Dalyvavimo įgūdžių panaudojimas supaprastina skaičiavimus ir proporcingai padidina jų atlikimo greitį. Leiskite mums išsamiai išnagrinėti pagrindines savybes dalomumo bruožai.
Paprasčiausias dalijimosi testas vienetų: visi skaičiai padalinti iš vieno. Lygiai taip pat elementaru su dalijimosi iš ženklais du, penkios, dešimt. Iš dviejų galite padalyti lyginį skaičių arba tokį, kurio galutinis skaitmuo yra 0, iš penkių – skaičių, kurio galutinis skaitmuo yra 5 arba 0. Iš dešimties galima dalyti tik tuos skaičius, kurių galutinis skaitmuo yra 0. 100 - tik tie skaičiai, kurių du galutiniai skaitmenys yra nuliai, įjungti 1000 - tik tie, kurių gale yra trys nuliai.
Pavyzdžiui:
Skaičius 79516 gali būti padalintas iš 2, nes jis baigiasi 6 – lyginiu skaičiumi; 9651 nesidalija iš 2, nes 1 yra nelyginis skaičius; 1790 dalijasi iš 2, nes galutinis skaitmuo yra nulis. 3470 dalijasi iš 5 (galutinis skaitmuo yra 0); 1054 nesidalija iš 5 (galutinis skaitmuo yra 4). 7800 dalijasi iš 10 ir 100; 542000 dalijasi iš 10, 100, 1000.
Būdingi mažiau žinomi, bet labai patogūs naudoti dalomumo bruožaiįjungta 3 Ir 9 , 4 , 6 Ir 8, 25 . Yra ir būdingų skirstymo į 7, 11, 13, 17, 19 ir pan., tačiau praktikoje jie naudojami daug rečiau.
Būdingas padalijimo iš 3 ir 9 bruožas.
Įjungta trys ir (arba) įjungta devynios Tie skaičiai, kurių skaitmenų pridėjimo rezultatas yra trijų ir (arba) devynių kartotinis, bus dalijami be liekanos.
Pavyzdžiui:
Skaičius 156321, rezultatas sudėjus 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 dalijasi atitinkamai iš 3 ir dalijasi iš 9, pats skaičius gali būti dalinamas iš 3 ir 9. Skaičius 79123 nesidalija iš 3 arba 9, taigi, kaip jo skaitmenų (22) suma negali būti padalinta iš šių skaičių.
Būdingas dalijimas iš 4, 8, 16 ir pan.
Figūrą be liekanos galima padalyti iš keturi, jei paskutiniai du jo skaitmenys yra nuliai arba yra skaičius, kurį galima padalyti iš 4. Visose kitose parinktyse dalyti be liekanos negalima.
Pavyzdžiui:
Skaičius 75300 dalijasi iš 4, nes paskutiniai du skaitmenys yra nuliai; 48834 nesidalija iš 4, nes paskutiniai du skaitmenys suteikia skaičių 34, kuris nesidalija iš 4; 35908 dalijasi iš 4, nes paskutiniai du 08 skaitmenys suteikia skaičių 8, kuris dalijasi iš 4.
Panašus principas tinka ir dalijamumo iš testui aštuoni. Skaičius dalijasi iš aštuonių, jei paskutiniai trys jo skaitmenys yra nuliai arba sudaro skaičių, dalijantį iš 8. Kitais atvejais dalybos rezultatas nebus sveikas skaičius.
Tos pačios savybės skirstant iš 16, 32, 64 ir pan., tačiau kasdieniuose skaičiavimuose jie nenaudojami.
Būdingas dalijimosi iš 6 požymis.
Skaičius dalijasi iš šešios, jei jis dalijasi ir iš dviejų, ir iš trijų, su visais kitais variantais dalyti be liekanos neįmanoma.
Pavyzdžiui:
126 dalijasi iš 6, nes dalijasi ir iš 2 (galutinis lyginis skaičius yra 6), ir iš 3 (skaitmenų suma 1 + 2 + 6 = 9 dalijasi iš trijų)
Būdingas dalijimosi iš 7 požymis.
Skaičius dalijasi iš septyni jei skirtumas tarp jo padvigubinto paskutinio skaičiaus ir „skaičiaus, likusio be paskutinio skaitmens“ dalijasi iš septynių, tai pats skaičius dalijasi iš septynių.
Pavyzdžiui:
Skaičius yra 296492. Paimkite paskutinį skaitmenį „2“, padvigubinkite, išeina 4. Atimkite 29649 - 4 = 29645. Problemiška išsiaiškinti, ar jis dalijasi iš 7, todėl analizuojamas dar kartą. Toliau paskutinį skaitmenį „5“ padvigubiname, rezultatas yra 10. Atimti 2964 - 10 = 2954. Rezultatas toks pat, neaišku ar dalijasi iš 7, todėl analizę tęsiame. Analizuojame su paskutiniu skaitmeniu „4“, padvigubiname, išeina 8. Atimti 295 - 8 = 287. Patikriname du šimtus aštuoniasdešimt septyni - iš 7 nesidalija, todėl tęsiame paiešką. Pagal analogiją padvigubiname paskutinį skaitmenį „7“, jis tampa 14. Atimti 28 - 14 = 14. Skaičius 14 dalijamas iš 7, todėl pradinis skaičius dalinamas iš 7.
Būdingas dalijimosi iš 11 požymis.
Įjungta vienuolika Dalinami tik tie skaičiai, kuriuose nelyginėse vietose esančių skaitmenų sudėjimo rezultatas yra lygus skaitmenų, esančių lyginėse vietose, sumai arba skiriasi nuo skaičiaus, dalijamo iš vienuolikos.
Pavyzdžiui:
Skaičius 103 785 dalijasi iš 11, nes nelyginėse vietose esančių skaitmenų suma 1 + 3 + 8 = 12 yra lygi skaitmenų sumai lyginėse vietose, 0 + 7 + 5 = 12. Skaičius 9 163 627 yra dalijasi iš 11, nes nelyginėse vietose išdėstytų skaitmenų suma yra 9 + 6 + 6 + 7 = 28, o skaitmenų, esančių lyginėse vietose, suma yra 1 + 3 + 2 = 6; skirtumas tarp skaičių 28 ir 6 yra 22, o šis skaičius dalijasi iš 11. Skaičius 461 025 nesidalija iš 11, nes skaičiai 4 + 1 + 2 = 7 ir 6 + 0 + 5 = 11 nėra lygūs vienas kitą, bet jų skirtumas 11 – 7 = 4 nesidalija iš 11.
Būdingas dalijimosi iš 25 požymis.
Įjungta dvidešimt penki skaičiai, kurių du paskutiniai skaitmenys yra nuliai arba sudaro skaičių, kurį galima padalyti iš dvidešimt penkių (ty skaičiai, kurie baigiasi 00, 25, 50 arba 75), bus padalinti. Kitais atvejais skaičius negali būti padalintas iš 25.
Pavyzdžiui:
9450 dalijasi iš 25 (baigiasi 50); 5085 nesidalija iš 25.
Natūraliųjų skaičių dalybai supaprastinti buvo išvestos padalijimo į pirmojo dešimtuko skaičius ir skaičius 11, 25 taisyklės, kurios sujungiamos į skyrių. natūraliųjų skaičių dalijimosi ženklai. Žemiau pateikiamos taisyklės, pagal kurias analizuojant skaičių, nedalijus jo iš kitu natūraliuoju skaičiumi, bus atsakyta į klausimą, ar natūralusis skaičius yra skaičių 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 kartotinis. skaitmenų vienetas?
Natūralūs skaičiai, kurių pirmame skaitmenyje yra skaitmenys (baigiasi) 2,4,6,8,0, vadinami lyginiais.
Skaičių dalijimosi iš 2 testas
Visi lyginiai natūralūs skaičiai dalijasi iš 2, pavyzdžiui: 172, 94,67, 838, 1670.
Skaičių dalijimosi iš 3 testas
Visi natūralūs skaičiai, kurių skaitmenų suma dalijasi iš 3, dalijasi iš 3. Pavyzdžiui:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Skaičių dalijimosi iš 4 testas
Visi natūralūs skaičiai dalijasi iš 4, kurių paskutiniai du skaitmenys yra nuliai arba 4 kartotiniai. Pavyzdžiui:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Skaičių dalijimosi iš 5 testas
Skaičių dalijimosi iš 6 testas
Tie natūralūs skaičiai, kurie tuo pačiu metu dalijasi iš 2 ir 3, dalijasi iš 6 (visi lyginiai skaičiai, kurie dalijasi iš 3). Pavyzdžiui: 126 (b – lygus, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Skaičių dalijimosi iš 9 testas
Natūralūs skaičiai, kurių skaitmenų suma yra 9 kartotiniai, dalijasi iš 9. Pavyzdžiui:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Skaičių dalijimosi iš 10 testas
Skaičių dalijimosi iš 11 testas
Iš 11 dalijasi tik tie natūralieji skaičiai, kurių skaitmenų, užimančių lygines vietas, suma yra lygi skaitmenų, užimančių nelygines vietas, sumai arba skirtumui tarp nelyginių vietų skaitmenų sumos ir lyginių skaitmenų sumos vietas yra 11 kartotinis. Pavyzdžiui:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 ir 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + b + 7 = 28 ir 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
Skaičių dalijimosi iš 25 testas
Padalinti iš 25 yra tie natūralūs skaičiai, kurių paskutiniai du skaitmenys yra nuliai arba 25 kartotiniai. Pavyzdžiui:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Skaičių dalijimosi iš skaitmenų vieneto ženklas
Tie natūralieji skaičiai, kurių nulių skaičius yra didesnis arba lygus skaitmenų vieneto nulių skaičiui, yra padalijami į skaitmenų vienetą. Pavyzdžiui: 12 000 dalijasi iš 10, 100 ir 1000.
Tęsiamas straipsnių ciklas apie dalijimosi kriterijus dalijimosi iš 3 testas. Šiame straipsnyje pirmiausia pateikiama dalijimosi iš 3 testo formuluotė ir pateikiami šio testo naudojimo pavyzdžiai, siekiant išsiaiškinti, kurie iš pateiktų sveikųjų skaičių dalijasi iš 3, o kurie ne. Žemiau pateikiamas dalijimosi iš 3 testo įrodymas. Taip pat atsižvelgiama į metodus, kaip nustatyti skaičių, pateiktų kaip kai kurios išraiškos vertę, dalijimąsi iš 3.
Puslapio naršymas.
Bandymas dalytis iš 3, pavyzdžiai
Pradėkime nuo dalijimosi iš 3 testo formuluotės: sveikas skaičius dalijasi iš 3, jei jo skaitmenų suma dalijasi iš 3, bet jei duoto skaičiaus skaitmenų suma nesidalija iš 3, tai pats skaičius iš 3 nesidalija.
Iš aukščiau pateiktos formuluotės aišku, kad dalijimosi iš 3 testas negali būti naudojamas be galimybės atlikti natūraliųjų skaičių sudėjimą. Taip pat norint sėkmingai pritaikyti dalijimosi iš 3 testą, reikia žinoti, kad iš visų vienaženklių natūraliųjų skaičių skaičiai 3, 6 ir 9 dalijasi iš 3, tačiau skaičiai 1, 2, 4, 5, 7 ir 8 nesidalija iš 3.
Dabar galime apsvarstyti paprasčiausią dalijimosi iš 3 testo pavyzdžiai. Išsiaiškinkime, ar skaičius dalijasi iš 3? 42. Tam apskaičiuojame skaičiaus?42 skaitmenų sumą, ji lygi 4+2=6. Kadangi 6 dalijasi iš 3, tai dėl dalijimosi testo iš 3 galime teigti, kad skaičius ?42 taip pat dalijasi iš 3. Tačiau teigiamas sveikasis skaičius 71 nesidalija iš 3, nes jo skaitmenų suma yra 7+1=8, o 8 nesidalija iš 3.
Ar 0 dalijasi iš 3? Norint atsakyti į šį klausimą, jums nereikės dalijimosi iš 3 savybės; čia reikia prisiminti atitinkamą dalijimosi savybę, kuri teigia, kad nulis dalijasi iš bet kurio sveikojo skaičiaus. Taigi 0 dalijasi iš 3.
Kai kuriais atvejais norint parodyti, kad tam tikras skaičius turi arba neturi galimybę dalytis iš 3, dalijimosi iš 3 testas turi būti naudojamas keletą kartų iš eilės. Pateikime pavyzdį.
Parodykite, kad skaičius 907 444 812 dalijasi iš 3.
Skaičiaus 907 444 812 skaitmenų suma lygi 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Norėdami sužinoti, ar 39 dalijasi iš 3, apskaičiuokime jo skaitmenų sumą: 3+9=12. O norėdami sužinoti, ar 12 dalijasi iš 3, randame skaičiaus 12 skaitmenų sumą, turime 1+2=3. Kadangi gavome skaičių 3, kuris dalijasi iš 3, tai pagal dalijamumo testą iš 3 skaičius 12 dalijasi iš 3. Todėl 39 dalijasi iš 3, nes jo skaitmenų suma yra 12, o 12 dalijasi iš 3. Galiausiai 907 333 812 dalijasi iš 3, nes jo skaitmenų suma yra 39, o 39 dalijasi iš 3.
Norėdami konsoliduoti medžiagą, išanalizuosime kito pavyzdžio sprendimą.
Ar skaičius dalijasi iš 3?543205?
Apskaičiuokime šio skaičiaus skaitmenų sumą: 5+4+3+2+0+5=19. Savo ruožtu skaičiaus 19 skaitmenų suma yra 1+9=10, o skaičiaus 10 skaitmenų suma yra 1+0=1. Kadangi gavome skaičių 1, kuris nesidalija iš 3, iš dalijimosi iš 3 testo išplaukia, kad 10 nesidalija iš 3. Todėl 19 nesidalija iš 3, nes jo skaitmenų suma yra 10, o 10 nesidalija iš 3. Todėl pradinis skaičius?543205 nesidalija iš 3, nes jo skaitmenų suma, lygi 19, nesidalija iš 3.
Verta paminėti, kad tiesiogiai padalijus tam tikrą skaičių iš 3 taip pat galime padaryti išvadą, ar duotas skaičius dalijasi iš 3, ar ne. Tuo norime pasakyti, kad neturėtume nepaisyti padalijimo ir dalytis iš 3 kriterijaus. Paskutiniame pavyzdyje 543 205 padalijus iš 3 su stulpeliu, įsitikintume, kad 543 205 nėra tolygiai dalijamasi iš 3, iš kurio galėtume pasakyti, kad 543 205 nesidalija iš 3.
Dalumo iš 3 testo įrodymas
Šis skaičiaus a vaizdavimas padės mums įrodyti dalijimosi iš 3 testą. Bet kurį natūralųjį skaičių a galime išplėsti skaitmenimis, po kurių daugybos iš 10, 100, 1000 ir tt taisyklė leidžia gauti formos a=a n ·10 n +a n?1 ·10 n?1 + atvaizdą. …+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0, kur a n, a n?1, ..., a 0 yra skaičiai iš kairės į dešinę skaičiaus a žymėjime. Aiškumo dėlei pateikiame tokio vaizdavimo pavyzdį: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.
Dabar užrašykime keletą gana akivaizdžių lygybių: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 ir pan. .
Į lygybę a=a n ·10 n +a n?1 ·10 n?1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 vietoj 10, 100, 1 000 ir pan. 3+1, 33·3+1, 999+1=333·3+1 ir taip toliau, gauname
.
Natūraliųjų skaičių sudėjimo ir natūraliųjų skaičių daugybos savybės leidžia gautą lygybę perrašyti taip:
Išraiška 
yra skaičiaus a skaitmenų suma. Dėl trumpumo ir patogumo pažymėkime jį raide A, tai yra, mes priimame . Tada gauname skaičiaus a atvaizdą formos, kurią naudosime dalijamumo iš 3 testui įrodyti.
Be to, norint įrodyti dalijimosi iš 3 testą, mums reikia šių dalijimosi savybių:
- Kad sveikasis skaičius a dalytųsi iš sveikojo skaičiaus b, būtina ir pakanka, kad skaičiaus a modulis dalytųsi iš skaičiaus b modulio;
- jei lygybėje a=s+t visi nariai, išskyrus vieną, dalijasi iš kokio nors sveikojo skaičiaus b, tai šis vienas narys taip pat dalijasi iš b.
Dabar esame visiškai pasiruošę ir galime atlikti dalijimosi iš 3 įrodymas, patogumo dėlei šį kriterijų suformuluojame kaip būtiną ir pakankamą dalijimosi iš 3 sąlygą.
Kad sveikasis skaičius a dalytųsi iš 3, būtina ir pakanka, kad jo skaitmenų suma dalytųsi iš 3.
Jei a=0, teorema yra akivaizdi.
Jei a yra ne nulis, tai skaičiaus a modulis yra natūralusis skaičius, tai galimas vaizdavimas, kur yra skaičiaus a skaitmenų suma.
Kadangi sveikųjų skaičių suma ir sandauga yra sveikasis skaičius, tai yra sveikasis skaičius, tada pagal dalijimosi apibrėžimą sandauga dalijasi iš 3 bet kuriam a 0, a 1, ..., a n.
Jei skaičiaus a skaitmenų suma dalijasi iš 3, tai yra, A dalijasi iš 3, tai dėl prieš teoremą nurodytos dalijamumo savybės ji dalijasi iš 3, todėl a dalijasi iš 3. Taigi pakankamumas įrodytas.
Jei a dalijasi iš 3, tada jis dalijasi ir iš 3, tai dėl tos pačios dalijimosi savybės skaičius A dalijasi iš 3, tai yra, skaičiaus a skaitmenų suma dalijasi iš 3. Būtinybė įrodyta.
Kiti dalijimosi iš 3 atvejai
Kartais sveikieji skaičiai nurodomi ne aiškiai, o kaip kokios nors išraiškos su kintamuoju reikšmė, atsižvelgiant į kintamojo reikšmę. Pavyzdžiui, tam tikro natūraliojo skaičiaus n išraiškos reikšmė yra natūralusis skaičius. Aišku, kad taip nurodant skaičius, tiesioginis dalijimas iš 3 nepadės nustatyti jų dalijimosi iš 3, o dalijimosi iš 3 testą taikyti ne visada. Dabar apžvelgsime keletą tokių problemų sprendimo būdų.
Šių metodų esmė – originalią išraišką pavaizduoti kaip kelių faktorių sandaugą ir jeigu bent vienas iš faktorių dalijasi iš 3, tai dėl atitinkamos dalijamumo savybės bus galima daryti išvadą, kad visa sandauga dalijasi iš 3.
Kartais Niutono dvinaris leidžia įgyvendinti šį metodą. Pažvelkime į sprendimo pavyzdį.
Ar bet kurio natūraliojo skaičiaus n išraiškos reikšmė dalijasi iš 3?
Lygybė akivaizdi. Naudokime Niutono binominę formulę: 
Paskutinėje išraiškoje iš skliaustų galime paimti 3 ir gausime. Gautas sandaugas dalijamas iš 3, nes jame yra koeficientas 3, o natūraliojo n išraiškos skliausteliuose reikšmė yra natūralusis skaičius. Todėl bet kurio natūraliojo skaičiaus n jis dalijasi iš 3.
Daugeliu atvejų matematinės indukcijos metodas leidžia įrodyti dalumą iš 3. Pažvelkime į jo taikymą spręsdami pavyzdį.
Įrodykite, kad bet kurio natūraliojo skaičiaus n išraiškos reikšmė dalijasi iš 3.
Norėdami tai įrodyti, naudosime matematinės indukcijos metodą.
Kai n=1, išraiškos reikšmė yra , o 6 dalijama iš 3.
Tarkime, kad išraiškos reikšmė dalijasi iš 3, kai n=k, tai yra, dalijasi iš 3.
Atsižvelgdami į tai, kad jis dalijasi iš 3, parodysime, kad reiškinio reikšmė n=k+1 dalijasi iš 3, tai yra parodysime, kad 
dalijasi iš 3.
Padarykime keletą transformacijų: 
Išraiška dalijasi iš 3 ir išraiška 
dalijasi iš 3, todėl jų suma dalijasi iš 3.
Taigi, naudojant matematinės indukcijos metodą, buvo įrodytas bet kurio natūraliojo skaičiaus n dalumas iš 3.
Parodykime kitą būdą, kaip įrodyti dalumą iš 3. Jei parodysime, kad esant n=3 m, n=3 m+1 ir n=3 m+2, kur m yra savavališkas sveikasis skaičius, kai kurios išraiškos reikšmė (su kintamuoju n) dalijasi iš 3, tai įrodys Išraiškos dalijimasis iš 3 bet kuriam sveikajam skaičiui n. Apsvarstykime šį metodą spręsdami ankstesnį pavyzdį.
Parodykite, kas dalijasi iš 3 bet kuriam natūraliajam skaičiui n.
Jei n=3·m, turime. Gautas produktas dalijasi iš 3, nes jame yra koeficientas 3, kuris dalijasi iš 3.
Gautas produktas taip pat dalijasi iš 3.
Ir šis produktas dalijasi iš 3.
Todėl bet kurio natūraliojo skaičiaus n jis dalijasi iš 3.
Pabaigoje pateikiame kito pavyzdžio sprendimą.
Ar išraiškos reikšmė dalijasi iš 3? 
kai kuriam natūraliajam skaičiui n.
Jei n=1 turime. Gauto skaičiaus skaitmenų suma yra 3, todėl dalijimosi iš 3 testas leidžia teigti, kad šis skaičius dalijasi iš 3.
Jei n=2 turime. Skaičių ir šio skaičiaus suma yra 3, todėl ji dalijasi iš 3.
Aišku, kad bet kuriam kitam natūraliajam skaičiui n turėsime skaičius, kurių skaitmenų suma lygi 3, todėl šie skaičiai dalijasi iš 3.
Taigi, bet koks natūralusis skaičius n dalijasi iš 3.
www.cleverstudents.ru
Matematika, 6 klasė, vadovėlis bendrojo lavinimo organizacijų mokiniams, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014 m.
Matematika, 6 klasė, vadovėlis bendrojo lavinimo organizacijų mokiniams, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014 m.
Teorinė medžiaga vadovėlyje pateikiama taip, kad mokytojas mokydamas galėtų taikyti probleminį požiūrį. Naudojant žymėjimo sistemą, išskiriami keturių sudėtingumo lygių pratimai. Kiekvienoje pastraipoje suformuluotos kontrolinės užduotys pagal tai, ką mokiniai turėtų žinoti ir mokėti, kad pasiektų matematinio ugdymo standarto lygį. Vadovėlio pabaigoje – namų testai ir atsakymai. Spalvotos iliustracijos (brėžiniai ir diagramos) suteikia aukšto lygio mokomosios medžiagos aiškumo.
Atitinka Federalinio valstybinio švietimo standarto LLC reikalavimus.
Užduotys.
4. Nubraižykite trikampį ABC ir už jo ribų pažymėkite tašką O (kaip 11 pav.). Sukurkite figūrą, simetrišką trikampiui ABC taško O atžvilgiu.
5. Nubraižykite trikampį KMN ir sukurkite šiam trikampiui simetrišką figūrą:
a) jo viršūnės yra taškai M;
b) taškas O – kraštinės MN vidurys.
6. Sukurkite simetrišką figūrą:
a) spindulys OM taško O atžvilgiu; užrašykite, kuris taškas yra simetriškas taškui O;
b) spindulys OM savavališko taško A, nepriklausančio šiam spinduliui, atžvilgiu;
c) tiesė AB taško O atžvilgiu, nepriklausančio šiai tiesei;
d) tiesė AB taško O, priklausančio šiai tiesei, atžvilgiu; Užsirašykite, kuris taškas yra simetriškas taškui O.
Kiekvienu atveju apibūdinkite santykinę centre esančių simetriškų figūrų padėtį.
Turinys
I skyrius. Teigiami ir neigiami skaičiai. Koordinatės
§ 1. Sukimasis ir centrinė simetrija
§ 2. Teigiami ir neigiami skaičiai. Koordinačių linija
§ 3. Skaičiaus modulis. Priešingi skaičiai
§ 4. Skaičių palyginimas
§ 5. Tiesių lygiagretumas
§ 6. Skaitmeninės išraiškos su ženklais „+“, „-“
§ 7. Algebrinė suma ir jos savybės
§ 8. Dviejų skaičių algebrinės sumos reikšmės apskaičiavimo taisyklė
§ 9. Atstumas tarp koordinačių linijos taškų
§ 10. Ašinė simetrija
§ 11. Skaitiniai intervalai
§ 12. Teigiamų ir neigiamų skaičių daugyba ir dalyba
§ 13. Koordinatės
§ 14. Koordinačių plokštuma
§ 15. Paprastųjų trupmenų daugyba ir dalyba
§ 16. Daugybos taisyklė kombinatoriniams uždaviniams
II skyrius. Pažodinių posakių konvertavimas
§ 17. Išplečiamieji skliaustai
§ 18. Posakių supaprastinimas
§ 19. Lygčių sprendimas
§ 20. Užduočių, susijusių su lygčių sudarymu, sprendimas
§ 21. Dvi pagrindinės trupmenų problemos
§ 22. Apskritimas. Apimtis
§ 23. Apskritimas. Apskritimo plotas
§ 24. Kamuolys. Sfera
III skyrius. Natūraliųjų skaičių dalijamumas
§ 25. Dalikliai ir kartotiniai
§ 26. Gaminio dalijamumas
§ 27. Skaičių sumos ir skirtumo dalijamumas
§ 28. Bandymai dalytis iš 2, 5, 10, 4 ir 25
§ 29. Bandymai dalytis iš 3 ir 9
§ 30. Pirminiai skaičiai. Skaičių suskaidymas į pirminius veiksnius
§ 31. Didžiausias bendras daliklis
§ 32. Pirminiai skaičiai. Produkto dalijamumo testas. Mažiausias bendras kartotinis
IV skyrius. Matematika aplink mus
§ 33. Dviejų skaičių santykis
§ 34. Diagramos
§ 35. Kiekių proporcingumas
§ 36. Užduočių sprendimas naudojant proporcijas
§ 37. Įvairios užduotys
§ 38. Pirmoji pažintis su „tikimybės“ sąvoka
§ 39. Pirmoji pažintis su tikimybės skaičiavimu
Namų testai
Projekto veiklų temos
Atsakymai
Atsisiųskite elektroninę knygą patogiu formatu nemokamai ir skaitykite:
Matematika
MATEMATIKOS MATEMOS MEDŽIAGA 1-6 KLASĖMS.
Mieli tėvai! Jei ieškote matematikos mokytojo savo vaikui, tai šis skelbimas kaip tik jums. Siūlau Skype konsultacijas: pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui, vieningam valstybiniam egzaminui, žinių spragų šalinimas. Jūsų nauda akivaizdi:
1) Jūsų vaikas yra namuose, ir jūs galite būti ramūs dėl jo;
2) Užsiėmimai vyksta vaikui patogiu laiku, o jūs netgi galite lankyti šiuos užsiėmimus. Aš tai paprastai ir aiškiai paaiškinu įprastoje mokyklos lentoje.
3) Kitus svarbius Skype pamokų privalumus galite pagalvoti patys!
Rašykite man adresu: arba iš karto įtraukite į Skype, ir dėl visko susitarsime. Kainos prieinamos.
P.S. Užsiėmimai galimi 2-4 mokinių grupėse.
Pagarbiai Tatjana Yakovlevna Andryushchenko yra šios svetainės autorė.
Mieli draugai!
Džiaugiuosi galėdamas pakviesti jus atsisiųsti nemokamą matematikos informacinę medžiagą 5 klasė. Atsisiųskite čia!
Mieli draugai!
Ne paslaptis, kad kai kuriems vaikams sunku dauginti ir ilgai dalytis. Dažniausiai taip yra dėl nepakankamų žinių apie daugybos lenteles. Siūlau išmokti daugybos lenteles loterijoje. Daugiau informacijos žiūrėkite čia. Atsisiųskite loto čia.
Mieli draugai! Netrukus susidursite (arba jau susidūrėte) su būtinybe apsispręsti procentų problemų. Tokios problemos pradedamos spręsti 5 klasėje ir baigiamos. bet jie nebaigia spręsti problemų, susijusių su procentais! Šios užduotys randamos ir testuose, ir egzaminuose: tiek perkėlimo, tiek vieningo valstybinio egzamino ir vieningo valstybinio egzamino. Ką daryti? Turime išmokti spręsti tokias problemas. Mano knyga „Kaip išspręsti procentines problemas“ jums padės tai padaryti. Detalės čia!
Skaičių pridėjimas.
- a+b=c, kur a ir b yra nariai, c yra suma.
- Norėdami rasti nežinomą terminą, turite atimti žinomą terminą iš sumos.
Skaičių atėmimas.
- a-b=c, kur a yra mažmeninė dalis, b yra dalis, c yra skirtumas.
- Norėdami rasti nežinomą minuendą, prie skirtumo turite pridėti potraukį.
- Norėdami rasti nežinomą dalį, turite atimti skirtumą iš mažosios dalies.
Skaičių dauginimas.
- a·b=c, kur a ir b yra veiksniai, c yra sandauga.
- Norėdami rasti nežinomą veiksnį, turite padalyti produktą iš žinomo faktoriaus.
Skaičių dalijimas.
- a:b=c, kur a yra dividendas, b yra daliklis, c yra koeficientas.
- Norėdami rasti nežinomą dividendą, daliklį turite padauginti iš koeficiento.
- Norėdami rasti nežinomą daliklį, turite padalyti dividendą iš koeficiento.
Papildymo dėsniai.
- a+b=b+a(komutacinis: terminų pertvarkymas nekeičia sumos).
- (a+b)+c=a+(b+c)(kombinantinis: norėdami pridėti trečią skaičių prie dviejų narių sumos, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių).
Papildymo lentelė.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Daugybos dėsniai.
- a·b=b·a(komutacinis: perstačius veiksnius produktas nekeičiamas).
- (a b) c=a (b c)(kombinantinis: norėdami padauginti dviejų skaičių sandaugą iš trečiojo skaičiaus, pirmąjį skaičių galite padauginti iš antrojo ir trečiojo sandaugos).
- (a+b)c=ac+bc(susimovės daugybos skirstymo dėsnis: norėdami dviejų skaičių sumą padauginti iš trečiojo skaičiaus, galite padauginti iš šio skaičiaus kiekvieną narį ir pridėti gautus rezultatus).
- (a-b) c=a c-b c(atimties daugybos paskirstymo dėsnis: norėdami padauginti dviejų skaičių skirtumą iš trečiojo skaičiaus, galite padauginti minuend ir atimti iš šio skaičiaus atskirai ir atimti antrąjį iš pirmojo rezultato).
Daugybos lentelė.
2 · 1 = 2; 3 · 1 = 3; 4·1=4; 5 · 1 = 5; 6 · 1 = 6; 7 · 1 = 7; 8·1=8; 9·1=9.
2·2=4; 3 · 2 = 6; 4·2=8; 5·2=10; 6·2=12; 7·2=14; 8·2=16; 9·2=18.
2·3=6; 3·3=9; 4·3=12; 5·3=15; 6·3=18; 7·3=21; 8·3=24; 9·3=27.
2·4=8; 3·4=12; 4·4=16; 5·4=20; 6·4=24; 7·4=28; 8·4=32; 9·4=36.
2·5=10; 3·5=15; 4·5=20; 5·5=25; 6·5=30; 7·5=35; 8·5=40; 9·5=45.
2·6=12; 3·6=18; 4·6=24; 5·6=30; 6·6=36; 7·6=42; 8·6=48; 9·6=54.
2·7=14; 3 · 7 = 21; 4·7=28; 5·7=35; 6·7=42; 7 · 7 = 49; 8·7=56; 9·7=63.
2·8=16; 3·8=24; 4·8=32; 5·8=40; 6·8=48; 7·8=56; 8·8=64; 9·8=72.
2·9=18; 3·9=27; 4·9=36; 5·9=45; 6·9=54; 7·9=63; 8·9=72; 9·9=81.
2·10=20; 3·10=30; 4·10=40; 5·10=50; 6·10=60; 7·10=70; 8·10=80; 9·10=90.
Dalikliai ir kartotiniai.
- Skirstytuvas natūralusis skaičius Aįvardykite natūralųjį skaičių A padalintas be liekanos. (Skaičiai 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 yra skaičiaus 24 dalikliai, nes 24 dalijasi iš kiekvieno iš jų be liekanos) 1 yra bet kurio natūraliojo skaičiaus daliklis. Didžiausias bet kurio skaičiaus daliklis yra pats skaičius.
- Keletas natūralusis skaičius b yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš b. (Skaičiai 24, 48, 72,... yra skaičiaus 24 kartotiniai, nes jie dalijasi iš 24 be liekanos). Mažiausias bet kurio skaičiaus kartotinis yra pats skaičius.
Natūraliųjų skaičių dalijimosi kriterijai.
- Skaičiai, naudojami skaičiuojant objektus (1, 2, 3, 4,...), vadinami natūraliaisiais skaičiais. Natūraliųjų skaičių aibė žymima raide N.
- Skaičiai 0, 2, 4, 6, 8 paskambino net skaičiais. Skaičiai, kurie baigiasi lyginiais skaitmenimis, vadinami lyginiais skaičiais.
- Skaičiai 1, 3, 5, 7, 9 paskambino nelyginis skaičiais. Skaičiai, kurie baigiasi nelyginiais skaitmenimis, vadinami nelyginiais skaičiais.
- Bandymas dalytis iš 2. Visi natūralūs skaičiai, kurie baigiasi lyginiu skaitmeniu, dalijasi iš 2.
- Bandymas dalytis iš 5. Visi natūralūs skaičiai, kurie baigiasi 0 arba 5, dalijasi iš 5.
- Skaičiaus 10 dalijamumo testas. Visi natūralūs skaičiai, kurie baigiasi 0, dalijasi iš 10.
- Bandymas dalytis iš 3. Jei skaičiaus skaitmenų suma dalijasi iš 3, tai pats skaičius dalijasi iš 3.
- Skaičiaus 9 dalijamumo testas. Jei skaičiaus skaitmenų suma dalijasi iš 9, tai pats skaičius dalijasi iš 9.
- Bandymas dalytis iš 4. Jei skaičius, sudarytas iš paskutinių dviejų tam tikro skaičiaus skaitmenų, dalijasi iš 4, tai pats skaičius dalijasi iš 4.
- Skaičiaus 11 dalijamumo testas. Jei skirtumas tarp skaitmenų sumos nelyginėse vietose ir skaitmenų sumos lyginėse vietose dalijasi iš 11, tai pats skaičius dalijasi iš 11.
- Pirminis skaičius yra skaičius, turintis tik du daliklius: vieną ir patį skaičių.
- Skaičius, turintis daugiau nei du daliklius, vadinamas sudėtiniu.
- Skaičius 1 nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius.
- Sudėtinio skaičiaus rašymas kaip tik pirminių skaičių sandauga vadinamas sudėtinio skaičiaus padalijus į pirminius veiksnius. Bet koks sudėtinis skaičius gali būti vienareikšmiškai pavaizduotas kaip pirminių veiksnių sandauga.
- Didžiausias bendrasis duotųjų natūraliųjų skaičių daliklis yra didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio padalytas kiekvienas iš šių skaičių.
- Didžiausias bendras šių skaičių daliklis yra lygus bendrųjų pirminių faktorių sandaugai šių skaičių plėtiniuose. Pavyzdys. GCD(24, 42)=2·3=6, kadangi 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, jų bendrieji pirminiai koeficientai yra 2 ir 3.
- Jei natūralieji skaičiai turi tik vieną bendrą daliklį – vieną, tai šie skaičiai vadinami santykinai pirminiais.
- Mažiausias bendrasis duotųjų natūraliųjų skaičių kartotinis yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra kiekvieno iš pateiktų skaičių kartotinis. Pavyzdys. LCM(24, 42)=168. Tai mažiausias skaičius, kuris dalijasi ir iš 24, ir iš 42.
- Norint rasti kelių nurodytų natūraliųjų skaičių LCM, reikia: 1) išskaidyti kiekvieną iš pateiktų skaičių į pirminius veiksnius; 2) išrašykite didesnio skaičiaus išskaidymą ir padauginkite jį iš trūkstamų faktorių iš kitų skaičių skaidymo.
- Mažiausias dviejų santykinai pirminių skaičių kartotinis yra lygus šių skaičių sandaugai.
b- trupmenos vardiklis rodo, į kiek lygių dalių ji padalinta;
a- trupmenos skaitiklis rodo, kiek tokių dalių buvo paimta. Trupmenų juosta reiškia padalijimo ženklą.
Kartais vietoj horizontalios trupmeninės linijos dedama įstrižinė linija, o įprasta trupmena rašoma taip: a/b.
- U tinkama trupmena skaitiklis yra mažesnis už vardiklį.
- U netinkama trupmena skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba lygus vardikliui.
Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties natūraliojo skaičiaus, gaunama lygi trupmena.
Trupmenos skaitiklio ir vardiklio dalijimas iš jų bendro daliklio, išskyrus vieną, vadinamas trupmenos sumažinimu.
- Skaičius, sudarytas iš sveikosios ir trupmeninės dalies, vadinamas mišriu skaičiumi.
- Norėdami netinkamą trupmeną pavaizduoti kaip mišrų skaičių, trupmenos skaitiklį turite padalyti iš vardiklio, tada nepilnas koeficientas bus sveikoji mišraus skaičiaus dalis, likusi dalis bus trupmeninės dalies skaitiklis ir vardiklis išliks toks pat.
- Norėdami pavaizduoti mišrų skaičių kaip netinkamą trupmeną, sveikąją mišraus skaičiaus dalį turite padauginti iš vardiklio, prie gauto rezultato pridėti trupmeninės dalies skaitiklį ir įrašyti jį į netinkamos trupmenos skaitiklį, palikdami vardiklį. tas pats.
- Rėjus Oi su pradžios tašku taške APIE, ant kurių yra nurodytos vienas pjūvisį ir kryptis, paskambino koordinačių spindulys.
- Vadinamas skaičius, atitinkantis koordinačių spindulio tašką koordinuotišį tašką. Pavyzdžiui , A(3). Skaitykite: taškas A su 3 koordinate.
- Mažiausias bendras vardiklis ( NCD) šių neredukuojamų trupmenų yra mažiausias bendras kartotinis ( NOC) šių trupmenų vardikliai.
- Norint sumažinti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio, reikia: 1) rasti mažiausią bendrąjį duotųjų trupmenų vardklių kartotinį, jis bus mažiausias bendras vardiklis. 2) kiekvienai trupmenai raskite papildomą koeficientą, padalydami naują vardiklį iš kiekvienos trupmenos vardiklio. 3) padauginkite kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš papildomo koeficiento.
- Iš dviejų trupmenų, turinčių tą patį vardiklį, ta, kurios skaitiklis didesnis, yra didesnė, o ta, kurios skaitiklis yra mažesnis, yra mažesnė.
- Iš dviejų trupmenų su tais pačiais skaitikliais ta, kurios vardiklis mažesnis, yra didesnė, o ta, kurios vardiklis didesnis, yra mažesnė.
- Norėdami palyginti trupmenas su skirtingais skaitikliais ir vardikliais, turite sumažinti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio ir tada palyginti trupmenas su tais pačiais vardikliais.
Paprastųjų trupmenų operacijos.
- Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį.
- Jei reikia pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia sumažinkite trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio, o tada pridėkite trupmenas su tais pačiais vardikliais.
- Norėdami atimti trupmenas su panašiais vardikliais, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį, vardiklį palikdami tą patį.
- Jei reikia atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, tada jos pirmiausia sujungiamos į bendrą vardiklį, o tada atimamos trupmenos su tais pačiais vardikliais.
- Atliekant mišriųjų skaičių sudėties arba atimties operacijas, šios operacijos atliekamos atskirai sveikosioms dalims ir trupmeninėms dalims, o tada rezultatas rašomas kaip mišrus skaičius.
- Dviejų paprastųjų trupmenų sandauga yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis lygus skaitiklių sandaugai, o vardiklis – šių trupmenų vardiklių sandaugai.
- Norėdami padauginti bendrąją trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, turite padauginti trupmenos skaitiklį iš šio skaičiaus, tačiau vardiklį palikite tą patį.
- Du skaičiai, kurių sandauga yra lygi vienetui, vadinami abipusiais skaičiais.
- Dauginant mišrius skaičius, jie pirmiausia paverčiami netinkamosiomis trupmenomis.
- Norėdami rasti skaičiaus trupmeną, turite padauginti skaičių iš šios trupmenos.
- Norėdami padalyti bendrąją trupmeną iš paprastosios trupmenos, turite padauginti dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės.
- Dalijant mišrius skaičius, jie pirmiausia paverčiami netinkamosiomis trupmenomis.
- Norėdami padalyti bendrąją trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, turite padauginti trupmenos vardiklį iš šio natūraliojo skaičiaus, o skaitiklį palikti tą patį. ((2/7):5=2/(7·5)=2/35).
- Norėdami rasti skaičių pagal jo trupmeną, turite jį atitinkantį skaičių padalyti iš šios trupmenos.
- Dešimtainė trupmena yra skaičius, parašytas dešimtainėje sistemoje ir turintis skaitmenų, mažesnių už vieną. (3,25; 0,1457 ir kt.)
- Taškai po kablelio trupmenoje vadinami po kablelio.
- Dešimtainė dalis nepasikeis, jei dešimtainio skaičiaus pabaigoje pridėsite arba pašalinsite nulius.
Norint sudėti dešimtaines trupmenas, reikia: 1) suvienodinti šių trupmenų skaičių po kablelio skaičių; 2) užrašyti juos vieną po kito taip, kad kablelis būtų rašomas po kableliu; 3) atlikite sudėjimą, nekreipdami dėmesio į kablelį, o pridėtose trupmenose po kableliais dėkite kablelį sumoje.
Norint atimti dešimtaines trupmenas, reikia: 1) suvienodinti dešimtainių skaitmenų skaičių minuend ir poskyryje; 2) po minuendu pasirašykite podalinį taip, kad kablelis būtų po kableliu; 3) atlikite atimtį, nekreipdami dėmesio į kablelį, o gautame rezultate dėkite kablelį po minuend ir potraukio kableliais.
- Norint padauginti dešimtainę trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, reikia padauginti iš šio skaičiaus, ignoruojant kablelį, o gautoje sandaugoje kableliu atskirti tiek skaitmenų, kiek buvo po kablelio šioje trupmenoje.
- Norint padauginti vieną dešimtainę trupmeną iš kitos, reikia atlikti daugybą, nekreipti dėmesio į kablelius, o gautame rezultate kableliu atskirti tiek skaitmenų dešinėje, kiek buvo po kablelio abiejuose veiksniuose kartu.
- Norėdami padauginti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000 ir tt, dešimtainį kablelį reikia perkelti į dešinę 1, 2, 3 ir tt skaitmenimis.
- Dešimtainį skaičių padauginti iš 0,1; 0,01; 0,001 ir tt kablelis turi būti perkeltas į kairę 1, 2, 3 ir tt skaitmenimis.
- Norėdami padalyti dešimtainę trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, turite padalyti trupmeną iš šio skaičiaus, nes natūralūs skaičiai dalijami, o baigus visos dalies padalijimą į koeficientą dėkite kablelį.
- Norėdami padalyti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000 ir tt, dešimtainį tašką turite perkelti į kairę 1, 2, 3 ir tt skaitmenimis.
- Norėdami padalyti skaičių iš dešimtainės trupmenos, turite perkelti kablelius į dividendą ir padalyti tiek skaitmenų į dešinę, kiek yra po kablelio daliklyje, o tada padalyti iš natūraliojo skaičiaus.
- Padalinti dešimtainį skaičių iš 0,1; 0,01; 0,001 ir tt, dešimtainį tašką reikia perkelti į dešinę 1, 2, 3 ir tt skaitmenimis. (Dešimtainės dalies padalijimas iš 0,1, 0,01, 0,001 ir tt yra tas pats, kas tą dešimtainį skaičių padauginti iš 10, 100, 1000 ir kt.)
Norėdami suapvalinti skaičių iki bet kurio skaitmens, pabraukiame šio skaitmens skaitmenį, o po to visus skaitmenis po pabraukto pakeičiame nuliais, o jei jie yra po kablelio, juos atmetame. Jei pirmasis skaitmuo, pakeistas nuliu arba išmestas, yra 0, 1, 2, 3 arba 4, tada pabrauktas skaitmuo paliekamas nepakitęs. Jei pirmasis skaitmuo, pakeistas nuliu arba išmestas, yra 5, 6, 7, 8 arba 9, tada pabrauktas skaitmuo padidinamas 1.
Kelių skaičių aritmetinis vidurkis.
Kelių skaičių aritmetinis vidurkis yra šių skaičių sumos dalijimas iš terminų skaičiaus.
Skaičių diapazonas.
Skirtumas tarp didžiausios ir mažiausios duomenų serijos reikšmių vadinamas skaičių serijos diapazonu.
Skaičių serijų režimas.
Skaičius, kuris atsiranda didžiausiu dažniu tarp pateiktų skaičių serijoje, vadinamas skaičių serijos režimu.
- Šimtoji dalis vadinama procentais. Įsigykite knygą, kurioje mokoma „Kaip išspręsti procentines problemas“.
- Norėdami išreikšti procentą trupmena arba natūraliuoju skaičiumi, turite padalyti procentą iš 100%. (4 %=0,04; 32 %=0,32).
- Norėdami išreikšti skaičių procentais, turite jį padauginti iš 100%. (0,65=0,65·100%=65%; 1,5=1,5·100%=150%).
- Norėdami rasti skaičiaus procentą, turite išreikšti procentą kaip bendrą arba dešimtainę trupmeną ir gautą trupmeną padauginti iš nurodyto skaičiaus.
- Norėdami rasti skaičių pagal jo procentą, turite išreikšti procentą paprastąja arba dešimtaine trupmena ir padalyti gautą skaičių iš šios trupmenos.
- Norėdami sužinoti, kiek procentų pirmasis skaičius yra nuo antrojo, turite padalyti pirmąjį skaičių iš antrojo ir padauginti rezultatą iš 100%.
- Dviejų skaičių koeficientas vadinamas šių skaičių santykiu. a:b arba a/b– skaičių a ir b santykis, o a – ankstesnis narys, b – kitas narys.
- Jei duoto santykio nariai pertvarkomi, tai gautas santykis vadinamas atvirkštiniu duotajam ryšiui. Ryšiai b/a ir a/b yra atvirkštiniai.
- Santykis nepasikeis, jei abi santykio dalys bus padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį.
- Dviejų santykių lygybė vadinama proporcija.
- a:b=c:d. Tai yra proporcija. Skaityti: A tai taikoma b, Kaip c nurodo d. Skaičiai a ir d vadinami kraštutiniais proporcijos nariais, o skaičiai b ir c – viduriniais proporcijos nariais.
- Proporcijos kraštutinių narių sandauga yra lygi jos vidurinių dalių sandaugai. Dėl proporcijos a:b=c:d arba a/b=c/d pagrindinė savybė parašyta taip: a·d=b·c.
- Norėdami rasti nežinomą kraštutinį proporcijos narį, turite padalyti proporcijos vidurinių dalių sandaugą iš žinomo kraštutinio nario.
- Norėdami rasti nežinomą vidurinį proporcijos narį, turite padalyti kraštutinių proporcijos narių sandaugą iš žinomo vidurinio nario. Proporcingumo problemos.
Tegul vertė y priklauso nuo dydžio X. Jei didinant X kelis kartus didesnis adresu padidėja tiek pat, tada tokios reikšmės X Ir adresu vadinami tiesiogiai proporcingais.
Jei du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi, tada dviejų savavališkai paimtų pirmojo dydžio verčių santykis yra lygus dviejų atitinkamų antrojo dydžio verčių santykiui.
Atkarpos ilgio žemėlapyje ir atitinkamo atstumo žemėje ilgio santykis vadinamas žemėlapio masteliu.
Tegul vertė adresu priklauso nuo dydžio X. Jei didinant X kelis kartus didesnis adresu sumažėja tiek pat, tada tokios reikšmės X Ir adresu vadinami atvirkščiai proporcingais.
Jei du dydžiai yra atvirkščiai proporcingi, tada dviejų savavališkai paimtų vieno dydžio verčių santykis yra lygus kito dydžio atitinkamų verčių atvirkštiniam santykiui.
- Aibė yra tam tikrų objektų arba skaičių rinkinys, sudarytas pagal kai kurias bendrąsias savybes ar dėsnius (daug raidžių puslapyje, daug tinkamų trupmenų, kurių vardiklis yra 5, daug žvaigždžių danguje ir pan.).
- Aibės susideda iš elementų ir gali būti baigtinės arba begalinės. Aibė, kurioje nėra vieno elemento, vadinama tuščia aibe ir žymima O.
- Krūva IN vadinamas aibės poaibiu A, jei visi aibės elementai IN yra rinkinio elementai A.
- Aibių sankirta A Ir IN yra aibė, kurios elementai priklauso aibei A ir daug IN.
- Rinkinių sąjunga A Ir IN yra aibė, kurios elementai priklauso bent vienai iš šių aibių A Ir IN.
Daug skaičių.
- N– natūraliųjų skaičių rinkinys: 1, 2, 3, 4,…
- Z– sveikųjų skaičių rinkinys: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- K– aibė racionalių skaičių, pavaizduojamų trupmena m/n, Kur m- visas, n– natūralus (-2; 3/5; v9; v25 ir kt.)
- Koordinačių linija yra tiesi linija, kurioje nurodyta teigiama kryptis, atskaitos taškas (taškas O) ir vieneto atkarpa.
- Kiekvienas koordinačių linijos taškas atitinka tam tikrą skaičių, kuris vadinamas šio taško koordinate. Pavyzdžiui, A(5). Jie skaito: taškas A su penkiomis koordinatėmis. AT 3). Jie skaito: taškas B su koordinatėmis minus trys.
- Skaičiaus a modulis (įrašykite |a|) skambinti atstumu nuo pradžios iki taško, atitinkančio duotą skaičių A. Bet kurio skaičiaus modulis yra neneigiamas. |3|=3; |-3|=3, nes atstumas nuo pradžios iki skaičiaus -3 ir iki skaičiaus 3 yra lygus trims vienetų atkarpoms. |0|=0 .
- Pagal skaičiaus modulio apibrėžimą: |a|=a, Jei a?0 Ir |a|=-a, Jei a b.
- Jei, lyginant skaičius a ir b, skirtumas a-b tada yra neigiamas skaičius a , tada jos vadinamos griežtosiomis nelygybėmis.
- Jei nelygybės rašomos ženklais? arba?, tada jos vadinamos negriežtomis nelygybėmis.
Skaitinių nelygybių savybės.
G) 
Formos x?a nelygybė. Atsakymas:
Dalijamumo testas
Dalyvavimo ženklas- taisyklė, leidžianti palyginti greitai nustatyti, ar skaičius yra iš anksto nustatyto skaičiaus kartotinis, nedarant tikrojo padalijimo. Paprastai jis pagrįstas veiksmais su dalimi skaitmenų iš skaičiaus, įrašyto pozicinėje skaičių sistemoje (dažniausiai dešimtainė).
Yra keletas paprastų taisyklių, leidžiančių dešimtainėje skaičių sistemoje rasti mažus skaičiaus daliklius:
Bandymas dalytis iš 2
Bandymas dalytis iš 3
Bandymas dalytis iš 4
Dalijamumo iš 5 testas
Bandymas dalytis iš 6
Bandymas dalytis iš 7
Dalijamumo iš 8 testas
Dalijamumo iš 9 testas
Dalijamumo iš 10 testas
Dalijamumo iš 11 testas
Dalijamumo iš 12 testas
Dalijamumo iš 13 testas
Dalijamumo iš 14 testas
Dalijamumo iš 15 testas
Dalijamumo iš 17 testas
Dalijamumo iš 19 testas
Bandymas dalytis iš 23
Bandymas dalytis iš 25
Dalijamumo iš 99 testas
Padalinkime skaičių į grupes po 2 skaitmenis iš dešinės į kairę (kairiausia grupė gali turėti vieną skaitmenį) ir suraskime šių grupių sumą, laikydamos jas dviženkliais skaičiais. Ši suma dalijasi iš 99 tada ir tik tada, kai pats skaičius dalijasi iš 99.
Dalijamumo iš 101 testas
Padalinkime skaičių į grupes po 2 skaitmenis iš dešinės į kairę (kairiausia grupė gali turėti vieną skaitmenį) ir raskite šių grupių su kintamaisiais ženklais sumą, laikydamos jas dviženkliais skaičiais. Ši suma dalijasi iš 101 tada ir tik tada, kai pats skaičius dalijasi iš 101. Pavyzdžiui, 590547 dalijasi iš 101, nes 59-05+47=101 dalijasi iš 101).
Bandymas dalytis iš 2 n
Skaičius dalijasi iš dviejų n-osios laipsnio tada ir tik tada, kai skaičius, sudarytas iš paskutinių n skaitmenų, dalijasi iš to paties laipsnio.
Dalijamumo iš 5 testas n
Skaičius dalijasi iš n-osios laipsnio penkių tada ir tik tada, kai skaičius, sudarytas iš paskutinių n skaitmenų, dalijasi iš to paties laipsnio.
Dalijamumo iš 10 testas n − 1
Padalinkime skaičių į grupes po n skaitmenų iš dešinės į kairę (kairiausioje grupėje gali būti nuo 1 iki n skaitmenų) ir suraskime šių grupių sumą, laikant jas n skaitmenų skaičiais. Ši suma padalinta iš 10 n− 1 tada ir tik tada, kai pats skaičius dalijasi iš 10 n − 1 .
Dalijamumo iš 10 testas n
Skaičius dalijasi iš dešimties n-osios laipsnio tada ir tik tada, kai yra paskutinių n skaitmenų
Įkeliama...