Šioje pamokoje mes toliau nagrinėjame funkcijų išvestines ir pereiname prie sudėtingesnės temos, būtent produktų ir koeficientų išvestinių. Jei žiūrėjote ankstesnę pamoką, tikriausiai supratote, kad mes svarstėme tik paprasčiausias konstrukcijas, būtent laipsnio funkcijos, sumos ir skirtumo išvestinę. Visų pirma sužinojome, kad sumos išvestinė yra lygi jų sumai, o skirtumo išvestinė yra lygi, atitinkamai, jų skirtumui. Deja, koeficiento ir sandaugų išvestinių formulės bus daug sudėtingesnės. Pradėsime nuo funkcijų sandaugos išvestinės formulės.
Trigonometrinių funkcijų dariniai
Pirmiausia leiskite padaryti nedidelį lyrinį nukrypimą. Faktas yra tas, kad be standartinės galios funkcijos - $y=((x)^(n))$, šioje pamokoje susidursime ir su kitomis funkcijomis, būtent $y=\sin x$, taip pat $ y=\ cos x$ ir kita trigonometrija – $y=tgx$ ir, žinoma, $y=ctgx$.
Jei visi puikiai žinome laipsnio funkcijos išvestinę, būtent $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, tai kaip trigonometrinės funkcijos , reikia paminėti atskirai. Užsirašykime:
\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(lygiuoti)\]
Bet jūs puikiai žinote šias formules, eikime toliau.
Kas yra produkto darinys?
Pirma, svarbiausias dalykas: jei funkcija yra dviejų kitų funkcijų sandauga, pavyzdžiui, $f\cdot g$, tada šios konstrukcijos išvestinė bus lygi tokiai išraiškai:
Kaip matote, ši formulė gerokai skiriasi ir yra sudėtingesnė nei anksčiau nagrinėtos formulės. Pavyzdžiui, sumos išvestinė apskaičiuojama elementariu būdu - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$ arba išvestinė iš skirtumas, kuris taip pat apskaičiuojamas elementariai - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.
Pabandykime pritaikyti pirmąją formulę dviejų funkcijų, kurios mums pateiktos uždavinyje, išvestinėms apskaičiuoti. Pradėkime nuo pirmojo pavyzdžio:
Akivaizdu, kad ši konstrukcija veikia kaip produktas, tiksliau, kaip daugiklis: $((x)^(3))$, galime laikyti ją $f$, o $\left(x-5 \right) $ galime laikyti $g$. Tada jų produktas bus būtent dviejų funkcijų produktas. Mes nusprendžiame:
\[\begin(lygiuoti)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(() (x)^(3)) \dešinė))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) dešinė))^(\pirminis ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(lygiuoti)\].
Dabar atidžiau pažvelkime į kiekvieną iš mūsų terminų. Matome, kad ir pirmasis, ir antrasis nariai turi laipsnį $x$: pirmuoju atveju jis yra $((x)^(2))$, o antruoju - $((x)^(3)) $. Išimkime mažiausią laipsnį iš skliaustų, palikdami skliausteliuose:
\[\begin(lygiuoti)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2)) (4x-15)\\\pabaiga (lygiuoti)\]
Štai ir radome atsakymą.
Grįžkime prie savo problemų ir pabandykime išspręsti:
Taigi, perrašykime:
Vėlgi pažymime, kad kalbame apie dviejų funkcijų sandaugą: $x$, kuri gali būti žymima $f$, ir $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, kuri gali žymimas $g$.
Taigi, mes vėl turime dviejų funkcijų sandaugą. Norėdami rasti funkcijos $f\left(x \right)$ išvestinę, vėl naudosime savo formulę. Mes gauname:
\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x)) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(lygiuoti)\]
Atsakymas rastas.
Kodėl faktorių išvestinės priemonės?
Ką tik panaudojome kelis labai svarbius matematinius faktus, kurie patys savaime nėra susiję su išvestiniais, tačiau be jų žinios, bet koks tolesnis šios temos tyrimas tiesiog neturi prasmės.
Pirma, išsprendę pačią pirmąją problemą ir jau atsikratę visų darinių požymių, kažkodėl pradėjome skaičiuoti šią išraišką.
Antra, spręsdami toliau pateiktą uždavinį, kelis kartus perėjome iš šaknies į laipsnį su racionaliuoju rodikliu ir atgal, naudojant 8-9 klasės formulę, kurią būtų verta pakartoti atskirai.
Dėl faktorizavimo – kam reikalingos visos šios papildomos pastangos ir transformacijos? Tiesą sakant, jei problema tiesiog sako „rasti funkcijos išvestinę“, tada šie papildomi veiksmai nereikalingi. Tačiau esant tikroms problemoms, kurios jūsų laukia per įvairius egzaminus ir testus, dažnai nepakanka vien rasti išvestinį. Faktas yra tas, kad išvestinė yra tik įrankis, su kuriuo galite sužinoti, pavyzdžiui, funkcijos padidėjimą ar sumažėjimą, o tam reikia išspręsti lygtį ir ją koeficientuoti. Ir čia ši technika bus labai tinkama. Ir apskritai daug patogiau ir maloniau dirbti su faktorine funkcija ateityje, jei prireiks kokių nors transformacijų. Todėl taisyklė Nr. 1: jei išvestinė priemonė gali būti faktorizuota, tai jūs turėtumėte tai padaryti. Ir iš karto taisyklė Nr. 2 (iš esmės tai yra 8-9 klasių medžiaga): jei užduotyje yra šaknis n-asis laipsnis, o šaknis yra aiškiai didesnė už du, tada šią šaknį galima pakeisti įprastu laipsniu su racionaliuoju laipsniu, o laipsnyje atsiras trupmena, kur n― pats laipsnis ― bus šios trupmenos vardiklyje.
Žinoma, jei po šaknimi yra tam tikras laipsnis (mūsų atveju tai yra laipsnis k), tada jis niekur nedingsta, o tiesiog patenka į šio laipsnio skaitiklį.
Dabar, kai visa tai supratote, grįžkime prie produkto išvestinių ir apskaičiuokite dar keletą lygčių.
Tačiau prieš pereidamas tiesiai prie skaičiavimų, norėčiau priminti šiuos modelius:
\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(lygiuoti)\]
Panagrinėkime pirmąjį pavyzdį:
Vėlgi turime dviejų funkcijų sandaugą: pirmoji yra $f$, antroji yra $g$. Leiskite man priminti jums formulę:
\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]
Nuspręskime:
\[\begin(lygiuoti)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(lygiuoti)\]
Pereikime prie antrosios funkcijos:
Vėlgi, $\left(3x-2 \right)$ yra $f$ funkcija, $\cos x$ yra $g$ funkcija. Iš viso dviejų funkcijų sandaugos išvestinė bus lygi:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(lygiuoti)\]
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]
Užrašykime atskirai:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x) )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(lygiuoti)\]
Mes neskaičiuojame šios išraiškos, nes tai dar nėra galutinis atsakymas. Dabar turime išspręsti antrąją dalį. Išrašykime:
\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(lygiuoti)\]
Dabar grįžkime prie pradinės užduoties ir sudėkite viską į vieną struktūrą:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(lygiuoti)\]
Štai viskas, tai yra galutinis atsakymas.
Pereikime prie paskutinio pavyzdžio – jis bus pats sudėtingiausias ir apimčiausias skaičiavimų požiūriu. Taigi, pavyzdys:
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]
Skaičiuojame kiekvieną dalį atskirai:
\[\begin(lygiuoti)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(lygiuoti)\]
Grįždami prie pradinės funkcijos, apskaičiuokime jos išvestinę visumą:
\[\begin(lygiuoti)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(lygiuoti)\]
Tiesą sakant, tai yra viskas, ką norėjau jums pasakyti apie išvestinius kūrinius. Kaip matote, pagrindinė formulės problema yra ne jos įsiminimas, o tai, kad ji apima gana daug skaičiavimų. Bet tai gerai, nes dabar pereiname prie koeficiento išvestinės, kur turėsime labai sunkiai dirbti.
Kas yra dalinio išvestinė?
Taigi, koeficiento išvestinės formulė. Tai turbūt pati sudėtingiausia formulė mokykliniame kurse apie išvestines priemones. Tarkime, kad turime $\frac(f)(g)$ formos funkciją, kur $f$ ir $g$ taip pat yra funkcijos, iš kurių taip pat galime pašalinti pirminį dydį. Tada jis bus apskaičiuojamas pagal šią formulę:
Skaitiklis mums šiek tiek primena sandaugos išvestinės formulę, tačiau tarp terminų yra minuso ženklas, o prie vardiklio taip pat buvo pridėtas pradinio vardiklio kvadratas. Pažiūrėkime, kaip tai veikia praktiškai:
Pabandykime išspręsti:
\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left) (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]
Siūlau kiekvieną dalį parašyti atskirai ir užsirašyti:
\[\begin(lygiuoti)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ dešinė))^(\pirminis ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\pirminis ))=(x)"+(2)"=1 \ \\pabaiga (lygiuoti)\]
Perrašykime savo išraišką:
\[\begin(lygiuoti)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2(x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2))) \\\pabaiga (lygiuoti)\]
Mes radome atsakymą. Pereikime prie antrosios funkcijos:
Sprendžiant iš to, kad jo skaitiklis yra tiesiog vienas, skaičiavimai čia bus šiek tiek paprastesni. Taigi, rašykime:
\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]
Apskaičiuokime kiekvieną pavyzdžio dalį atskirai:
\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(() (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(lygiuoti)\]
Perrašykime savo išraišką:
\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)((\left(((x)^(2) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]
Mes radome atsakymą. Kaip ir tikėtasi, skaičiavimo suma buvo žymiai mažesnė nei pirmosios funkcijos atveju.
Kuo skiriasi pavadinimai?
Dėmesingiems studentams tikriausiai jau kyla klausimas: kodėl kai kuriais atvejais funkciją žymime kaip $f\left(x \right)$, o kitais – tiesiog rašome $y$? Tiesą sakant, matematikos požiūriu nėra absoliučiai jokio skirtumo – turite teisę naudoti ir pirmąjį, ir antrąjį, o už egzaminus ar testus nuobaudų nebus. Tiems, kam dar įdomu, paaiškinsiu, kodėl vadovėlių ir uždavinių autoriai vienais atvejais rašo $f\left(x \right)$, o kitais (daug dažniau) - tiesiog $y$. Faktas yra tas, kad rašydami funkciją forma \, mes netiesiogiai užsimename tiems, kurie skaito mūsų skaičiavimus, kad kalbame konkrečiai apie funkcinės priklausomybės algebrinį aiškinimą. Tai yra, yra tam tikras kintamasis $x$, mes atsižvelgiame į priklausomybę nuo šio kintamojo ir pažymime jį $f\left(x \right)$. Tuo pačiu metu, pamatęs tokį žymėjimą, tas, kuris skaito jūsų skaičiavimus, pavyzdžiui, inspektorius, nesąmoningai tikėsis, kad ateityje jo lauks tik algebrinės transformacijos - jokių grafikų ir jokios geometrijos.
Kita vertus, naudodami \ formos žymėjimus, t.y., žymėdami kintamąjį viena raide, iš karto aiškiai parodome, kad ateityje mus domina geometrinė funkcijos interpretacija, t.y., mus domina pirmiausia visi, jo diagramoje. Atitinkamai, susidūręs su formos įrašu\, skaitytojas turi teisę tikėtis grafinių skaičiavimų, t. y. grafikų, konstrukcijų ir pan., bet jokiu būdu ne analitinių transformacijų.
Taip pat norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į vieną užduočių, kurias šiandien svarstome, dizaino bruožą. Daugelis studentų mano, kad aš pateikiu pernelyg išsamius skaičiavimus, o daugelis jų gali būti praleisti arba tiesiog išspręsti jų galvoje. Tačiau būtent toks išsamus įrašas leis atsikratyti įžeidžiančių klaidų ir žymiai padidinti teisingai išspręstų problemų procentą, pavyzdžiui, savarankiškai ruošiantis įskaitoms ar egzaminams. Todėl jei vis dar nesate tikri dėl savo sugebėjimų, jei tik pradedate nagrinėti šią temą, neskubėkite – detaliai aprašykite kiekvieną žingsnį, užsirašykite kiekvieną veiksnį, kiekvieną potėpį, ir labai greitai išmoksite tokius pavyzdžius išspręsti geriau. nei daugelis mokyklos mokytojų. Tikiuosi, kad tai aišku. Suskaičiuokime dar keletą pavyzdžių.
Keletas įdomių užduočių
Šį kartą, kaip matome, skaičiuojamose išvestinėse yra trigonometrijos. Todėl leiskite jums priminti šiuos dalykus:
\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(lygiuoti )\]
Žinoma, negalime apsieiti be koeficiento išvestinės, būtent:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Panagrinėkime pirmąją funkciją:
\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\pabaiga (lygiuoti)\]
Taigi mes radome šios išraiškos sprendimą.
Pereikime prie antrojo pavyzdžio:
Akivaizdu, kad jo išvestis bus sudėtingesnė, jei tik todėl, kad trigonometrija yra ir šios funkcijos skaitiklyje, ir vardiklyje. Mes nusprendžiame:
\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]
Atkreipkite dėmesį, kad turime produkto išvestinį variantą. Šiuo atveju jis bus lygus:
\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \) dešinėje))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(lygiuoti)\]
Grįžkime prie savo skaičiavimų. Užrašome:
\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos) )^(2))x) \\\pabaiga (lygiuoti)\]
Tai viskas! Paskaičiavome.
Kaip koeficiento išvestinę sumažinti iki paprastos sandaugos išvestinės formulės?
Ir čia norėčiau padaryti vieną labai svarbią pastabą dėl trigonometrinių funkcijų. Faktas yra tas, kad mūsų pradinėje konstrukcijoje yra $\frac(\sin x)(\cos x)$ formos išraiška, kurią galima lengvai pakeisti tiesiog $tgx$. Taigi dalinio išvestinę sumažiname iki paprastesnės sandaugos išvestinės formulės. Dar kartą apskaičiuokime šį pavyzdį ir palyginkime rezultatus.
Taigi dabar turime atsižvelgti į šiuos dalykus:
\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Perrašykime savo pradinę funkciją $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ atsižvelgdami į šį faktą. Mes gauname:
Suskaičiuokime:
\[\begin(lygiuoti)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(lygiuoti) \]
Dabar, jei palyginsime gautą rezultatą su tuo, ką gavome anksčiau skaičiuodami kitaip, tada įsitikinsime, kad gavome tą pačią išraišką. Taigi, kad ir kuriuo keliu eitume skaičiuodami išvestinę, jei viskas paskaičiuota teisingai, atsakymas bus toks pat.
Svarbūs niuansai sprendžiant problemas
Baigdamas norėčiau pasakyti dar vieną subtilumą, susijusį su koeficiento išvestinės apskaičiavimu. Tai, ką dabar jums pasakysiu, nebuvo pradiniame vaizdo pamokos scenarijuje. Tačiau likus porai valandų iki filmavimo, mokiausi su vienu savo studentu, o mes kaip tik diskutavome koeficientų išvestinių temą. Ir, kaip paaiškėjo, daugelis studentų to nesupranta. Taigi, tarkime, kad turime apskaičiuoti šios funkcijos pašalinimo eigą:
Iš esmės, iš pirmo žvilgsnio tame nėra nieko antgamtiško. Tačiau skaičiavimo procese galime padaryti daug kvailų ir įžeidžiančių klaidų, kurias dabar norėčiau aptarti.
Taigi, apskaičiuojame šią išvestinę. Pirmiausia pažymime, kad turime terminą $3((x)^(2))$, todėl tikslinga prisiminti tokią formulę:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Be to, turime terminą $\frac(48)(x)$ - su juo nagrinėsime dalinio išvestinę, būtent:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Taigi, nuspręskime:
\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3(x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]
Su pirmuoju terminu problemų nėra, žr.
\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]
Tačiau su pirmuoju terminu, $\frac(48)(x)$, reikia dirbti atskirai. Faktas yra tas, kad daugelis studentų painioja situaciją, kai jiems reikia rasti $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ ir kai jiems reikia rasti $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Tai yra, jie susipainioja, kai konstanta yra vardiklyje ir kai konstanta yra skaitiklyje, kai kintamasis yra skaitiklyje arba vardiklyje.
Pradėkime nuo pirmos parinkties:
\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]
Kita vertus, jei bandysime tą patį padaryti su antrąja trupmena, gausime:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(lygiuoti)\]
Tačiau tą patį pavyzdį būtų galima apskaičiuoti ir kitaip: etape, kai perėjome prie koeficiento išvestinės, $\frac(1)(x)$ galime laikyti laipsniu su neigiamu rodikliu, t.y. gauname taip. :
\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-) 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(lygiuoti)\]
Ir taip, ir taip gavome tą patį atsakymą.
Taigi mes dar kartą įsitikinome dviem svarbiais faktais. Pirma, tą pačią išvestinę priemonę galima apskaičiuoti visiškai skirtingais būdais. Pavyzdžiui, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ gali būti laikoma ir dalinio išvestine, ir laipsnio funkcijos išvestine. Be to, jei visi skaičiavimai atliekami teisingai, atsakymas visada bus tas pats. Antra, skaičiuojant išvestines, kuriose yra ir kintamasis, ir konstanta, iš esmės svarbu, kur yra kintamasis – skaitiklyje ar vardiklyje. Pirmuoju atveju, kai kintamasis yra skaitiklyje, gauname paprastą tiesinę funkciją, kurią galima nesunkiai apskaičiuoti. Ir jei kintamasis yra vardiklyje, tada gauname sudėtingesnę išraišką su pridedamais skaičiavimais, pateiktais anksčiau.
Šiuo metu pamoka gali būti laikoma baigta, todėl jei nieko nesuprantate apie koeficiento ar sandaugos išvestinius ir apskritai, jei turite klausimų šia tema, nedvejokite - eikite į mano svetainę , rasykite, skambinkite ir tikrai pabandysiu ar galiu jums padeti.
Pačios išvestinės priemonės nėra sudėtinga tema, tačiau jos yra labai plačios ir tai, ką dabar studijuojame, bus panaudota ateityje sprendžiant sudėtingesnes problemas. Todėl visus nesusipratimus, susijusius su dalinio ar sandaugos išvestinių skaičiavimu, geriau nustatyti nedelsiant, dabar. Ne tada, kai jie yra didžiulis nesusipratimų sniego gniūžtė, bet kai tai mažas teniso kamuoliukas, su kuriuo lengva susidoroti.
Matematikos fizinių uždavinių ar pavyzdžių sprendimas yra visiškai neįmanomas be išvestinės ir jos skaičiavimo metodų žinių. Išvestinė yra viena iš svarbiausių matematinės analizės sąvokų. Šiandienos straipsnį nusprendėme skirti šiai pagrindinei temai. Kas yra išvestinė, kokia jos fizikinė ir geometrinė reikšmė, kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinę? Visus šiuos klausimus galima sujungti į vieną: kaip suprasti išvestinę?
Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė
Tegul būna funkcija f(x) , nurodyta tam tikru intervalu (a, b) . Taškai x ir x0 priklauso šiam intervalui. Pasikeitus x, pasikeičia ir pati funkcija. Argumento keitimas – jo vertybių skirtumas x-x0 . Šis skirtumas parašytas kaip delta x ir vadinamas argumentų prieaugiu. Funkcijos pakeitimas arba padidėjimas yra skirtumas tarp funkcijos reikšmių dviejuose taškuose. Išvestinės priemonės apibrėžimas:
Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo tam tikrame taške ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį.
Kitu atveju jis gali būti parašytas taip:
Kokia prasmė rasti tokią ribą? Ir štai kas tai yra:
funkcijos išvestinė taške yra lygi kampo tarp OX ašies ir funkcijos grafiko liestinės liestei duotame taške.
Fizinė išvestinės reikšmė: kelio išvestinė laiko atžvilgiu lygi tiesinio judėjimo greičiui.
Iš tiesų, nuo mokyklos laikų visi žino, kad greitis yra tam tikras kelias x=f(t) ir laikas t . Vidutinis greitis per tam tikrą laikotarpį:
Norėdami sužinoti judėjimo greitį tam tikru momentu t0 reikia apskaičiuoti ribą:
Pirma taisyklė: nustatykite konstantą
Konstantą galima išimti iš išvestinio ženklo. Be to, tai turi būti padaryta. Spręsdami matematikos pavyzdžius, priimkite tai kaip taisyklę - Jei galite supaprastinti išraišką, būtinai ją supaprastinkite .
Pavyzdys. Apskaičiuokime išvestinę:
Antra taisyklė: funkcijų sumos išvestinė
Dviejų funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių sumai. Tas pats pasakytina ir apie funkcijų skirtumo išvestinę.
Mes nepateiksime šios teoremos įrodymo, o apsvarstysime praktinį pavyzdį.
Raskite funkcijos išvestinę:
Trečia taisyklė: funkcijų sandaugos išvestinė
Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:
Pavyzdys: suraskite funkcijos išvestinę:
Sprendimas: 
Čia svarbu kalbėti apie sudėtingų funkcijų išvestinių skaičiavimą. Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento atžvilgiu ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.
Aukščiau pateiktame pavyzdyje susiduriame su tokia išraiška:
Šiuo atveju tarpinis argumentas yra 8 kartus didesnis už penktą laipsnį. Norėdami apskaičiuoti tokios išraiškos išvestinę, pirmiausia apskaičiuojame išorinės funkcijos išvestinę tarpinio argumento atžvilgiu, o tada padauginame iš paties tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.
Ketvirta taisyklė: dviejų funkcijų dalinio išvestinė
Dviejų funkcijų dalinio išvestinės nustatymo formulė:
Mes bandėme kalbėti apie išvestinius manekenams nuo nulio. Ši tema nėra tokia paprasta, kaip atrodo, todėl perspėkite: pavyzdžiuose dažnai pasitaiko spąstų, todėl būkite atsargūs skaičiuodami išvestines.
Jei turite klausimų šia ir kitomis temomis, galite susisiekti su studentų tarnyba. Per trumpą laiką padėsime išspręsti sunkiausią testą ir suprasti užduotis, net jei dar niekada nedarėte išvestinių skaičiavimų.
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminio proceso metu ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.
Išsprendus paprasčiausių (ir nelabai paprastų) funkcijų išvestinių radimo uždavinius, išvestinę apibrėžiant kaip argumento prieaugio santykio ribą, atsirado išvestinių lentelė ir tiksliai apibrėžtos diferenciacijos taisyklės. . Pirmieji darinių paieškos srityje pradėjo dirbti Izaokas Niutonas (1643-1727) ir Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716).
Todėl mūsų laikais, norint rasti bet kurios funkcijos išvestinę, nereikia skaičiuoti minėtos funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribos, o tik pasinaudoti lentele dariniai ir diferenciacijos taisyklės. Išvestinei rasti tinka toks algoritmas.
Norėdami rasti išvestinę, jums reikia išraiškos po pirminiu ženklu suskaidyti paprastas funkcijas į komponentus ir nustatyti kokius veiksmus (produktas, suma, koeficientas)šios funkcijos yra susijusios. Toliau elementariųjų funkcijų išvestinius randame išvestinių lentelėje, o sandaugos, sumos ir dalinio išvestinių formules - diferenciacijos taisyklėse. Išvestinių lentelė ir diferenciacijos taisyklės pateikiamos po pirmųjų dviejų pavyzdžių.
1 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Iš diferenciacijos taisyklių sužinome, kad funkcijų sumos išvestinė yra funkcijų išvestinių suma, t.y.
Iš išvestinių lentelės sužinome, kad „x“ išvestinė lygi vienetui, o sinuso – kosinusui. Šias reikšmes pakeičiame išvestinių suma ir randame išvestinę, kurios reikia pagal problemos sąlygą:
2 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Diferencijuojame kaip sumos, kurioje antrasis narys turi pastovų koeficientą, išvestinę, kurią galima išimti iš išvestinės ženklo:
Jei vis tiek kyla klausimų, iš kur kažkas atsiranda, jie dažniausiai išsiaiškinami susipažinus su išvestinių išvestinių dalių lentele ir paprasčiausiomis diferenciacijos taisyklėmis. Šiuo metu pereiname prie jų.
Paprastų funkcijų išvestinių lentelė
| 1. Konstantos (skaičiaus) išvestinė. Bet koks skaičius (1, 2, 5, 200...), esantis funkcijos išraiškoje. Visada lygus nuliui. Tai labai svarbu atsiminti, nes to reikalaujama labai dažnai | |
| 2. Nepriklausomo kintamojo išvestinė. Dažniausiai „X“. Visada lygus vienam. Tai taip pat svarbu atsiminti ilgą laiką | |
| 3. Laipsnio išvestinė. Sprendžiant uždavinius, reikia konvertuoti ne kvadratines šaknis į galias. | |
| 4. Kintamojo išvestinė į laipsnį -1 | |
| 5. Kvadratinės šaknies vedinys | |
| 6. Sinuso išvestinė | |
| 7. Kosinuso išvestinė |  |
| 8. Tangento išvestinė |  |
| 9. Kotangento išvestinė |  |
| 10. Arsinuso vedinys |  |
| 11. Arkosino darinys |  |
| 12. Arktangento vedinys |  |
| 13. Lanko kotangento išvestinė |  |
| 14. Natūralaus logaritmo išvestinė | |
| 15. Logaritminės funkcijos išvestinė |  |
| 16. Rodiklio išvestinė | |
| 17. Eksponentinės funkcijos išvestinė |
Diferencijavimo taisyklės
| 1. Sumos arba skirtumo išvestinė |  |
| 2. Produkto darinys |  |
| 2a. Išraiškos, padaugintos iš pastovaus koeficiento, išvestinė | |
| 3. Dalinio išvestinė |  |
| 4. Sudėtinės funkcijos išvestinė |  |
1 taisyklė.Jei funkcijos
yra diferencijuojami tam tikru momentu, tada funkcijos skiriasi tame pačiame taške
ir
tie. algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai.
Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi pastoviu nariu, tai jų išvestinės yra lygios, t.y.
2 taisyklė.Jei funkcijos
yra diferencijuojami tam tikru momentu, tada jų produktas skiriasi tame pačiame taške
ir
tie. Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų ir kitos išvestinei sumai.
1 išvada. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo:
2 išvada. Kelių diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvieno veiksnio ir visų kitų išvestinės sandaugų sumai.
Pavyzdžiui, trims daugintuvams:
3 taisyklė.Jei funkcijos
tam tikru momentu skiriasi Ir , tada šioje vietoje jų koeficientas taip pat yra diferencijuotasu/v , ir
tie. dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio sandaugų ir skaitiklio išvestinės bei skaitiklio ir vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, o vardiklis yra kvadratas buvęs skaitiklis.
Kur ieškoti dalykų kituose puslapiuose
Realiose problemose ieškant sandaugos išvestinės ir koeficiento, visada reikia taikyti kelias diferenciacijos taisykles vienu metu, todėl straipsnyje yra daugiau šių išvestinių pavyzdžių."Produkto išvestinė ir funkcijų dalis".
komentuoti. Neturėtumėte painioti konstantos (ty skaičiaus) kaip sumos termino ir kaip pastovaus koeficiento! Termino atveju jo išvestinė lygi nuliui, o esant pastoviam veiksniui – išimama iš išvestinių ženklo. Tai tipiška klaida, pasitaikanti pradiniame išvestinių studijų etape, tačiau vidutinis studentas išsprendžia kelis vienos ir dviejų dalių pavyzdžius, šios klaidos nebedaro.
Ir jei diferencijuodami produktą ar koeficientą turite terminą u"v, kuriame u- skaičius, pavyzdžiui, 2 arba 5, tai yra konstanta, tada šio skaičiaus išvestinė bus lygi nuliui, todėl visas terminas bus lygus nuliui (šis atvejis aptartas 10 pavyzdyje).
Kita dažnai pasitaikanti klaida yra mechaniškai sudėtingos funkcijos išvestinė sprendžiama kaip paprastos funkcijos išvestinė. Štai kodėl sudėtingos funkcijos išvestinė skirtas atskiras straipsnis. Bet pirmiausia išmoksime rasti paprastų funkcijų išvestinius.
Pakeliui neapsieisite be posakių transformavimo. Norėdami tai padaryti, gali tekti atidaryti vadovą naujuose languose. Veiksmai su galiomis ir šaknimis Ir Veiksmai su trupmenomis .
Jei ieškote sprendimų dėl trupmenų išvestinių su laipsniais ir šaknimis, tai yra, kai funkcija atrodo taip 
, tada sekite pamoką „Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis išvestinė“.
Jei turite tokią užduotį kaip 
, tada lankysi pamoką „Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai“.
Žingsnis po žingsnio pavyzdžiai – kaip rasti išvestinę
3 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Apibrėžiame funkcijos išraiškos dalis: visa išraiška reprezentuoja sandaugą, o jos veiksniai yra sumos, kurių antrajame viename iš terminų yra pastovus veiksnys. Taikome sandaugų diferenciacijos taisyklę: dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai iš kitos išvestinės:
Toliau taikome sumos diferenciacijos taisyklę: algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai. Mūsų atveju kiekvienoje sumoje antrasis narys turi minuso ženklą. Kiekvienoje sumoje matome ir nepriklausomą kintamąjį, kurio išvestinė lygi vienetui, ir konstantą (skaičius), kurios išvestinė lygi nuliui. Taigi „X“ virsta vienetu, o minus 5 – nuliu. Antroje išraiškoje „x“ padauginama iš 2, todėl du padauginame iš to paties vieneto kaip ir „x“ išvestinė. Gauname šias išvestines reikšmes:
Rastas išvestis pakeičiame sandaugų suma ir gauname visos funkcijos išvestinę, kurios reikalauja uždavinio sąlyga:
4 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Turime rasti koeficiento išvestinę. Taikome dalinio diferencijavimo formulę: dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra skirtumas tarp vardiklio sandaugų ir skaitiklio ir skaitiklio išvestinės bei išvestinės vardiklis, o vardiklis yra buvusio skaitiklio kvadratas. Mes gauname:
Veiksnių išvestinę skaitiklyje jau radome 2 pavyzdyje. Taip pat nepamirškime, kad sandauga, kuri dabartiniame pavyzdyje yra antrasis skaitiklio veiksnys, imamas su minuso ženklu:
Jei ieškote sprendimų problemoms, kuriose reikia rasti funkcijos išvestinę, kurioje yra nuolatinė šaknų ir galių krūva, pvz., 
, tada sveiki atvykę į klasę "Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis išvestinė" .
Jei reikia daugiau sužinoti apie sinusų, kosinusų, liestinių ir kitų trigonometrinių funkcijų išvestis, tai yra, kai funkcija atrodo taip , tada pamoka jums "Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai" .
5 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Šioje funkcijoje matome sandaugą, kurios vienas iš faktorių yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis, su kurio išvestine mes susipažinome išvestinių lentelėje. Naudodami sandaugos diferencijavimo taisyklę ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę, gauname:
6 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Šioje funkcijoje matome koeficientą, kurio dividendas yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis. Naudodami koeficientų diferenciacijos taisyklę, kurią pakartojome ir taikėme 4 pavyzdyje, ir kvadratinės šaknies išvestinės reikšmę lentelėje, gauname:
Norėdami atsikratyti trupmenos skaitiklyje, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš .
Įkeliama...