ზოგიერთი ადამიანი სიტყვა „პროგრესს“ სიფრთხილით ეპყრობა, როგორც ძალიან რთული ტერმინისექციებიდან უმაღლესი მათემატიკა. იმავდროულად, უმარტივესი არითმეტიკული პროგრესია არის ტაქსის მრიცხველის მუშაობა (სადაც ისინი ჯერ კიდევ არსებობს). და არითმეტიკული თანმიმდევრობის არსის გაგება (და მათემატიკაში არაფერია უფრო მნიშვნელოვანი, ვიდრე „არსის მიღება“) არც ისე რთულია, რამდენიმე ელემენტარული ცნების გაანალიზებით.

მათემატიკური რიცხვების თანმიმდევრობა

ციფრულ თანმიმდევრობას ჩვეულებრივ უწოდებენ რიცხვების სერიას, რომელთაგან თითოეულს აქვს საკუთარი ნომერი.

a 1 არის მიმდევრობის პირველი წევრი;

და 2 არის რიგითობის მეორე წევრი;

და 7 არის რიგითობის მეშვიდე წევრი;

და n არის მიმდევრობის n-ე წევრი;

თუმცა, რიცხვებისა და რიცხვების რაიმე თვითნებური ნაკრები არ გვაინტერესებს. ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ რიცხვით მიმდევრობაზე, რომელშიც n-ე წევრის მნიშვნელობა დაკავშირებულია მის რიგით რიცხვთან ურთიერთობით, რომელიც შეიძლება მკაფიოდ ჩამოყალიბდეს მათემატიკურად. Სხვა სიტყვებით: რიცხვითი მნიშვნელობა n-ე რიცხვი არის n-ის გარკვეული ფუნქცია.

a არის რიცხვითი მიმდევრობის წევრის მნიშვნელობა;

n არის მისი სერიული ნომერი;

f(n) არის ფუნქცია, სადაც n რიცხვითი მიმდევრობის რიგითი რიცხვი არის არგუმენტი.

განმარტება

არითმეტიკულ პროგრესიას ჩვეულებრივ უწოდებენ რიცხვითი თანმიმდევრობას, რომელშიც ყოველი მომდევნო წევრი უფრო მეტია (ნაკლები) ვიდრე წინა ერთი და იგივე რიცხვით. არითმეტიკული მიმდევრობის n-ე წევრის ფორმულა ასეთია:

a n - არითმეტიკული პროგრესიის მიმდინარე წევრის მნიშვნელობა;

a n+1 - შემდეგი რიცხვის ფორმულა;

d - განსხვავება (გარკვეული რიცხვი).

ადვილია იმის დადგენა, რომ თუ სხვაობა დადებითია (d>0), მაშინ განხილული სერიების ყოველი მომდევნო წევრი წინაზე მეტი იქნება და ასეთი არითმეტიკული პროგრესია გაიზრდება.

ქვემოთ მოცემულ გრაფიკზე ადვილია იმის დანახვა, თუ რატომ ჰქვია რიცხვთა თანმიმდევრობას "მზარდი".

იმ შემთხვევებში, როდესაც განსხვავება უარყოფითია (დ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

მითითებული წევრის ღირებულება

ზოგჯერ საჭიროა არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი თვითნებური ტერმინის მნიშვნელობის განსაზღვრა. ეს შეიძლება გაკეთდეს არითმეტიკული პროგრესიის ყველა წევრის მნიშვნელობების თანმიმდევრული გაანგარიშებით, დაწყებული პირველიდან სასურველამდე. თუმცა, ეს გზა ყოველთვის არ არის მისაღები, თუ, მაგალითად, აუცილებელია ხუთათასიანი ან რვამილიონე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა. ტრადიციულ გამოთვლებს დიდი დრო დასჭირდება. თუმცა, კონკრეტული არითმეტიკული პროგრესიის შესწავლა შესაძლებელია გარკვეული ფორმულების გამოყენებით. ასევე არსებობს n-ე წევრის ფორმულა: არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრის მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც პროგრესიის პირველი წევრის ჯამი პროგრესიის სხვაობით, გამრავლებული სასურველი წევრის რაოდენობაზე, შემცირებული ერთი.

ფორმულა უნივერსალურია პროგრესირების გაზრდისა და შემცირებისთვის.

მოცემული ტერმინის მნიშვნელობის გამოთვლის მაგალითი

მოდით გადავჭრათ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის მნიშვნელობის პოვნის შემდეგი ამოცანა.

მდგომარეობა: არსებობს არითმეტიკული პროგრესია პარამეტრებით:

მიმდევრობის პირველი წევრია 3;

რიცხვების სერიებში განსხვავება არის 1.2.

ამოცანა: თქვენ უნდა იპოვოთ 214 ტერმინის მნიშვნელობა

ამოხსნა: მოცემული ტერმინის მნიშვნელობის დასადგენად ვიყენებთ ფორმულას:

a(n) = a1 + d(n-1)

პრობლემის განცხადების მონაცემების გამონათქვამში ჩანაცვლებით, ჩვენ გვაქვს:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

პასუხი: მიმდევრობის 214-ე წევრი უდრის 258,6-ს.

გაანგარიშების ამ მეთოდის უპირატესობები აშკარაა - მთელი გამოსავალი იღებს არაუმეტეს 2 ხაზს.

მოცემული რაოდენობის ტერმინების ჯამი

ძალიან ხშირად, მოცემულ არითმეტიკულ სერიაში აუცილებელია მისი ზოგიერთი სეგმენტის მნიშვნელობების ჯამის დადგენა. ამისათვის ასევე არ არის საჭირო თითოეული ტერმინის მნიშვნელობების გამოთვლა და შემდეგ მათი შეკრება. ეს მეთოდი გამოიყენება, თუ ტერმინების რაოდენობა, რომელთა ჯამი უნდა მოიძებნოს, მცირეა. სხვა შემთხვევებში უფრო მოსახერხებელია შემდეგი ფორმულის გამოყენება.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი 1-დან n-მდე უდრის პირველი და მე-n წევრის ჯამს, გამრავლებული n-ის რიცხვზე და გაყოფილი ორზე. თუ ფორმულაში n-ე ტერმინის მნიშვნელობა შეიცვლება სტატიის წინა პუნქტის გამოსახულებით, მივიღებთ:

გაანგარიშების მაგალითი

მაგალითად, მოვაგვაროთ პრობლემა შემდეგი პირობებით:

მიმდევრობის პირველი წევრი არის ნული;

განსხვავება არის 0.5.

პრობლემა მოითხოვს სერიის ტერმინების ჯამის განსაზღვრას 56-დან 101-მდე.

გამოსავალი. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა პროგრესირების რაოდენობის დასადგენად:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ პროგრესირების 101 ტერმინის მნიშვნელობების ჯამს ჩვენი პრობლემის მოცემული პირობების ფორმულით ჩანაცვლებით:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2525

ცხადია, 56-დან 101-მდე პროგრესირების ტერმინების ჯამის გასარკვევად საჭიროა S 101-ს გამოვაკლოთ S 55.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ამრიგად, ამ მაგალითისთვის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამია:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782.5

არითმეტიკული პროგრესიის პრაქტიკული გამოყენების მაგალითი

სტატიის დასასრულს დავუბრუნდეთ პირველ აბზაცში მოცემულ არითმეტიკული მიმდევრობის მაგალითს - ტაქსიმეტრი (ტაქსი მანქანის მრიცხველი). განვიხილოთ ეს მაგალითი.

ტაქსიში ჩაჯდომა (რომელიც მოიცავს 3 კმ მგზავრობას) 50 მანეთი ღირს. ყოველი მომდევნო კილომეტრის გადახდა ხდება 22 რუბლი / კმ. მგზავრობის მანძილი 30 კმ. გამოთვალეთ მოგზაურობის ღირებულება.

1. გადავაგდოთ პირველი 3 კმ, რომლის ფასიც შედის დაშვების ღირებულებაში.

30 - 3 = 27 კმ.

2. შემდგომი გამოთვლა სხვა არაფერია, თუ არა არითმეტიკული რიცხვების სერიის გარჩევა.

წევრის ნომერი - გავლილი კილომეტრების რაოდენობა (პირველი სამის გამოკლებით).

წევრის ღირებულება არის ჯამი.

ამ პრობლემის პირველი ვადა იქნება 1 = 50 რუბლის ტოლი.

პროგრესირების სხვაობა d = 22 r.

რიცხვი, რომელიც გვაინტერესებს არის არითმეტიკული პროგრესიის (27+1)-ე წევრის მნიშვნელობა - მრიცხველის მაჩვენებელი 27-ე კილომეტრის ბოლოს არის 27,999... = 28 კმ.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

კალენდარული მონაცემების გამოთვლები თვითნებურად ხანგრძლივი პერიოდისთვის ეფუძნება ფორმულებს, რომლებიც აღწერს გარკვეულ რიცხვობრივ თანმიმდევრობას. ასტრონომიაში, ორბიტის სიგრძე გეომეტრიულად არის დამოკიდებული ციური სხეულის ვარსკვლავამდე მანძილს. გარდა ამისა, სხვადასხვა რიცხვების სერიები წარმატებით გამოიყენება სტატისტიკაში და მათემატიკის სხვა გამოყენებით სფეროებში.

რიცხვების მიმდევრობის კიდევ ერთი ტიპია გეომეტრიული

გეომეტრიულ პროგრესიას ახასიათებს ცვლილების უფრო დიდი ტემპები არითმეტიკულ პროგრესირებასთან შედარებით. შემთხვევითი არ არის, რომ პოლიტიკაში, სოციოლოგიაში და მედიცინაში, კონკრეტული ფენომენის გავრცელების მაღალი სიჩქარის საჩვენებლად, მაგალითად, დაავადების ეპიდემიის დროს, ამბობენ, რომ პროცესი გეომეტრიული პროგრესიით ვითარდება.

გეომეტრიული რიცხვების სერიის N-ე წევრი განსხვავდება წინადან იმით, რომ ის მრავლდება რაიმე მუდმივ რიცხვზე - მნიშვნელი, მაგალითად, პირველი წევრი არის 1, მნიშვნელი შესაბამისად უდრის 2-ს, შემდეგ:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - გეომეტრიული პროგრესიის მიმდინარე ტერმინის მნიშვნელობა;

b n+1 - გეომეტრიული პროგრესიის შემდეგი წევრის ფორმულა;

q არის გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი (მუდმივი რიცხვი).

თუ არითმეტიკული პროგრესიის გრაფიკი სწორი ხაზია, მაშინ გეომეტრიული პროგრესია ოდნავ განსხვავებულ სურათს ქმნის:

როგორც არითმეტიკის შემთხვევაში, გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს თვითნებური ტერმინის მნიშვნელობის ფორმულა. გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი n-ე წევრი უდრის პირველი წევრის ნამრავლს და პროგრესიის მნიშვნელს n-ის ხარისხზე შემცირებული ერთით:

მაგალითი. გვაქვს გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრი უდრის 3-ს, ხოლო პროგრესიის მნიშვნელი უდრის 1,5-ს. ვიპოვოთ პროგრესიის მე-5 წევრი

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

ტერმინების მოცემული რაოდენობის ჯამი ასევე გამოითვლება სპეციალური ფორმულით. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი უდრის სხვაობას პროგრესიის n-ე წევრისა და მისი მნიშვნელის ნამრავლსა და პროგრესიის პირველ წევრს შორის, გაყოფილი მნიშვნელზე შემცირებული ერთით:

თუ b n ჩანაცვლებულია ზემოთ განხილული ფორმულის გამოყენებით, განხილული რიცხვების სერიის პირველი n პუნქტების ჯამის მნიშვნელობა მიიღებს ფორმას:

მაგალითი. გეომეტრიული პროგრესია იწყება პირველი წევრით, რომელიც უდრის 1-ს. მნიშვნელი არის 3. ვიპოვოთ პირველი რვა წევრის ჯამი.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

პირველი დონე

არითმეტიკული პროგრესია. დეტალური თეორიამაგალითებით (2019)

რიცხვების თანმიმდევრობა

მაშ, დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:
თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, არის ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:

რიცხვების თანმიმდევრობა
მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია თანმიმდევრობით მხოლოდ ერთი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (როგორც მერვე ნომერი) ყოველთვის იგივეა.
რიცხვთან ერთად რიცხვს მიმდევრობის მე-თე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეული წევრი არის იგივე ასო, რომლის ინდექსი ტოლია ამ წევრის რიცხვის: .

ჩვენს შემთხვევაში:

ვთქვათ, გვაქვს რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის იგივე და ტოლია.
Მაგალითად:

და ა.შ.
ამ რიცხვთა თანმიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება.
ტერმინი „პროგრესია“ შემოიღო რომაელმა ავტორმა ბოეთიუსმა ჯერ კიდევ მე-6 საუკუნეში და ფართო გაგებით გაიგო, როგორც უსასრულო რიცხვითი თანმიმდევრობა. სახელწოდება „არითმეტიკა“ გადავიდა უწყვეტი პროპორციების თეორიიდან, რომელსაც სწავლობდნენ ძველი ბერძნები.

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი უდრის იმავე რიცხვს დამატებულ წინას. ამ რიცხვს ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და მითითებულია.

შეეცადეთ დაადგინოთ, რომელი რიცხვის მიმდევრობაა არითმეტიკული პროგრესია და რომელი არა:

ა)
ბ)
გ)
დ)

Გავიგე? მოდით შევადაროთ ჩვენი პასუხები:
არისარითმეტიკული პროგრესია - b, c.
Არ არისარითმეტიკული პროგრესია - ა, დ.

დავუბრუნდეთ მოცემულ პროგრესიას () და ვეცადოთ ვიპოვოთ მისი მე-ე წევრის მნიშვნელობა. არსებობს ორიმისი პოვნის გზა.

1. მეთოდი

ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ პროგრესიის ნომერი წინა მნიშვნელობას მანამ, სანამ არ მივაღწევთ პროგრესიის მე-6 ტერმინს. კარგია, რომ ბევრი რამ არ გვაქვს შესაჯამებელი - მხოლოდ სამი მნიშვნელობა:

ასე რომ, აღწერილი არითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი უდრის.

2. მეთოდი

რა მოხდება, თუ გვჭირდებოდა პროგრესიის მე-ე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა? შეჯამება ერთ საათზე მეტს დაგვჭირდება და ფაქტი არ არის, რომ რიცხვების შეკრებისას შეცდომას არ დავუშვებთ.
რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებმა მოიგონეს გზა, რომლითაც არ არის აუცილებელი არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის დამატება წინა მნიშვნელობაზე. დააკვირდით დახატულ სურათს... რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე შენიშნეთ გარკვეული ნიმუში, კერძოდ:

მაგალითად, ვნახოთ, რას მოიცავს ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-ე წევრის მნიშვნელობა:

Სხვა სიტყვებით:

ეცადეთ, ამ გზით თავად იპოვოთ მოცემული არითმეტიკული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.

გამოთვალეთ? შეადარეთ თქვენი შენიშვნები პასუხთან:

გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ თქვენ მიიღეთ ზუსტად იგივე რიცხვი, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად დავამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირობები წინა მნიშვნელობას.
შევეცადოთ ამ ფორმულის „დეპერსონალიზაცია“ - მოდი დავდოთ იგი ზოგადი ფორმით და მივიღოთ:

არითმეტიკული პროგრესიის განტოლება.

არითმეტიკული პროგრესიები შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი.

მზარდი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე მეტია.
Მაგალითად:

Დაღმავალი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე ნაკლებია.
Მაგალითად:

მიღებული ფორმულა გამოიყენება არითმეტიკული პროგრესიის როგორც მზარდი, ისე კლებადი ტერმინების გამოთვლაში.
მოდით შევამოწმოთ ეს პრაქტიკაში.
ჩვენ გვეძლევა არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება შემდეგი რიცხვებისგან: მოდით შევამოწმოთ რა იქნება ამ არითმეტიკული პროგრესიის მეათე რიცხვი, თუ გამოვიყენებთ ჩვენს ფორმულას მის გამოსათვლელად:

Მას შემდეგ:

ამრიგად, ჩვენ დარწმუნებულები ვართ, რომ ფორმულა მოქმედებს როგორც შემცირების, ისე გაზრდის არითმეტიკული პროგრესიის დროს.
შეეცადეთ თავად იპოვოთ ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-4 პუნქტები.

შევადაროთ შედეგები:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება

გავართულოთ პრობლემა - გამოვიყვანთ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებას.
ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი პირობა:
- არითმეტიკული პროგრესია, იპოვნეთ მნიშვნელობა.
მარტივია, ამბობ და იწყებ დათვლას უკვე ნაცნობი ფორმულის მიხედვით:

მოდით, აჰ, მაშინ:

Აბსოლუტურად სწორი. გამოდის, რომ ჯერ ვპოულობთ, შემდეგ ვამატებთ პირველ რიცხვს და ვიღებთ იმას, რასაც ვეძებთ. თუ პროგრესია წარმოდგენილია მცირე მნიშვნელობებით, მაშინ ამაში არაფერია რთული, მაგრამ რა მოხდება, თუ პირობით რიცხვებს მივიღებთ? გეთანხმებით, არის გამოთვლებში შეცდომის დაშვების შესაძლებლობა.
ახლა დაფიქრდით, შესაძლებელია თუ არა ამ პრობლემის გადაჭრა რომელიმე ფორმულით ერთი ნაბიჯით? რა თქმა უნდა, დიახ, და ეს არის ის, რისი გარკვევასაც ახლა შევეცდებით.

მოდი აღვნიშნოთ არითმეტიკული პროგრესიის საჭირო ტერმინი, როგორც ჩვენთვის ცნობილია მისი პოვნის ფორმულა - ეს არის იგივე ფორმულა, რაც თავიდან გამოვიყვანეთ:
, შემდეგ:

პროგრესის წინა ვადა არის:
პროგრესის შემდეგი ტერმინი არის:

მოდით შევაჯამოთ პროგრესის წინა და შემდგომი პირობები:

გამოდის, რომ პროგრესიის წინა და შემდგომი პუნქტების ჯამი არის მათ შორის მდებარე პროგრესიის ტერმინის ორმაგი მნიშვნელობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესული ტერმინის მნიშვნელობის საპოვნელად ცნობილი წინა და თანმიმდევრული მნიშვნელობებით, თქვენ უნდა დაამატოთ ისინი და გაყოთ.

მართალია, იგივე ნომერი მივიღეთ. დავიცავთ მასალას. თავად გამოთვალეთ პროგრესის ღირებულება, ეს სულაც არ არის რთული.

კარგად გააკეთე! თქვენ თითქმის ყველაფერი იცით პროგრესის შესახებ! რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულის გარკვევა, რომელიც, ლეგენდის თანახმად, ადვილად გამოიტანა ყველა დროის ერთ-ერთმა უდიდესმა მათემატიკოსმა, „მათემატიკოსთა მეფემ“ - კარლ გაუსმა...

როდესაც კარლ გაუსი 9 წლის იყო, მასწავლებელმა, რომელიც დაკავებული იყო სხვა კლასების სტუდენტების მუშაობის შემოწმებით, კლასში დაუსვა შემდეგი პრობლემა: „გამოთვალეთ ყველა ჯამი. ნატურალური რიცხვებიდან (სხვა წყაროების მიხედვით) ჩათვლით“. წარმოიდგინეთ მასწავლებლის გაოცება, როდესაც მისმა ერთ-ერთმა მოსწავლემ (ეს იყო კარლ გაუსმა) ერთი წუთის შემდეგ სწორი პასუხი გასცა დავალებას, მაშინ როცა გაბედულის თანაკლასელების უმეტესობამ, ხანგრძლივი გათვლების შემდეგ, არასწორი შედეგი მიიღო...

ახალგაზრდა კარლ გაუსმა შენიშნა გარკვეული ნიმუში, რომელსაც თქვენც ადვილად შეამჩნევთ.
ვთქვათ, გვაქვს არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება -ე ტერმინებისგან: ჩვენ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ამ წევრთა ჯამი. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია ხელით შევაჯამოთ ყველა მნიშვნელობა, მაგრამ რა მოხდება, თუ დავალება მოითხოვს მისი ტერმინების ჯამის პოვნას, როგორც ამას გაუსი ეძებდა?

მოდით გამოვსახოთ ჩვენთვის მოცემული პროგრესი. ყურადღებით დააკვირდით მონიშნულ რიცხვებს და შეეცადეთ მათთან ერთად შეასრულოთ სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებები.

სცადე? რა შეამჩნიე? უფლება! მათი ჯამები ტოლია

ახლა მითხარი, სულ რამდენი ასეთი წყვილია ჩვენთვის მოცემულ პროგრესში? რა თქმა უნდა, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ.
იქიდან გამომდინარე, რომ არითმეტიკული პროგრესიის ორი წევრის ჯამი ტოლია და მსგავსი წყვილები ტოლია, მივიღებთ, რომ ჯამი უდრის:
.
ამრიგად, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ფორმულა იქნება:

ზოგიერთ პრობლემაში ჩვენ არ ვიცით ტერმინი, მაგრამ ვიცით პროგრესირების განსხვავება. შეეცადეთ ჩაანაცვლოთ მეათე წევრის ფორმულა ჯამის ფორმულით.
Რა მიიღე?

კარგად გააკეთე! ახლა დავუბრუნდეთ პრობლემას, რომელიც დაუსვეს კარლ გაუსს: თავად გამოთვალეთ, თუ რის ტოლია th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი და th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი.

რამდენი მიიღეთ?
გაუსმა აღმოაჩინა, რომ ტერმინების ჯამი ტოლია და წევრთა ჯამი. ასე გადაწყვიტე?

სინამდვილეში, არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულა დაამტკიცა ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა დიოფანტმა ჯერ კიდევ მე-3 საუკუნეში და მთელი ამ ხნის განმავლობაში მახვილგონივრული ადამიანები სრულად იყენებდნენ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებებს.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ ძველი ეგვიპტე და იმ დროის უდიდესი სამშენებლო პროექტი - პირამიდის მშენებლობა... სურათზე ჩანს მისი ერთი მხარე.

სად არის აქ პროგრესი, თქვენ ამბობთ? დააკვირდით და იპოვეთ ნიმუში პირამიდის კედლის თითოეულ რიგში ქვიშის ბლოკების რაოდენობაში.

რატომ არა არითმეტიკული პროგრესია? გამოთვალეთ რამდენი ბლოკია საჭირო ერთი კედლის ასაშენებლად, თუ ბლოკის აგური მოთავსებულია ბაზაზე. იმედი მაქვს, მონიტორზე თითის გადაადგილებისას არ ითვლით, გახსოვთ ბოლო ფორმულა და ყველაფერი, რაც ვთქვით არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ?

ამ შემთხვევაში პროგრესი ასე გამოიყურება: .
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა.
მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ბოლო ფორმულებში (გამოვთვალოთ ბლოკების რაოდენობა 2 გზით).

მეთოდი 1.

მეთოდი 2.

ახლა კი შეგიძლიათ მონიტორზე გამოთვალოთ: შეადარეთ მიღებული მნიშვნელობები ჩვენს პირამიდაში არსებული ბლოკების რაოდენობასთან. Გავიგე? კარგია, თქვენ აითვისეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრთა ჯამი.
რა თქმა უნდა, თქვენ არ შეგიძლიათ პირამიდის აშენება ბაზაზე არსებული ბლოკებისგან, მაგრამ? შეეცადეთ გამოთვალოთ რამდენი ქვიშის აგურია საჭირო ამ პირობით კედლის ასაშენებლად.
მოახერხე?
სწორი პასუხი არის ბლოკები:

ტრენინგი

Დავალებები:

მაშა ზაფხულისთვის ფორმაში დგება. ყოველდღე ის ზრდის ჩაჯდომების რაოდენობას. რამდენჯერ გააკეთებს მაშა ჩაჯდომას კვირაში, თუ პირველ ვარჯიშზე ჯდება?
რა არის ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს.
ლოგების შენახვისას, ლოგერები აწყობენ მათ ისე, რომ ყოველი ზედა ფენა შეიცავს წინაზე ერთი ჟურნალის ნაკლებს. რამდენი მორი არის ერთ ქვისა, თუ ქვისა საფუძველი არის მორები?

პასუხები:

მოდით განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის პარამეტრები. Ამ შემთხვევაში
(კვირები = დღეები).
პასუხი:ორ კვირაში, მაშამ უნდა გააკეთოს squats დღეში ერთხელ.
პირველი კენტი რიცხვი, ბოლო რიცხვი.
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
კენტი რიცხვების რაოდენობა ნახევარშია, თუმცა, მოდით შევამოწმოთ ეს ფაქტი არითმეტიკული პროგრესიის მეათე წევრის ფორმულის გამოყენებით:
რიცხვები შეიცავს კენტ რიცხვებს.
მოდით ჩავანაცვლოთ არსებული მონაცემები ფორმულაში:
პასუხი:ყველა კენტი რიცხვის ჯამი ტოლია.
გავიხსენოთ პრობლემა პირამიდების შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, a, რადგან თითოეული ზედა ფენა მცირდება ერთი ჟურნალით, მაშინ მთლიანობაში არის ფენების თაიგული, ანუ.
მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ფორმულაში:
პასუხი:ქვისა მორებია.

მოდით შევაჯამოთ

- რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი. ის შეიძლება გაიზარდოს ან შემცირდეს.
ფორმულის პოვნაარითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი იწერება ფორმულით - , სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება- - სად არის პროგრესირებადი რიცხვების რაოდენობა.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამიშეიძლება მოიძებნოს ორი გზით:

, სადაც არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

არითმეტიკული პროგრესია. საშუალო დონე

რიცხვების თანმიმდევრობა

დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ. მაგრამ ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების მიმდევრობის მაგალითი.

რიცხვების თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული რიცხვი შეიძლება დაკავშირებული იყოს გარკვეულ ბუნებრივ რიცხვთან და უნიკალურთან. და ჩვენ არ მივანიჭებთ ამ ნომერს ამ ნაკრებიდან არცერთ სხვა ნომერს.

რიცხვით რიცხვს უწოდებენ მიმდევრობის მე-ა წევრს.

ძალიან მოსახერხებელია, თუ მიმდევრობის მეათე ტერმინი შეიძლება განისაზღვროს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა

ადგენს თანმიმდევრობას:

და ფორმულა არის შემდეგი თანმიმდევრობა:

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა (პირველი წევრი აქ ტოლია და განსხვავება არის). ან (, განსხვავება).

n-ე ტერმინის ფორმულა

ჩვენ ვუწოდებთ ფორმულას მორეციდივე, რომელშიც, იმისათვის, რომ გაიგოთ ტერმინი, თქვენ უნდა იცოდეთ წინა ან რამდენიმე წინა:

ამ ფორმულის გამოყენებით, მაგალითად, პროგრესიის მეათე წევრის საპოვნელად, უნდა გამოვთვალოთ წინა ცხრა. მაგალითად, ნება მიეცით. შემდეგ:

აბა, ახლა გასაგებია, რა ფორმულაა?

თითოეულ სტრიქონში ჩვენ ვამატებთ, გამრავლებული რაღაც რიცხვზე. Რომელი? ძალიან მარტივია: ეს არის ამჟამინდელი წევრის რიცხვი მინუს:

ახლა ბევრად უფრო მოსახერხებელია, არა? ჩვენ ვამოწმებთ:

თავად გადაწყვიტე:

არითმეტიკული პროგრესიით იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და იპოვეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი:

პირველი ვადა თანაბარია. Რა არის განსხვავება? აი რა:

(ამიტომ უწოდებენ მას განსხვავებას, რადგან უდრის პროგრესიის თანმიმდევრული ტერმინების სხვაობას).

ასე რომ, ფორმულა:

მაშინ მეასე წევრი უდრის:

რა არის ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი დან?

ლეგენდის თანახმად, დიდმა მათემატიკოსმა კარლ გაუსმა, როგორც 9 წლის ბიჭმა, რამდენიმე წუთში გამოთვალა ეს თანხა. მან შეამჩნია, რომ პირველი და ბოლო რიცხვების ჯამი ტოლია, მეორეს და წინაბოლოების ჯამი იგივეა, ბოლოდან მესამე და მე-3-ის ჯამი იგივეა და ა.შ. სულ რამდენი ასეთი წყვილია? მართალია, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ. Ისე,

ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ზოგადი ფორმულა იქნება:

მაგალითი:
იპოვეთ ყველა ორნიშნა ჯერადი ჯამი.

გამოსავალი:

პირველი ასეთი რიცხვია. ყოველი მომდევნო რიცხვი მიიღება წინა რიცხვის დამატებით. ამრიგად, რიცხვები, რომლებიც ჩვენ გვაინტერესებს, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით და სხვაობით.

ამ პროგრესირების ტერმინის ფორმულა:

რამდენი ტერმინია პროგრესიაში, თუ ისინი ყველა ორნიშნა უნდა იყოს?

ძალიან ადვილია:.

პროგრესირების ბოლო ვადა თანაბარი იქნება. შემდეგ ჯამი:

პასუხი:.

ახლა თავად გადაწყვიტე:

ყოველდღე სპორტსმენი გარბის უფრო მეტ მეტრს, ვიდრე წინა დღეს. სულ რამდენ კილომეტრს გაივლის კვირაში, თუ პირველ დღეს კმ მ გაირბინა?
ველოსიპედისტი ყოველდღე უფრო მეტ კილომეტრს გადის, ვიდრე წინა დღეს. პირველ დღეს მან გაიარა კმ. რამდენი დღე სჭირდება მას კილომეტრის გასავლელად? რამდენ კილომეტრს გაივლის ის მოგზაურობის ბოლო დღეს?
მაღაზიაში მაცივრის ფასი ყოველწლიურად ამდენივე მცირდება. დაადგინეთ, რამდენად იკლებს მაცივრის ფასი ყოველწლიურად, თუ გაყიდვაში რუბლებში იყო გამოტანილი, ექვსი წლის შემდეგ ის გაიყიდა რუბლებში.

პასუხები:

აქ ყველაზე მნიშვნელოვანი არის არითმეტიკული პროგრესიის ამოცნობა და მისი პარამეტრების დადგენა. ამ შემთხვევაში, (კვირები = დღეები). თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ პროგრესიის პირველი ტერმინების ჯამი:
.
პასუხი:
აქ მოცემულია: , უნდა მოიძებნოს.
ცხადია, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ჯამის ფორმულა, როგორც წინა პრობლემაში:
.
შეცვალეთ მნიშვნელობები:
ფესვი აშკარად არ ჯდება, ამიტომ პასუხი არის.
გამოვთვალოთ ბოლო დღის განმავლობაში გავლილი გზა მე-ე წევრის ფორმულით:
(კმ).
პასუხი:
მოცემული: . იპოვეთ:.
ეს არ შეიძლება იყოს უფრო მარტივი:
(რუბში).
პასუხი:

არითმეტიკული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი.

არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება იყოს მზარდი () და კლებადი ().

Მაგალითად:

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის პოვნის ფორმულა

იწერება ფორმულით, სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესირებაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება

ის საშუალებას გაძლევთ მარტივად იპოვოთ პროგრესიის ტერმინი, თუ ცნობილია მისი მეზობელი ტერმინები - სად არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი

თანხის პოვნის ორი გზა არსებობს:

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

პირველი დონე

არითმეტიკული პროგრესია. დეტალური თეორია მაგალითებით (2019)

რიცხვების თანმიმდევრობა

რიცხვების თანმიმდევრობა
მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

ჩვენს შემთხვევაში:

ა)
ბ)
გ)
დ)

1. მეთოდი

ასე რომ, აღწერილი არითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი უდრის.

2. მეთოდი

გამოთვალეთ? შეადარეთ თქვენი შენიშვნები პასუხთან:

არითმეტიკული პროგრესიის განტოლება.

არითმეტიკული პროგრესიები შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი.

Მას შემდეგ:

შევადაროთ შედეგები:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება

მოდით, აჰ, მაშინ:

პროგრესის წინა ვადა არის:
პროგრესის შემდეგი ტერმინი არის:

მოდით შევაჯამოთ პროგრესის წინა და შემდგომი პირობები:

როდესაც კარლ გაუსი 9 წლის იყო, მასწავლებელმა, რომელიც დაკავებული იყო სხვა კლასებში მოსწავლეების მუშაობის შემოწმებით, კლასში დაავალა შემდეგი დავალება: „გამოთვალეთ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი (სხვა წყაროების მიხედვით) ინკლუზივიდან“. წარმოიდგინეთ მასწავლებლის გაოცება, როდესაც მისმა ერთ-ერთმა მოსწავლემ (ეს იყო კარლ გაუსმა) ერთი წუთის შემდეგ სწორი პასუხი გასცა დავალებას, მაშინ როცა გაბედულის თანაკლასელების უმეტესობამ, ხანგრძლივი გათვლების შემდეგ, არასწორი შედეგი მიიღო...

მეთოდი 1.

მეთოდი 2.

ტრენინგი

Დავალებები:

მაშა ზაფხულისთვის ფორმაში დგება. ყოველდღე ის ზრდის ჩაჯდომების რაოდენობას. რამდენჯერ გააკეთებს მაშა ჩაჯდომას კვირაში, თუ პირველ ვარჯიშზე ჯდება?
რა არის ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს.
ლოგების შენახვისას, ლოგერები აწყობენ მათ ისე, რომ ყოველი ზედა ფენა შეიცავს წინაზე ერთი ჟურნალის ნაკლებს. რამდენი მორი არის ერთ ქვისა, თუ ქვისა საფუძველი არის მორები?

პასუხები:

მოდით განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის პარამეტრები. Ამ შემთხვევაში
(კვირები = დღეები).
პასუხი:ორ კვირაში, მაშამ უნდა გააკეთოს squats დღეში ერთხელ.
პირველი კენტი რიცხვი, ბოლო რიცხვი.
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
კენტი რიცხვების რაოდენობა ნახევარშია, თუმცა, მოდით შევამოწმოთ ეს ფაქტი არითმეტიკული პროგრესიის მეათე წევრის ფორმულის გამოყენებით:
რიცხვები შეიცავს კენტ რიცხვებს.
მოდით ჩავანაცვლოთ არსებული მონაცემები ფორმულაში:
პასუხი:ყველა კენტი რიცხვის ჯამი ტოლია.
გავიხსენოთ პრობლემა პირამიდების შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, a, რადგან თითოეული ზედა ფენა მცირდება ერთი ჟურნალით, მაშინ მთლიანობაში არის ფენების თაიგული, ანუ.
მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ფორმულაში:
პასუხი:ქვისა მორებია.

მოდით შევაჯამოთ

- რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი. ის შეიძლება გაიზარდოს ან შემცირდეს.
ფორმულის პოვნაარითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი იწერება ფორმულით - , სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება- - სად არის პროგრესირებადი რიცხვების რაოდენობა.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამიშეიძლება მოიძებნოს ორი გზით:

, სადაც არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

არითმეტიკული პროგრესია. საშუალო დონე

რიცხვების თანმიმდევრობა

დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:

რიცხვით რიცხვს უწოდებენ მიმდევრობის მე-ა წევრს.

ადგენს თანმიმდევრობას:

და ფორმულა არის შემდეგი თანმიმდევრობა:

n-ე ტერმინის ფორმულა

აბა, ახლა გასაგებია, რა ფორმულაა?

ახლა ბევრად უფრო მოსახერხებელია, არა? ჩვენ ვამოწმებთ:

თავად გადაწყვიტე:

არითმეტიკული პროგრესიით იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და იპოვეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი:

პირველი ვადა თანაბარია. Რა არის განსხვავება? აი რა:

ასე რომ, ფორმულა:

მაშინ მეასე წევრი უდრის:

რა არის ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი დან?

მაგალითი:
იპოვეთ ყველა ორნიშნა ჯერადი ჯამი.

გამოსავალი:

ამ პროგრესირების ტერმინის ფორმულა:

რამდენი ტერმინია პროგრესიაში, თუ ისინი ყველა ორნიშნა უნდა იყოს?

ძალიან ადვილია:.

პროგრესირების ბოლო ვადა თანაბარი იქნება. შემდეგ ჯამი:

პასუხი:.

ახლა თავად გადაწყვიტე:

ყოველდღე სპორტსმენი გარბის უფრო მეტ მეტრს, ვიდრე წინა დღეს. სულ რამდენ კილომეტრს გაივლის კვირაში, თუ პირველ დღეს კმ მ გაირბინა?
ველოსიპედისტი ყოველდღე უფრო მეტ კილომეტრს გადის, ვიდრე წინა დღეს. პირველ დღეს მან გაიარა კმ. რამდენი დღე სჭირდება მას კილომეტრის გასავლელად? რამდენ კილომეტრს გაივლის ის მოგზაურობის ბოლო დღეს?
მაღაზიაში მაცივრის ფასი ყოველწლიურად ამდენივე მცირდება. დაადგინეთ, რამდენად იკლებს მაცივრის ფასი ყოველწლიურად, თუ გაყიდვაში რუბლებში იყო გამოტანილი, ექვსი წლის შემდეგ ის გაიყიდა რუბლებში.

პასუხები:

აქ ყველაზე მნიშვნელოვანი არის არითმეტიკული პროგრესიის ამოცნობა და მისი პარამეტრების დადგენა. ამ შემთხვევაში, (კვირები = დღეები). თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ პროგრესიის პირველი ტერმინების ჯამი:
.
პასუხი:
აქ მოცემულია: , უნდა მოიძებნოს.
ცხადია, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ჯამის ფორმულა, როგორც წინა პრობლემაში:
.
შეცვალეთ მნიშვნელობები:
ფესვი აშკარად არ ჯდება, ამიტომ პასუხი არის.
გამოვთვალოთ ბოლო დღის განმავლობაში გავლილი გზა მე-ე წევრის ფორმულით:
(კმ).
პასუხი:
მოცემული: . იპოვეთ:.
ეს არ შეიძლება იყოს უფრო მარტივი:
(რუბში).
პასუხი:

არითმეტიკული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება იყოს მზარდი () და კლებადი ().

Მაგალითად:

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის პოვნის ფორმულა

იწერება ფორმულით, სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესირებაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი

თანხის პოვნის ორი გზა არსებობს:

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

რიცხვების მიმდევრობის კონცეფცია გულისხმობს, რომ თითოეული ნატურალური რიცხვი შეესაბამება გარკვეულ რეალურ მნიშვნელობას. რიცხვების ასეთი სერია შეიძლება იყოს თვითნებური ან ჰქონდეს გარკვეული თვისებები - პროგრესია. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, თანმიმდევრობის ყოველი მომდევნო ელემენტი (წევრი) შეიძლება გამოითვალოს წინას გამოყენებით.

არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი მნიშვნელობების თანმიმდევრობა, რომელშიც მისი მეზობელი წევრები განსხვავდებიან ერთმანეთისგან ერთი და იგივე რაოდენობით (სერიის ყველა ელემენტს, მე-2-დან დაწყებული, აქვს მსგავსი თვისება). ეს რიცხვი - განსხვავება წინა და მომდევნო ტერმინებს შორის - მუდმივია და მას პროგრესიის სხვაობა ეწოდება.

პროგრესის განსხვავება: განმარტება

განვიხილოთ j მნიშვნელობებისაგან შემდგარი თანმიმდევრობა A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ეკუთვნის ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს N. არითმეტიკა პროგრესია, მისი განმარტების მიხედვით, არის თანმიმდევრობა, რომელშიც a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. მნიშვნელობა d არის ამ პროგრესიის სასურველი განსხვავება.

d = a(j) – a(j-1).

მონიშნეთ:

მზარდი პროგრესია, ამ შემთხვევაში d > 0. მაგალითი: 4, 8, 12, 16, 20, ...
პროგრესირების შემცირება, შემდეგ დ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

განსხვავების პროგრესირება და მისი თვითნებური ელემენტები

თუ ცნობილია პროგრესიის 2 თვითნებური წევრი (i-th, k-th), მაშინ სხვაობა მოცემული მიმდევრობისთვის შეიძლება განისაზღვროს ურთიერთობის საფუძველზე:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, რაც ნიშნავს d = (a(i) – a(k))/(i-k).

პროგრესირების განსხვავება და მისი პირველი ტერმინი

ეს გამოთქმა დაგეხმარებათ უცნობი მნიშვნელობის დადგენაში მხოლოდ იმ შემთხვევებში, როდესაც ცნობილია მიმდევრობის ელემენტის რაოდენობა.

პროგრესირების სხვაობა და მისი ჯამი

პროგრესიის ჯამი არის მისი ტერმინების ჯამი. მისი პირველი j ელემენტების ჯამური მნიშვნელობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ შესაბამისი ფორმულა:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, მაგრამ მას შემდეგ a(j) = a(1) + d(j – 1), შემდეგ S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

I. V. Yakovlev | მათემატიკის მასალები | MathUs.ru

არითმეტიკული პროგრესია

არითმეტიკული პროგრესია არის სპეციალური ტიპიშემდგომი მიმდევრობა. ამიტომ, სანამ არითმეტიკული (და შემდეგ გეომეტრიული) პროგრესია განვსაზღვროთ, მოკლედ უნდა განვიხილოთ რიცხვების მიმდევრობის მნიშვნელოვანი კონცეფცია.

ქვემიმდევრობა

წარმოიდგინეთ მოწყობილობა, რომლის ეკრანზეც გამოსახულია გარკვეული ნომრები ერთმანეთის მიყოლებით. ვთქვათ 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : რიცხვების ეს ნაკრები არის ზუსტად მიმდევრობის მაგალითი.

განმარტება. რიცხვების თანმიმდევრობა არის რიცხვების ერთობლიობა, რომელშიც თითოეულ რიცხვს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური რიცხვი (ანუ ასოცირებული ერთ ნატურალურ რიცხვთან)1. რიცხვი n ნომრით იწოდება მე-9 ტერმინითანმიმდევრობები.

ასე რომ, ზემოთ მოცემულ მაგალითში პირველი რიცხვია 2, ეს არის მიმდევრობის პირველი წევრი, რომელიც შეიძლება აღინიშნოს a1-ით; ნომერი ხუთი აქვს რიცხვი 6 არის რიგითობის მეხუთე წევრი, რომელიც შეიძლება აღინიშნოს a5-ით. Საერთოდ, მე-9 ტერმინითანმიმდევრობები აღინიშნება ან (ან bn, cn და ა.შ.).

ძალიან მოსახერხებელი სიტუაციაა, როდესაც მიმდევრობის n-ე წევრი შეიძლება განისაზღვროს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა an = 2n 3 განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; 1; 3; 5; 7; : : : ფორმულა an = (1)n განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; 1; 1; 1; : ::

რიცხვების ყველა ნაკრები არ არის თანმიმდევრობა. ამრიგად, სეგმენტი არ არის თანმიმდევრობა; ის შეიცავს "ძალიან ბევრ" რიცხვს, რომ გადაინომროს. ყველა რეალური რიცხვის R სიმრავლე ასევე არ არის მიმდევრობა. ეს ფაქტები დადასტურებულია მათემატიკური ანალიზის დროს.

არითმეტიკული პროგრესია: ძირითადი განმარტებები

ახლა ჩვენ მზად ვართ განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია.

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული წევრი (მეორედან დაწყებული) უდრის წინა წევრისა და გარკვეული ფიქსირებული რიცხვის ჯამს (ე.წ. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობას).

მაგალითად, თანმიმდევრობა 2; 5; 8; თერთმეტი; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 2 და სხვაობით 3. თანმიმდევრობა 7; 2; 3; 8; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 7 და სხვაობით 5. თანმიმდევრობა 3; 3; 3; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია ნულის ტოლი სხვაობით.

ეკვივალენტური განმარტება: an მიმდევრობას ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია, თუ განსხვავება an+1 an არის მუდმივი მნიშვნელობა (n-ისგან დამოუკიდებელი).

არითმეტიკული პროგრესიას ეწოდება მზარდი, თუ მისი სხვაობა დადებითია და კლება, თუ განსხვავება უარყოფითია.

1 მაგრამ აქ არის უფრო ლაკონური განმარტება: მიმდევრობა არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე. მაგალითად, რეალური რიცხვების მიმდევრობა არის f ფუნქცია: N ! რ.

ნაგულისხმევად, მიმდევრობები განიხილება უსასრულოდ, ანუ შეიცავს რიცხვების უსასრულო რაოდენობას. მაგრამ არავინ გვაწუხებს სასრული მიმდევრობების გათვალისწინებით; სინამდვილეში, რიცხვების ნებისმიერ სასრულ სიმრავლეს შეიძლება ეწოდოს სასრული მიმდევრობა. მაგალითად, დასასრული თანმიმდევრობა არის 1; 2; 3; 4; 5 შედგება ხუთი რიცხვისგან.

არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა

ადვილი გასაგებია, რომ არითმეტიკული პროგრესია მთლიანად განისაზღვრება ორი რიცხვით: პირველი წევრი და სხვაობა. მაშასადამე, ჩნდება კითხვა: როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის თვითნებური ვადა, პირველი წევრისა და სხვაობის ცოდნით?

არ არის რთული არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის საჭირო ფორმულის მიღება. დაე ა

არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით დ. Ჩვენ გვაქვს:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
კერძოდ, ჩვენ ვწერთ:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
და ახლა ცხადი ხდება, რომ ფორმულა არის:
an = a1 + (n 1)d:

ამოცანა 1. არითმეტიკული პროგრესია 2; 5; 8; თერთმეტი; : : : იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და გამოთვალეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი. ფორმულის მიხედვით (1) გვაქვს:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება. არითმეტიკული პროგრესიით ან ნებისმიერისთვის

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი (დაწყებული მეორედან) არის მისი მეზობელი წევრების საშუალო არითმეტიკული.

	მტკიცებულება. Ჩვენ გვაქვს:
	a n 1+ a n+1		(ან დ) + (ან + დ)

რაც საჭირო იყო.

უფრო ზოგადად, არითმეტიკული პროგრესია a აკმაყოფილებს თანასწორობას

a n = a n k+ a n+k

ნებისმიერი n > 2-ისთვის და ნებისმიერი ბუნებრივი k-სთვის< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

გამოდის, რომ ფორმულა (2) ემსახურება არა მხოლოდ როგორც აუცილებელ, არამედ საკმარის პირობას იმისთვის, რომ მიმდევრობა იყოს არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესირების ნიშანი. თუ ტოლობა (2) მოქმედებს ყველა n > 2-ისთვის, მაშინ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

მტკიცებულება. მოდით გადავიწეროთ ფორმულა (2) შემდეგნაირად:

a na n 1= a n+1a n:

აქედან ვხედავთ, რომ განსხვავება an+1 an არ არის დამოკიდებული n-ზე და ეს ზუსტად ნიშნავს, რომ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი შეიძლება ჩამოყალიბდეს ერთი დებულების სახით; მოხერხებულობისთვის ჩვენ ამას გავაკეთებთ სამი ნომრისთვის (ეს არის სიტუაცია, რომელიც ხშირად გვხვდება პრობლემებში).

არითმეტიკული პროგრესიის დახასიათება. სამი რიცხვი a, b, c ქმნის არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ 2b = a + c.

ამოცანა 2. (მსუ, ეკონომიკის ფაკულტეტი, 2007 წ.) სამი რიცხვი 8x, 3 x2 და 4 მითითებული თანმიმდევრობით ქმნის კლებად არითმეტიკულ პროგრესიას. იპოვეთ x და მიუთითეთ ამ პროგრესიის სხვაობა.

გამოსავალი. არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით გვაქვს:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

თუ x = 1, მაშინ მივიღებთ კლებად პროგრესირებას 8, 2, 4 6-ის სხვაობით. თუ x = 5, მაშინ მივიღებთ მზარდ პროგრესიას 40, 22, 4; ეს შემთხვევა არ არის შესაფერისი.

პასუხი: x = 1, სხვაობა არის 6.

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი

ლეგენდა ამბობს, რომ ერთ დღეს მასწავლებელმა ბავშვებს უთხრა, რომ იპოვონ რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე და ჩუმად დაჯდა გაზეთის წასაკითხად. თუმცა, რამდენიმე წუთში ერთმა ბიჭმა თქვა, რომ პრობლემა მოაგვარა. ეს იყო 9 წლის კარლ ფრიდრიხ გაუსი, მოგვიანებით ისტორიაში ერთ-ერთი უდიდესი მათემატიკოსი.

პატარა გაუსის იდეა ასეთი იყო. დაე

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

ჩავწეროთ ეს თანხა საპირისპირო თანმიმდევრობით:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

და დაამატეთ ეს ორი ფორმულა:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

ფრჩხილებში თითოეული წევრი უდრის 101-ს და სულ არის 100 ასეთი წევრი.მაშასადამე

2S = 101 100 = 10100;

ამ იდეას ვიყენებთ ჯამის ფორმულის გამოსატანად

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

(3) ფორმულის სასარგებლო მოდიფიკაცია მიიღება, თუ მასში ჩავანაცვლებთ n-ე ტერმინის ფორმულას an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

ამოცანა 3. იპოვეთ ყველა დადებითი სამნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც იყოფა 13-ზე.

გამოსავალი. სამნიშნა რიცხვები, რომლებიც 13-ის ჯერადი არიან, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას, პირველი წევრი არის 104 და სხვაობა 13; ამ პროგრესირების n-ე ტერმინს აქვს ფორმა:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

მოდით გავარკვიოთ რამდენ ტერმინს შეიცავს ჩვენი პროგრესი. ამისათვის ჩვენ ვხსნით უტოლობას:

ან 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

ასე რომ, ჩვენს პროგრესში 69 წევრია. ფორმულის გამოყენებით (4) ვიპოვით საჭირო რაოდენობას:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2