან:

ეს ცოდნა დიდად ეხმარება სიტუაციის შეფასებას რთულ ამოცანებში.

წერტილი სამი. ყველაზე ცბიერი.

ფესვებთან მუშაობის მთავარი დაბნეულობა სწორედ ამ წერტილით არის გამოწვეული. სწორედ ის ანიჭებს საკუთარ შესაძლებლობებს ნდობას... მოდი სწორად გავუმკლავდეთ ამ საკითხს!

ჯერ ისევ ავიღოთ ოთხი მათგანის კვადრატული ფესვი. ამ ძირით უკვე შეგაწუხე?) არაუშავს, ახლა საინტერესო იქნება!

რა რიცხვია 4 კვადრატში? კარგი, ორი, ორი - მესმის უკმაყოფილო პასუხები...

უფლება. ორი. Მაგრამ ასევე მინუს ორიმისცემს 4-ს კვადრატში... ამასობაში პასუხი

სწორი და პასუხი

უხეში შეცდომა. Ამგვარად.

მერე რა არის საქმე?

მართლაც, (-2) 2 = 4. და ოთხის კვადრატული ფესვის განმარტებით მინუს ორისაკმაოდ შესაფერისი... ესეც ოთხის კვადრატული ფესვი.

მაგრამ! სასკოლო მათემატიკის კურსში ჩვეულებრივია კვადრატული ფესვების გათვალისწინება მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვები!ანუ ნული და ყველა დადებითია. სპეციალური ტერმინიც კი გამოიგონეს: ნომრიდან ა- ეს არაუარყოფითირიცხვი, რომლის კვადრატი არის ა. არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ამოღებისას უარყოფითი შედეგები უბრალოდ უგულვებელყოფილია. სკოლაში ყველაფერი კვადრატული ფესვია - არითმეტიკა. მიუხედავად იმისა, რომ ეს განსაკუთრებით არ არის ნახსენები.

კარგი, გასაგებია. კიდევ ჯობია არ შეგაწუხოთ უარყოფითი შედეგები... ეს ჯერ არ არის დაბნეულობა.

დაბნეულობა იწყება კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას. მაგალითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ შემდეგი განტოლება.

განტოლება მარტივია, ჩვენ ვწერთ პასუხს (როგორც გვასწავლის):

ეს პასუხი (სხვათა შორის, აბსოლუტურად სწორია) მხოლოდ შემოკლებული ვერსიაა ორიპასუხობს:

გაჩერდი, გაჩერდი! ზუსტად ზემოთ დავწერე რომ კვადრატული ფესვი რიცხვია ყოველთვისარაუარყოფითი! და აქ არის ერთ-ერთი პასუხი - უარყოფითი! განუკითხაობა. ეს არის პირველი (მაგრამ არა უკანასკნელი) პრობლემა, რომელიც იწვევს ფესვების უნდობლობას... მოდით, ეს პრობლემა მოვაგვაროთ. მოდით ჩავწეროთ პასუხები (მხოლოდ გასაგებად!) ასე:

ფრჩხილები არ ცვლის პასუხის არსს. უბრალოდ ფრჩხილებით გამოვყავი ნიშნებისაწყისი ფესვი. ახლა თქვენ ნათლად ხედავთ, რომ თავად ფესვი (ფრჩხილებში) ჯერ კიდევ არაუარყოფითი რიცხვია! და ნიშნებია განტოლების ამოხსნის შედეგი. ყოველივე ამის შემდეგ, ნებისმიერი განტოლების ამოხსნისას უნდა დავწეროთ ყველა X-ები, რომლებიც საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებისას მისცემს სწორ შედეგს. ხუთის ფესვი (დადებითი!) პლუსთან და მინუსთან ერთად ჯდება ჩვენს განტოლებაში.

Ამგვარად. Თუ შენ უბრალოდ აიღეთ კვადრატული ფესვიარაფრისგან, შენ ყოველთვისთქვენ მიიღებთ ერთი არაუარყოფითიშედეგი. Მაგალითად:

Იმიტომ, რომ ეს - არითმეტიკული კვადრატული ფესვი.

მაგრამ თუ თქვენ ხსნით კვადრატულ განტოლებას, მაგალითად:

რომ ყოველთვისთურმე ორიპასუხი (პლუს და მინუსებით):

რადგან ეს არის განტოლების ამონახსნი.

იმედი, რა არის კვადრატული ფესვითქვენ ნათლად გაქვთ თქვენი ქულები. ახლა რჩება იმის გარკვევა, თუ რა შეიძლება გაკეთდეს ფესვებთან, რა არის მათი თვისებები. და რა არის პუნქტები და ხარვეზები... უკაცრავად, ქვები!)

ეს ყველაფერი მოცემულია შემდეგ გაკვეთილებში.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ფესვი ნ- ნატურალური რიცხვის მე-თე ხარისხი აამ ნომერს ეძახიან ნრომლის ე ხარისხი უდრის ა. ფესვი აღინიშნება შემდეგნაირად: . სიმბოლო √ ეწოდება ფესვის ნიშანიან რადიკალური ნიშანი, ნომერი ა - რადიკალური რიცხვი, ნ - ფესვის მაჩვენებელი.

მოქმედებას, რომლითაც იპოვება მოცემული ხარისხის ფესვი, ეწოდება ფესვის მოპოვება.

ვინაიდან ფესვის ცნების განმარტების მიხედვით ნე ხარისხი

რომ ფესვის მოპოვება- ძალაზე ამაღლების შებრუნებული ქმედება, რომლის დახმარებით ვლინდება ხარისხის საფუძველი მოცემული ხარისხიდან და მოცემული მაჩვენებლიდან.

Კვადრატული ფესვი

რიცხვის კვადრატული ფესვი აარის რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის ა.

მოქმედებას, რომლითაც კვადრატული ფესვი გამოითვლება, კვადრატული ფესვი ეწოდება.

Კვადრატული ფესვი- კვადრატის საპირისპირო მოქმედება (ან რიცხვის მეორე ხარისხზე აწევა). რიცხვის კვადრატში გაყვანისას, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი კვადრატი. კვადრატული ფესვის ამოღებისას, რიცხვის კვადრატი ცნობილია; თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგი თავად რიცხვის მოსაძებნად.

მაშასადამე, მოქმედების სისწორის შესამოწმებლად, შეგიძლიათ ნაპოვნი ფესვი აწიოთ მეორე ხარისხში და, თუ ხარისხი უდრის რადიკალურ რიცხვს, მაშინ ფესვი სწორად იქნა ნაპოვნი.

მოდით შევხედოთ კვადრატული ფესვის ამოღებას და მის შემოწმებას მაგალითის გამოყენებით. მოდით გამოვთვალოთ ან (ძირის მაჩვენებლები 2-ის მნიშვნელობით, როგორც წესი, არ იწერება, რადგან 2 არის ყველაზე პატარა მაჩვენებელი და უნდა გვახსოვდეს, რომ თუ ძირის ნიშნის ზემოთ არ არის მაჩვენებელი, მაშინ იგულისხმება მაჩვენებელი 2), ამისათვის ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რიცხვი, მეორეზე ამაღლებისას ხარისხი იქნება 49. ცხადია, ასეთი რიცხვია 7, ვინაიდან

7 7 = 7 2 = 49.

კვადრატული ფესვის გამოთვლა

თუ მოცემული რიცხვი არის 100 ან ნაკლები, მაშინ მისი კვადრატული ფესვი შეიძლება გამოითვალოს გამრავლების ცხრილის გამოყენებით. მაგალითად, 25-ის კვადრატული ფესვი არის 5, რადგან 5 5 = 25.

ახლა მოდით შევხედოთ გზას, რომ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვის კვადრატული ფესვი კალკულატორის გამოყენების გარეშე. მაგალითად, ავიღოთ რიცხვი 4489 და დავიწყოთ მისი ეტაპობრივად გამოთვლა.

1. მოდით განვსაზღვროთ რომელი ციფრებისგან უნდა შედგებოდეს საჭირო ფესვი. ვინაიდან 10 2 = 10 · 10 = 100 და 100 2 = 100 · 100 = 10000, ირკვევა, რომ სასურველი ფესვი უნდა იყოს 10-ზე მეტი და 100-ზე ნაკლები, ე.ი. შედგება ათეულებისა და ერთეულებისგან.
2. იპოვეთ ფესვის ათეულების რაოდენობა. ათეულების გამრავლება იძლევა ასეულებს და მათ რიცხვში 44-ია, ამიტომ ფესვი იმდენ ათეულს უნდა შეიცავდეს, რომ ათეულების კვადრატი იძლევა დაახლოებით 44 ასეულს. აქედან გამომდინარე, ფესვს უნდა ჰქონდეს 6 ათეული, რადგან 60 2 = 3600 და 70 2 = 4900 (ეს ძალიან ბევრია). ამრიგად, ჩვენ გავარკვიეთ, რომ ჩვენი ფესვი შეიცავს 6 ათეულს და რამდენიმე ერთეულს, რადგან ის 60-დან 70-მდეა.
3. გამრავლების ცხრილი დაგეხმარებათ განსაზღვროთ ფესვის ერთეულების რაოდენობა. 4489 რიცხვს რომ ვუყურებთ, ვხედავთ, რომ მასში ბოლო ციფრი არის 9. ახლა ვუყურებთ გამრავლების ცხრილს და ვხედავთ, რომ 9 ერთეულის მიღება შესაძლებელია მხოლოდ 3 და 7 რიცხვების კვადრატში. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვის ფესვი იქნება. უდრის 63-ს ან 67-ს.
4. ჩვენ ვამოწმებთ 63 და 67 რიცხვებს, რომლებიც მივიღეთ კვადრატში: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

მოდით შევხედოთ ამ ალგორითმს მაგალითის გამოყენებით. ჩვენ ვიპოვით

1 ნაბიჯი. ფესვის ქვეშ არსებულ რიცხვს ვყოფთ ორნიშნა სახეებად (მარჯვნიდან მარცხნივ):

მე-2 ნაბიჯი. ვიღებთ პირველი სახის კვადრატულ ფესვს, ანუ 65 რიცხვიდან ვიღებთ რიცხვს 8. პირველი სახის ქვეშ ვწერთ 8 რიცხვის კვადრატს და ვაკლებთ. დანარჩენს ვანიჭებთ მეორე სახეს (59):

(ნომერი 159 არის პირველი ნაშთი).

მე-3 ნაბიჯი. ჩვენ გავაორმაგებთ ნაპოვნი ფესვს და ვწერთ შედეგს მარცხნივ:

მე-4 ნაბიჯი. ნაშთში გამოვყოფთ ერთ ციფრს მარჯვნივ (159), ხოლო მარცხნივ ვიღებთ ათეულების რაოდენობას (ის უდრის 15-ს). შემდეგ 15-ს ვყოფთ ფესვის პირველ ციფრზე ორმაგად, ანუ 16-ზე, რადგან 15 არ იყოფა 16-ზე, კოეფიციენტი გამოდის ნულზე, რომელსაც ვწერთ ფესვის მეორე ციფრად. ასე რომ, კოეფიციენტში მივიღეთ რიცხვი 80, რომელსაც კვლავ ვაორმაგებთ და ვაშორებთ შემდეგ კიდეს

(რიცხვი 15,901 არის მეორე ნაშთი).

მე-5 ნაბიჯი. მეორე ნაშთში მარჯვნიდან გამოვყოფთ ერთ ციფრს და მიღებულ რიცხვს 1590 ვყოფთ 160-ზე. შედეგს (ნომერი 9) ვწერთ ფესვის მესამე ციფრად და ვამატებთ რიცხვს 160. მიღებულ რიცხვს 1609 ვამრავლებთ. 9 და იპოვეთ შემდეგი ნაშთი (1420):

შემდგომში მოქმედებები ხორციელდება ალგორითმში მითითებული თანმიმდევრობით (ძირის ამოღება შესაძლებელია საჭირო სიზუსტით).

კომენტარი. თუ რადიკალური გამოხატულება არის ათობითი წილადი, მაშინ მისი მთელი ნაწილი იყოფა ორი ციფრის კიდეებად მარჯვნიდან მარცხნივ, წილადი - ორი ციფრით მარცხნიდან მარჯვნივ და ფესვი ამოღებულია მითითებული ალგორითმის მიხედვით.

დიდაქტიკური მასალა

1. აიღეთ რიცხვის კვადრატული ფესვი: ა) 32; ბ) 32,45; გ) 249,5; დ) 0,9511.