გაკვეთილი „ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის განტოლება“. ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე წერტილში. ტანგენტის განტოლება. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა

ვიდეო გაკვეთილი „ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის განტოლება“ დემონსტრირდება სასწავლო მასალათემის ათვისება. ვიდეო გაკვეთილზე აღწერილია თეორიული მასალა, რომელიც აუცილებელია მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განტოლების კონცეფციის ჩამოსაყალიბებლად, ასეთი ტანგენტის პოვნის ალგორითმი და შესწავლილი თეორიული მასალის გამოყენებით ამოცანების გადაჭრის მაგალითები. .

ვიდეო გაკვეთილი იყენებს მეთოდებს, რომლებიც აუმჯობესებს მასალის სიცხადეს. პრეზენტაცია შეიცავს ნახატებს, დიაგრამებს, მნიშვნელოვან ხმოვან კომენტარებს, ანიმაციას, ხაზგასმას და სხვა ინსტრუმენტებს.

ვიდეოგაკვეთილი იწყება გაკვეთილის თემის პრეზენტაციით და y=f(x) ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის გამოსახულებით M(a;f(a) წერტილში). ცნობილია, რომ მოცემულ წერტილში გრაფიკზე გამოსახული ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტი უდრის f΄(a) ფუნქციის წარმოებულს ამ წერტილში. ასევე ალგებრის კურსიდან ვიცით სწორი წრფის განტოლება y=kx+m. წერტილში ტანგენტის განტოლების პოვნის ამოცანის ამოხსნა სქემატურად არის წარმოდგენილი, რომელიც მცირდება k, m კოეფიციენტების პოვნამდე. ფუნქციის გრაფიკის კუთვნილი წერტილის კოორდინატების ცოდნით, შეგვიძლია ვიპოვოთ m კოორდინატთა მნიშვნელობის შეცვლით ტანგენტის განტოლებაში f(a)=ka+m. მისგან ვხვდებით m=f(a)-ka. ამრიგად, მოცემულ წერტილში წარმოებულის მნიშვნელობისა და წერტილის კოორდინატების ცოდნით, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ტანგენტური განტოლება y=f(a)+f΄(a)(x-a).

ქვემოთ მოცემულია დიაგრამის შემდეგ ტანგენტური განტოლების შედგენის მაგალითი. მოცემულია ფუნქცია y=x 2 , x=-2. თუ ავიღებთ a=-2, ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობას მოცემულ წერტილში f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. ვადგენთ f΄(x)=2x ფუნქციის წარმოებულს. ამ დროს წარმოებული უდრის f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. განტოლების შესადგენად მოიძებნა ყველა კოეფიციენტი a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, ამიტომ ტანგენტური განტოლებაა y=4+(-4)(x+2). განტოლების გამარტივებით მივიღებთ y = -4-4x.

შემდეგი მაგალითი გვთავაზობს განტოლების აგებას y=tgx ფუნქციის გრაფიკის საწყისზე ტანგენსისთვის. მოცემულ წერტილში a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. ასე რომ, ტანგენტური განტოლება ჰგავს y=x.

განზოგადების სახით, გარკვეულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განტოლების შედგენის პროცესი ფორმალიზებულია 4 საფეხურისგან შემდგარი ალგორითმის სახით:

შეიყვანეთ აღნიშვნა a ტანგენტის წერტილის აბსცისისთვის;
ვ(ა) გამოითვლება;
f'(x) განისაზღვრება და f'(a) გამოითვლება. a, f(a), f΄(a)-ის ნაპოვნი მნიშვნელობები ჩანაცვლებულია ტანგენტის განტოლების ფორმულაში y=f(a)+f΄(a)(x-a).

მაგალითი 1 განიხილავს y=1/x ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განტოლების შედგენას x=1 წერტილში. პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ ალგორითმს. a=1 წერტილში მოცემული ფუნქციისთვის f(a)=-1 ფუნქციის მნიშვნელობა. f΄(x)=1/x 2 ფუნქციის წარმოებული. a=1 წერტილში წარმოებული f΄(a)= f΄(1)=1. მიღებული მონაცემების გამოყენებით დგება ტანგენტური განტოლება y=-1+(x-1), ანუ y=x-2.

მე-2 მაგალითში აუცილებელია ვიპოვოთ y=x 3 +3x 2 -2x-2 ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის განტოლება. მთავარი პირობაა y=-2x+1 ტანგენტისა და სწორი წრფის პარალელურობა. ჯერ ვპოულობთ ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტს, რომელიც უდრის y=-2x+1 სწორი წრფის კუთხური კოეფიციენტს. ვინაიდან f΄(a)=-2 მოცემული წრფესთვის, მაშინ k=-2 სასურველი ტანგენსისთვის. ვპოულობთ ფუნქციის წარმოებულს (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. იმის ცოდნა, რომ f΄(a)=-2, ვპოულობთ 3a 2 წერტილის კოორდინატებს +6a-2=-2. განტოლების ამოხსნის შემდეგ მივიღებთ 1 =0 და 2 =-2. ნაპოვნი კოორდინატების გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ ტანგენტის განტოლება ცნობილი ალგორითმის გამოყენებით. ფუნქციის მნიშვნელობას ვპოულობთ f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 წერტილებში. წარმოებულის მნიშვნელობა f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 წერტილში. ნაპოვნი მნიშვნელობების ტანგენტის განტოლებაში ჩანაცვლებით, ვიღებთ პირველი წერტილისთვის a 1 =0 y=-2x-2, ხოლო მეორე წერტილისთვის a 2 =-2 ტანგენტის განტოლებას y=-2x-22.

მაგალითი 3 აღწერს ტანგენტის განტოლების შემადგენლობას y=√x ფუნქციის გრაფიკზე (0;3) წერტილში. გამოსავალი მზადდება ცნობილი ალგორითმის გამოყენებით. ტანგენტს აქვს კოორდინატები x=a, სადაც a>0. ფუნქციის მნიშვნელობა f(a)=√x წერტილში. f΄(х)=1/2√х ფუნქციის წარმოებული, შესაბამისად მოცემულ წერტილში f΄(а)=1/2√а. ყველა მიღებული მნიშვნელობის ჩანაცვლებით ტანგენტის განტოლებაში, ვიღებთ y = √a + (x-a)/2√a. განტოლების გარდაქმნით მივიღებთ y=x/2√а+√а/2. იმის ცოდნა, რომ ტანგენსი გადის წერტილში (0;3), ვპოულობთ a-ს მნიშვნელობას. ვპოულობთ a-ს 3=√a/2-დან. აქედან გამომდინარე √a=6, a=36. ვპოულობთ ტანგენტის განტოლებას y=x/12+3. ნახატზე ნაჩვენებია განსახილველი ფუნქციის გრაფიკი და აგებული სასურველი ტანგენსი.

მოსწავლეებს ახსენებენ მიახლოებითი ტოლობები Δy=≈f΄(x)Δxand f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, მივიღებთ f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), შესაბამისად f(x)≈f(a)+ f΄( ა)(x-a).

მაგალით 4-ში აუცილებელია გამოთქმის 2.003 6 სავარაუდო მნიშვნელობის პოვნა. ვინაიდან საჭიროა ვიპოვოთ f(x) = x 6 ფუნქციის მნიშვნელობა x = 2.003 წერტილში, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ცნობილი ფორმულა, ვიღებთ f(x)=x 6, a=2, f(a)= f(2)=64, f΄(x)=6x 5. წარმოებული f΄(2)=192 წერტილში. ამიტომ, 2.003 6 ≈65-192·0.003. გამოხატვის გამოთვლის შემდეგ მივიღებთ 2.003 6 ≈64.576.

ვიდეოგაკვეთილი „ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განტოლება“ რეკომენდებულია სკოლაში მათემატიკის ტრადიციულ გაკვეთილზე გამოსაყენებლად. მასწავლებლისთვის, რომელიც ასწავლის დისტანციურად, ვიდეო მასალა დაეხმარება თემის უფრო ნათლად ახსნას. ვიდეო შეიძლება რეკომენდაცია გაუწიონ სტუდენტებს დამოუკიდებლად გადახედონ საჭიროების შემთხვევაში, საგნის გაგების გასაღრმავებლად.

ტექსტის გაშიფვრა:

ჩვენ ვიცით, რომ თუ წერტილი M (a; f(a)) (em a და ef კოორდინატებით a-დან) ეკუთვნის y = f (x) ფუნქციის გრაფიკს და თუ ამ წერტილში შესაძლებელია ტანგენტის დახატვა. ფუნქციის გრაფიკზე, რომელიც არ არის პერპენდიკულარული აბსცისის ღერძის მიმართ, მაშინ ტანგენტის კუთხური კოეფიციენტი უდრის f"(a)-ს (eff პირველი a-დან).

მოცემული იყოს ფუნქცია y = f(x) და წერტილი M (a; f(a)) და ასევე ცნობილია, რომ f´(a) არსებობს. შევქმნათ განტოლება მოცემულ წერტილში მოცემული ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსისთვის. ამ განტოლებას, ისევე როგორც ნებისმიერი სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც არ არის ორდინატთა ღერძის პარალელურად, აქვს ფორმა y = kx+m (y უდრის ka x-ს პლუს em), ამიტომ ამოცანაა ვიპოვოთ მნიშვნელობები. კოეფიციენტები k და m (ka და em)

კუთხის კოეფიციენტი k= f"(a). m-ის მნიშვნელობის გამოსათვლელად ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ სასურველი სწორი ხაზი გადის M(a; f (a) წერტილში). ეს ნიშნავს, რომ თუ ჩავანაცვლებთ კოორდინატებს. წერტილი M სწორი ხაზის განტოლებაში მივიღებთ სწორ ტოლობას: f(a) = ka+m, საიდანაც ვხვდებით, რომ m = f(a) - ka.

რჩება ki და m კოეფიციენტების ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება სწორი ხაზის განტოლებაში:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

წ= ვ(ა)+ ვ"(ა) (x- ა). ( y უდრის ef-ს პლუს ef მარტივი a-დან, გამრავლებული x-ზე მინუს a).

მივიღეთ y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის განტოლება x=a წერტილში.

თუ, ვთქვათ, y = x 2 და x = -2 (ანუ a = -2), მაშინ f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, რაც ნიშნავს f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (მაშინ a-ს ef უდრის ოთხს, ef-ის მარტივი რიცხვი. x უდრის ორ x-ს, რაც ნიშნავს ef პირველს უდრის მინუს ოთხი)

ნაპოვნი მნიშვნელობები a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ: y = 4+(-4)(x+2), ანუ y = -4x -4.

(E უდრის მინუს ოთხი x მინუს ოთხი)

შევქმნათ განტოლება y = tgx(ბერძნული) ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსისთვის ტანგენტის ტოლიქ) საწყისში. გვაქვს: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , რაც ნიშნავს f"(0) = l. ნაპოვნი მნიშვნელობები a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ: y=x.

მოდით შევაჯამოთ ჩვენი ნაბიჯები ალგორითმის გამოყენებით x წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განტოლების პოვნაში.

ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განტოლების შემუშავების ალგორითმი y = f(x):

1) მიუთითეთ ტანგენტის წერტილის აბსციზა ასო a.

2) გამოთვალეთ f(a).

3) იპოვეთ f´(x) და გამოთვალეთ f´(a).

4) შეცვალეთ ნაპოვნი რიცხვები a, f(a), f´(a) ფორმულაში წ= ვ(ა)+ ვ"(ა) (x- ა).

მაგალითი 1. შექმენით განტოლება y = - ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსისთვის

წერტილი x = 1.

გამოსავალი. მოდით გამოვიყენოთ ალგორითმი, იმის გათვალისწინებით, რომ ამ მაგალითში

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) შეცვალეთ ნაპოვნი სამი რიცხვი: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 ფორმულაში. მივიღებთ: y = -1+(x-1), y = x-2 .

პასუხი: y = x-2.

მაგალითი 2. მოცემულია ფუნქცია y = x 3 +3x 2 -2x-2. ჩაწერეთ y = f(x) ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის განტოლება, სწორი წრფის პარალელურად y = -2x +1.

ტანგენტის განტოლების შედგენის ალგორითმის გამოყენებით გავითვალისწინებთ, რომ ამ მაგალითში f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, მაგრამ ტანგენტის წერტილის აბსციზა აქ არ არის მითითებული.

დავიწყოთ ასე ფიქრი. სასურველი ტანგენსი უნდა იყოს y = -2x+1 სწორი ხაზის პარალელურად. და პარალელურ ხაზებს აქვთ თანაბარი კუთხოვანი კოეფიციენტები. ეს ნიშნავს, რომ ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტი ტოლია მოცემული სწორი ხაზის კუთხური კოეფიციენტის: k ტანგენსი. = -2. ჰოკ საქმე. = f"(a). ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ a-ს მნიშვნელობა f ´(a) = -2 განტოლებიდან.

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული y=ვ(x):

ვ"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;ვ"(a)= 3a 2 +6a-2.

განტოლებიდან f"(a) = -2, ე.ი. 3a 2 +6a-2=-2 ჩვენ ვპოულობთ 1 =0, a 2 =-2. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ორი ტანგენტი, რომელიც აკმაყოფილებს ამოცანის პირობებს: ერთი აბსცისის წერტილში 0, მეორე აბსცისის წერტილში -2.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ დაიცვას ალგორითმი.

1) a 1 =0 და 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) a 1 = 0, f(a 1) = -2, f" (a 1) = -2 მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

პასუხი: y=-2x-2, y=-2x+2.

მაგალითი 3. (0; 3) წერტილიდან დახაზეთ tangent y = ფუნქციის გრაფიკზე. გამოსავალი. გამოვიყენოთ ტანგენტის განტოლების შედგენის ალგორითმი, იმის გათვალისწინებით, რომ ამ მაგალითში f(x) = . გაითვალისწინეთ, რომ აქ, როგორც მე-2 მაგალითში, ტანგენტის წერტილის აბსციზა აშკარად არ არის მითითებული. მიუხედავად ამისა, ჩვენ მივყვებით ალგორითმს.

1) დავუშვათ, რომ x = a იყოს ტანგენციის წერტილის აბსცისა; ნათელია, რომ >0.

3) f´(x)=()´=; f'(a) =.

4) a, f(a) = , f"(a) = მნიშვნელობების ჩანაცვლება ფორმულაში

y=f (a) +f "(a) (x-a), ვიღებთ:

პირობით, ტანგენსი გადის წერტილში (0; 3). x = 0, y = 3 მნიშვნელობების განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ: 3 = და შემდეგ =6, a =36.

როგორც ხედავთ, ამ მაგალითში მხოლოდ ალგორითმის მეოთხე საფეხურზე მოვახერხეთ ტანგენტის წერტილის აბსცისის პოვნა. a =36 მნიშვნელობის განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ: y=+3

ნახ. ნახაზი 1 გვიჩვენებს განხილული მაგალითის გეომეტრიულ ილუსტრაციას: აგებულია y = ფუნქციის გრაფიკი, დახაზულია სწორი ხაზი y = +3.

პასუხი: y = +3.

ჩვენ ვიცით, რომ y = f(x) ფუნქციისთვის, რომელსაც აქვს წარმოებული x წერტილში, სავარაუდო ტოლობა მოქმედებს: Δyf´(x)Δx (დელტა y დაახლოებით უდრის x-ის eff პირველს, გამრავლებული x დელტაზე)

ან, უფრო დეტალურად, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff x-დან პლუს დელტა x მინუს ef x-დან დაახლოებით უდრის ef პირველს x-დან დელტა x-ით).

შემდგომი განხილვის მოხერხებულობისთვის, მოდით შევცვალოთ აღნიშვნა:

x-ის ნაცვლად ჩვენ დავწერთ ა,

x+Δx-ის ნაცვლად დავწერთ x

Δx-ის ნაცვლად დავწერთ x-a.

შემდეგ ზემოთ დაწერილი სავარაუდო თანასწორობა მიიღებს ფორმას:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff x-დან დაახლოებით უდრის ef-ს პლუს ef a-დან, გამრავლებული x-სა და a-ს შორის სხვაობაზე).

მაგალითი 4. იპოვეთ რიცხვითი გამოსახულების სავარაუდო მნიშვნელობა 2.003 6.

გამოსავალი. ჩვენ ვსაუბრობთ y = x 6 ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნაზე x = 2.003 წერტილში. გამოვიყენოთ ფორმულა f(x)f(a)+f´(a)(x-a), იმის გათვალისწინებით, რომ ამ მაგალითში f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 და, შესაბამისად, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

შედეგად ვიღებთ:

2.003 6 64+192· 0.003, ე.ი. 2.003 6 =64.576.

თუ გამოვიყენებთ კალკულატორს, მივიღებთ:

2,003 6 = 64,5781643...

როგორც ხედავთ, მიახლოების სიზუსტე საკმაოდ მისაღებია.

სტატიაში მოცემულია დეფინიციების დეტალური ახსნა, წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა გრაფიკული აღნიშვნებით. ტანგენსი წრფის განტოლება განიხილება მაგალითებით, მოიძებნება მე-2 რიგის მრუდების ტანგენტის განტოლებები.

Yandex.RTB R-A-339285-1 განმარტება 1

y = k x + b სწორი წრფის დახრის კუთხეს ეწოდება კუთხე α, რომელიც იზომება x ღერძის დადებითი მიმართულებიდან y = k x + b სწორ ხაზამდე დადებითი მიმართულებით.

ნახატზე x მიმართულება მითითებულია მწვანე ისრით და მწვანე რკალით, ხოლო დახრის კუთხე წითელი რკალით. ლურჯი ხაზი ეხება სწორ ხაზს.

განმარტება 2

სწორი ხაზის დახრილობას y = k x + b ეწოდება რიცხვითი კოეფიციენტი k.

კუთხური კოეფიციენტი ტოლია სწორი ხაზის ტანგენტს, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ k = t g α.

სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე 0-ის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის პარალელურია დაახლოებით x და დახრილობა ნულის ტოლია, რადგან ნულის ტანგენსი 0-ის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ განტოლების ფორმა იქნება y = b.
თუ სწორი წრფის დახრილობის კუთხე y = k x + b მწვავეა, მაშინ დაკმაყოფილებულია პირობები 0.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, და არის გრაფაში ზრდა.
თუ α = π 2, მაშინ წრფის მდებარეობა x-ის პერპენდიკულარულია. ტოლობა მითითებულია x = c-ით, რომლის მნიშვნელობა c არის რეალური რიცხვი.
თუ სწორი წრფის დახრილობის კუთხე y = k x + b ბლაგვია, მაშინ ის შეესაბამება π 2 პირობებს.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

განმარტება 3

სეკანტი არის წრფე, რომელიც გადის f (x) ფუნქციის 2 წერტილს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სეკანტი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის მოცემული ფუნქციის გრაფიკის ნებისმიერ ორ წერტილს.

ნახაზი გვიჩვენებს, რომ A B არის სეკანტი, ხოლო f (x) არის შავი მრუდი, α არის წითელი რკალი, რომელიც მიუთითებს სეკანტის დახრილობის კუთხეზე.

როდესაც სწორი ხაზის კუთხური კოეფიციენტი უდრის დახრილობის კუთხის ტანგენტს, ცხადია, რომ A B C მართკუთხა სამკუთხედის ტანგენსი შეიძლება ვიპოვოთ მოპირდაპირე გვერდის შეფარდებით.

განმარტება 4

ჩვენ ვიღებთ ფორმულას ფორმის სეკანტის მოსაძებნად:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, სადაც A და B წერტილების აბსციები არის x A, x B და f (x A), f (x) ბ) არის მნიშვნელობების ფუნქციები ამ წერტილებში.

ცხადია, სეკანტის კუთხური კოეფიციენტი განისაზღვრება k = f (x B) - f (x A) x B - x A ან k = f (x A) - f (x B) x A - x B ტოლობის გამოყენებით. , და განტოლება უნდა დაიწეროს როგორც y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ან
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

სეკანტი გრაფიკს ვიზუალურად ყოფს 3 ნაწილად: A წერტილიდან მარცხნივ, A-დან B-მდე, B-ის მარჯვნივ. ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა აჩვენებს, რომ არის სამი სეკანტი, რომლებიც დამთხვევად ითვლება, ანუ ისინი დაყენებულია მსგავსი განტოლება.

განმარტებით, ცხადია, რომ სწორი ხაზი და მისი სეკანტი შიგნით ამ შემთხვევაშიდაწყვილება.

სეკანტს შეუძლია მოცემული ფუნქციის გრაფიკის მრავალჯერ გადაკვეთა. თუ არსებობს y = 0 ფორმის განტოლება სეკანტისთვის, მაშინ სინუსოიდთან გადაკვეთის წერტილების რაოდენობა უსასრულოა.

განმარტება 5

ტანგენსი f (x) ფუნქციის გრაფიკზე x 0 წერტილში; f (x 0) არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში x 0; f (x 0), სეგმენტის არსებობით, რომელსაც აქვს ბევრი x მნიშვნელობა x 0-თან ახლოს.

მაგალითი 1

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ქვემოთ მოცემულ მაგალითს. მაშინ ირკვევა, რომ y = x + 1 ფუნქციით განსაზღვრული წრფე ითვლება y = 2 x-ზე ტანგენტს კოორდინატების მქონე წერტილში (1; 2). სიცხადისთვის, აუცილებელია განიხილოს გრაფიკები (1; 2) მნიშვნელობებით. ფუნქცია y = 2 x ნაჩვენებია შავად, ლურჯი ხაზი არის ტანგენსი, ხოლო წითელი წერტილი არის გადაკვეთის წერტილი.

ცხადია, y = 2 x ერწყმის y = x + 1 წრფეს.

ტანგენტის დასადგენად უნდა განვიხილოთ A B ტანგენტის ქცევა, რადგან B წერტილი უსასრულოდ უახლოვდება A წერტილს, სიცხადისთვის წარმოგიდგენთ ნახატს.

სეკანტი A B, რომელიც მითითებულია ლურჯი ხაზით, მიდრეკილია თავად ტანგენტის პოზიციისკენ, ხოლო α სეკანტის დახრილობის კუთხე დაიწყებს მიდრეკილებას თვით ტანგენსის α x დახრილობის კუთხისკენ.

განმარტება 6

y = f (x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი A წერტილში ითვლება A B სეკანტის შემზღუდველ პოზიციად, რადგან B მიდრეკილია A-სკენ, ანუ B → A.

ახლა გადავიდეთ ფუნქციის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის განხილვაზე.

გადავიდეთ A B სეკანტის განხილვაზე f (x) ფუნქციისთვის, სადაც A და B კოორდინატებით x 0, f (x 0) და x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) და ∆ x არის. არგუმენტის ნამატად აღინიშნება. ახლა ფუნქცია მიიღებს ფორმას ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . სიცხადისთვის, მოვიყვანოთ ნახატის მაგალითი.

განვიხილოთ მიღებული შედეგი მართკუთხა სამკუთხედი A B C. ამოსახსნელად ვიყენებთ ტანგენსის განმარტებას, ანუ ვიღებთ მიმართებას ∆ y ∆ x = t g α . ტანგენტის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x. წარმოებულის წესით წერტილში გვაქვს, რომ წარმოებულს f (x) x 0 წერტილში ეწოდება ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, სადაც ∆ x → 0. , მაშინ აღვნიშნავთ f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x.

აქედან გამომდინარეობს, რომ f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, სადაც k x აღინიშნება როგორც ტანგენსის დახრილობა.

ანუ, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ f' (x) შეიძლება არსებობდეს x 0 წერტილში და ისევე როგორც ფუნქციის მოცემულ გრაფიკზე ტანგენსი x 0-ის ტოლი, f 0 (x 0), სადაც მნიშვნელობა ტანგენსის დახრილობა წერტილში ტოლია წარმოებულის x 0 წერტილში. შემდეგ მივიღებთ, რომ k x = f" (x 0) .

გეომეტრიული მნიშვნელობაფუნქციის წარმოებული არის ის, რომ მოცემულია იმავე წერტილში გრაფიკზე ტანგენტის არსებობის კონცეფცია.

სიბრტყეზე ნებისმიერი სწორი ხაზის განტოლების დასაწერად აუცილებელია კუთხური კოეფიციენტი იმ წერტილთან, რომლითაც იგი გადის. მისი აღნიშვნა არის x 0 გადაკვეთაზე.

y = f (x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტური განტოლება x 0 წერტილში, f 0 (x 0) იღებს ფორმას y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

ეს ნიშნავს, რომ f "(x 0) წარმოებულის საბოლოო მნიშვნელობას შეუძლია განსაზღვროს ტანგენტის პოზიცია, ანუ ვერტიკალურად, გათვალისწინებულია lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ და lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ ან საერთოდ არარსებობა პირობით lim x → x 0 + 0 f" (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x) .

ტანგენტის მდებარეობა დამოკიდებულია მისი კუთხური კოეფიციენტის მნიშვნელობაზე k x = f "(x 0). o x ღერძის პარალელურად ვიღებთ, რომ k k = 0, o y-ის პარალელურად - k x = ∞ და ფორმა ტანგენტური განტოლება x = x 0 იზრდება k x > 0-ით, მცირდება როგორც k x< 0 .

მაგალითი 2

შეადგინეთ y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განტოლება (1; 3) და დაადგინეთ დახრის კუთხე.

გამოსავალი

პირობით, გვაქვს, რომ ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა რეალური რიცხვისთვის. ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ (1; 3) პირობით მითითებული კოორდინატებით წერტილი არის ტანგენციის წერტილი, შემდეგ x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

აუცილებელია წარმოებულის პოვნა წერტილში მნიშვნელობით - 1. ჩვენ ამას მივიღებთ

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

f' (x)-ის მნიშვნელობა ტანგენციის წერტილში არის ტანგენსის დახრილობა, რომელიც უდრის დახრილობის ტანგენტს.

შემდეგ k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

აქედან გამომდინარეობს, რომ α x = a r c t g 3 3 = π 6

პასუხი:ტანგენტის განტოლება იღებს ფორმას

y = f" (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაძლევთ მაგალითს გრაფიკულ ილუსტრაციაში.

შავი ფერი გამოიყენება ორიგინალური ფუნქციის გრაფიკისთვის, ლურჯი ფერი არის ტანგენტის გამოსახულება, ხოლო წითელი წერტილი არის ტანგენციის წერტილი. ფიგურა მარჯვნივ გვიჩვენებს გაფართოებულ ხედს.

მაგალითი 3

განსაზღვრეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის არსებობა
y = 3 · x - 1 5 + 1 კოორდინატების მქონე წერტილში (1 ; 1). დაწერეთ განტოლება და დაადგინეთ დახრის კუთხე.

გამოსავალი

პირობით, გვაქვს, რომ მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის დომენი ჩაითვალოს ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლედ.

მოდით გადავიდეთ წარმოებულის პოვნაზე

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

თუ x 0 = 1, მაშინ f' (x) განუსაზღვრელია, მაგრამ საზღვრები იწერება როგორც lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ და lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , რაც ნიშნავს ვერტიკალური ტანგენტის არსებობა წერტილში (1; 1).

პასუხი:განტოლება მიიღებს x = 1 ფორმას, სადაც დახრის კუთხე ტოლი იქნება π 2-ის.

სიცხადისთვის, მოდით გამოვსახოთ იგი გრაფიკულად.

მაგალითი 4

იპოვეთ y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 ფუნქციის გრაფიკზე წერტილები, სადაც

არ არის ტანგენსი;
ტანგენსი x-ის პარალელურია;
ტანგენსი პარალელურია წრფის y = 8 5 x + 4.

გამოსავალი

აუცილებელია ყურადღება მიაქციოთ განმარტების ფარგლებს. პირობით, გვაქვს, რომ ფუნქცია განისაზღვროს ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეზე. ვაფართოებთ მოდულს და ვხსნით სისტემას x ∈ - ∞ ინტერვალებით; 2 და [-2; + ∞). ჩვენ ამას მივიღებთ

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [-2; + ∞)

აუცილებელია ფუნქციის დიფერენცირება. ჩვენ ეს გვაქვს

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [-2; + ∞)

როდესაც x = − 2, მაშინ წარმოებული არ არსებობს, რადგან ცალმხრივი ზღვრები არ არის ტოლი ამ წერტილში:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობას x = - 2 წერტილში, სადაც მივიღებთ ამას

y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, ანუ ტანგენსი წერტილში (- - 2; - 2) არ იარსებებს.
ტანგენსი x-ის პარალელურია, როცა დახრილობა ნულის ტოლია. შემდეგ k x = t g α x = f "(x 0). ანუ, აუცილებელია იპოვოთ ასეთი x-ის მნიშვნელობები, როდესაც ფუნქციის წარმოებული მას ნულზე აქცევს. ეს არის f'-ის მნიშვნელობები. (x) იქნება ტანგენციის წერტილები, სადაც ტანგენსი x-ის პარალელურია.

როდესაც x ∈ - ∞ ; - 2, შემდეგ - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, ხოლო x ∈ (- 2; + ∞) ვიღებთ 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

გამოთვალეთ შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

აქედან გამომდინარე - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 ითვლება ფუნქციის გრაფიკის საჭირო წერტილებად.

განვიხილოთ გრაფიკული გამოსახულებაგადაწყვეტილებები.

შავი ხაზი არის ფუნქციის გრაფიკი, წითელი წერტილები არის ტანგენციის წერტილები.

როდესაც ხაზები პარალელურია, კუთხის კოეფიციენტები ტოლია. შემდეგ საჭიროა ფუნქციის გრაფიკზე მოძებნოთ წერტილები, სადაც დახრილობა ტოლი იქნება 8 5 მნიშვნელობის. ამისათვის თქვენ უნდა ამოხსნათ y "(x) = 8 5 ფორმის განტოლება. მაშინ, თუ x ∈ - ∞; - 2, მივიღებთ, რომ - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8. 5, და თუ x ∈ ( - 2 ; + ∞), მაშინ 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

პირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან დისკრიმინანტია ნულზე ნაკლები. მოდი დავწეროთ ეს

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

სხვა განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

მოდით გადავიდეთ ფუნქციის მნიშვნელობების პოვნაზე. ჩვენ ამას მივიღებთ

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

ქულები მნიშვნელობებით - 1; 4 15, 5; 8 3 არის ის წერტილები, რომლებშიც ტანგენტები პარალელურია y = 8 5 x + 4 წრფესთან.

პასუხი:შავი ხაზი – ფუნქციის გრაფიკი, წითელი ხაზი – გრაფიკი y = 8 5 x + 4, ლურჯი ხაზი – ტანგენტები წერტილებზე – 1; 4 15, 5; 8 3.

მოცემული ფუნქციისთვის შეიძლება არსებობდეს ტანგენტების უსასრულო რაოდენობა.

მაგალითი 5

დაწერეთ y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 ფუნქციის ყველა არსებული ტანგენტების განტოლებები, რომლებიც განლაგებულია სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად y = - 2 x + 1 2.

გამოსავალი

ტანგენტის განტოლების შესადგენად აუცილებელია ხაზების პერპენდიკულარულობის პირობის საფუძველზე ტანგენტის წერტილის კოეფიციენტის და კოორდინატების პოვნა. განმარტება ასეთია: კუთხური კოეფიციენტების ნამრავლი, რომლებიც მართ ხაზებზე პერპენდიკულარულია, უდრის - 1-ს, ანუ იწერება როგორც k x · k ⊥ = - 1. იმ პირობიდან გვაქვს, რომ კუთხური კოეფიციენტი მდებარეობს წრფის პერპენდიკულარულად და უდრის k ⊥ = - 2, შემდეგ k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

ახლა თქვენ უნდა იპოვოთ შეხების წერტილების კოორდინატები. თქვენ უნდა იპოვოთ x და შემდეგ მისი მნიშვნელობა მოცემული ფუნქციისთვის. გაითვალისწინეთ, რომ წერტილის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობიდან
x 0 ვიღებთ, რომ k x = y "(x 0). ამ თანასწორობიდან ვპოულობთ x-ის მნიშვნელობებს კონტაქტის წერტილებისთვის.

ჩვენ ამას მივიღებთ

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

ეს ტრიგონომეტრიული განტოლება გამოყენებული იქნება ტანგენტის წერტილების ორდინატების გამოსათვლელად.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ან 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ან 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ან x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z არის მთელი რიცხვების სიმრავლე.

ნაპოვნია x კონტაქტის წერტილები. ახლა თქვენ უნდა გადახვიდეთ y-ის მნიშვნელობების ძიებაზე:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ან y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ან y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ან y 0 = - 4 5 + 1 3

აქედან ვიღებთ, რომ 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 არის ტანგენციის წერტილები.

პასუხი:საჭირო განტოლებები დაიწერება როგორც

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

ვიზუალური წარმოდგენისთვის განიხილეთ ფუნქცია და ტანგენსი კოორდინატთა ხაზზე.

ნახაზი აჩვენებს, რომ ფუნქცია მდებარეობს ინტერვალზე [-10; 10 ], სადაც შავი ხაზი არის ფუნქციის გრაფიკი, ლურჯი ხაზები არის ტანგენტები, რომლებიც განლაგებულია y = - 2 x + 1 2 ფორმის მოცემულ წრფეზე პერპენდიკულარულად. წითელი წერტილები შეხების წერტილებია.

მე-2 რიგის მრუდების კანონიკური განტოლებები არ არის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქციები. მათთვის ტანგენტური განტოლებები შედგენილია ცნობილი სქემების მიხედვით.

წრის ტანგენტი

x c e n t e r წერტილში ცენტრის მქონე წრის განსაზღვრა; y c e n t e r და რადიუსი R, გამოიყენეთ ფორმულა x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

ეს თანასწორობა შეიძლება დაიწეროს, როგორც ორი ფუნქციის გაერთიანება:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

პირველი ფუნქცია მდებარეობს ზევით, ხოლო მეორე ბოლოში, როგორც ნაჩვენებია სურათზე.

წრის განტოლების შედგენა x 0 წერტილში; y 0, რომელიც მდებარეობს ზედა ან ქვედა ნახევარწრეში, უნდა იპოვოთ y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ან y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + ფუნქციის გრაფიკის განტოლება. y c e n t e r მითითებულ წერტილში.

როდესაც x c e n t e r წერტილებში; y c e n t e r + R და x c e n t e r; y c e n t e r - R ტანგენტები შეიძლება მივიღოთ განტოლებებით y = y c e n t e r + R და y = y c e n t e r - R და x c e n t e r + R წერტილებში; y c e n t e r და
x c e n t e r - R; y c e n t e r იქნება o y-ის პარალელურად, შემდეგ მივიღებთ x = x c e n t e r + R და x = x c e n t e r - R ფორმის განტოლებებს.

ელიფსის ტანგენტი

როდესაც ელიფსს აქვს ცენტრი x c e n t e r; y c e n t e r ნახევრად ღერძებით a და b, მაშინ ის შეიძლება დაზუსტდეს განტოლების გამოყენებით x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

ელიფსი და წრე შეიძლება აღვნიშნოთ ორი ფუნქციის, კერძოდ, ზედა და ქვედა ნახევარელიფსის გაერთიანებით. მაშინ ჩვენ ამას მივიღებთ

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

თუ ტანგენტები განლაგებულია ელიფსის წვეროებზე, მაშინ ისინი პარალელურები არიან დაახლოებით x ან დაახლოებით y. ქვემოთ, სიცხადისთვის, განიხილეთ ფიგურა.

მაგალითი 6

ჩაწერეთ ელიფსის ტანგენსის განტოლება x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 წერტილებში x მნიშვნელობებით x = 2-ის ტოლი.

გამოსავალი

აუცილებელია ვიპოვოთ ტანგენტური წერტილები, რომლებიც შეესაბამება x = 2 მნიშვნელობას. ჩვენ ვცვლით ელიფსის არსებულ განტოლებას და ვპოულობთ ამას

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

შემდეგ 2; 5 3 2 + 5 და 2; - 5 3 2 + 5 არის ტანგენტური წერტილები, რომლებიც მიეკუთვნება ზედა და ქვედა ნახევარელიფსს.

გადავიდეთ y-ის მიმართ ელიფსის განტოლების პოვნასა და ამოხსნაზე. ჩვენ ამას მივიღებთ

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

ცხადია, ზედა ნახევრად ელიფსი მითითებულია y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 ფორმის ფუნქციის გამოყენებით, ხოლო ქვედა ნახევარი ელიფსი y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

მოდით გამოვიყენოთ სტანდარტული ალგორითმი, რათა შევქმნათ განტოლება ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის წერტილში. დავწეროთ, რომ პირველი ტანგენტის განტოლება 2 წერტილში; 5 3 2 + 5 ასე გამოიყურება

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2" = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

ჩვენ ვხვდებით, რომ მეორე ტანგენტის განტოლება წერტილის მნიშვნელობით
2 ; - 5 3 2 + 5 იღებს ფორმას

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2" = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

გრაფიკულად, ტანგენტები შემდეგია:

ჰიპერბოლის ტანგენტი

როდესაც ჰიპერბოლას აქვს ცენტრი x c e n t e r; y c e n t e r და წვეროები x c e n t e r + α ; y c e n t e r და x c e n t e r - α ; y c e n t e r, უტოლობა x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ხდება, თუ x c e n t e r წვეროებით; y c e n t e r + b და x c e n t e r; y c e n t e r - b , შემდეგ მითითებულია უტოლობის გამოყენებით x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

ჰიპერბოლა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ფორმის ორი კომბინირებული ფუნქცია

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r ან y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 - t e r (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

პირველ შემთხვევაში გვაქვს, რომ ტანგენტები y-ის პარალელურები არიან, ხოლო მეორეში ისინი პარალელურები არიან x-ის.

აქედან გამომდინარეობს, რომ ჰიპერბოლასთან ტანგენსის განტოლების საპოვნელად საჭიროა გაირკვეს, თუ რომელ ფუნქციას ეკუთვნის ტანგენციის წერტილი. ამის დასადგენად, აუცილებელია განტოლებებში ჩანაცვლება და იდენტურობის შემოწმება.

მაგალითი 7

დაწერეთ განტოლება ჰიპერბოლის ტანგენსისთვის x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 მე-7 წერტილში; - 3 3 - 3 .

გამოსავალი

ჰიპერბოლის საპოვნელად გადაწყვეტის ჩანაწერის გარდაქმნა აუცილებელია 2 ფუნქციის გამოყენებით. ჩვენ ამას მივიღებთ

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 და y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

აუცილებელია იდენტიფიცირება, თუ რომელ ფუნქციას ეკუთვნის მოცემული წერტილი 7 კოორდინატებით; - 3 3 - 3 .

ცხადია, პირველი ფუნქციის შესამოწმებლად აუცილებელია y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, მაშინ წერტილი არ ეკუთვნის გრაფიკს, ვინაიდან თანასწორობა არ მოქმედებს.

მეორე ფუნქციისთვის გვაქვს y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, რაც ნიშნავს, რომ წერტილი მოცემულ გრაფიკს ეკუთვნის. აქედან უნდა იპოვოთ ფერდობი.

ჩვენ ამას მივიღებთ

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

პასუხი:ტანგენტის განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

ნათლად არის გამოსახული ასე:

პარაბოლას ტანგენტი

პარაბოლაზე ტანგენტის განტოლების შესაქმნელად y = a x 2 + b x + c წერტილში x 0, y (x 0), თქვენ უნდა გამოიყენოთ სტანდარტული ალგორითმი, შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0).ასეთი ტანგენსი წვეროზე x-ის პარალელურია.

თქვენ უნდა განსაზღვროთ პარაბოლა x = a y 2 + b y + c, როგორც ორი ფუნქციის გაერთიანება. ამიტომ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ y-ის განტოლება. ჩვენ ამას მივიღებთ

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

გრაფიკულად გამოსახულია როგორც:

იმის გასარკვევად, ეკუთვნის თუ არა წერტილი x 0, y (x 0) ფუნქციას, გააგრძელეთ ნაზად სტანდარტული ალგორითმის მიხედვით. ასეთი ტანგენსი პარაბოლის მიმართ o y-ის პარალელურად იქნება.

მაგალითი 8

ჩაწერეთ გრაფიკის ტანგენტის განტოლება x - 2 y 2 - 5 y + 3, როდესაც გვაქვს ტანგენტის კუთხე 150 °.

გამოსავალი

ჩვენ ვიწყებთ ამოხსნას პარაბოლას ორი ფუნქციის სახით წარმოდგენით. ჩვენ ამას მივიღებთ

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

დახრილობის მნიშვნელობა უდრის წარმოებულის მნიშვნელობას ამ ფუნქციის x 0 წერტილში და უდრის დახრილობის კუთხის ტანგენტს.

ჩვენ ვიღებთ:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

აქედან ჩვენ განვსაზღვრავთ x მნიშვნელობას შეხების წერტილებისთვის.

პირველი ფუნქცია დაიწერება როგორც

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

ცხადია, არ არსებობს რეალური ფესვები, რადგან მივიღეთ უარყოფითი მნიშვნელობა. ჩვენ ვასკვნით, რომ ასეთი ფუნქციისთვის არ არსებობს 150° კუთხის ტანგენსი.

მეორე ფუნქცია დაიწერება როგორც

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

გვაქვს, რომ შეხების წერტილებია 23 4; - 5 + 3 4 .

პასუხი:ტანგენტის განტოლება იღებს ფორმას

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

მოდით გამოვსახოთ იგი გრაფიკულად შემდეგნაირად:

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

Y = f(x) და თუ ამ მომენტში შესაძლებელია ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის დახატვა, რომელიც არ არის პერპენდიკულარული აბსცისის ღერძზე, მაშინ ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტი უდრის f"(a). ეს რამდენჯერმე გამოიყენა, მაგალითად, § 33-ში დადგინდა, რომ y = sin x ფუნქციის გრაფიკი საწყისზე ქმნის 45° კუთხეს x ღერძთან (უფრო ზუსტად, ტანგენსი ღერძზე). საწყისზე დიაგრამა აკეთებს კუთხეს 45° x ღერძის დადებითი მიმართულებით) და მაგალითში 5 § 33 ქულა იქნა ნაპოვნი მოცემული გრაფიკით ფუნქციები, რომელშიც ტანგენსი პარალელურია x-ღერძის. § 33-ის მე-2 მაგალითში შედგენილია განტოლება y = x 2 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსისთვის x = 1 წერტილში (უფრო ზუსტად, წერტილში (1; 1), მაგრამ უფრო ხშირად მხოლოდ აბსცისის მნიშვნელობაა მითითებულია, მიაჩნია, რომ თუ აბსცისის მნიშვნელობა ცნობილია, მაშინ ორდინატთა მნიშვნელობა შეიძლება მოიძებნოს განტოლებიდან y = f(x)). ამ ნაწილში ჩვენ შევიმუშავებთ ალგორითმს ნებისმიერი ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განტოლების შედგენისთვის.

მოცემული იყოს ფუნქცია y = f(x) და წერტილი M (a; f(a)) და ასევე ცნობილია, რომ f"(a) არსებობს. შევადგინოთ განტოლება a-ს გრაფიკზე ტანგენსისთვის. მოცემულ წერტილში მოცემული ფუნქცია. ეს განტოლება ჰგავს ნებისმიერი სწორი წრფის განტოლებას, რომელიც არ არის ორდინატთა ღერძის პარალელურად, აქვს ფორმა y = kx+m, ამიტომ ამოცანაა იპოვოთ k და m კოეფიციენტების მნიშვნელობები.

k კუთხური კოეფიციენტის პრობლემა არ არის: ჩვენ ვიცით, რომ k = f "(a). m-ის მნიშვნელობის გამოსათვლელად ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ სასურველი სწორი ხაზი გადის M(a; f (a)) წერტილში. ეს ნიშნავს, რომ თუ კოორდინატთა წერტილს M ჩავცვლით სწორი ხაზის განტოლებაში, მივიღებთ სწორ ტოლობას: f(a) = ka+m, საიდანაც ვხვდებით, რომ m = f(a) - ka.
რჩება ნაკრების კოეფიციენტების ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება განტოლებასწორი:

მივიღეთ y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის განტოლება x=a წერტილში.
თუ, ვთქვათ,
ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 განტოლებაში (1), ვიღებთ: y = 1+2(x-f), ანუ y = 2x-1.
შეადარეთ ეს შედეგი მე-2 მაგალითში მიღებულს § 33-დან. ბუნებრივია, იგივე მოხდა.
შევქმნათ განტოლება y = tan x ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის საწყისზე. Ჩვენ გვაქვს: ეს ნიშნავს cos x f"(0) = 1. ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 განტოლებაში (1), მივიღებთ: y = x.
ამიტომ ჩვენ დავხატეთ ტანგენტოიდი § 15-ში (იხ. სურ. 62) კოორდინატების საწყისის მეშვეობით აბსცისის ღერძის მიმართ 45° კუთხით.
ამ საკმაოდ მარტივი მაგალითების ამოხსნისას ჩვენ რეალურად გამოვიყენეთ გარკვეული ალგორითმი, რომელიც შეიცავს ფორმულას (1). მოდით ეს ალგორითმი მკაფიო გავხადოთ.

ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განტოლების შემუშავების ალგორითმი y = f(x)

1) მიუთითეთ ტანგენტის წერტილის აბსციზა ასო a.
2) გამოთვალეთ 1 (ა).
3) იპოვეთ f"(x) და გამოთვალეთ f"(a).
4) შეცვალეთ ნაპოვნი რიცხვები a, f(a), (a) ფორმულაში (1).

მაგალითი 1.დაწერეთ განტოლება ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსისთვის x = 1 წერტილში.
მოდით გამოვიყენოთ ალგორითმი, იმის გათვალისწინებით, რომ ამ მაგალითში

ნახ. 126 გამოსახულია ჰიპერბოლა, აგებულია სწორი ხაზი y = 2.
ნახაზი ადასტურებს ზემოხსენებულ გამოთვლებს: მართლაც, წრფე y = 2 ეხება ჰიპერბოლას წერტილში (1; 1).

პასუხი: y = 2- x.
მაგალითი 2.დახაზეთ ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე ისე, რომ იგი პარალელურად იყოს y = 4x - 5 წრფესთან.
მოდით დავაზუსტოთ პრობლემის ფორმულირება. მოთხოვნა „ტანგენსის დახატვაზე“ ჩვეულებრივ ნიშნავს „ტანგენტის განტოლების ფორმირებას“. ეს ლოგიკურია, რადგან თუ ადამიანმა შეძლო ტანგენტის განტოლების შექმნა, მაშინ მას ნაკლებად სავარაუდოა, რომ გაუჭირდეს სწორი ხაზის აგება კოორდინატულ სიბრტყეზე მისი განტოლების გამოყენებით.
გამოვიყენოთ ტანგენტის განტოლების შედგენის ალგორითმი, იმის გათვალისწინებით, რომ ამ მაგალითში, მაგრამ, წინა მაგალითისგან განსხვავებით, არის გაურკვევლობა: ტანგენტის წერტილის აბსციზა ცალსახად არ არის მითითებული.
დავიწყოთ ასე ფიქრი. სასურველი ტანგენსი უნდა იყოს y = 4x-5 სწორი ხაზის პარალელურად. ორი წრფე პარალელურია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი დახრილობა ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ ტანგენტის კუთხური კოეფიციენტი უნდა იყოს მოცემული სწორი ხაზის კუთხური კოეფიციენტის ტოლი: ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ a-ს მნიშვნელობა f"(a) = 4 განტოლებიდან.
Ჩვენ გვაქვს:
განტოლებიდან ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ორი ტანგენტი, რომელიც აკმაყოფილებს ამოცანის პირობებს: ერთი აბსცისის წერტილში 2, მეორე აბსცისის წერტილში -2.
ახლა თქვენ შეგიძლიათ დაიცვას ალგორითმი.

მაგალითი 3.(0; 1) წერტილიდან დახაზეთ ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე
მოდით გამოვიყენოთ ტანგენტის განტოლების შედგენის ალგორითმი, იმის გათვალისწინებით, რომ ამ მაგალითში, გაითვალისწინეთ, რომ აქ, როგორც მაგალით 2-ში, ტანგენტის წერტილის აბსციზა ცალსახად არ არის მითითებული. მიუხედავად ამისა, ჩვენ მივყვებით ალგორითმს.

პირობით, ტანგენსი გადის წერტილში (0; 1). x = 0, y = 1 მნიშვნელობების (2) განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
როგორც ხედავთ, ამ მაგალითში მხოლოდ ალგორითმის მეოთხე საფეხურზე მოვახერხეთ ტანგენტის წერტილის აბსცისის პოვნა. a =4 მნიშვნელობის (2) განტოლებით ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

ნახ. 127 წარმოდგენილია განხილული მაგალითის გეომეტრიული ილუსტრაცია: დახატულია ფუნქციის გრაფიკი

§ 32-ში ჩვენ აღვნიშნეთ, რომ y = f(x) ფუნქციისთვის, რომელსაც აქვს წარმოებული x ფიქსირებულ წერტილში, სავარაუდო ტოლობა მოქმედებს:

შემდგომი მსჯელობის მოხერხებულობისთვის შევცვალოთ აღნიშვნა: x-ის ნაცვლად დავწერთ a-ს, ნაცვლად x-ს და, შესაბამისად, მის ნაცვლად დავწერთ x-a. შემდეგ ზემოთ დაწერილი სავარაუდო თანასწორობა მიიღებს ფორმას:

ახლა შეხედეთ ლეღვს. 128. y = f(x) ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსი დახატულია M წერტილში (a; f (a)). x წერტილი მონიშნულია x ღერძზე a-სთან ახლოს. ნათელია, რომ f(x) არის ფუნქციის გრაფიკის ორდინატი მითითებულ x წერტილში. რა არის f(a) + f"(a) (x-a)? ეს არის იმავე x წერტილის შესაბამისი ტანგენტის ორდინატი - იხილეთ ფორმულა (1). რას ნიშნავს მიახლოებითი ტოლობა (3) ფაქტი. რომ ფუნქციის მიახლოებითი მნიშვნელობის გამოსათვლელად აიღეთ ტანგენსის ორდინატი.

მაგალითი 4.იპოვეთ რიცხვითი გამონათქვამის სავარაუდო მნიშვნელობა 1.02 7.
ჩვენ ვსაუბრობთ y = x 7 ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნაზე x = 1.02 წერტილში. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა (3), იმის გათვალისწინებით, რომ ამ მაგალითში
შედეგად ვიღებთ:

თუ გამოვიყენებთ კალკულატორს, მივიღებთ: 1.02 7 = 1.148685667...
როგორც ხედავთ, მიახლოების სიზუსტე საკმაოდ მისაღებია.
პასუხი: 1,02 7 =1,14.

ა.გ. მორდკოვიჩის ალგებრა მე-10 კლასი

კალენდარულ-თემატური დაგეგმარება მათემატიკაში, ვიდეომათემატიკაში ონლაინ, მათემატიკა სკოლაში ჩამოტვირთვა

გაკვეთილის შინაარსი გაკვეთილის შენიშვნებიდამხმარე ჩარჩო გაკვეთილის პრეზენტაციის აჩქარების მეთოდები ინტერაქტიული ტექნოლოგიები ივარჯიშე ამოცანები და სავარჯიშოები თვითშემოწმების სემინარები, ტრენინგები, შემთხვევები, კვესტები საშინაო დავალების განხილვის კითხვები რიტორიკული კითხვები სტუდენტებისგან ილუსტრაციები აუდიო, ვიდეო კლიპები და მულტიმედიაფოტოები, ნახატები, გრაფიკა, ცხრილები, დიაგრამები, იუმორი, ანეგდოტები, ხუმრობები, კომიქსები, იგავი, გამონათქვამები, კროსვორდები, ციტატები დანამატები რეფერატებისტატიების ხრიკები ცნობისმოყვარე საწოლებისთვის სახელმძღვანელოების ძირითადი და ტერმინების დამატებითი ლექსიკონი სხვა სახელმძღვანელოების და გაკვეთილების გაუმჯობესებასახელმძღვანელოში არსებული შეცდომების გასწორებასახელმძღვანელოში ფრაგმენტის განახლება, გაკვეთილზე ინოვაციის ელემენტები, მოძველებული ცოდნის ახლით ჩანაცვლება მხოლოდ მასწავლებლებისთვის სრულყოფილი გაკვეთილები კალენდარული გეგმაერთი წლის განმავლობაში გაიდლაინებისადისკუსიო პროგრამები ინტეგრირებული გაკვეთილები

ინსტრუქციები

ჩვენ განვსაზღვრავთ მრუდის ტანგენსის კუთხურ კოეფიციენტს M წერტილში.
y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის გამომსახველი მრუდი უწყვეტია M წერტილის გარკვეულ სამეზობლოში (თავად M წერტილის ჩათვლით).

თუ მნიშვნელობა f‘(x0) არ არსებობს, მაშინ ან არ არის ტანგენსი, ან გადის ვერტიკალურად. ამის გათვალისწინებით x0 წერტილში ფუნქციის წარმოებულის არსებობა განპირობებულია ფუნქციის გრაფიკზე (x0, f(x0)) არავერტიკალური ტანგენტის არსებობით. ამ შემთხვევაში ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტი ტოლი იქნება f"(x0). ამრიგად, წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა ირკვევა - ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტის გამოთვლა.

იპოვეთ ტანგენტის წერტილის აბსცისის მნიშვნელობა, რომელიც აღინიშნება ასო "a"-ით. თუ იგი ემთხვევა მოცემულ ტანგენტს, მაშინ "a" იქნება მისი x-კოორდინატი. განსაზღვრეთ ღირებულება ფუნქციებივ(ა) განტოლებაში ჩანაცვლებით ფუნქციებიაბსცისის ღირებულება.

განსაზღვრეთ განტოლების პირველი წარმოებული ფუნქციები f'(x) და ჩაანაცვლეთ მასში "a" წერტილის მნიშვნელობა.

აიღეთ ზოგადი ტანგენტის განტოლება, რომელიც განისაზღვრება როგორც y = f(a) = f (a)(x – a) და ჩაანაცვლეთ მასში a, f(a), f"(a) ნაპოვნი მნიშვნელობები. შედეგად, გრაფიკის გამოსავალი მოიძებნება და ტანგენსი.

ამოიღეთ პრობლემა სხვაგვარად, თუ მოცემული ტანგენტური წერტილი არ ემთხვევა ტანგენს წერტილს. ამ შემთხვევაში აუცილებელია ტანგენტის განტოლებაში რიცხვების ნაცვლად "a" ჩანაცვლება. ამის შემდეგ „x“ და „y“ ასოების ნაცვლად ჩაანაცვლეთ მოცემული წერტილის კოორდინატების მნიშვნელობა. ამოხსენით მიღებული განტოლება, რომელშიც "a" არის უცნობი. შეაერთეთ მიღებული მნიშვნელობა ტანგენტის განტოლებაში.

დაწერეთ ტანგენტის განტოლება ასო "a"-ით, თუ პრობლემის ფორმულირება განსაზღვრავს განტოლებას ფუნქციებიდა პარალელური წრფის განტოლება სასურველ ტანგენსთან მიმართებაში. ამის შემდეგ ჩვენ გვჭირდება წარმოებული ფუნქციები, კოორდინატამდე „ა“ წერტილში. ჩაანაცვლეთ შესაბამისი მნიშვნელობა ტანგენტის განტოლებაში და ამოხსენით ფუნქცია.

მიეცით ფუნქცია f, რომელსაც რაღაც მომენტში x 0 აქვს სასრული წარმოებული f (x 0). მაშინ სწორ ხაზს, რომელიც გადის წერტილში (x 0; f (x 0)), რომელსაც აქვს კუთხური კოეფიციენტი f' (x 0), ეწოდება ტანგენსი.

რა მოხდება, თუ წარმოებული არ არსებობს x 0 წერტილში? არსებობს ორი ვარიანტი:

გრაფიკზეც არ არის ტანგენსი. კლასიკური მაგალითი- ფუნქცია y = |x | წერტილში (0; 0).
ტანგენსი ხდება ვერტიკალური. ეს მართალია, მაგალითად, y = arcsin x ფუნქციისთვის (1; π /2).

ტანგენტის განტოლება

ნებისმიერი არავერტიკალური სწორი ხაზი მოცემულია y = kx + b ფორმის განტოლებით, სადაც k არის დახრილობა. ტანგენსი არ არის გამონაკლისი და იმისათვის, რომ შეიქმნას მისი განტოლება რაღაც წერტილში x 0, საკმარისია ვიცოდეთ ფუნქციისა და წარმოებულის მნიშვნელობა ამ ეტაპზე.

ასე რომ, მიეცით ფუნქცია y = f (x), რომელსაც აქვს წარმოებული y = f '(x) სეგმენტზე. მაშინ ნებისმიერ წერტილში x 0 ∈ (a ; b) ამ ფუნქციის გრაფიკზე შეიძლება დახატოთ ტანგენსი, რომელიც მოცემულია განტოლებით:

y = f '(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

აქ f '(x 0) არის წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში, ხოლო f (x 0) არის თავად ფუნქციის მნიშვნელობა.

დავალება. მოცემულია ფუნქცია y = x 3. დაწერეთ განტოლება ამ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსისთვის x 0 = 2 წერტილში.

ტანგენტური განტოლება: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). წერტილი x 0 = 2 მოცემულია ჩვენთვის, მაგრამ მნიშვნელობები f (x 0) და f '(x 0) უნდა გამოითვალოს.

ჯერ ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა. აქ ყველაფერი მარტივია: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
ახლა ვიპოვოთ წარმოებული: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
ჩვენ ვცვლით x 0 = 2-ს წარმოებულში: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
ჯამში ვიღებთ: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
ეს არის ტანგენტის განტოლება.

დავალება. დაწერეთ განტოლება ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსისთვის f (x) = 2sin x + 5 x 0 = π /2 წერტილში.

ამჯერად თითოეულ მოქმედებას დეტალურად არ აღვწერთ - მხოლოდ საკვანძო ნაბიჯებს მივუთითებთ. Ჩვენ გვაქვს:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

ტანგენტის განტოლება:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, სწორი ხაზი ჰორიზონტალური აღმოჩნდა, რადგან მისი კუთხური კოეფიციენტი k = 0. ამაში ცუდი არაფერია - ჩვენ უბრალოდ წავაწყდით უკიდურეს წერტილს.