მოქმედებები ირაციონალური რიცხვების სიმრავლეზე. ირაციონალური რიცხვები: რა არის ისინი და რისთვის გამოიყენება? ირაციონალური რიცხვების თვისებები

ირაციონალური რიცხვი- ეს ნამდვილი რიცხვი, რომელიც არ არის რაციონალური, ანუ არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც არის მთელი რიცხვები, . ირაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადის სახით.

ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით თამამ სტილში დაჩრდილვის გარეშე. ამრიგად: ე.ი. ბევრი ირაციონალური რიცხვია განსხვავება ნამდვილ და რაციონალურ რიცხვებს შორის.

ირაციონალური რიცხვების არსებობის შესახებ, უფრო ზუსტად ერთეულის სიგრძის სეგმენტთან შეუდარებელი სეგმენტები უკვე ცნობილი იყო ძველი მათემატიკოსებისთვის: მათ იცოდნენ, მაგალითად, დიაგონალისა და კვადრატის გვერდის შეუსაბამობა, რაც რიცხვის ირაციონალურობის ტოლფასია.

Თვისებები

• ნებისმიერი რეალური რიცხვი შეიძლება დაიწეროს როგორც უსასრულო ათობითი წილადი, ხოლო ირაციონალური რიცხვები და მხოლოდ ისინი იწერება არაპერიოდული უსასრულო ათობითი წილადების სახით.
• ირაციონალური რიცხვები განსაზღვრავენ დედეკინდის ჭრებს რაციონალურ რიცხვებში, რომლებსაც არ აქვთ ყველაზე დიდი რიცხვი ქვედა კლასში და არ აქვთ უმცირესი რიცხვი ზედა კლასში.
• ყოველი რეალური ტრანსცენდენტული რიცხვი ირაციონალურია.
• ყველა ირაციონალური რიცხვი ან ალგებრულია ან ტრანსცენდენტური.
• ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე რიცხვითი წრფეზე ყველგან მკვრივია: ნებისმიერ ორ რიცხვს შორის არის ირაციონალური რიცხვი.
• ირაციონალური რიცხვების სიმრავლის რიგი იზომორფულია უძრავი ტრანსცენდენტული რიცხვების სიმრავლესთან მიმართებაში.
• ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე უთვალავია და წარმოადგენს მეორე კატეგორიის სიმრავლეს.

მაგალითები

ირაციონალური რიცხვები - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

ირაციონალურია:

ირაციონალურობის დადასტურების მაგალითები

2-ის ფესვი

დავუშვათ პირიქით: რაციონალურია, ანუ წარმოდგენილია შეუქცევადი წილადის სახით, სადაც არის მთელი რიცხვი და ნატურალური რიცხვია. მოდით კვადრატში გამოვყოთ სავარაუდო თანასწორობა:

.

აქედან გამომდინარეობს, რომ ლუწია და . დაე იყოს იქ, სადაც მთელია. მერე

მაშასადამე, კი ნიშნავს კიდეც და . ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ და არიან ლუწი, რაც ეწინააღმდეგება წილადის შეუქცევადობას. ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველი ვარაუდი არასწორი იყო და ეს არის ირაციონალური რიცხვი.

რიცხვი 3-ის ორობითი ლოგარითმი

დავუშვათ პირიქით: რაციონალურია, ანუ წარმოდგენილია წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები. მას შემდეგ, რაც , და შეიძლება არჩეული იყოს დადებითი. მერე

მაგრამ ლუწი და კენტი. ჩვენ ვიღებთ წინააღმდეგობას.

ე

ამბავი

ირაციონალური რიცხვების კონცეფცია ინდოელმა მათემატიკოსებმა მიიღეს ძვ. .

ირაციონალური რიცხვების არსებობის პირველი მტკიცებულება, როგორც წესი, მიეკუთვნება მეტაპონტოს ჰიპასუსს (დაახლოებით ძვ. წ. 500 წ.), პითაგორაელს, რომელმაც ეს მტკიცებულება პენტაგრამის გვერდების სიგრძის შესწავლით იპოვა. პითაგორაელების დროს ითვლებოდა, რომ არსებობდა სიგრძის ერთი ერთეული, საკმარისად მცირე და განუყოფელი, რომელიც ნებისმიერ სეგმენტში შევიდა მთელი რიცხვით. თუმცა, ჰიპასუსი ამტკიცებდა, რომ არ არსებობს სიგრძის ერთი ერთეული, რადგან მისი არსებობის ვარაუდი იწვევს წინააღმდეგობას. მან აჩვენა, რომ თუ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა შეიცავს ერთეულების სეგმენტების მთელ რიცხვს, მაშინ ეს რიცხვი უნდა იყოს ლუწიც და კენტიც. მტკიცებულება ასე გამოიყურებოდა:

• ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის სიგრძესთან შეიძლება გამოისახოს როგორც ა:ბ, სად ადა ბარჩეულია, როგორც ყველაზე პატარა.
• პითაგორას თეორემის მიხედვით: ა² = 2 ბ².
• იმიტომ რომ ა- თუნდაც, აუნდა იყოს ლუწი (რადგან კენტი რიცხვის კვადრატი კენტი იქნება).
• Იმიტომ რომ ა:ბშეუმცირებელი ბუნდა იყოს უცნაური.
• იმიტომ რომ აკი, აღვნიშნავთ ა = 2წ.
• მერე ა² = 4 წ² = 2 ბ².
• ბ² = 2 წ², შესაბამისად ბ- მაშინაც ბთუნდაც.
• თუმცა დადასტურდა რომ ბუცნაური. წინააღმდეგობა.

ბერძენმა მათემატიკოსებმა შეუდარებელი რაოდენობების ამ თანაფარდობას უწოდეს ალოგოსი(უთქმელად), მაგრამ ლეგენდების მიხედვით ისინი ჰიპასს სათანადო პატივს არ სცემდნენ. არსებობს ლეგენდა, რომ ჰიპასუსმა ეს აღმოჩენა საზღვაო მოგზაურობის დროს გააკეთა და სხვა პითაგორაელებმა გადააგდეს ზღვაზე "სამყაროს ელემენტის შექმნის გამო, რომელიც უარყოფს დოქტრინას, რომ სამყაროს ყველა არსება შეიძლება დაიყვანოს მთელ რიცხვებად და მათ თანაფარდობამდე". ჰიპასუსის აღმოჩენამ სერიოზული პრობლემა შეუქმნა პითაგორას მათემატიკას და გაანადგურა ძირითადი ვარაუდი, რომ რიცხვები და გეომეტრიული ობიექტები ერთიანი და განუყოფელი იყო.

ირაციონალური რიცხვები უძველესი დროიდან იყო ცნობილი ადამიანებისთვის. ჩვენს წელთაღრიცხვამდე რამდენიმე საუკუნის განმავლობაში, ინდოელმა მათემატიკოსმა მანავამ აღმოაჩინა, რომ ზოგიერთი რიცხვის კვადრატული ფესვები (მაგალითად, 2) არ შეიძლება ცალსახად გამოხატული იყოს.

ეს სტატია არის ერთგვარი შესავალი გაკვეთილი თემაზე "ირაციონალური რიცხვები". ახსნა-განმარტებით მივცემთ ირაციონალური რიცხვების განმარტებას და მაგალითებს და ასევე გავარკვევთ, როგორ განვსაზღვროთ არის თუ არა მოცემული რიცხვი ირაციონალური.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ირაციონალური რიცხვები. განმარტება

როგორც ჩანს, თავად სახელი „ირაციონალური რიცხვები“ გვაძლევს განმარტებას. ირაციონალური რიცხვი არის რეალური რიცხვი, რომელიც არ არის რაციონალური. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასეთი რიცხვი არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც m n წილადი, სადაც m არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი.

განმარტება. ირაციონალური რიცხვები

ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც, როდესაც იწერება ათწილადის სახით, წარმოადგენს უსასრულო არაპერიოდულ ათობითი წილადებს.

ირაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც უსასრულო არაპერიოდული წილადი. ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება $I$-ით და უდრის: $I=R / Q$ .

Მაგალითად. ირაციონალური რიცხვებია:

ოპერაციები ირაციონალურ რიცხვებზე

ირაციონალური რიცხვების სიმრავლეზე შეიძლება დაინერგოს ოთხი ძირითადი არითმეტიკული მოქმედება: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა; მაგრამ არც ერთი ჩამოთვლილი მოქმედებისთვის ირაციონალური რიცხვების სიმრავლეს არ აქვს დახურვის თვისება. მაგალითად, ორი ირაციონალური რიცხვის ჯამი შეიძლება იყოს რაციონალური რიცხვი.

Მაგალითად. ვიპოვოთ ორი ირაციონალური რიცხვის ჯამი $0.1010010001 \ldots$ და $0.0101101110 \ldots$. ამ რიცხვებიდან პირველი იქმნება ერთეულთა თანმიმდევრობით, რომლებიც გამოყოფილია შესაბამისად ერთი ნულით, ორი ნულით, სამი ნულით და ა.შ., მეორე - ნულების მიმდევრობით, რომელთა შორის მოთავსებულია ერთი, ორი ერთი, სამი ერთი, და ა.შ.:

$0.1010010001 \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$

ამრიგად, ორი მოცემული ირაციონალური რიცხვის ჯამი არის რიცხვი $\frac(1)(9)$, რომელიც რაციონალურია.

მაგალითი

ვარჯიში.დაამტკიცეთ, რომ რიცხვი $\sqrt(3)$ ირაციონალურია.

მტკიცებულება.ჩვენ გამოვიყენებთ მტკიცების მეთოდს წინააღმდეგობით. დავუშვათ, რომ $\sqrt(3)$ არის რაციონალური რიცხვი, ანუ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ წილადად, სადაც $m$ და $n$ არიან. ნატურალური რიცხვების კოპირი რიცხვები.

მოდით, ტოლობის ორივე მხარე კვადრატში ჩავდოთ და მივიღოთ

$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \მარცხენა მარჯვენა ისარი 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$

რიცხვი 3$\cdot n^(2)$ იყოფა 3-ზე. აქედან გამომდინარე, $m^(2)$ და, შესაბამისად, $m$ იყოფა 3-ზე. $m=3 \cdot k$-ის დაყენება, ტოლობა $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ შეიძლება ჩაიწეროს როგორც

$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \მარცხნივ მარჯვენა ისარი 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \მარცხნივ მარჯვენა ისარი n^(2)=3 \cdot k^(2)$$

ბოლო ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ $n^(2)$ და $n$ იყოფა 3-ზე, შესაბამისად, წილადი $\frac(m)(n)$ შეიძლება შემცირდეს 3-ით. მაგრამ ვარაუდით, წილადი $ \frac(m)(n)$ შეუმცირებელია. შედეგად მიღებული წინააღმდეგობა ამტკიცებს, რომ რიცხვი $\sqrt(3)$ არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს $\frac(m)(n)$ წილადად და, შესაბამისად, ირაციონალურია.

ქ.ე.დ.

ყველა რაციონალური რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც საერთო წილადი. ეს ეხება მთელ რიცხვებს (მაგალითად, 12, –6, 0) და სასრულ ათობითი წილადებს (მაგალითად, 0,5; –3,8921) და უსასრულო პერიოდულ ათობითი წილადებს (მაგალითად, 0,11(23); –3,(87). )).

თუმცა უსასრულო არაპერიოდული ათწილადებიარ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადები. სწორედ ისინი არიან ირაციონალური რიცხვები(ანუ ირაციონალური). ასეთი რიცხვის მაგალითია რიცხვი π, რომელიც დაახლოებით უდრის 3,14-ს. თუმცა, ზუსტად რის ტოლია, შეუძლებელია იმის დადგენა, რადგან მე-4 რიცხვის შემდეგ არის სხვა რიცხვების გაუთავებელი სერია, რომლებშიც განმეორებადი პერიოდები ვერ გამოირჩევიან. უფრო მეტიც, მიუხედავად იმისა, რომ რიცხვი π ზუსტად არ არის გამოხატული, მას აქვს სპეციფიკური გეომეტრიული მნიშვნელობა. რიცხვი π არის ნებისმიერი წრის სიგრძის თანაფარდობა მისი დიამეტრის სიგრძესთან. ამრიგად, ირაციონალური რიცხვები რეალურად არსებობენ ბუნებაში, ისევე როგორც რაციონალური რიცხვები.

ირაციონალური რიცხვების კიდევ ერთი მაგალითია დადებითი რიცხვების კვადრატული ფესვები. ზოგიერთი რიცხვიდან ფესვების ამოღება იძლევა რაციონალურ მნიშვნელობებს, სხვებისაგან - ირაციონალურ. მაგალითად, √4 = 2, ანუ 4-ის ფესვი რაციონალური რიცხვია. მაგრამ √2, √5, √7 და მრავალი სხვა იწვევს ირაციონალურ რიცხვებს, ანუ მათი ამოღება შესაძლებელია მხოლოდ მიახლოებით, დამრგვალებით გარკვეულ ათობითი ადგილზე. ამ შემთხვევაში, წილადი ხდება არაპერიოდული. ანუ ზუსტად და დანამდვილებით შეუძლებელია იმის თქმა, თუ რა არის ამ რიცხვების ფესვი.

ასე რომ, √5 არის რიცხვი, რომელიც მდებარეობს 2 და 3 რიცხვებს შორის, რადგან √4 = 2, და √9 = 3. ასევე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ √5 უფრო ახლოს არის 2-თან, ვიდრე 3-თან, რადგან √4 უფრო ახლოს არის √5-თან, ვიდრე √9-დან √5-მდე. მართლაც, √5 ≈ 2.23 ან √5 ≈ 2.24.

ირაციონალური რიცხვები ასევე მიიღება სხვა გამოთვლებში (და არა მხოლოდ ფესვების ამოღებისას) და შეიძლება იყოს უარყოფითი.

ირაციონალურ რიცხვებთან მიმართებაში შეგვიძლია ვთქვათ, რომ როგორი ერთეული სეგმენტიც არ უნდა ავიღოთ ასეთი რიცხვით გამოხატული სიგრძის გასაზომად, მას აუცილებლად ვერ გავზომავთ.

არითმეტიკულ ოპერაციებში რაციონალურთან ერთად შეიძლება მონაწილეობდნენ ირაციონალური რიცხვებიც. ამავე დროს, არსებობს მთელი რიგი კანონზომიერებები. მაგალითად, თუ არითმეტიკულ ოპერაციაში ჩართულია მხოლოდ რაციონალური რიცხვები, მაშინ შედეგი ყოველთვის რაციონალური რიცხვია. თუ ოპერაციაში მხოლოდ ირაციონალური მონაწილეობენ, მაშინ ცალსახად შეუძლებელია იმის თქმა, შედეგი იქნება რაციონალური თუ ირაციონალური რიცხვი.

მაგალითად, თუ გაამრავლებთ ორ ირაციონალურ რიცხვს √2 * √2, მიიღებთ 2 - ეს რაციონალური რიცხვია. მეორეს მხრივ, √2 * √3 = √6 არის ირაციონალური რიცხვი.

თუ არითმეტიკული ოპერაცია მოიცავს რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს, მაშინ შედეგი იქნება ირაციონალური. მაგალითად, 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 – 4.

რატომ არის √17 – 4 ირაციონალური რიცხვი? წარმოვიდგინოთ, რომ მივიღებთ რაციონალურ რიცხვს x. მაშინ √17 = x + 4. მაგრამ x + 4 არის რაციონალური რიცხვი, რადგან ვივარაუდეთ, რომ x რაციონალურია. რიცხვი 4 ასევე რაციონალურია, ამიტომ x + 4 რაციონალურია. თუმცა, რაციონალური რიცხვი არ შეიძლება იყოს ირაციონალური რიცხვის √17 ტოლი. ამიტომ, ვარაუდი, რომ √17 – 4 იძლევა რაციონალურ შედეგს, არასწორია. არითმეტიკული ოპერაციის შედეგი ირაციონალური იქნება.

თუმცა, ამ წესიდან არის გამონაკლისი. თუ ირაციონალურ რიცხვს გავამრავლებთ 0-ზე, მივიღებთ რაციონალურ რიცხვს 0.

ირაციონალური რიცხვის განმარტება

ირაციონალური რიცხვები არის ის რიცხვები, რომლებიც ათობითი აღნიშვნით წარმოადგენს გაუთავებელ არაპერიოდულ ათობითი წილადებს.

ასე რომ, მაგალითად, ნატურალური რიცხვების კვადრატული ფესვის აღებით მიღებული რიცხვები ირაციონალურია და არ არის ნატურალური რიცხვების კვადრატები. მაგრამ ყველა ირაციონალური რიცხვი არ არის მიღებული კვადრატული ფესვების აღებით, რადგან გაყოფით მიღებული რიცხვი pi ასევე ირაციონალურია და ნაკლებად სავარაუდოა, რომ მიიღოთ იგი ნატურალური რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღების მცდელობით.

ირაციონალური რიცხვების თვისებები

უსასრულო ათწილადებად დაწერილი რიცხვებისგან განსხვავებით, მხოლოდ ირაციონალური რიცხვები იწერება არაპერიოდული უსასრულო ათწილადების სახით.
ორი არაუარყოფითი ირაციონალური რიცხვის ჯამი შეიძლება რაციონალური რიცხვი იყოს.
ირაციონალური რიცხვები განსაზღვრავენ დედეკინდის ჭრებს რაციონალური რიცხვების სიმრავლეში, რომლის ქვედა კლასში არ არის უდიდესი რიცხვი, ხოლო ზედა კლასში არ არის პატარა.
ნებისმიერი რეალური ტრანსცენდენტული რიცხვი ირაციონალურია.
ყველა ირაციონალური რიცხვი ან ალგებრულია ან ტრანსცენდენტური.
წრფეზე ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე მჭიდროდ არის განლაგებული და მის ნებისმიერ ორ რიცხვს შორის აუცილებლად არის ირაციონალური რიცხვი.
ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე არის უსასრულო, უთვალავი და წარმოადგენს მე-2 კატეგორიის სიმრავლეს.
რაციონალურ რიცხვებზე რაიმე არითმეტიკული მოქმედების შესრულებისას, გარდა 0-ზე გაყოფისა, შედეგი იქნება რაციონალური რიცხვი.
ირაციონალური რიცხვისთვის რაციონალური რიცხვის დამატებისას, შედეგი ყოველთვის არის ირაციონალური რიცხვი.
ირაციონალური რიცხვების შეკრებისას შეიძლება რაციონალური რიცხვი მივიღოთ.
ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე არ არის ლუწი.

რიცხვები არ არის ირაციონალური

ზოგჯერ საკმაოდ რთულია პასუხის გაცემა კითხვაზე, არის თუ არა რიცხვი ირაციონალური, განსაკუთრებით იმ შემთხვევებში, როდესაც რიცხვი არის ათობითი წილადის ან რიცხვითი გამოხატვის, ფესვის ან ლოგარითმის სახით.

ამიტომ, ზედმეტი არ იქნება იმის ცოდნა, რომელი რიცხვები არ არის ირაციონალური. თუ მივყვებით ირაციონალური რიცხვების განმარტებას, მაშინ უკვე ვიცით, რომ რაციონალური რიცხვები არ შეიძლება იყოს ირაციონალური.

ირაციონალური რიცხვები არ არის:

პირველი, ყველა ნატურალური რიცხვი;
მეორეც, მთელი რიცხვები;
მესამე, ჩვეულებრივი წილადები;
მეოთხე, სხვადასხვა შერეული რიცხვები;
მეხუთე, ეს არის უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადები.

ყოველივე ზემოთქმულის გარდა, ირაციონალური რიცხვი არ შეიძლება იყოს რაციონალური რიცხვების ნებისმიერი კომბინაცია, რომელიც შესრულებულია არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნებით, როგორიცაა +, -, , :, რადგან ამ შემთხვევაში ორი რაციონალური რიცხვის შედეგიც იქნება. რაციონალური რიცხვი.

ახლა ვნახოთ რომელი რიცხვებია ირაციონალური:

იცით თუ არა ფანკლუბის არსებობის შესახებ, სადაც ამ იდუმალი მათემატიკური ფენომენის გულშემატკივრები სულ უფრო მეტ ინფორმაციას ეძებენ პის შესახებ და ცდილობენ ამოიცნონ მისი საიდუმლო? ამ კლუბის წევრი შეიძლება გახდეს ნებისმიერი ადამიანი, ვინც ზეპირად იცის ათწილადის შემდეგ Pi ნომრების გარკვეული რაოდენობა;

იცოდით, რომ გერმანიაში, იუნესკოს მფარველობის ქვეშ, არის კასტადელ მონტეს სასახლე, რომლის პროპორციების წყალობით შეგიძლიათ გამოთვალოთ პი. ამ ნომერს მიუძღვნა მეფე ფრედერიკ II-მ მთელი სასახლე.

თურმე ისინი ცდილობდნენ გამოეყენებინათ პი ნომერი ბაბილონის კოშკის მშენებლობაში. მაგრამ სამწუხაროდ, ამან გამოიწვია პროექტის კრახი, რადგან იმ დროს Pi-ს მნიშვნელობის ზუსტი გაანგარიშება საკმარისად არ იყო შესწავლილი.

მომღერალმა ქეით ბუშმა თავის ახალ დისკზე ჩაწერა სიმღერა სახელწოდებით "Pi", რომელშიც ისმოდა ას ოცდაოთხი ნომერი ცნობილი ნომრების სერიიდან 3, 141...